Positif pentagon ialah poligon di mana kelima-lima sisi dan kelima-lima sudut adalah sama antara satu sama lain. Ia mudah untuk melukis bulatan di sekelilingnya. Tegak pentagon dan bulatan inilah yang akan membantu.
Arahan
1. Pertama sekali, anda perlu membina bulatan dengan kompas. Biarkan pusat bulatan bertepatan dengan titik O. Lukiskan paksi simetri berserenjang antara satu sama lain. Pada titik persilangan salah satu paksi ini dengan bulatan, letakkan titik V. Titik ini akan menjadi bahagian atas masa hadapan pentagon A. Letakkan titik D pada titik di mana paksi lain bersilang dengan bulatan.
2. Pada segmen OD, cari bahagian tengah dan tandakan titik A di dalamnya. Selepas ini, anda perlu membina bulatan dengan kompas dengan pusat pada titik ini. Di samping itu, ia mesti melalui titik V, iaitu, dengan jejari CV. Tentukan titik persilangan paksi simetri dan bulatan ini sebagai B.
3. Kemudian, menggunakan kompas lukis bulatan dengan jejari yang sama, letakkan jarum pada titik V. Tentukan persilangan bulatan ini dengan bulatan asal sebagai titik F. Titik ini akan menjadi bucu ke-2 bagi masa hadapan benar pentagon A.
4. Sekarang anda perlu melukis bulatan yang sama melalui titik E, tetapi dengan pusat di F. Tentukan persilangan bulatan yang anda lukis dengan bulatan asal sebagai titik G. Titik ini juga akan menjadi satu lagi bucu pentagon A. Begitu juga, anda perlu membina satu lagi bulatan. Pusatnya ialah G. Biarkan titik persilangannya dengan bulatan asal ialah H. Ini ialah bucu terakhir poligon sekata.
5. Anda kini sepatutnya mempunyai lima bucu. Ia tetap mudah untuk menggabungkannya di sepanjang garis. Hasil daripada semua operasi ini, anda akan mendapat tulisan positif dalam bulatan pentagon .
Membina positif pentagon dibenarkan dengan sokongan kompas dan pembaris. Benar, proses ini agak panjang, begitu juga dengan pembinaan mana-mana poligon positif dengan bilangan sisi yang ganjil. Program komputer moden membolehkan anda melakukan ini dalam beberapa saat.
Anda perlu
- – komputer dengan program AutoCAD.
Arahan
1. Cari menu teratas dalam program AutoCAD, dan di dalamnya - tab "Utama". Klik padanya dengan butang kiri tetikus. Panel Draw muncul. Pelbagai jenis baris akan muncul. Pilih garis poli tertutup. Ia adalah poligon, yang tinggal hanyalah memasukkan parameter. AutoCAD. Membolehkan anda melukis pelbagai poligon sekata. Bilangan sisi boleh sehingga 1024. Anda juga boleh menggunakan baris arahan, bergantung pada versi dengan menaip "_polygon" atau "sudut jamak".
2. Tidak kira sama ada anda menggunakan baris arahan atau menu konteks, tetingkap akan muncul pada skrin anda meminta anda memasukkan bilangan sisi. Masukkan nombor "5" di sana dan tekan Enter. Anda akan diminta untuk menentukan pusat pentagon. Masukkan koordinat ke dalam tetingkap yang muncul. Anda boleh menetapkannya sebagai (0,0), tetapi mungkin terdapat pelbagai jenis data lain.
3. Pilih kaedah pembinaan yang diperlukan. . AutoCAD menawarkan tiga pilihan. Sebuah pentagon boleh dihadkan di sekeliling bulatan atau ditulis di dalamnya, tetapi ia juga boleh dibina mengikut saiz sisi yang diberikan. Pilih pilihan yang dikehendaki dan tekan enter. Jika perlu, tetapkan jejari bulatan dan juga tekan enter.
4. Sebuah pentagon di sepanjang sisi tertentu mula-mula dibina dengan cara yang sama. Pilih Lukis, garis poli tertutup, dan masukkan bilangan sisi. Klik kanan untuk membuka menu konteks. Klik arahan "tepi" atau "sisi". Pada baris arahan, masukkan koordinat titik permulaan dan penamat salah satu sisi pentagon. Kemudian, pentagon akan muncul pada skrin.
5. Semua operasi boleh dilakukan menggunakan baris arahan. Sebagai contoh, untuk membina pentagon di sepanjang sisi dalam versi program Rusia, masukkan huruf "c". Dalam versi bahasa Inggeris ia akan menjadi "_e". Untuk membina pentagon bertulis atau berhad, masukkan kemudian takrif bilangan sisi huruf “o” atau “v” (atau bahasa Inggeris “_с” atau “_i”)
Video mengenai topik
Video mengenai topik
Nasihat yang berguna
Kaedah mudah ini membolehkan anda membina bukan sahaja pentagon. Untuk membina segitiga, anda perlu meregangkan kaki kompas pada jarak yang sama dengan jejari bulatan. Selepas ini, pasang jarum pada bila-bila masa. Lukiskan bulatan bantu nipis. Dua titik persilangan bulatan, serta titik di mana kaki kompas berada, membentuk tiga bucu segitiga positif.
Pembinaan heksagon biasa yang ditulis dalam bulatan.
Pembinaan heksagon adalah berdasarkan fakta bahawa sisinya adalah sama dengan jejari bulatan yang dihadkan. Oleh itu, untuk membinanya, cukup untuk membahagikan bulatan kepada enam bahagian yang sama dan menyambungkan titik yang ditemui antara satu sama lain.
Heksagon biasa boleh dibina menggunakan tepi lurus dan segi empat sama 30X60°. Untuk melaksanakan pembinaan ini, kita mengambil diameter mendatar bulatan sebagai pembahagi dua sudut 1 dan 4, membina sisi 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 dan 7 - 2, selepas itu kita melukis sisi 5 - 6 dan 3 - 2.
Bucu segitiga tersebut boleh dibina menggunakan kompas dan segi empat sama dengan sudut 30 dan 60° atau hanya satu kompas. Mari kita pertimbangkan dua cara untuk membina segitiga sama sisi yang ditulis dalam bulatan.
Cara pertama(Rajah 61,a) adalah berdasarkan fakta bahawa ketiga-tiga sudut segitiga 7, 2, 3 mengandungi 60°, dan garis menegak yang dilukis melalui titik 7 ialah kedua-dua ketinggian dan pembahagi dua sudut 1. Oleh kerana sudut 0 - 1 - 2 adalah sama dengan 30°, kemudian untuk mencari sisi 1 - 2 sudah cukup untuk membina sudut 30° dari titik 1 dan sisi 0 - 1. Untuk melakukan ini, pasang palang dan segi empat sama seperti yang ditunjukkan dalam rajah, lukis garisan 1 - 2, yang akan menjadi salah satu sisi segitiga yang dikehendaki. Untuk membina sisi 2 - 3, tetapkan palang pada kedudukan yang ditunjukkan oleh garis putus-putus, dan lukis garis lurus melalui titik 2, yang akan menentukan bucu ketiga segi tiga.
Cara kedua adalah berdasarkan fakta bahawa jika anda membina heksagon biasa yang tertulis dalam bulatan dan kemudian menyambungkan bucunya melalui satu, anda akan mendapat segi tiga sama.
Untuk membina segi tiga, tandakan titik bucu 1 pada diameter dan lukis garis diameter 1 - 4. Seterusnya, dari titik 4 dengan jejari bersamaan dengan D/2, kita menghuraikan lengkok sehingga ia bersilang dengan bulatan pada titik 3 dan 2. Titik yang terhasil ialah dua bucu lain bagi segi tiga yang dikehendaki.
Pembinaan ini boleh dilakukan menggunakan segi empat sama dan kompas.
Cara pertama adalah berdasarkan fakta bahawa pepenjuru segi empat sama bersilang di tengah bulatan berhad dan condong kepada paksinya pada sudut 45°. Berdasarkan ini, kami memasang palang dan segi empat sama dengan sudut 45° seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 62, a, dan tandakan titik 1 dan 3. Seterusnya, melalui titik ini kita lukis sisi mendatar petak 4 - 1 dan 3 -2 menggunakan palang. Kemudian, menggunakan tepi lurus di sepanjang sisi segi empat sama, kami melukis sisi menegak segi empat sama 1 - 2 dan 4 - 3.
Cara kedua adalah berdasarkan fakta bahawa bucu segi empat sama membahagi dua lengkok bulatan yang tertutup di antara hujung diameter. Kami menandakan titik A, B dan C pada hujung dua diameter yang saling berserenjang dan daripadanya dengan jejari y kami menerangkan lengkok sehingga ia bersilang antara satu sama lain.
Seterusnya, melalui titik persilangan lengkok kita melukis garis lurus tambahan, ditandakan dalam rajah dengan garis pepejal. Titik persilangan mereka dengan bulatan akan menentukan bucu 1 dan 3; 4 dan 2. Kami menyambungkan bucu segi empat sama yang dikehendaki yang diperoleh dengan cara ini secara bersiri antara satu sama lain.
Pembinaan pentagon biasa yang tertulis dalam bulatan.
Untuk memasukkan pentagon biasa ke dalam bulatan, kami membuat binaan berikut. Kami menandakan titik 1 pada bulatan dan mengambilnya sebagai salah satu bucu pentagon. Kami membahagikan segmen AO kepada separuh. Untuk melakukan ini, kita menerangkan lengkok dari titik A dengan jejari AO sehingga ia bersilang dengan bulatan pada titik M dan B. Dengan menyambungkan titik-titik ini dengan garis lurus, kita mendapat titik K, yang kemudiannya kita sambungkan ke titik 1. Dengan jejari yang sama dengan segmen A7, kita menerangkan lengkok dari titik K sehingga ia bersilang dengan garis diametrik AO pada titik H. Dengan menyambungkan titik 1 dengan titik H, kita mendapat sisi pentagon. Kemudian, dengan menggunakan penyelesaian kompas yang sama dengan segmen 1H, menerangkan lengkok dari bucu 1 ke persilangan dengan bulatan, kita dapati bucu 2 dan 5. Setelah membuat takuk dari bucu 2 dan 5 dengan penyelesaian kompas yang sama, kita memperoleh baki bucu 3 dan 4. Kami menyambungkan titik yang ditemui secara berurutan antara satu sama lain.
Membina pentagon sekata di sepanjang sisi tertentu.
Untuk membina pentagon sekata di sepanjang sisi tertentu (Rajah 64), kami membahagikan segmen AB kepada enam bahagian yang sama. Dari titik A dan B dengan jejari AB kita menggambarkan lengkok, persilangannya akan memberikan titik K. Melalui titik ini dan pembahagian 3 pada garis AB kita melukis garis menegak. Seterusnya, dari titik K pada garis lurus ini kita membuang segmen yang sama dengan 4/6 AB. Kami mendapat titik 1 - puncak pentagon. Kemudian, dengan jejari sama dengan AB, dari titik 1 kita menghuraikan lengkok sehingga ia bersilang dengan lengkok yang dilukis sebelum ini dari titik A dan B. Titik persilangan lengkok menentukan bucu pentagon 2 dan 5. Kami menyambungkan bucu yang ditemui dalam siri antara satu sama lain.
Pembinaan heptagon biasa yang tertulis dalam bulatan.
Biarkan bulatan diameter D diberikan; anda perlu memasukkan heptagon biasa ke dalamnya (Gamb. 65). Bahagikan diameter menegak bulatan kepada tujuh bahagian yang sama. Dari titik 7 dengan jejari yang sama dengan diameter bulatan D, kami menerangkan lengkok sehingga ia bersilang dengan kesinambungan diameter mengufuk pada titik F. Kami memanggil titik F sebagai kutub poligon. Mengambil titik VII sebagai salah satu bucu heptagon, kita melukis sinar dari tiang F melalui pembahagian genap diameter menegak, persilangannya dengan bulatan akan menentukan bucu VI, V dan IV heptagon. Untuk mendapatkan bucu / - // - /// dari titik IV, V dan VI, lukis garisan mendatar sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami menyambungkan bucu yang ditemui secara berurutan antara satu sama lain. Heptagon boleh dibina dengan melukis sinar dari kutub F dan melalui pembahagian ganjil diameter menegak.
Kaedah di atas sesuai untuk membina poligon sekata dengan sebarang bilangan sisi.
Pembahagian bulatan kepada sebarang bilangan bahagian yang sama juga boleh dilakukan menggunakan data dalam Jadual. 2, yang menyediakan pekali yang memungkinkan untuk menentukan dimensi sisi poligon bertulis biasa.
Panjang sisi poligon bertulis biasa.
Lajur pertama jadual ini menunjukkan bilangan sisi poligon bertulis biasa, dan lajur kedua menunjukkan pekali. Panjang sisi poligon yang diberikan diperoleh dengan mendarab jejari bulatan yang diberikan dengan pekali yang sepadan dengan bilangan sisi poligon ini.
5.3. Pentagon Emas; pembinaan Euclid.
Contoh hebat "nisbah emas" ialah pentagon biasa - cembung dan berbentuk bintang (Rajah 5).
Untuk membina pentagram, anda perlu membina pentagon biasa.
Biarkan O ialah pusat bulatan, A titik pada bulatan, dan E titik tengah segmen OA. Serenjang dengan jejari OA, dipulihkan pada titik O, memotong bulatan di titik D. Dengan menggunakan kompas, plotkan segmen CE = ED pada diameter. Panjang sisi pentagon sekata yang tertulis dalam bulatan adalah sama dengan DC. Kami memplot segmen DC pada bulatan dan mendapatkan lima mata untuk melukis pentagon biasa. Kami menyambungkan sudut pentagon melalui satu sama lain dengan pepenjuru dan mendapatkan pentagram. Semua pepenjuru pentagon membahagikan satu sama lain kepada segmen yang disambungkan dengan nisbah emas.
Setiap hujung bintang pentagon mewakili segi tiga emas. Sisinya membentuk sudut 36° di puncak, dan pangkalannya, diletakkan di sisi, membahagikannya dalam perkadaran nisbah emas.
Terdapat juga kuboid emas - ini adalah segi empat tepat selari dengan tepi yang mempunyai panjang 1.618, 1 dan 0.618.
Sekarang pertimbangkan bukti yang ditawarkan oleh Euclid dalam Elemen.
| |
dari tengah bulatan. Mari kita mulakan dengan
segmen ABE, dibahagikan pada min dan
Jadi biarkan AC=AE. Mari kita nyatakan dengan sudut yang sama EBC dan CEB. Oleh kerana AC=AE, sudut ACE juga sama dengan a. Teorem bahawa jumlah sudut segitiga adalah sama dengan 180 darjah membolehkan kita mencari sudut SEMUA: ia sama dengan 180-2a, dan sudut EAC ialah 3a - 180. Tetapi sudut ABC adalah sama dengan 180 -a. Menjumlahkan sudut segitiga ABC yang kita dapat,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
Di mana 5a=360 bermakna a=72.
Jadi, setiap sudut tapak segitiga BERAT adalah dua kali ganda sudut bucu, iaitu 36 darjah. Oleh itu, untuk membina pentagon sekata, anda hanya perlu melukis sebarang bulatan dengan pusat di titik E, bersilang EC di titik X dan sisi EB di titik Y: segmen XY berfungsi sebagai salah satu sisi pentagon sekata yang tertulis dalam bulatan; Dengan mengelilingi seluruh bulatan, anda boleh menemui semua sisi lain.
Mari kita buktikan bahawa AC = AE. Katakan bucu C disambungkan oleh satu ruas garis ke N tengah segmen BE. Perhatikan bahawa kerana CB = CE, maka sudut CNE adalah betul. Mengikut teorem Pythagoras:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Oleh itu kita ada (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Jadi, AC = ja = jAB = AE, itulah yang perlu dibuktikan
5.4. Lingkaran Archimedes.
Dengan berturut-turut memotong segi empat sama daripada segi empat tepat emas ad infinitum, setiap kali menghubungkan titik bertentangan dengan suku bulatan, kita mendapat lengkung yang agak elegan. Yang pertama menarik perhatian kepadanya ialah saintis Yunani kuno Archimedes, yang namanya disandang. Dia mengkajinya dan memperoleh persamaan lingkaran ini.
Pada masa ini, lingkaran Archimedes digunakan secara meluas dalam teknologi.
6. Nombor Fibonacci.
Nama ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa, yang lebih dikenali dengan nama panggilannya Fibonacci (Fibonacci - disingkat filius Bonacci, iaitu anak Bonacci), secara tidak langsung dikaitkan dengan nisbah emas.
Pada tahun 1202 dia menulis buku "Liber abacci", iaitu, "The Book of Abacus". "Liber abacci" ialah karya besar yang mengandungi hampir semua maklumat aritmetik dan algebra pada masa itu dan memainkan peranan penting dalam perkembangan matematik di Eropah Barat dalam beberapa abad akan datang. Khususnya, dari buku ini orang Eropah mengenali angka Hindu (“Arab”).
Bahan yang dilaporkan dalam buku ini dijelaskan melalui sejumlah besar masalah yang membentuk sebahagian besar risalah ini.
Mari kita pertimbangkan satu masalah sedemikian:
“Berapa pasang arnab yang dilahirkan daripada sepasang dalam satu tahun?
Seseorang meletakkan sepasang arnab di tempat tertentu, dipagar di semua sisi oleh dinding, untuk mengetahui berapa pasang arnab yang akan dilahirkan pada tahun ini, jika sifat arnab sedemikian rupa sehingga dalam sebulan sepasang arnab arnab akan membiak yang lain, dan arnab beranak pada bulan kedua selepas kelahirannya."
| berbulan-bulan | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Sepasang arnab | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Mari kita beralih sekarang dari arnab kepada nombor dan pertimbangkan urutan nombor berikut:
u 1 , u 2 … u n
di mana setiap sebutan adalah sama dengan jumlah dua sebelumnya, i.e. untuk sebarang n>2
u n =u n -1 +u n -2 .
Urutan ini secara asymptotically (mendekati lebih dan lebih perlahan) cenderung kepada beberapa hubungan tetap. Walau bagaimanapun, nisbah ini adalah tidak rasional, iaitu, ia adalah nombor dengan urutan digit perpuluhan yang tidak terhingga dan tidak dapat diramalkan dalam bahagian pecahan. Tidak mustahil untuk menyatakannya dengan tepat.
Jika mana-mana istilah bagi jujukan Fibonacci dibahagikan dengan pendahulunya (contohnya, 13:8), hasilnya akan menjadi nilai yang turun naik di sekitar nilai tidak rasional 1.61803398875... dan kadangkala melebihinya, kadangkala tidak mencapainya.
Tingkah laku asimptotik jujukan dan ayunan terlembap nisbahnya di sekeliling nombor tidak rasional Ф boleh menjadi lebih difahami jika kita menunjukkan nisbah beberapa sebutan pertama jujukan. Contoh ini menunjukkan hubungan sebutan kedua dengan yang pertama, yang ketiga dengan yang kedua, yang keempat dengan yang ketiga, dan seterusnya:
1:1 = 1.0000, iaitu kurang daripada phi sebanyak 0.6180
2:1 = 2.0000, iaitu 0.3820 lebih daripada phi
3:2 = 1.5000, iaitu kurang daripada phi sebanyak 0.1180
5:3 = 1.6667, iaitu 0.0486 lebih daripada phi
8:5 = 1.6000, iaitu kurang daripada phi sebanyak 0.0180
Semasa anda bergerak melalui jujukan penjumlahan Fibonacci, setiap istilah baharu akan membahagikan satu seterusnya dengan anggaran yang lebih besar dan lebih besar kepada F yang tidak boleh dicapai.
Manusia secara tidak sedar mencari perkadaran Ilahi: ia diperlukan untuk memenuhi keperluannya untuk keselesaan.
Apabila membahagikan mana-mana ahli jujukan Fibonacci dengan yang seterusnya, hasilnya hanyalah songsang 1.618 (1: 1.618 = 0.618). Tetapi ini juga merupakan fenomena yang sangat luar biasa, malah luar biasa. Oleh kerana nisbah asal ialah pecahan tak terhingga, nisbah ini juga sepatutnya tiada penghujung.
Apabila membahagikan setiap nombor dengan nombor seterusnya selepasnya, kita mendapat nombor 0.382
Memilih nisbah dengan cara ini, kita memperoleh set utama nisbah Fibonacci: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236 Marilah kita juga menyebut 0.5 semuanya memainkan peranan khas dalam alam semula jadi dan khususnya dalam analisis teknikal.
Perlu diingatkan di sini bahawa Fibonacci hanya mengingatkan manusia tentang urutannya, kerana ia dikenali pada zaman dahulu dengan nama Golden Ratio.
Nisbah emas, seperti yang telah kita lihat, timbul berkaitan dengan pentagon biasa, oleh itu nombor Fibonacci memainkan peranan dalam segala-galanya yang berkaitan dengan pentagon biasa - cembung dan berbentuk bintang.
Siri Fibonacci boleh kekal hanya insiden matematik, jika bukan kerana fakta bahawa semua penyelidik bahagian emas dalam dunia tumbuhan dan haiwan, apatah lagi seni, selalu datang ke siri ini sebagai ungkapan aritmetik undang-undang emas. pembahagian. Para saintis terus giat membangunkan teori nombor Fibonacci dan nisbah emas. Yu. Matiyasevich menyelesaikan masalah ke-10 Hilbert (tentang menyelesaikan persamaan Diophantine) menggunakan nombor Fibonacci. Kaedah elegan muncul untuk menyelesaikan beberapa masalah sibernetik (teori carian, permainan, pengaturcaraan) menggunakan nombor Fibonacci dan nisbah emas. Di Amerika Syarikat, Persatuan Fibonacci Matematik sedang diwujudkan, yang telah menerbitkan jurnal khas sejak 1963.
Salah satu pencapaian dalam bidang ini ialah penemuan nombor Fibonacci umum dan nisbah emas umum. Siri Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) dan siri nombor "perduaan" yang ditemui olehnya 1, 2, 4, 8, 16... (iaitu, siri nombor hingga n , di mana sebarang nombor asli kurang n boleh diwakili sebagai jumlah beberapa nombor dalam siri ini) adalah berbeza sama sekali pada pandangan pertama. Tetapi algoritma untuk pembinaannya sangat serupa antara satu sama lain: dalam kes pertama, setiap nombor adalah jumlah nombor sebelumnya dengan dirinya sendiri 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., dalam kedua - ini adalah hasil tambah dua nombor sebelumnya 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Adakah mungkin untuk mencari umum formula matematik daripada mana kita memperoleh “ siri binari dan siri Fibonacci?
Sesungguhnya, mari kita tentukan parameter berangka S, yang boleh mengambil sebarang nilai: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Pertimbangkan siri nombor, S + 1 daripada sebutan pertama yang satu, dan setiap satu yang berikutnya adalah sama dengan jumlah dua sebutan yang sebelumnya dan dipisahkan dari yang sebelumnya dengan langkah S. Jika kita menyatakan sebutan ke-n siri ini dengan S (n), kita memperoleh formula am S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Adalah jelas bahawa pada S = 0 daripada formula ini kita akan memperoleh siri "perduaan", pada S = 1 - siri Fibonacci, pada S = 2, 3, 4 - siri nombor baru, yang dipanggil nombor S-Fibonacci .
Secara amnya, perkadaran S emas ialah punca positif bagi persamaan bahagian S emas x S+1 – x S – 1 = 0.
Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa pada S = 0 segmen dibahagikan kepada separuh, dan pada S = 1 nisbah emas klasik yang biasa diperolehi.
Nisbah nombor Fibonacci S yang bersebelahan bertepatan dengan ketepatan matematik mutlak dalam had dengan perkadaran S emas! Iaitu, bahagian-S emas adalah invarian berangka bagi nombor-S Fibonacci.
7. Nisbah emas dalam seni.
7.1. Nisbah emas dalam lukisan.
Beralih kepada contoh "nisbah emas" dalam lukisan, seseorang tidak boleh membantu tetapi memberi tumpuan kepada karya Leonardo da Vinci. Keperibadiannya adalah salah satu misteri sejarah. Leonardo da Vinci sendiri berkata: "Jangan biarkan sesiapa yang bukan ahli matematik berani membaca karya saya."
Tidak syak lagi bahawa Leonardo da Vinci adalah seorang artis yang hebat, ini telah diiktiraf oleh orang sezamannya, tetapi keperibadian dan aktivitinya akan tetap diselubungi misteri, kerana dia meninggalkan kepada keturunannya bukan persembahan ideanya yang koheren, tetapi hanya banyak tulisan tangan. lakaran, nota yang mengatakan "tentang semua orang di dunia."
Potret Monna Lisa (La Gioconda) telah menarik perhatian penyelidik selama bertahun-tahun, yang mendapati bahawa komposisi gambar itu berdasarkan segi tiga emas, yang merupakan bahagian pentagon berbentuk bintang biasa.
Juga, bahagian nisbah emas muncul dalam lukisan Shishkin. Dalam lukisan terkenal oleh I. I. Shishkin ini, motif nisbah emas jelas kelihatan. Pokok pain yang diterangi cahaya matahari (berdiri di latar depan) membahagikan panjang gambar mengikut nisbah keemasan. Di sebelah kanan pokok pain adalah bukit bukit yang diterangi matahari. Ia membahagikan bahagian kanan gambar secara mendatar mengikut nisbah emas.
Dalam lukisan Raphael "The Massacre of the Innocents" unsur lain dari bahagian emas kelihatan - lingkaran emas. Dalam lakaran persediaan Raphael, garis-garis merah ditarik dari pusat semantik gubahan - titik di mana jari-jari pahlawan menutup pergelangan kaki kanak-kanak itu - di sepanjang figura kanak-kanak itu, wanita yang memeluknya rapat, pahlawan dengan pedangnya terangkat, dan kemudian di sepanjang figura kumpulan yang sama di sebelah kanan lakaran. Tidak diketahui sama ada Raphael membina lingkaran emas atau merasakannya.
T. Cook menggunakan nisbah emas apabila menganalisis lukisan Sandro Botticelli "Kelahiran Venus."
7.2. Piramid nisbah emas.
Sifat perubatan piramid, terutamanya nisbah emas, diketahui secara meluas. Menurut beberapa pendapat yang paling biasa, bilik di mana piramid seperti itu terletak kelihatan lebih besar dan udara lebih telus. Mimpi mula diingati dengan lebih baik. Ia juga diketahui bahawa nisbah emas digunakan secara meluas dalam seni bina dan arca. Contohnya adalah: Pantheon dan Parthenon di Greece, bangunan oleh arkitek Bazhenov dan Malevich
8. Kesimpulan.
Harus dikatakan bahawa nisbah emas mempunyai aplikasi yang hebat dalam kehidupan kita.
Telah terbukti bahawa tubuh manusia dibahagikan mengikut nisbah emas dengan garis tali pinggang.
Cangkang nautilus dipintal seperti lingkaran emas.
Terima kasih kepada nisbah emas, tali pinggang asteroid antara Marikh dan Musytari ditemui - mengikut perkadaran, sepatutnya ada planet lain di sana.
Mengujakan rentetan pada titik membahagikannya berhubung dengan bahagian emas tidak akan menyebabkan rentetan bergetar, iaitu, ini adalah titik pampasan.
Pada pesawat dengan sumber tenaga elektromagnet, sel segi empat tepat dengan perkadaran nisbah emas dicipta.
Mona Lisa dibina di atas segitiga emas; lingkaran emas hadir dalam lukisan Raphael "Massacre of the Innocents".
Perkadaran itu ditemui dalam lukisan Sandro Botticelli "The Birth of Venus"
Terdapat banyak monumen seni bina yang diketahui dibina menggunakan nisbah emas, termasuk Pantheon dan Parthenon di Athens, bangunan oleh arkitek Bazhenov dan Malevich.
John Kepler, yang hidup lima abad yang lalu, berkata: "Geometri mempunyai dua khazanah besar yang pertama ialah teorem Pythagoras, yang kedua ialah pembahagian segmen dalam nisbah ekstrem dan min."
Bibliografi
1. D. Pidou. Geometri dan seni. – M.: Mir, 1979.
2. Majalah "Sains dan Teknologi"
3. Majalah "Kvant", 1973, No. 8.
4. Majalah "Matematik di Sekolah", 1994, No. 2; No 3.
5. Kovalev F.V. Nisbah emas dalam lukisan. K.: Sekolah Vyshcha, 1989.
6. Stakhov A. Kod perkadaran emas.
7. Vorobiev N.N. "Nombor Fibonacci" - M.: Nauka 1964
8. "Matematik - Ensiklopedia untuk Kanak-kanak" M.: Avanta +, 1998
9. Maklumat daripada Internet.
Matriks Fibonacci dan apa yang dipanggil matriks "emas", aritmetik komputer baharu, teori pengekodan baharu dan teori kriptografi baharu. Intipati sains baru adalah untuk menyemak semula semua matematik dari sudut pandangan bahagian emas, bermula dengan Pythagoras, yang, secara semula jadi, akan memerlukan keputusan matematik yang baru dan pastinya sangat menarik dalam teori. Dari segi praktikal - pengkomputeran "emas". Dan sejak...
Tidak akan menjejaskan keputusan ini. Asas bahagian emas adalah invarian daripada hubungan rekursif 4 dan 6. Ini menunjukkan "kestabilan" bahagian emas, salah satu prinsip organisasi bahan hidup. Juga, asas bahagian emas ialah penyelesaian kepada dua jujukan rekursif eksotik (Rajah 4.) Rajah. 4 Jujukan Fibonacci Rekursif...
Telinga ialah j5, dan jarak dari telinga ke mahkota ialah j6. Oleh itu, dalam patung ini kita melihat janjang geometri dengan penyebut j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Gamb.9). Oleh itu, nisbah emas adalah salah satu prinsip asas dalam seni Yunani kuno. Irama jantung dan otak. Jantung manusia berdegup sekata - kira-kira 60 denyutan seminit semasa rehat. Jantungku berdegup kencang seperti omboh...
Arahan
Bina satu lagi diameter berserenjang dengan diameter MN. Untuk melakukan ini, gunakan kompas untuk melukis lengkok dari titik M dan H dengan jejari yang sama. Pilih jejari supaya kedua-dua lengkok bersilang antara satu sama lain dan dengan bulatan yang diberikan pada satu titik. Ini akan menjadi titik pertama A diameter kedua. Lukis garis lurus melaluinya dan titik O. Diameter AB yang terhasil adalah berserenjang dengan garis lurus MN.
Cari titik tengah jejari BO. Untuk melakukan ini, gunakan kompas dengan jejari bulatan untuk melukis lengkok dari titik B supaya ia bersilang dengan bulatan pada dua titik C dan P. Lukiskan garis lurus melalui titik-titik ini. Garis lurus ini akan membahagikan jejari VO tepat kepada separuh. Letakkan titik K di persimpangan CP dan VO.
Sambungkan titik M dan K dengan segmen. Tetapkan pada kompas jarak yang sama dengan segmen MK. Dari titik M, lukis lengkok supaya ia bersilang dengan jejari AO. Letakkan titik E di lokasi persimpangan ini Jarak ME yang terhasil sepadan dengan panjang satu sisi pentagon bertulis.
Bina bucu yang tinggal bagi pentagon. Untuk melakukan ini, tetapkan jarak kaki kompas sama dengan segmen ME. Dari bucu pertama pentagon M, lukis lengkok sehingga ia bersilang dengan bulatan. Titik persilangan akan menjadi bucu kedua F. Dari titik yang terhasil pula, lukiskan juga lengkok dengan jejari yang sama yang bersilang dengan bulatan. Dapatkan bucu ketiga bagi pentagon G. Bina baki titik S dan L dengan cara yang sama.
Sambungkan bucu yang terhasil dengan segmen lurus. Ditulis dalam bulatan, MFGSL pentagon biasa dibina.
Sumber:
- Poligon biasa
Heksagon ialah poligon yang mempunyai enam sudut. Untuk melukis heksagon sewenang-wenangnya, anda perlu melakukan hanya 2 langkah.
Anda perlu
- Pensel, pembaris, helaian kertas.
Arahan
Ambil pembaris dan lukis 6 segmen berdasarkan titik ini, yang akan bersambung antara satu sama lain di sepanjang titik yang dilukis sebelum ini (Gamb. 2)
Video mengenai topik
Nota
Jenis heksagon istimewa ialah heksagon biasa. Ia dipanggil sedemikian kerana semua sisi dan sudutnya adalah sama antara satu sama lain. Bulatan boleh diterangkan atau ditulis di sekeliling heksagon sedemikian. Perlu diingat bahawa pada titik yang diperoleh dengan menyentuh bulatan bertulis dan sisi heksagon, sisi heksagon biasa dibahagikan kepada separuh.
Nasihat yang berguna
Secara semula jadi, heksagon biasa sangat popular. Sebagai contoh, setiap sarang lebah mempunyai bentuk heksagon biasa.
Atau kekisi kristal graphene (pengubahsuaian karbon) juga mempunyai bentuk heksagon biasa.
Imej bentuk geometri digunakan untuk mencipta banyak, banyak permainan, kolaj dan ilustrasi. Menggunakan alat Photoshop, anda boleh melukis mana-mana rajah tiga dimensi, termasuk heksagon.
Anda perlu
- Adobe Photoshop
Arahan
Buka dokumen baharu. Pada alat, pilih Alat Poligon. Dalam panel sifat, tetapkan sisi=6 dan warnakan mengikut citarasa anda. Tahan kekunci Shift dan lukis. Letakkan kursor di atas bentuk, klik kanan dan pilih arahan Rasterize Layer.
Gandakan lapisan ini dua kali (Ctrl+J) supaya anda mempunyai tiga heksagon. Berdiri pada lapisan baru. Sambil menahan Ctrl, klik pada ikon baharu untuk mendapatkan pilihan. Dalam bar alat, tetapkan warna latar depan kepada warna yang lebih gelap. Menggunakan Paint Bucket Tool, isi heksagon. Sekali lagi pergi ke lapisan baru dan isikan bentuk dengan yang sesuai. Dengan cara ini heksagon anda akan diwarnakan dalam warna yang berbeza dengan warna yang sama.
Menggunakan Move Tool, letakkan heksagon seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Apabila melakukan ini, pertimbangkan di mana sumber cahaya akan berada dalam lukisan anda. Di mana cahaya jatuh, harus ada kelebihan yang lebih ringan. Tepi paling gelap akan berada dalam bayang-bayang.
Untuk lapisan dengan heksagon yang mewakili muka sisi, tetapkan Opacity=50%. Pilih Alat Pemadam dari bar alat. Tetapkan kekerasan=100% dan mulakan dengan berhati-hati dan berhati-hati memadamkan imej yang berlebihan. Untuk mengeluarkan warna yang tidak perlu berhampiran tepi, teruskan seperti berikut: kurangkan diameter jalur elastik supaya tidak menangkap lebihan. Tuding pada satu hujung tepi segi enam a dan klik dengan butang kiri tetikus. Kemudian gerakkan kursor ke hujung yang lain, tekan kekunci Shift dan klik kiri sekali lagi. Anda akan mendapat jalur kosong yang licin. Ulangi prosedur ini seberapa banyak yang perlu untuk mengalih keluar sebarang latar belakang yang tidak perlu di sekeliling bentuk.
Untuk lapisan dengan muka sisi, kembalikan Opacity=100%.
Video mengenai topik
Nasihat yang berguna
Apabila memilih warna warna untuk tepi, pertimbangkan lokasi sumber cahaya dalam imej anda
Poligon sekata ialah poligon cembung di mana semua sisi dan semua sudut adalah sama. Satu bulatan boleh dilukis mengelilingi poligon sekata. Bulatan inilah yang membantu dalam pembinaannya. Salah satu poligon biasa, pembinaannya boleh dilakukan menggunakan alat mudah, ialah pentagon biasa.
Anda perlu
- pembaris, kompas
Arahan
Seterusnya, melalui titik O, lukis garis berserenjang dengan garis OA. Anda boleh membina garis lurus berserenjang menggunakan segi empat sama atau (menggunakan kaedah dua bulatan jejari yang sama). Persilangannya dengan bulatan boleh ditetapkan sebagai titik B.
Bina titik C pada segmen OB, yang akan menjadi titik tengahnya. Kemudian anda perlu melukis bulatan dengan pusat di titik C, melalui titik A, iaitu, dengan jejari CA. Tentukan titik persilangan bulatan ini dengan garis lurus OB di dalam bulatan dengan pusat O (atau bulatan asal) sebagai D.
Kemudian lukis bulatan dengan pusat di A melalui titik D. Tentukan persilangannya dengan bulatan asal sebagai titik E dan F. Ini akan menjadi dua bucu pentagon berputar.
Lukis bulatan berpusat di E melalui titik A. Labelkan persilangannya dengan bulatan asal sebagai titik G. Ini akan menjadi salah satu bucu pentagon.
Begitu juga, lukis bulatan berpusat di F melalui titik A. Labelkan persilangan yang lain dengan bulatan asal sebagai titik H. Titik ini juga akan menjadi bucu segi empat tepat.
Kemudian sambungkan titik A, E, G, H dan F. Hasilnya akan menjadi pentagon biasa yang tertulis dalam bulatan.
Video mengenai topik
Heksagon ialah kes khas poligon - rajah yang dibentuk oleh set titik pada satah yang dibatasi oleh garis poli tertutup. Heksagon biasa (heksagon), pula, juga merupakan kes khas - ia adalah poligon dengan enam sisi yang sama dan sudut yang sama. Angka ini luar biasa kerana panjang setiap sisinya adalah sama dengan jejari bulatan yang diterangkan di sekeliling rajah itu.
Anda perlu
- - kompas;
- - pembaris;
- - pensel;
- - kertas.
Arahan
Pilih panjang sisi. Ambil kompas dan tetapkan jarak dengan hujung jarum terletak pada salah satu kakinya dan hujung stylus terletak pada kaki sebelah lagi, sama dengan panjang sisi rajah yang dilukis. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan pembaris atau memilih jarak rawak jika momen itu tidak penting. Selamatkan kaki kompas dengan skru, jika boleh.
Lukis bulatan menggunakan kompas. Jarak yang dipilih antara kaki akan menjadi jejari bulatan.
Letakkan kaki kompas dengan jarum pada titik sewenang-wenangnya yang terletak pada garisan bulatan yang digariskan. Jarum harus menusuk garisan dengan tepat. Ketepatan pembinaan secara langsung bergantung pada ketepatan pemasangan kompas. Lukis lengkok dengan kompas supaya ia bersilang dengan bulatan yang dilukis dahulu pada dua titik.
Gerakkan kaki kompas dengan jarum ke salah satu titik persilangan lengkok yang dilukis dengan bulatan asal. Lukis lengkok lain, juga bersilang bulatan pada dua titik (salah satu daripadanya akan bertepatan dengan titik lokasi jarum kompas sebelumnya).
Dengan cara yang sama, susun semula jarum kompas dan lukis lengkok empat kali lagi. Gerakkan kaki kompas dengan jarum ke satu arah sepanjang bulatan (sentiasa mengikut arah jam atau lawan jam). Akibatnya, enam titik persilangan lengkok dengan bulatan yang dibina pada mulanya harus dikenal pasti.
Lukis heksagon sekata. Sambungkan enam mata yang diperolehi pada langkah sebelumnya secara konsisten dengan segmen secara berpasangan. Lukiskan bahagian menggunakan pensel dan pembaris. Hasilnya akan menjadi heksagon biasa. Selepas pembinaan, anda boleh memadamkan elemen tambahan (arka dan bulatan).
Nota
Adalah masuk akal untuk memilih jarak antara kaki kompas supaya sudut di antara mereka adalah 15-30 darjah, jika tidak, apabila membina, jarak ini mudah hilang.
Pada satu masa, proses melukis heksagon biasa telah diterangkan oleh Euclid Yunani kuno. Walau bagaimanapun, hari ini terdapat cara lain untuk membina rajah geometri ini. Prinsip utama adalah mematuhi beberapa peraturan yang terkenal semasa melukis angka.
Jika anda tidak mempunyai kompas di tangan, anda boleh melukis bintang ringkas dengan lima sinar dan kemudian hanya menyambungkan sinar ini. Seperti yang anda lihat dalam gambar di bawah, pentagon yang benar-benar teratur diperolehi.
Matematik adalah sains yang kompleks dan mempunyai banyak rahsia, ada di antaranya agak lucu. Jika anda berminat dengan perkara sebegini, saya nasihatkan anda untuk mencari buku Fun Math.
Bulatan boleh dilukis bukan sahaja menggunakan kompas. Anda boleh, sebagai contoh, menggunakan pensel dan benang. Kami mengukur diameter yang diperlukan pada benang. Kami mengapit satu hujung dengan ketat pada helaian kertas di mana kami akan melukis bulatan. Dan pada hujung benang yang lain, pasang pensel dan pasangkannya. Sekarang ia berfungsi seperti dengan kompas: kami menarik benang dan, dengan ringan menekan dengan pensil, tandakan bulatan di sekeliling lilitan.
Di dalam bulatan kita menarik petani dari tengah: garis menegak dan garis mendatar. Titik persilangan garis menegak dan bulatan akan menjadi bucu pentagon (titik 1). Sekarang kita bahagikan separuh kanan garisan mendatar separuh (titik 2). Kami mengukur jarak dari titik ini ke puncak pentagon dan meletakkan segmen ini di sebelah kiri titik 2 (titik 3). Menggunakan benang dan pensel, kami melukis lengkok dari titik 1 dengan jejari ke titik 3, bersilang bulatan pertama di kiri dan kanan - titik persilangan akan menjadi bucu pentagon. Mari kita panggil mereka mata 4 dan 5.
Sekarang dari titik 4 kita membuat lengkok yang bersilang dengan bulatan di bahagian bawah, dengan jejari yang sama dengan panjang dari titik 1 hingga 4 - ini akan menjadi titik 6. Dengan cara yang sama dari titik 5 - kita akan menetapkannya sebagai titik 7.
Yang tinggal hanyalah menyambung pentagon kita dengan bucu 1, 5, 7, 6, 4.
Saya tahu cara membina pentagon mudah menggunakan kompas: Bina bulatan, tandakan lima titik, sambungkannya. Kita boleh membina pentagon dengan sisi yang sama; untuk ini kita juga memerlukan protraktor. Kami hanya meletakkan 5 mata yang sama pada protraktor. Untuk melakukan ini, tandakan sudut pada 72 darjah. Kemudian kami juga berhubung dengan segmen dan dapatkan angka yang kami perlukan.
Bulatan hijau boleh dilukis dengan jejari sewenang-wenangnya. Kami akan menulis pentagon biasa ke dalam bulatan ini. Tidak mustahil untuk melukis bulatan tepat tanpa kompas, tetapi ini tidak perlu. Bulatan dan semua pembinaan selanjutnya boleh dilakukan dengan tangan. Seterusnya, melalui pusat bulatan O, anda perlu melukis dua garis lurus yang saling berserenjang dan menetapkan salah satu titik persilangan garis dengan bulatan sebagai A. Titik A akan menjadi bucu pentagon. Kami membahagikan jejari OB kepada separuh dan meletakkan titik C. Dari titik C kami melukis bulatan kedua dengan jejari AC. Dari titik A kita lukis bulatan ketiga dengan jejari AD. Titik persilangan bulatan ketiga dengan yang pertama (E dan F) juga akan menjadi bucu pentagon. Dari titik E dan F dengan jejari AE kita membuat takuk pada bulatan pertama dan memperoleh baki bucu pentagon G dan H.
Penganut seni hitam: untuk melukis pentagon dengan mudah, cantik dan cepat, anda harus melukis asas yang betul dan harmoni untuk pentagram (bintang berbucu lima) dan menyambungkan hujung sinar bintang ini menggunakan garis lurus dan sekata. Jika semuanya dilakukan dengan betul, garis penyambung di sekeliling pangkalan akan menjadi pentagon yang dikehendaki.
(dalam gambar terdapat pentagram yang lengkap tetapi tidak diisi)
Bagi mereka yang tidak pasti tentang ketepatan pentagram: ambil Vitruvian Man Da Vinci sebagai asas (lihat di bawah)
Jika anda memerlukan pentagon, hanya cucuk 5 mata secara rawak dan kontur luarnya akan menjadi pentagon.
Sekiranya anda memerlukan pentagon biasa, maka tanpa kompas matematik pembinaan ini tidak dapat disiapkan, kerana tanpa itu mustahil untuk menarik dua segmen yang sama, tetapi tidak selari. Sebarang alat lain yang membolehkan anda melukis dua segmen yang sama tetapi tidak selari adalah bersamaan dengan kompas matematik.
Mula-mula anda perlu melukis bulatan, kemudian membimbing, kemudian bulatan bertitik kedua, cari titik atas, kemudian ukur dua sudut atas, lukiskan yang lebih rendah daripadanya. Ambil perhatian bahawa jejari kompas adalah sama sepanjang keseluruhan pembinaan.
Ia semua bergantung pada jenis pentagon yang anda perlukan. Jika ada, kemudian letakkan lima mata dan sambungkannya antara satu sama lain (sudah tentu kita tidak meletakkan titik dalam garis lurus). Dan jika anda memerlukan pentagon dengan bentuk yang betul, ambil mana-mana lima sepanjang (jalur kertas, mancis, pensel, dll.), letakkan pentagon dan gariskannya.
Sebuah pentagon boleh dilukis, sebagai contoh, dari bintang. Jika anda tahu cara melukis bintang, tetapi tidak tahu cara melukis pentagon, lukis bintang dengan pensil, kemudian sambungkan hujung bintang yang bersebelahan, dan kemudian padamkan bintang itu sendiri.
Cara kedua. Potong jalur kertas dengan panjang yang sama dengan sisi pentagon yang diingini, dan lebar sempit, katakan 0.5 - 1 cm Seperti templat, potong empat lagi jalur dengan saiz yang sama di sepanjang jalur ini, supaya ada adalah 5 daripadanya secara keseluruhan.
Kemudian letakkan sehelai kertas (lebih baik untuk mengamankannya di atas meja dengan empat butang atau jarum). Kemudian letakkan 5 jalur ini di atas sekeping kertas supaya ia membentuk pentagon. Sematkan 5 jalur ini pada sekeping kertas dengan pin atau jarum supaya ia kekal tidak bergerak. Kemudian bulatkan pentagon yang terhasil dan keluarkan jalur ini dari helaian.
Jika anda tidak mempunyai kompas dan anda perlu membina pentagon, maka saya boleh menasihati perkara berikut. Saya sendiri membinanya dengan cara itu. Anda boleh melukis bintang berbucu lima biasa. Dan selepas itu, untuk mendapatkan pentagon, anda hanya perlu menyambungkan semua bucu bintang. Inilah cara anda mendapatkan pentagon. Inilah yang kami dapat
Kami menyambungkan bucu bintang dengan garis hitam lurus dan mendapat pentagon.