Teori kebarangkalian popular untuk dummies. Takrif klasik kebarangkalian

Ibu mencuci bingkai itu

Pada penghujung cuti musim panas yang panjang, tiba masanya untuk perlahan-lahan kembali ke matematik yang lebih tinggi dan dengan sungguh-sungguh membuka fail Verdov kosong untuk mula mencipta bahagian baharu - . Saya akui, baris pertama tidak mudah, tetapi langkah pertama adalah separuh jalan, jadi saya cadangkan semua orang mengkaji dengan teliti artikel pengenalan, selepas itu menguasai topik akan menjadi 2 kali lebih mudah! Saya tidak keterlaluan sama sekali. …Pada malam 1 September yang akan datang, saya masih ingat darjah satu dan buku asas…. Huruf membentuk suku kata, suku kata membentuk perkataan, perkataan membentuk ayat pendek - Ibu membasuh bingkai itu. Menguasai statistik turver dan matematik adalah semudah belajar membaca! Walau bagaimanapun, untuk ini anda perlu mengetahui istilah, konsep dan sebutan utama, serta beberapa peraturan khusus, yang menjadi subjek pelajaran ini.

Tetapi pertama-tama, sila terima ucapan tahniah saya pada permulaan (sambungan, penyelesaian, tanda mengikut kesesuaian) tahun persekolahan dan terima hadiah itu. Hadiah terbaik ialah sebuah buku, dan untuk kerja bebas saya mengesyorkan kesusasteraan berikut:

1) Gmurman V.E. Teori kebarangkalian dan statistik matematik

Buku teks legenda yang telah melalui lebih daripada sepuluh cetakan semula. Ia dibezakan oleh kebolehfahaman dan pembentangan bahan yang sangat mudah, dan bab pertama boleh diakses sepenuhnya, saya fikir, sudah pun untuk pelajar di gred 6-7.

2) Gmurman V.E. Panduan untuk menyelesaikan masalah dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik

Buku penyelesaian oleh Vladimir Efimovich yang sama dengan contoh dan masalah terperinci.

SEMESTINYA muat turun kedua-dua buku daripada Internet atau dapatkan kertas asalnya! Versi dari 60-an dan 70-an juga akan berfungsi, yang lebih baik untuk boneka. Walaupun frasa "teori kebarangkalian untuk dummies" kedengaran agak tidak masuk akal, kerana hampir semuanya terhad kepada operasi aritmetik asas. Walau bagaimanapun, mereka melangkau di beberapa tempat derivatif Dan kamiran, tetapi ini hanya di tempat.

Saya akan cuba mencapai kejelasan pembentangan yang sama, tetapi saya mesti memberi amaran bahawa kursus saya ditujukan kepada penyelesaian masalah dan pengiraan teori dikekalkan pada tahap minimum. Oleh itu, jika anda memerlukan teori terperinci, bukti teorem (teorem-teorem!), sila rujuk buku teks. Nah, siapa yang mahu belajar menyelesaikan masalah dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik dalam masa yang sesingkat mungkin, ikut saya!

Cukup untuk permulaan =)

Semasa anda membaca artikel, anda dinasihatkan untuk berkenalan (sekurang-kurangnya secara ringkas) dengan tugas tambahan dari jenis yang dipertimbangkan. Pada halaman Penyelesaian sedia dibuat untuk matematik yang lebih tinggi Pdf yang sepadan dengan contoh penyelesaian akan disiarkan. Bantuan penting juga akan diberikan IDZ 18.1 Ryabushko(lebih mudah) dan menyelesaikan IDZ mengikut koleksi Chudesenko(lebih sukar).

1) Jumlah dua peristiwa dan peristiwa itu dipanggil iaitu ia akan berlaku atau peristiwa atau peristiwa atau kedua-dua acara pada masa yang sama. Sekiranya peristiwa itu tidak serasi, pilihan terakhir hilang, iaitu, ia mungkin berlaku atau peristiwa atau peristiwa.

Peraturan ini juga digunakan untuk bilangan istilah yang lebih besar, contohnya, acara adalah apa yang akan berlaku sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa , A jika peristiwa tidak serasi – kemudian satu perkara dan hanya satu perkara acara daripada jumlah ini: atau acara, atau acara, atau acara, atau acara, atau peristiwa.

Terdapat banyak contoh:

Acara (apabila membaling dadu, 5 mata tidak akan muncul) adalah apa yang akan muncul atau 1, atau 2, atau 3, atau 4, atau 6 mata.

Acara (akan jatuh tiada lagi dua mata) ialah 1 akan muncul atau 2mata.

Peristiwa (akan terdapat bilangan mata genap) itulah yang muncul atau 2 atau 4 atau 6 mata.

Acaranya ialah kad merah (jantung) akan dikeluarkan dari geladak atau rebana), dan acara itu – bahawa “gambar” akan diekstrak (jack atau puan atau raja atau ace).

Sedikit lebih menarik ialah kes dengan acara bersama:

Acaranya ialah sebuah kelab akan diambil dari geladak atau tujuh atau tujuh kelab Mengikut definisi yang diberikan di atas, sekurang-kurangnya sesuatu- atau mana-mana kelab atau mana-mana tujuh atau "persimpangan" mereka - tujuh kelab. Adalah mudah untuk mengira bahawa acara ini sepadan dengan 12 keputusan asas (9 kad kelab + 3 baki tujuh lagi).

Acaranya esok jam 12.00 akan datang SEKURANG-KURANGNYA SATU daripada acara bersama boleh rumus, iaitu:

– atau hanya akan ada hujan / hanya ribut petir / matahari sahaja;
– atau hanya beberapa sepasang peristiwa akan berlaku (hujan + ribut petir / hujan + matahari / ribut petir + matahari);
– atau ketiga-tiga acara akan muncul serentak.

Iaitu, acara itu merangkumi 7 kemungkinan hasil.

Tunjang kedua algebra peristiwa:

2) kerja dua peristiwa dan memanggil peristiwa yang terdiri daripada kejadian bersama peristiwa-peristiwa ini, dengan kata lain, pendaraban bermaksud bahawa dalam beberapa keadaan akan berlaku. Dan acara, Dan peristiwa. Pernyataan yang serupa adalah benar untuk bilangan peristiwa yang lebih besar, sebagai contoh, karya membayangkan bahawa dalam keadaan tertentu ia akan berlaku Dan acara, Dan acara, Dan acara, …, Dan peristiwa.

Pertimbangkan ujian di mana dua syiling dilambung dan peristiwa berikut:

– kepala akan muncul pada syiling pertama;
– syiling pertama akan mendarat;
– kepala akan muncul pada syiling ke-2;
– syiling ke-2 akan mendarat.

Kemudian:
Dan pada ke-2) kepala akan muncul;
– peristiwanya ialah pada kedua-dua syiling (pada 1hb Dan pada ke-2) ia akan menjadi ketua;
– peristiwanya ialah syiling pertama akan mendarat Dan syiling ke-2 ialah ekor;
– peristiwanya ialah syiling pertama akan mendarat Dan pada syiling ke-2 terdapat seekor helang.

Ia adalah mudah untuk melihat peristiwa itu tidak serasi (kerana, sebagai contoh, ia tidak boleh menjadi 2 kepala dan 2 ekor pada masa yang sama) dan bentuk kumpulan penuh (sejak diambil kira Semua kemungkinan hasil melambung dua syiling). Mari kita ringkaskan peristiwa ini: . Bagaimana untuk mentafsir entri ini? Sangat mudah - pendaraban bermaksud penghubung logik DAN, dan tambahan - ATAU. Oleh itu, jumlahnya mudah dibaca dalam bahasa manusia yang boleh difahami: “dua kepala akan muncul atau dua kepala atau syiling pertama akan mendarat Dan pada ekor ke-2 atau syiling pertama akan mendarat Dan pada syiling ke-2 terdapat seekor helang"

Ini adalah contoh apabila dalam satu ujian beberapa objek terlibat, dalam kes ini dua syiling. Satu lagi skim biasa dalam masalah praktikal ialah ujian semula , apabila, sebagai contoh, dadu yang sama digulung 3 kali berturut-turut. Sebagai demonstrasi, pertimbangkan peristiwa berikut:

– dalam balingan pertama anda akan mendapat 4 mata;
– dalam balingan ke-2 anda akan mendapat 5 mata;
– dalam balingan ke-3 anda akan mendapat 6 mata.

Kemudian acara ialah dalam lontaran pertama anda akan mendapat 4 mata Dan dalam balingan ke-2 anda akan mendapat 5 mata Dan pada pusingan ke-3 anda akan mendapat 6 mata. Jelas sekali, dalam kes kiub akan terdapat lebih banyak kombinasi (hasil) daripada jika kita melambung syiling.

...Saya faham bahawa mungkin contoh yang dianalisis tidak begitu menarik, tetapi ini adalah perkara yang sering dihadapi dalam masalah dan tidak ada jalan keluar daripadanya. Sebagai tambahan kepada syiling, kiub dan dek kad, guci dengan bola pelbagai warna, beberapa orang tanpa nama menembak sasaran, dan pekerja gigih yang sentiasa mengisar beberapa butiran menanti anda =)

Kebarangkalian kejadian

Kebarangkalian kejadian ialah konsep pusat teori kebarangkalian. ...Perkara logik yang membunuh, tetapi kami terpaksa bermula di suatu tempat =) Terdapat beberapa pendekatan untuk definisinya:

;
Takrif geometri kebarangkalian ;
Takrifan statistik kebarangkalian .

Dalam artikel ini saya akan menumpukan pada definisi klasik kebarangkalian, yang paling banyak digunakan dalam tugas pendidikan.

Jawatan. Kebarangkalian peristiwa tertentu dilambangkan dengan huruf Latin besar, dan peristiwa itu sendiri diambil dalam kurungan, bertindak sebagai sejenis hujah. Contohnya:

Juga, huruf kecil digunakan secara meluas untuk menunjukkan kebarangkalian. Khususnya, anda boleh meninggalkan sebutan peristiwa yang menyusahkan dan kebarangkaliannya memihak kepada gaya berikut::

– kebarangkalian bahawa lambungan syiling akan mengakibatkan kepala;
– kebarangkalian bahawa segulung dadu akan menghasilkan 5 mata;
– kebarangkalian bahawa kad sut kelab akan diambil dari geladak.

Pilihan ini popular apabila menyelesaikan masalah praktikal, kerana ia membolehkan anda mengurangkan rakaman penyelesaian dengan ketara. Seperti dalam kes pertama, adalah mudah untuk menggunakan subskrip/superskrip "bercakap" di sini.

Semua orang telah lama meneka nombor yang baru saya tulis di atas, dan sekarang kita akan mengetahui bagaimana hasilnya:

Takrif klasik kebarangkalian:

Kebarangkalian kejadian berlaku dalam ujian tertentu dipanggil nisbah , di mana:

– jumlah bilangan semua sama mungkin, rendah hasil ujian ini, yang membentuk kumpulan penuh acara;

- kuantiti rendah hasil, menguntungkan peristiwa.

Apabila melambung syiling, sama ada kepala atau ekor boleh jatuh - peristiwa ini terbentuk kumpulan penuh, oleh itu, jumlah bilangan hasil; pada masa yang sama, setiap daripada mereka rendah Dan sama mungkin. Acara ini digemari oleh keputusan (kepala). Mengikut takrifan klasik kebarangkalian: .

Begitu juga, hasil daripada melontar dadu, hasil asas yang sama mungkin muncul, membentuk kumpulan yang lengkap, dan acara itu digemari oleh hasil tunggal (menggelek lima). Itulah sebabnya: INI TIDAK DITERIMA UNTUK DILAKUKAN (walaupun tidak dilarang untuk menganggarkan peratusan dalam kepala anda).

Ia adalah kebiasaan untuk menggunakan pecahan unit, dan, jelas sekali, kebarangkalian boleh berbeza-beza dalam . Lebih-lebih lagi, jika , maka peristiwa itu adalah mustahil, Jika - boleh dipercayai, dan jika , maka kita bercakap tentang rawak peristiwa.

! Jika, semasa menyelesaikan sebarang masalah, anda mendapat beberapa nilai kebarangkalian lain, cari ralat!

Dalam pendekatan klasik untuk menentukan kebarangkalian, nilai ekstrem (sifar dan satu) diperoleh melalui penaakulan yang sama. Biarkan 1 bola diambil secara rawak daripada bekas tertentu yang mengandungi 10 bola merah. Pertimbangkan peristiwa berikut:

dalam satu percubaan peristiwa berkemungkinan rendah tidak akan berlaku.

Inilah sebabnya mengapa anda tidak akan mendapat jackpot dalam loteri jika kebarangkalian acara ini adalah, katakan, 0.00000001. Ya, ya, ini anda - dengan satu-satunya tiket dalam edaran tertentu. Walau bagaimanapun, bilangan tiket yang lebih besar dan bilangan lukisan yang lebih besar tidak akan banyak membantu anda. ...Apabila saya memberitahu orang lain tentang perkara ini, saya hampir selalu mendengar jawapan: "tetapi seseorang menang." Baiklah, mari kita lakukan eksperimen berikut: sila beli tiket untuk sebarang loteri hari ini atau esok (jangan berlengah!). Dan jika anda menang... baik, sekurang-kurangnya lebih daripada 10 kilorubles, pastikan anda mendaftar - saya akan menerangkan mengapa ini berlaku. Untuk peratusan, sudah tentu =) =)

Tetapi tidak perlu bersedih, kerana terdapat prinsip yang bertentangan: jika kebarangkalian sesuatu kejadian sangat dekat dengan satu, maka dalam satu percubaan ia akan hampir pasti akan berlaku. Oleh itu, sebelum melompat dengan payung terjun, tidak perlu takut, sebaliknya, senyum! Lagipun, keadaan yang tidak dapat difikirkan dan hebat mesti timbul untuk kedua-dua payung terjun itu gagal.

Walaupun semua ini adalah lirik, kerana bergantung pada kandungan acara, prinsip pertama mungkin menjadi ceria, dan yang kedua - sedih; atau bahkan kedua-duanya adalah selari.

Mungkin itu sudah cukup buat masa ini, di dalam kelas Masalah kebarangkalian klasik kami akan mendapat yang terbaik daripada formula. Pada bahagian akhir artikel ini, kami akan mempertimbangkan satu teorem penting:

Jumlah kebarangkalian kejadian yang membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu. Secara kasarnya, jika peristiwa membentuk kumpulan yang lengkap, maka dengan 100% kebarangkalian salah satu daripadanya akan berlaku. Dalam kes paling mudah, kumpulan lengkap dibentuk oleh peristiwa bertentangan, contohnya:

– akibat daripada lambungan syiling, kepala akan muncul;
– hasil lambungan syiling akan menjadi ekor.

Mengikut teorem:

Jelas sekali bahawa peristiwa ini adalah sama mungkin dan kebarangkaliannya adalah sama .

Oleh kerana kesamaan kebarangkalian, peristiwa yang sama mungkin sering dipanggil sama-sama berkemungkinan . Dan inilah pemutar lidah untuk menentukan tahap mabuk =)

Contoh dengan kubus: peristiwa adalah bertentangan, oleh itu .

Teorem yang sedang dipertimbangkan adalah mudah kerana ia membolehkan anda mencari dengan cepat kebarangkalian kejadian yang bertentangan. Jadi, jika kebarangkalian bahawa lima digulung diketahui, adalah mudah untuk mengira kebarangkalian bahawa ia tidak digulung:

Ini adalah lebih mudah daripada merumuskan kebarangkalian lima hasil asas. Untuk hasil asas, dengan cara ini, teorem ini juga benar:
. Sebagai contoh, jika adalah kebarangkalian bahawa penembak akan mencapai sasaran, maka adalah kebarangkalian bahawa dia akan terlepas.

! Dalam teori kebarangkalian, adalah tidak diingini untuk menggunakan huruf untuk sebarang tujuan lain.

Sempena Hari Pengetahuan, saya tidak akan memberikan kerja rumah =), tetapi sangat penting untuk anda menjawab soalan berikut:

– Apakah jenis peristiwa yang wujud?
– Apakah peluang dan kemungkinan sama bagi sesuatu peristiwa?
– Bagaimanakah anda memahami istilah keserasian/ketidakserasian acara?
– Apakah kumpulan peristiwa yang lengkap, peristiwa yang bertentangan?
– Apakah maksud penambahan dan pendaraban peristiwa?
– Apakah intipati definisi klasik kebarangkalian?
– Mengapakah teorem untuk menambah kebarangkalian kejadian yang membentuk kumpulan lengkap berguna?

Tidak, anda tidak perlu menjejalkan apa-apa, ini hanyalah asas teori kebarangkalian - sejenis buku asas yang akan sesuai dengan cepat ke dalam kepala anda. Dan untuk ini berlaku secepat mungkin, saya cadangkan anda membiasakan diri dengan pelajaran

Teori kebarangkalian ialah cabang matematik yang mengkaji corak fenomena rawak: peristiwa rawak, pembolehubah rawak, sifat dan operasinya padanya.

Untuk masa yang lama, teori kebarangkalian tidak mempunyai definisi yang jelas. Ia dirumuskan hanya pada tahun 1929. Kemunculan teori kebarangkalian sebagai sains bermula sejak Zaman Pertengahan dan percubaan pertama dalam analisis matematik perjudian (serpihan, dadu, rolet). Ahli matematik Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, semasa mengkaji ramalan kemenangan dalam perjudian, menemui corak kebarangkalian pertama yang timbul apabila membaling dadu.

Teori kebarangkalian timbul sebagai sains daripada kepercayaan bahawa corak tertentu mendasari peristiwa rawak massa. Teori kebarangkalian mengkaji corak ini.

Teori kebarangkalian berkaitan dengan kajian tentang peristiwa yang kejadiannya tidak diketahui dengan pasti. Ia membolehkan anda menilai tahap kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa berbanding dengan yang lain.

Sebagai contoh: adalah mustahil untuk menentukan dengan jelas hasil "kepala" atau "ekor" akibat daripada melambung syiling, tetapi dengan lambungan berulang, kira-kira bilangan "kepala" dan "ekor" yang sama muncul, yang bermaksud bahawa kebarangkalian bahawa "kepala" atau "ekor" akan jatuh ", adalah sama dengan 50%.

Ujian dalam kes ini, pelaksanaan set syarat tertentu dipanggil, iaitu, dalam kes ini, lambungan syiling. Cabaran boleh dimainkan tanpa had bilangan kali. Dalam kes ini, set syarat termasuk faktor rawak.

Keputusan ujian ialah peristiwa. Peristiwa itu berlaku:

Boleh dipercayai (selalu berlaku hasil daripada ujian).
Mustahil (tidak pernah berlaku).
Rawak (mungkin atau mungkin tidak berlaku akibat ujian).

Sebagai contoh, apabila melambung syiling, peristiwa yang mustahil - syiling akan mendarat di tepinya, peristiwa rawak - penampilan "kepala" atau "ekor". Keputusan ujian khusus dipanggil acara asas. Hasil daripada ujian, hanya peristiwa asas berlaku. Set semua kemungkinan, berbeza, hasil ujian khusus dipanggil ruang peristiwa asas.

Konsep asas teori

Kebarangkalian- tahap kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa. Apabila sebab beberapa kemungkinan kejadian sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, maka peristiwa ini dipanggil berkemungkinan, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin.

Pembolehubah rawak- ini ialah kuantiti yang, sebagai hasil ujian, boleh mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu. Contohnya: bilangan setiap balai bomba setiap hari, bilangan pukulan dengan 10 tembakan, dsb.

Pembolehubah rawak boleh dibahagikan kepada dua kategori.

Pembolehubah rawak diskret ialah kuantiti yang, sebagai hasil ujian, boleh mengambil nilai tertentu dengan kebarangkalian tertentu, membentuk set boleh dikira (set yang unsurnya boleh dinomborkan). Set ini boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, bilangan pukulan sebelum pukulan pertama pada sasaran adalah pembolehubah rawak diskret, kerana kuantiti ini boleh mengambil bilangan nilai yang tidak terhingga, walaupun boleh dikira.
Pembolehubah rawak berterusan ialah kuantiti yang boleh mengambil sebarang nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga. Jelas sekali, bilangan kemungkinan nilai pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.

Ruang kebarangkalian- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada 30-an abad ke-20 untuk merasmikan konsep kebarangkalian, yang menimbulkan perkembangan pesat teori kebarangkalian sebagai disiplin matematik yang ketat.

Ruang kebarangkalian ialah tiga kali ganda (kadang-kadang disertakan dalam kurungan sudut: , di mana

Ini adalah set arbitrari, unsur-unsurnya dipanggil peristiwa asas, hasil atau mata;
- algebra sigma subset yang dipanggil peristiwa (rawak);
- ukuran kebarangkalian atau kebarangkalian, i.e. ukuran terhingga aditif sigma sedemikian rupa sehingga .

Teorem De Moivre-Laplace- salah satu teorem had teori kebarangkalian, yang ditubuhkan oleh Laplace pada tahun 1812. Ia menyatakan bahawa bilangan kejayaan apabila mengulangi eksperimen rawak yang sama berulang kali dengan dua kemungkinan hasil adalah lebih kurang taburan normal. Ia membolehkan anda mencari nilai kebarangkalian anggaran.

Jika bagi setiap percubaan bebas kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak adalah sama dengan () dan ialah bilangan percubaan di mana ia benar-benar berlaku, maka kebarangkalian ketaksamaan itu benar adalah hampir (untuk nilai besar) dengan nilai kamiran Laplace.

Fungsi taburan dalam teori kebarangkalian- fungsi yang mencirikan taburan pembolehubah rawak atau vektor rawak; kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada atau sama dengan x, di mana x ialah nombor nyata arbitrari. Jika syarat yang diketahui dipenuhi, ia menentukan sepenuhnya pembolehubah rawak.

Jangkaan- nilai purata pembolehubah rawak (ini ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak, dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian). Dalam kesusasteraan bahasa Inggeris ia dilambangkan dengan , dalam bahasa Rusia - . Dalam statistik, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang kebarangkalian diberikan dan pembolehubah rawak ditakrifkan di atasnya. Iaitu, mengikut definisi, fungsi yang boleh diukur. Kemudian, jika terdapat kamiran Lebesgue atas ruang, maka ia dipanggil jangkaan matematik, atau nilai min, dan dilambangkan .

Varians pembolehubah rawak- ukuran sebaran pembolehubah rawak yang diberikan, iaitu sisihan daripada jangkaan matematik. Ia ditetapkan dalam kesusasteraan Rusia dan asing. Dalam statistik, notasi atau sering digunakan. Punca kuasa dua varians dipanggil sisihan piawai, sisihan piawai, atau sebaran piawai.

Biarkan pembolehubah rawak ditakrifkan pada beberapa ruang kebarangkalian. Kemudian

di mana simbol menandakan jangkaan matematik.

Dalam teori kebarangkalian, dua peristiwa rawak dipanggil berdikari, jika kejadian salah satu daripada mereka tidak mengubah kebarangkalian kejadian yang lain. Begitu juga, dua pembolehubah rawak dipanggil bergantung, jika nilai salah satu daripadanya mempengaruhi kebarangkalian nilai yang lain.

Bentuk termudah bagi hukum nombor besar ialah teorem Bernoulli, yang menyatakan bahawa jika kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dalam semua ujian, maka apabila bilangan percubaan bertambah, kekerapan kejadian itu cenderung kepada kebarangkalian kejadian itu dan berhenti menjadi rawak.

Hukum nombor besar dalam teori kebarangkalian menyatakan bahawa min aritmetik bagi sampel terhingga daripada taburan tetap adalah hampir dengan min teori taburan itu. Bergantung pada jenis penumpuan, perbezaan dibuat antara undang-undang lemah nombor besar, apabila penumpuan berlaku dengan kebarangkalian, dan undang-undang kuat nombor besar, apabila penumpuan hampir pasti.

Maksud umum undang-undang nombor besar ialah tindakan bersama sejumlah besar faktor rawak yang sama dan bebas membawa kepada keputusan yang, dalam had, tidak bergantung kepada peluang.

Kaedah untuk menganggar kebarangkalian berdasarkan analisis sampel terhingga adalah berdasarkan sifat ini. Contoh yang jelas ialah ramalan keputusan pilihan raya berdasarkan tinjauan terhadap sampel pengundi.

Teorem had pusat- kelas teorem dalam teori kebarangkalian yang menyatakan bahawa jumlah bilangan pembolehubah rawak bersandar lemah yang cukup besar yang mempunyai kira-kira skala yang sama (tiada satu pun istilah yang mendominasi atau membuat sumbangan penentu kepada jumlah) mempunyai taburan yang hampir kepada normal.

Oleh kerana banyak pembolehubah rawak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor rawak bersandar lemah, taburannya dianggap normal. Dalam kes ini, syarat mesti dipenuhi bahawa tiada satu pun faktor yang dominan. Teorem had pusat dalam kes ini mewajarkan penggunaan taburan normal.

"Kemalangan bukan kebetulan"... Bunyinya seperti kata ahli falsafah, tetapi sebenarnya, mengkaji secara rawak adalah takdir sains matematik yang hebat. Dalam matematik, peluang ditangani dengan teori kebarangkalian. Formula dan contoh tugas, serta definisi utama sains ini akan dibentangkan dalam artikel.

Apakah teori kebarangkalian?

Teori kebarangkalian adalah salah satu disiplin matematik yang mengkaji peristiwa rawak.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika anda melemparkan syiling ke atas, ia boleh mendarat di kepala atau ekor. Semasa syiling berada di udara, kedua-dua kebarangkalian ini adalah mungkin. Iaitu, kebarangkalian akibat yang mungkin adalah 1:1. Jika seseorang diambil daripada dek 36 kad, maka kebarangkalian akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tiada apa yang perlu diterokai dan diramalkan di sini, terutamanya dengan bantuan formula matematik. Walau bagaimanapun, jika anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, anda boleh mengenal pasti corak tertentu dan, berdasarkannya, meramalkan hasil peristiwa dalam keadaan lain.

Untuk meringkaskan semua perkara di atas, teori kebarangkalian dalam pengertian klasik mengkaji kemungkinan berlakunya salah satu peristiwa yang mungkin dalam nilai berangka.

Dari lembaran sejarah

Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas pertama muncul pada Zaman Pertengahan yang jauh, apabila percubaan untuk meramalkan hasil permainan kad pertama kali timbul.

Pada mulanya, teori kebarangkalian tiada kaitan dengan matematik. Ia dibenarkan oleh fakta atau sifat empirikal sesuatu peristiwa yang boleh diterbitkan semula dalam amalan. Karya pertama dalam bidang ini sebagai disiplin matematik muncul pada abad ke-17. Pengasasnya ialah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Mereka mempelajari perjudian untuk masa yang lama dan melihat corak tertentu, yang mereka memutuskan untuk memberitahu orang ramai.

Teknik yang sama telah dicipta oleh Christiaan Huygens, walaupun dia tidak biasa dengan hasil penyelidikan Pascal dan Fermat. Konsep "teori kebarangkalian", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan olehnya.

Karya Jacob Bernoulli, teorem Laplace dan Poisson juga tidak penting. Mereka menjadikan teori kebarangkalian lebih seperti disiplin matematik. Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas asas menerima bentuk semasa mereka terima kasih kepada aksiom Kolmogorov. Hasil daripada semua perubahan, teori kebarangkalian menjadi salah satu cabang matematik.

Konsep asas teori kebarangkalian. Peristiwa

Konsep utama disiplin ini ialah "peristiwa". Terdapat tiga jenis acara:

Boleh dipercayai. Perkara yang akan berlaku juga (syiling akan jatuh).
Mustahil. Peristiwa yang tidak akan berlaku dalam apa jua keadaan (syiling akan kekal tergantung di udara).
rawak. Yang akan berlaku atau tidak akan berlaku. Mereka boleh dipengaruhi oleh pelbagai faktor yang sangat sukar untuk diramalkan. Jika kita bercakap tentang duit syiling, maka terdapat faktor rawak yang boleh menjejaskan hasilnya: ciri fizikal syiling, bentuknya, kedudukan asalnya, daya lemparan, dsb.

Semua peristiwa dalam contoh ditunjukkan dalam huruf Latin besar, kecuali P, yang mempunyai peranan yang berbeza. Contohnya:

A = "pelajar datang untuk bersyarah."
Ā = "pelajar tidak datang ke kuliah."

Dalam tugas praktikal, peristiwa biasanya ditulis dalam perkataan.

Salah satu ciri acara yang paling penting ialah kemungkinan yang sama. Iaitu, jika anda melambungkan syiling, semua pilihan untuk kejatuhan awal adalah mungkin sehingga ia jatuh. Tetapi peristiwa juga tidak sama mungkin. Ini berlaku apabila seseorang dengan sengaja mempengaruhi sesuatu hasil. Contohnya, "ditanda" bermain kad atau dadu, di mana pusat graviti dialihkan.

Acara juga boleh serasi dan tidak serasi. Acara yang serasi tidak mengecualikan kejadian satu sama lain. Contohnya:

A = "pelajar datang ke kuliah."
B = "pelajar datang ke kuliah."

Peristiwa ini adalah bebas antara satu sama lain, dan kejadian salah satu daripadanya tidak menjejaskan kejadian yang lain. Peristiwa yang tidak serasi ditakrifkan oleh fakta bahawa kejadian satu tidak termasuk kejadian yang lain. Jika kita bercakap tentang duit syiling yang sama, maka kehilangan "ekor" menjadikannya mustahil untuk penampilan "kepala" dalam eksperimen yang sama.

Tindakan pada peristiwa

Peristiwa boleh didarab dan ditambah dengan sewajarnya, penghubung logik "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.

Jumlahnya ditentukan oleh fakta bahawa sama ada peristiwa A atau B, atau dua, boleh berlaku serentak. Jika ia tidak serasi, pilihan terakhir adalah mustahil sama ada A atau B akan dilancarkan.

Pendaraban peristiwa terdiri daripada rupa A dan B pada masa yang sama.

Sekarang kita boleh memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingati asas, teori kebarangkalian dan formula. Contoh penyelesaian masalah di bawah.

Tugasan 1: Syarikat mengambil bahagian dalam pertandingan untuk menerima kontrak untuk tiga jenis kerja. Peristiwa yang mungkin berlaku:

A = "firma akan menerima kontrak pertama."
A 1 = "firma tidak akan menerima kontrak pertama."
B = "firma akan menerima kontrak kedua."
B 1 = "firma tidak akan menerima kontrak kedua"
C = "firma akan menerima kontrak ketiga."
C 1 = "firma tidak akan menerima kontrak ketiga."

Menggunakan tindakan pada acara, kami akan cuba menyatakan situasi berikut:

K = "syarikat akan menerima semua kontrak."

Dalam bentuk matematik, persamaan akan mempunyai bentuk berikut: K = ABC.

M = "syarikat tidak akan menerima satu kontrak pun."

M = A 1 B 1 C 1.

Mari kita rumitkan tugas: H = "syarikat akan menerima satu kontrak." Oleh kerana tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima oleh syarikat (pertama, kedua atau ketiga), adalah perlu untuk merekodkan keseluruhan julat peristiwa yang mungkin:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah satu siri peristiwa di mana firma itu tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin telah direkodkan menggunakan kaedah yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menandakan penghubung "ATAU". Jika kita menterjemah contoh di atas ke dalam bahasa manusia, syarikat akan menerima sama ada kontrak ketiga, atau yang kedua, atau yang pertama. Dengan cara yang sama, anda boleh menulis syarat lain dalam disiplin "Teori Kebarangkalian". Formula dan contoh penyelesaian masalah yang dibentangkan di atas akan membantu anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kebarangkalian

Mungkin, dalam disiplin matematik ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah konsep utama. Terdapat 3 definisi kebarangkalian:

klasik;
statistik;
geometri.

Masing-masing mempunyai tempatnya dalam kajian kebarangkalian. Teori kebarangkalian, formula dan contoh (gred 9) terutamanya menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

Kebarangkalian situasi A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada kejadiannya kepada bilangan semua hasil yang mungkin.

Formulanya kelihatan seperti ini: P(A)=m/n.

A sebenarnya satu peristiwa. Jika kes bertentangan dengan A muncul, ia boleh ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m ialah bilangan kes yang mungkin menguntungkan.

n - semua peristiwa yang boleh berlaku.

Sebagai contoh, A = "lukis kad sut hati." Terdapat 36 kad dalam dek standard, 9 daripadanya adalah hati. Oleh itu, formula untuk menyelesaikan masalah akan kelihatan seperti:

P(A)=9/36=0.25.

Akibatnya, kebarangkalian bahawa kad sut jantung akan diambil dari dek ialah 0.25.

Ke arah matematik yang lebih tinggi

Kini telah diketahui sedikit sebanyak apa itu teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, teori kebarangkalian juga terdapat dalam matematik yang lebih tinggi, yang diajar di universiti. Selalunya ia beroperasi dengan definisi geometri dan statistik bagi teori dan formula kompleks.

Teori kebarangkalian sangat menarik. Adalah lebih baik untuk mula mempelajari formula dan contoh (matematik yang lebih tinggi) kecil - dengan definisi statistik (atau kekerapan) kebarangkalian.

Pendekatan statistik tidak bercanggah dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kes pertama adalah perlu untuk menentukan dengan kebarangkalian kejadian akan berlaku, maka dalam kaedah ini adalah perlu untuk menunjukkan berapa kerap ia akan berlaku. Di sini konsep baru "kekerapan relatif" diperkenalkan, yang boleh dilambangkan dengan W n (A). Formulanya tidak berbeza dengan formula klasik:

Jika formula klasik dikira untuk ramalan, maka formula statistik dikira mengikut keputusan eksperimen. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.

Jabatan kawalan teknologi menyemak produk untuk kualiti. Di antara 100 produk, 3 didapati tidak berkualiti. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian kekerapan produk berkualiti?

A = "penampilan produk berkualiti."

W n (A)=97/100=0.97

Oleh itu, kekerapan produk berkualiti ialah 0.97. Dari mana anda mendapat 97? Daripada 100 produk yang disemak, 3 didapati tidak berkualiti. Kita tolak 3 daripada 100, kita dapat 97, ini adalah jumlah barangan berkualiti.

Sedikit tentang kombinatorik

Satu lagi kaedah teori kebarangkalian dipanggil kombinatorik. Prinsip asasnya ialah jika pilihan A tertentu boleh dibuat dalam m cara yang berbeza, dan pilihan B boleh dibuat dalam n cara yang berbeza, maka pilihan A dan B boleh dibuat dengan pendaraban.

Sebagai contoh, terdapat 5 jalan raya dari bandar A ke bandar B. Terdapat 4 laluan dari bandar B ke bandar C. Dalam berapa banyak cara anda boleh pergi dari bandar A ke bandar C?

Ia mudah: 5x4=20, iaitu, dalam dua puluh cara berbeza anda boleh mendapatkan dari titik A ke titik C.

Mari kita rumitkan tugas. Berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan kad dalam solitaire? Terdapat 36 kad dalam dek - ini adalah titik permulaan. Untuk mengetahui bilangan cara, anda perlu "tolak" satu kad pada satu masa dari titik permulaan dan darab.

Iaitu, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak muat pada skrin kalkulator, jadi ia boleh ditetapkan 36!. Tandakan "!" di sebelah nombor menunjukkan bahawa keseluruhan siri nombor didarab bersama.

Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti pilih atur, penempatan dan gabungan. Setiap daripada mereka mempunyai formula sendiri.

Set tertib unsur-unsur set dipanggil susunan. Peletakan boleh diulang, iaitu satu elemen boleh digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, apabila elemen tidak diulang. n ialah semua elemen, m ialah elemen yang mengambil bahagian dalam penempatan. Formula untuk penempatan tanpa pengulangan akan kelihatan seperti:

A n m =n!/(n-m)!

Sambungan bagi n elemen yang berbeza hanya mengikut susunan peletakan dipanggil pilih atur. Dalam matematik ia kelihatan seperti: P n = n!

Gabungan n unsur m ialah sebatian yang pentingnya unsur-unsur itu dan jumlah bilangannya. Formula akan kelihatan seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

Formula Bernoulli

Dalam teori kebarangkalian, seperti dalam setiap disiplin, terdapat karya penyelidik cemerlang dalam bidang mereka yang telah membawanya ke tahap yang baru. Salah satu karya ini ialah formula Bernoulli, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian tertentu berlaku di bawah keadaan bebas. Ini menunjukkan bahawa kejadian A dalam eksperimen tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa yang sama dalam percubaan awal atau seterusnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Kebarangkalian (p) berlakunya peristiwa (A) adalah tetap bagi setiap percubaan. Kebarangkalian bahawa keadaan akan berlaku tepat m kali dalam n bilangan eksperimen akan dikira dengan formula yang dibentangkan di atas. Sehubungan itu, timbul persoalan bagaimana untuk mengetahui nombor q.

Jika peristiwa A berlaku p beberapa kali, sewajarnya, ia mungkin tidak berlaku. Unit ialah nombor yang digunakan untuk menetapkan semua hasil sesuatu situasi dalam sesuatu disiplin. Oleh itu, q ialah nombor yang menunjukkan kemungkinan kejadian tidak berlaku.

Sekarang anda tahu formula Bernoulli (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah (peringkat pertama) di bawah.

Tugasan 2: Pelawat kedai akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2. 6 pelawat secara bebas memasuki kedai. Apakah kemungkinan pelawat akan membuat pembelian?

Penyelesaian: Oleh kerana tidak diketahui berapa ramai pelawat harus membuat pembelian, satu atau kesemua enam, adalah perlu untuk mengira semua kebarangkalian yang mungkin menggunakan formula Bernoulli.

A = "pelawat akan membuat pembelian."

Dalam kes ini: p = 0.2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugasan). Sehubungan itu, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (memandangkan terdapat 6 pelanggan di kedai). Nombor m berbeza daripada 0 (tiada seorang pelanggan yang akan membuat pembelian) hingga 6 (semua pengunjung kedai akan membeli sesuatu). Akibatnya, kami mendapat penyelesaian:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

Tiada pembeli akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2621.

Bagaimana lagi formula Bernoulli (teori kebarangkalian) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tahap kedua) di bawah.

Selepas contoh di atas, persoalan timbul tentang ke mana perginya C dan r. Relatif kepada p, nombor dengan kuasa 0 akan sama dengan satu. Bagi C, ia boleh didapati dengan formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Oleh kerana dalam contoh pertama m = 0, masing-masing, C = 1, yang pada dasarnya tidak menjejaskan keputusan. Dengan menggunakan formula baharu, mari cuba ketahui apakah kebarangkalian dua pelawat membeli barang.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Teori kebarangkalian tidak begitu rumit. Formula Bernoulli, contoh yang dibentangkan di atas, adalah bukti langsung tentang ini.

Formula Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk mengira situasi rawak kebarangkalian rendah.

Formula asas:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam kes ini λ = n x p. Berikut ialah formula Poisson mudah (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah di bawah.

Tugasan 3: Kilang mengeluarkan 100,000 bahagian. Kejadian bahagian yang rosak = 0.0001. Apakah kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak dalam satu kelompok?

Seperti yang anda lihat, perkahwinan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh itu formula Poisson (teori kebarangkalian) digunakan untuk pengiraan. Contoh penyelesaian masalah seperti ini tidak berbeza dengan tugas lain dalam disiplin; kami menggantikan data yang diperlukan ke dalam formula yang diberikan:

A = "bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak."

p = 0.0001 (mengikut syarat tugas).

n = 100000 (bilangan bahagian).

m = 5 (bahagian yang rosak). Kami menggantikan data ke dalam formula dan mendapatkan:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

Sama seperti formula Bernoulli (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian yang digunakan yang ditulis di atas, persamaan Poisson mempunyai e yang tidak diketahui Malah, ia boleh didapati dengan formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Walau bagaimanapun, terdapat jadual khas yang mengandungi hampir semua nilai e.

Teorem De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli bilangan percubaan adalah cukup besar, dan kebarangkalian kejadian A dalam semua skema adalah sama, maka kebarangkalian kejadian A beberapa kali dalam satu siri ujian boleh didapati dengan Formula Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingati formula Laplace (teori kebarangkalian), contoh masalah adalah di bawah untuk membantu.

Mula-mula, mari cari X m, gantikan data (semuanya disenaraikan di atas) ke dalam formula dan dapatkan 0.025. Menggunakan jadual, kita dapati nombor ϕ(0.025), yang nilainya ialah 0.3988. Sekarang anda boleh menggantikan semua data ke dalam formula:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

Oleh itu, kebarangkalian bahawa risalah akan berfungsi tepat 267 kali ialah 0.03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian masalah dengan bantuan yang akan diberikan di bawah, adalah persamaan yang menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa berdasarkan keadaan yang boleh dikaitkan dengannya. Formula asas adalah seperti berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B ialah peristiwa yang pasti.

P(A|B) ialah kebarangkalian bersyarat, iaitu peristiwa A boleh berlaku dengan syarat peristiwa B adalah benar.

P (B|A) - kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B.

Jadi, bahagian akhir kursus pendek "Teori Kebarangkalian" ialah formula Bayes, contoh penyelesaian kepada masalah yang ada di bawah.

Tugasan 5: Telefon daripada tiga syarikat dibawa ke gudang. Pada masa yang sama, bahagian telefon yang dihasilkan di kilang pertama ialah 25%, pada kedua - 60%, pada ketiga - 15%. Ia juga diketahui bahawa peratusan purata produk yang rosak di kilang pertama ialah 2%, pada kedua - 4%, dan pada ketiga - 1%. Anda perlu mencari kebarangkalian bahawa telefon yang dipilih secara rawak akan rosak.

A = "telefon yang dipilih secara rawak."

B 1 - telefon yang dihasilkan oleh kilang pertama. Sehubungan itu, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk kilang kedua dan ketiga).

Hasilnya kami mendapat:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - dengan itu kami mendapati kebarangkalian setiap pilihan.

Sekarang anda perlu mencari kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa yang diingini, iaitu, kebarangkalian produk yang rosak dalam syarikat:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

Sekarang mari kita gantikan data ke dalam formula Bayes dan dapatkan:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

Artikel itu membentangkan teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung ais disiplin yang luas. Dan selepas semua yang telah ditulis, adalah logik untuk bertanya soalan sama ada teori kebarangkalian diperlukan dalam kehidupan. Sukar untuk orang biasa menjawab; adalah lebih baik untuk bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangi jackpot lebih daripada sekali.

PENGENALAN

Banyak perkara yang tidak dapat kita fahami bukan kerana konsep kita lemah;
tetapi kerana perkara ini tidak termasuk dalam julat konsep kami.
Kozma Prutkov

Matlamat utama mempelajari matematik di institusi pendidikan khusus menengah adalah untuk memberi pelajar satu set pengetahuan dan kemahiran matematik yang diperlukan untuk mempelajari disiplin program lain yang menggunakan matematik untuk satu darjah atau yang lain, untuk keupayaan untuk melakukan pengiraan praktikal, untuk pembentukan dan pembangunan daripada pemikiran logik.

Dalam karya ini, semua konsep asas bahagian matematik "Asas Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", yang disediakan oleh program dan Standard Pendidikan Negeri Pendidikan Vokasional Menengah (Kementerian Pendidikan Persekutuan Rusia. M., 2002). ), diperkenalkan secara konsisten, teorem utama dirumuskan, kebanyakannya tidak terbukti . Masalah utama dan kaedah untuk menyelesaikannya dan teknologi untuk menggunakan kaedah ini untuk menyelesaikan masalah praktikal dipertimbangkan. Pembentangan disertakan dengan ulasan terperinci dan banyak contoh.

Arahan metodologi boleh digunakan untuk membiasakan awal dengan bahan yang sedang dipelajari, semasa mengambil nota tentang kuliah, untuk menyediakan kelas praktikal, untuk menyatukan pengetahuan, kemahiran dan kebolehan yang diperoleh. Di samping itu, manual juga berguna untuk pelajar sarjana muda sebagai alat rujukan, membolehkan mereka mengingati dengan cepat apa yang telah dipelajari sebelum ini.

Di akhir kerja terdapat contoh dan tugasan yang boleh dilakukan oleh pelajar dalam mod kawalan diri.

Garis panduan ini bertujuan untuk pelajar separuh masa dan sepenuh masa.

KONSEP ASAS

Teori kebarangkalian mengkaji corak objektif peristiwa rawak jisim. Ia adalah asas teori untuk statistik matematik, yang berkaitan dengan pembangunan kaedah untuk mengumpul, menerangkan dan memproses keputusan pemerhatian. Melalui pemerhatian (ujian, eksperimen), i.e. pengalaman dalam erti kata yang luas, pengetahuan tentang fenomena dunia sebenar berlaku.

Dalam aktiviti praktikal kami, kami sering menghadapi fenomena yang hasilnya tidak dapat diramalkan, yang hasilnya bergantung kepada peluang.

Fenomena rawak boleh dicirikan oleh nisbah bilangan kejadiannya kepada bilangan percubaan dalam setiap satunya, di bawah keadaan yang sama bagi semua percubaan, ia boleh berlaku atau tidak berlaku.

Teori kebarangkalian adalah satu cabang matematik di mana fenomena rawak (peristiwa) dikaji dan corak dikenal pasti apabila ia diulang secara beramai-ramai.

Statistik matematik ialah satu cabang matematik yang subjeknya adalah kajian kaedah untuk mengumpul, mensistem, memproses dan menggunakan data statistik untuk mendapatkan kesimpulan berasaskan saintifik dan membuat keputusan.

Dalam kes ini, data statistik difahami sebagai satu set nombor yang mewakili ciri kuantitatif ciri-ciri objek yang dikaji yang menarik minat kita. Data statistik diperoleh hasil daripada eksperimen dan pemerhatian yang direka khas.

Data statistik mengikut intipatinya bergantung kepada banyak faktor rawak, oleh itu statistik matematik berkait rapat dengan teori kebarangkalian, yang merupakan asas teorinya.

I. KEBARANGKALIAN. TEOREM PENAMBAHAN DAN PENDARAB KEBARANGKALIAN

1.1. Konsep asas kombinatorik

Dalam cabang matematik, yang dipanggil kombinatorik, beberapa masalah yang berkaitan dengan pertimbangan set dan komposisi pelbagai gabungan unsur set ini diselesaikan. Sebagai contoh, jika kita mengambil 10 nombor berbeza 0, 1, 2, 3,: , 9 dan membuat gabungannya, kita akan mendapat nombor yang berbeza, contohnya 143, 431, 5671, 1207, 43, dsb.

Kami melihat bahawa beberapa kombinasi ini hanya berbeza dalam susunan digit (contohnya, 143 dan 431), yang lain - dalam digit yang disertakan di dalamnya (contohnya, 5671 dan 1207), dan yang lain juga berbeza dalam bilangan digit (contohnya, 143 dan 43).

Oleh itu, gabungan yang terhasil memenuhi pelbagai syarat.

Bergantung pada peraturan komposisi, tiga jenis kombinasi boleh dibezakan: pilih atur, peletakan, gabungan.

Mari kita kenali dulu konsepnya faktorial.

Hasil darab semua nombor asli daripada 1 hingga n termasuk dipanggil n-faktorial dan menulis.

Kira: a); b); V) .

Penyelesaian. A) .

b) Sejak , maka kita boleh meletakkannya daripada kurungan

Kemudian kita dapat

V) .

Penyusunan semula.

Gabungan n unsur yang berbeza antara satu sama lain hanya dalam susunan unsur dipanggil pilih atur.

Pilih atur ditunjukkan oleh simbol P n , dengan n ialah bilangan elemen yang disertakan dalam setiap pilih atur. ( R- huruf pertama perkataan Perancis pilih atur- penyusunan semula).

Bilangan pilih atur boleh dikira menggunakan formula

atau menggunakan faktorial:

Mari kita ingat itu 0!=1 dan 1!=1.

Contoh 2. Dalam berapa banyak cara enam buku yang berbeza boleh disusun pada satu rak?

Penyelesaian. Bilangan cara yang diperlukan adalah sama dengan bilangan pilih atur 6 elemen, i.e.

Penempatan.

Catatan dari m unsur dalam n dalam setiap, sebatian sedemikian dipanggil yang berbeza antara satu sama lain sama ada oleh unsur itu sendiri (sekurang-kurangnya satu), atau mengikut susunan susunannya.

Peletakan ditunjukkan oleh simbol, di mana m- bilangan semua elemen yang ada, n- bilangan elemen dalam setiap gabungan. ( A- huruf pertama perkataan Perancis susunan, yang bermaksud "meletakkan, menyusun").

Pada masa yang sama, dipercayai bahawa nm.

Bilangan penempatan boleh dikira menggunakan formula

mereka. bilangan semua penempatan yang mungkin daripada m unsur oleh n sama dengan produk n integer berturut-turut, yang terbesar ialah m.

Mari kita tulis formula ini dalam bentuk faktorial:

Contoh 3. Berapa banyak pilihan untuk mengedarkan tiga baucar ke sanatorium pelbagai profil boleh disusun untuk lima pemohon?

Penyelesaian. Bilangan pilihan yang diperlukan adalah sama dengan bilangan peletakan 5 elemen 3 elemen, i.e.

Gabungan.

Gabungan adalah semua gabungan yang mungkin bagi m unsur oleh n, yang berbeza antara satu sama lain oleh sekurang-kurangnya satu elemen (di sini m Dan n- nombor asli, dan n m).

Bilangan gabungan daripada m unsur oleh n dilambangkan dengan ( DENGAN-huruf pertama perkataan Perancis gabungan- gabungan).

Secara amnya, bilangan m unsur oleh n sama dengan bilangan penempatan daripada m unsur oleh n, dibahagikan dengan bilangan pilih atur daripada n elemen:

Menggunakan formula faktorial untuk bilangan peletakan dan pilih atur, kami memperoleh:

Contoh 4. Dalam satu pasukan yang terdiri daripada 25 orang, anda perlu memperuntukkan empat orang untuk bekerja di kawasan tertentu. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Penyelesaian. Oleh kerana susunan empat orang yang dipilih tidak penting, ada cara untuk melakukan ini.

Kami dapati menggunakan formula pertama

Di samping itu, apabila menyelesaikan masalah, formula berikut digunakan, menyatakan sifat asas gabungan:

(mengikut takrifan mereka menganggap dan);

1.2. Menyelesaikan masalah gabungan

Tugasan 1. Terdapat 16 subjek yang dipelajari di fakulti. Anda perlu meletakkan 3 subjek pada jadual anda untuk hari Isnin. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Penyelesaian. Terdapat banyak cara untuk menjadualkan tiga item daripada 16 kerana anda boleh mengatur peletakan 16 item sebanyak 3.

Tugasan 2. Daripada 15 objek, anda perlu memilih 10 objek. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Tugasan 3. Empat pasukan mengambil bahagian dalam pertandingan tersebut. Berapa banyak pilihan untuk mengagihkan tempat duduk di antara mereka yang mungkin?

Masalah 4. Dalam berapa carakah rondaan tiga orang askar dan seorang pegawai boleh dibentuk sekiranya terdapat 80 orang askar dan 3 orang pegawai?

Penyelesaian. Anda boleh memilih seorang askar yang sedang meronda

cara, dan pegawai dengan cara. Memandangkan mana-mana pegawai boleh pergi dengan setiap pasukan askar, terdapat begitu banyak cara.

Tugasan 5. Cari , jika diketahui bahawa .

Sejak , kita dapat

Mengikut takrif gabungan ia mengikuti bahawa , . Itu. .

1.3. Konsep peristiwa rawak. Jenis acara. Kebarangkalian kejadian

Sebarang tindakan, fenomena, pemerhatian dengan beberapa hasil yang berbeza, direalisasikan di bawah satu set syarat, akan dipanggil ujian.

Hasil daripada tindakan atau pemerhatian ini dipanggil peristiwa .

Jika sesuatu peristiwa di bawah keadaan tertentu mungkin berlaku atau tidak, maka ia dipanggil rawak . Apabila sesuatu peristiwa pasti berlaku, ia dipanggil boleh dipercayai , dan dalam kes apabila ia jelas tidak boleh berlaku, - mustahil.

Peristiwa itu dipanggil tidak serasi , jika hanya satu daripada mereka yang mungkin muncul setiap kali.

Peristiwa itu dipanggil sendi , jika, dalam keadaan tertentu, kejadian salah satu daripada peristiwa ini tidak mengecualikan kejadian yang lain semasa ujian yang sama.

Peristiwa itu dipanggil bertentangan , jika di bawah keadaan ujian mereka, sebagai satu-satunya hasil, tidak serasi.

Peristiwa biasanya dilambangkan dalam huruf besar abjad Latin: A, B, C, D, : .

Sistem lengkap peristiwa A 1 , A 2 , A 3 , : , A n ialah satu set peristiwa yang tidak serasi, kejadian sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah wajib semasa ujian tertentu.

Jika sistem lengkap terdiri daripada dua peristiwa yang tidak serasi, maka peristiwa tersebut dipanggil bertentangan dan ditetapkan A dan .

Contoh. Kotak itu mengandungi 30 bola bernombor. Tentukan yang mana antara peristiwa berikut adalah mustahil, boleh dipercayai atau bertentangan:

mengeluarkan bola bernombor (A);

mendapat bola dengan nombor genap (DALAM);

mendapat bola dengan nombor ganjil (DENGAN);

mendapat bola tanpa nombor (D).

Yang manakah antara mereka membentuk kumpulan yang lengkap?

Penyelesaian . A- acara yang boleh dipercayai; D- peristiwa mustahil;

Dalam dan DENGAN- peristiwa bertentangan.

Kumpulan lengkap acara terdiri daripada A Dan D, V Dan DENGAN.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa dianggap sebagai ukuran kemungkinan objektif berlakunya peristiwa rawak.

1.4. Takrif klasik kebarangkalian

Nombor yang menyatakan ukuran kemungkinan objektif sesuatu peristiwa berlaku dipanggil kebarangkalian peristiwa ini dan ditunjukkan oleh simbol R(A).

Definisi. Kebarangkalian kejadian A ialah nisbah bilangan hasil m yang memihak kepada kejadian sesuatu peristiwa A, kepada nombor n semua hasil (tidak konsisten, hanya mungkin dan sama mungkin), i.e. .

Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa, adalah perlu, setelah mempertimbangkan pelbagai hasil ujian, untuk mengira semua kemungkinan hasil yang tidak konsisten. n, pilih bilangan hasil m yang kita minati dan hitung nisbahnya m Kepada n.

Sifat berikut mengikuti dari definisi ini:

Kebarangkalian sebarang ujian adalah nombor bukan negatif tidak melebihi satu.

Sesungguhnya, bilangan m acara yang diperlukan adalah dalam . Membahagikan kedua-dua bahagian kepada n, kita dapat

2. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu, kerana .

3. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar, kerana .

Masalah 1. Dalam loteri 1000 tiket, terdapat 200 tiket yang menang. Satu tiket diambil secara rawak. Apakah kebarangkalian tiket ini adalah pemenang?

Penyelesaian. Jumlah bilangan hasil yang berbeza ialah n=1000. Bilangan hasil yang menguntungkan untuk menang ialah m=200. Mengikut formula, kita dapat

Masalah 2. Dalam satu kumpulan 18 bahagian terdapat 4 bahagian yang rosak. 5 bahagian dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa dua daripada 5 bahagian ini akan rosak.

Penyelesaian. Bilangan semua hasil bebas yang sama mungkin n sama dengan bilangan gabungan 18 dengan 5 i.e.

Mari kita hitung nombor m yang memihak kepada peristiwa A. Antara 5 bahagian yang diambil secara rawak, perlu ada 3 bahagian yang baik dan 2 bahagian yang rosak. Bilangan cara untuk memilih dua bahagian yang rosak daripada 4 bahagian yang rosak sedia ada adalah sama dengan bilangan gabungan 4 dengan 2:

Bilangan cara untuk memilih tiga bahagian berkualiti daripada 14 bahagian kualiti yang tersedia adalah sama dengan

Mana-mana kumpulan bahagian yang baik boleh digabungkan dengan mana-mana kumpulan bahagian yang rosak, jadi jumlah bilangan gabungan m berjumlah

Kebarangkalian peristiwa A yang diperlukan adalah sama dengan nisbah bilangan hasil m yang menguntungkan kepada peristiwa ini kepada bilangan n semua hasil bebas yang sama mungkin:

Jumlah bilangan peristiwa terhingga ialah peristiwa yang terdiri daripada kejadian sekurang-kurangnya satu daripadanya.

Jumlah dua peristiwa dilambangkan dengan simbol A+B, dan jumlahnya n peristiwa dengan simbol A 1 +A 2 + : +A n.

Teorem penambahan kebarangkalian.

Kebarangkalian jumlah dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.

Corollary 1. Jika peristiwa A 1, A 2, :,A n membentuk sistem yang lengkap, maka jumlah kebarangkalian kejadian ini adalah sama dengan satu.

Akibat 2. Jumlah kebarangkalian kejadian berlawanan dan sama dengan satu.

Masalah 1. Terdapat 100 tiket loteri. Adalah diketahui bahawa 5 tiket memenangi 20,000 rubel, 10 tiket memenangi 15,000 rubel, 15 tiket memenangi 10,000 rubel, 25 tiket memenangi 2,000 rubel. dan tiada apa-apa untuk selebihnya. Cari kebarangkalian bahawa tiket yang dibeli akan menerima kemenangan sekurang-kurangnya 10,000 rubel.

Penyelesaian. Biarkan A, B dan C menjadi acara yang terdiri daripada fakta bahawa tiket yang dibeli menerima kemenangan bersamaan dengan 20,000, 15,000, dan 10,000 rubel, masing-masing. kerana peristiwa A, B dan C tidak serasi, maka

Tugasan 2. Jabatan surat-menyurat sekolah teknik menerima ujian dalam matematik dari bandar A, B Dan DENGAN. Kebarangkalian menerima ujian dari bandar A bersamaan dengan 0.6, dari bandar DALAM- 0.1. Cari kebarangkalian bahawa ujian seterusnya akan datang dari bandar DENGAN.

Sesetengah pengaturcara, selepas bekerja dalam bidang membangunkan aplikasi komersial biasa, berfikir tentang menguasai pembelajaran mesin dan menjadi penganalisis data. Mereka sering tidak faham mengapa kaedah tertentu berfungsi, dan kebanyakan kaedah pembelajaran mesin kelihatan seperti sihir. Malah, pembelajaran mesin adalah berdasarkan statistik matematik, yang seterusnya adalah berdasarkan teori kebarangkalian. Oleh itu, dalam artikel ini kita akan memberi perhatian kepada konsep asas teori kebarangkalian: kita akan menyentuh definisi kebarangkalian, pengedaran dan menganalisis beberapa contoh mudah.

Anda mungkin tahu bahawa teori kebarangkalian secara konvensional dibahagikan kepada 2 bahagian. Teori kebarangkalian diskret mengkaji fenomena yang boleh diterangkan oleh taburan dengan bilangan terhingga (atau boleh dikira) pilihan tingkah laku yang mungkin (melempar dadu, syiling). Teori kebarangkalian berterusan mengkaji fenomena yang diedarkan pada beberapa set padat, contohnya, pada segmen atau dalam bulatan.

Kita boleh mempertimbangkan subjek teori kebarangkalian menggunakan contoh mudah. Bayangkan diri anda sebagai pembangun penembak. Bahagian penting dalam pembangunan permainan dalam genre ini ialah mekanik menembak. Adalah jelas bahawa penembak di mana semua senjata menembak dengan tepat tidak akan menarik minat pemain. Oleh itu, adalah penting untuk menambah penyebaran pada senjata anda. Tetapi hanya rawak mata hentaman senjata tidak akan membenarkan penalaan halus, jadi melaraskan imbangan permainan akan menjadi sukar. Pada masa yang sama, menggunakan pembolehubah rawak dan pengedarannya boleh menganalisis cara senjata akan berprestasi dengan penyebaran tertentu dan membantu membuat pelarasan yang diperlukan.

Ruang hasil asas

Katakan bahawa daripada beberapa percubaan rawak yang boleh kita ulangi berkali-kali (contohnya, melambung syiling), kita boleh mengeluarkan beberapa maklumat yang boleh diformalkan (kepala atau ekor). Maklumat ini dipanggil hasil asas, dan adalah berguna untuk mempertimbangkan set semua hasil asas, selalunya dilambangkan dengan huruf Ω (Omega).

Struktur ruang ini bergantung sepenuhnya pada sifat eksperimen. Sebagai contoh, jika kita menganggap menembak pada sasaran bulat yang cukup besar, ruang hasil asas akan menjadi bulatan, untuk kemudahan, diletakkan dengan pusat pada sifar, dan hasilnya akan menjadi titik dalam bulatan ini.

Di samping itu, set hasil asas - peristiwa dipertimbangkan (contohnya, mencapai sepuluh teratas ialah bulatan sepusat jejari kecil dengan sasaran). Dalam kes diskret, semuanya agak mudah: kita boleh mendapatkan sebarang acara, termasuk atau mengecualikan hasil asas dalam masa yang terhad. Dalam kes berterusan, segala-galanya adalah lebih rumit: kita memerlukan beberapa kumpulan set yang agak baik untuk dipertimbangkan, dipanggil algebra dengan analogi dengan nombor nyata mudah yang boleh ditambah, ditolak, dibahagikan dan didarab. Set dalam algebra boleh bersilang dan digabungkan, dan hasil operasi akan berada dalam algebra. Ini adalah sifat yang sangat penting untuk matematik yang terletak di sebalik semua konsep ini. Keluarga minimum hanya terdiri daripada dua set - set kosong dan ruang hasil asas.

Ukur dan kebarangkalian

Kebarangkalian ialah satu cara untuk membuat inferens tentang kelakuan objek yang sangat kompleks tanpa memahami cara ia berfungsi. Oleh itu, kebarangkalian ditakrifkan sebagai fungsi peristiwa (daripada kumpulan set yang sangat baik itu) yang mengembalikan nombor - beberapa ciri tentang kekerapan kejadian sedemikian boleh berlaku dalam realiti. Yang pasti, ahli matematik bersetuju bahawa nombor ini harus terletak di antara sifar dan satu. Di samping itu, fungsi ini mempunyai keperluan: kebarangkalian peristiwa mustahil ialah sifar, kebarangkalian keseluruhan set hasil ialah unit, dan kebarangkalian untuk menggabungkan dua peristiwa bebas (set bercapah) adalah sama dengan jumlah kebarangkalian. Nama lain untuk kebarangkalian ialah ukuran kebarangkalian. Selalunya, ukuran Lebesgue digunakan, yang menyamaratakan konsep panjang, luas, isipadu kepada mana-mana dimensi (isipadu n-dimensi), dan dengan itu ia boleh digunakan untuk kelas set yang luas.

Bersama-sama, pengumpulan set hasil asas, keluarga set, dan ukuran kebarangkalian dipanggil ruang kebarangkalian. Mari kita pertimbangkan bagaimana kita boleh membina ruang kebarangkalian untuk contoh menembak pada sasaran.

Pertimbangkan menembak sasaran bulat besar jejari R, yang mustahil terlepas. Dengan set peristiwa asas kita menetapkan bulatan dengan pusat pada asal koordinat jejari R. Memandangkan kita akan menggunakan kawasan (ukuran Lebesgue untuk set dua dimensi) untuk menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa, kita akan menggunakan satu keluarga set boleh diukur (yang mana ukuran ini wujud).

Nota Sebenarnya, ini adalah titik teknikal dan dalam masalah mudah proses menentukan ukuran dan keluarga set tidak memainkan peranan khas. Tetapi adalah perlu untuk memahami bahawa kedua-dua objek ini wujud, kerana dalam banyak buku mengenai teori kebarangkalian teorem bermula dengan perkataan: " Biarkan (Ω,Σ,P) menjadi ruang kebarangkalian...».

Seperti yang dinyatakan di atas, kebarangkalian keseluruhan ruang hasil asas mestilah sama dengan satu. Kawasan (ukuran Lebesgue dua dimensi, yang kita nyatakan λ 2 (A), di mana A ialah peristiwa) bulatan, mengikut formula yang terkenal dari sekolah, adalah sama dengan π *R 2. Kemudian kita boleh memperkenalkan kebarangkalian P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), dan nilai ini sudah pun terletak di antara 0 dan 1 untuk sebarang peristiwa A.

Jika kita mengandaikan bahawa memukul mana-mana titik pada sasaran adalah sama berkemungkinan, pencarian untuk kebarangkalian penembak memukul beberapa kawasan sasaran turun kepada mencari kawasan set ini (dari sini kita boleh membuat kesimpulan bahawa kebarangkalian memukul titik tertentu adalah sifar, kerana luas titik adalah sifar).

Sebagai contoh, kita ingin mengetahui apakah kebarangkalian bahawa penembak akan mencapai sepuluh teratas (peristiwa A - penembak mencapai set yang dikehendaki). Dalam model kami, "sepuluh" diwakili oleh bulatan dengan pusat pada sifar dan jejari r. Maka kebarangkalian untuk masuk ke dalam bulatan ini ialah P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Ini adalah salah satu jenis masalah "kebarangkalian geometri" yang paling mudah - kebanyakan masalah ini memerlukan mencari kawasan.

Pembolehubah rawak

Pembolehubah rawak ialah fungsi yang menukar hasil asas kepada nombor nyata. Sebagai contoh, dalam masalah yang dipertimbangkan, kita boleh memperkenalkan pembolehubah rawak ρ(ω) - jarak dari titik hentaman ke pusat sasaran. Kesederhanaan model kami membolehkan kami mentakrifkan ruang hasil asas secara eksplisit: Ω = (ω = (x,y) nombor sedemikian sehingga x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Kemudian pembolehubah rawak ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Cara pengabstrakan dari ruang probabilistik. Fungsi pengedaran dan ketumpatan

Ia bagus apabila struktur ruang itu terkenal, tetapi pada hakikatnya ini tidak selalu berlaku. Walaupun struktur ruang diketahui, ia boleh menjadi kompleks. Untuk menerangkan pembolehubah rawak jika ungkapannya tidak diketahui, terdapat konsep fungsi taburan, yang dilambangkan dengan F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Fungsi pengedaran mempunyai beberapa sifat:

Pertama, ia adalah antara 0 dan 1.
Kedua, ia tidak berkurangan apabila hujahnya x bertambah.
Ketiga, apabila nombor -x sangat besar, fungsi pengedaran adalah hampir kepada 0, dan apabila x itu sendiri besar, fungsi pengedaran adalah hampir kepada 1.

Mungkin, maksud binaan ini tidak begitu jelas pada bacaan pertama. Satu sifat berguna ialah fungsi pengedaran membolehkan anda mencari kebarangkalian bahawa kuantiti mengambil nilai dari selang. Jadi, P (pembolehubah rawak ξ mengambil nilai dari selang) = F ξ (b)-F ξ (a). Berdasarkan kesamaan ini, kita boleh mengkaji bagaimana nilai ini berubah jika sempadan a dan b selang adalah hampir.

Biarkan d = b-a , kemudian b = a+d . Dan oleh itu, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Untuk nilai kecil d, perbezaan di atas juga kecil (jika pengedaran berterusan). Adalah masuk akal untuk mempertimbangkan hubungan p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Jika, untuk nilai d yang cukup kecil, nisbah ini berbeza sedikit daripada beberapa pemalar p ξ (a), bebas daripada d, maka pada ketika ini pembolehubah rawak mempunyai ketumpatan yang sama dengan p ξ (a).

Nota Pembaca yang sebelum ini menemui konsep terbitan mungkin menyedari bahawa p ξ (a) ialah terbitan bagi fungsi F ξ (x) pada titik a. Walau apa pun, anda boleh mengkaji konsep derivatif dalam artikel mengenai topik ini di laman web Mathprofi.

Sekarang makna fungsi taburan boleh ditakrifkan seperti berikut: derivatifnya (ketumpatan p ξ, yang kami takrifkan di atas) pada titik a menerangkan kekerapan pembolehubah rawak akan jatuh ke dalam selang kecil berpusat di titik a (kejiranan titik a ) berbanding dengan kawasan kejiranan tempat lain . Dalam erti kata lain, lebih cepat fungsi pengedaran berkembang, lebih besar kemungkinan nilai sedemikian akan muncul dalam percubaan rawak.

Mari kita kembali kepada contoh. Kita boleh mengira fungsi taburan untuk pembolehubah rawak, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , yang menandakan jarak dari pusat ke titik pukulan rawak pada sasaran. Mengikut takrifan, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Kita boleh mencari ketumpatan p ρ pembolehubah rawak ini. Mari kita segera ambil perhatian bahawa di luar selang ia adalah sifar, kerana fungsi pengedaran sepanjang selang ini tidak berubah. Pada penghujung selang ini ketumpatan tidak ditentukan. Di dalam selang, ia boleh didapati menggunakan jadual derivatif (contohnya, dari tapak web Mathprofi) dan peraturan asas pembezaan. Terbitan bagi t 2 /R 2 adalah sama dengan 2t/R 2. Ini bermakna kami mendapati ketumpatan pada keseluruhan paksi nombor nyata.

Satu lagi sifat ketumpatan yang berguna ialah kebarangkalian bahawa fungsi mengambil nilai daripada selang, dikira menggunakan kamiran ketumpatan sepanjang selang ini (anda boleh mengetahui perkara ini dalam artikel tentang kamiran yang betul, tidak wajar dan tak tentu pada Mathprofi laman web).

Pada bacaan pertama, kamiran pada selang fungsi f(x) boleh dianggap sebagai luas trapezium melengkung. Sisinya ialah serpihan paksi Lembu, celah (paksi koordinat mendatar), segmen menegak yang menghubungkan titik (a,f(a)), (b,f(b)) pada lengkung dengan titik (a,0), (b,0 ) pada paksi Lembu. Bahagian terakhir ialah serpihan graf bagi fungsi f dari (a,f(a)) hingga (b,f(b)) . Kita boleh bercakap tentang kamiran ke atas selang (-∞; b], apabila untuk nilai negatif yang cukup besar, a, nilai kamiran ke atas selang akan berubah secara diabaikan berbanding dengan perubahan dalam nombor a. Kamiran ke atas selang ialah ditakrifkan dengan cara yang sama)