Biarkan sampel rawak dijana oleh pembolehubah rawak yang diperhatikan ξ, jangkaan dan varians matematik yang tidak diketahui. Adalah dicadangkan untuk menggunakan purata sampel sebagai anggaran untuk ciri-ciri ini

dan varians sampel

. (3.14)

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat anggaran jangkaan dan serakan matematik.

1. Kira jangkaan matematik purata sampel:

Oleh itu, min sampel ialah penganggar tidak berat sebelah untuk .

2. Ingat bahawa keputusan pemerhatian adalah pembolehubah rawak bebas, setiap satunya mempunyai hukum taburan yang sama dengan nilai, yang bermaksud , , . Kami akan menganggap bahawa varians adalah terhingga. Kemudian, menurut teorem Chebyshev tentang hukum nombor besar, untuk mana-mana ε > 0 kesamaan dipegang ,

yang boleh ditulis seperti ini: . (3.16) Membandingkan (3.16) dengan takrifan sifat ketekalan (3.11), kita melihat bahawa anggaran adalah anggaran konsisten jangkaan matematik.

3. Cari varians bagi min sampel:

. (3.17)

Oleh itu, varians anggaran jangkaan matematik berkurangan dalam perkadaran songsang kepada saiz sampel.

Ia boleh dibuktikan bahawa jika pembolehubah rawak ξ bertaburan normal, maka min sampel adalah anggaran berkesan jangkaan matematik, iaitu varians mengambil nilai terkecil berbanding dengan anggaran lain jangkaan matematik. Untuk undang-undang pengedaran lain ξ ini mungkin tidak berlaku.

Varians sampel ialah anggaran berat sebelah varians kerana . (3.18)

Sesungguhnya, menggunakan sifat jangkaan matematik dan formula (3.17), kita dapati

.

Untuk mendapatkan anggaran varians yang tidak berat sebelah, anggaran (3.14) mesti diperbetulkan, iaitu, didarab dengan . Kemudian kita mendapat varians sampel tidak berat sebelah

. (3.19)

Ambil perhatian bahawa formula (3.14) dan (3.19) berbeza hanya dalam penyebut, dan untuk nilai yang besar sampel dan varians tidak berat sebelah berbeza sedikit. Walau bagaimanapun, dengan saiz sampel yang kecil, hubungan (3.19) harus digunakan.

Untuk menganggar sisihan piawai pembolehubah rawak, sisihan piawai yang dipanggil "dibetulkan" digunakan, yang sama dengan punca kuasa dua varians tidak berat sebelah: .

Anggaran selang

Dalam statistik, terdapat dua pendekatan untuk menganggar parameter taburan yang tidak diketahui: titik dan selang. Selaras dengan anggaran titik, yang telah dibincangkan dalam bahagian sebelumnya, hanya titik di sekeliling parameter anggaran terletak ditunjukkan. Walau bagaimanapun, adalah wajar untuk mengetahui sejauh mana parameter ini sebenarnya daripada kemungkinan realisasi anggaran dalam siri pemerhatian yang berbeza.

Jawapan kepada soalan ini - juga anggaran - diberikan oleh kaedah lain untuk menganggar parameter - selang. Selaras dengan kaedah anggaran ini, selang didapati bahawa, dengan kebarangkalian hampir dengan satu, meliputi nilai berangka yang tidak diketahui bagi parameter.

Konsep anggaran selang

Anggaran mata ialah pembolehubah rawak dan untuk pelaksanaan sampel yang mungkin mengambil nilai hanya lebih kurang sama dengan nilai sebenar parameter . Lebih kecil perbezaannya, lebih tepat anggarannya. Oleh itu, nombor positif yang , mencirikan ketepatan anggaran dan dipanggil ralat anggaran (atau ralat marginal).

Kebarangkalian keyakinan(atau kebolehpercayaan) dipanggil kebarangkalian β , yang dengannya ketidaksamaan direalisasikan , iaitu

. (3.20)

Menggantikan ketidaksamaan ketaksamaan berganda setara , atau , kita dapat

Selang waktu , meliputi dengan kebarangkalian β , , parameter tidak diketahui, dipanggil selang keyakinan (atau anggaran selang), kebarangkalian keyakinan yang sepadan β .

Pembolehubah rawak bukan sahaja anggaran, tetapi juga ralat: nilainya bergantung pada kebarangkalian β dan, sebagai peraturan, daripada sampel. Oleh itu, selang keyakinan adalah rawak dan ungkapan (3.21) hendaklah dibaca seperti berikut: “Selang itu akan meliputi parameter dengan kebarangkalian β ”, dan bukan seperti ini: “Parameter akan jatuh ke dalam selang dengan kebarangkalian β ”.

Maksud selang keyakinan ialah apabila mengulangi volum sampel berkali-kali dalam perkadaran relatif kes yang sama dengan β , selang keyakinan sepadan dengan kebarangkalian keyakinan β , meliputi nilai sebenar parameter anggaran. Oleh itu, kebarangkalian keyakinan β mencirikan kebolehpercayaan penilaian keyakinan: lebih banyak β , semakin besar kemungkinan pelaksanaan selang keyakinan mengandungi parameter yang tidak diketahui.

Biarkan eksperimen bebas dijalankan pada pembolehubah rawak dengan jangkaan dan varians matematik yang tidak diketahui, yang memberikan keputusan - . Marilah kita mengira anggaran yang konsisten dan tidak berat sebelah untuk parameter dan .

Sebagai anggaran untuk jangkaan matematik, kami mengambil min aritmetik bagi nilai eksperimen

. (2.9.1)

Mengikut hukum bilangan besar, anggaran ini adalah kaya raya , dengan nilai mengikut kebarangkalian. Penilaian yang sama ini juga tidak berat sebelah , kerana

. (2.9.2)

Varians anggaran ini ialah

. (2.9.3)

Ia boleh ditunjukkan bahawa untuk undang-undang taburan normal anggaran ini adalah berkesan . Untuk undang-undang lain ini mungkin tidak berlaku.

Mari kita sekarang menganggarkan varians. Marilah kita memilih untuk menganggarkan formula untuk varians statistik

. (2.9.4)

Mari kita semak ketekalan anggaran varians. Mari buka kurungan dalam formula (2.9.4)

.

Apabila sebutan pertama menumpu dalam kebarangkalian kepada nilai , dalam kedua - hingga. Oleh itu, anggaran kami menumpu dalam kebarangkalian kepada varians

,

oleh itu dia kaya raya .

Jom semak tidak berpindah anggaran untuk kuantiti . Untuk melakukan ini, kami menggantikan ungkapan (2.9.1) ke dalam formula (2.9.4) dan mengambil kira bahawa pembolehubah rawak berdikari

,

. (2.9.5)

Mari kita bergerak dalam formula (2.9.5) kepada turun naik pembolehubah rawak

Membuka kurungan, kita dapat

,

. (2.9.6)

Mari kita mengira jangkaan matematik nilai (2.9.6), dengan mengambil kira itu

. (2.9.7)

Hubungan (2.9.7) menunjukkan bahawa nilai dikira menggunakan formula (2.9.4) bukanlah anggaran yang tidak berat sebelah untuk penyebaran. Jangkaan matematiknya tidak sama, tetapi agak kurang. Penilaian sedemikian membawa kepada ralat sistematik menurun. Untuk menghapuskan berat sebelah tersebut, anda perlu memperkenalkan pembetulan dengan mendarabkan nilai . Varians statistik yang diperbetulkan ini kemudiannya boleh berfungsi sebagai penganggar tidak berat sebelah untuk varians

. (2.9.8)

Anggaran ini sama sah dengan anggaran , kerana pada nilai .

Dalam amalan, bukannya anggaran (2.9.8), kadangkala lebih mudah untuk menggunakan anggaran setara yang dikaitkan dengan momen statistik awal kedua

. (2.9.9)

Anggaran (2.9.8), (2.9.9) tidak berkesan. Ia boleh ditunjukkan bahawa dalam kes undang-undang taburan normal mereka akan menjadi cekap secara asymptotically (sesuka hati cenderung kepada nilai minimum yang mungkin).

Oleh itu, peraturan berikut untuk memproses bahan statistik terhad dalam jumlah boleh dirumuskan. Jika dalam eksperimen bebas pembolehubah rawak mengambil nilai dengan jangkaan dan serakan matematik yang tidak diketahui, maka untuk menentukan parameter ini seseorang harus menggunakan anggaran anggaran

(2.9.10)

Tamat kerja -

Topik ini tergolong dalam bahagian:

Nota kuliah dalam teori kebarangkalian matematik statistik matematik

Jabatan Matematik Tinggi dan Sains Komputer.. Nota kuliah.. dalam Matematik..

Jika anda memerlukan bahan tambahan mengenai topik ini, atau anda tidak menemui apa yang anda cari, kami mengesyorkan menggunakan carian dalam pangkalan data kerja kami:

Apa yang akan kami lakukan dengan bahan yang diterima:

Jika bahan ini berguna kepada anda, anda boleh menyimpannya ke halaman anda di rangkaian sosial:

Tweet

Semua topik dalam bahagian ini:

Teori kebarangkalian
Teori kebarangkalian adalah cabang matematik di mana corak fenomena jisim rawak dikaji.

Fenomena yang rawak dipanggil
Takrifan statistik kebarangkalian

Peristiwa ialah fenomena rawak yang mungkin muncul atau tidak sebagai hasil daripada pengalaman (fenomena samar-samar). Nyatakan peristiwa dalam huruf Latin besar
Ruang acara asas

Biarkan terdapat banyak peristiwa yang dikaitkan dengan beberapa pengalaman, dan: 1) sebagai hasil daripada pengalaman satu dan hanya satu perkara yang muncul
Tindakan pada peristiwa

Jumlah dua peristiwa dan
Penyusunan semula

Bilangan pilih atur berbeza unsur dilambangkan dengan
Penempatan

Dengan meletakkan elemen mengikut
Gabungan

Gabungan unsur
Formula untuk menambah kebarangkalian untuk peristiwa yang tidak serasi

Teorem. Kebarangkalian jumlah dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.
(1

Formula untuk menambah kebarangkalian untuk peristiwa sewenang-wenangnya
Teorem. Kebarangkalian jumlah dua peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tanpa kebarangkalian hasil darabnya.

Formula pendaraban kebarangkalian
Biarkan dua peristiwa dan diberikan. Pertimbangkan peristiwa itu

Jumlah Formula Kebarangkalian
Biarkan kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi itu dipanggil hipotesis. Mari kita pertimbangkan beberapa peristiwa

Formula Kebarangkalian Hipotesis (Bayesian)
Mari kita pertimbangkan sekali lagi - kumpulan lengkap hipotesis tidak serasi dan peristiwa

Formula Asymptotic Poisson
Dalam kes di mana bilangan ujian adalah besar dan kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku

Kuantiti diskret rawak
Kuantiti rawak ialah kuantiti yang, apabila eksperimen diulang, boleh mengambil nilai berangka yang tidak sama. Pembolehubah rawak dipanggil diskret,

Pembolehubah selanjar rawak
Jika, sebagai hasil percubaan, pembolehubah rawak boleh mengambil sebarang nilai daripada segmen tertentu atau keseluruhan paksi sebenar, maka ia dipanggil berterusan. Undang-undang

Fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi pembolehubah selanjar rawak
Biarlah. Mari kita pertimbangkan satu mata dan berikannya kenaikan

Ciri berangka pembolehubah rawak
Pembolehubah diskret atau selanjar rawak dianggap dinyatakan sepenuhnya jika undang-undang pengedarannya diketahui. Malah, mengetahui undang-undang pengedaran, anda sentiasa boleh mengira kebarangkalian untuk memukul

Kuantil pembolehubah rawak
Jangkaan matematik pembolehubah rawak mencirikan nilai puratanya. Semua nilai pembolehubah rawak dikumpulkan di sekitar nilai ini. Mari kita pertimbangkan dahulu pembolehubah diskret rawak

Sisihan piawai dan serakan pembolehubah rawak
Mari kita pertimbangkan dahulu pembolehubah diskret rawak. Mod ciri berangka, median, kuantil dan jangkaan matematik

Detik pembolehubah rawak
Selain jangkaan dan serakan matematik, teori kebarangkalian menggunakan ciri berangka tertib yang lebih tinggi, yang dipanggil momen pembolehubah rawak.

Teorem tentang ciri berangka pembolehubah rawak
Teorem 1. Jangkaan matematik bagi nilai bukan rawak adalah sama dengan nilai ini sendiri.

Bukti: Biarlah

Undang-undang pengedaran binomial
Undang-undang pengedaran Poisson

Biarkan pembolehubah diskret rawak mengambil nilai
Undang-undang pengedaran seragam

Hukum seragam taburan pembolehubah selanjar rawak ialah hukum fungsi ketumpatan kebarangkalian, yang
Undang-undang pengedaran biasa

Hukum taburan normal bagi pembolehubah selanjar rawak ialah hukum fungsi ketumpatan
Undang-undang pengedaran eksponen

Taburan eksponen atau eksponen pembolehubah rawak digunakan dalam aplikasi teori kebarangkalian seperti teori giliran, teori kebolehpercayaan
Sistem pembolehubah rawak

Dalam amalan, dalam aplikasi teori kebarangkalian, seseorang sering menghadapi masalah di mana keputusan eksperimen diterangkan bukan oleh satu pembolehubah rawak, tetapi oleh beberapa pembolehubah rawak sekaligus.
Sistem dua pembolehubah diskret rawak

Biarkan dua pembolehubah diskret rawak membentuk satu sistem. Pembolehubah rawak
Sistem dua pembolehubah selanjar rawak

Biarkan sekarang sistem dibentuk oleh dua pembolehubah selanjar rawak. Undang-undang pengedaran sistem ini dipanggil mungkin
Undang-undang pengedaran bersyarat

Biarkan kuantiti berterusan rawak bergantung
Ciri berangka sistem dua pembolehubah rawak

Momen awal susunan sistem pembolehubah rawak
Sistem beberapa pembolehubah rawak

Keputusan yang diperoleh untuk sistem dua pembolehubah rawak boleh digeneralisasikan kepada kes sistem yang terdiri daripada bilangan pembolehubah rawak arbitrari.
Biarkan sistem dibentuk oleh satu set

Hukum taburan normal untuk sistem dua pembolehubah rawak
Matlamat utama teori disiplin kebarangkalian adalah untuk mengkaji corak fenomena jisim rawak.

Amalan menunjukkan bahawa pemerhatian jisim fenomena rawak homogen mendedahkan
Ketaksamaan Chebyshev

Pertimbangkan pembolehubah rawak dengan jangkaan matematik
Teorem Chebyshev

Jika pembolehubah rawak adalah bebas berpasangan dan mempunyai varians terhingga, terikat secara kolektif
Teorem Bernoulli

Dengan pertambahan tanpa had dalam bilangan eksperimen, kekerapan kejadian sesuatu peristiwa menumpu dalam kebarangkalian kepada kebarangkalian kejadian itu.
Teorem had pusat

Apabila menambah pembolehubah rawak dengan mana-mana undang-undang pengedaran, tetapi dengan variasi terhad bersama, undang-undang pengedaran
Masalah utama statistik matematik

Undang-undang teori kebarangkalian yang dibincangkan di atas mewakili ungkapan matematik corak sebenar yang sebenarnya wujud dalam pelbagai fenomena jisim rawak.
belajar

Populasi statistik mudah. Fungsi taburan statistik
Mari kita pertimbangkan beberapa pembolehubah rawak yang undang-undang pengedarannya tidak diketahui. Diperlukan berdasarkan pengalaman

Siri statistik. Histogram
Dengan bilangan pemerhatian yang banyak (mengikut susunan ratusan), populasi menjadi menyusahkan dan menyusahkan untuk merekod bahan statistik. Untuk kejelasan dan kekompakan, bahan statistik

Ciri berangka taburan statistik
Dalam teori kebarangkalian, pelbagai ciri berangka pembolehubah rawak telah dipertimbangkan: jangkaan matematik, serakan, momen awal dan pusat pelbagai susunan. Nombor yang serupa

Pemilihan taburan teori menggunakan kaedah momen
Sebarang taburan statistik tidak dapat dielakkan mengandungi unsur rawak yang dikaitkan dengan bilangan pemerhatian yang terhad. Dengan sejumlah besar pemerhatian, unsur-unsur rawak ini terlicin,

Menyemak kebolehpercayaan hipotesis tentang bentuk hukum pengagihan
Biarkan taburan statistik yang diberikan dianggarkan oleh beberapa keluk teori atau

Kriteria persetujuan
Mari kita pertimbangkan salah satu kriteria kebaikan yang paling biasa digunakan - yang dipanggil kriteria Pearson.

teka
Dalam amalan, dengan sebilangan kecil percubaan pada pembolehubah rawak, penggantian anggaran parameter yang tidak diketahui

Biarkan terdapat pembolehubah rawak X, dan parameternya ialah jangkaan matematik A dan varians tidak diketahui. N eksperimen bebas telah dijalankan pada nilai X, yang memberikan keputusan x 1, x 2, x n.

Tanpa mengurangkan keluasan penaakulan, kami akan menganggap nilai pembolehubah rawak ini berbeza. Kami akan menganggap nilai x 1, x 2, x n sebagai bebas, pembolehubah rawak teragih sama X 1, X 2, X n.

Kaedah anggaran statistik yang paling mudah - kaedah penggantian dan analogi - terdiri daripada mengambil ciri yang sepadan dengan taburan sampel - ciri sampel - sebagai anggaran satu atau satu lagi ciri berangka (min, varians, dll.) populasi umum .

Menggunakan kaedah penggantian sebagai anggaran jangkaan matematik A kita perlu mengambil jangkaan matematik taburan sampel - min sampel. Oleh itu, kita mendapat

Untuk menyemak tidak berat sebelah dan konsistensi min sampel sebagai anggaran A, anggap statistik ini sebagai fungsi vektor yang dipilih (X 1, X 2, X n). Dengan mengambil kira bahawa setiap kuantiti X 1, X 2, X n mempunyai hukum taburan yang sama dengan nilai X, kami menyimpulkan bahawa ciri berangka bagi kuantiti ini dan nilai X adalah sama: M(X i) = M(X) = a, D(X i) = D(X) = , i = 1, 2, n , di mana X i ialah pembolehubah rawak bebas secara kolektif.

Oleh itu,

Dari sini, mengikut takrifan, kami memperolehi itu adalah anggaran yang tidak berat sebelah A, dan kerana D()®0 untuk n®¥, maka dengan teorem perenggan sebelumnya adalah anggaran konsisten jangkaan matematik A penduduk umum.

Keberkesanan atau ketidakberkesanan anggaran bergantung kepada jenis hukum taburan pembolehubah rawak X. Dapat dibuktikan jika nilai X diagihkan mengikut hukum biasa, maka anggaran itu berkesan. Untuk undang-undang pengedaran lain ini mungkin tidak berlaku.

Anggaran tidak berat sebelah bagi varians am berfungsi sebagai varians sampel yang diperbetulkan

,

Kerana , di manakah varians am. sungguh,

Anggaran s -- 2 untuk varians am juga sah, tetapi ia tidak cekap. Walau bagaimanapun, dalam kes taburan normal, ia adalah "cekap tanpa gejala", iaitu, apabila n meningkat, nisbah variansnya kepada kemungkinan minimum yang mungkin menghampiri perpaduan.

Jadi, jika diberi sampel daripada taburan F( x) pembolehubah rawak X dengan jangkaan matematik yang tidak diketahui A dan penyebaran, kemudian untuk mengira nilai parameter ini kami mempunyai hak untuk menggunakan formula anggaran berikut:

a ,

.

Di sini x- i - - pilihan pensampelan, n- i - - pilihan frekuensi x i, - - saiz sampel.
Untuk mengira varians sampel yang diperbetulkan, formula adalah lebih mudah

.

Untuk memudahkan pengiraan, adalah dinasihatkan untuk beralih kepada pilihan bersyarat (seperti yang berfaedah untuk mengambil versi asal, terletak di tengah-tengah siri variasi selang). Kemudian

, .

Anggaran selang

Di atas kami mempertimbangkan isu menganggarkan parameter yang tidak diketahui A satu nombor. Kami memanggil anggaran tersebut sebagai anggaran mata. Mereka mempunyai kelemahan bahawa dengan saiz sampel yang kecil mereka boleh berbeza dengan ketara daripada parameter yang dianggarkan. Oleh itu, untuk mendapatkan idea tentang kedekatan antara parameter dan anggarannya, apa yang dipanggil anggaran selang diperkenalkan dalam statistik matematik.

Biarkan anggaran titik q * ditemui dalam sampel untuk parameter q. Lazimnya, penyelidik diberikan terlebih dahulu beberapa kebarangkalian g yang cukup besar (contohnya, 0.95, 0.99 atau 0.999) supaya peristiwa dengan kebarangkalian g boleh dianggap secara praktikal pasti, dan mereka menimbulkan persoalan untuk mencari nilai sedemikian e > 0 yang mana

.

Mengubah kesaksamaan ini, kita mendapat:

dan dalam kes ini kita akan mengatakan bahawa selang ]q * - e; q * + e[ meliputi anggaran parameter q dengan kebarangkalian g.

Selang ]q * -e; q * +e [ dipanggil selang keyakinan .

Kebarangkalian g dipanggil kebolehpercayaan (kebarangkalian keyakinan) anggaran selang.

Penghujung selang keyakinan, i.e. titik q * -e dan q * +e dipanggil sempadan amanah .

Nombor e dipanggil ketepatan penilaian .

Sebagai contoh masalah menentukan had keyakinan, pertimbangkan soalan menganggar jangkaan matematik pembolehubah rawak X, yang mempunyai hukum taburan normal dengan parameter. A dan s, i.e. X = N( a, s). Jangkaan matematik dalam kes ini adalah sama dengan A. Berdasarkan pemerhatian X 1, X 2, X n, kami mengira purata dan penilaian penyebaran s 2.

Ternyata daripada data sampel adalah mungkin untuk membina pembolehubah rawak

yang mempunyai taburan Pelajar (atau taburan-t) dengan n = n -1 darjah kebebasan.

Mari kita gunakan Jadual A.1.3 dan cari untuk kebarangkalian yang diberi g dan nombor n nombor t g supaya kebarangkalian

P(|t(n)|< t g) = g,

.

Setelah membuat perubahan yang jelas yang kita dapat,

Prosedur untuk menggunakan ujian F adalah seperti berikut:

1. Andaian dibuat bahawa taburan populasi adalah normal. Pada tahap keertian tertentu a, hipotesis nol H 0: s x 2 = s y 2 dirumuskan tentang kesamaan varians umum populasi normal di bawah hipotesis bersaing H 1: s x 2 > s y 2.

2. Dua sampel bebas diperoleh daripada populasi X dan Y bagi isipadu n x dan n y, masing-masing.

3. Kira nilai varians sampel yang diperbetulkan s x 2 dan s y 2 (kaedah pengiraan dibincangkan dalam §13.4). Lebih besar daripada varians (s x 2 atau s y 2) ditetapkan s 1 2, lebih kecil - s 2 2.

4. Nilai kriteria F dikira menggunakan formula F obs = s 1 2 / s 2 2.

5. Menggunakan jadual titik kritikal taburan Fisher-Snedecor, pada aras keertian a dan bilangan darjah kebebasan n 1 = n 1 - 1, n 2 = n 2 - 1 (n 1 ialah bilangan darjah kebebasan varians diperbetulkan yang lebih besar), titik kritikal didapati F cr (a, n 1, n 2).

Ambil perhatian bahawa Jadual A.1.7 menunjukkan nilai kritikal bagi ujian F satu sisi. Oleh itu, jika kriteria dua belah digunakan (H 1: s x 2 ¹ s y 2), maka titik kritikal sebelah kanan F cr (a/2, n 1, n 2) dicari mengikut tahap keertian a/ 2 (separuh nilai yang ditentukan) dan bilangan kebebasan kuasa n 1 dan n 2 (n 1 ialah bilangan darjah kebebasan penyebaran yang lebih besar). Titik kritikal sebelah kiri mungkin tidak ditemui.

6. Kesimpulan dibuat: jika nilai pengiraan bagi kriteria-F adalah lebih besar daripada atau sama dengan nilai kritikal (F obs ³ F cr), maka varians berbeza dengan ketara pada tahap keertian tertentu. Jika tidak (F obs.< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Masalah 15.1. Penggunaan bahan mentah seunit pengeluaran menggunakan teknologi lama ialah:

Menggunakan teknologi baharu:

Dengan mengandaikan bahawa populasi umum X dan Y yang sepadan mempunyai taburan normal, semak bahawa dari segi kebolehubahan, penggunaan bahan mentah untuk teknologi baru dan lama tidak berbeza, jika kita mengambil tahap keertian a = 0.1.

Penyelesaian. Kami meneruskan mengikut susunan yang ditunjukkan di atas.

1. Kami akan menilai kebolehubahan penggunaan bahan mentah oleh teknologi baharu dan lama berdasarkan nilai serakan. Oleh itu, hipotesis nol mempunyai bentuk H 0: s x 2 = s y 2. Sebagai hipotesis yang bersaing, kami menerima hipotesis H 1: s x 2 ¹ s y 2, kerana kami tidak pasti terlebih dahulu bahawa mana-mana varians am adalah lebih besar daripada yang lain.

2-3. Mari cari varians sampel. Untuk memudahkan pengiraan, mari kita beralih kepada pilihan bersyarat:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

Kami akan menyusun semua pengiraan dalam bentuk jadual berikut:

u i	m i	m i u i	m i u i 2	m i (u i +1) 2		v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

Kawalan: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = Kawalan: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

Mari cari varians sampel yang diperbetulkan:

4. Mari kita bandingkan varians. Mari cari nisbah varians diperbetulkan yang lebih besar kepada yang lebih kecil:

.

5. Mengikut syarat, hipotesis bersaing mempunyai bentuk s x 2 ¹ s y 2, oleh itu kawasan genting adalah dua belah dan apabila mencari titik genting, aras keertian hendaklah diambil iaitu separuh daripada yang diberikan.

Menurut Jadual A.1.7, menggunakan aras keertian a/2 = 0.1/2 = 0.05 dan bilangan darjah kebebasan n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8, kita dapati titik kritikal F cr ( 0.05; 8) = 3.28.

6. Sejak F obs.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

Di atas, apabila menguji hipotesis, kami menganggap taburan normal pembolehubah rawak yang dikaji. Walau bagaimanapun, kajian khas telah menunjukkan bahawa algoritma yang dicadangkan adalah sangat stabil (terutama dengan saiz sampel yang besar) berkenaan dengan sisihan daripada taburan normal.

Parameter dan statistik pengedaran

Sebarang parameter taburan pembolehubah rawak, contohnya, seperti jangkaan atau varians matematik, adalah kuantiti teori yang tidak boleh diukur secara langsung, walaupun ia boleh dianggarkan. Mereka mewakili ciri kuantitatif penduduk dan sendiri boleh ditentukan hanya semasa pemodelan teori sebagai nilai hipotetikal, kerana ia menerangkan ciri-ciri taburan pembolehubah rawak dalam populasi umum itu sendiri. Untuk menentukannya secara praktikal, penyelidik yang menjalankan eksperimen menjalankan penilaian terpilih ke atasnya. Penilaian ini melibatkan pengiraan statistik.

Perangkaan ialah ciri kuantitatif bagi parameter yang dikaji yang mencirikan taburan pembolehubah rawak yang diperoleh berdasarkan kajian nilai sampel. Statistik digunakan sama ada untuk menerangkan sampel itu sendiri, atau, yang paling penting dalam penyelidikan eksperimen asas, untuk menganggar parameter taburan pembolehubah rawak dalam populasi yang dikaji.

Pemisahan konsep "parameter" Dan "perangkaan" adalah sangat penting, kerana ia membolehkan anda mengelakkan beberapa ralat yang berkaitan dengan tafsiran yang salah terhadap data yang diperoleh dalam eksperimen. Hakikatnya ialah apabila kita menganggarkan parameter pengedaran menggunakan data statistik, kita memperoleh nilai yang hanya pada tahap tertentu hampir dengan parameter yang dianggarkan. Hampir selalu terdapat beberapa perbezaan antara parameter dan statistik, dan kami biasanya tidak dapat menyatakan betapa besar perbezaan ini. Secara teorinya, semakin besar sampel, semakin hampir parameter anggaran dengan ciri sampelnya. Walau bagaimanapun, ini tidak bermakna bahawa dengan meningkatkan saiz sampel, kita pasti akan mendekati parameter anggaran dan mengurangkan perbezaan antaranya dan statistik yang dikira. Dalam amalan, semuanya boleh menjadi lebih rumit.

Jika, secara teori, nilai jangkaan statistik bertepatan dengan parameter anggaran, maka anggaran sedemikian dipanggil tidak berpindah. Anggaran di mana nilai jangkaan parameter anggaran berbeza daripada parameter itu sendiri dengan jumlah tertentu dipanggil berpindah.

Ia juga perlu untuk membezakan antara anggaran titik dan selang parameter taburan. Spot dipanggil penilaian menggunakan nombor. Sebagai contoh, jika kita mengatakan bahawa nilai ambang spatial kepekaan sentuhan untuk subjek tertentu dalam keadaan tertentu dan pada kawasan kulit tertentu ialah 21.8 mm, maka anggaran sedemikian akan menjadi titik. Dengan cara yang sama, anggaran mata berlaku apabila laporan cuaca memberitahu kami bahawa suhu di luar tingkap adalah 25°C. Anggaran selang melibatkan penggunaan set atau julat nombor dalam penilaian. Menilai ambang spatial sensitiviti sentuhan, kita boleh mengatakan bahawa ia berada dalam julat dari 20 hingga 25 mm. Begitu juga, peramal cuaca mungkin melaporkan bahawa mengikut ramalan mereka, suhu udara dalam 24 jam akan datang akan mencapai 22–24°C. Anggaran selang pembolehubah rawak membolehkan kita bukan sahaja untuk menentukan nilai yang dikehendaki bagi kuantiti ini, tetapi juga untuk menetapkan kemungkinan ketepatan untuk anggaran sedemikian.

Jangkaan matematik dan penilaiannya

Mari kita kembali kepada eksperimen lambungan syiling kami.

Mari cuba jawab soalan: berapa kali "kepala" harus mendarat jika kita membalikkan syiling sepuluh kali? Jawapannya nampak jelas. Jika kebarangkalian setiap dua hasil adalah sama, maka hasil itu sendiri mesti diagihkan sama rata. Dalam erti kata lain, apabila melambung syiling biasa sepuluh kali, kita boleh menjangkakan bahawa salah satu sisinya, sebagai contoh, "kepala," akan mendarat tepat lima kali. Begitu juga, apabila melambung duit syiling 100 kali, "kepala" sepatutnya muncul tepat 50 kali, dan jika duit syiling dilambung 4236 kali, maka bahagian yang menarik kepada kita harus muncul 2118 kali, tidak lebih dan tidak kurang.

Jadi, makna teori peristiwa rawak biasanya dipanggil jangkaan matematik. Nilai jangkaan boleh didapati dengan mendarabkan kebarangkalian teori pembolehubah rawak dengan bilangan percubaan. Walau bagaimanapun, secara lebih formal, ia ditakrifkan sebagai detik pusat urutan pertama. Oleh itu, jangkaan matematik ialah nilai pembolehubah rawak yang secara teorinya cenderung semasa ujian berulang, di mana ia berubah-ubah.

Adalah jelas bahawa nilai teori jangkaan matematik sebagai parameter taburan tidak selalu sama dengan nilai empirikal pembolehubah rawak yang diminati kepada kita, dinyatakan dalam statistik. Jika kita melakukan eksperimen dengan melambung syiling, maka kemungkinan besar daripada sepuluh hasil, "kepala" akan muncul hanya empat atau tiga kali, atau mungkin, sebaliknya, ia akan muncul lapan kali, atau mungkin ia. tidak akan muncul sama sekali. Adalah jelas bahawa beberapa hasil ini ternyata lebih banyak, ada yang kurang berkemungkinan. Jika kita menggunakan hukum taburan normal, kita boleh membuat kesimpulan bahawa semakin banyak hasil menyimpang daripada yang dijangkakan secara teori, yang ditentukan oleh nilai jangkaan matematik, semakin kecil kemungkinan ia dalam amalan.

Mari kita anggap lagi bahawa kita telah melakukan prosedur yang sama beberapa kali dan tidak pernah memerhatikan nilai yang dijangkakan secara teori. Kemudian kita mungkin mempunyai keraguan tentang keaslian syiling itu. Kita boleh mengandaikan bahawa untuk duit syiling kita kebarangkalian untuk mendapat kepala sebenarnya bukan 50%. Dalam kes ini, mungkin perlu untuk menganggarkan kebarangkalian peristiwa ini dan, dengan itu, nilai jangkaan matematik. Keperluan ini timbul apabila dalam eksperimen kita mengkaji taburan pembolehubah rawak berterusan, seperti masa tindak balas, tanpa mempunyai sebarang model teori terlebih dahulu. Sebagai peraturan, ini adalah langkah wajib pertama dalam pemprosesan kuantitatif keputusan eksperimen.

Jangkaan matematik boleh dianggarkan dalam tiga cara, yang dalam praktiknya boleh memberikan hasil yang sedikit berbeza, tetapi secara teori mereka pasti akan membawa kita kepada nilai jangkaan matematik.

Logik penilaian sedemikian digambarkan dalam Rajah. 1.2. Nilai jangkaan boleh dianggap sebagai kecenderungan pusat dalam taburan pembolehubah rawak X, sebagai nilai yang paling mungkin dan oleh itu paling kerap berlaku dan sebagai titik membahagikan taburan kepada dua bahagian yang sama.

nasi. 1.2.

Mari kita teruskan eksperimen khayalan kita dengan duit syiling dan jalankan tiga eksperimen dengan melambungnya sepuluh kali. Mari kita anggap bahawa dalam percubaan pertama "kepala" muncul empat kali, perkara yang sama berlaku dalam percubaan kedua, dalam percubaan ketiga "kepala" muncul lebih daripada satu setengah kali lebih kerap - tujuh kali. Adalah logik untuk mengandaikan bahawa jangkaan matematik peristiwa yang kita minati sebenarnya terletak di antara nilai-nilai ini.

Pertama, paling mudah kaedah penilaian jangkaan matematik akan mencari min aritmetik. Maka anggaran nilai jangkaan berdasarkan tiga ukuran di atas ialah (4 + 4 + 7)/3 = 5. Begitu juga, dalam eksperimen masa tindak balas, nilai jangkaan boleh dianggarkan dengan mengambil min aritmetik semua nilai yang diperolehi. X. Jadi, jika kita berbelanja n pengukuran masa tindak balas X, maka kita boleh menggunakan formula berikut, yang menunjukkan kepada kita bahawa untuk mengira min aritmetik X adalah perlu untuk menambah semua nilai yang diperoleh secara empirik dan membahagikannya dengan bilangan pemerhatian:

Dalam formula (1.2), ukuran jangkaan matematik biasanya dilambangkan sebagai ̅ X (dibaca sebagai "X dengan bar"), walaupun kadangkala ia boleh ditulis sebagai M (dari bahasa Inggeris bermakna – purata).

Purata aritmetik ialah anggaran jangkaan matematik yang paling biasa digunakan. Dalam kes sedemikian, diandaikan bahawa pembolehubah rawak diukur dalam metrik skala. Jelas bahawa keputusan yang diperolehi mungkin bertepatan atau mungkin tidak dengan nilai sebenar jangkaan matematik, yang tidak pernah kita ketahui. Adalah penting, bagaimanapun, bahawa kaedah ini adalah tidak berat sebelah anggaran jangkaan matematik. Ini bermakna bahawa nilai jangkaan nilai anggaran adalah sama dengan jangkaan matematiknya: .

Kaedah penilaian kedua jangkaan matematik adalah untuk mengambil sebagai nilai nilai yang paling kerap berlaku bagi pembolehubah yang diminati kepada kita. Nilai ini dipanggil mod pengedaran. Sebagai contoh, dalam kes melambung syiling baru sahaja dipertimbangkan, "empat" boleh diambil sebagai nilai jangkaan matematik, kerana dalam tiga ujian yang dijalankan nilai ini muncul dua kali; Itulah sebabnya mod pengedaran dalam kes ini ternyata sama dengan empat. Anggaran mod digunakan terutamanya apabila penguji berurusan dengan pembolehubah yang mengambil nilai diskret yang dinyatakan dalam bukan metrik skala.

Sebagai contoh, dengan menerangkan taburan gred pelajar pada peperiksaan, seseorang boleh membina taburan kekerapan gred yang diterima oleh pelajar. Taburan frekuensi ini dipanggil histogram. Dalam kes ini, anggaran yang paling biasa boleh diambil sebagai nilai kecenderungan memusat (jangkaan matematik). Apabila mengkaji pembolehubah yang dicirikan oleh nilai berterusan, ukuran ini boleh dikatakan tidak digunakan atau jarang digunakan. Jika taburan kekerapan keputusan yang diperoleh bagaimanapun dibina, maka, sebagai peraturan, ia tidak melibatkan nilai-nilai yang diperoleh secara eksperimen bagi ciri yang sedang dikaji, tetapi beberapa selang manifestasinya. Sebagai contoh, dengan mengkaji ketinggian orang, anda boleh melihat berapa ramai orang yang berada dalam julat ketinggian sehingga 150 cm, berapa ramai yang jatuh ke dalam julat dari 150 hingga 155 cm, dsb. Dalam kes ini, mod akan dikaitkan dengan nilai selang ciri yang sedang dikaji, dalam kes ini, ketinggian.

Adalah jelas bahawa mod, seperti min aritmetik, mungkin bertepatan atau mungkin tidak dengan nilai sebenar jangkaan matematik. Tetapi sama seperti min aritmetik, mod adalah anggaran yang tidak berat sebelah bagi jangkaan matematik.

Mari kita tambah bahawa jika dua nilai dalam sampel berlaku sama kerap, maka pengedaran sedemikian dipanggil bimodal. Jika tiga atau lebih nilai dalam sampel berlaku sama kerap, maka sampel tersebut dikatakan tidak mempunyai mod. Kes sedemikian, dengan bilangan pemerhatian yang cukup besar, sebagai peraturan, menunjukkan bahawa data diekstrak daripada populasi umum, sifat taburan yang berbeza daripada biasa.

Akhirnya, kaedah penilaian ketiga jangkaan matematik adalah untuk membahagikan sampel subjek mengikut parameter yang diminati kepada kita tepat pada separuh. Kuantiti yang mencirikan sempadan ini dipanggil median pengagihan.

Katakan kita hadir di pertandingan ski dan selepas ia tamat kita ingin menilai atlet yang mana menunjukkan keputusan melebihi purata dan yang mana di bawah. Sekiranya komposisi peserta lebih kurang sekata, maka apabila menilai hasil purata adalah logik untuk mengira min aritmetik. Walau bagaimanapun, mari kita anggap bahawa di kalangan peserta profesional terdapat beberapa orang amatur. Terdapat sedikit daripada mereka, tetapi mereka menunjukkan hasil yang jauh lebih rendah daripada yang lain. Dalam kes ini, ia mungkin ternyata bahawa daripada 100 peserta dalam pertandingan, sebagai contoh, 87 menunjukkan keputusan di atas purata Jelas bahawa penilaian kecenderungan purata seperti itu tidak selalu memuaskan kami. Dalam kes ini, adalah logik untuk mengandaikan bahawa keputusan purata ditunjukkan oleh peserta yang mengambil tempat di tempat ke-50 atau ke-51. Ini akan menjadi median pengedaran. Sebelum finalis ke-50, 49 peserta tamat, selepas ke-51 - juga 49. Walau bagaimanapun, tidak jelas, keputusan siapa di antara mereka harus diambil sebagai purata. Sudah tentu, ia mungkin ternyata bahawa mereka selesai dalam masa yang sama. Kemudian tidak ada masalah. Masalah tidak timbul apabila bilangan pemerhatian adalah ganjil. Walau bagaimanapun, dalam kes lain, anda boleh menggunakan purata keputusan dua peserta.

Median ialah kes khas bagi kuantiti taburan. Kuantil adalah sebahagian daripada pengedaran. Secara formal, ia boleh ditakrifkan sebagai nilai kamiran taburan antara dua nilai pembolehubah X. Oleh itu, nilai X akan menjadi median taburan jika nilai kamiran taburan (ketumpatan kebarangkalian) adalah dari -∞ hingga X sama dengan nilai kamiran taburan daripada X kepada +∞. Begitu juga agihan boleh dibahagikan kepada empat, sepuluh atau 100 bahagian. Kuantil sedemikian dipanggil dengan sewajarnya kuartil, desil Dan persentil. Terdapat jenis kuantil yang lain.

Sama seperti dua kaedah sebelumnya untuk menganggar jangkaan matematik, median ialah anggaran jangkaan matematik yang tidak berat sebelah.

Secara teorinya, diandaikan bahawa jika kita benar-benar berurusan dengan taburan normal pembolehubah rawak, maka ketiga-tiga anggaran jangkaan matematik harus memberikan hasil yang sama, kerana semuanya mewakili varian tidak berat sebelah anggaran parameter taburan yang sama bagi pembolehubah rawak yang dianggarkan (lihat Rajah 1.2). Dalam amalan, bagaimanapun, ini jarang berlaku. Ini mungkin disebabkan, khususnya, kepada fakta bahawa taburan yang dianalisis berbeza daripada biasa. Tetapi sebab utama percanggahan sedemikian, sebagai peraturan, ialah dengan menganggar nilai jangkaan matematik, seseorang boleh memperoleh nilai yang berbeza dengan ketara daripada nilai sebenar. Walau bagaimanapun, seperti yang dinyatakan di atas, telah dibuktikan dalam statistik matematik bahawa lebih banyak ujian bebas bagi pembolehubah yang sedang dipertimbangkan dijalankan, semakin hampir nilai anggarannya kepada yang benar.

Oleh itu, dalam amalan, pilihan kaedah untuk menganggar jangkaan matematik tidak ditentukan oleh keinginan untuk mendapatkan anggaran yang lebih tepat dan boleh dipercayai bagi parameter ini, tetapi hanya dengan pertimbangan kemudahan. Juga, peranan tertentu dalam memilih kaedah untuk menganggar jangkaan matematik dimainkan oleh skala pengukuran, yang mencerminkan pemerhatian pembolehubah rawak yang dinilai.

Jangkaan ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak

Jangkaan matematik, definisi, jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret dan berterusan, sampel, jangkaan bersyarat, pengiraan, sifat, masalah, anggaran jangkaan, serakan, fungsi taburan, formula, contoh pengiraan

Kembangkan kandungan

Runtuhkan kandungan

Jangkaan matematik adalah definisi

Salah satu konsep yang paling penting dalam statistik matematik dan teori kebarangkalian, mencirikan taburan nilai atau kebarangkalian pembolehubah rawak. Biasanya dinyatakan sebagai purata wajaran semua parameter yang mungkin bagi pembolehubah rawak. Digunakan secara meluas dalam analisis teknikal, kajian siri nombor, dan kajian proses berterusan dan memakan masa. Ia penting dalam menilai risiko, meramal penunjuk harga apabila berdagang di pasaran kewangan, dan digunakan dalam membangunkan strategi dan kaedah taktik permainan dalam teori perjudian.

Jangkaan matematik adalah nilai purata pembolehubah rawak, taburan kebarangkalian pembolehubah rawak dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian.

Jangkaan matematik adalah ukuran nilai purata pembolehubah rawak dalam teori kebarangkalian. Jangkaan pembolehubah rawak x dilambangkan dengan M(x).

Jangkaan matematik adalah

Jangkaan matematik adalah dalam teori kebarangkalian, purata wajaran semua nilai yang mungkin yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak.

Jangkaan matematik adalah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.

Jangkaan matematik adalah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh.

Jangkaan matematik adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang boleh diperoleh atau hilang oleh pemain, secara purata, untuk setiap pertaruhan. Dalam bahasa perjudian, ini kadangkala dipanggil "pemain kelebihan" (jika ia positif untuk pemain) atau "rumah tepi" (jika ia negatif untuk pemain).

Jangkaan matematik adalah peratusan keuntungan setiap kemenangan didarab dengan keuntungan purata, tolak kebarangkalian kerugian didarab dengan kerugian purata.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak dalam teori matematik

Salah satu ciri berangka yang penting bagi pembolehubah rawak ialah jangkaan matematiknya. Mari kita perkenalkan konsep sistem pembolehubah rawak. Mari kita pertimbangkan satu set pembolehubah rawak yang merupakan keputusan eksperimen rawak yang sama. Jika adalah salah satu daripada nilai yang mungkin sistem, maka peristiwa itu sepadan dengan kebarangkalian tertentu yang memenuhi aksiom Kolmogorov. Fungsi yang ditakrifkan untuk sebarang kemungkinan nilai pembolehubah rawak dipanggil undang-undang pengedaran bersama. Fungsi ini membolehkan anda mengira kebarangkalian sebarang peristiwa daripada. Khususnya, hukum taburan bersama pembolehubah rawak dan, yang mengambil nilai daripada set dan, diberikan oleh kebarangkalian.

Istilah "jangkaan matematik" diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) dan berasal dari konsep "nilai jangkaan kemenangan," yang pertama kali muncul pada abad ke-17 dalam teori perjudian dalam karya Blaise Pascal dan Christiaan Huygens. Walau bagaimanapun, pemahaman teori dan penilaian lengkap pertama konsep ini diberikan oleh Pafnuty Lvovich Chebyshev (pertengahan abad ke-19).

Hukum taburan pembolehubah berangka rawak (fungsi taburan dan siri taburan atau ketumpatan kebarangkalian) menerangkan sepenuhnya kelakuan pembolehubah rawak. Tetapi dalam beberapa masalah, cukup untuk mengetahui beberapa ciri berangka kuantiti yang dikaji (contohnya, nilai purata dan kemungkinan sisihan daripadanya) untuk menjawab soalan yang dikemukakan. Ciri berangka utama pembolehubah rawak ialah jangkaan matematik, varians, mod dan median.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab nilai yang mungkin dan kebarangkalian sepadannya. Kadangkala jangkaan matematik dipanggil purata wajaran, kerana ia lebih kurang sama dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak ke atas sejumlah besar eksperimen. Daripada definisi jangkaan matematik, nilainya adalah tidak kurang daripada nilai terkecil yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan tidak lebih daripada yang terbesar. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah pembolehubah bukan rawak (malar).

Jangkaan matematik mempunyai makna fizikal yang mudah: jika anda meletakkan jisim unit pada garis lurus, meletakkan jisim tertentu pada beberapa titik (untuk pengedaran diskret), atau "menyapu" dengan ketumpatan tertentu (untuk pengedaran yang benar-benar berterusan) , maka titik yang sepadan dengan jangkaan matematik akan menjadi koordinat "pusat graviti" adalah lurus.

Nilai purata pembolehubah rawak ialah nombor tertentu iaitu, seolah-olah, "wakil"nya dan menggantikannya dalam kira-kira anggaran pengiraan. Apabila kami menyebut: "purata masa operasi lampu ialah 100 jam" atau "purata titik hentaman dianjakkan berbanding sasaran sebanyak 2 m ke kanan", kami menunjukkan ciri berangka tertentu pembolehubah rawak yang menerangkan lokasinya pada paksi berangka, i.e. "ciri kedudukan".

Daripada ciri-ciri kedudukan dalam teori kebarangkalian, peranan yang paling penting dimainkan oleh jangkaan matematik pembolehubah rawak, yang kadangkala dipanggil hanya nilai purata pembolehubah rawak.

Pertimbangkan pembolehubah rawak X, mempunyai nilai yang mungkin x1, x2, …, xn dengan kebarangkalian p1, p2, …, pn. Kita perlu mencirikan dengan beberapa nombor kedudukan nilai pembolehubah rawak pada paksi-x, dengan mengambil kira hakikat bahawa nilai-nilai ini mempunyai kebarangkalian yang berbeza. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang dipanggil "purata wajaran" nilai xi, dan setiap nilai xi semasa purata perlu diambil kira dengan "berat" berkadar dengan kebarangkalian nilai ini. Oleh itu, kita akan mengira purata pembolehubah rawak X, yang kami nyatakan M |X|:

Purata wajaran ini dipanggil jangkaan matematik pembolehubah rawak. Oleh itu, kami memperkenalkan satu daripada konsep yang paling penting bagi teori kebarangkalian - konsep jangkaan matematik. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkalian nilai ini.

X disambungkan oleh pergantungan yang pelik dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak ke atas sejumlah besar eksperimen. Pergantungan ini adalah jenis yang sama seperti pergantungan antara kekerapan dan kebarangkalian, iaitu: dengan sejumlah besar eksperimen, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pendekatan pembolehubah rawak (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Daripada kehadiran sambungan antara kekerapan dan kebarangkalian, seseorang boleh menyimpulkan sebagai akibatnya kehadiran sambungan yang serupa antara min aritmetik dan jangkaan matematik. Sesungguhnya, pertimbangkan pembolehubah rawak X, dicirikan oleh siri pengedaran:

Biar terhasil N eksperimen bebas, dalam setiap satunya nilai X mengambil nilai tertentu. Mari kita anggap bahawa nilai x1 muncul m1 masa, nilai x2 muncul m2 sekali, dalam pengertian umum xi muncul mi kali. Mari kita hitung min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi nilai X, yang, berbeza dengan jangkaan matematik M|X| kita menandakan M*|X|:

Dengan peningkatan bilangan eksperimen N frekuensi pi akan menghampiri (bertumpu dalam kebarangkalian) kebarangkalian yang sepadan. Akibatnya, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak M|X| dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen ia akan mendekati (menumpu dalam kebarangkalian) kepada jangkaan matematiknya. Kaitan antara min aritmetik dan jangkaan matematik yang dirumuskan di atas membentuk kandungan salah satu bentuk hukum nombor besar.

Kita sedia maklum bahawa semua bentuk undang-undang nombor besar menyatakan fakta bahawa beberapa purata adalah stabil dalam sebilangan besar eksperimen. Di sini kita bercakap tentang kestabilan min aritmetik daripada satu siri cerapan kuantiti yang sama. Dengan sebilangan kecil eksperimen, min aritmetik keputusannya adalah rawak; dengan peningkatan yang mencukupi dalam bilangan eksperimen, ia menjadi "hampir tidak rawak" dan, menstabilkan, mendekati nilai malar - jangkaan matematik.

Kestabilan purata ke atas sejumlah besar percubaan boleh disahkan dengan mudah secara eksperimen. Sebagai contoh, apabila menimbang badan di makmal pada skala yang tepat, hasil daripada menimbang kita memperoleh nilai baru setiap kali; Untuk mengurangkan ralat pemerhatian, kami menimbang badan beberapa kali dan menggunakan min aritmetik bagi nilai yang diperolehi. Adalah mudah untuk melihat bahawa dengan peningkatan lagi dalam bilangan eksperimen (penimbang), min aritmetik bertindak balas terhadap peningkatan ini semakin berkurangan dan, dengan bilangan eksperimen yang cukup besar, secara praktikalnya tidak lagi berubah.

Perlu diingatkan bahawa ciri yang paling penting bagi kedudukan pembolehubah rawak - jangkaan matematik - tidak wujud untuk semua pembolehubah rawak. Adalah mungkin untuk mengarang contoh pembolehubah rawak sedemikian yang jangkaan matematiknya tidak wujud, kerana jumlah atau kamiran yang sepadan menyimpang. Walau bagaimanapun, kes sebegini tidak begitu menarik untuk diamalkan. Biasanya, pembolehubah rawak yang kita hadapi mempunyai julat nilai yang mungkin terhad dan, sudah tentu, mempunyai jangkaan matematik.

Sebagai tambahan kepada ciri-ciri yang paling penting bagi kedudukan pembolehubah rawak - jangkaan matematik - dalam amalan, ciri-ciri lain kedudukan kadang-kadang digunakan, khususnya, mod dan median pembolehubah rawak.

Mod pembolehubah rawak ialah nilai yang paling berkemungkinan. Istilah "nilai paling berkemungkinan" secara tegasnya hanya terpakai kepada kuantiti tidak berterusan; untuk kuantiti berterusan, mod ialah nilai di mana ketumpatan kebarangkalian adalah maksimum. Angka-angka menunjukkan mod untuk pembolehubah rawak tak selanjar dan berterusan, masing-masing.

Jika poligon taburan (lengkung agihan) mempunyai lebih daripada satu maksimum, taburan itu dipanggil "multimodal".

Kadang-kadang terdapat pengedaran yang mempunyai minimum di tengah dan bukannya maksimum. Pengagihan sedemikian dipanggil "anti-modal".

Dalam kes umum, mod dan jangkaan matematik pembolehubah rawak tidak bertepatan. Dalam kes tertentu, apabila taburan adalah simetri dan modal (iaitu mempunyai mod) dan terdapat jangkaan matematik, maka ia bertepatan dengan mod dan pusat simetri taburan.

Satu lagi ciri kedudukan sering digunakan - apa yang dipanggil median pembolehubah rawak. Ciri ini biasanya digunakan hanya untuk pembolehubah rawak berterusan, walaupun ia boleh ditakrifkan secara rasmi untuk pembolehubah tak selanjar. Secara geometri, median ialah absis titik di mana kawasan yang dilingkungi oleh lengkung taburan dibahagikan kepada separuh.

Dalam kes taburan modal simetri, median bertepatan dengan jangkaan dan mod matematik.

Jangkaan matematik ialah nilai purata pembolehubah rawak - ciri berangka bagi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak. Dalam cara yang paling umum, jangkaan matematik pembolehubah rawak X(w) ditakrifkan sebagai kamiran Lebesgue berkenaan dengan ukuran kebarangkalian R dalam ruang kebarangkalian asal:

Jangkaan matematik juga boleh dikira sebagai kamiran Lebesgue X dengan taburan kebarangkalian px kuantiti X:

Konsep pembolehubah rawak dengan jangkaan matematik tak terhingga boleh ditakrifkan secara semula jadi. Contoh biasa ialah masa kembali beberapa jalan rawak.

Dengan menggunakan jangkaan matematik, banyak ciri berangka dan fungsi bagi sesuatu taburan ditentukan (sebagai jangkaan matematik bagi fungsi sepadan pembolehubah rawak), contohnya, fungsi penjanaan, fungsi ciri, momen bagi sebarang susunan, khususnya serakan, kovarians .

Jangkaan matematik adalah ciri lokasi nilai pembolehubah rawak (nilai purata pengedarannya). Dalam kapasiti ini, jangkaan matematik berfungsi sebagai beberapa parameter taburan "tipikal" dan peranannya adalah serupa dengan peranan momen statik - koordinat pusat graviti taburan jisim - dalam mekanik. Daripada ciri-ciri lain lokasi dengan bantuan yang taburan diterangkan dalam istilah umum - median, mod, jangkaan matematik berbeza dalam nilai yang lebih besar bahawa ia dan ciri serakan yang sepadan - penyebaran - ada dalam teorem had teori kebarangkalian. Maksud jangkaan matematik didedahkan sepenuhnya oleh undang-undang nombor besar (ketaksamaan Chebyshev) dan undang-undang nombor besar yang diperkukuh.

Jangkaan pembolehubah rawak diskret

Biarkan terdapat beberapa pembolehubah rawak yang boleh mengambil salah satu daripada beberapa nilai berangka (contohnya, bilangan mata semasa membaling dadu boleh menjadi 1, 2, 3, 4, 5 atau 6). Selalunya dalam amalan, untuk nilai sedemikian, persoalan timbul: apakah nilai yang diperlukan "secara purata" dengan sejumlah besar ujian? Apakah purata pendapatan (atau kerugian) kita daripada setiap transaksi berisiko?

Katakan ada sejenis loteri. Kami ingin memahami sama ada ia menguntungkan atau tidak untuk mengambil bahagian di dalamnya (atau mengambil bahagian berulang kali, secara kerap). Katakan setiap tiket keempat adalah pemenang, hadiahnya ialah 300 rubel, dan harga mana-mana tiket ialah 100 rubel. Dengan jumlah penyertaan yang tidak terhingga, inilah yang berlaku. Dalam tiga perempat kes kita akan kalah, setiap tiga kerugian akan menelan belanja 300 rubel. Dalam setiap kes keempat kami akan memenangi 200 rubel. (hadiah tolak kos), iaitu, untuk empat penyertaan kami kehilangan purata 100 rubel, untuk satu - secara purata 25 rubel. Secara keseluruhan, kadar purata kerosakan kami ialah 25 rubel setiap tiket.

Kita baling dadu. Jika ia tidak menipu (tanpa mengalihkan pusat graviti, dsb.), maka berapa banyak mata yang kita akan ada secara purata pada satu masa? Oleh kerana setiap pilihan berkemungkinan sama, kita hanya mengambil min aritmetik dan mendapat 3.5. Oleh kerana ini adalah PURATA, tidak perlu marah kerana tiada gulungan tertentu akan memberikan 3.5 mata - baik, kiub ini tidak mempunyai wajah dengan nombor sedemikian!

Sekarang mari kita ringkaskan contoh kita:

Jom tengok gambar yang diberi tadi. Di sebelah kiri ialah jadual taburan pembolehubah rawak. Nilai X boleh mengambil salah satu daripada n nilai yang mungkin (diberikan dalam baris atas). Tidak boleh ada makna lain. Di bawah setiap nilai yang mungkin adalah kebarangkaliannya. Di sebelah kanan ialah formula, di mana M(X) dipanggil jangkaan matematik. Maksud nilai ini ialah dengan bilangan ujian yang banyak (dengan sampel yang besar), nilai purata akan cenderung kepada jangkaan matematik yang sama ini.

Mari kita kembali semula ke kiub bermain yang sama. Jangkaan matematik bilangan mata semasa membaling ialah 3.5 (kira sendiri menggunakan formula jika anda tidak percaya saya). Katakan anda melemparkannya beberapa kali. Keputusannya ialah 4 dan 6. Puratanya ialah 5, iaitu jauh daripada 3.5. Mereka melontar sekali lagi, mereka mendapat 3, iaitu secara purata (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... Entah bagaimana jauh dari jangkaan matematik. Sekarang lakukan percubaan gila - gulung kiub 1000 kali! Dan walaupun puratanya tidak betul-betul 3.5, ia akan hampir dengan itu.

Mari kita hitung jangkaan matematik untuk loteri yang diterangkan di atas. Plat akan kelihatan seperti ini:

Maka jangkaan matematik adalah, seperti yang kami tetapkan di atas:

Perkara lain ialah sukar untuk melakukannya "pada jari" tanpa formula jika terdapat lebih banyak pilihan. Baiklah, katakan akan ada 75% tiket yang hilang, 20% tiket yang menang dan 5% terutamanya yang menang.

Kini beberapa sifat jangkaan matematik.

Mudah untuk dibuktikan:

Faktor malar boleh diambil sebagai tanda jangkaan matematik, iaitu:

Ini ialah kes khas bagi sifat lineariti jangkaan matematik.

Satu lagi akibat daripada kelinearan jangkaan matematik:

iaitu jangkaan matematik jumlah pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik pembolehubah rawak.

Biarkan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas, Kemudian:

Ini juga mudah dibuktikan) Kerja XY itu sendiri adalah pembolehubah rawak, dan jika nilai awal boleh diambil n Dan m nilai mengikut, maka XY boleh mengambil nilai nm. Kebarangkalian setiap nilai dikira berdasarkan fakta bahawa kebarangkalian peristiwa bebas didarab. Akibatnya, kami mendapat ini:

Jangkaan pembolehubah rawak berterusan

Pembolehubah rawak berterusan mempunyai ciri seperti ketumpatan taburan (ketumpatan kebarangkalian). Ia pada dasarnya mencirikan keadaan bahawa pembolehubah rawak mengambil beberapa nilai daripada set nombor nyata dengan lebih kerap, dan beberapa kurang kerap. Sebagai contoh, pertimbangkan graf ini:

Di sini X- pembolehubah rawak sebenar, f(x)- ketumpatan pengedaran. Berdasarkan graf ini, semasa eksperimen nilai X selalunya akan menjadi nombor yang hampir kepada sifar. Peluang sudah melebihi 3 atau menjadi lebih kecil -3 agak teori semata-mata.

Biarkan, sebagai contoh, terdapat pengedaran seragam:

Ini agak konsisten dengan pemahaman intuitif. Katakan, jika kita mendapat banyak nombor nyata rawak dengan taburan seragam, setiap segmen |0; 1| , maka min aritmetik hendaklah kira-kira 0.5.

Sifat jangkaan matematik - kelinearan, dsb., terpakai untuk pembolehubah rawak diskret, juga terpakai di sini.

Hubungan antara jangkaan matematik dan penunjuk statistik lain

Dalam analisis statistik, bersama-sama dengan jangkaan matematik, terdapat sistem penunjuk saling bergantung yang mencerminkan kehomogenan fenomena dan kestabilan proses. Penunjuk variasi selalunya tidak mempunyai makna bebas dan digunakan untuk analisis data selanjutnya. Pengecualian ialah pekali variasi, yang mencirikan kehomogenan data, yang merupakan ciri statistik yang berharga.

Tahap kebolehubahan atau kestabilan proses dalam sains statistik boleh diukur menggunakan beberapa penunjuk.

Penunjuk terpenting yang mencirikan kebolehubahan pembolehubah rawak ialah Penyerakan, yang paling rapat dan secara langsung berkaitan dengan jangkaan matematik. Parameter ini digunakan secara aktif dalam jenis analisis statistik lain (ujian hipotesis, analisis hubungan sebab-akibat, dsb.). Seperti sisihan linear purata, varians juga mencerminkan tahap penyebaran data di sekitar nilai min.

Ia berguna untuk menterjemah bahasa tanda ke dalam bahasa perkataan. Ternyata serakan adalah kuasa dua purata sisihan. Iaitu, nilai purata pertama dikira, kemudian perbezaan antara setiap nilai asal dan purata diambil, kuasa dua, ditambah, dan kemudian dibahagikan dengan bilangan nilai dalam populasi. Perbezaan antara nilai individu dan purata mencerminkan ukuran sisihan. Ia adalah kuasa dua supaya semua sisihan menjadi nombor positif secara eksklusif dan untuk mengelakkan pemusnahan bersama sisihan positif dan negatif apabila menjumlahkan mereka. Kemudian, memandangkan sisihan kuasa dua, kita hanya mengira min aritmetik. Purata - segi empat sama - sisihan. Sisihan adalah kuasa dua dan purata dikira. Jawapan kepada perkataan ajaib "penyebaran" terletak pada tiga perkataan sahaja.

Walau bagaimanapun, dalam bentuk tulennya, seperti min aritmetik, atau indeks, serakan tidak digunakan. Ia adalah penunjuk tambahan dan perantaraan yang digunakan untuk jenis analisis statistik yang lain. Ia tidak mempunyai unit ukuran biasa. Berdasarkan formula, ini ialah kuasa dua unit ukuran data asal.

Mari kita ukur pembolehubah rawak N kali, sebagai contoh, kita mengukur kelajuan angin sepuluh kali dan ingin mencari nilai purata. Bagaimanakah nilai purata berkaitan dengan fungsi taburan?

Atau kita akan membaling dadu berkali-kali. Bilangan mata yang akan muncul pada dadu dengan setiap lontaran adalah pembolehubah rawak dan boleh mengambil sebarang nilai semula jadi dari 1 hingga 6. Purata aritmetik bagi mata yang dijatuhkan yang dikira untuk semua balingan dadu juga merupakan pembolehubah rawak, tetapi untuk besar. N ia cenderung kepada nombor yang sangat spesifik - jangkaan matematik Mx. Dalam kes ini Mx = 3.5.

Bagaimana anda mendapat nilai ini? Biar masuk N ujian n1 apabila anda mendapat 1 mata, n2 sekali - 2 mata dan seterusnya. Kemudian bilangan hasil di mana satu mata jatuh:

Begitu juga untuk hasil apabila 2, 3, 4, 5 dan 6 mata digulung.

Sekarang mari kita anggap bahawa kita mengetahui hukum taburan pembolehubah rawak x, iaitu, kita tahu bahawa pembolehubah rawak x boleh mengambil nilai x1, x2, ..., xk dengan kebarangkalian p1, p2, ..., pk.

Jangkaan matematik Mx pembolehubah rawak x adalah sama dengan:

Jangkaan matematik tidak selalunya merupakan anggaran munasabah bagi beberapa pembolehubah rawak. Oleh itu, untuk menganggarkan purata gaji, adalah lebih munasabah untuk menggunakan konsep median, iaitu nilai sedemikian sehingga bilangan orang yang menerima gaji lebih rendah daripada median dan lebih tinggi bertepatan.

Kebarangkalian p1 bahawa pembolehubah rawak x akan kurang daripada x1/2, dan kebarangkalian p2 bahawa pembolehubah rawak x akan lebih besar daripada x1/2, adalah sama dan sama dengan 1/2. Median tidak ditentukan secara unik untuk semua pengedaran.

Sisihan Piawai atau Piawai dalam statistik, darjah sisihan data pemerhatian atau set daripada nilai AVERAGE dipanggil. Ditandakan dengan huruf s atau s. Sisihan piawai yang kecil menunjukkan bahawa kelompok data mengelilingi min, manakala sisihan piawai yang besar menunjukkan bahawa data awal terletak jauh daripadanya. Sisihan piawai adalah sama dengan punca kuasa dua kuantiti yang dipanggil varians. Ia adalah purata jumlah perbezaan kuasa dua data awal yang menyimpang daripada nilai purata. Sisihan piawai pembolehubah rawak ialah punca kuasa dua varians:

Contoh. Di bawah keadaan ujian apabila menembak pada sasaran, hitung serakan dan sisihan piawai pembolehubah rawak:

Variasi- turun naik, kebolehubahan nilai ciri antara unit populasi. Nilai berangka individu bagi ciri yang terdapat dalam populasi yang dikaji dipanggil varian nilai. Ketidakcukupan nilai purata untuk mencirikan populasi sepenuhnya memaksa kita untuk menambah nilai purata dengan penunjuk yang membolehkan kita menilai tipikal purata ini dengan mengukur kebolehubahan (variasi) ciri yang dikaji. Pekali variasi dikira menggunakan formula:

Julat variasi(R) mewakili perbezaan antara nilai maksimum dan minimum atribut dalam populasi yang dikaji. Penunjuk ini memberikan idea paling umum tentang kebolehubahan ciri yang sedang dikaji, kerana ia hanya menunjukkan perbezaan antara nilai maksimum pilihan. Kebergantungan pada nilai ekstrem sesuatu ciri memberikan skop variasi watak rawak yang tidak stabil.

Sisihan linear purata mewakili min aritmetik bagi sisihan mutlak (modulo) semua nilai populasi yang dianalisis daripada nilai puratanya:

Jangkaan dalam teori perjudian

Jangkaan matematik adalah Jumlah purata wang yang seorang penjudi boleh menang atau kalah pada pertaruhan tertentu. Ini adalah konsep yang sangat penting untuk pemain kerana ia adalah asas kepada penilaian kebanyakan situasi permainan. Jangkaan matematik juga merupakan alat yang optimum untuk menganalisis reka letak kad asas dan situasi permainan.

Katakan anda bermain permainan syiling dengan rakan, bertaruh sama rata $1 setiap kali, tidak kira apa yang berlaku. Ekor bermakna anda menang, kepala bermakna anda kalah. Kemungkinannya adalah satu lawan satu yang ia akan muncul, jadi anda bertaruh $1 hingga $1. Oleh itu, jangkaan matematik anda adalah sifar, kerana Dari sudut pandangan matematik, anda tidak boleh tahu sama ada anda akan mendahului atau kalah selepas dua balingan atau selepas 200.

Keuntungan setiap jam anda adalah sifar. Kemenangan setiap jam ialah jumlah wang yang anda jangkakan untuk menang dalam satu jam. Anda boleh melambung syiling 500 kali dalam sejam, tetapi anda tidak akan menang atau kalah kerana... peluang anda tidak positif mahupun negatif. Jika dilihat, dari sudut pemain yang serius, sistem pertaruhan ini tidak buruk. Tetapi ini hanya membuang masa.

Tetapi katakan seseorang ingin bertaruh $2 melawan $1 anda pada permainan yang sama. Kemudian anda serta-merta mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen daripada setiap pertaruhan. Kenapa 50 sen? Secara purata, anda memenangi satu pertaruhan dan kalah yang kedua. Pertaruhan dolar pertama dan anda akan kehilangan $1, pertaruhan kedua dan anda akan menang $2. Anda bertaruh $1 dua kali dan mendahului $1. Jadi setiap pertaruhan satu dolar anda memberi anda 50 sen.

Jika syiling muncul 500 kali dalam satu jam, kemenangan setiap jam anda sudah menjadi $250, kerana... Secara purata, anda kehilangan satu dolar 250 kali dan memenangi dua dolar 250 kali. $500 tolak $250 bersamaan dengan $250, iaitu jumlah kemenangan. Sila ambil perhatian bahawa nilai jangkaan, iaitu jumlah purata yang anda menangi setiap pertaruhan, ialah 50 sen. Anda memenangi $250 dengan membuat pertaruhan satu dolar 500 kali, yang bersamaan dengan 50 sen setiap pertaruhan.

Jangkaan matematik tiada kaitan dengan keputusan jangka pendek. Lawan anda, yang memutuskan untuk bertaruh $2 terhadap anda, boleh menewaskan anda pada sepuluh pusingan pertama berturut-turut, tetapi anda, yang mempunyai kelebihan pertaruhan 2 berbanding 1, semua perkara lain adalah sama, akan memperoleh 50 sen pada setiap $1 pertaruhan dalam mana-mana keadaan. Tidak ada bezanya sama ada anda menang atau kalah satu pertaruhan atau beberapa pertaruhan, selagi anda mempunyai wang tunai yang mencukupi untuk menampung kos dengan selesa. Jika anda terus bertaruh dengan cara yang sama, maka dalam jangka masa yang panjang kemenangan anda akan menghampiri jumlah jangkaan dalam balingan individu.

Setiap kali anda membuat pertaruhan terbaik (pertaruhan yang mungkin menguntungkan dalam jangka masa panjang), apabila peluang memihak kepada anda, anda pasti akan memenangi sesuatu padanya, tidak kira sama ada anda kalah atau tidak dalam diberi tangan. Sebaliknya, jika anda membuat pertaruhan underdog (pertaruhan yang tidak menguntungkan dalam jangka masa panjang) apabila kemungkinan menentang anda, anda kehilangan sesuatu tanpa mengira sama ada anda menang atau kalah.

Anda membuat pertaruhan dengan hasil terbaik jika jangkaan anda adalah positif, dan ia adalah positif jika kemungkinannya menyebelahi anda. Apabila anda membuat pertaruhan dengan hasil yang paling teruk, anda mempunyai jangkaan negatif, yang berlaku apabila kemungkinannya menentang anda. Pemain yang serius hanya bertaruh pada hasil terbaik jika yang paling teruk berlaku, mereka akan berlipat. Apakah maksud kemungkinan memihak kepada anda? Anda mungkin akan menang lebih daripada peluang sebenar. Kemungkinan sebenar kepala pendaratan adalah 1 berbanding 1, tetapi anda mendapat 2 berbanding 1 disebabkan nisbah kemungkinan. Dalam kes ini, kemungkinan memihak kepada anda. Anda pasti mendapat hasil terbaik dengan jangkaan positif sebanyak 50 sen setiap pertaruhan.

Berikut ialah contoh jangkaan matematik yang lebih kompleks. Rakan menulis nombor dari satu hingga lima dan bertaruh $5 terhadap $1 anda bahawa anda tidak akan meneka nombor itu. Sekiranya anda bersetuju dengan pertaruhan sedemikian? Apakah jangkaan di sini?

Secara purata anda akan salah empat kali. Berdasarkan ini, kemungkinan anda meneka nombor adalah 4 berbanding 1. Kemungkinan anda kehilangan satu dolar pada satu percubaan. Walau bagaimanapun, anda menang 5 berbanding 1, dengan kemungkinan tewas 4 berbanding 1. Jadi kemungkinan besar memihak kepada anda, anda boleh mengambil pertaruhan dan berharap untuk keputusan yang terbaik. Jika anda membuat pertaruhan ini lima kali, secara purata anda akan kehilangan $1 empat kali dan memenangi $5 sekali. Berdasarkan ini, untuk kelima-lima percubaan anda akan memperoleh $1 dengan jangkaan matematik positif sebanyak 20 sen setiap pertaruhan.

Pemain yang menjangkakan untuk menang lebih daripada pertaruhannya, seperti dalam contoh di atas, sedang mengambil peluang. Sebaliknya, dia merosakkan peluangnya apabila dia menjangkakan untuk menang kurang daripada yang dia pertaruhkan. Seorang petaruh boleh mempunyai sama ada jangkaan positif atau negatif, yang bergantung pada sama ada dia menang atau merosakkan peluang.

Jika anda bertaruh $50 untuk memenangi $10 dengan peluang 4 hingga 1 untuk menang, anda akan mendapat jangkaan negatif $2 kerana... Secara purata, anda akan memenangi $10 empat kali dan kehilangan $50 sekali, yang menunjukkan bahawa kerugian setiap pertaruhan ialah $10. Tetapi jika anda bertaruh $30 untuk memenangi $10, dengan kemungkinan yang sama untuk menang 4 berbanding 1, maka dalam kes ini anda mempunyai jangkaan positif sebanyak $2, kerana anda sekali lagi memenangi $10 empat kali dan kehilangan $30 sekali, untuk keuntungan $10. Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa pertaruhan pertama adalah buruk, dan yang kedua adalah baik.

Jangkaan matematik adalah pusat mana-mana situasi permainan. Apabila pembuat taruhan menggalakkan peminat bola sepak untuk bertaruh $11 untuk memenangi $10, dia mempunyai jangkaan positif sebanyak 50 sen pada setiap $10. Jika kasino membayar wang walaupun dari garisan pas dalam craps, maka jangkaan positif kasino ialah kira-kira $1.40 untuk setiap $100, kerana Permainan ini disusun supaya sesiapa yang bertaruh pada baris ini kehilangan 50.7% secara purata dan menang 49.3% daripada jumlah masa. Tidak dinafikan, jangkaan positif yang kelihatan minimum inilah yang membawa keuntungan besar kepada pemilik kasino di seluruh dunia. Seperti yang dinyatakan oleh pemilik kasino Vegas World Bob Stupak, "seperseribu satu peratus kebarangkalian negatif dalam jarak yang cukup jauh akan merosakkan lelaki terkaya di dunia."

Jangkaan apabila bermain Poker

Permainan Poker adalah contoh yang paling ilustrasi dan ilustrasi dari sudut pandangan menggunakan teori dan sifat jangkaan matematik.

Nilai Jangkaan dalam Poker ialah faedah purata daripada keputusan tertentu, dengan syarat keputusan sedemikian boleh dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh. Permainan poker yang berjaya adalah sentiasa menerima pergerakan dengan nilai jangkaan positif.

Maksud matematik jangkaan matematik semasa bermain poker ialah kita sering menghadapi pembolehubah rawak semasa membuat keputusan (kita tidak tahu kad apa yang ada pada lawan di tangannya, kad apa yang akan datang dalam pusingan pertaruhan berikutnya). Kita mesti mempertimbangkan setiap penyelesaian dari sudut pandangan teori nombor besar, yang menyatakan bahawa dengan sampel yang cukup besar, nilai purata pembolehubah rawak akan cenderung kepada jangkaan matematiknya.

Antara formula khusus untuk mengira jangkaan matematik, yang berikut paling sesuai digunakan dalam poker:

Apabila bermain poker, nilai yang dijangkakan boleh dikira untuk kedua-dua pertaruhan dan panggilan. Dalam kes pertama, ekuiti lipatan harus diambil kira, dalam kes kedua, kemungkinan bank itu sendiri. Apabila menilai jangkaan matematik bagi langkah tertentu, anda harus ingat bahawa lipatan sentiasa mempunyai jangkaan sifar. Oleh itu, membuang kad akan sentiasa menjadi keputusan yang lebih menguntungkan daripada sebarang langkah negatif.

Jangkaan memberitahu anda apa yang anda boleh jangkakan (keuntungan atau kerugian) untuk setiap dolar yang anda risiko. Kasino menghasilkan wang kerana jangkaan matematik semua permainan yang dimainkan di dalamnya memihak kepada kasino. Dengan siri permainan yang cukup panjang, anda boleh menjangkakan bahawa pelanggan akan kehilangan wangnya, kerana "kemungkinan" memihak kepada kasino. Walau bagaimanapun, pemain kasino profesional mengehadkan permainan mereka kepada jangka masa yang singkat, dengan itu meningkatkan kemungkinan yang memihak kepada mereka. Begitu juga dengan pelaburan. Jika jangkaan anda positif, anda boleh membuat lebih banyak wang dengan membuat banyak dagangan dalam tempoh yang singkat. Jangkaan ialah peratusan keuntungan setiap kemenangan anda didarabkan dengan keuntungan purata anda, tolak kebarangkalian kerugian anda didarab dengan purata kerugian anda.

Poker juga boleh dipertimbangkan dari sudut jangkaan matematik. Anda mungkin menganggap bahawa langkah tertentu menguntungkan, tetapi dalam beberapa kes ia mungkin bukan yang terbaik kerana langkah lain lebih menguntungkan. Katakan anda mencapai rumah penuh dalam poker cabutan lima kad. Lawan anda membuat pertaruhan. Anda tahu bahawa jika anda menaikkan pertaruhan, dia akan bertindak balas. Oleh itu, menaikkan nampaknya adalah taktik terbaik. Tetapi jika anda menaikkan pertaruhan, dua pemain yang tinggal pasti akan berlipat. Tetapi jika anda memanggil, anda mempunyai keyakinan penuh bahawa dua pemain lain di belakang anda akan melakukan perkara yang sama. Apabila anda menaikkan pertaruhan anda, anda mendapat satu unit, dan apabila anda hanya menelefon anda mendapat dua. Oleh itu, panggilan memberi anda nilai jangkaan positif yang lebih tinggi dan akan menjadi taktik terbaik.

Jangkaan matematik juga boleh memberi gambaran tentang taktik poker mana yang kurang menguntungkan dan yang mana lebih menguntungkan. Sebagai contoh, jika anda memainkan tangan tertentu dan anda fikir kerugian anda akan purata 75 sen termasuk ante, maka anda harus memainkan tangan itu kerana ini lebih baik daripada melipat apabila ante ialah $1.

Satu lagi sebab penting untuk memahami konsep nilai yang dijangkakan ialah ia memberikan anda ketenangan fikiran sama ada anda memenangi pertaruhan atau tidak: jika anda membuat pertaruhan yang baik atau dilipat pada masa yang betul, anda akan tahu bahawa anda telah memperoleh atau menyimpan sejumlah wang yang tidak dapat disimpan oleh pemain yang lemah. Ia lebih sukar untuk dilipat jika anda kecewa kerana lawan anda menarik tangan yang lebih kuat. Dengan semua ini, wang yang anda simpan dengan tidak bermain dan bukannya pertaruhan ditambah kepada kemenangan anda untuk malam atau bulan.

Ingatlah bahawa jika anda bertukar tangan, lawan anda akan memanggil anda, dan seperti yang anda akan lihat dalam artikel Teorem Asas Poker, ini hanyalah salah satu kelebihan anda. Anda sepatutnya gembira apabila ini berlaku. Anda juga boleh belajar untuk menikmati kehilangan tangan kerana anda tahu bahawa pemain lain dalam kedudukan anda akan kehilangan lebih banyak lagi.

Seperti yang dinyatakan dalam contoh permainan syiling pada permulaan, kadar keuntungan setiap jam saling berkaitan dengan jangkaan matematik, dan konsep ini amat penting untuk pemain profesional. Apabila anda pergi bermain poker, anda harus menganggarkan secara mental berapa banyak yang anda boleh menang dalam satu jam permainan. Dalam kebanyakan kes, anda perlu bergantung pada intuisi dan pengalaman anda, tetapi anda juga boleh menggunakan beberapa matematik. Sebagai contoh, anda bermain draw lowball dan anda melihat tiga pemain bertaruh $10 dan kemudian menukar dua kad, yang merupakan taktik yang sangat buruk, anda boleh mengetahui bahawa setiap kali mereka bertaruh $10, mereka kehilangan kira-kira $2. Setiap daripada mereka melakukan ini lapan kali sejam, yang bermaksud bahawa ketiga-tiga mereka kehilangan kira-kira $48 sejam. Anda adalah salah satu daripada baki empat pemain yang lebih kurang sama, jadi empat pemain ini (dan anda antara mereka) mesti membahagikan $48, setiap satu mendapat keuntungan $12 sejam. Peluang setiap jam anda dalam kes ini adalah sama dengan bahagian anda daripada jumlah wang yang hilang oleh tiga pemain buruk dalam satu jam.

Dalam jangka masa yang panjang, jumlah kemenangan pemain adalah jumlah jangkaan matematiknya dalam tangan individu. Lebih banyak tangan anda bermain dengan jangkaan positif, lebih banyak anda menang, dan sebaliknya, lebih banyak tangan anda bermain dengan jangkaan negatif, lebih banyak anda kalah. Akibatnya, anda harus memilih permainan yang boleh memaksimumkan jangkaan positif anda atau menafikan jangkaan negatif anda supaya anda boleh memaksimumkan kemenangan setiap jam anda.

Jangkaan matematik yang positif dalam strategi permainan

Jika anda tahu cara mengira kad, anda boleh mempunyai kelebihan berbanding kasino, selagi mereka tidak menyedari dan membuang anda. Kasino suka pemain mabuk dan tidak tahan dengan pemain mengira kad. Satu kelebihan akan membolehkan anda memenangi lebih banyak kali daripada anda kalah dari semasa ke semasa. Pengurusan wang yang baik menggunakan pengiraan nilai jangkaan boleh membantu anda mengeluarkan lebih banyak keuntungan daripada kelebihan anda dan mengurangkan kerugian anda. Tanpa kelebihan, lebih baik anda memberikan wang itu untuk amal. Dalam permainan di bursa saham, kelebihan diberikan oleh sistem permainan, yang menghasilkan keuntungan yang lebih besar daripada kerugian, perbezaan harga dan komisen. Tiada jumlah pengurusan wang boleh menyelamatkan sistem permainan yang buruk.

Jangkaan positif ditakrifkan sebagai nilai yang lebih besar daripada sifar. Semakin besar angka ini, semakin kuat jangkaan statistik. Jika nilainya kurang daripada sifar, maka jangkaan matematik juga akan menjadi negatif. Semakin besar modul nilai negatif, semakin teruk keadaannya. Jika keputusan adalah sifar, maka penantian adalah pulang modal. Anda hanya boleh menang apabila anda mempunyai jangkaan matematik yang positif dan sistem permainan yang munasabah. Bermain mengikut gerak hati membawa kepada bencana.

Jangkaan matematik dan perdagangan saham

Jangkaan matematik ialah penunjuk statistik yang digunakan secara meluas dan popular apabila menjalankan perdagangan pertukaran dalam pasaran kewangan. Pertama sekali, parameter ini digunakan untuk menganalisis kejayaan perdagangan. Tidak sukar untuk meneka bahawa semakin tinggi nilai ini, semakin banyak sebab untuk menganggap perdagangan yang sedang dikaji berjaya. Sudah tentu, analisis kerja peniaga tidak boleh dijalankan menggunakan parameter ini sahaja. Walau bagaimanapun, nilai yang dikira, digabungkan dengan kaedah lain untuk menilai kualiti kerja, boleh meningkatkan ketepatan analisis dengan ketara.

Jangkaan matematik sering dikira dalam perkhidmatan pemantauan akaun dagangan, yang membolehkan anda menilai dengan cepat kerja yang dilakukan pada deposit. Pengecualian termasuk strategi yang menggunakan "duduk di luar" perdagangan yang tidak menguntungkan. Seorang peniaga mungkin bertuah untuk beberapa waktu, dan oleh itu mungkin tidak ada kerugian dalam kerjanya sama sekali. Dalam kes ini, tidak mungkin untuk dipandu hanya oleh jangkaan matematik, kerana risiko yang digunakan dalam kerja tidak akan diambil kira.

Dalam dagangan pasaran, jangkaan matematik paling kerap digunakan apabila meramalkan keuntungan mana-mana strategi dagangan atau apabila meramalkan pendapatan pedagang berdasarkan data statistik daripada dagangannya sebelum ini.

Berkenaan dengan pengurusan wang, adalah sangat penting untuk memahami bahawa apabila membuat perdagangan dengan jangkaan negatif, tidak ada skim pengurusan wang yang pasti boleh membawa keuntungan yang tinggi. Jika anda terus bermain pasaran saham di bawah syarat-syarat ini, maka tidak kira bagaimana anda menguruskan wang anda, anda akan kehilangan keseluruhan akaun anda, tidak kira betapa besarnya ia pada mulanya.

Aksiom ini benar bukan sahaja untuk permainan atau perdagangan dengan jangkaan negatif, ia juga benar untuk permainan dengan peluang yang sama. Oleh itu, satu-satunya masa anda mempunyai peluang untuk mendapat keuntungan dalam jangka panjang adalah jika anda mengambil dagangan dengan nilai jangkaan positif.

Perbezaan antara jangkaan negatif dan jangkaan positif ialah perbezaan antara hidup dan mati. Tidak kira positif atau negatif jangkaan itu; Apa yang penting ialah sama ada positif atau negatif. Oleh itu, sebelum mempertimbangkan pengurusan wang, anda harus mencari permainan dengan jangkaan positif.

Jika anda tidak mempunyai permainan itu, maka semua pengurusan wang di dunia tidak akan menyelamatkan anda. Sebaliknya, jika anda mempunyai jangkaan yang positif, anda boleh, melalui pengurusan wang yang betul, mengubahnya menjadi fungsi pertumbuhan eksponen. Tidak kira sekecil mana harapan positif itu! Dalam erti kata lain, tidak kira betapa menguntungkan sistem perdagangan berdasarkan kontrak tunggal. Jika anda mempunyai sistem yang memenangi $10 setiap kontrak setiap dagangan (selepas komisen dan slippage), anda boleh menggunakan teknik pengurusan wang untuk menjadikannya lebih menguntungkan daripada sistem yang purata $1,000 setiap dagangan (selepas potongan komisen dan gelinciran).

Apa yang penting bukanlah seberapa menguntungkan sistem itu, tetapi sejauh mana sistem itu boleh dikatakan menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum pada masa hadapan. Oleh itu, persediaan paling penting yang boleh dilakukan oleh peniaga adalah untuk memastikan bahawa sistem akan menunjukkan nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan.

Untuk mempunyai nilai jangkaan yang positif pada masa hadapan, adalah sangat penting untuk tidak mengehadkan darjah kebebasan sistem anda. Ini dicapai bukan sahaja dengan menghapuskan atau mengurangkan bilangan parameter untuk dioptimumkan, tetapi juga dengan mengurangkan seberapa banyak peraturan sistem yang mungkin. Setiap parameter yang anda tambah, setiap peraturan yang anda buat, setiap perubahan kecil yang anda buat pada sistem mengurangkan bilangan darjah kebebasan. Sebaik-baiknya, anda perlu membina sistem yang agak primitif dan mudah yang secara konsisten akan menjana keuntungan kecil dalam hampir mana-mana pasaran. Sekali lagi, adalah penting untuk anda memahami bahawa tidak kira betapa menguntungkan sistem itu, asalkan ia menguntungkan. Wang yang anda buat dalam perdagangan akan dibuat melalui pengurusan wang yang berkesan.

Sistem perdagangan hanyalah alat yang memberikan anda nilai jangkaan positif supaya anda boleh menggunakan pengurusan wang. Sistem yang berfungsi (menunjukkan sekurang-kurangnya keuntungan minimum) dalam hanya satu atau beberapa pasaran, atau mempunyai peraturan atau parameter yang berbeza untuk pasaran yang berbeza, kemungkinan besar tidak akan berfungsi dalam masa nyata untuk tempoh yang cukup lama. Masalah dengan kebanyakan pedagang yang berorientasikan teknikal ialah mereka menghabiskan terlalu banyak masa dan usaha untuk mengoptimumkan pelbagai peraturan dan nilai parameter sistem perdagangan. Ini memberikan hasil yang bertentangan sepenuhnya. Daripada membuang tenaga dan masa komputer untuk meningkatkan keuntungan sistem perdagangan, arahkan tenaga anda untuk meningkatkan tahap kebolehpercayaan untuk mendapatkan keuntungan minimum.

Mengetahui bahawa pengurusan wang hanyalah permainan nombor yang memerlukan penggunaan jangkaan positif, seorang peniaga boleh berhenti mencari "holy grail" perdagangan saham. Sebaliknya, dia boleh mula menguji kaedah dagangannya, mengetahui betapa logiknya kaedah ini, dan sama ada ia memberikan jangkaan positif. Kaedah pengurusan wang yang betul, digunakan untuk mana-mana, walaupun kaedah perdagangan yang sangat sederhana, akan melakukan kerja yang lain sendiri.

Untuk berjaya dalam kerja anda, mana-mana peniaga perlu menyelesaikan tiga tugas paling penting: . Untuk memastikan bahawa bilangan transaksi yang berjaya melebihi kesilapan dan salah pengiraan yang tidak dapat dielakkan; Sediakan sistem dagangan anda supaya anda berpeluang memperoleh wang sekerap mungkin; Mencapai keputusan positif yang stabil daripada operasi anda.

Dan di sini, bagi kami peniaga yang bekerja, jangkaan matematik boleh sangat membantu. Istilah ini adalah salah satu yang penting dalam teori kebarangkalian. Dengan bantuannya, anda boleh memberikan anggaran purata beberapa nilai rawak. Jangkaan matematik pembolehubah rawak adalah serupa dengan pusat graviti, jika anda membayangkan semua kebarangkalian yang mungkin sebagai titik dengan jisim yang berbeza.

Berhubung dengan strategi dagangan, jangkaan matematik keuntungan (atau kerugian) paling kerap digunakan untuk menilai keberkesanannya. Parameter ini ditakrifkan sebagai jumlah produk tahap keuntungan dan kerugian tertentu dan kebarangkalian kejadiannya. Sebagai contoh, strategi perdagangan yang dibangunkan mengandaikan bahawa 37% daripada semua urus niaga akan membawa keuntungan, dan bahagian selebihnya - 63% - tidak akan menguntungkan. Pada masa yang sama, purata pendapatan daripada transaksi yang berjaya ialah $7, dan purata kerugian ialah $1.4. Mari kita mengira jangkaan matematik perdagangan menggunakan sistem ini:

Apakah maksud nombor ini? Ia mengatakan bahawa, mengikut peraturan sistem ini, secara purata kami akan menerima $1,708 daripada setiap transaksi yang ditutup. Memandangkan penarafan kecekapan yang terhasil adalah lebih besar daripada sifar, sistem sedemikian boleh digunakan untuk kerja sebenar. Jika, sebagai hasil pengiraan, jangkaan matematik ternyata negatif, maka ini sudah menunjukkan kerugian purata dan perdagangan sedemikian akan membawa kepada kehancuran.

Jumlah keuntungan setiap transaksi juga boleh dinyatakan sebagai nilai relatif dalam bentuk %. Contohnya:

– peratusan pendapatan setiap 1 transaksi - 5%;

– peratusan operasi dagangan yang berjaya - 62%;

– peratusan kerugian setiap 1 transaksi - 3%;

– peratusan transaksi yang tidak berjaya - 38%;

Iaitu, perdagangan purata akan membawa 1.96%.

Adalah mungkin untuk membangunkan sistem yang, walaupun terdapat banyak perdagangan yang tidak menguntungkan, akan menghasilkan keputusan yang positif, sejak MO>0nya.

Namun, menunggu sahaja tidak cukup. Sukar untuk membuat wang jika sistem memberikan isyarat dagangan yang sangat sedikit. Dalam kes ini, keuntungannya akan setanding dengan faedah bank. Biarkan setiap operasi menghasilkan purata hanya 0.5 dolar, tetapi bagaimana jika sistem itu melibatkan 1000 operasi setahun? Ini akan menjadi jumlah yang sangat ketara dalam masa yang agak singkat. Secara logiknya berikutan daripada ini bahawa satu lagi ciri tersendiri bagi sistem perdagangan yang baik boleh dianggap sebagai tempoh singkat untuk memegang jawatan.

Sumber dan pautan

dic.academic.ru – kamus dalam talian akademik

mathematics.ru – laman web pendidikan dalam matematik

nsu.ru – laman web pendidikan Universiti Negeri Novosibirsk

webmath.ru ialah portal pendidikan untuk pelajar, pemohon dan pelajar sekolah.

laman web matematik pendidikan exponenta.ru

ru.tradimo.com – sekolah perdagangan dalam talian percuma

crypto.hut2.ru – sumber maklumat pelbagai disiplin

poker-wiki.ru – ensiklopedia percuma poker

sernam.ru – Perpustakaan saintifik penerbitan sains semula jadi terpilih

reshim.su – laman web KAMI AKAN MENYELESAIKAN masalah kerja kursus ujian

unfx.ru – Forex di UNFX: latihan, isyarat dagangan, pengurusan amanah

slovopedia.com – Kamus Ensiklopedia Besar Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Panduan anda dalam dunia poker

statanaliz.info – blog maklumat “Analisis data statistik”

forex-trader.rf – Portal Forex-Trader

megafx.ru – analitik Forex semasa

fx-by.com – segala-galanya untuk seorang peniaga