homogen
Dalam pelajaran ini kita akan melihat apa yang dipanggil persamaan pembezaan homogen tertib pertama. Bersama-sama dengan persamaan yang boleh dipisahkan Dan persamaan tak homogen linear alat kawalan jauh jenis ini terdapat dalam hampir mana-mana kerja ujian mengenai topik peresap. Jika anda datang ke halaman dari enjin carian atau tidak begitu yakin dalam memahami persamaan pembezaan, maka pertama-tama saya amat mengesyorkan agar anda mempelajari pelajaran pengenalan mengenai topik - Persamaan pembezaan tertib pertama. Hakikatnya ialah banyak prinsip untuk menyelesaikan persamaan homogen dan teknik yang digunakan akan sama persis dengan persamaan termudah dengan pembolehubah boleh dipisahkan.
Apakah perbezaan antara persamaan pembezaan homogen dan jenis persamaan pembezaan yang lain? Cara paling mudah untuk menjelaskan perkara ini dengan segera adalah dengan contoh khusus.
Contoh 1
Penyelesaian:
apa pertama sekali perlu dianalisis semasa membuat keputusan mana-mana persamaan pembezaan pesanan pertama? Pertama sekali, adalah perlu untuk menyemak sama ada mungkin untuk segera memisahkan pembolehubah menggunakan tindakan "sekolah"? Biasanya analisis ini dilakukan secara mental atau dengan cuba memisahkan pembolehubah dalam draf.
Dalam contoh ini pembolehubah tidak boleh dipisahkan(anda boleh cuba membuang istilah dari bahagian ke bahagian, menimbulkan faktor daripada kurungan, dsb.). Dengan cara ini, dalam contoh ini, fakta bahawa pembolehubah tidak boleh dibahagikan agak jelas kerana kehadiran pengganda.
Timbul persoalan: bagaimana untuk menyelesaikan masalah meresap ini?
Perlu menyemak dan Bukankah persamaan ini homogen?? Pengesahan adalah mudah, dan algoritma pengesahan itu sendiri boleh dirumuskan seperti berikut:
Kepada persamaan asal:
bukannya kita gantikan, bukannya kita gantikan, kami tidak menyentuh terbitan:
Huruf lambda ialah parameter bersyarat, dan di sini ia memainkan peranan berikut: jika, sebagai hasil daripada transformasi, adalah mungkin untuk "memusnahkan" SEMUA lambda dan mendapatkan persamaan asal, maka persamaan pembezaan ini adalah homogen.
Adalah jelas bahawa lambdas dikurangkan dengan serta-merta oleh eksponen: 
Sekarang di sebelah kanan kita keluarkan lambda daripada kurungan: 
dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan lambda yang sama ini:
Akibatnya Semua Lambdas hilang seperti mimpi, seperti kabus pagi, dan kami mendapat persamaan asal.
Kesimpulan: Persamaan ini adalah homogen
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan homogen?
Saya mempunyai berita yang sangat baik. Benar-benar semua persamaan homogen boleh diselesaikan menggunakan penggantian piawai tunggal (!).
Fungsi "permainan" sepatutnya menggantikan kerja beberapa fungsi (juga bergantung pada "x") dan "x":
Mereka hampir selalu menulis secara ringkas:
Kami mengetahui derivatif akan berubah menjadi dengan penggantian sedemikian, kami menggunakan peraturan pembezaan produk. Jika , maka:
Kami menggantikan ke dalam persamaan asal:
Apa yang akan diberikan oleh pengganti sedemikian? Selepas penggantian dan pemudahan ini, kami terjamin kita memperoleh persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. INGAT seperti cinta pertama :) dan, dengan itu, .
Selepas penggantian, kami menjalankan penyederhanaan maksimum: 
Oleh kerana ialah fungsi bergantung kepada "x", terbitannya boleh ditulis sebagai pecahan piawai: .
Oleh itu:
Kami memisahkan pembolehubah, manakala di sebelah kiri anda perlu mengumpul hanya "te", dan di sebelah kanan - hanya "x":
Pembolehubah dipisahkan, mari kita integrasikan: 
Mengikut petua teknikal pertama saya dari artikel itu Persamaan pembezaan tertib pertama dalam banyak kes adalah dinasihatkan untuk "merumuskan" pemalar dalam bentuk logaritma.
Selepas persamaan telah disepadukan, kita perlu melaksanakan penggantian terbalik, ia juga standard dan unik:
Jika , maka
Dalam kes ini:
Dalam 18-19 kes daripada 20, penyelesaian kepada persamaan homogen ditulis sebagai kamiran am.
Jawapan: kamiran am: 
Mengapakah jawapan kepada persamaan homogen hampir selalu diberikan dalam bentuk kamiran am?
Dalam kebanyakan kes, adalah mustahil untuk menyatakan "permainan" secara eksplisit (untuk mendapatkan penyelesaian umum), dan jika mungkin, maka selalunya penyelesaian umum ternyata menyusahkan dan kekok.
Jadi, sebagai contoh, dalam contoh yang dipertimbangkan, penyelesaian umum boleh diperolehi dengan menimbang logaritma pada kedua-dua belah kamiran am: 
- Baiklah, tidak mengapa. Walaupun, anda mesti mengakui, ia masih sedikit bengkok.
Ngomong-ngomong, dalam contoh ini saya tidak menulis kamiran am dengan agak "sopan". Ia bukan satu kesilapan, tetapi dalam gaya "baik", saya mengingatkan anda bahawa kamiran am biasanya ditulis dalam bentuk . Untuk melakukan ini, sejurus selepas menyepadukan persamaan, pemalar hendaklah ditulis tanpa sebarang logaritma (ini adalah pengecualian kepada peraturan!):
Dan selepas penggantian terbalik, dapatkan kamiran am dalam bentuk "klasik": 
Jawapan yang diterima boleh disemak. Untuk melakukan ini, anda perlu membezakan kamiran am, iaitu, cari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat:
Kami menyingkirkan pecahan dengan mendarab setiap sisi persamaan dengan: 
Persamaan pembezaan asal telah diperoleh, yang bermaksud bahawa penyelesaian telah ditemui dengan betul.
Adalah dinasihatkan untuk sentiasa menyemak. Tetapi persamaan homogen tidak menyenangkan kerana biasanya sukar untuk memeriksa kamiran amnya - ini memerlukan teknik pembezaan yang sangat baik. Dalam contoh yang dipertimbangkan, semasa pengesahan adalah perlu untuk mencari bukan derivatif yang paling mudah (walaupun contoh itu sendiri agak mudah). Jika anda boleh menyemaknya, semaklah!
Contoh 2
Semak persamaan untuk kehomogenan dan cari kamiran amnya. 
Tulis jawapan dalam borang
Ini adalah contoh untuk anda membuat keputusan sendiri - supaya anda selesa dengan algoritma tindakan itu sendiri. Anda boleh menjalankan pemeriksaan pada masa lapang anda, kerana... di sini ia agak rumit, dan saya tidak peduli untuk membentangkannya, jika tidak, anda tidak akan datang kepada gila seperti itu lagi :)
Dan sekarang perkara penting yang dijanjikan, disebutkan pada awal topik,
Saya akan menyerlahkan dalam huruf hitam tebal:
Jika semasa transformasi kita "set semula" pengganda (bukan tetap)ke dalam penyebut, maka kita BERISIKO kehilangan penyelesaian!
Dan sebenarnya, kami menemui ini dalam contoh pertama pelajaran pengenalan tentang persamaan pembezaan. Dalam proses menyelesaikan persamaan, "y" ternyata berada dalam penyebut: , tetapi, jelas sekali, adalah penyelesaian kepada DE dan akibat daripada transformasi yang tidak sama rata (bahagian) terdapat setiap peluang untuk kehilangannya! Perkara lain ialah ia dimasukkan ke dalam penyelesaian umum pada nilai sifar pemalar. Menetapkan semula "X" dalam penyebut juga boleh diabaikan, kerana tidak memuaskan peresap asal.
Kisah serupa dengan persamaan ketiga pelajaran yang sama, semasa penyelesaiannya kami "jatuhkan" ke dalam penyebut. Tegasnya, di sini adalah perlu untuk menyemak sama ada penyebar ini adalah penyelesaiannya? Lagipun, ia adalah! Tetapi di sini "semuanya menjadi baik", kerana fungsi ini dimasukkan dalam kamiran umum 
di .
Dan jika ini sering berfungsi dengan persamaan "boleh dipisahkan", maka dengan penyebar homogen dan beberapa penyebar lain mungkin tidak berfungsi. Berkemungkinan besar.
Mari kita menganalisis masalah yang telah diselesaikan dalam pelajaran ini: dalam Contoh 1 terdapat "set semula" X, tetapi ia tidak boleh menjadi penyelesaian kepada persamaan. Tetapi dalam Contoh 2 kami dibahagikan kepada 
, tetapi dia juga "melepaskannya": kerana , penyelesaiannya tidak mungkin hilang, mereka tidak ada di sini. Tetapi, sudah tentu, saya sengaja mencipta "majlis gembira", dan bukan fakta bahawa dalam praktiknya, inilah yang akan ditemui:
Contoh 3
Selesaikan persamaan pembezaan 
Bukankah ia satu contoh yang mudah? ;-)
Penyelesaian: kehomogenan persamaan ini adalah jelas, tetapi masih - pada langkah pertama Kami SENTIASA menyemak sama ada pembolehubah boleh dipisahkan. Untuk persamaan juga homogen, tetapi pembolehubah di dalamnya mudah dipisahkan. Ya, ada beberapa!
Selepas menyemak "kebolehpisahan", kami membuat penggantian dan memudahkan persamaan sebanyak mungkin: 
Kami memisahkan pembolehubah, mengumpul "te" di sebelah kiri, dan "x" di sebelah kanan: 
Dan di sini BERHENTI. Apabila membahagi dengan, kita berisiko kehilangan dua fungsi sekaligus. Oleh kerana , ini adalah fungsi: 
Fungsi pertama jelas merupakan penyelesaian kepada persamaan . Kami menyemak yang kedua - kami juga menggantikan derivatifnya ke dalam penyebar kami: 
– kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud fungsi adalah penyelesaian.
DAN kita berisiko kehilangan keputusan ini.
Di samping itu, penyebutnya adalah "X", bagaimanapun, penggantian itu membayangkan bahawa ia bukan sifar. Ingat fakta ini. Tetapi! Pastikan anda menyemak, ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan ASAL. Tidak, tidak.
Mari kita ambil perhatian semua ini dan teruskan: 
Saya mesti katakan, saya bernasib baik dengan integral sebelah kiri;
Kami mengumpul satu logaritma di sebelah kanan dan membuang belenggu: 
Dan kini hanya penggantian terbalik:
Mari kita darabkan semua sebutan dengan:
Sekarang anda perlu menyemak - sama ada penyelesaian "berbahaya" dimasukkan dalam kamiran am. Ya, kedua-dua penyelesaian dimasukkan dalam kamiran am pada nilai sifar pemalar: , jadi ia tidak perlu ditunjukkan tambahan dalam jawab:
kamiran am:
Peperiksaan. Bukan ujian, tetapi keseronokan yang murni :) 
Persamaan pembezaan asal telah diperoleh, yang bermaksud bahawa penyelesaian telah ditemui dengan betul.
Untuk menyelesaikannya sendiri:
Contoh 4
Lakukan ujian kehomogenan dan selesaikan persamaan pembezaan 
Periksa kamiran am dengan pembezaan.
Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Mari kita pertimbangkan beberapa contoh apabila persamaan homogen diberikan dengan pembezaan sedia dibuat.
Contoh 5
Selesaikan persamaan pembezaan
Ini adalah contoh yang sangat menarik, keseluruhan thriller!
Penyelesaian Kami akan membiasakan diri untuk mereka bentuknya dengan lebih padat. Pertama, secara mental atau pada draf, kami memastikan bahawa pembolehubah tidak boleh dipisahkan di sini, selepas itu kami menjalankan ujian untuk homogeniti - ini biasanya tidak dijalankan pada draf akhir. (kecuali diperlukan secara khusus). Oleh itu, penyelesaian hampir selalu bermula dengan entri: " Persamaan ini homogen, mari buat penggantian: ...».
Jika persamaan homogen mengandungi pembezaan sedia, maka ia boleh diselesaikan dengan penggantian yang diubah suai:
Tetapi saya tidak mengesyorkan menggunakan penggantian sedemikian, kerana ia akan menjadi Tembok Besar perbezaan Cina, di mana anda memerlukan mata dan mata. Dari sudut pandangan teknikal, adalah lebih berfaedah untuk beralih kepada sebutan "putus-putus" terbitan untuk melakukan ini, kami membahagikan semua istilah persamaan dengan: 
Dan di sini kita telah membuat transformasi "berbahaya"! Pembezaan sifar sepadan dengan keluarga garis lurus selari dengan paksi. Adakah mereka punca DU kita? Mari kita gantikan ke dalam persamaan asal: 
Persamaan ini sah jika, iaitu, apabila membahagi dengan kita berisiko kehilangan penyelesaian, dan kami kehilangan dia- sejak itu tidak lagi memuaskan persamaan yang terhasil 
.
Perlu diingatkan bahawa jika kita pada mulanya persamaan diberikan , maka tidak akan ada perbincangan tentang akar. Tetapi kami memilikinya, dan kami menangkapnya tepat pada masanya.
Kami meneruskan penyelesaian dengan penggantian standard:
:
Selepas penggantian, kami permudahkan persamaan sebanyak mungkin: 
Kami memisahkan pembolehubah:
Dan di sini sekali lagi STOP: apabila membahagi dengan kita berisiko kehilangan dua fungsi. Oleh kerana , ini adalah fungsi: 
Jelas sekali, fungsi pertama adalah penyelesaian kepada persamaan . Mari kita periksa yang kedua dan gantikan terbitannya: 
– diterima persamaan sebenar, yang bermaksud bahawa fungsi itu juga merupakan penyelesaian kepada persamaan pembezaan.
Dan apabila membahagi dengan kita berisiko kehilangan penyelesaian ini. Walau bagaimanapun, mereka boleh dimasukkan dalam kamiran am. Tetapi mereka mungkin tidak masuk
Mari kita perhatikan perkara ini dan integrasikan kedua-dua bahagian: 
Kamiran bahagian kiri diselesaikan dengan cara standard menggunakan menonjolkan segi empat sama lengkap, tetapi ia lebih mudah digunakan dalam peresap kaedah pekali tidak pasti:
Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan asas: 
Oleh itu: 
Mencari kamiran: 
– memandangkan kami hanya melukis logaritma, kami juga menolak pemalar di bawah logaritma.
Sebelum menggantikan sekali lagi dipermudahkan segala yang boleh dipermudahkan:
Menetapkan semula rantai:
Dan penggantian terbalik:
Sekarang mari kita ingat tentang "perkara yang hilang": penyelesaiannya telah dimasukkan dalam kamiran am di , tetapi ia "terbang melepasi daftar tunai", kerana ternyata penyebutnya. Oleh itu, dalam jawapannya ia dianugerahkan frasa yang berasingan, dan ya - jangan lupa tentang penyelesaian yang hilang, yang, dengan cara itu, juga ternyata berada di bawah.
Jawapan: kamiran am: 
. Lebih banyak penyelesaian:
Tidak begitu sukar untuk menyatakan penyelesaian umum di sini:
, tetapi ini sudah menjadi pertunjukan.
Mudah, bagaimanapun, untuk diperiksa. Mari cari derivatif:
dan pengganti 
ke sebelah kiri persamaan:
– akibatnya, bahagian kanan persamaan telah diperolehi, yang merupakan perkara yang perlu diperiksa.
Peresap berikut adalah dengan sendiri:
Contoh 6
Selesaikan persamaan pembezaan 
Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. Cuba nyatakan penyelesaian umum di sini pada masa yang sama untuk latihan.
Pada bahagian akhir pelajaran, kami akan mempertimbangkan beberapa tugas yang lebih tipikal mengenai topik:
Contoh 7
Selesaikan persamaan pembezaan 
Penyelesaian: Jom ikut jalan yang terpukul. Persamaan ini adalah homogen, mari buat penggantian: 
"X" baik di sini, tetapi bagaimana dengan trinomial kuadratik? Oleh kerana ia tidak boleh terurai menjadi faktor: , maka kita pasti tidak kehilangan penyelesaian. Ia akan sentiasa seperti ini! Pilih petak lengkap di sebelah kiri dan sepadukan:
Tiada apa yang perlu dipermudahkan di sini, dan oleh itu penggantian terbalik: 
Jawapan: kamiran am: 
Contoh 8
Selesaikan persamaan pembezaan 
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.
Jadi:
Untuk penukaran yang tidak sama rata, SENTIASA semak (sekurang-kurangnya secara lisan), Adakah anda kehilangan penyelesaian anda? Apakah transformasi ini? Biasanya memendekkan atau membahagikan sesuatu. Jadi, sebagai contoh, apabila membahagi dengan, anda perlu menyemak sama ada fungsi adalah penyelesaian kepada persamaan pembezaan. Pada masa yang sama, apabila membahagi dengan, tidak ada lagi keperluan untuk pemeriksaan sedemikian - kerana fakta bahawa pembahagi ini tidak pergi ke sifar.
Berikut adalah satu lagi situasi berbahaya:
Di sini, menyingkirkan , anda harus menyemak sama ada DE ialah penyelesaian. Selalunya, "x" dan "y" digunakan sebagai pengganda sedemikian, dan dengan mengurangkannya, kita kehilangan fungsi yang mungkin menjadi penyelesaian.
Sebaliknya, jika sesuatu pada AWALnya dalam penyebut, maka tidak ada sebab untuk kebimbangan sedemikian. Jadi, dalam persamaan homogen, anda tidak perlu risau tentang fungsi kerana ia "diisytiharkan" dalam penyebut.
Kehalusan yang disenaraikan tidak kehilangan kaitannya, walaupun masalah memerlukan hanya mencari penyelesaian tertentu. Terdapat, walaupun kecil, peluang bahawa kita akan kehilangan penyelesaian tertentu yang diperlukan. Adakah ia benar Masalah cauchy dalam tugas praktikal dengan persamaan homogen ia ditanya agak jarang. Walau bagaimanapun, terdapat contoh sedemikian dalam artikel itu Persamaan dikurangkan kepada homogen, yang saya cadangkan belajar "panas pada tumit" untuk mengukuhkan kemahiran menyelesaikan anda.
Terdapat juga persamaan homogen yang lebih kompleks. Kesukarannya bukan pada perubahan atau penyederhanaan pembolehubah, tetapi pada kamiran yang agak sukar atau jarang yang timbul akibat pemisahan pembolehubah. Saya mempunyai contoh penyelesaian kepada persamaan homogen tersebut - kamiran yang menakutkan dan jawapan yang menakutkan. Tetapi kita tidak akan bercakap tentang mereka, kerana dalam pelajaran seterusnya (lihat di bawah) Saya masih mempunyai masa untuk menyeksa anda, saya mahu melihat anda segar dan optimis!
Selamat promosi!
Penyelesaian dan jawapan:
Contoh 2: Penyelesaian: Mari kita semak persamaan untuk kehomogenan, untuk tujuan ini dalam persamaan asal bukannya mari kita gantikan , dan bukannya mari kita gantikan: 
Hasilnya, persamaan asal diperolehi, yang bermaksud bahawa DE ini adalah homogen.
Sebagai contoh, fungsi 
ialah fungsi homogen bagi dimensi pertama, kerana
ialah fungsi homogen bagi dimensi ketiga, kerana
ialah fungsi homogen bagi dimensi sifar, kerana
, iaitu 
.
Definisi 2. Persamaan pembezaan tertib pertama y" = f(x, y) dipanggil homogen jika fungsi f(x, y) ialah fungsi homogen bagi dimensi sifar berkenaan dengan x Dan y, atau, seperti yang mereka katakan, f(x, y) ialah fungsi homogen darjah sifar.
Ia boleh diwakili dalam bentuk
yang membolehkan kita mentakrifkan persamaan homogen sebagai persamaan pembezaan yang boleh diubah kepada bentuk (3.3).
Penggantian 
mengurangkan persamaan homogen kepada persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Sesungguhnya, selepas penggantian y =xz kita dapat 
,
Mengasingkan pembolehubah dan menyepadukan, kami dapati:
,
Contoh 1. Selesaikan persamaan.
Δ Kami andaikan y =zx,
Gantikan ungkapan ini y
Dan dy ke dalam persamaan ini: 
atau 
Kami memisahkan pembolehubah: 
dan integrasikan: 
,
Menggantikan z pada 
, kita dapat 
.
Contoh 2. Cari penyelesaian umum persamaan itu.
Δ Dalam persamaan ini P
(x,y)
=x 2 -2y 2 ,Q(x,y)
=2xy adalah fungsi homogen bagi dimensi kedua, oleh itu, persamaan ini adalah homogen. Ia boleh diwakili dalam bentuk 
dan selesaikan perkara yang sama seperti di atas. Tetapi kami menggunakan bentuk rakaman yang berbeza. Mari letak y =
zx, di mana dy =
zdx
+
xdz. Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan asal, kita akan mempunyai
dx+2 zxdz = 0 .
Kami memisahkan pembolehubah dengan mengira 
.
Mari kita sepadukan sebutan persamaan ini mengikut sebutan
, di mana 
iaitu 
. Kembali ke fungsi sebelumnya 
cari penyelesaian umum 
Contoh 3
.
Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut 
.
Δ Rantaian transformasi: 
,y =
zx,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Kuliah 8.
4. Persamaan pembezaan linear tertib pertama Persamaan pembezaan linear tertib pertama mempunyai bentuk
Berikut ialah istilah bebas, juga dipanggil sebelah kanan persamaan. Kami akan mempertimbangkan persamaan linear dalam bentuk ini dalam perkara berikut.
Jika 
0, maka persamaan (4.1a) dipanggil linear tidak homogen. Jika 
0, maka persamaan itu mengambil bentuk
|
|
dan dipanggil homogen linear.
Nama persamaan (4.1a) dijelaskan oleh fakta bahawa fungsi yang tidak diketahui y
dan terbitannya 
masukkannya secara linear, i.e. dalam ijazah pertama.
Dalam persamaan homogen linear, pembolehubah dipisahkan. Menulis semula dalam bentuk 
di mana 
dan mengintegrasikan, kami mendapat: 
, mereka.
|
|
Apabila dibahagikan dengan 
kita kehilangan keputusan 
. Walau bagaimanapun, ia boleh dimasukkan dalam keluarga penyelesaian yang ditemui (4.3), jika kita menganggapnya DENGAN juga boleh mengambil nilai 0.
Terdapat beberapa kaedah untuk menyelesaikan persamaan (4.1a). mengikut kaedah Bernoulli, penyelesaian dicari dalam bentuk hasil darab dua fungsi bagi X:
|
|
Salah satu fungsi ini boleh dipilih sewenang-wenangnya, kerana hanya produk uv mesti memenuhi persamaan asal, yang lain ditentukan berdasarkan persamaan (4.1a).
Membezakan kedua-dua belah kesamaan (4.4), kita dapati 
.
Menggantikan ungkapan yang terhasil kepada terbitan 
, serta nilai di
ke dalam persamaan (4.1a), kita dapat 
, atau
mereka. sebagai fungsi v Mari kita ambil penyelesaian persamaan linear homogen (4.6):
|
|
(Di sini C Ia adalah perlu untuk menulis, jika tidak, anda tidak akan mendapat penyelesaian umum, tetapi khusus).
Oleh itu, kita melihat bahawa hasil daripada penggantian yang digunakan (4.4), persamaan (4.1a) dikurangkan kepada dua persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan (4.6) dan (4.7).
Menggantikan 
Dan v(x) ke dalam formula (4.4), akhirnya kita perolehi
,
|
|
.Contoh 1.
Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut 
Mari letak 
, Kemudian 
. Menggantikan ungkapan 
Dan 
ke dalam persamaan asal, kita dapat 
atau 
(*)
Mari kita samakan pekali pada 
:
Mengasingkan pembolehubah dalam persamaan yang terhasil, kita ada 
(pemalar sewenang-wenangnya C
kami tidak menulis), dari sini v=
x. v Nilai yang ditemui
,
,
.
gantikan ke persamaan (*): 
Oleh itu,
penyelesaian am kepada persamaan asal.
.
Perhatikan bahawa persamaan (*) boleh ditulis dalam bentuk yang setara: Memilih fungsi secara rawak u v, bukan 
, kami boleh percaya v pada Memilih fungsi secara rawak. Penyelesaian ini berbeza daripada yang dipertimbangkan hanya dengan menggantikan Memilih fungsi secara rawak pada v(dan oleh itu di), jadi nilai akhir
ternyata sama.
Berdasarkan perkara di atas, kami memperoleh algoritma untuk menyelesaikan persamaan pembezaan linear urutan pertama. di Perhatikan lagi bahawa kadangkala persamaan tertib pertama menjadi linear jika x dianggap pembolehubah bebas, dan x Dan y– bergantung, i.e. bertukar peranan x Dan dx. Ini boleh dilakukan dengan syarat
Contoh 2
.
masukkan persamaan secara linear. 
.
Selesaikan persamaan di.
Dari segi rupa, persamaan ini tidak linear berkenaan dengan fungsi x Namun, jika kita pertimbangkan di sebagai fungsi daripada 
, maka, memandangkan itu
|
|
(4.1 , ia boleh dibawa ke borang) |
b 
pada 
Menggantikan 
atau 
, kita dapat . Membahagi kedua-dua belah persamaan terakhir dengan hasil darab ydy
, mari kita bawa ke bentuk 
.
(**)
, atau 
Di sini P(y)=, x. Ini adalah persamaan linear berkenaan dengan 
,
. Kami percaya
atau 
.
. Menggantikan ungkapan ini ke dalam (**), kita dapat 
,
, di mana 
;
Marilah kita memilih v supaya 
,
,
.
. Seterusnya kita ada 
Kerana
.
, maka kita sampai kepada penyelesaian umum kepada persamaan ini dalam bentuk P(x Perhatikan bahawa dalam persamaan (4.1a) Q (x) Dan x) boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk fungsi daripada P= , tetapi juga pemalar:,Q= a b
|
|
. Persamaan linear uv juga boleh diselesaikan menggunakan penggantian y=
;
.
dan pemisahan pembolehubah: 
;
;
Dari sini 
; di mana
. Membebaskan diri kita daripada logaritma, kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan 
).
(Di sini a= Pada
|
|
|
|
0 kita sampai kepada penyelesaian persamaan 
).
(lihat persamaan pertumbuhan eksponen (2.4) di DENGAN Mula-mula kita mengintegrasikan persamaan homogen yang sepadan (4.2). Seperti yang dinyatakan di atas, penyelesaiannya mempunyai bentuk (4.3). Kami akan mempertimbangkan faktornya X dalam (4.3) sebagai fungsi daripada
, iaitu pada asasnya membuat perubahan pembolehubah
Perhatikan bahawa menurut (4.14) (lihat juga (4.9)), penyelesaian umum bagi persamaan linear tak homogen adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen sepadan (4.3) dan penyelesaian khusus persamaan tidak homogen yang ditakrifkan oleh istilah kedua termasuk dalam (4.14) (dan dalam (4.9)).
Apabila menyelesaikan persamaan tertentu, anda harus mengulangi pengiraan di atas, dan bukannya menggunakan formula yang menyusahkan (4.14).
Mari kita gunakan kaedah Lagrange pada persamaan yang dipertimbangkan dalam contoh 1 :
.
Kami menyepadukan persamaan homogen yang sepadan 
.
Mengasingkan pembolehubah, kita dapat 
dan seterusnya 
. Menyelesaikan ungkapan dengan formula y
=
Cx. Kami mencari penyelesaian kepada persamaan asal dalam bentuk y
=
C(x)x. Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan yang diberikan, kita dapat 
;
;
,
. Penyelesaian umum kepada persamaan asal mempunyai bentuk
.
Kesimpulannya, kita perhatikan bahawa persamaan Bernoulli dikurangkan kepada persamaan linear
|
|
,
(
)yang boleh ditulis dalam bentuk
|
|
.Penggantian 
ia berkurang kepada persamaan linear:
,
,
.
Persamaan Bernoulli juga boleh diselesaikan menggunakan kaedah yang digariskan di atas.
Contoh 3
.
Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut 
.
Rantaian transformasi: 
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Jawapan sedia dibuat untuk contoh persamaan pembezaan homogen Ramai pelajar sedang mencari pesanan pertama (pengawal pesanan pertama adalah yang paling biasa dalam pengajaran), kemudian anda boleh menganalisisnya secara terperinci. Tetapi sebelum beralih kepada mempertimbangkan contoh, kami mengesyorkan agar anda membaca bahan teori ringkas dengan teliti.
Persamaan bentuk P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, di mana fungsi P(x,y) dan Q(x,y) ialah fungsi homogen dari susunan yang sama dipanggil persamaan pembezaan homogen(ODR).
Skema untuk menyelesaikan persamaan pembezaan homogen
1. Mula-mula anda perlu menggunakan penggantian y=z*x, dengan z=z(x) ialah fungsi baru yang tidak diketahui (oleh itu persamaan asal dikurangkan kepada persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan.
2. Terbitan produk adalah sama dengan y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z atau dalam pembezaan dy=d(zx)=z*dx+ x*dz.
3. Seterusnya, kita menggantikan fungsi baharu y dan terbitannya y" (atau dy) ke dalam DE dengan pembolehubah boleh dipisahkan relatif kepada x dan z.
4. Setelah menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, kita membuat perubahan songsang y=z*x, oleh itu z= y/x, dan kita dapat penyelesaian am (kamiran am) bagi persamaan pembezaan.
5. Jika keadaan awal y(x 0)=y 0 diberikan, maka kita dapati penyelesaian tertentu kepada masalah Cauchy. Kedengarannya mudah dalam teori, tetapi dalam amalan, tidak semua orang begitu seronok menyelesaikan persamaan pembezaan. Oleh itu, untuk memperdalam pengetahuan kita, mari kita pertimbangkan contoh biasa. Tidak banyak yang boleh diajar kepada anda tentang tugas mudah, jadi mari beralih kepada tugas yang lebih kompleks dengan segera.
Pengiraan persamaan pembezaan homogen tertib pertama
Contoh 1.
Penyelesaian: Bahagikan bahagian kanan persamaan dengan pembolehubah yang merupakan faktor di sebelah terbitan. Akibatnya, kami tiba di persamaan pembezaan homogen tertib ke-0
Dan di sini, mungkin ramai yang berminat, bagaimana untuk menentukan susunan fungsi persamaan homogen?
Soalannya agak relevan, dan jawapannya adalah seperti berikut:
di sebelah kanan kita menggantikan nilai t*x, t*y dan bukannya fungsi dan hujah. Apabila memudahkan, parameter "t" diperoleh pada tahap k tertentu, yang dipanggil susunan persamaan. Dalam kes kami, "t" akan dikurangkan, yang bersamaan dengan kuasa ke-0 atau tertib sifar bagi persamaan homogen.
Seterusnya, di sebelah kanan kita boleh beralih ke pembolehubah baharu y=zx; z=y/x.
Pada masa yang sama, jangan lupa untuk menyatakan terbitan “y” melalui terbitan pembolehubah baharu. Dengan peraturan bahagian yang kita dapati 
Persamaan dalam pembezaan akan mengambil borang 
Kami membatalkan istilah biasa di sebelah kanan dan kiri dan teruskan ke persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan.
Mari kita integrasikan kedua-dua belah DE 
Untuk kemudahan transformasi selanjutnya, kami segera memasukkan pemalar di bawah logaritma 
Mengikut sifat logaritma, persamaan logaritma yang terhasil adalah bersamaan dengan yang berikut 
Entri ini bukan penyelesaian (jawapan) lagi; ia adalah perlu untuk kembali kepada penggantian pembolehubah yang dilakukan 
Dengan cara ini mereka dapati penyelesaian umum persamaan pembezaan. Jika anda membaca pelajaran sebelumnya dengan teliti, maka kami berkata bahawa anda sepatutnya boleh menggunakan skema untuk mengira persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan secara bebas dan persamaan jenis ini perlu dikira untuk jenis alat kawalan jauh yang lebih kompleks.
Contoh 2.
Cari kamiran bagi persamaan pembezaan
Penyelesaian: Skim untuk mengira sistem kawalan homogen dan gabungan kini sudah biasa kepada anda. Kami memindahkan pembolehubah ke sebelah kanan persamaan, dan juga mengambil x 2 dalam pengangka dan penyebut sebagai faktor sepunya 
Oleh itu, kita memperoleh persamaan pembezaan homogen tertib sifar.
Langkah seterusnya ialah memperkenalkan penggantian pembolehubah z=y/x, y=z*x, yang kami akan sentiasa ingatkan anda supaya anda menghafalnya
Selepas ini kami menulis alat kawalan jauh dalam pembezaan 
Seterusnya kita mengubah pergantungan kepada persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan
dan kami menyelesaikannya dengan penyepaduan. 
Kamiran adalah mudah, penjelmaan selebihnya dilakukan berdasarkan sifat logaritma. Langkah terakhir melibatkan mendedahkan logaritma. Akhirnya kita kembali kepada penggantian asal dan menulisnya dalam borang 
Pemalar "C" boleh mengambil sebarang nilai. Setiap orang yang belajar melalui surat-menyurat mempunyai masalah dengan jenis persamaan ini dalam peperiksaan, jadi sila lihat dengan teliti dan ingat gambar rajah pengiraan.
Contoh 3.
Selesaikan persamaan pembezaan
Penyelesaian: Seperti berikut daripada metodologi di atas, persamaan pembezaan jenis ini diselesaikan dengan memperkenalkan pembolehubah baru. Mari kita tulis semula pergantungan supaya terbitan tanpa pembolehubah 
Selanjutnya, dengan menganalisis bahagian kanan, kita melihat bahawa serpihan -ee hadir di mana-mana dan menandakannya sebagai yang baru tidak diketahui.
z=y/x, y=z*x .
Mencari terbitan bagi y
Dengan mengambil kira penggantian, kami menulis semula DE asal dalam borang 
Kami memudahkan istilah yang sama, dan mengurangkan semua yang terhasil kepada DE dengan pembolehubah yang dipisahkan
Dengan mengintegrasikan kedua-dua belah kesamarataan 
kita sampai kepada penyelesaian dalam bentuk logaritma 
Dengan mendedahkan kebergantungan yang kami temui penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan
yang, selepas menggantikan perubahan awal pembolehubah ke dalamnya, mengambil bentuk 
Di sini C ialah pemalar yang boleh ditentukan lagi daripada keadaan Cauchy. Jika masalah Cauchy tidak dinyatakan, maka ia memerlukan nilai sebenar sewenang-wenangnya.
Itu sahaja kebijaksanaan dalam kalkulus persamaan pembezaan homogen.
Fungsi f(x,y) dipanggil fungsi homogen hujah-hujah dimensi n, jika identiti itu benar f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).
Sebagai contoh, fungsi f(x,y)=x^2+y^2-xy ialah fungsi homogen bagi dimensi kedua, kerana
F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).
Apabila n=0 kita mempunyai fungsi dimensi sifar. Sebagai contoh, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) ialah fungsi homogen bagi dimensi sifar, kerana
(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)
Persamaan pembezaan bentuk \frac(dy)(dx)=f(x,y) dikatakan homogen berkenaan dengan x dan y jika f(x,y) ialah fungsi homogen bagi hujah dimensi sifarnya. Persamaan homogen sentiasa boleh diwakili sebagai
\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\kanan).
Dengan memperkenalkan fungsi baharu yang diperlukan u=\frac(y)(x) , persamaan (1) boleh dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah pemisah:
X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.
Jika u=u_0 ialah punca persamaan \varphi(u)-u=0, maka penyelesaian kepada persamaan homogen ialah u=u_0 atau y=u_0x (garis lurus yang melalui asalan).
Komen. Apabila menyelesaikan persamaan homogen, tidak perlu mengurangkannya kepada membentuk (1). Anda boleh segera membuat penggantian y=ux .
Contoh 1. Selesaikan persamaan homogen xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.
Penyelesaian. Mari kita tulis persamaan dalam bentuk y"=\sqrt(1-(\kiri(\frac(y)(x)\kanan)\^2}+\frac{y}{x} !} jadi persamaan ini ternyata menjadi homogen berkenaan dengan x dan y. Mari letakkan u=\frac(y)(x) , atau y=ux . Kemudian y"=xu"+u . Menggantikan ungkapan untuk y dan y" ke dalam persamaan, kita dapat x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Kami memisahkan pembolehubah: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Dari sini kita dapati dengan penyepaduan
\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), atau \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).
Oleh kerana C_1|x|=\pm(C_1x) , maka, menandakan \pm(C_1)=C , kita dapat \arcsin(u)=\ln(Cx), Di mana |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) atau e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Menggantikan u dengan \frac(y)(x) , kita mempunyai kamiran am \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).
Oleh itu penyelesaian am: y=x\sin\ln(Cx) .
Apabila mengasingkan pembolehubah, kami membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan produk x\sqrt(1-u^2) , supaya kami boleh kehilangan penyelesaian, yang menjadikan produk ini lenyap.
Mari kita tetapkan x=0 dan \sqrt(1-u^2)=0 . Tetapi x\ne0 disebabkan oleh penggantian u=\frac(y)(x) , dan daripada hubungan \sqrt(1-u^2)=0 kita dapati itu 1-\frac(y^2)(x^2)=0, dari mana y=\pm(x) . Dengan pengesahan terus kami yakin bahawa fungsi y=-x dan y=x juga merupakan penyelesaian kepada persamaan ini.
Contoh 2. Pertimbangkan keluarga lengkung kamiran C_\alpha bagi persamaan homogen y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\kanan). Tunjukkan bahawa tangen pada titik yang sepadan dengan lengkung yang ditakrifkan oleh persamaan pembezaan homogen ini adalah selari antara satu sama lain.
Nota: Kami akan hubungi sesuai titik-titik pada lengkung C_\alpha yang terletak pada sinar yang sama yang terpancar dari asal.
Penyelesaian. Mengikut takrifan mata yang sepadan yang kita ada \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), jadi berdasarkan persamaan itu sendiri y"=y"_1, dengan y" dan y"_1 ialah pekali sudut tangen kepada lengkung kamiran C_\alpha dan C_(\alpha_1), pada titik M dan M_1, masing-masing (Gamb. 12).
Persamaan dikurangkan kepada homogen
A. Pertimbangkan persamaan pembezaan bentuk
\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\kanan).
dengan a,b,c,a_1,b_1,c_1 ialah pemalar dan f(u) ialah fungsi berterusan bagi hujahnya u.
Jika c=c_1=0, maka persamaan (3) adalah homogen dan ia disepadukan seperti yang ditunjukkan di atas.
Jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor c,c_1 berbeza daripada sifar, maka dua kes harus dibezakan.
1) Penentu \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Memperkenalkan pembolehubah baru \xi dan \eta mengikut formula x=\xi+h,~y=\eta+k, di mana h dan k masih pemalar yang tidak ditentukan, kami mengurangkan persamaan (3) kepada bentuk
\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\kanan).
Memilih h dan k sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan linear
\mulakan(kes)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\tamat(kes)~(\Delta\ne0),
kita memperoleh persamaan homogen \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\kiri(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\kanan). Setelah menemui kamiran amnya dan menggantikan \xi di dalamnya dengan x-h dan \eta dengan y-k, kami memperoleh kamiran am bagi persamaan (3).
2) Penentu \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Sistem (4) dalam kes umum tidak mempunyai penyelesaian dan kaedah yang digariskan di atas tidak terpakai; dalam kes ini \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, dan oleh itu persamaan (3) mempunyai bentuk \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\kanan). Menggantikan z=ax+dengan membawa kepada persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan.
Contoh 3. Selesaikan persamaan (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.
Penyelesaian. Pertimbangkan sistem persamaan algebra linear \mulakan(kes)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\tamat(kes)
Penentu sistem ini \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.
Sistem ini mempunyai penyelesaian unik x_0=-1,~y_0=3. Kami membuat penggantian x=\xi-1,~y=\eta+3 . Kemudian persamaan (5) akan mengambil bentuk
(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.
Persamaan ini adalah persamaan homogen. Menetapkan \eta=u\xi , kita dapat
(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, di mana (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.
Mengasingkan Pembolehubah \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.
Mengintegrasikan, kami dapati \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) atau \xi^2(1+2u-u^2)=C .
Mari kembali kepada pembolehubah x,~y :
(x+1)^2\left=C_1 atau x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).
Contoh 4. Selesaikan persamaan (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.
Penyelesaian. Sistem persamaan algebra linear \mulakan(kes)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\tamat(kes) tidak serasi. Dalam kes ini, kaedah yang digunakan dalam contoh sebelumnya tidak sesuai. Untuk menyepadukan persamaan, kita menggunakan penggantian x+y=z, dy=dz-dx. Persamaan akan mengambil bentuk
(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.
Mengasingkan pembolehubah, kita dapat
Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 maka x-2z-3\ln|z-2|=C.
Kembali kepada pembolehubah x,~y, kita memperoleh kamiran am bagi persamaan ini
X+2y+3\ln|x+y-2|=C.
B. Kadangkala persamaan boleh dibuat homogen dengan menggantikan pembolehubah y=z^\alpha . Ini berlaku apabila semua sebutan dalam persamaan adalah daripada dimensi yang sama, jika pembolehubah x diberikan dimensi 1, pembolehubah y - dimensi \alpha dan derivatif \frac(dy)(dx) - dimensi \alpha-1.
Contoh 5. Selesaikan persamaan (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.
Penyelesaian. Membuat penggantian y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, dengan \alpha ialah nombor arbitrari buat masa ini, yang akan kami pilih kemudian. Menggantikan ungkapan untuk y dan dy ke dalam persamaan, kita dapat
\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 atau \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,
Ambil perhatian bahawa x^2z^(3\alpha-1) mempunyai dimensi 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) mempunyai dimensi \alpha-1 , xz^(3\alpha) mempunyai dimensi 1+3\alpha . Persamaan yang terhasil akan menjadi homogen jika ukuran semua sebutan adalah sama, i.e. jika syarat dipenuhi 3\alpha+1=\alpha-1, atau \alpha-1 .
Mari letakkan y=\frac(1)(z) ; persamaan asal mengambil bentuk
\kiri(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\kanan)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 atau (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.
Mari kita letak sekarang z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Kemudian persamaan ini akan mengambil bentuk (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, di mana u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.
Mengasingkan pembolehubah dalam persamaan ini \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Mengintegrasikan, kami dapati
\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) atau \frac(x(u^2+1))(u)=C.
Menggantikan u melalui \frac(1)(xy) , kita memperoleh kamiran am bagi persamaan ini 1+x^2y^2=Cy.
Persamaan juga mempunyai penyelesaian jelas y=0, yang diperoleh daripada kamiran am pada C\to\infty, jika kamiran ditulis dalam bentuk y=\frac(1+x^2y^2)(C), dan kemudian pergi ke had di C\to\infty . Oleh itu, fungsi y=0 ialah penyelesaian tertentu kepada persamaan asal.
Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.Untuk melakukan pengiraan, anda mesti mendayakan kawalan ActiveX!