Sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Bilangan garis lurus yang tidak terhingga boleh dilukis melalui mana-mana titik.

Melalui mana-mana dua titik tidak bertepatan satu garis lurus boleh dilukis.

Dua garis mencapah dalam satah sama ada bersilang pada satu titik atau berada

selari (mengikut dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat tiga pilihan untuk kedudukan relatif dua baris:

• garis bersilang;

• garisan selari;

• garis lurus bersilang.

Lurus barisan— lengkung algebra tertib pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartes

diberikan pada satah oleh persamaan darjah pertama (persamaan linear).

Persamaan am garis lurus.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

dan berterusan A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil umum

persamaan garis lurus. Bergantung kepada nilai pemalar A, B Dan DENGAN Kes khas berikut adalah mungkin:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui asalan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi OU

. B = C = 0, A ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi OU

. A = C = 0, B ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana yang diberikan

keadaan awal.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan, vektor dengan komponen (A, B)

berserenjang dengan garis yang diberikan oleh persamaan

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui suatu titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari pekali C

Mari kita gantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil Kita dapat: 3 - 2 + C = 0, oleh itu

C = -1. Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua mata diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dan M2 (x 2, y 2, z 2), Kemudian persamaan garis,

melalui titik-titik ini:

Jika mana-mana penyebut adalah sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar. hidup

satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k dipanggil cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kecerunan.

Jika persamaan am garis Ax + Wu + C = 0 membawa kepada:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil

persamaan garis lurus dengan kecerunan k.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan tugasan

garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi syarat

Aα 1 + Bα 2 = 0 dipanggil vektor arah garis lurus.

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Mengikut definisi,

pekali mesti memenuhi syarat berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

di x = 1, y = 2 kita mendapatkan C/A = -3, iaitu persamaan yang diperlukan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan -С, kita dapat:

atau di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali a ialah koordinat titik persilangan.

lurus dengan paksi Oh, A b- koordinat titik persilangan garis dengan paksi OU.

Contoh. Persamaan am garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis.

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + Wu + C = 0 bahagi dengan nombor yang dipanggil

faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis.

Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ*C< 0.

R- panjang serenjang jatuh dari asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Oh.

Contoh. Persamaan am garis diberikan 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

Persamaan garis:

cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus,

selari dengan paksi atau melalui asalan.

Sudut antara garis lurus pada satah.

Definisi. Jika dua baris diberi y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini

akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Langsung Ax + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 selari apabila pekali adalah berkadar

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis

didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu.

Definisi. Garisan yang melalui satu titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Teorem. Jika mata diberi M(x 0, y 0), kemudian jarak ke garis lurus Ax + Wu + C = 0 ditakrifkan sebagai:

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1)- tapak serenjang jatuh dari satu titik M untuk diberikan

langsung. Kemudian jarak antara titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan pada 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 secara berserenjang

diberi garis lurus. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem terbukti.

Pelajaran daripada siri "Algoritma geometri"

Hello pembaca yang dikasihi!

Hari ini kita akan mula mempelajari algoritma yang berkaitan dengan geometri. Hakikatnya ialah terdapat banyak masalah Olimpik dalam sains komputer yang berkaitan dengan geometri pengiraan, dan menyelesaikan masalah sedemikian sering menyebabkan kesukaran.

Sepanjang beberapa pelajaran, kami akan mempertimbangkan beberapa subtugas asas yang berdasarkan penyelesaian kebanyakan masalah dalam geometri pengiraan.

Dalam pelajaran ini kita akan membuat program untuk mencari persamaan garis, melalui yang diberikan dua mata. Untuk menyelesaikan masalah geometri, kita memerlukan sedikit pengetahuan tentang geometri pengiraan. Kami akan menumpukan sebahagian daripada pelajaran untuk mengenali mereka.

Cerapan daripada Geometri Pengiraan

Geometri pengiraan ialah satu cabang sains komputer yang mengkaji algoritma untuk menyelesaikan masalah geometri.

Data awal untuk masalah sedemikian boleh menjadi satu set titik pada satah, satu set segmen, poligon (ditentukan, sebagai contoh, dengan senarai bucunya mengikut urutan jam), dsb.

Hasilnya boleh sama ada jawapan kepada beberapa soalan (seperti titik kepunyaan segmen, dua segmen bersilang, ...), atau beberapa objek geometri (contohnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik tertentu, luas poligon, dsb.).

Kami akan mempertimbangkan masalah geometri pengiraan hanya pada satah dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menggunakan kaedah geometri pengiraan, adalah perlu untuk menterjemah imej geometri ke dalam bahasa nombor. Kami akan menganggap bahawa satah itu diberi sistem koordinat Cartesan, di mana arah putaran lawan jam dipanggil positif.

Kini objek geometri menerima ungkapan analitikal. Jadi, untuk menentukan titik, cukup untuk menunjukkan koordinatnya: sepasang nombor (x; y). Segmen boleh ditentukan dengan menunjukkan koordinat hujungnya; garis lurus boleh ditentukan dengan menunjukkan koordinat sepasang titiknya.

Tetapi alat utama kami untuk menyelesaikan masalah ialah vektor. Oleh itu, izinkan saya mengingati beberapa maklumat tentang mereka.

Segmen garisan AB, yang mempunyai titik A dianggap sebagai permulaan (titik permohonan), dan titik DALAM– hujung, dipanggil vektor AB dan dilambangkan dengan sama ada atau dengan huruf kecil tebal, sebagai contoh A .

Untuk menandakan panjang vektor (iaitu, panjang segmen yang sepadan), kita akan menggunakan simbol modulus (contohnya, ).

Vektor arbitrari akan mempunyai koordinat yang sama dengan perbezaan antara koordinat penghujung dan permulaan yang sepadan:

,

inilah mata-matanya A Dan B mempunyai koordinat masing-masing.

Untuk pengiraan kita akan menggunakan konsep sudut berorientasikan, iaitu sudut yang mengambil kira kedudukan relatif vektor.

Sudut berorientasikan antara vektor a Dan b positif jika putaran adalah daripada vektor a kepada vektor b dilakukan dalam arah positif (lawan arah jam) dan negatif dalam kes lain. Lihat Rajah.1a, Rajah.1b. Ia juga dikatakan bahawa sepasang vektor a Dan b berorientasikan positif (negatif).

Oleh itu, nilai sudut berorientasikan bergantung pada susunan vektor disenaraikan dan boleh mengambil nilai dalam selang.

Banyak masalah dalam geometri pengiraan menggunakan konsep vektor (skew atau pseudoscalar) produk vektor.

Hasil darab vektor bagi vektor a dan b ialah hasil darab panjang vektor ini dan sinus sudut di antara keduanya:

.

Hasil silang vektor dalam koordinat:

Ungkapan di sebelah kanan ialah penentu tertib kedua:

Tidak seperti definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ia adalah skalar.

Tanda produk vektor menentukan kedudukan vektor secara relatif antara satu sama lain:

a Dan b berorientasikan positif.

Jika nilainya ialah , maka sepasang vektor a Dan b berorientasikan negatif.

Hasil silang bagi vektor bukan sifar adalah sifar jika dan hanya jika ia adalah kolinear ( ). Ini bermakna bahawa mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari.

Mari kita lihat beberapa masalah mudah yang perlu apabila menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

Mari kita tentukan persamaan garis lurus daripada koordinat dua titik.

Persamaan garis yang melalui dua titik berbeza yang ditentukan oleh koordinatnya.

Biarkan dua titik tidak bertepatan diberikan pada garis lurus: dengan koordinat (x1; y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Sehubungan itu, vektor dengan permulaan pada titik dan penghujung pada titik mempunyai koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) ialah titik arbitrari pada garis kita, maka koordinat vektor adalah sama dengan (x-x1, y – y1).

Menggunakan produk vektor, syarat untuk keselarasan vektor dan boleh ditulis seperti berikut:

Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kami menulis semula persamaan terakhir seperti berikut:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Jadi, garis lurus boleh ditentukan dengan persamaan bentuk (1).

Masalah 1. Koordinat dua titik diberikan. Cari perwakilannya dalam bentuk ax + by + c = 0.

Dalam pelajaran ini kami mempelajari beberapa maklumat tentang geometri pengiraan. Kami menyelesaikan masalah mencari persamaan garis dari koordinat dua titik.

Dalam pelajaran seterusnya, kita akan mencipta program untuk mencari titik persilangan dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.

Persamaan am garis lurus:

Kes khas persamaan am garis lurus:

dan jika C= 0, persamaan (2) akan mempunyai bentuk

Ax + Oleh = 0,

dan garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan ini melalui asalan, kerana koordinat asalan ialah x = 0, y= 0 memenuhi persamaan ini.

b) Jika dalam persamaan am garis lurus (2) B= 0, maka persamaan itu mengambil bentuk

Ax + DENGAN= 0, atau .

Persamaan tidak mengandungi pembolehubah y, dan garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan ini adalah selari dengan paksi Oy.

c) Jika dalam persamaan am garis lurus (2) A= 0, maka persamaan ini akan berbentuk

Oleh + DENGAN= 0, atau ;

persamaan tidak mengandungi pembolehubah x, dan garis lurus yang ditakrifkannya adalah selari dengan paksi lembu.

Perlu diingat: jika garis lurus selari dengan beberapa paksi koordinat, maka dalam persamaannya tidak ada istilah yang mengandungi koordinat dengan nama yang sama dengan paksi ini.

d) Bila C= 0 dan A= 0 persamaan (2) mengambil bentuk Oleh= 0, atau y = 0.

Ini adalah persamaan paksi lembu.

d) Bila C= 0 dan B= 0 persamaan (2) akan ditulis dalam bentuk Ax= 0 atau x = 0.

Ini adalah persamaan paksi Oy.

Kedudukan relatif garisan pada satah. Sudut antara garis lurus pada satah. Keadaan untuk garis selari. Keadaan serenjang garis.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektor S 1 dan S 2 dipanggil panduan untuk garisan mereka.

Sudut antara garis lurus l 1 dan l 2 ditentukan oleh sudut antara vektor arah.
Teorem 1: cos bagi sudut antara l 1 dan l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorem 2: Agar 2 baris sama adalah perlu dan mencukupi:

Teorem 3: Untuk 2 garis lurus berserenjang adalah perlu dan mencukupi:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Persamaan satah am dan kes khasnya. Persamaan satah dalam segmen.

Persamaan satah am:

Ax + By + Cz + D = 0

Kes khas:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – satah melalui asalan

2. С=0 Ax+By+D = 0 – satah || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – satah || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – satah || OX

5. A=0 dan D=0 By+Cz = 0 – kapal terbang melalui OX

6. B=0 dan D=0 Ax+Cz = 0 – satah melalui OY

7. C=0 dan D=0 Ax+By = 0 – satah itu melalui OZ

Kedudukan relatif satah dan garis lurus di angkasa:

1. Sudut antara garis lurus dalam ruang ialah sudut antara vektor arahnya.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Sudut antara satah ditentukan melalui sudut antara vektor normalnya.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Kosinus sudut antara garis dan satah boleh didapati melalui sin sudut antara vektor arah garis dan vektor normal satah.

4. 2 lurus || di angkasa apabila || mereka panduan vektor

5. 2 kapal terbang || bila || vektor biasa

6. Konsep keserenjangan garis dan satah diperkenalkan sama.

Soalan No 14

Pelbagai jenis persamaan garis lurus pada satah (persamaan garis lurus dalam segmen, dengan pekali sudut, dsb.)

Persamaan garis lurus dalam segmen:
Mari kita andaikan bahawa dalam persamaan umum garis lurus:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – garis lurus melalui asalan.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Persamaan garis lurus dengan kecerunan:

Mana-mana garis lurus yang tidak sama dengan paksi op-amp (B bukan = 0) boleh ditulis dalam baris seterusnya. borang:

k = tanα α – sudut antara garis lurus dan garis berarah positif OX

b – titik persilangan garis lurus dengan paksi op-amp

Dokumen:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Persamaan garis lurus berdasarkan dua titik:

Soalan #16

Had terhingga fungsi pada satu titik dan untuk x→∞

Had tamat pada x0:

Nombor A dipanggil had fungsi y = f(x) untuk x→x 0 jika bagi mana-mana E > 0 wujud b > 0 supaya untuk x ≠x 0 memuaskan ketaksamaan |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Had ditunjukkan oleh: = A

Had tamat pada titik +∞:

Nombor A dipanggil had bagi fungsi y = f(x) pada x → + ∞ , jika bagi mana-mana E > 0 wujud C > 0 supaya bagi x > C ketaksamaan |f(x) - A|< Е

Had ditunjukkan oleh: = A

Had tamat pada titik -∞:

Nombor A dipanggil had fungsi y = f(x) untuk x→-∞, jika untuk mana-mana E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Persamaan garis yang melalui dua titik. Dalam artikel" " Saya berjanji kepada anda untuk melihat cara kedua untuk menyelesaikan masalah yang dibentangkan untuk mencari terbitan, diberikan graf fungsi dan tangen kepada graf ini. Kami akan membincangkan kaedah ini dalam , jangan lepaskan! kenapa dalam yang seterusnya?

Hakikatnya ialah formula untuk persamaan garis lurus akan digunakan di sana. Sudah tentu, kami hanya boleh menunjukkan formula ini dan menasihati anda untuk mempelajarinya. Tetapi lebih baik untuk menerangkan dari mana ia berasal (bagaimana ia diperoleh). Ia perlu! Jika anda terlupa, anda boleh memulihkannya dengan cepattidak akan sukar. Semuanya digariskan di bawah secara terperinci. Jadi, kita mempunyai dua titik A pada satah koordinat(x 1;y 1) dan B(x 2;y 2), satu garis lurus dilukis melalui titik yang ditunjukkan:

Berikut ialah formula langsung itu sendiri:

*Iaitu, apabila menggantikan koordinat titik tertentu, kita mendapat persamaan bentuk y=kx+b.

**Jika anda hanya "menghafal" formula ini, maka terdapat kebarangkalian tinggi untuk terkeliru dengan indeks apabila X. Di samping itu, indeks boleh ditetapkan dengan cara yang berbeza, contohnya:

Itulah sebabnya penting untuk memahami maksudnya.

Sekarang terbitan formula ini. Semuanya sangat mudah!

Segitiga ABE dan ACF adalah serupa dalam sudut akut (tanda pertama persamaan segi tiga tegak). Ia berikutan daripada ini bahawa nisbah unsur-unsur yang sepadan adalah sama, iaitu:

Sekarang kita hanya menyatakan segmen ini melalui perbezaan dalam koordinat titik:

Sudah tentu, tidak akan ada ralat jika anda menulis hubungan unsur-unsur dalam susunan yang berbeza (perkara utama adalah untuk mengekalkan konsistensi):

Hasilnya akan menjadi persamaan garis yang sama. Itu sahaja!

Iaitu, tidak kira bagaimana titik itu sendiri (dan koordinatnya) ditetapkan, dengan memahami formula ini anda akan sentiasa mencari persamaan garis lurus.

Formula boleh diperoleh menggunakan sifat vektor, tetapi prinsip terbitan akan sama, kerana kita akan bercakap tentang perkadaran koordinat mereka. Dalam kes ini, persamaan segi tiga tegak yang sama berfungsi. Pada pendapat saya, kesimpulan yang diterangkan di atas adalah lebih jelas)).

Lihat output melalui koordinat vektor >>>

Biarkan satu garis lurus dibina pada satah koordinat yang melalui dua titik yang diberi A(x 1;y 1) dan B(x 2;y 2). Mari kita tandakan titik sewenang-wenangnya C pada garisan dengan koordinat ( x; y). Kami juga menandakan dua vektor:

Adalah diketahui bahawa untuk vektor yang terletak pada garis selari (atau pada garis yang sama), koordinat sepadannya adalah berkadar, iaitu:

— kita tuliskan kesamaan nisbah koordinat yang sepadan:

Mari lihat contoh:

Cari persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat (2;5) dan (7:3).

Anda tidak perlu membina garis lurus itu sendiri. Kami menggunakan formula:

Adalah penting anda memahami surat-menyurat semasa membuat nisbah. Anda tidak boleh salah jika anda menulis:

Jawapan: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Untuk memastikan persamaan yang terhasil ditemui dengan betul, pastikan anda menyemak - menggantikan koordinat data dalam keadaan titik ke dalamnya. Persamaan harus betul.

Itu sahaja. Saya harap bahan itu berguna kepada anda.

Yang ikhlas, Alexander.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Persamaan garis lurus pada satah.
Vektor arah adalah lurus. Vektor biasa

Garis lurus pada satah adalah salah satu angka geometri yang paling mudah, biasa kepada anda dari sekolah rendah, dan hari ini kita akan belajar cara menanganinya menggunakan kaedah geometri analitik. Untuk menguasai bahan, anda mesti dapat membina garis lurus; tahu persamaan apa yang mentakrifkan garis lurus, khususnya, garis lurus yang melalui asal koordinat dan garis lurus selari dengan paksi koordinat. Maklumat ini boleh didapati dalam manual Graf dan sifat fungsi asas, saya menciptanya untuk Mathan, tetapi bahagian tentang fungsi linear ternyata sangat berjaya dan terperinci. Oleh itu, teko yang dikasihi, panaskan dahulu di sana. Di samping itu, anda perlu mempunyai pengetahuan asas tentang vektor, jika tidak pemahaman bahan akan menjadi tidak lengkap.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat cara-cara di mana anda boleh mencipta persamaan garis lurus pada satah. Saya mengesyorkan untuk tidak mengabaikan contoh praktikal (walaupun ia kelihatan sangat mudah), kerana saya akan memberikan mereka fakta asas dan penting, teknik teknikal yang akan diperlukan pada masa hadapan, termasuk dalam bahagian lain dalam matematik yang lebih tinggi.

• Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus dengan pekali sudut?
• bagaimana?
• Bagaimana untuk mencari vektor arah menggunakan persamaan umum garis lurus?
• Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

dan kita mulakan:

Persamaan garis lurus dengan kecerunan

Bentuk persamaan garis lurus "sekolah" yang terkenal dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunan. Sebagai contoh, jika garis lurus diberikan oleh persamaan, maka kecerunannya ialah: . Mari kita pertimbangkan makna geometri pekali ini dan cara nilainya mempengaruhi lokasi garisan:

Dalam kursus geometri terbukti bahawa kecerunan garis lurus adalah sama dengan tangen sudut antara arah paksi positifdan baris ini: , dan sudut "buka skru" lawan jam.

Untuk tidak mengacaukan lukisan, saya melukis sudut hanya untuk dua garis lurus. Mari kita pertimbangkan garisan "merah" dan cerunnya. Mengikut perkara di atas: (sudut "alfa" ditunjukkan oleh lengkok hijau). Untuk garis lurus "biru" dengan pekali sudut, kesamaan adalah benar (sudut "beta" ditunjukkan oleh lengkok coklat). Dan jika tangen sudut itu diketahui, maka jika perlu ia mudah dicari dan sudut itu sendiri menggunakan fungsi songsang - arctangent. Seperti yang mereka katakan, jadual trigonometri atau mikrokalkulator di tangan anda. Oleh itu, pekali sudut mencirikan tahap kecondongan garis lurus ke paksi absis.

Kes berikut adalah mungkin:

1) Jika cerun negatif: maka garisan, secara kasarnya, pergi dari atas ke bawah. Contohnya ialah garis lurus "biru" dan "raspberi" dalam lukisan.

2) Jika cerun adalah positif: maka garisan pergi dari bawah ke atas. Contoh - garis lurus "hitam" dan "merah" dalam lukisan.

3) Jika cerun adalah sifar: , maka persamaan mengambil bentuk , dan garis lurus yang sepadan adalah selari dengan paksi. Contohnya ialah garis lurus "kuning".

4) Untuk keluarga garisan selari dengan paksi (tiada contoh dalam lukisan, kecuali paksi itu sendiri), pekali sudut tidak wujud (tangen 90 darjah tidak ditakrifkan).

Semakin besar pekali cerun dalam nilai mutlak, semakin curam graf garis itu..

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Oleh itu, di sini, garis lurus mempunyai cerun yang lebih curam. Biar saya ingatkan anda bahawa modul itu membolehkan anda mengabaikan tanda itu, kami hanya berminat nilai mutlak pekali sudut.

Sebaliknya, garis lurus lebih curam daripada garis lurus .

Sebaliknya: lebih kecil pekali cerun dalam nilai mutlak, lebih rata garis lurus.

Untuk garis lurus ketaksamaan adalah benar, oleh itu garis lurus adalah lebih rata. Gelongsor kanak-kanak, supaya tidak memberi diri anda lebam dan benjolan.

Mengapa ini perlu?

Panjangkan siksaan anda Pengetahuan tentang fakta di atas membolehkan anda melihat dengan segera kesilapan anda, khususnya, kesilapan semasa membina graf - jika lukisan itu ternyata "jelas sesuatu yang salah." Adalah dinasihatkan bahawa anda terus adalah jelas bahawa, sebagai contoh, garis lurus adalah sangat curam dan pergi dari bawah ke atas, dan garis lurus sangat rata, ditekan dekat dengan paksi dan pergi dari atas ke bawah.

Dalam masalah geometri, beberapa garis lurus sering muncul, jadi ia adalah mudah untuk menetapkannya entah bagaimana.

Jawatan: garis lurus ditetapkan dalam huruf Latin kecil: . Pilihan yang popular adalah untuk menetapkan mereka menggunakan huruf yang sama dengan subskrip semula jadi. Sebagai contoh, lima baris yang baru kita lihat boleh dilambangkan dengan .

Oleh kerana mana-mana garis lurus ditentukan secara unik oleh dua titik, ia boleh dilambangkan dengan titik berikut: dan lain-lain. Penamaan jelas menunjukkan bahawa titik-titik itu tergolong dalam garis.

Sudah tiba masanya untuk memanaskan badan sedikit:

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus dengan pekali sudut?

Jika titik kepunyaan garis tertentu dan pekali sudut garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Contoh 1

Tulis persamaan untuk garis dengan kecerunan jika diketahui bahawa titik itu tergolong dalam garis yang diberi.

Penyelesaian: Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan formula . Dalam kes ini:

Jawab:

Peperiksaan dilakukan secara sederhana. Pertama, kita melihat persamaan yang terhasil dan pastikan cerun kita berada di tempatnya. Kedua, koordinat titik mesti memenuhi persamaan ini. Mari masukkan mereka ke dalam persamaan:

Kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Kesimpulan: Persamaan didapati dengan betul.

Contoh yang lebih rumit untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 2

Tulis persamaan untuk garis lurus jika diketahui bahawa sudut kecondongannya ke arah positif paksi ialah , dan titik itu tergolong dalam garis lurus ini.

Jika anda menghadapi sebarang kesulitan, baca semula bahan teori. Lebih tepat lagi, lebih praktikal, saya melangkau banyak bukti.

Loceng terakhir telah dibunyikan, majlis graduasi telah tamat, dan di luar pintu gerbang sekolah asal kami, geometri analitikal sendiri menanti kami. Lawak dah habis... Atau mungkin mereka baru bermula =)

Kami secara nostalgia melambai pen kami kepada yang biasa dan berkenalan dengan persamaan umum garis lurus. Kerana dalam geometri analitik inilah yang digunakan:

Persamaan am garis lurus mempunyai bentuk: , di manakah beberapa nombor. Pada masa yang sama, pekali serentak tidak sama dengan sifar, kerana persamaan kehilangan maknanya.

Mari kita berpakaian dalam sut dan mengikat persamaan dengan pekali cerun. Mula-mula, mari kita alihkan semua istilah ke sebelah kiri:

Istilah dengan "X" mesti diletakkan di tempat pertama:

Pada dasarnya, persamaan sudah mempunyai bentuk , tetapi mengikut peraturan etika matematik, pekali sebutan pertama (dalam kes ini) mestilah positif. Tanda-tanda yang berubah:

Ingat ciri teknikal ini! Kami membuat pekali pertama (paling kerap) positif!

Dalam geometri analisis, persamaan garis lurus hampir selalu diberikan dalam bentuk umum. Nah, jika perlu, ia boleh dengan mudah dikurangkan kepada bentuk "sekolah" dengan pekali sudut (dengan pengecualian garis lurus selari dengan paksi ordinat).

Mari kita tanya diri kita apa cukup tahu membina garis lurus? Dua mata. Tetapi lebih lanjut mengenai kejadian zaman kanak-kanak ini, kini melekat dengan peraturan anak panah. Setiap garis lurus mempunyai cerun yang sangat spesifik, yang mudah untuk "disesuaikan". vektor.

Vektor yang selari dengan garis dipanggil vektor arah garis itu. Jelas sekali bahawa mana-mana garis lurus mempunyai bilangan vektor arah yang tidak terhingga, dan kesemuanya akan menjadi kolinear (codirectional atau tidak - tidak mengapa).

Saya akan menandakan vektor arah seperti berikut: .

Tetapi satu vektor tidak mencukupi untuk membina garis lurus; vektor adalah bebas dan tidak terikat pada mana-mana titik pada satah. Oleh itu, adalah perlu untuk mengetahui beberapa titik yang tergolong dalam garisan.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah?

Jika titik tertentu kepunyaan garis dan vektor arah garis ini diketahui, maka persamaan garis ini boleh disusun menggunakan formula:

Kadang-kadang ia dipanggil persamaan kanonik garis .

Apa yang perlu dilakukan apabila salah satu koordinat adalah sama dengan sifar, kita akan faham dalam contoh praktikal di bawah. Dengan cara ini, sila ambil perhatian - kedua-duanya sekali koordinat tidak boleh sama dengan sifar, kerana vektor sifar tidak menentukan arah tertentu.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Penyelesaian: Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan formula. Dalam kes ini:

Menggunakan sifat perkadaran kita menyingkirkan pecahan:

Dan kami membawa persamaan ke bentuk amnya:

Jawab:

Sebagai peraturan, tidak perlu membuat lukisan dalam contoh sedemikian, tetapi demi pemahaman:

Dalam lukisan kita melihat titik permulaan, vektor arah asal (ia boleh diplot dari mana-mana titik pada satah) dan garis lurus yang dibina. Ngomong-ngomong, dalam banyak kes adalah paling mudah untuk membina garis lurus menggunakan persamaan dengan pekali sudut. Sangat mudah untuk menukar persamaan kami ke dalam bentuk dan dengan mudah memilih titik lain untuk membina garis lurus.

Seperti yang dinyatakan pada permulaan perenggan, garis lurus mempunyai bilangan vektor arah yang tidak terhingga, dan kesemuanya adalah kolinear. Sebagai contoh, saya melukis tiga vektor sedemikian: . Walau apa pun vektor arah yang kita pilih, hasilnya akan sentiasa sama dengan persamaan garis lurus.

Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menyelesaikan perkadaran:

Bahagikan kedua-dua belah dengan –2 dan dapatkan persamaan biasa:

Mereka yang berminat boleh menguji vektor dengan cara yang sama atau mana-mana vektor kolinear lain.

Sekarang mari kita selesaikan masalah songsang:

Bagaimana untuk mencari vektor arah menggunakan persamaan umum garis lurus?

Sangat ringkas:

Jika garis diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat segi empat tepat, maka vektor ialah vektor arah garis ini.

Contoh mencari vektor arah garis lurus:

Pernyataan itu membenarkan kami mencari hanya satu vektor arah daripada nombor tak terhingga, tetapi kami tidak memerlukan lebih banyak lagi. Walaupun dalam beberapa kes adalah dinasihatkan untuk mengurangkan koordinat vektor arah:

Oleh itu, persamaan menentukan garis lurus yang selari dengan paksi dan koordinat vektor arah yang terhasil dengan mudah dibahagikan dengan –2, mendapatkan betul-betul vektor asas sebagai vektor arah. Logik.

Begitu juga, persamaan menentukan garis lurus selari dengan paksi, dan dengan membahagikan koordinat vektor dengan 5, kita memperoleh vektor unit sebagai vektor arah.

Sekarang mari kita lakukannya menyemak Contoh 3. Contoh itu naik, jadi saya mengingatkan anda bahawa di dalamnya kami menyusun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Pertama sekali, menggunakan persamaan garis lurus kita membina semula vektor arahnya: – semuanya baik-baik saja, kami telah menerima vektor asal (dalam beberapa kes, hasilnya mungkin merupakan vektor kolinear kepada yang asal, dan ini biasanya mudah diperhatikan oleh perkadaran koordinat yang sepadan).

Kedua, koordinat titik mesti memenuhi persamaan. Kami menggantikannya ke dalam persamaan:

Persamaan yang betul telah diperolehi, yang kami sangat gembira.

Kesimpulan: Tugasan telah disiapkan dengan betul.

Contoh 4

Tulis persamaan untuk garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian dan jawapan ada pada akhir pelajaran. Adalah dinasihatkan untuk menyemak menggunakan algoritma yang baru dibincangkan. Cuba sentiasa (jika boleh) menyemak draf. Adalah bodoh untuk membuat kesilapan di mana mereka boleh dielakkan 100%.

Sekiranya salah satu koordinat vektor arah adalah sifar, teruskan dengan mudah:

Contoh 5

Penyelesaian: Formula tidak sesuai kerana penyebut di sebelah kanan ialah sifar. Ada jalan keluar! Menggunakan sifat perkadaran, kami menulis semula formula dalam bentuk, dan selebihnya digulung di sepanjang laluan yang dalam:

Jawab:

Peperiksaan:

1) Pulihkan vektor arah garis lurus:
– vektor yang terhasil adalah segaris dengan vektor arah asal.

2) Gantikan koordinat titik ke dalam persamaan:

Persamaan yang betul diperolehi

Kesimpulan: tugasan diselesaikan dengan betul

Persoalannya timbul, mengapa perlu bersusah payah dengan formula jika terdapat versi universal yang akan berfungsi dalam apa jua keadaan? Terdapat dua sebab. Pertama, formula adalah dalam bentuk pecahan jauh lebih baik diingati. Dan kedua, kelemahan formula universal ialah itu risiko menjadi keliru meningkat dengan ketara apabila menggantikan koordinat.

Contoh 6

Tulis persamaan untuk garis lurus menggunakan titik dan vektor arah.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Mari kita kembali kepada dua perkara di mana-mana:

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus menggunakan dua titik?

Jika dua titik diketahui, maka persamaan garis lurus yang melalui titik ini boleh disusun menggunakan formula:

Sebenarnya, ini adalah sejenis formula dan inilah sebabnya: jika dua titik diketahui, maka vektor akan menjadi vektor arah garis yang diberikan. Pada pelajaran Vektor untuk boneka kami menganggap masalah paling mudah - bagaimana untuk mencari koordinat vektor dari dua titik. Menurut masalah ini, koordinat vektor arah adalah:

Catatan : mata boleh "ditukar" dan formula boleh digunakan . Penyelesaian sedemikian akan menjadi setara.

Contoh 7

Tulis persamaan garis lurus menggunakan dua titik .

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Menyikat penyebut:

Dan kocok dek:

Pada masa ini adalah mudah untuk menyingkirkan nombor pecahan. Dalam kes ini, anda perlu mendarab kedua-dua belah dengan 6:

Buka kurungan dan ingatkan persamaan:

Jawab:

Peperiksaan adalah jelas - koordinat titik awal mesti memenuhi persamaan yang terhasil:

1) Gantikan koordinat titik:

Kesaksamaan sebenar.

2) Gantikan koordinat titik:

Kesaksamaan sebenar.

Kesimpulan: Persamaan garis ditulis dengan betul.

Jika sekurang-kurangnya satu daripada mata tidak memenuhi persamaan, cari ralat.

Perlu diingat bahawa pengesahan grafik dalam kes ini adalah sukar, kerana membina garis lurus dan melihat sama ada titik itu miliknya , tidak begitu mudah.

Saya akan perhatikan beberapa lagi aspek teknikal penyelesaian. Mungkin dalam masalah ini lebih menguntungkan untuk menggunakan formula cermin dan, pada titik yang sama buat persamaan:

Lebih sedikit pecahan. Jika anda mahu, anda boleh menjalankan penyelesaian hingga akhir, hasilnya harus persamaan yang sama.

Perkara kedua ialah melihat jawapan akhir dan memikirkan sama ada ia boleh dipermudahkan lagi? Sebagai contoh, jika anda mendapat persamaan , maka adalah dinasihatkan untuk mengurangkannya sebanyak dua: – persamaan akan mentakrifkan garis lurus yang sama. Walau bagaimanapun, ini sudah menjadi topik perbualan kedudukan relatif garisan.

Setelah mendapat jawapan dalam Contoh 7, untuk berjaga-jaga, saya menyemak sama ada SEMUA pekali persamaan boleh dibahagikan dengan 2, 3 atau 7. Walaupun, selalunya pengurangan sedemikian dibuat semasa penyelesaian.

Contoh 8

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik-titik tersebut .

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, yang akan membolehkan anda memahami dan mengamalkan teknik pengiraan dengan lebih baik.

Sama seperti perenggan sebelumnya: jika dalam formula salah satu penyebut (koordinat vektor arah) menjadi sifar, kemudian kita tulis semula dalam bentuk . Sekali lagi, perhatikan betapa janggal dan keliru dia kelihatan. Saya tidak melihat banyak perkara dalam memberikan contoh praktikal, kerana kita sebenarnya telah menyelesaikan masalah ini (lihat No. 5, 6).

Vektor normal langsung (vektor normal)

Apa yang normal? Dalam kata mudah, normal ialah serenjang. Iaitu, vektor normal garis adalah berserenjang dengan garis tertentu. Jelas sekali, mana-mana garis lurus mempunyai bilangannya yang tidak terhingga (serta vektor arah), dan semua vektor normal garis lurus akan menjadi kolinear (bersama arah atau tidak, tidak ada bezanya).

Berurusan dengan mereka akan menjadi lebih mudah daripada dengan vektor panduan:

Jika garis diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat segi empat tepat, maka vektor ialah vektor normal garis ini.

Jika koordinat vektor arah perlu "ditarik keluar" dengan berhati-hati daripada persamaan, maka koordinat vektor normal boleh "dialihkan" dengan mudah.

Vektor normal sentiasa ortogon dengan vektor arah garis. Mari kita sahkan keortogonan vektor ini menggunakan produk titik:

Saya akan memberikan contoh dengan persamaan yang sama seperti untuk vektor arah:

Adakah mungkin untuk membina persamaan garis lurus diberi satu titik dan vektor normal? Saya merasakannya dalam usus saya, ia mungkin. Sekiranya vektor normal diketahui, maka arah garis lurus itu sendiri ditakrifkan dengan jelas - ini adalah "struktur tegar" dengan sudut 90 darjah.

Bagaimana untuk menulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal?

Jika titik tertentu kepunyaan garis dan vektor normal garis ini diketahui, maka persamaan garis ini dinyatakan dengan formula:

Di sini semuanya berjalan lancar tanpa pecahan dan kejutan lain. Ini adalah vektor biasa kami. Cinta dia. dan hormat =)

Contoh 9

Tulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis itu.

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Persamaan umum garis telah diperolehi, mari kita semak:

1) "Keluarkan" koordinat vektor normal daripada persamaan: – ya, sememangnya, vektor asal diperoleh daripada keadaan (atau vektor kolinear harus diperolehi).

2) Mari kita semak sama ada titik itu memenuhi persamaan:

Kesaksamaan sebenar.

Selepas kami yakin bahawa persamaan itu disusun dengan betul, kami akan menyelesaikan bahagian kedua yang lebih mudah daripada tugas itu. Kami mengeluarkan vektor pengarah garis lurus:

Jawab:

Dalam lukisan keadaan kelihatan seperti ini:

Untuk tujuan latihan, tugas yang sama untuk menyelesaikan secara bebas:

Contoh 10

Tulis persamaan garis lurus diberi titik dan vektor normal. Cari vektor arah bagi garis itu.

Bahagian akhir pelajaran akan ditumpukan kepada jenis persamaan yang kurang biasa, tetapi juga penting bagi garis pada satah

Persamaan garis lurus dalam segmen.
Persamaan garis dalam bentuk parametrik

Persamaan garis lurus dalam segmen mempunyai bentuk , dengan pemalar bukan sifar. Sesetengah jenis persamaan tidak boleh diwakili dalam bentuk ini, contohnya, perkadaran langsung (memandangkan sebutan bebas adalah sama dengan sifar dan tiada cara untuk mendapatkan satu di sebelah kanan).

Ini, secara kiasan, jenis persamaan "teknikal". Tugas biasa adalah untuk mewakili persamaan umum garis sebagai persamaan garis dalam segmen. Bagaimana ia mudah? Persamaan garis dalam segmen membolehkan anda mencari dengan cepat titik persilangan garis dengan paksi koordinat, yang boleh menjadi sangat penting dalam beberapa masalah matematik yang lebih tinggi.

Mari kita cari titik persilangan garis dengan paksi. Kami menetapkan semula "y" kepada sifar, dan persamaan mengambil bentuk . Titik yang diingini diperoleh secara automatik: .

Sama dengan paksi – titik di mana garis lurus bersilang dengan paksi ordinat.