Hukum taburan minimum (maksimum) dua pembolehubah rawak. Undang-undang pengedaran statistik pesanan
Dalam bahagian ini kita akan mempertimbangkan pertama sekali transformasi berfungsi seperti itu c. c., yang terdiri daripada memilih maksimum (minimum) dua nilai.
Masalah 1. Hukum taburan minimum dua pembolehubah rawak. Sistem berterusan diberikan. V. (X dan X 2) dengan p.r./(*!, x 2). Cari fungsi taburan r.v. Y:
Penyelesaian. Mari kita cari P ( Y> y) = P (Xi > y; X 2 > y). Wilayah D(y), di mana X> y dan X 2 > y ditunjukkan dalam Rajah. 9.6.1. Kebarangkalian mendapat mata (X[, X 2) ke rantau ini D(y) adalah sama
di mana F (x b x 2) - fungsi pengagihan sistem c. V. (Хь Х 2), F x(jq), F 2 (x 2) - fungsi pengagihan c. V. X Dan X 2 masing-masing. Oleh itu,
Untuk menentukan p.r. g (y) anda perlu mencari terbitan sebelah kanan (9.6.1):
Jika s. V. X x, X 2 bebas dan diedarkan secara identik dengan p.r. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x), Itu
Contoh 1. Kami menganggap pengendalian peranti yang terdiri daripada dua blok Bi dan B 2, operasi bersama yang sangat diperlukan untuk pengendalian peranti. Masa operasi Blok B! dan B 2 mewakili s bebas. V. X Dan X 2, diedarkan mengikut undang-undang eksponen dengan parameter X Dan X 2. Ia dikehendaki mencari hukum pengagihan c. V. U- masa operasi unit teknikal.
Penyelesaian. Ia adalah jelas bahawa
Menggunakan formula (9.6.4) kita dapati:
i.e. sekurang-kurangnya dua pembolehubah rawak bebas, diedarkan mengikut undang-undang eksponen dengan parameter X x dan X 2, juga diedarkan mengikut undang-undang eksponen dengan parameter X x + X 2. ?
Masalah 2. Hukum pengagihan minimum bagi n pembolehubah rawak bebas. Memandangkan sistem n kampung merdeka V. (X x, X 2, ..., X p) dengan p.r .f (x x),f 2 (x 2), ...,fn (x n). Cari f. r. dan ketumpatan c. V. Y= min (X X,.... X p).
Penyelesaian. Mengikut takrifan
Contoh 2. Kami menganggap pengendalian sistem automatik (AS), yang terdiri daripada n subsistem Untuk pembesar suara berfungsi, semua orang perlu bekerja n subsistem; masa operasi subsistem /th 7} diedarkan mengikut undang-undang eksponen dengan parameter (/ = 1, 2, p) dan tidak bergantung pada masa operasi subsistem lain. Tentukan hukum taburan masa D i) operasi tanpa kegagalan AS.
Penyelesaian. Ia adalah jelas bahawa
Menggunakan formula (9.6.6) kita dapati fungsi taburan r.v. D l)
Oleh itu, undang-undang pengagihan c. V. - sekurang-kurangnya n kampung merdeka c., diedarkan mengikut undang-undang eksponen, juga eksponen; manakala parameternya i) S n)) adalah sama dengan jumlah parameter taburan eksponen ini. Ia berikutan daripada ini bahawa
Ia boleh ditunjukkan bahawa undang-undang pengagihan c. V. D i) apabila cukup besar n akan menumpu kepada undang-undang eksponen, walaupun s. V. 7) (/= 1, 2, ..., p) tidak diagihkan mengikut undang-undang eksponen. Mari kita tunjukkan ini menggunakan contoh s teragih sama rata. V.:
Dalam kes ini
dan ini ialah f. r. undang-undang demonstratif.
Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan yang digunakan secara meluas dalam aplikasi kejuruteraan: jika mana-mana peranti terdiri daripada bilangan elemen yang cukup besar n, operasi yang sangat diperlukan untuk pengendalian peranti, maka hukum taburan masa F p) operasi tanpa kegagalan peranti adalah hampir dengan eksponen dengan parameter, ditentukan oleh formula
di mana M[ Tj- purata masa operasi bebas kegagalan bagi elemen ke-i.
Aliran kegagalan peranti sedemikian akan hampir dengan Poisson dengan parameter )S n ?
Masalah 3. Hukum taburan maksimum dua pembolehubah rawak. Sistem berterusan diberikan. V. (Хь X 2) dengan ketumpatan/(lbs x 2). Ia dikehendaki mencari undang-undang pengedaran r.v.
Penyelesaian. Mengikut definisi,
di mana F(x x, x 2) - fungsi pengedaran sistem (X dan X 2).
Membezakan ungkapan ini seperti yang kita lakukan sebelum ini, kita dapat:
Jika pembolehubah rawak X dan X2 diagihkan sama rata, maka
Jika pembolehubah rawak X x 2 adalah bebas, maka
Jika pembolehubah rawak X x 2 bebas dan sama rata, maka
Contoh 3. Pengendalian peranti teknikal tidak boleh dimulakan sebelum pemasangan dua bloknya Bi dan B2 selesai. Masa pemasangan bongkah Bi dan B 2 ialah sistem s bebas. V. X x Dan X 2, diedarkan mengikut undang-undang eksponen dengan parameter X x Dan X 2. Y- masa penyiapan pemasangan kedua-dua blok spesifikasi teknikal.
Penyelesaian. Ia adalah jelas bahawa Y= maks (X ъ X 2). Ketumpatan taburan c. V. ^ditentukan oleh formula (9.6.12)
Undang-undang ini bukan indikatif. ?
Masalah 4. Hukum pengagihan maksimum bagi n pembolehubah rawak bebas. Sistem berterusan diberikan. V. (X x, X 2 , ..., X p) dengan kepadatan f(x x, x 2,
Cari hukum taburan pembolehubah rawak
Penyelesaian. Mengikut takrifan
di mana F(x 1, X 2 ,..., x p) - fungsi pengedaran sistem (X x, X 2, ..., X p). Dengan membezakan, kita dapati ketumpatan pengedaran:
di mana Fj (Xj) - f. r. Dengan. V. Xjfj(xj) - ketumpatannya.
Jika s. V. x b ..., X hlm bebas dan sama rata (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,n)), Itu
Jika pembolehubah rawak X dan ..., X hlm adalah bebas, maka
Contoh 4. Kerja peralatan teknikal tidak boleh dimulakan sebelum perhimpunan semua n bongkahnya: B b Bg, ..., B„. Masa pemasangan blok B b..., B l mewakili sistem n kampung merdeka V. (Hah..., X p), diedarkan mengikut undang-undang eksponen dengan parameter A.1,..., A, p.
Kita perlu mencari ketumpatan c. V. U- masa siap untuk semua perhimpunan n blok TU.
Penyelesaian. Jelas sekali y = maks (X,..., X p). Mengikut formula (9.6.16) yang kita ada 
Masalah 5. Hukum taburan statistik pesanan. Mari kita pertimbangkan sistem berterusan bagi s bebas teragih sama. V. (X v X 2, ..., X p) dengan f. r. F(x) dan p.r./(x). Mari kita susun nilai yang diandaikan oleh pembolehubah rawak X v X 2, ..., X p, dalam tertib menaik dan menandakan:
X (1) - pembolehubah rawak yang mengambil nilai terkecil: (X (1) = min (X v X 2, ..., X p));
X(2) - nilai kedua terbesar diterima pembolehubah rawak X v X 2, ..., X p;
X(T) - y-i dengan magnitud nilai yang diterima daripada pembolehubah rawak X x, X 2, ..., X p;
X(P) - pembolehubah rawak terbesar mengikut nilai yang diterima X, X 2, x„ (X (n) = Shah (X dan X 2, ..., X p)).
Jelas sekali,
Pembolehubah rawak X(i), X@),..., X(") dipanggil statistik ordinal.
Formula (9.6.8) dan (9.6.17) memberikan hukum taburan istilah melampau X(i), Dan X(") sistem (*).
Mari cari fungsi pengedaran F^m)(x)s. V. X^t y Peristiwa (X^x) ialah itu T Dengan. V. daripada sistem n Dengan. V. (X ( , X 2 ,..., X n) akan kurang daripada x dan (p - t) Dengan. V. akan lebih besar daripada x. Sejak s. V. X t (/" = 1, 2,..., p) adalah bebas dan teragih sama, maka P (X t x) = F(x) R (Xj > x) = 1 - F(x). Kita perlu mencari kebarangkalian bahawa dalam n acara eksperimen bebas (Xj x) akan muncul tepat T sekali. Menggunakan taburan binomial, kita dapat
Buat undang-undang taburan untuk bilangan bahagian yang rosak yang dihasilkan semasa peralihan pada kedua-dua mesin, dan hitung jangkaan matematik dan sisihan piawai pembolehubah rawak ini.
192. Kebarangkalian jam tangan memerlukan pelarasan tambahan ialah 0.2. Wujudkan undang-undang untuk pengagihan bilangan jam tangan yang memerlukan pelarasan tambahan antara tiga jam tangan yang dipilih secara rawak. Dengan menggunakan hukum taburan yang terhasil, cari jangkaan matematik dan varians bagi pembolehubah rawak ini. Semak keputusan menggunakan formula yang sesuai untuk jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum binomial.
193. Daripada enam tiket loteri yang ada, di mana empat daripadanya tidak menang, satu tiket diambil secara rawak sehingga tiket yang menang ditemui. Buat undang-undang pengedaran untuk pembolehubah rawak X - bilangan tiket yang dibawa keluar, jika setiap tiket yang dibawa keluar tidak dikembalikan. Cari jangkaan matematik dan sisihan piawai bagi pembolehubah rawak ini.
194. Seorang pelajar boleh mengambil peperiksaan tidak lebih daripada empat kali. Buat undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak X - bilangan percubaan untuk lulus peperiksaan, jika kebarangkalian lulus ialah 0.75 dan seterusnya meningkat sebanyak 0.1 dengan setiap percubaan berikutnya. Cari varians pembolehubah rawak ini.
195. Hukum taburan dua pembolehubah rawak bebas X dan Y diberikan:
| X | – 6 | Y | – 3 | – 1 | ||||
| P | 0,3 | 0,45 | 0,25 | 0,75 | 0,25 |
Buat satu hukum taburan bagi pembolehubah rawak X–Y dan semak sifat serakan D(X–Y) = D(X) + D(Y).
196. Di antara lima jam daripada jenis yang sama yang terdapat di bengkel, hanya satu yang mempunyai bandul yang tidak sejajar. Tuan memeriksa jam tangan yang dipilih secara rawak. Semakan tamat sebaik sahaja jam dengan bandul tersesar dikesan (jam yang diperiksa tidak dilihat lagi). Buat undang-undang taburan untuk bilangan jam yang ditonton oleh induk dan hitung jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak ini.
197. Pembolehubah rawak bebas X dan Y ditentukan oleh undang-undang taburan:
| X | Y | – 2 | ||||||
| P | 0,1 | 0,3 | ? | 0,4 | 0,6 |
Buat satu hukum taburan bagi pembolehubah rawak X 2 + 2Y dan semak sifat jangkaan matematik: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).
198. Adalah diketahui bahawa pembolehubah rawak X, mengambil dua nilai x 1 = 1 dan x 2 = 2, mempunyai jangkaan matematik sama dengan 7/6. Cari kebarangkalian di mana pembolehubah rawak X mengambil nilainya. Lukiskan hukum taburan bagi pembolehubah rawak 2 X 2 dan cari variansnya.
199. Dua pembolehubah rawak bebas X dan Y ditentukan oleh undang-undang taburan:
Cari P(X= 3) dan P(Y= 4). Lukiskan hukum taburan pembolehubah rawak X – 2Y dan semak sifat jangkaan dan serakan matematik: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).
Dalam masalah 201–210, pembolehubah rawak diberikan yang diedarkan mengikut hukum normal
201. Pembolehubah rawak ξ bertaburan normal. Cari P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.
202. Pembolehubah rawak ξ bertaburan normal. Cari P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.
203. Pembolehubah rawak ξ bertaburan normal. Cari P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.
204. <σ).
205. Untuk pembolehubah rawak ξ diedarkan mengikut hukum normal, cari Р(|ξ–а|<2σ).
206. Untuk pembolehubah rawak ξ diedarkan mengikut hukum normal, cari Р(|ξ–а|<4σ).
207. Pembolehubah rawak bebas ξ dan η bertaburan secara normal,
Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. Tuliskan ketumpatan kebarangkalian dan fungsi taburan jumlahnya. Cari Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).
208. Pembolehubah rawak bebas ξ, η, ζ diedarkan mengikut hukum biasa dan Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dη= 0.04; Мζ= 1; Dζ= 0.09. Tuliskan ketumpatan kebarangkalian dan fungsi taburan untuk jumlahnya. Cari Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).
209. Pembolehubah rawak bebas ξ, η, ζ bertaburan normal dan Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0.64. Tuliskan ketumpatan kebarangkalian dan fungsi taburan untuk jumlahnya. Cari Р(ξ+η+ζ<0) и
Р(–3< ξ+η+ζ<0).
210. Mesin automatik menghasilkan penggelek, mengawal diameternya ξ. Dengan mengandaikan bahawa ξ bertaburan normal dan a = 10 mm, σ = 0.1 mm, cari selang di mana diameter penggelek yang dihasilkan akan terkandung dengan kebarangkalian 0.9973.
Dalam masalah 211–220, sampel X isipadu n =100 diberikan oleh jadual:
| x i | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| n i | 20+(a+b) | 30–(a+b) |
di mana hasil pengukuran x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; n i – frekuensi dengan mana nilai x i berlaku.
1) bina poligon frekuensi relatif w i =n i /n;
2) kirakan min sampel, varians sampel D B dan sisihan piawai σ B;
3) mengira frekuensi teori. Bina graf pada lukisan yang sama dengan poligon;
4) menggunakan kriteria χ 2, uji hipotesis tentang taburan normal populasi pada aras keertian α = 0.05.
211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;
215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.
Dalam masalah 221–230, sampel dua dimensi hasil pengukuran bersama ciri X dan Y dengan isipadu n = 100 ditentukan oleh jadual korelasi:
| X Y | y 1 | y 2 | y 3 | y 4 | y 5 | n xi |
| x 1 | – | – | – | |||
| x 2 | – | – | ||||
| x 3 | – | 8+a | 12+b | – | – | 20+(a+b) |
| x 4 | – | – | 16–a | 14–b | – | 30–(a+b) |
| x 5 | – | – | – | |||
| x 6 | – | – | ||||
| x 7 | – | – | – | |||
| n yi | 19+a | 42+b–a | 31–b | n = 100 |
di mana x i = 0.2·a +(i –1)·0.3·b; y i = 0.5·a +(j – 1)·0.2·b.
1) Cari dan σ y. Ambil nilai dan σ x daripada masalah sebelumnya.
2) Kira pekali korelasi r B . Buat kesimpulan tentang sifat hubungan antara ciri X dan Y.
3) Bina persamaan garis lurus regresi Y pada X dalam bentuk.
4) Lukis medan korelasi pada graf, i.e. plot titik (xi, yi) dan bina garis lurus.
221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;
224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;
227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2
230. a = 5; b = 4
Dalam masalah 231–240, cari nilai maksimum fungsi tersebut 
dalam keadaan 
.
Ambil nilai dari jadual
| Pilihan | Pilihan | |||||||||
| A 1 | ||||||||||
| A 2 | ||||||||||
| A 3 | ||||||||||
| B 1 | ||||||||||
| B 2 | ||||||||||
| B 3 | ||||||||||
| T 1 | ||||||||||
| T 2 | ||||||||||
| T 3 | ||||||||||
| C 1 | ||||||||||
| C 2 |
diperlukan:
1) menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan kaedah grafik;
2) menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simplex jadual;
3) tunjukkan kesesuaian antara penyelesaian sokongan dan bucu kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan;
Dalam masalah 241–250, beberapa kargo homogen tertumpu di kalangan tiga pembekal A i () mesti dihantar kepada lima pengguna B j ().
| Inventori kargo pembekal a i dan keperluan pengguna b j , serta kos pengangkutan seunit kargo daripada pembekal ke-i ke pengguna ke-j C ij diberikan dalam jadual. | Pembekal | Pengguna | ||||
| B 1 | B 2 | B 3 | Rizab | B 4 | ||
| A 1 | B 5 | Dari 11 | Dari 12 | Dari 13 | Dari 14 | Dari 15 |
| A 2 | a 1 | Dari 21 | Dari 22 | Dari 23 | Dari 24 | Dari 25 |
| A 3 | a 2 | C 31 | C 32 | C 33 | C 34 | Dari 35 |
| a 3 | Keperluan | b 1 | b 2 | b 3 | b 4 |
b 5 Perlu menentukan
| Pilihan | Pilihan | |||||||||
| Dari 15 | ||||||||||
| Dari 25 | ||||||||||
| Dari 35 | ||||||||||
| Keperluan | ||||||||||
| b 1 | ||||||||||
| b 2 | ||||||||||
| b 3 | ||||||||||
| b 4 | ||||||||||
| B 5 | ||||||||||
| Dari 11 | ||||||||||
| Dari 12 | ||||||||||
| Dari 13 | ||||||||||
| Dari 14 | ||||||||||
| a 1 | ||||||||||
| Dari 21 | ||||||||||
| Dari 22 | ||||||||||
| Dari 23 | ||||||||||
| Dari 24 | ||||||||||
| a 2 | ||||||||||
| C 31 | ||||||||||
| C 32 | ||||||||||
| C 33 | ||||||||||
| C 34 |
pelan pengangkutan optimum yang membolehkan semua kargo dikeluarkan daripada pembekal dan memenuhi keperluan semua pengguna dengan cara pelan ini mempunyai kos minimum. Cari pelan sokongan pertama menggunakan kaedah sudut "barat laut". Cari pelan optimum menggunakan kaedah potensi. Kira kos penghantaran untuk setiap pelan. Dalam tugasan 251-260, industri membuat pelaburan modal dalam empat objek. Dengan mengambil kira ciri-ciri sumbangan dan keadaan tempatan, keuntungan industri, bergantung pada jumlah pembiayaan, dinyatakan oleh unsur-unsur matriks pembayaran. Untuk memudahkan masalah, andaikan bahawa kerugian industri adalah sama dengan keuntungan industri. Cari strategi industri yang optimum.
Diperlukan:
1) meringkaskan data awal dalam jadual dan mencari penyelesaian kepada permainan matriks dalam strategi tulen, jika ia wujud (jika tidak, lihat langkah seterusnya 2);
2) memudahkan matriks pembayaran;
3) mencipta sepasang masalah dua sama yang setara dengan permainan matriks yang diberikan;
4) mencari penyelesaian optimum kepada masalah langsung (untuk industri B) menggunakan kaedah simpleks;
5) menggunakan korespondensi pembolehubah, tulis penyelesaian optimum kepada masalah dwi (untuk industri A);
6) memberikan tafsiran geometri penyelesaian ini (untuk industri A);
7) menggunakan hubungan antara penyelesaian optimum kepada sepasang masalah dwi, strategi optimum dan kos permainan, mencari penyelesaian kepada permainan dalam strategi campuran;
pilihan 1 pilihan 2 pilihan 3
1. Geometri analitik dan algebra vektor…………………….. 4
2. Sistem persamaan linear dan nombor kompleks………….. 5
3. Memplot graf fungsi, mengira had
dan mengenal pasti titik putus fungsi.…………………………………. 6
4. Terbitan fungsi, nilai terbesar dan terkecil
pada bahagian..…………………………………………………….… 9
5. Penyelidikan fungsi dan pembinaan graf,
fungsi beberapa pembolehubah, kaedah kuasa dua terkecil..… 11
6. Kamiran tak tentu, pasti dan tak wajar….. 12
7. Menyelesaikan persamaan dan sistem pembezaan
persamaan pembezaan…………………………………………….…… 14
9. Kajian siri berangka dan kuasa, anggaran
penyelesaian kepada persamaan pembezaan…………………………………… 17
10. Teori kebarangkalian……………………………………………………………… 18
Petr Alekseevich Burov
Anatoly Nikolaevich Muravyov
Pengumpulan tugasan
©2015-2019 tapak
Semua hak milik pengarangnya. Laman web ini tidak menuntut pengarang, tetapi menyediakan penggunaan percuma.
Tarikh penciptaan halaman: 2017-12-07
Dua pembolehubah rawak $X$ dan $Y$ dipanggil bebas jika hukum taburan satu pembolehubah rawak tidak berubah bergantung pada nilai yang mungkin diambil oleh pembolehubah rawak yang lain. Iaitu, untuk mana-mana $x$ dan $y$ peristiwa $X=x$ dan $Y=y$ adalah bebas. Oleh kerana peristiwa $X=x$ dan $Y=y$ adalah tidak bersandar, maka dengan teorem hasil darab kebarangkalian kejadian tidak bersandar $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ kanan)\kanan)=P \kiri(X=x\kanan)P\kiri(Y=y\kanan)$.
Contoh 1 . Biarkan pembolehubah rawak $X$ menyatakan kemenangan tunai daripada tiket satu loteri "Russian Lotto", dan pembolehubah rawak $Y$ menyatakan kemenangan tunai daripada tiket loteri lain "Golden Key". Jelas sekali bahawa pembolehubah rawak $X,\Y$ akan bebas, kerana kemenangan daripada tiket satu loteri tidak bergantung pada undang-undang pengagihan kemenangan daripada tiket loteri lain. Dalam kes di mana pembolehubah rawak $X,\Y$ akan menyatakan kemenangan loteri yang sama, maka, jelas sekali, pembolehubah rawak ini akan bergantung.
Contoh 2 . Dua pekerja bekerja di bengkel yang berbeza dan menghasilkan pelbagai produk yang tidak berkaitan antara satu sama lain dengan teknologi pembuatan dan bahan mentah yang digunakan. Undang-undang pengedaran untuk bilangan produk rosak yang dikeluarkan oleh pekerja pertama setiap syif mempunyai bentuk berikut:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Bilangan \ produk yang rosak \ x & 0 & 1 \\
\hline
Kebarangkalian & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(array)$
Bilangan produk rosak yang dihasilkan oleh pekerja kedua setiap syif mematuhi undang-undang pengedaran berikut.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Bilangan \ produk yang rosak \ y & 0 & 1 \\
\hline
Kebarangkalian & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(array)$
Mari kita cari undang-undang pengedaran untuk bilangan produk rosak yang dihasilkan oleh dua pekerja setiap syif.
Biarkan pembolehubah rawak $X$ ialah bilangan produk rosak yang dihasilkan oleh pekerja pertama setiap syif, dan $Y$ bilangan produk rosak yang dihasilkan oleh pekerja kedua setiap syif. Mengikut syarat, pembolehubah rawak $X,\Y$ adalah bebas.
Bilangan produk rosak yang dihasilkan oleh dua pekerja setiap syif ialah pembolehubah rawak $X+Y$. Nilai yang mungkin ialah $0,\ 1$ dan $2$. Mari kita cari kebarangkalian yang mana pembolehubah rawak $X+Y$ mengambil nilainya.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ or\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\kiri(Y=1\kanan)+P\kiri(X=1\kanan)P\kiri(Y=0\kanan)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Kemudian undang-undang pengedaran bilangan produk rosak yang dikeluarkan oleh dua pekerja setiap syif:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Bilangan \ produk yang rosak & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Kebarangkalian & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hline
\end(array)$
Dalam contoh sebelumnya, kami melakukan operasi pada pembolehubah rawak $X,\Y$, iaitu, kami mendapati jumlahnya $X+Y$. Mari kita berikan takrifan operasi yang lebih ketat (penambahan, perbezaan, pendaraban) ke atas pembolehubah rawak dan berikan contoh penyelesaian.
Definisi 1. Hasil darab $kX$ pembolehubah rawak $X$ oleh pembolehubah malar $k$ ialah pembolehubah rawak yang mengambil nilai $kx_i$ dengan kebarangkalian yang sama $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \titik ,\ n\ kanan)$.
Definisi 2. Jumlah (perbezaan atau hasil darab) pembolehubah rawak $X$ dan $Y$ ialah pembolehubah rawak yang mengambil semua nilai yang mungkin dalam bentuk $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ atau $x_i\cdot y_i$) , di mana $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, dengan kebarangkalian $p_(ij)$ bahawa pembolehubah rawak $X$ akan mengambil nilai $x_i$, dan $Y$ nilai $y_j$:
$$p_(ij)=P\kiri[\kiri(X=x_i\kanan)\kiri(Y=y_j\kanan)\kanan].$$
Oleh kerana pembolehubah rawak $X,\Y$ adalah bebas, maka mengikut teorem pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ kanan)= p_i\cdot p_j$.
Contoh 3 . Pembolehubah rawak bebas $X,\ Y$ ditentukan oleh undang-undang taburan kebarangkalian mereka.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(array)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(array)$
Mari kita rumuskan hukum taburan pembolehubah rawak $Z=2X+Y$. Jumlah pembolehubah rawak $X$ dan $Y$, iaitu $X+Y$, ialah pembolehubah rawak yang mengambil semua nilai yang mungkin dalam bentuk $x_i+y_j$, di mana $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , dengan kebarangkalian $p_(ij)$ bahawa pembolehubah rawak $X$ akan mengambil nilai $x_i$, dan $Y$ nilai $y_j$: $p_(ij)=P\left [\kiri(X=x_i\kanan )\kiri(Y=y_j\kanan)\kanan]$. Oleh kerana pembolehubah rawak $X,\Y$ adalah bebas, maka mengikut teorem pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ kanan)= p_i\cdot p_j$.
Jadi, ia mempunyai undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak $2X$ dan $Y$, masing-masing.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(array)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(array)$
Untuk kemudahan mencari semua nilai jumlah $Z=2X+Y$ dan kebarangkaliannya, kami akan menyusun jadual tambahan, dalam setiap sel yang kami akan letakkan di sudut kiri nilai jumlah $ Z=2X+Y$, dan di sudut kanan - kebarangkalian nilai ini diperoleh hasil mendarabkan kebarangkalian nilai sepadan pembolehubah rawak $2X$ dan $Y$.
Hasilnya, kami memperoleh taburan $Z=2X+Y$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(array)$