Aplikasi kamiran untuk penyelesaian masalah yang digunakan
Pengiraan kawasan
Kamiran pasti bagi fungsi bukan negatif selanjar f(x) adalah sama secara berangka dengan luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh lengkung y = f(x), paksi O x dan garis lurus x = a dan x = b. Selaras dengan ini, formula kawasan ditulis seperti berikut:
Mari kita lihat beberapa contoh pengiraan luas angka satah.
Tugasan No. 1. Kira luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Penyelesaian. Mari kita bina angka yang luasnya perlu kita kira.
y = x 2 + 1 ialah parabola yang cawangannya diarahkan ke atas, dan parabola dianjak ke atas oleh satu unit berbanding paksi O y (Rajah 1).
Rajah 1. Graf bagi fungsi y = x 2 + 1
Tugasan No. 2. Kira luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 – 1, y = 0 dalam julat dari 0 hingga 1.
 |
Penyelesaian. Graf fungsi ini ialah parabola cabang yang diarahkan ke atas, dan parabola dianjakkan relatif kepada paksi O y ke bawah oleh satu unit (Rajah 2).
Rajah 2. Graf bagi fungsi y = x 2 – 1
Tugasan No. 3. Buat lukisan dan kirakan luas rajah yang dibatasi oleh garisan
y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4.
Penyelesaian. Yang pertama daripada kedua-dua garis ini ialah parabola dengan cawangannya menghala ke bawah, kerana pekali x 2 adalah negatif, dan garis kedua ialah garis lurus yang bersilang kedua-dua paksi koordinat.
Untuk membina parabola, kita dapati koordinat bucunya: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – absis puncak; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ialah ordinatnya, N(1;9) ialah bucunya.
Sekarang mari kita cari titik persilangan parabola dan garis lurus dengan menyelesaikan sistem persamaan:
Menyamakan sisi kanan persamaan yang sisi kirinya sama.
Kami mendapat 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 atau x 2 – 12 = 0, dari mana 
.
Jadi, titik adalah titik persilangan parabola dan garis lurus (Rajah 1).
Rajah 3 Graf fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4
Mari kita bina garis lurus y = 2x – 4. Ia melalui titik (0;-4), (2;0) pada paksi koordinat.
Untuk membina parabola, anda juga boleh menggunakan titik persilangannya dengan paksi 0x, iaitu punca-punca persamaan 8 + 2x – x 2 = 0 atau x 2 – 2x – 8 = 0. Menggunakan teorem Vieta, ia adalah mudah. untuk mencari puncanya: x 1 = 2, x 2 = 4.
Rajah 3 menunjukkan rajah (segmen parabola M 1 N M 2) yang dibatasi oleh garisan ini.
Bahagian kedua masalahnya ialah mencari luas angka ini. Luasnya boleh didapati menggunakan kamiran pasti mengikut formula 
.
Berhubung dengan keadaan ini, kami memperoleh kamiran: 
2 Pengiraan isipadu badan putaran
Isipadu jasad yang diperolehi daripada putaran lengkung y = f(x) mengelilingi paksi O x dikira dengan formula:
Apabila berputar di sekitar paksi O y, formula kelihatan seperti:
Tugasan No. 4. Tentukan isipadu jasad yang diperoleh daripada putaran trapezium melengkung yang dibatasi oleh garis lurus x = 0 x = 3 dan lengkung y = mengelilingi paksi O x.
Penyelesaian. Mari lukis gambar (Rajah 4).
Rajah 4. Graf bagi fungsi y =
Isipadu yang diperlukan ialah 
Tugasan No. 5. Hitung isipadu jasad yang diperoleh daripada putaran trapezium melengkung yang dibatasi oleh lengkung y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi paksi O y.
Penyelesaian. Kami ada:
Ulangkaji soalan
A)
Penyelesaian.
Perkara pertama dan paling penting dalam keputusan adalah melukis.
Mari buat lukisan:
Persamaan y=0 menetapkan paksi "x";
- x=-2 Dan x=1- lurus, selari dengan paksi OU;
- y=x 2 +2 - sebuah parabola, cabang-cabangnya menghala ke atas, dengan bucu pada titik (0;2).
Komen. Untuk membina parabola, cukup untuk mencari titik persilangannya dengan paksi koordinat, i.e. meletakkan x=0 cari persilangan dengan paksi OU dan menyelesaikan persamaan kuadratik yang sepadan, cari persilangan dengan paksi Oh .
Puncak parabola boleh didapati menggunakan formula: 
Anda juga boleh membina garisan titik demi titik.
Pada selang [-2;1] graf fungsi y=x 2 +2 terletak di atas paksi lembu, Itulah sebabnya:
Jawapan: S=9 unit persegi
Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, akan ada kira-kira 9, nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapan: 20 unit persegi, maka jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan salah.
Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid melengkung terletak di bawah paksi Oh?
b) Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan paksi koordinat.
Penyelesaian.
Jom buat lukisan.
Jika trapezoid melengkung terletak sepenuhnya di bawah paksi Oh , maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:
Jawapan: S=(e-1) unit persegi" 1.72 unit persegi
Perhatian! Kedua-dua jenis tugas tidak boleh dikelirukan:
1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia mungkin negatif.
2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.
Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah.
c) Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.
Penyelesaian.
Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola 
dan lurus 
Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analitikal.
Kami menyelesaikan persamaan:
Ini bermakna bahawa had bawah integrasi a=0, had atas penyepaduan b=3 .
|
Kami membina garisan yang diberikan: 1. Parabola - bucu pada titik (1;1); persimpangan paksi Oh - mata (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - pembahagi dua sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama dengan beberapa fungsi berterusan g(x), maka luas angka yang sepadan boleh didapati menggunakan formula: Dan tidak kira di mana angka itu berada - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi yang penting ialah graf yang LEBIH TINGGI (berbanding dengan graf lain), dan yang di BAWAH. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada |
.Anda boleh membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Walau bagaimanapun, kaedah analisis mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional).
Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Pada segmen 
, mengikut formula yang sepadan:
Jawapan: S=4.5 unit persegi
Bagaimana untuk memasukkan formula matematik di laman web?
Jika anda perlu menambah satu atau dua formula matematik pada halaman web, maka cara paling mudah untuk melakukan ini adalah seperti yang diterangkan dalam artikel: formula matematik mudah dimasukkan ke tapak dalam bentuk gambar yang dijana secara automatik oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaan, kaedah universal ini akan membantu meningkatkan keterlihatan tapak dalam enjin carian. Ia telah berfungsi untuk masa yang lama (dan, saya fikir, akan berfungsi selama-lamanya), tetapi sudah ketinggalan zaman dari segi moral.
Jika anda kerap menggunakan formula matematik di tapak anda, maka saya syorkan anda menggunakan MathJax - perpustakaan JavaScript khas yang memaparkan tatatanda matematik dalam pelayar web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.
Terdapat dua cara untuk mula menggunakan MathJax: (1) menggunakan kod mudah, anda boleh menyambungkan skrip MathJax ke tapak web anda dengan cepat, yang akan dimuatkan secara automatik dari pelayan jauh pada masa yang betul (senarai pelayan); (2) muat turun skrip MathJax dari pelayan jauh ke pelayan anda dan sambungkannya ke semua halaman tapak anda. Kaedah kedua - lebih kompleks dan memakan masa - akan mempercepatkan pemuatan halaman tapak anda, dan jika pelayan MathJax induk menjadi tidak tersedia buat sementara waktu atas sebab tertentu, ini tidak akan menjejaskan tapak anda sendiri dalam apa cara sekalipun. Di sebalik kelebihan ini, saya memilih kaedah pertama kerana ia lebih mudah, cepat dan tidak memerlukan kemahiran teknikal. Ikuti contoh saya, dan dalam masa 5 minit sahaja anda akan dapat menggunakan semua ciri MathJax di tapak anda.
Anda boleh menyambungkan skrip perpustakaan MathJax dari pelayan jauh menggunakan dua pilihan kod yang diambil dari tapak web MathJax utama atau pada halaman dokumentasi:
Salah satu daripada pilihan kod ini perlu disalin dan ditampal ke dalam kod halaman web anda, sebaik-baiknya antara teg dan atau sejurus selepas teg. Mengikut pilihan pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlahankan halaman kurang. Tetapi pilihan kedua secara automatik memantau dan memuatkan versi terkini MathJax. Jika anda memasukkan kod pertama, ia perlu dikemas kini secara berkala. Jika anda memasukkan kod kedua, halaman akan dimuatkan dengan lebih perlahan, tetapi anda tidak perlu sentiasa memantau kemas kini MathJax.
Cara paling mudah untuk menyambungkan MathJax ialah dalam Blogger atau WordPress: dalam panel kawalan tapak, tambahkan widget yang direka untuk memasukkan kod JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua kod muat turun yang dibentangkan di atas ke dalamnya dan letakkan widget lebih dekat ke permulaan templat (omong-omong, ini tidak perlu sama sekali, kerana skrip MathJax dimuatkan secara tidak segerak). Itu sahaja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML, dan anda sudah bersedia untuk memasukkan formula matematik ke dalam halaman web tapak anda.
Mana-mana fraktal dibina mengikut peraturan tertentu, yang digunakan secara konsisten dalam bilangan kali yang tidak terhad. Setiap masa itu dipanggil lelaran.
Algoritma lelaran untuk membina span Menger agak mudah: kubus asal dengan sisi 1 dibahagikan dengan satah selari dengan mukanya kepada 27 kubus yang sama. Satu kiub pusat dan 6 kiub bersebelahan dengannya di sepanjang muka dikeluarkan daripadanya. Hasilnya ialah satu set yang terdiri daripada baki 20 kiub yang lebih kecil. Melakukan perkara yang sama dengan setiap kiub ini, kami mendapat satu set yang terdiri daripada 400 kiub yang lebih kecil. Meneruskan proses ini tanpa henti, kami mendapat span Menger.
Angka yang dibatasi oleh graf fungsi bukan negatif selanjar $f(x)$ pada ruas $$ dan garisan $y=0, \ x=a$ dan $x=b$ dipanggil trapezoid lengkung.
Luas trapezoid curvilinear yang sepadan dikira dengan formula:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Kami akan membahagikan masalah secara bersyarat untuk mencari luas trapezium melengkung kepada jenis $4$. Mari lihat setiap jenis dengan lebih terperinci.
Jenis I: trapezoid melengkung dinyatakan secara eksplisit. Kemudian segera gunakan formula (*).
Sebagai contoh, cari luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=4-(x-2)^(2)$ dan garisan $y=0, \ x=1$ dan $x =3$.
Mari kita lukis trapezoid melengkung ini.
Menggunakan formula (*), kita dapati luas trapezium lengkung ini.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\kiri(4-(x-2)^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\kanan|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\kiri((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\kanan)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\kiri((1)^(3)-(-1)^(3)\kanan) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).
Jenis II: trapezoid melengkung dinyatakan secara tersirat. Dalam kes ini, garis lurus $x=a, \ x=b$ biasanya tidak dinyatakan atau dinyatakan sebahagiannya. Dalam kes ini, anda perlu mencari titik persilangan bagi fungsi $y=f(x)$ dan $y=0$. Mata ini akan menjadi mata $a$ dan $b$.
Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$.
Mari cari titik persimpangan. Untuk melakukan ini, kami menyamakan bahagian kanan fungsi.
Oleh itu, $a=-1$ dan $b=1$. Mari kita lukis trapezoid melengkung ini.
Mari cari luas trapezium melengkung ini.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\kiri(1^(3)-(-1)^(3)\kanan)=2 – \frac(1)(3) \kiri(1+1\kanan) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).
Jenis III: luas rajah yang dihadkan oleh persilangan dua fungsi bukan negatif berterusan. Angka ini tidak akan menjadi trapezoid melengkung, yang bermaksud anda tidak boleh mengira luasnya menggunakan formula (*). Bagaimana untuk menjadi? Ternyata luas rajah ini boleh didapati sebagai perbezaan antara kawasan trapezoid lengkung yang dibatasi oleh fungsi atas dan $y=0$ ($S_(uf)$), dan fungsi bawah dan $y =0$ ($S_(lf)$), di mana peranan $x=a, \ x=b$ dimainkan oleh $x$ koordinat titik persilangan fungsi ini, i.e.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Perkara yang paling penting apabila mengira kawasan tersebut adalah untuk tidak "terlepas" dengan pilihan fungsi atas dan bawah.
Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh fungsi $y=x^(2)$ dan $y=x+6$.
Mari cari titik persilangan graf ini:
Menurut teorem Vieta,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Iaitu, $a=-2,\b=3$. Mari lukis angka:
Oleh itu, fungsi atas ialah $y=x+6$, dan fungsi bawah ialah $y=x^(2)$. Seterusnya, kita dapati $S_(uf)$ dan $S_(lf)$ menggunakan formula (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kiri.\frac(x^(2))(2)\kanan|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unit$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unit$^(2)$).
Mari kita gantikan apa yang kita temui ke dalam (**) dan dapatkan:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unit$^(2)$).
Jenis IV: luas angka yang dibatasi oleh fungsi yang tidak memenuhi syarat bukan negatif. Untuk mencari luas rajah sedemikian, anda perlu simetri tentang paksi $Ox$ ( Dalam kata lain, letakkan "tolak" di hadapan fungsi) paparkan kawasan dan, menggunakan kaedah yang digariskan dalam jenis I - III, cari kawasan kawasan yang dipaparkan. Kawasan ini akan menjadi kawasan yang diperlukan. Pertama, anda mungkin perlu mencari titik persilangan graf fungsi.
Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=x^(2)-1$ dan $y=0$.
Mari cari titik persilangan graf fungsi:
mereka. $a=-1$, dan $b=1$. Mari kita lukis kawasan.
Mari kita paparkan kawasan secara simetri:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Hasilnya ialah trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$. Ini adalah masalah untuk mencari trapezoid melengkung jenis kedua. Kami telah pun menyelesaikannya. Jawapannya ialah: $S= 1\frac(1)(3)$ (unit $^(2)$). Ini bermakna bahawa luas trapezoid curvilinear yang diperlukan adalah sama dengan:
$S=1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).
Mari kita pertimbangkan trapezoid melengkung yang dibatasi oleh paksi Lembu, lengkung y=f(x) dan dua garis lurus: x=a dan x=b (Rajah 85). Mari kita ambil nilai arbitrari x (bukan a dan bukan b). Mari kita berikan kenaikan h = dx dan pertimbangkan jalur yang dibatasi oleh garis lurus AB dan CD, paksi Ox dan lengkok BD kepunyaan lengkung yang sedang dipertimbangkan. Kami akan memanggil jalur ini sebagai jalur asas. Luas jalur asas berbeza daripada luas segi empat tepat ACQB oleh segi tiga lengkung BQD, dan luas jalur kedua adalah kurang daripada luas segi empat tepat BQDM dengan sisi BQ = =h= dx) QD=Ay dan luas sama dengan hAy = Ay dx. Apabila sisi h berkurangan, sisi Du juga berkurangan dan serentak dengan h cenderung kepada sifar. Oleh itu, luas BQDM adalah tertib kedua sangat kecil. Luas jalur asas ialah pertambahan luas, dan luas segi empat tepat ACQB, sama dengan AB-AC ==/(x) dx> ialah pembezaan bagi kawasan itu. Akibatnya, kami mencari kawasan itu sendiri dengan menyepadukan pembezaannya. Dalam rajah yang dipertimbangkan, pembolehubah tidak bersandar l: berubah daripada a kepada b, jadi luas yang diperlukan 5 akan bersamaan dengan 5= \f(x) dx. (I) Contoh 1. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh parabola y - 1 -x*, garis lurus X =--Fj-, x = 1 dan paksi O* (Rajah 86). pada Rajah. 87. Rajah. 86. 1 Di sini f(x) = 1 - l?, had pengamiran ialah a = - dan £ = 1, oleh itu J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Mari kita hitung luas yang dihadkan oleh sinusoid y = sinXy, paksi Ox dan garis lurus (Gamb. 87). Menggunakan formula (I), kita memperoleh A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Contoh 3. Kira luas yang dihadkan oleh lengkok sinusoid ^у = sin jc, tertutup antara dua titik persilangan bersebelahan dengan paksi Lembu (contohnya, antara asal dan titik dengan absis i). Perhatikan bahawa dari pertimbangan geometri adalah jelas bahawa kawasan ini akan menjadi dua kali luas daripada contoh sebelumnya. Walau bagaimanapun, mari kita lakukan pengiraan: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Sesungguhnya, andaian kami ternyata betul. Contoh 4. Kira luas yang dibatasi oleh sinusoid dan paksi Lembu pada satu titik (Rajah 88). Pengiraan awal mencadangkan bahawa kawasan itu akan menjadi empat kali lebih besar daripada Contoh 2. Walau bagaimanapun, selepas melakukan pengiraan, kami memperoleh “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Keputusan ini memerlukan penjelasan. Untuk menjelaskan intipati perkara itu, kami juga mengira kawasan yang dihadkan oleh sinusoid yang sama y = sin l: dan paksi Lembu dalam julat dari l hingga 2i. Menggunakan formula (I), kita memperoleh 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Oleh itu, kita melihat bahawa kawasan ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan kawasan yang dikira dalam latihan 3, kami mendapati bahawa nilai mutlaknya adalah sama, tetapi tandanya berbeza. Jika kita menggunakan sifat V (lihat Bab XI, § 4), kita mendapat 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Apa yang berlaku dalam contoh ini bukan kemalangan. Sentiasa kawasan yang terletak di bawah paksi Lembu, dengan syarat pembolehubah bebas berubah dari kiri ke kanan, diperoleh apabila dikira menggunakan kamiran. Dalam kursus ini kita akan sentiasa mempertimbangkan kawasan tanpa tanda. Oleh itu, jawapan dalam contoh yang baru dibincangkan ialah: kawasan yang diperlukan ialah 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan dalam Rajah. 89. Kawasan ini dihadkan oleh paksi Lembu, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x+\. Luas trapezoid melengkung Luas OAB yang diperlukan terdiri daripada dua bahagian: OAM dan MAV. Oleh kerana titik A ialah titik persilangan parabola dan garis lurus, kita akan mencari koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y = mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Menyelesaikan sistem, kita dapati l; = ~. Oleh itu, luas perlu dikira dalam bahagian, segi empat sama pertama. OAM dan kemudian pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)