Mari lihat tiga cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil.
Mencari dengan pemfaktoran
Kaedah pertama ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan memfaktorkan nombor yang diberikan kepada faktor perdana.
Katakan kita perlu mencari LCM nombor: 99, 30 dan 28. Untuk melakukan ini, mari kita faktorkan setiap nombor ini ke dalam faktor perdana:
Untuk nombor yang diingini boleh dibahagikan dengan 99, 30 dan 28, adalah perlu dan memadai bahawa ia termasuk semua faktor perdana pembahagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor utama nombor ini kepada kuasa yang paling besar dan mendarabnya bersama-sama:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
Oleh itu, LCM (99, 30, 28) = 13,860 Tiada nombor lain yang kurang daripada 13,860 boleh dibahagikan dengan 99, 30, atau 28.
Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan, anda memfaktorkannya ke dalam faktor perdananya, kemudian ambil setiap faktor perdana dengan eksponen terbesar yang tertera di dalamnya, dan darabkan faktor tersebut bersama-sama.
Oleh kerana nombor relatif perdana tidak mempunyai faktor perdana sepunya, gandaan sepunya terkecilnya adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Sebagai contoh, tiga nombor: 20, 49 dan 33 adalah relatif perdana. sebab tu
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Perkara yang sama mesti dilakukan apabila mencari gandaan sepunya terkecil pelbagai nombor perdana. Contohnya, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Mencari melalui pemilihan
Kaedah kedua ialah mencari gandaan sepunya terkecil melalui pemilihan.
Contoh 1. Apabila nombor terbesar yang diberi dibahagikan dengan nombor lain yang diberi, maka KPK nombor ini adalah sama dengan yang terbesar daripadanya. Sebagai contoh, diberi empat nombor: 60, 30, 10 dan 6. Setiap daripada mereka boleh dibahagi dengan 60, oleh itu:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Dalam kes lain, untuk mencari gandaan sepunya terkecil, prosedur berikut digunakan:
- Tentukan nombor terbesar daripada nombor yang diberi.
- Seterusnya, kita mencari nombor yang merupakan gandaan nombor terbesar dengan mendarabkannya dengan nombor asli dalam susunan yang semakin meningkat dan menyemak sama ada hasil darab yang terhasil boleh dibahagikan dengan baki nombor yang diberikan.
Contoh 2. Diberi tiga nombor 24, 3 dan 18. Kami menentukan yang terbesar daripada mereka - ini ialah nombor 24. Seterusnya, kami mencari nombor yang merupakan gandaan 24, memeriksa sama ada setiap daripada mereka boleh dibahagi dengan 18 dan 3:
24 · 1 = 24 - boleh dibahagi dengan 3, tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 18.
24 · 2 = 48 - boleh dibahagi dengan 3, tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 18.
24 · 3 = 72 - boleh dibahagi dengan 3 dan 18.
Oleh itu, LCM (24, 3, 18) = 72.
Mencari dengan mencari LCM secara berurutan
Kaedah ketiga ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan mencari LCM secara berurutan.
LCM bagi dua nombor yang diberikan adalah sama dengan hasil darab nombor ini dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar mereka.
Contoh 1. Cari KPK bagi dua nombor yang diberi: 12 dan 8. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: GCD (12, 8) = 4. Darabkan nombor ini:
Kami membahagikan produk dengan gcd mereka:
Oleh itu, LCM (12, 8) = 24.
Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, gunakan prosedur berikut:
- Mula-mula, cari LCM bagi mana-mana dua nombor ini.
- Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil ditemui dan nombor ketiga yang diberikan.
- Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil dan nombor keempat, dsb.
- Oleh itu, pencarian LCM diteruskan selagi ada nombor.
Contoh 2. Mari kita cari LCM bagi tiga nombor yang diberi: 12, 8 dan 9. Kami sudah menemui KPK nombor 12 dan 8 dalam contoh sebelumnya (ini ialah nombor 24). Ia kekal untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 24 dan nombor ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: GCD (24, 9) = 3. Darabkan LCM dengan nombor 9:
Kami membahagikan produk dengan gcd mereka:
Oleh itu, LCM (12, 8, 9) = 72.
Topik "Nombor Berbilang" dipelajari di gred ke-5 sekolah menengah. Matlamatnya adalah untuk meningkatkan kemahiran pengiraan matematik bertulis dan lisan. Dalam pelajaran ini, konsep baharu diperkenalkan - "nombor berbilang" dan "pembahagi", teknik mencari pembahagi dan gandaan nombor asli, dan kebolehan mencari LCM dalam pelbagai cara diamalkan.
Topik ini sangat penting. Pengetahuan mengenainya boleh digunakan semasa menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari penyebut sepunya dengan mengira gandaan sepunya terkecil (LCM).
Gandaan A ialah integer yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki.
Setiap nombor asli mempunyai nombor gandaan yang tidak terhingga. Ia sendiri dianggap paling kecil. Gandaan tidak boleh kurang daripada nombor itu sendiri.
Anda perlu membuktikan bahawa nombor 125 adalah gandaan nombor 5. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan nombor pertama dengan yang kedua. Jika 125 boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki, maka jawapannya ialah ya.
Kaedah ini terpakai untuk nombor kecil.
Terdapat kes khas apabila mengira LOC.
1. Jika anda perlu mencari gandaan sepunya bagi 2 nombor (contohnya, 80 dan 20), di mana satu daripadanya (80) boleh dibahagikan dengan yang lain (20), maka nombor ini (80) ialah gandaan terkecil daripada ini dua nombor.
LCM(80, 20) = 80.
2. Jika dua tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka kita boleh mengatakan bahawa LCM mereka adalah hasil darab kedua-dua nombor ini.
LCM(6, 7) = 42.
Mari kita lihat contoh terakhir. 6 dan 7 berhubung dengan 42 ialah pembahagi. Mereka membahagi gandaan nombor tanpa baki.
Dalam contoh ini, 6 dan 7 ialah faktor berpasangan. Hasil darab mereka adalah sama dengan nombor berbilang terbanyak (42).
Nombor dipanggil perdana jika ia boleh dibahagikan dengan sendirinya sahaja atau dengan 1 (3:1=3; 3:3=1). Selebihnya dipanggil komposit.
Contoh lain melibatkan penentuan sama ada 9 ialah pembahagi 42.
42:9=4 (baki 6)
Jawapan: 9 bukan pembahagi 42 kerana jawapan mempunyai baki.
Pembahagi berbeza daripada gandaan kerana pembahagi ialah nombor yang nombor asli dibahagikan, dan gandaan itu sendiri boleh dibahagikan dengan nombor ini.
Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a Dan b, didarab dengan gandaan terkecilnya, akan memberikan hasil darab nombor itu sendiri a Dan b.
Iaitu: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Gandaan sepunya untuk nombor yang lebih kompleks didapati dengan cara berikut.
Sebagai contoh, cari LCM untuk 168, 180, 3024.
Kami memfaktorkan nombor ini ke dalam faktor perdana dan menulisnya sebagai hasil darab kuasa:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
Nombor kedua: b=
Pemisah seribu Tanpa pemisah ruang "´
Keputusan:
GCD pembahagi sepunya terbesar( a,b)=6
Gandaan sepunya terkecil LCM( a,b)=468
Nombor asli terbesar yang nombor a dan b dibahagikan tanpa baki dipanggil pembahagi sepunya terbesar(GCD) nombor ini. Ditandakan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).
Gandaan sepunya terkecil KPK bagi dua integer a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b tanpa baki. Ditandakan LCM(a,b), atau lcm(a,b).
Integer a dan b dipanggil saling perdana, jika mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya selain daripada +1 dan −1.
Pembahagi sepunya terbesar
Biarkan dua nombor positif diberi a 1 dan a 2 1). Ia diperlukan untuk mencari pembahagi sepunya nombor ini, i.e. cari nombor sedemikian λ , yang membahagi nombor a 1 dan a 2 pada masa yang sama. Mari kita terangkan algoritma.
1) Dalam artikel ini, perkataan nombor akan difahami sebagai integer.
biarlah a 1 ≥ a 2 dan biarkan
di mana m 1 , a 3 ialah beberapa integer, a 3 <a 2 (baki bahagian a 1 setiap a 2 sepatutnya kurang a 2).
Mari kita berpura-pura itu λ membahagikan a 1 dan a 2 kemudian λ membahagikan m 1 a 2 dan λ membahagikan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pernyataan 2 artikel "Kebolehbahagiaan nombor. Ujian kebolehbahagiaan"). Ia berikutan bahawa setiap pembahagi biasa a 1 dan a 2 ialah pembahagi biasa a 2 dan a 3. Begitu juga sebaliknya jika λ pembahagi biasa a 2 dan a 3 kemudian m 1 a 2 dan a 1 =m 1 a 2 +a 3 juga boleh dibahagikan dengan λ . Oleh itu pembahagi biasa a 2 dan a 3 juga merupakan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 3 <a 2 ≤a 1, maka kita boleh mengatakan bahawa penyelesaian kepada masalah mencari pembahagi sepunya nombor a 1 dan a 2 dikurangkan kepada masalah yang lebih mudah untuk mencari pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3 .
Jika a 3 ≠0, maka kita boleh bahagi a 2 pada a 3. Kemudian
,
di mana m 1 dan a 4 ialah beberapa integer, ( a 4 baki daripada bahagian a 2 pada a 3 (a 4 <a 3)). Dengan alasan yang sama kita sampai pada kesimpulan bahawa pembahagi sepunya nombor a 3 dan a 4 bertepatan dengan pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3, dan juga dengan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ialah nombor yang sentiasa berkurangan, dan kerana terdapat bilangan integer terhingga antara a 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, baki bahagian a n pada a n+1 akan sama dengan sifar ( a n+2 =0).
.
Setiap pembahagi biasa λ nombor a 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor a 2 dan a 3 , a 3 dan a 4 , .... a n dan a n+1 . Sebaliknya juga benar, pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 juga pembahagi nombor a n−1 dan a n , .... , a 2 dan a 3 , a 1 dan a 2. Tetapi pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 ialah nombor a n+1 , kerana a n dan a n+1 boleh dibahagikan dengan a n+1 (ingat itu a n+2 =0). Oleh itu a n+1 juga merupakan pembahagi nombor a 1 dan a 2 .
Perhatikan bahawa nombor a n+1 ialah pembahagi nombor terbesar a n dan a n+1 , sejak pembahagi terbesar a n+1 ialah dirinya sendiri a n+1 . Jika a n+1 boleh diwakili sebagai hasil darab integer, maka nombor ini juga pembahagi biasa nombor a 1 dan a 2. Nombor a n+1 dipanggil pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 .
Nombor a 1 dan a 2 boleh sama ada nombor positif atau negatif. Jika salah satu nombor adalah sama dengan sifar, maka pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini akan sama dengan nilai mutlak nombor lain. Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor sifar tidak ditentukan.
Algoritma di atas dipanggil Algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer.
Contoh mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor
Cari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor 630 dan 434.
- Langkah 1. Bahagikan nombor 630 dengan 434. Bakinya ialah 196.
- Langkah 2. Bahagikan nombor 434 dengan 196. Bakinya ialah 42.
- Langkah 3. Bahagikan nombor 196 dengan 42. Bakinya ialah 28.
- Langkah 4. Bahagikan nombor 42 dengan 28. Bakinya ialah 14.
- Langkah 5. Bahagikan nombor 28 dengan 14. Bakinya ialah 0.
Dalam langkah 5, baki pembahagian ialah 0. Oleh itu, pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 630 dan 434 ialah 14. Perhatikan bahawa nombor 2 dan 7 juga merupakan pembahagi bagi nombor 630 dan 434.
Nombor koprima
Definisi 1. Biarkan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 sama dengan satu. Kemudian nombor ini dipanggil nombor koprima, tidak mempunyai pembahagi biasa.
Teorem 1. Jika a 1 dan a 2 nombor koprima, dan λ beberapa nombor, kemudian mana-mana pembahagi sepunya nombor λa 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor biasa λ Dan a 2 .
Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 (lihat di atas).
.
Daripada syarat-syarat teorem ia mengikuti bahawa pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 dan oleh itu a n dan a n+1 ialah 1. Iaitu a n+1 =1.
Mari kita darabkan semua kesamaan ini dengan λ , Kemudian
.
Biar pembahagi biasa a 1 λ Dan a 2 ya δ . Kemudian δ disertakan sebagai pengganda dalam a 1 λ , m 1 a 2 λ dan dalam a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (cm. "Kebolehbahagiaan nombor", Pernyataan 2). Selanjutnya δ disertakan sebagai pengganda dalam a 2 λ Dan m 2 a 3 λ , dan, oleh itu, dimasukkan sebagai faktor dalam a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Menaakul dengan cara ini, kami yakin bahawa δ disertakan sebagai pengganda dalam a n−1 λ Dan m n−1 a n λ , dan oleh itu dalam a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Kerana a n+1 =1, maka δ disertakan sebagai pengganda dalam λ . Oleh itu nombor δ ialah pembahagi sepunya bagi nombor λ Dan a 2 .
Mari kita pertimbangkan kes khas Teorem 1.
Akibat 1. biarlah a Dan c Nombor perdana adalah relatif b. Kemudian produk mereka ac ialah nombor perdana berkenaan dengan b.
sungguh. Daripada Teorem 1 ac Dan b mempunyai pembahagi sepunya yang sama seperti c Dan b. Tetapi nombor c Dan b agak mudah, i.e. mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Kemudian ac Dan b juga mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Oleh itu ac Dan b saling sederhana.
Akibat 2. biarlah a Dan b nombor koprima dan biarkan b membahagikan ak. Kemudian b membahagikan dan k.
sungguh. Daripada syarat kelulusan ak Dan b mempunyai pembahagi biasa b. Berdasarkan Teorem 1, b mestilah pembahagi biasa b Dan k. Oleh itu b membahagikan k.
Corollary 1 boleh digeneralisasikan.
Akibat 3. 1. Biarkan nombor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m adalah relatif perdana kepada nombor b. Kemudian a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, hasil darab nombor ini adalah perdana berkenaan dengan nombor itu b.
2. Mari kita mempunyai dua baris nombor
supaya setiap nombor dalam siri pertama adalah perdana dalam nisbah setiap nombor dalam siri kedua. Kemudian produk
Anda perlu mencari nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini.
Jika suatu nombor boleh dibahagi dengan a 1, maka ia mempunyai bentuk sa 1 di mana s beberapa nombor. Jika q ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2, kemudian
di mana s 1 ialah beberapa integer. Kemudian
ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 dan a 2 .
a 1 dan a 2 adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 dan a 2:
Kita perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.
Daripada perkara di atas ia mengikuti bahawa sebarang gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 mestilah gandaan nombor ε Dan a 3 dan belakang. Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε Dan a 3 ya ε 1 . Seterusnya, gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mestilah gandaan nombor ε 1 dan a 4 . Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε 1 dan a 4 ya ε 2. Oleh itu, kami mendapati bahawa semua gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m bertepatan dengan gandaan nombor tertentu ε n, yang dipanggil gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberi.
Dalam kes khas apabila nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 , a 2, seperti yang ditunjukkan di atas, mempunyai bentuk (3). Seterusnya, sejak a 3 perdana berhubung dengan nombor a 1 , a 2 kemudian a 3 nombor perdana a 1 · a 2 (Korol 1). Bermaksud gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 ,a 2 ,a 3 ialah nombor a 1 · a 2 · a 3. Menaakul dengan cara yang sama, kita sampai pada kenyataan berikut.
Kenyataan 1. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah sama dengan produk mereka a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Kenyataan 2. Sebarang nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m juga boleh dibahagikan dengan hasil keluarannya a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Mari kita teruskan perbualan tentang gandaan sepunya terkecil, yang kita mulakan dalam bahagian "LCM - gandaan sepunya terkecil, definisi, contoh." Dalam topik ini, kita akan melihat cara untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, dan kita akan melihat persoalan tentang cara mencari LCM bagi nombor negatif.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mengira Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) melalui GCD
Kami telah pun mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara menentukan LCM melalui GCD. Mula-mula, mari kita fikirkan cara melakukan ini untuk nombor positif.
Definisi 1
Anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar menggunakan formula LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Contoh 1
Anda perlu mencari LCM bagi nombor 126 dan 70.
Penyelesaian
Mari kita ambil a = 126, b = 70. Mari kita gantikan nilai ke dalam formula untuk mengira gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Cari gcd nombor 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclidean: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, oleh itu GCD (126 , 70) = 14 .
Mari kita hitung LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Jawapan: LCM(126, 70) = 630.
Contoh 2
Cari nombor 68 dan 34.
Penyelesaian
GCD dalam kes ini tidak sukar dicari, kerana 68 boleh dibahagi dengan 34. Mari kita hitung gandaan sepunya terkecil menggunakan formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Jawapan: LCM(68, 34) = 68.
Dalam contoh ini, kami menggunakan peraturan untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi integer positif a dan b: jika nombor pertama boleh dibahagi dengan kedua, LCM nombor tersebut akan sama dengan nombor pertama.
Mencari LCM dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana
Sekarang mari kita lihat kaedah untuk mencari LCM, yang berdasarkan pemfaktoran nombor menjadi faktor perdana.
Definisi 2
Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah mudah:
- kita menyusun hasil darab semua faktor perdana bagi nombor yang kita perlukan untuk mencari LCM;
- kami mengecualikan semua faktor utama daripada produk terhasilnya;
- produk yang diperoleh selepas menghapuskan faktor perdana sepunya akan sama dengan LCM nombor yang diberikan.
Kaedah mencari gandaan sepunya terkecil ini adalah berdasarkan kesamaan LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jika anda melihat formula, ia akan menjadi jelas: hasil darab nombor a dan b adalah sama dengan hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam penguraian dua nombor ini. Dalam kes ini, gcd bagi dua nombor adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang hadir serentak dalam pemfaktoran dua nombor yang diberikan.
Contoh 3
Kami mempunyai dua nombor 75 dan 210. Kita boleh memfaktorkannya seperti berikut: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika anda mengarang hasil darab semua faktor bagi dua nombor asal, anda akan mendapat: 2 3 3 5 5 5 7.
Jika kita mengecualikan faktor sepunya kepada kedua-dua nombor 3 dan 5, kita mendapat hasil darab dalam bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi LCM kami untuk nombor 75 dan 210.
Contoh 4
Cari LCM nombor 441 Dan 700 , memfaktorkan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana.
Penyelesaian
Mari kita cari semua faktor perdana bagi nombor yang diberikan dalam keadaan:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Kami mendapat dua rantai nombor: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7.
Hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam penguraian nombor ini akan mempunyai bentuk: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari cari faktor biasa. Ini adalah nombor 7. Mari kecualikan ia daripada jumlah produk: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Jawapan: LOC(441, 700) = 44,100.
Mari kita berikan satu lagi rumusan kaedah untuk mencari LCM dengan menguraikan nombor menjadi faktor perdana.
Definisi 3
Sebelum ini, kami mengecualikan daripada jumlah bilangan faktor yang sama kepada kedua-dua nombor. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeza:
- Mari kita faktorkan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana:
- tambah kepada hasil darab faktor perdana nombor pertama dengan faktor yang hilang bagi nombor kedua;
- kami memperoleh produk, yang akan menjadi LCM yang dikehendaki bagi dua nombor.
Contoh 5
Mari kembali ke nombor 75 dan 210, yang mana kita sudah mencari LCM dalam salah satu contoh sebelumnya. Mari kita pecahkan kepada faktor mudah: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Kepada hasil darab faktor 3, 5 dan 5 nombor 75 menambah faktor yang hilang 2 Dan 7 nombor 210. Kita mendapatkan: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ini ialah LCM bagi nombor 75 dan 210.
Contoh 6
Ia adalah perlu untuk mengira LCM bagi nombor 84 dan 648.
Penyelesaian
Mari kita faktorkan nombor daripada keadaan menjadi faktor mudah: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Mari tambahkan pada hasil darab faktor 2, 2, 3 dan 7
nombor 84 hilang faktor 2, 3, 3 dan
3
nombor 648. Kami mendapat produk 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi 84 dan 648.
Jawapan: LCM(84, 648) = 4,536.
Mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor
Tidak kira berapa banyak nombor yang kita hadapi, algoritma tindakan kita akan sentiasa sama: kita akan mencari LCM bagi dua nombor secara berurutan. Terdapat teorem untuk kes ini.
Teorem 1
Mari kita andaikan kita mempunyai integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k nombor ini didapati dengan mengira secara berurutan m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Sekarang mari kita lihat bagaimana teorem boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah tertentu.
Contoh 7
Anda perlu mengira gandaan sepunya terkecil bagi empat nombor 140, 9, 54 dan 250 .
Penyelesaian
Mari kita perkenalkan notasi: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Mari kita mulakan dengan mengira m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Mari gunakan algoritma Euclidean untuk mengira GCD bagi nombor 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Kami mendapat: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Oleh itu, m 2 = 1,260.
Sekarang mari kita hitung menggunakan algoritma yang sama m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Semasa pengiraan kita memperoleh m 3 = 3 780.
Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Kami mengikuti algoritma yang sama. Kami mendapat m 4 = 94 500.
LCM bagi empat nombor daripada keadaan contoh ialah 94500.
Jawapan: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Seperti yang anda lihat, pengiraannya adalah mudah, tetapi agak intensif buruh. Untuk menjimatkan masa, anda boleh pergi dengan cara lain.
Definisi 4
Kami menawarkan kepada anda algoritma tindakan berikut:
- kita menguraikan semua nombor kepada faktor perdana;
- kepada hasil darab faktor nombor pertama kita tambah faktor yang hilang daripada hasil darab nombor kedua;
- kepada produk yang diperoleh pada peringkat sebelumnya kami menambah faktor yang hilang bagi nombor ketiga, dsb.;
- produk yang terhasil akan menjadi gandaan sepunya terkecil semua nombor daripada keadaan.
Contoh 8
Anda perlu mencari LCM bagi lima nombor 84, 6, 48, 7, 143.
Penyelesaian
Mari faktorkan semua lima nombor menjadi faktor perdana: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Nombor perdana, iaitu nombor 7, tidak boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana. Nombor sedemikian bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor perdana.
Sekarang mari kita ambil hasil darab faktor perdana 2, 2, 3 dan 7 bagi nombor 84 dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang bagi nombor kedua. Kami menguraikan nombor 6 kepada 2 dan 3. Faktor ini sudah ada dalam hasil darab nombor pertama. Oleh itu, kami meninggalkan mereka.
Kami terus menambah pengganda yang hilang. Mari kita beralih kepada nombor 48, dari hasil darab faktor utamanya kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita menambah faktor perdana 7 daripada nombor keempat dan faktor 11 dan 13 daripada nombor kelima. Kami dapat: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ini ialah gandaan sepunya terkecil daripada lima nombor asal.
Jawapan: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor negatif
Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor negatif, nombor ini mesti digantikan dengan nombor dengan tanda bertentangan, dan kemudian pengiraan mesti dijalankan menggunakan algoritma di atas.
Contoh 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) dan LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Tindakan sedemikian dibenarkan kerana jika kita menerimanya a Dan − a- nombor berlawanan,
kemudian set gandaan nombor a sepadan dengan set gandaan nombor − a.
Contoh 10
Ia adalah perlu untuk mengira LCM nombor negatif − 145 Dan − 45 .
Penyelesaian
Mari kita ganti nombor − 145 Dan − 45 kepada nombor berlawanan mereka 145 Dan 45 . Sekarang, dengan menggunakan algoritma, kami mengira LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, setelah sebelumnya menentukan GCD menggunakan algoritma Euclidean.
Kami mendapat bahawa LCM nombor ialah - 145 dan − 45 sama 1 305 .
Jawapan: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter