Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi dua pembolehubah dalam kawasan tertutup. Nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi

Dari sudut pandangan praktikal, minat yang paling besar ialah menggunakan derivatif untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi. Apakah kaitan ini? Memaksimumkan keuntungan, meminimumkan kos, menentukan beban optimum peralatan... Dalam erti kata lain, dalam banyak bidang kehidupan kita perlu menyelesaikan masalah mengoptimumkan beberapa parameter. Dan ini adalah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Perlu diingatkan bahawa nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi biasanya dicari pada selang X tertentu, iaitu sama ada keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripada domain definisi. Selang X itu sendiri boleh menjadi segmen, selang terbuka , selang tak terhingga.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi yang dinyatakan secara eksplisit bagi satu pembolehubah y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara ringkas definisi utama.

Nilai terbesar bagi fungsi tersebut itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Nilai terkecil bagi fungsi tersebut y=f(x) pada selang X dipanggil nilai sedemikian itu untuk sesiapa sahaja ketidaksamaan adalah benar.

Takrifan ini adalah intuitif: nilai terbesar (paling kecil) bagi sesuatu fungsi ialah nilai terbesar (paling kecil) diterima pada selang yang dipertimbangkan di abscissa.

Titik pegun– ini adalah nilai hujah di mana terbitan fungsi menjadi sifar.

Mengapakah kita memerlukan titik pegun apabila mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Fermat. Daripada teorem ini, jika fungsi boleh dibezakan mempunyai ekstrem (minimum tempatan atau maksimum tempatan) pada satu titik, maka titik ini adalah pegun. Oleh itu, fungsi selalunya mengambil nilai terbesar (terkecil) pada selang X pada salah satu titik pegun dari selang ini.

Juga, fungsi selalunya boleh mengambil nilai terbesar dan minimumnya pada titik di mana terbitan pertama fungsi ini tidak wujud, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan.

Mari jawab dengan segera salah satu soalan yang paling biasa mengenai topik ini: "Adakah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) fungsi"? Tidak, tidak selalu. Kadangkala sempadan selang X bertepatan dengan sempadan domain takrifan fungsi, atau selang X adalah tak terhingga. Dan beberapa fungsi pada infiniti dan di sempadan domain definisi boleh mengambil kedua-dua nilai infiniti besar dan infiniti kecil. Dalam kes ini, tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Untuk kejelasan, kami akan memberikan ilustrasi grafik. Lihat gambar dan banyak lagi akan menjadi lebih jelas.

Pada segmen

Dalam rajah pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Pertimbangkan kes yang digambarkan dalam rajah kedua. Jom tukar segmen kepada . Dalam contoh ini, nilai terkecil fungsi dicapai pada titik pegun, dan yang terbesar pada titik dengan absis sepadan dengan sempadan kanan selang.

Dalam Rajah 3, titik sempadan segmen [-3;2] ialah absis bagi titik yang sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi.

Pada selang waktu terbuka

Dalam rajah keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik pegun yang terletak di dalam selang terbuka (-6;6).

Pada selang , tiada kesimpulan boleh dibuat tentang nilai terbesar.

Pada infiniti

Dalam contoh yang dibentangkan dalam rajah ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik pegun dengan abscissa x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada sempadan kanan selang. Pada infiniti tolak, nilai fungsi secara asimptotik menghampiri y=3.

Sepanjang selang itu, fungsi tidak mencapai nilai terkecil mahupun terbesar. Apabila x=2 menghampiri dari kanan, nilai fungsi cenderung kepada tolak infiniti (garisan x=2 ialah asimtot menegak), dan kerana absis cenderung kepada tambah infiniti, nilai fungsi secara asymptotically menghampiri y=3. Ilustrasi grafik contoh ini ditunjukkan dalam Rajah 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan pada segmen.

Mari kita tulis algoritma yang membolehkan kita mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Kami mencari domain takrifan fungsi dan menyemak sama ada ia mengandungi keseluruhan segmen.
Kami mendapati semua titik di mana terbitan pertama tidak wujud dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik tersebut ditemui dalam fungsi dengan hujah di bawah tanda modulus dan dalam fungsi kuasa dengan eksponen pecahan-rasional). Jika tiada mata seperti itu, maka teruskan ke titik seterusnya.
Kami menentukan semua titik pegun yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang terhasil dan pilih punca yang sesuai. Jika tiada titik pegun atau tiada satu pun daripadanya jatuh ke dalam segmen, kemudian teruskan ke titik seterusnya.
Kami mengira nilai fungsi pada titik pegun terpilih (jika ada), pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
Daripada nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang diperlukan.

Mari analisa algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Contoh.

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen;
pada segmen [-4;-1] .

Penyelesaian.

Domain definisi fungsi ialah keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar, iaitu. Kedua-dua segmen termasuk dalam domain definisi.

Cari terbitan bagi fungsi berkenaan dengan:

Jelas sekali, terbitan fungsi wujud di semua titik segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik pegun daripada persamaan. Satu-satunya punca sebenar ialah x=2. Titik pegun ini jatuh ke dalam segmen pertama.

Untuk kes pertama, kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik pegun, iaitu, untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh itu, nilai terbesar fungsi dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kes kedua, kami mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen [-4;-1] (kerana ia tidak mengandungi satu titik pegun):

Pernyataan masalah 2:

Diberi fungsi yang ditakrifkan dan berterusan pada selang tertentu. Anda perlu mencari nilai terbesar (terkecil) bagi fungsi pada selang ini.

Asas teori.
Teorem (Teorem Weierstrass Kedua):

Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan dalam selang tertutup, maka ia mencapai nilai maksimum dan minimum dalam selang ini.

Fungsi ini boleh mencapai nilai terbesar dan terkecil sama ada pada titik dalaman selang atau pada sempadannya. Mari kita gambarkan semua pilihan yang mungkin.

Penjelasan:
1) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik .
2) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada sempadan kanan selang pada titik.
3) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada sempadan kiri selang pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (ini ialah titik minimum).
4) Fungsi adalah malar pada selang, i.e. ia mencapai nilai minimum dan maksimum pada mana-mana titik dalam selang, dan nilai minimum dan maksimum adalah sama antara satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (walaupun pada hakikatnya fungsi itu mempunyai kedua-dua maksimum dan minimum pada selang ini).
6) Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada satu titik (ini ialah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada satu titik (ini ialah titik minimum).
Ulasan:

"Maksimum" dan "nilai maksimum" adalah perkara yang berbeza. Ini berikutan daripada definisi maksimum dan pemahaman intuitif frasa "nilai maksimum".

Algoritma untuk menyelesaikan masalah 2.

4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Contoh 4:

Tentukan nilai terbesar dan terkecil bagi suatu fungsi pada segmen.
Penyelesaian:
1) Cari terbitan bagi fungsi itu.

2) Cari titik pegun (dan titik yang disyaki ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan. Beri perhatian kepada titik di mana tiada terbitan terhingga dua sisi.

3) Kira nilai fungsi pada titik pegun dan pada sempadan selang.

4) Pilih yang terbesar (terkecil) daripada nilai yang diperoleh dan tulis jawapannya.

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai maksimumnya pada titik dengan koordinat .

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .

Anda boleh mengesahkan ketepatan pengiraan dengan melihat graf fungsi yang dikaji.

Ulasan: Fungsi mencapai nilai terbesarnya pada titik maksimum, dan minimumnya pada sempadan segmen.

Kes khas.

Katakan anda perlu mencari nilai maksimum dan minimum bagi beberapa fungsi pada segmen. Selepas melengkapkan titik pertama algoritma, i.e. mengira derivatif, menjadi jelas bahawa, sebagai contoh, ia hanya mengambil nilai negatif sepanjang keseluruhan selang yang dipertimbangkan. Ingat bahawa jika terbitan negatif, maka fungsinya berkurangan. Kami mendapati bahawa fungsi berkurangan sepanjang keseluruhan segmen. Keadaan ini ditunjukkan dalam graf No. 1 pada permulaan artikel.

Fungsi berkurangan pada segmen, i.e. ia tidak mempunyai titik ekstrem. Daripada gambar, anda boleh melihat bahawa fungsi akan mengambil nilai terkecil pada sempadan kanan segmen, dan nilai terbesar di sebelah kiri. jika derivatif pada segmen adalah positif di mana-mana, maka fungsi meningkat. Nilai terkecil berada di sempadan kiri segmen, yang terbesar adalah di sebelah kanan.

Kajian tentang objek analisis matematik seperti fungsi adalah sangat penting maksudnya dan dalam bidang sains yang lain. Sebagai contoh, dalam analisis ekonomi terdapat keperluan berterusan untuk menilai tingkah laku fungsi keuntungan, iaitu untuk menentukan yang terbesar maksudnya dan membangunkan strategi untuk mencapainya.

Arahan

Kajian tentang sebarang tingkah laku hendaklah sentiasa dimulakan dengan mencari domain definisi. Biasanya, mengikut syarat masalah tertentu, adalah perlu untuk menentukan yang terbesar maksudnya fungsi sama ada di seluruh kawasan ini, atau dalam selang waktu tertentu dengan sempadan terbuka atau tertutup.

Berdasarkan , yang terbesar ialah maksudnya fungsi y(x0), di mana bagi mana-mana titik dalam domain takrifan ketaksamaan y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) dipegang. Secara grafik, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika nilai hujah diletakkan di sepanjang paksi absis, dan fungsi itu sendiri di sepanjang paksi ordinat.

Untuk menentukan yang terhebat maksudnya fungsi, ikut algoritma tiga langkah. Sila ambil perhatian bahawa anda mesti boleh bekerja dengan satu sisi dan , serta mengira derivatif. Jadi, biarkan beberapa fungsi y(x) diberikan dan anda perlu mencari yang terbesar maksudnya pada selang waktu tertentu dengan nilai sempadan A dan B.

Ketahui sama ada selang ini berada dalam skop definisi fungsi. Untuk melakukan ini, anda perlu mencarinya dengan mempertimbangkan semua sekatan yang mungkin: kehadiran pecahan, punca kuasa dua, dll dalam ungkapan. Domain definisi ialah set nilai hujah yang mana fungsi itu masuk akal. Tentukan sama ada selang yang diberi ialah subset daripadanya. Jika ya, teruskan ke langkah seterusnya.

Cari terbitan fungsi dan selesaikan persamaan yang terhasil dengan menyamakan terbitan kepada sifar. Dengan cara ini anda akan mendapat nilai mata pegun yang dipanggil. Nilaikan sama ada sekurang-kurangnya satu daripadanya tergolong dalam selang A, B.

Pada peringkat ketiga, pertimbangkan perkara ini dan gantikan nilainya ke dalam fungsi. Bergantung pada jenis selang waktu, lakukan langkah tambahan berikut. Jika terdapat segmen bentuk [A, B], titik sempadan dimasukkan dalam selang ini ditunjukkan dengan tanda kurungan. Kira Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika selang terbuka (A, B), nilai sempadan ditebuk, i.e. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan had sebelah untuk x→A dan x→B. Selang gabungan bentuk [A, B) atau (A, B), satu daripada sempadannya kepunyaannya, yang lain tidak Cari had sebelah kerana x cenderung kepada nilai tertusuk, dan gantikan yang satu lagi fungsi. Selang dua belah tak terhingga (-∞, +∞) atau selang tak terhingga satu sisi bagi bentuk: , (-∞, B, teruskan mengikut prinsip yang telah diterangkan, dan untuk). yang tidak terhingga, cari had untuk x→-∞ dan x→+∞, masing-masing.

Tugas pada peringkat ini

Dengan perkhidmatan ini anda boleh cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi satu pembolehubah f(x) dengan penyelesaian diformatkan dalam Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, oleh itu, adalah perlu untuk mencari ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah. Anda juga boleh mencari selang peningkatan dan penurunan fungsi.

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

y =

pada segmen [ ;]

Sertakan teori

Peraturan untuk memasukkan fungsi:

Syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah

Persamaan f" 0 (x *) = 0 ialah syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah, iaitu pada titik x * terbitan pertama fungsi mesti lenyap. Ia mengenal pasti titik pegun x c di mana fungsi itu tidak bertambah atau berkurang.

Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah

Biarkan f 0 (x) dua kali boleh dibezakan berkenaan dengan x kepunyaan set D. Jika pada titik x * syarat dipenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Kemudian titik x * ialah titik minimum tempatan (global) bagi fungsi tersebut.

Jika pada titik x * syarat dipenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Kemudian titik x * ialah maksimum tempatan (global).

Contoh No. 1. Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi: pada segmen.
Penyelesaian.

Titik genting ialah satu x 1 = 2 (f’(x)=0). Titik ini tergolong dalam segmen. (Titik x=0 tidak kritikal, kerana 0∉).
Kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik kritikal.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawapan: f min = 5 / 2 pada x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh No. 2. Dengan menggunakan terbitan tertib tinggi, cari ekstrem bagi fungsi y=x-2sin(x) .
Penyelesaian.
Cari terbitan bagi fungsi: y’=1-2cos(x) . Mari cari titik genting: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kami dapati y’’=2sin(x), hitung , yang bermaksud x= π / 3 +2πk, k∈Z ialah titik minimum bagi fungsi; , yang bermaksud x=- π / 3 +2πk, k∈Z ialah titik maksimum fungsi.

Contoh No. 3. Siasat fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Penyelesaian. Di sini adalah perlu untuk mencari extrema fungsi. Jika extremum x=0, maka ketahui jenisnya (minimum atau maksimum). Jika antara titik yang ditemui tiada x = 0, maka hitung nilai fungsi f(x=0).
Perlu diingat bahawa apabila terbitan pada setiap sisi titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin tidak habis walaupun untuk fungsi yang boleh dibezakan: ia boleh berlaku bahawa untuk kejiranan kecil yang sewenang-wenangnya pada satu sisi titik x 0 atau pada kedua-dua belah tanda perubahan terbitan. Pada titik ini adalah perlu untuk menggunakan kaedah lain untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem.

Biarkan fungsi y =f(X) adalah berterusan pada selang [ a, b]. Seperti yang diketahui, fungsi sedemikian mencapai nilai maksimum dan minimum pada segmen ini. Fungsi ini boleh mengambil nilai ini sama ada pada titik dalaman segmen [ a, b], atau pada sempadan segmen.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen [ a, b] perlu:

1) cari titik genting bagi fungsi dalam selang ( a, b);

2) hitung nilai fungsi pada titik kritikal yang ditemui;

3) hitung nilai fungsi di hujung segmen, iaitu, apabila x=A dan x = b;

4) daripada semua nilai pengiraan fungsi, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen.

Mencari titik kritikal:

Titik ini terletak di dalam segmen; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pada titik x= 3 dan pada titik x= 0.

Kajian fungsi untuk kecembungan dan titik infleksi.

Fungsi y = f (x) dipanggil cembung di antara (a, b) , jika grafnya terletak di bawah tangen yang dilukis pada mana-mana titik dalam selang ini, dan dipanggil cembung ke bawah (cekung), jika grafnya terletak di atas tangen.

Titik di mana kecembungan digantikan oleh kekosongan atau sebaliknya dipanggil titik infleksi.

Algoritma untuk memeriksa kecembungan dan titik infleksi:

1. Cari titik kritikal jenis kedua, iaitu titik di mana terbitan kedua adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.

2. Plot titik kritikal pada garis nombor, bahagikannya kepada selang. Cari tanda terbitan kedua pada setiap selang; jika , maka fungsi itu cembung ke atas, jika, maka fungsi itu cembung ke bawah.

3. Jika, apabila melalui titik kritikal jenis kedua, tanda berubah dan pada ketika ini terbitan kedua adalah sama dengan sifar, maka titik ini adalah absis titik infleksi. Cari ordinatnya.

Asimtot graf fungsi. Kajian fungsi untuk asimtot.

Definisi. Asimtot bagi graf fungsi dipanggil lurus, yang mempunyai sifat bahawa jarak dari mana-mana titik pada graf ke garis ini cenderung kepada sifar apabila titik pada graf bergerak tanpa had dari asal.

Terdapat tiga jenis asimtot: menegak, mendatar dan condong.

Definisi. Garis lurus dipanggil asimtot menegak grafik fungsi y = f(x), jika sekurang-kurangnya satu daripada had satu sisi bagi fungsi pada ketika ini adalah sama dengan infiniti, iaitu

di manakah titik ketakselanjaran fungsi, iaitu, ia tidak tergolong dalam domain definisi.

Contoh.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – titik putus.

Definisi. Lurus y =A dipanggil asimtot mendatar grafik fungsi y = f(x) pada , jika

Contoh.

x
y

Definisi. Lurus y =kx +b (k≠ 0) dipanggil asimtot serong grafik fungsi y = f(x) di , di mana

Skema umum untuk mengkaji fungsi dan membina graf.

Algoritma Penyelidikan Fungsiy = f(x) :

1. Cari domain bagi fungsi tersebut D (y).

2. Cari (jika boleh) titik persilangan graf dengan paksi koordinat (jika x= 0 dan pada y = 0).

3. Periksa kesamaan dan keganjilan fungsi ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ganjil).

4. Cari asimtot bagi graf fungsi itu.

5. Cari selang kemonotonan fungsi.

6. Cari ekstrem bagi fungsi itu.

7. Cari selang cembung (concavity) dan titik lengkuk graf fungsi.

8. Berdasarkan kajian yang dijalankan, bina graf bagi fungsi tersebut.

Contoh. Terokai fungsi dan bina grafnya.

1) D (y) =

x= 4 – titik putus.

2) Bila x = 0,

(0; ‒ 5) – titik persilangan dengan oh.

Pada y = 0,

3) y(‒ x)= fungsi bentuk umum (tidak genap mahupun ganjil).

4) Kami memeriksa untuk asimtot.

a) menegak

b) mendatar

c) cari asimtot serong di mana

‒persamaan asimtot serong

5) Dalam persamaan ini tidak perlu mencari selang kemonotonan fungsi.

Titik kritikal ini membahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada selang (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Adalah mudah untuk membentangkan keputusan yang diperoleh dalam bentuk jadual berikut.