Tujuan: Untuk kajian mendalam dalam gred 10 dan 11

Penerbit: MIPT Moscow 1996

Format: DjVu, Saiz fail: 8.72 MB

DARJAH 11: BAB 5-9

PRAKATA

Buku ini ditulis berdasarkan kuliah yang diberikan oleh pengarang selama beberapa tahun kepada pelajar kelas fizik dan matematik di Institut Fizik dan Teknologi Moscow, yang dibuat berdasarkan sekolah menengah No. 5 di Dolgoprudny, serta pada asas pengalaman mengendalikan kelas amali dalam stereometri dalam kelas ini.

Lihat PRAKATA sepenuhnya......

Buku ini mempunyai beberapa ciri yang kami ingin menarik perhatian pembaca. Ia termasuk beberapa bahagian stereometri, yang dahulunya tergolong dalam kursus gred kesebelas (sudut dihedral dan polyhedral, teori polyhedra). Terdapat beberapa sebab untuk ini.

Pertama, pemisahan soalan afin stereometri daripada soalan metrik (kelas kesepuluh - selari garis dan satah di angkasa, kelas kesebelas - polyhedra, badan putaran, teori luas dan isipadu) nampaknya tidak wajar bagi kita. Idea intuitif tentang badan geometri dan jumlahnya terbentuk dalam diri kita sejak zaman kanak-kanak. Idea-idea ini, berdasarkan pengalaman seharian kami, selalunya menjadi mencukupi untuk menyelesaikan banyak masalah metrik yang bermakna. Nampaknya kita tidak perlu membuang masa yang berharga; kita perlu belajar menyelesaikan masalah seawal mungkin, kerana rumusan banyak daripada mereka adalah jelas walaupun definisi ketat badan dan isipadu belum diketahui.

Kedua, nampaknya kami mempelajari bahan baru pada akhir gred kesebelas adalah tidak digalakkan. Bukan rahsia lagi bahawa pada masa ini, bagi kebanyakan pelajar, penyelesaian kepada tugas utilitarian semata-mata muncul di hadapan - kemasukan yang berjaya ke pilihan

Buku ialah tanah perkuburan yang besar, di mana tidak mungkin untuk membaca nama yang dipadamkan pada banyak papak.

Muat turun buku teks - Stereometri. Untuk kajian mendalam dalam gred 10 dan 11, 1996

Cm. Petikan dari buku teks.......

§ 1. Permainan geometri

Semua karya saya adalah permainan.

Permainan yang serius.

M. K. Escher

Semasa belajar planimetri, anda telah bermain permainan menarik yang dipanggil "geometri" selama beberapa tahun. Peraturan permainan ini telah dibangunkan selama beribu-ribu tahun dan akhirnya dibentuk hanya menjelang akhir abad yang lalu. Adalah wajar untuk memulakan perbincangan mereka dengan soalan: apakah geometri? Walaupun pelik, sangat sukar untuk memberikan jawapan yang tidak jelas kepada soalan ini. Geometri mempunyai banyak wajah, dan hanya sebahagian kecil daripada apa yang biasa dipanggil geometri dalam matematik moden dipelajari di sekolah. Tetapi bukan itu sahaja. Walaupun kita mengehadkan diri kita untuk mempertimbangkan planimetri dan stereometri dalam pengertian tradisional mereka, tugas kita tidak mungkin menjadi lebih mudah. Di satu pihak, geometri ialah teori aksiomatik yang mengkaji objek yang bersifat abstrak yang mempunyai hubungan tertentu antara satu sama lain. Sebaliknya, geometri mengkaji saiz dan bentuk jasad sebenar. Untuk memahami bagaimana kedua-dua hipostasis geometri ini berkaitan antara satu sama lain, mari kita jejaki secara ringkas laluan sejarah perkembangannya.

Setiap sains semula jadi bermula dengan pembentukan fakta tertentu. Kemudian, apabila ia terkumpul, undang-undang dan teori dibangunkan yang mengubah sains menjadi sistem yang koheren. Ini adalah bagaimana geometri berkembang. Malah di Mesir kuno dan Babylon, banyak fakta yang bermakna diketahui, seperti teorem Pythagoras atau formula untuk mengira isipadu piramid. Keputusan ini diperolehi

kami telah mengalami, kesahihan mereka telah disahkan oleh banyak eksperimen. Bilangan corak geometri yang diperhatikan semakin meningkat, dan tugas untuk mensistematisasikan pengetahuan terkumpul timbul.

Menjelang awal abad ke-3. BC e. Idea untuk membina teori saintifik akhirnya terbentuk, mengikut mana titik permulaan teori itu harus menjadi peruntukan berdasarkan data eksperimen dan oleh itu tidak menimbulkan keraguan. Semua peruntukan lain mesti diperoleh daripada mereka dengan cara yang logik (deduktif). Bangunan logik telah pun didirikan, terutamanya berkat karya ahli falsafah Yunani kuno Aristotle (384-322 SM). Beliau adalah orang pertama yang dengan jelas merumuskan idea membina teori saintifik. Berhubung dengan geometri, ia direalisasikan oleh Euclid (abad III SM) dalam "Unsur"nya. Berdasarkan eksperimen pendahulunya, beliau merumuskan beberapa pernyataan (aksiom, atau postulat) yang diterima tanpa bukti. Daripada aksiom, akibat logiknya - teorem - telah disimpulkan. Oleh itu geometri bertukar menjadi sains deduktif. Intipati kaedah datuk telah disampaikan dengan cemerlang oleh Arthur Conan Doyle dalam kata-kata wira kegemarannya Sherlock Holmes: “... ia adalah mustahil untuk menipu seseorang yang tahu bagaimana untuk memerhati dan menganalisis. Kesimpulannya akan menjadi maksum, seperti teorem Euclid... Dengan setitis air... seseorang yang tahu berfikir secara logik boleh membuat kesimpulan tentang kemungkinan kewujudan Lautan Atlantik atau Air Terjun Niagara, walaupun dia mempunyai tidak pernah melihat atau melihat sama ada satu atau yang lain saya tidak pernah dengar. Setiap kehidupan adalah rantaian sebab dan akibat yang besar, dan kita dapat memahami sifatnya satu persatu.”

Sistem Euclid wujud selama lebih daripada dua milenium tanpa sebarang perubahan ketara. Walau bagaimanapun, dari sudut pandangan moden, ia tidak lagi kelihatan sempurna. Ia tidak menyerlahkan konsep asas, beberapa aksiom tidak diperlukan, banyak bukti tidak terhad kepada potongan logik, tetapi merayu kepada pertimbangan kejelasan.

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, selepas usaha gigih ramai ahli matematik, antaranya Felix Klein (1849-1925) dan David Hilbert (1862-1943) harus disebut di tempat pertama, sistem geometri dibina yang bebas daripada kekurangan ini. Sistem ini adalah berdasarkan kaedah aksiomatik.

Intipati kaedah membina teori saintifik ini adalah seperti berikut. Konsep atau objek asas (tidak ditentukan) disenaraikan. Semua konsep yang baru muncul mesti ditakrifkan melalui konsep asas dan konsep yang ditakrifkan sebelum ini. Aksiom dirumuskan - proposisi diterima tanpa bukti. Semua proposisi lain mestilah akibat logik aksiom atau proposisi yang telah terbukti sebelumnya.

Perhatikan bahawa aksiom bukanlah "kebenaran yang jelas" sama sekali. Apa yang jelas bagi seseorang mungkin kelihatan tidak masuk akal bagi yang lain. Oleh itu, penonton perlawanan bola sepak yang mengetahui peraturan permainan boleh mendapat keseronokan daripada aksi menarik yang berlaku di atas padang. Sesiapa yang tidak biasa dengan peraturan mungkin menganggap apa yang berlaku di atas padang sebagai tidak masuk akal dan tidak patut diberi perhatian. Makna aksiom ialah ia adalah perjanjian yang kita buat apabila kita mula mencipta teori.

Konsep asas dan aksiom tidak semestinya berkaitan dengan dunia sebenar di sekeliling kita. Dengan membina teori abstrak, kita terganggu daripada makna visual konsep asas (jika ia wujud sama sekali). Satu-satunya makna yang dimasukkan ke dalam konsep asas adalah ini: mereka mempunyai sifat-sifat yang diterangkan dalam aksiom. Oleh itu, sering dikatakan bahawa aksiom ialah "takrifan tersembunyi" bagi konsep asas. Mari kita tekankan sekali lagi bahawa ahli matematik tidak sama sekali mendakwa bahawa aksiom adalah benar. Dia hanya membina sistem penyataan yang semestinya mengikut daripada mereka, mengekalkan kebebasan untuk menukar aksiom (dan, dengan itu, mendapatkan sistem akibat yang berbeza).

Jadi, konsep teori abstrak tidak mempunyai makna konkrit. Tetapi jika mereka boleh diberi makna ini (iaitu, menunjukkan sistem objek konkrit dan hubungan di antara mereka) supaya aksiom yang ditetapkan diperhatikan, maka kita mendapat, seperti yang mereka katakan, tafsiran, atau model teori abstrak. Teori yang sama boleh mempunyai banyak model yang berbeza.

Sekarang kita boleh menerangkan dualiti geometri yang telah dibincangkan di atas. Sehingga kita menentukan maksud konsep asas geometri, iaitu, kita tidak menggunakan perwakilan visual garis lurus, satah, dsb., geometri yang telah kita bina adalah teori abstrak. Semua kesimpulan teori ini akan dapat difahami oleh makhluk khayalan yang mempunyai logik dan aritmetik kita, tetapi tidak tahu sama sekali tentang struktur dunia di sekeliling kita (ahli matematik Perancis Jacques Adamar memanggil makhluk ini "Homo Arithmeticus"), Tetapi sebagai sebaik sahaja kita membayangkan titik sebagai idealisasi tanda pensel yang diasah di atas kertas, garis lurus sebagai idealisasi benang yang tegang, dan satah sebagai idealisasi permukaan licin meja, geometri kita menjadi model teori abstrak. Model ini bukan satu-satunya yang mungkin, tetapi inilah yang kita pelajari dalam kursus geometri sekolah, kerana ia menerangkan dengan sangat tepat sifat geometri badan sebenar di sekeliling kita.

Sekarang mari kita kembali kepada persoalan peraturan shra kita, meringkaskan apa yang dikatakan di atas. Subjek kajian kami adalah model teori abstrak yang dibina berdasarkan kaedah aksiomatik. Model ini mencerminkan sifat geometri bahagian ruang yang mengelilingi kita kerana ia dilihat oleh deria kita. Semua pernyataan yang berkaitan dengan model ini adalah akibat logik dari aksiom dan pernyataan yang telah ditetapkan sebelumnya (iaitu, ia terbukti). Semua konsep yang baru muncul ditakrifkan melalui konsep asas dan yang diketahui sebelum ini. Dalam proses pembuktian, kami menggunakan lukisan yang membantu kami membuat kesimpulan logik yang betul (tetapi jangan menggantikannya). Penggunaan lukisan adalah mudah kerana model yang dikaji adalah semula jadi dan biasa kepada kita; kita boleh "melihat" banyak pada lukisan itu, menggunakannya untuk meneka rumusan pernyataan yang betul, dan kemudian membuktikannya (ia adalah jelas bahawa ini adalah kekhususan persepsi kami: untuk Homo Arithmeticus lukisan kami tidak dapat difahami dan oleh itu tidak berguna).

Tetapi tidak ada peraturan tanpa pengecualian. Mari kita ambil perhatian bahawa apabila membina kursus geometri sekolah, idea kaedah aksiomatik tidak dikekalkan hingga akhir. Daripada pembentangan konsisten akibat logik aksiom dengan bukti lengkapnya, gaya permainan diguna pakai, untuk meletakkannya dalam bahasa catur: ketegasan logik dan keharmonian persembahan di beberapa tempat yang sengaja dikorbankan untuk ringkas dan jelas. Sesetengah teorem tidak dibuktikan atau dibuktikan hanya untuk kes khas yang paling mudah, takrifan ketat beberapa konsep tidak diberikan, dsb. Ini disebabkan oleh fakta bahawa semua kursus geometri yang ketat secara logik agak sukar untuk difahami dan sangat banyak.

Akhir sekali, kita akan membincangkan isu yang sangat penting dalam memilih aksiom. Keperluan untuk sistem aksiom yang menjadi asas kepada teori adalah seperti berikut. Pertama, sistem aksiom mestilah konsisten, iaitu, tiada pernyataan bersama dengan penafiannya harus mengikuti daripadanya. Keperluan ini adalah yang paling penting, ia sangat diperlukan. Selanjutnya kita hanya akan bercakap tentang sistem aksiom yang konsisten. Kedua, adalah wajar bahawa sistem aksiom bebas, iaitu, tiada satu pun aksiom ini mengikuti dari yang lain. Memenuhi keperluan ini tidak perlu, tetapi masih wajar untuk berusaha untuk memastikan bahawa tiada "tambahan" di antara aksiom. Ketiga, saya ingin sistem aksiom lengkap, iaitu mustahil untuk menambah aksiom baharu kepada sistem ini supaya ia tidak mengikut aksiom sedia ada dan tidak bercanggah dengannya (bermakna banyak konsep asas kekal sementara kekal tidak berubah). Perhatikan bahawa sistem aksiom geometri adalah lengkap, tetapi ini adalah pengecualian daripada peraturan: biasanya dalam matematik, sistem aksiom ternyata tidak lengkap. Akhirnya, keempat, seseorang boleh menuntut daripada sistem aksiom bahawa ia ditutup, iaitu, ia tidak menggunakan konsep daripada teori lain. Sistem aksiom geometri, sebagai peraturan, tidak ditutup, kerana mereka, sebagai contoh, menggunakan konsep nombor, yang biasanya ditakrifkan dalam kursus analisis matematik.

§ 2. Unsur-unsur logik dan teori set

"Saya akan berkata begitu," kata March Hare. - Anda harus selalu mengatakan apa yang anda fikirkan.

Itulah yang saya lakukan,” Alice bersegera menjelaskan. - Sekurang-kurangnya... Sekurang-kurangnya saya sentiasa berfikir apa yang saya katakan... dan ia adalah perkara yang sama...

"Bukan perkara yang sama sama sekali," membantah Blockhead-chic. - Jadi anda akan mengatakan sesuatu yang baik, seolah-olah "Saya melihat apa yang saya makan" dan "Saya makan apa yang saya lihat" adalah perkara yang sama!

L. Carroll. Pengembaraan Alice di Wonderland

Bahagian ini menyediakan maklumat asas daripada logik dan teori set. Anda mungkin sudah biasa dengan bahan yang dibentangkan di sini, tetapi kerana kepentingan konsep yang dibincangkan, sebaiknya ulangi semula. Kami meliputi logik dan teori set seberapa banyak yang diperlukan untuk kursus stereometri kami. Pengenalan yang lebih terperinci dan ketat kepada cabang-cabang matematik ini boleh didapati, sebagai contoh, dalam buku [Kutasov et al., 1981].

Marilah kita memanggil pernyataan apa-apa pernyataan yang boleh kita katakan sama ada ia benar atau salah. Contoh pernyataan termasuk pernyataan berikut: pasukan kebangsaan Brazil ialah juara Piala Dunia FIFA 1994; nombor 100 adalah genap; jumlah sudut bagi sebuah segitiga ialah 90°. Dua pernyataan pertama ini adalah benar, dan yang terakhir adalah palsu. Sebagai contoh, pernyataan berikut bukan pernyataan: belajar di sekolah adalah mudah; kerana seseorang tidak boleh mengatakan dengan pasti sama ada ia benar atau salah. Banyak teorem (khususnya, kesakitan-

1 Mari kita terangkan maksud perkataan “mengikut” dalam takrif ini: pernyataan berikut daripada sistem aksiom jika dalam mana-mana model di mana aksiom ini berpuas hati, pernyataan ini juga benar; jika terdapat model sistem aksiom ini di mana pernyataan ini palsu, maka ia dianggap tidak mengikut sistem aksiom ini.

• Latihan lisan dalam geometri 9-10 GRED 1983 muat turun buku teks Soviet
• Permulaan stereometri UNTUK KELAS 10 1982 muat turun buku teks Soviet

Stereometri visual dalam teori, masalah, lukisan. Bobrovskaya A.V.

R. pada D.: 2013. - 167 p.

Buku teks adalah panduan praktikal untuk kursus stereometri di sekolah menengah. Ia membentangkan bahan mengenai teori imej angka spatial dalam unjuran selari sewenang-wenangnya. Buku ini mengandungi algoritma untuk membina imej polyhedra, badan bulat dan gabungannya, menerangkan kes-kes utama mewajarkan pelaksanaan lukisan, dan membentangkan analisis terperinci tentang keupayaan lukisan unjuran untuk menyelesaikan masalah membina bahagian polyhedra. Bahan teori dibekalkan dengan sejumlah besar ilustrasi, kebanyakannya dibuat "dalam dinamik". Bab pertama ditumpukan kepada asas-asas teori imej angka rata dan ruang dalam unjuran selari, mengandungi algoritma untuk membina imej angka rata dan ruang. Bab kedua dikhaskan untuk menyelesaikan masalah kedudukan dalam lukisan unjuran. Di sini konsep masalah kedudukan, imej lengkap dan tidak lengkap diberikan, teknik dan kaedah untuk membina bahagian polyhedra pada lukisan lengkap diberikan. Bab ketiga membincangkan kaedah untuk mewajarkan pelaksanaan lukisan dan menyediakan contoh penyelesaian masalah stereometrik pada lukisan unjuran. Manual ini direka untuk pelajar dalam gred 10–11, guru matematik dan pelajar universiti pedagogi.

Format: pdf

Saiz: 26.4 MB

Tonton, muat turun:drive.google ; Rghost

ISI KANDUNGAN
Bab 1. PERWAKILAN ANGKA RATA DAN RUANG DALAM Unjuran SELARI 5
1.1. Asas teori reka bentuk selari.. 5
1.2. Imej angka rata. 6
1.3. Imej rajah spatial 11
1.3.1. Prisma 11
1.3.2. Piramid 11
1.3.3. silinder. 16
1.3.4. Kon. 16
1.3.5. Bola 20
1.3.6. Gabungan silinder dengan polyhedra 20
1.3.7. Gabungan kon dengan polyhedra 26
1.3.8. Bola terhad 31
1.3.9. Bola bertulis 31
Bab 2. TUGASAN JAWATAN UNTUK MEMBINA LUKISAN YANG LENGKAP DAN TIDAK LENGKAP 42
2.1. Tugasan kedudukan, imej lengkap dan tidak lengkap 42
2.2. Tugas kedudukan asas 46
2.3. Kaedah asas untuk membina bahagian polyhedra 54
2.3.1. Pendekatan aksiomatik untuk membina stereometri 54
2.3.2. Aksiom dan teorem stereometri dalam pembinaan bahagian polyhedra Ш
2.3.3. Keselarian garis lurus dan satah dalam membina bahagian polyhedra
2.4. Membina bahagian polyhedra pada lukisan It yang lengkap
2.4.1. Kaedah jejak satah memotong 7*
2.4.2. Kaedah reka bentuk dalaman 81
Bab 3. PEMBINAAN UNSUR POLIHEDRON DAN BADAN BULAT PADA LUKISAN LENGKAP 87
3.1. Ketinggian polyhedron 87
3.2. Sudut dengan satah 94
3.3. Sudut dihedral. Sudut dihedral linear 97
3.4. Bentuk muka dan bahagian polyhedra 102
3.5. Serenjang dari satu titik ke garis dan satah dalam ruang perisian
3.5.1. Serenjang dari satu titik ke garisan dalam ruang 110
3-5.2. Serenjang dari satu titik ke satah 112
3.5.3. Jarak dari garis lurus ke satah 114
3.6. Serenjang sepunya bagi garis bersilang 115
3.7. Gabungan polyhedra dan badan bulat 120
3.7.1. Gabungan silinder dengan polyhedra 120
3.7.2. Gabungan kon dengan polyhedra 122
3.7.3. Sfera yang dihadkan pada polyhedra dan badan bulat 125
3.7.4. Bola bertulis 129
3.7.5. Gabungan bukan piawai polyhedra dan badan bulat. 140
3.7.6. Pengiraan unsur polyhedra
dan badan bulat dalam lukisan lengkap 150
Kesimpulan 161
Rujukan 163

Dengan bantuan visual ini, saya mengajar kelas stereometri dalam gred 10-11 sebagai persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu. Jelas sekali, seorang tutor matematik yang menggunakan analog lukisan tiga dimensi sebenar akan dapat mengembangkan dengan cepat dalam diri pelajar kemahiran yang diperlukan dalam bekerja dengan polyhedra. Model memudahkan persepsi keadaan tugas dan membantu tutor mengembangkan pemikiran spatial pelajar. Ralat yang berkaitan dengan bacaan lukisan yang salah dihalang dan proses mencari algoritma untuk menyelesaikan masalah kompleks dipercepatkan.

Tuding pada foto dan klik padanya. Ia akan dibuka dalam skala yang lebih besar.

Beri perhatian kepada pengikat khas pada rusuk model. Mereka bergerak dan saya boleh membetulkan mana-mana kedudukan mana-mana bahagian dengan mereka. Ini membolehkan anda melengkapkan model dengan pematuhan tepat mereka dengan syarat tugas tertentu.

Kita boleh mensimulasikan bahagian, melukis garisan pada muka, menunjukkan ketinggian piramid, ketinggian prisma, segi tiga apotemik dan tepi dan banyak lagi...

Daripada perlu menyelesaikan banyak kekacauan dan herotan analog buku nota tugas itu, ia boleh dicipta semula dalam realiti.

Penggunaan model sebenar oleh tutor matematik membantu pelajar mengenali

• melintasi garisan
• serenjang dengan satah
• sudut antara garis lurus dan satah
• sudut antara satah

Semasa menyelesaikan masalah, pelajar diberi peluang

• mengambil model itu
• pusingkannya ke arah anda dengan sisi yang selesa
• masukkan sekeping kertas meniru bahagian
• lukis sebarang garisan dalam bahagian itu
• tentukan bucu bahagian A, B, C...

Adalah mudah untuk tutor matematik menggunakan model

• memberi penerangan tentang tugasan
• memperkenalkan pelajar kepada jenis polyhedra dan sifat-sifatnya
• menunjukkan kesilapan dalam mengenal pasti pelbagai sudut
• buktikan teorem stereometrik dan terbitkan formula

Petikan dari surat tutor:

Vera Viktorovna, tutor matematik bersara
"Anda mempunyai model stereometrik yang sangat baik. Adakah anda benar-benar membuatnya sendiri?! Atau adakah mereka dibeli? Bolehkah anda beritahu saya di mana saya boleh memesan manual telus? Mungkin salah seorang tutor biasa anda membuatnya? Saya berbesar hati untuk menggunakan perkhidmatan mereka.”

Saya tidak membeli apa-apa daripada sesiapa kecuali bahan untuk pemasangan. Semua model itu dibuat oleh tangan saya sendiri pada musim panas di dacha dan, setakat yang saya tahu, tiada seorang pun tutor matematik di Moscow menawarkan apa-apa seperti ini. Sekurang-kurangnya tiada siapa yang mempunyai model terbuka. Tidak mungkin anda akan dapat membelinya, dan pastinya tiada siapa yang memasangnya untuk dipesan. Ini adalah tugas yang sangat menyusahkan. Saya menghabiskan purata 5-6 jam pada setiap salinan. Saya memangkas, bersihkan, sesuaikan.

Krayuvtseva I.P., guru permulaan: "Ia hebat! Saya sangat menyukai modelnya!!! Saya sendiri adalah tutor matematik dan menghabiskan sebahagian besar masa saya untuk mempersiapkan Peperiksaan Negeri Bersatu. Saya sentiasa bergelut dengan lukisan dalam stereometri. Pelajar tidak dapat membayangkan keseluruhan gambaran dalam masalah. Bagaimanakah anda berjaya mengikat rusuk model bersama-sama? Tolong kongsikan rahsia pengeluaran anda.”

Saya tidak akan mendedahkan rahsia reka bentuk sehingga akhir. Saya hanya boleh mengatakan bahawa untuk rusuk gegelung wayar yang sangat kaku digunakan dengan diameter yang ideal untuk lubang dalam mekanisme pengikat plastik. Untuk menyambungkan rusuk sisi ke poligon asas, pengikat ini dipotong khas bergantung pada sudut rajah di pangkalan. Tugas yang paling mudah ialah memasang poligon untuk pangkalan. Untuk melakukan ini, saya mengeluarkan belitan dari sekeping wayar lain (lembut), memotongnya menjadi kepingan kira-kira 1 sentimeter panjang dan hanya memasukkan kepingan wayar keras yang dipotong ke dalam setiap satu daripadanya dari sisi yang berbeza. Nasib baik untuk saya, semua saiz sesuai dengan sempurna.

Tutor matematik tentang model "generasi terkini".
Sepanjang musim panas saya mula menambah baik alat bantu visual. Tulang rusuk model terkini dilengkapi dengan gelangsar khas dengan lubang di mana anda boleh mengikat wayar lembut atau benang tebal yang meniru tanda potong. Klik pada foto kecil yang anda lihat di sebelah kanan teks dan ia akan dibuka dalam tetingkap baharu dalam versi yang diperbesarkan. Foto menunjukkan gelangsar seperti itu dari dekat. Peluncur membenarkan tutor matematik mensimulasikan jejak dari mana-mana bahagian satah dengan permukaan polihedron.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, tutor matematik di Moscow.

Buku teks adalah panduan praktikal untuk kursus stereometri sekolah menengah. Ia membentangkan bahan mengenai teori imej angka spatial dalam unjuran selari sewenang-wenangnya.
Buku ini mengandungi algoritma untuk membina imej polyhedra, badan bulat dan gabungannya, menerangkan kes-kes utama mewajarkan pelaksanaan lukisan, dan membentangkan analisis terperinci tentang keupayaan lukisan unjuran untuk menyelesaikan masalah membina bahagian polyhedra. Bahan teori dibekalkan dengan sejumlah besar ilustrasi, kebanyakannya dibuat "dalam dinamik".
Bab pertama ditumpukan kepada asas-asas teori imej angka rata dan ruang dalam unjuran selari, mengandungi algoritma untuk membina imej angka rata dan ruang.
Bab kedua dikhaskan untuk menyelesaikan masalah kedudukan dalam lukisan unjuran. Di sini pemahaman tentang masalah kedudukan, imej yang lengkap dan tidak lengkap diberikan, teknik dan kaedah untuk membina bahagian polyhedra pada lukisan lengkap diberikan.
Bab ketiga membincangkan kaedah untuk mewajarkan pelaksanaan lukisan dan menyediakan contoh penyelesaian masalah stereometrik pada lukisan unjuran.
Manual ini direka untuk pelajar dalam gred 10-11, guru matematik dan pelajar universiti pedagogi.

Piramid.
Kami menggambarkan asas piramid sebagai poligon, kemudian ketinggian piramid sebagai segmen menegak. Pilih bahagian atas piramid dan lukis tepi sisi. Pilih garis yang kelihatan dan tidak kelihatan. Rajah 16 menunjukkan piramid SABCD arbitrari, kedudukan ketinggian SO yang tidak ditentukan oleh keadaan masalah.

Walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes, kedudukan asas ketinggian piramid, titik O, ditentukan oleh keadaan masalah. Khususnya, jika piramid adalah sekata, maka O ialah pusat pangkalan. Rajah 17 menunjukkan sebuah piramid segi tiga sekata. Mari kita serlahkan terutamanya piramid di mana semua tepi atau semua muka sama condong ke satah tapak, serta piramid di mana tepi sisi atau dua muka berserenjang dengan satah tapak. Kedudukan ketinggian piramid tersebut dikaji secara terperinci dalam Bab 3 manual ini.

Isi kandungan
Bab 1. PERWAKILAN ANGKA RATA DAN RUANG DALAM Unjuran SELARI
1.1. Asas teori reka bentuk selari
1.2. Imej angka rata
1.3. Imej rajah ruang
1.3.1. Prisma
1.3.2. Piramid
1.3.3. silinder
1.3.4. Kon
1.3.5. bola
1.3.6. Gabungan silinder dengan polyhedra
1.3.7. Gabungan kon dengan polyhedra
1.3.8. Bola terhad
1.3.9. Bola bertulis
Bab 2. MASALAH KEDUDUKAN UNTUK PEMBINAAN PADA LUKISAN LENGKAP DAN TIDAK LENGKAP
2.1. Tugasan kedudukan, imej lengkap dan tidak lengkap
2.2. Tugas kedudukan asas
2.3. Kaedah asas untuk membina bahagian polyhedra
2.3.1. Pendekatan aksiomatik untuk membina stereometri
2.3.2. Aksiom dan teorem stereometri dalam pembinaan bahagian polyhedra
2.3.3. Keselarian garis lurus dan satah dalam pembinaan bahagian polyhedra
2.4. Membina bahagian polyhedra pada lukisan penuh
2.4.1. Kaedah jejak satah memotong
2.4.2. Kaedah "reka bentuk dalaman".
Bab 3. PEMBINAAN UNSUR POLIHEDRON DAN BADAN BULAT PADA LUKISAN LENGKAP
3.1. Ketinggian polyhedron
3.2. Sudut dengan satah
3.3. Sudut dihedral. Sudut dihedral linear
3.4. Bentuk muka dan bahagian polyhedra
3.5. Serenjang dari titik ke garis dan satah di angkasa
3.5.1. Serenjang dari satu titik ke garisan dalam ruang
3.5.2. Serenjang dari satu titik ke satah
3.5.3. Jarak dari garis lurus ke satah
3.6. Serenjang biasa garis condong
3.7. Gabungan polyhedra dan badan bulat
3.7.1. Gabungan silinder dengan polyhedra
3.7.2. Gabungan kon dengan polyhedra
3.7.3. Sfera yang dihadkan pada polyhedra dan badan bulat
3.7.4. Bola bertulis
3.7.5. Gabungan bukan piawai polyhedra dan badan bulat
3.7.6. Pengiraan unsur polyhedra dan pepejal bulat dalam lukisan penuh
Kesimpulan
Bibliografi.

Muat turun e-buku secara percuma dalam format yang mudah, tonton dan baca:
Muat turun buku Stereometri visual dalam teori, masalah, lukisan, Bobrovskaya A.V., 2013 - fileskachat.com, muat turun pantas dan percuma.

MBOU "Sekolah Menengah No. 7"

Pembangunan metodologi

secara stereometri

untuk pelajar darjah 10-11

Belousova E.N., guru matematik

2012, Nalchik

“Konsep asas dan aksiom stereometri.

Keselarian garis lurus dan satah"

Stereometri ialah satu cabang geometri di mana sifat-sifat rajah dalam ruang dikaji.

Perkataan "stereometri" berasal dari perkataan Yunani "στερεοσ" - volumetrik, spatial dan "μετρεο" - untuk mengukur.

Angka paling mudah di angkasa: titik, garis lurus, satah.

Aksiom stereometri dan akibatnya

Aksiom 1. Melalui mana-mana tiga mata yang tidak terletak pada baris yang sama, terdapat melepasi satah, dan hanya satu.
Aksiom 2. Jika dua titik garis terletak pada satah, maka semua titik garis terletak pada satah ini. (Satu garis lurus terletak pada satah atau satah melalui garis lurus).
Daripada Axiom 2, ia mengikuti bahawa jika garis tidak terletak pada satah tertentu, maka ia mempunyai paling banyak satu titik sepunya dengannya. Jika garis lurus dan satah mempunyai satu titik sepunya, maka ia dikatakan bersilang.
Aksiom 3. Jika dua satah berbeza mempunyai titik sepunya, maka ia mempunyai garis lurus sepunya di mana semua titik sepunya satah ini terletak. Dalam kes ini, mereka mengatakan bahawa pesawat bersilang dalam garis lurus. Contoh: persilangan dua dinding bersebelahan, dinding dan siling bilik.
Beberapa akibat daripada aksiom Teorem 1. Satah, dan hanya satu satah, melalui garis lurus a dan titik A tidak terletak di atasnya.
Teorem 2. Sebuah satah melalui dua garis bersilang a dan b, dan hanya satu.
Garis selari di angkasa Dua garisan di angkasa dipanggil selari jika ia terletak pada satah yang sama dan tidak bersilang.
Teorem pada garis selari. Melalui mana-mana titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, terdapat melewati garis selari dengan yang diberikan, dan, lebih-lebih lagi, hanya satu.
Lemma pada persilangan satah dengan garis selari. Jika satu daripada dua garis selari bersilang dengan satah tertentu, maka garisan yang satu lagi juga memotong satah ini.