1º. Persamaan eksponen dipanggil persamaan yang mengandungi pembolehubah dalam eksponen.
Menyelesaikan persamaan eksponen adalah berdasarkan sifat kuasa: dua kuasa dengan asas yang sama adalah sama jika dan hanya jika eksponennya adalah sama.
2º. Kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan eksponen:
1) persamaan termudah mempunyai penyelesaian;
2) persamaan bentuk logaritma kepada asas a mengurangkan kepada bentuk;
3) persamaan bentuk adalah bersamaan dengan persamaan;
4) persamaan bentuk 
adalah bersamaan dengan persamaan.
5) persamaan bentuk dikurangkan melalui penggantian kepada persamaan, dan kemudian satu set persamaan eksponen mudah diselesaikan;
6) persamaan dengan timbal balik 
dengan penggantian mereka mengurangkan kepada persamaan, dan kemudian menyelesaikan satu set persamaan;
7) persamaan homogen berkenaan dengan a g(x) Dan b g(x) memandangkan itu 
taip 
melalui penggantian mereka dikurangkan kepada persamaan, dan kemudian satu set persamaan diselesaikan.
Pengelasan persamaan eksponen.
1. Persamaan diselesaikan dengan pergi ke satu asas.
Contoh 18. Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian: Mari kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa semua asas kuasa adalah kuasa nombor 5: .
2. Persamaan diselesaikan dengan menghantar kepada satu eksponen.
Persamaan ini diselesaikan dengan menukarkan persamaan asal kepada bentuk , yang dikurangkan kepada yang paling mudah menggunakan sifat perkadaran.
Contoh 19. Selesaikan persamaan:
3. Persamaan diselesaikan dengan mengambil faktor sepunya daripada kurungan.
Jika setiap eksponen dalam persamaan berbeza antara satu sama lain dengan nombor tertentu, maka persamaan diselesaikan dengan meletakkan eksponen dengan eksponen terkecil daripada kurungan.
Contoh 20. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian: Mari kita ambil darjah dengan eksponen terkecil daripada kurungan di sebelah kiri persamaan:
Contoh 21. Selesaikan persamaan 
Penyelesaian: Mari kumpulkan secara berasingan di sebelah kiri persamaan istilah yang mengandungi kuasa dengan asas 4, di sebelah kanan - dengan asas 3, kemudian letakkan kuasa dengan eksponen terkecil daripada kurungan:
4. Persamaan yang mengurangkan kepada persamaan kuadratik (atau kubik)..
Persamaan berikut dikurangkan kepada persamaan kuadratik untuk pembolehubah baru y:
a) jenis penggantian, dalam kes ini;
b) jenis penggantian , dan .
Contoh 22. Selesaikan persamaan 
.
Penyelesaian: Mari buat perubahan pembolehubah dan selesaikan persamaan kuadratik:
.
Jawapan: 0; 1.
5. Persamaan yang homogen berkenaan dengan fungsi eksponen.
Persamaan bentuk ialah persamaan homogen darjah kedua berkenaan dengan yang tidak diketahui a x Dan b x. Persamaan sedemikian dikurangkan dengan membahagikan kedua-dua belah terlebih dahulu dan kemudian menggantikannya ke dalam persamaan kuadratik.
Contoh 23. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian: Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
Dengan meletakkan , kita mendapat persamaan kuadratik dengan punca .
Sekarang masalahnya datang kepada menyelesaikan satu set persamaan 
. Daripada persamaan pertama kita dapati bahawa . Persamaan kedua tidak mempunyai punca, kerana untuk sebarang nilai x.
Jawapan: -1/2.
6. Persamaan rasional berkenaan dengan fungsi eksponen.
Contoh 24. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian: Bahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan 3 x dan bukannya dua kita mendapat satu fungsi eksponen:
7. Persamaan bentuk 
.
Persamaan sedemikian dengan set nilai yang boleh diterima (APV), ditentukan oleh keadaan, dengan mengambil logaritma kedua-dua belah persamaan dikurangkan kepada persamaan yang setara, yang seterusnya bersamaan dengan set dua persamaan atau.
Contoh 25. Selesaikan persamaan: .
.
Bahan didaktik.
Selesaikan persamaan:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Cari hasil darab punca-punca persamaan 
.
27. Cari hasil tambah punca-punca persamaan itu 
.
Cari maksud ungkapan:
28. , di mana x 0- punca persamaan;
29. , di mana x 0– punca keseluruhan persamaan 
.
Selesaikan persamaan:
31. 
; 32. .
Jawapan: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Topik No. 8.
Ketaksamaan eksponen.
1º. Ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah dalam eksponen dipanggil ketidaksamaan eksponen.
2º. Penyelesaian kepada ketaksamaan eksponen dalam bentuk adalah berdasarkan pernyataan berikut:
jika , maka ketaksamaan adalah bersamaan dengan ;
jika , maka ketaksamaan adalah bersamaan dengan .
Apabila menyelesaikan ketaksamaan eksponen, gunakan teknik yang sama seperti semasa menyelesaikan persamaan eksponen.
Contoh 26. Selesaikan ketaksamaan 
(kaedah peralihan kepada satu asas).
Penyelesaian: Kerana 
, maka ketaksamaan yang diberikan boleh ditulis sebagai: 
. Oleh kerana , maka ketaksamaan ini adalah bersamaan dengan ketaksamaan 
.
Menyelesaikan ketidaksamaan terakhir, kita dapat .
Contoh 27. Selesaikan ketaksamaan: ( dengan mengambil faktor sepunya daripada kurungan).
Penyelesaian: Mari kita keluarkan daripada kurungan di sebelah kiri ketaksamaan , di sebelah kanan ketaksamaan dan bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan (-2), menukar tanda ketaksamaan kepada sebaliknya:
Sejak , kemudian apabila beralih kepada ketidaksamaan penunjuk, tanda ketidaksamaan sekali lagi berubah kepada sebaliknya. Kami menerima. Oleh itu, set semua penyelesaian kepada ketaksamaan ini ialah selang.
Contoh 28. Selesaikan ketaksamaan ( dengan memperkenalkan pembolehubah baru).
Penyelesaian: Biar . Kemudian ketidaksamaan ini akan mengambil bentuk: 
atau 
, yang penyelesaiannya ialah selang .
Dari sini. Oleh kerana fungsi bertambah, maka .
Bahan didaktik.
Nyatakan set penyelesaian kepada ketaksamaan:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Pada nilai apa x Adakah titik-titik pada graf fungsi terletak di bawah garis lurus?
7. Pada nilai apa x Adakah titik pada graf fungsi terletak sekurang-kurangnya sejauh garis lurus?
Selesaikan ketaksamaan:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Nyatakan penyelesaian integer terbesar kepada ketaksamaan 
.
14. Cari hasil darab bagi integer terbesar dan penyelesaian integer terkecil kepada ketaksamaan 
.
Selesaikan ketaksamaan:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Cari domain fungsi:
27. 
; 28. 
.
29. Cari set nilai argumen yang mana nilai setiap fungsi lebih besar daripada 3:
Dan 
.
Jawapan: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) kita memperolehi bahawa \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Seterusnya, menggunakan sifat darjah \((a^b)^c=a^(bc)\), kita memperoleh \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Kita juga tahu bahawa \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Menggunakan ini ke sebelah kiri, kita dapat: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Sekarang ingat bahawa: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Formula ini juga boleh digunakan dalam arah yang bertentangan: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Kemudian \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)
Menggunakan sifat \((a^b)^c=a^(bc)\) ke sebelah kanan, kita memperoleh: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)
Dan kini pangkalan kami adalah sama dan tidak ada pekali yang mengganggu, dsb. Jadi kita boleh buat peralihan.
Contoh
. Selesaikan persamaan eksponen \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Penyelesaian:
|
\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) |
Kami sekali lagi menggunakan sifat kuasa \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dalam arah yang bertentangan. |
|
|
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) |
Sekarang ingat bahawa \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) |
Menggunakan sifat darjah, kami mengubah: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Kami melihat dengan teliti pada persamaan dan melihat bahawa penggantian \(t=2^x\) mencadangkan dirinya sendiri. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Walau bagaimanapun, kami telah menemui nilai \(t\), dan kami memerlukan \(x\). Kami kembali ke X, membuat penggantian terbalik. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
Mari kita ubah persamaan kedua menggunakan sifat kuasa negatif... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
... dan kami membuat keputusan sehingga jawapannya. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Jawab : \(-1; 1\).
Persoalannya kekal - bagaimana untuk memahami bila menggunakan kaedah yang mana? Ini datang dengan pengalaman. Sehingga anda telah membangunkannya, gunakan pengesyoran am untuk menyelesaikan masalah yang kompleks - "jika anda tidak tahu apa yang perlu dilakukan, lakukan apa yang anda boleh." Iaitu, cari bagaimana anda boleh mengubah persamaan pada dasarnya, dan cuba lakukannya - bagaimana jika apa yang berlaku? Perkara utama ialah membuat hanya transformasi berasaskan matematik.
Persamaan eksponen tanpa penyelesaian
Mari kita lihat dua lagi situasi yang sering mengelirukan pelajar:
- nombor positif kepada kuasa adalah sama dengan sifar, contohnya, \(2^x=0\);
- nombor positif adalah sama dengan kuasa nombor negatif, contohnya, \(2^x=-4\).
Mari cuba selesaikan dengan kekerasan. Jika x ialah nombor positif, maka apabila x bertambah, keseluruhan kuasa \(2^x\) hanya akan meningkat:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).
\(x=0\); \(2^0=1\)
Juga oleh. X negatif kekal. Mengingati harta \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kita semak:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
Walaupun bilangannya menjadi lebih kecil dengan setiap langkah, ia tidak akan mencapai sifar. Jadi tahap negatif tidak menyelamatkan kami. Kami sampai pada kesimpulan yang logik:
Nombor positif ke mana-mana tahap akan kekal sebagai nombor positif.
Oleh itu, kedua-dua persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian.
Persamaan eksponen dengan asas yang berbeza
Dalam amalan, kadangkala kita menghadapi persamaan eksponen dengan asas berbeza yang tidak boleh dikurangkan antara satu sama lain, dan pada masa yang sama dengan eksponen yang sama. Ia kelihatan seperti ini: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dengan \(a\) dan \(b\) ialah nombor positif.
Sebagai contoh:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Persamaan sedemikian boleh diselesaikan dengan mudah dengan membahagikan mana-mana sisi persamaan (biasanya dibahagikan dengan bahagian kanan, iaitu, dengan \(b^(f(x))\). Anda boleh membahagi dengan cara ini kerana nombor positif adalah positif kepada mana-mana kuasa (iaitu, kita tidak membahagi dengan sifar).
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
Contoh
. Selesaikan persamaan eksponen \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Penyelesaian:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Di sini kita tidak akan dapat menukar lima kepada tiga, atau sebaliknya (sekurang-kurangnya tanpa menggunakan ). Ini bermakna kita tidak boleh datang ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Walau bagaimanapun, penunjuk adalah sama. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
Sekarang ingat sifat \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) dan gunakannya dari kiri ke arah yang bertentangan. Di sebelah kanan, kita hanya mengurangkan pecahan. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Nampaknya keadaan tidak menjadi lebih baik. Tetapi ingat satu lagi sifat kuasa: \(a^0=1\), dengan kata lain: "sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan \(1\)." Sebaliknya juga benar: "satu boleh diwakili sebagai sebarang nombor kepada kuasa sifar." Mari kita manfaatkan ini dengan menjadikan tapak di sebelah kanan sama seperti di sebelah kiri. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
Voila! Mari kita singkirkan asas. |
|
|
Kami sedang menulis jawapan. |
Jawab : \(-7\).
Kadangkala "kesamaan" eksponen tidak jelas, tetapi penggunaan mahir sifat eksponen menyelesaikan isu ini.
Contoh
. Selesaikan persamaan eksponen \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Penyelesaian:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Persamaan kelihatan sangat menyedihkan... Bukan sahaja asas tidak boleh dikurangkan kepada nombor yang sama (tujuh sama sekali tidak akan sama dengan \(\frac(1)(3)\)), tetapi juga eksponen adalah berbeza. .. Walau bagaimanapun, mari kita gunakan deuce eksponen kiri. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Mengingati sifat \((a^b)^c=a^(b·c)\) , kita ubah dari kiri: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Sekarang, mengingati sifat darjah negatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), kita ubah dari kanan: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Haleluya! Penunjuk adalah sama! |
Jawab : \(2\).