Pembangunan metodologi pada topik: penyelidikan matematik dalam pelajaran matematik. Tempat kaedah penyelidikan matematik dalam pengurusan perusahaan

Dalam sejarah matematik, kita boleh membezakan secara kasar dua tempoh utama: matematik asas dan moden. Pencapaian yang menjadi kebiasaan untuk mengira era matematik baharu (kadangkala dipanggil lebih tinggi) ialah abad ke-17 - abad kemunculan analisis matematik. Menjelang akhir abad ke-17. I. Newton, G. Leibniz dan pendahulu mereka mencipta radas kalkulus pembezaan baru dan kalkulus kamiran, yang membentuk asas analisis matematik dan bahkan, mungkin, asas matematik semua sains semula jadi moden.

Analisis matematik ialah bidang matematik yang luas dengan objek kajian (kuantiti berubah-ubah), kaedah penyelidikan yang unik (analisis dengan cara infinitesimal atau melalui laluan ke had), sistem konsep asas tertentu (fungsi, had, derivatif. , pembezaan, kamiran, siri) dan sentiasa bertambah baik dan radas yang sedang membangun, yang asasnya ialah kalkulus pembezaan dan kamiran.

Mari kita cuba memberi gambaran tentang jenis revolusi matematik yang berlaku pada abad ke-17, apa yang mencirikan peralihan yang berkaitan dengan kelahiran analisis matematik daripada matematik asas kepada apa yang kini menjadi subjek penyelidikan dalam analisis matematik, dan apa yang menjelaskannya. peranan asas dalam keseluruhan sistem moden pengetahuan teori dan gunaan.

Bayangkan bahawa di hadapan anda adalah gambar berwarna yang dieksekusi dengan indah tentang ombak laut yang bergelora yang meluru ke pantai: punggung yang kuat membongkok, dada yang curam tetapi sedikit cekung, kepala yang sudah condong ke hadapan dan bersedia untuk jatuh dengan surai kelabu diseksa oleh angin. Anda berhenti seketika, anda berjaya menangkap gelombang, dan kini anda boleh mengkajinya dengan teliti dalam setiap perincian tanpa tergesa-gesa. Gelombang boleh diukur, dan menggunakan alat matematik asas, anda boleh membuat banyak kesimpulan penting tentang gelombang ini, dan oleh itu semua saudara lautannya. Tetapi dengan menghentikan gelombang, anda telah menghilangkannya daripada pergerakan dan kehidupan. Asal-usulnya, perkembangan, larian, daya yang digunakannya mencecah pantai - semua ini ternyata berada di luar bidang penglihatan anda, kerana anda belum mempunyai sama ada bahasa atau alat matematik yang sesuai untuk menerangkan dan mengkaji bukan statik, tetapi membangun, proses dinamik, pembolehubah dan hubungannya.

"Analisis matematik tidak kurang komprehensif daripada alam semula jadi: ia menentukan semua hubungan ketara, mengukur masa, ruang, daya, suhu." J. Fourier

Pergerakan, pembolehubah dan hubungan mereka mengelilingi kita di mana-mana. Pelbagai jenis gerakan dan coraknya merupakan objek utama kajian sains khusus: fizik, geologi, biologi, sosiologi, dll. Oleh itu, bahasa yang tepat dan kaedah matematik yang sepadan untuk menerangkan dan mengkaji kuantiti berubah ternyata perlu dalam semua bidang. pengetahuan pada tahap yang lebih kurang sama seperti nombor dan aritmetik diperlukan apabila menerangkan hubungan kuantitatif. Jadi, analisis matematik membentuk asas bahasa dan kaedah matematik untuk menerangkan pembolehubah dan hubungannya. Pada masa kini, tanpa analisis matematik, adalah mustahil bukan sahaja untuk mengira trajektori angkasa lepas, operasi reaktor nuklear, pergerakan gelombang laut dan corak pembangunan siklon, tetapi juga untuk menguruskan pengeluaran secara ekonomi, pengagihan sumber, organisasi proses teknologi, meramalkan perjalanan tindak balas kimia atau perubahan dalam bilangan pelbagai spesies yang saling berkaitan dalam alam semula jadi haiwan dan tumbuhan, kerana semua ini adalah proses dinamik.

Matematik asas adalah terutamanya matematik kuantiti malar, ia mengkaji terutamanya hubungan antara unsur-unsur angka geometri, sifat aritmetik nombor dan persamaan algebra. Sikapnya terhadap realiti sedikit sebanyak boleh dibandingkan dengan kajian yang penuh perhatian, malah menyeluruh dan lengkap bagi setiap bingkai tetap filem yang menangkap perubahan, dunia hidup yang sedang membangun dalam pergerakannya, yang bagaimanapun, tidak kelihatan dalam bingkai yang berasingan dan yang hanya boleh diperhatikan dengan melihat pita secara keseluruhan. Tetapi sama seperti pawagam tidak dapat difikirkan tanpa fotografi, maka matematik moden adalah mustahil tanpa bahagian itu yang secara konvensional kita panggil asas, tanpa idea dan pencapaian ramai saintis cemerlang, kadang-kadang dipisahkan oleh berpuluh-puluh abad.

Matematik disatukan, dan bahagian "lebih tinggi" disambungkan dengan bahagian "elemen" dengan cara yang sama seperti tingkat seterusnya rumah yang sedang dibina disambungkan dengan yang sebelumnya, dan lebar ufuk yang dibuka oleh matematik kepada kita di dunia di sekeliling kita bergantung pada tingkat mana bangunan ini kita berjaya mencapai kenaikan. Dilahirkan pada abad ke-17. analisis matematik telah membuka peluang kepada kita untuk menghuraikan secara saintifik, secara kuantitatif dan kualitatif mengkaji pembolehubah dan gerakan dalam erti kata yang luas.

Apakah prasyarat untuk kemunculan analisis matematik?

Menjelang akhir abad ke-17. Keadaan berikut telah timbul. Pertama, dalam rangka kerja matematik itu sendiri, selama bertahun-tahun, beberapa kelas masalah penting dari jenis yang sama telah terkumpul (contohnya, masalah mengukur luas dan isipadu angka bukan piawai, masalah melukis tangen kepada lengkung) dan kaedah untuk menyelesaikannya dalam pelbagai kes khas telah muncul. Kedua, ternyata masalah ini berkait rapat dengan masalah menggambarkan gerakan mekanikal sewenang-wenangnya (tidak semestinya seragam), dan khususnya dengan pengiraan ciri-ciri serta-merta (kelajuan, pecutan pada bila-bila masa), serta dengan mencari jarak yang dilalui untuk pergerakan yang berlaku pada kelajuan berubah-ubah tertentu. Penyelesaian kepada masalah ini adalah perlu untuk pembangunan fizik, astronomi, dan teknologi.

Akhirnya, ketiga, menjelang pertengahan abad ke-17. karya R. Descartes dan P. Fermat meletakkan asas kaedah analisis koordinat (yang dipanggil geometri analitik), yang memungkinkan untuk merumuskan masalah geometri dan fizikal asal heterogen dalam bahasa nombor umum (analitik). dan kebergantungan berangka, atau, seperti yang kita katakan sekarang, fungsi berangka.

NIKOLAY NIKOLAEVICH LUZIN
(1883-1950)

N. N. Luzin - ahli matematik Soviet, pengasas teori fungsi sekolah Soviet, ahli akademik (1929).

Luzin dilahirkan di Tomsk dan belajar di gimnasium Tomsk. Formalisme kursus matematik gimnasium mengasingkan lelaki muda yang berbakat itu, dan hanya seorang tutor yang berkebolehan dapat mendedahkan kepadanya keindahan dan kehebatan sains matematik.

Pada tahun 1901, Luzin memasuki jabatan matematik Fakulti Fizik dan Matematik Universiti Moscow. Dari tahun-tahun pertama pengajiannya, isu yang berkaitan dengan infiniti jatuh ke dalam lingkaran minatnya. Pada akhir abad ke-19. Saintis Jerman G. Cantor mencipta teori umum set tak terhingga, yang menerima banyak aplikasi dalam kajian fungsi tak selanjar. Luzin mula mempelajari teori ini, tetapi pelajarannya terganggu pada tahun 1905. Pelajar itu, yang mengambil bahagian dalam aktiviti revolusioner, terpaksa berlepas ke Perancis untuk seketika. Di sana dia mendengar ceramah oleh ahli matematik Perancis yang paling terkemuka pada masa itu. Apabila kembali ke Rusia, Luzin lulus dari universiti dan ditinggalkan untuk mempersiapkan diri untuk jawatan profesor. Tidak lama kemudian dia sekali lagi pergi ke Paris, dan kemudian ke Göttingen, di mana dia menjadi rapat dengan ramai saintis dan menulis karya saintifik pertamanya. Masalah utama yang menarik minat saintis ialah persoalan sama ada terdapat set yang mengandungi lebih banyak unsur daripada set nombor asli, tetapi kurang daripada set titik pada segmen (masalah kontinum).

Untuk mana-mana set tak terhingga yang boleh diperoleh daripada segmen menggunakan operasi kesatuan dan persilangan koleksi set boleh dikira, hipotesis ini telah berpuas hati, dan untuk menyelesaikan masalah, adalah perlu untuk mengetahui cara lain yang ada untuk membina set . Pada masa yang sama, Luzin mengkaji persoalan sama ada ia mungkin untuk mewakili sebarang fungsi berkala, walaupun satu dengan titik ketakselanjaran yang tidak terhingga, sebagai jumlah siri trigonometri, i.e. hasil tambah bilangan getaran harmonik yang tidak terhingga. Luzin memperoleh beberapa keputusan penting mengenai isu-isu ini dan pada tahun 1915 mempertahankan disertasinya "Siri Integral dan Trigonometri," yang mana dia segera dianugerahkan ijazah akademik Doktor Matematik Tulen, memintas ijazah sarjana pertengahan yang wujud pada masa itu.

Pada tahun 1917 Luzin menjadi profesor di Universiti Moscow. Seorang guru yang berbakat, dia menarik pelajar yang paling berkebolehan dan ahli matematik muda. Sekolah Luzin mencapai kemuncaknya pada tahun-tahun pasca revolusi yang pertama. Pelajar Luzin membentuk satu pasukan kreatif, yang secara berseloroh mereka panggil "Lusitania." Ramai daripada mereka menerima keputusan saintifik kelas pertama semasa masih pelajar. Sebagai contoh, P. S. Aleksandrov dan M. Ya. Penyelidikan dalam bidang ini yang dijalankan oleh Luzin dan pelajarnya menunjukkan bahawa kaedah biasa teori set tidak mencukupi untuk menyelesaikan banyak masalah yang timbul di dalamnya. Ramalan saintifik Luzin telah disahkan sepenuhnya pada tahun 60-an. abad XX Ramai pelajar N. N. Luzin kemudiannya menjadi ahli akademik dan ahli Akademi Sains USSR yang sepadan. Antaranya ialah P. S. Alexandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentiev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. L. G. Shnirelman dan lain-lain.

Ahli matematik Soviet dan asing moden dalam karya mereka mengembangkan idea N. N. Luzin.

Pertemuan keadaan ini membawa kepada fakta bahawa pada akhir abad ke-17. dua saintis - I. Newton dan G. Leibniz - secara bebas antara satu sama lain berjaya mencipta alat matematik untuk menyelesaikan masalah ini, merumuskan dan menyamaratakan keputusan individu pendahulu mereka, termasuk saintis kuno Archimedes dan sezaman Newton dan Leibniz - B. Cavalieri, B. Pascal , D. Gregory, I. Barrow. Radas ini membentuk asas analisis matematik - cabang baru matematik yang mengkaji pelbagai proses pembangunan, i.e. hubungan antara pembolehubah, yang dalam matematik dipanggil kebergantungan fungsi atau, dengan kata lain, fungsi. Dengan cara ini, istilah "fungsi" itu sendiri diperlukan dan secara semula jadi timbul tepat pada abad ke-17, dan pada masa ini ia telah memperoleh bukan sahaja matematik umum, tetapi juga kepentingan saintifik umum.

Maklumat awal tentang konsep asas dan alat analisis matematik diberikan dalam artikel "Kalkulus pembezaan" dan "Kalkulus bersepadu".

Sebagai kesimpulan, saya ingin memikirkan hanya satu prinsip abstraksi matematik, yang lazim untuk semua matematik dan ciri analisis, dan dalam hal ini jelaskan dalam bentuk apa analisis matematik mengkaji pembolehubah dan apakah rahsia kesejagatan kaedahnya untuk mengkaji semua jenis proses pembangunan khusus dan perkaitannya.

Mari kita lihat beberapa contoh ilustrasi dan analogi.

Kadang-kadang kita tidak lagi menyedari bahawa, sebagai contoh, hubungan matematik yang ditulis bukan untuk epal, kerusi atau gajah, tetapi dalam bentuk abstrak yang diabstraksikan daripada objek tertentu, adalah pencapaian saintifik yang cemerlang. Ini adalah undang-undang matematik yang, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, boleh digunakan untuk pelbagai objek tertentu. Ini bermakna bahawa dengan mengkaji dalam matematik sifat-sifat umum abstrak, nombor abstrak, dengan itu kita mengkaji hubungan kuantitatif dunia sebenar.

Sebagai contoh, dari kursus matematik sekolah diketahui bahawa, oleh itu, dalam situasi tertentu anda boleh berkata: "Jika mereka tidak memberi saya dua trak sampah enam tan untuk mengangkut 12 tan tanah, maka saya boleh bertanya untuk tiga trak sampah empat tan dan kerja akan dilakukan, dan jika mereka memberi saya hanya satu trak sampah empat tan, maka dia perlu membuat tiga penerbangan.” Oleh itu, nombor abstrak dan corak berangka yang kini biasa kepada kita dikaitkan dengan manifestasi dan aplikasi khusus mereka.

Undang-undang perubahan dalam pembolehubah tertentu dan proses pembangunan alam semula jadi dikaitkan dengan cara yang hampir sama dengan fungsi bentuk abstrak yang abstrak di mana ia muncul dan dikaji dalam analisis matematik.

Sebagai contoh, nisbah abstrak mungkin mencerminkan pergantungan box office pawagam pada bilangan tiket yang dijual, jika 20 adalah 20 kopecks - harga satu tiket. Tetapi jika kita menunggang basikal di lebuh raya, perjalanan 20 km sejam, maka nisbah yang sama ini boleh ditafsirkan sebagai hubungan antara masa (jam) perjalanan berbasikal kita dan jarak yang ditempuhi selama ini (kilometer Anda boleh). selalu katakan bahawa, sebagai contoh, perubahan beberapa kali membawa kepada perubahan berkadar (iaitu, bilangan kali yang sama) dalam nilai , dan jika , maka kesimpulan yang bertentangan juga benar. Ini bermakna, khususnya, untuk menggandakan box office panggung wayang, anda perlu menarik dua kali lebih ramai penonton, dan untuk mengembara dua kali lebih jauh dengan basikal pada kelajuan yang sama, anda perlu menunggang dua kali lebih lama. .

Matematik mengkaji kedua-dua pergantungan yang paling mudah dan pergantungan lain yang jauh lebih kompleks dalam bentuk umum, abstrak, yang disarikan daripada tafsiran tertentu. Sifat-sifat fungsi atau kaedah untuk mengkaji sifat-sifat ini yang dikenal pasti dalam kajian sedemikian akan menjadi sifat teknik matematik umum, kesimpulan, hukum dan kesimpulan yang boleh digunakan untuk setiap fenomena khusus di mana fungsi yang dikaji dalam bentuk abstrak berlaku, tanpa mengira bidang apa. pengetahuan fenomena ini kepunyaan .

Jadi, analisis matematik sebagai cabang matematik telah terbentuk pada akhir abad ke-17. Subjek kajian dalam analisis matematik (seperti yang kelihatan dari kedudukan moden) adalah fungsi, atau, dengan kata lain, kebergantungan antara kuantiti berubah-ubah.

Dengan kemunculan analisis matematik, matematik menjadi boleh diakses untuk kajian dan refleksi proses pembangunan dalam dunia sebenar; matematik termasuk pembolehubah dan gerakan.

Oleh kerana kesejagatannya, penyelidikan matematik digunakan dalam bidang yang sangat jauh dari matematik. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa mana-mana peruntukan, peraturan atau undang-undang yang ditulis dalam bahasa matematik menjadi alat untuk ramalan (ramalan), yang merupakan tugas terpenting setiap penyelidikan saintifik.

Asas matematik tradisional (klasik) adalah sistem aksiom, yang hasilnya diperoleh melalui deduksi, dibentangkan dalam bentuk lemma, teorem, dll. Penyelesaian analitikal yang diperolehi berdasarkannya adalah tepat dalam had. Dalam rangka kerja kaedah ini, persoalan tentang kewujudan penyelesaian, keunikan mereka, serta kestabilan dan penumpuan kepada penyelesaian yang betul-betul tepat dengan peningkatan tanpa had dalam bilangannya dikaji.

Perkembangan kaedah tersebut menyumbang kepada perkembangan matematik itu sendiri (kemunculan cabang dan hala tuju baru). Walau bagaimanapun, untuk menyelesaikan banyak masalah yang digunakan, mereka ternyata tidak berkesan, kerana untuk menggunakannya adalah perlu untuk memperkenalkan banyak andaian, yang membawa kepada fakta bahawa model matematik proses yang dikaji ternyata berbeza dengan ketara daripada yang sebenar. proses fizikal.

Dalam hal ini, timbul satu cabang dalam matematik yang dipanggil matematik gunaan. Perbezaan utamanya daripada yang tradisional ialah di sini kita tidak mendapati penyelesaian yang tepat, tetapi anggaran dengan ketepatan yang mencukupi untuk aplikasi kejuruteraan, tetapi tanpa mengambil kira andaian yang dibuat dalam rangka kerja matematik klasik. Ketepatan penyelesaian yang diperolehi dinilai dengan perbandingan dengan penyelesaian tepat bagi sebarang masalah ujian atau dengan keputusan kajian eksperimen.

Kaedah matematik gunaan termasuk variasi (Ritz, Trefftz, Kantorovich, dsb.), kaedah ortogon bagi baki berwajaran (Bubnov-Galerkin, Kantorovich), kolokasi, momen, kuasa dua terkecil, dsb.; kaedah perbezaan variasi (elemen terhingga, unsur sempadan; kaedah spektrum, dsb.) - Kesemuanya tergolong dalam kumpulan yang dipanggil kaedah langsung- ini adalah kaedah analisis anggaran untuk menyelesaikan masalah fizik matematik yang mengurangkan penyelesaian persamaan pembezaan dan kamiran kepada penyelesaian sistem persamaan linear algebra. Mari kita lihat secara ringkas kronologi perkembangan kaedah ini dan intipati fizikalnya.

Pada tahun 1662, ahli matematik Perancis P. Fermat merumuskan hukum pembiasan cahaya di sempadan dua media seperti berikut: semua laluan cahaya yang mungkin dari satu titik A untuk menunjukkan DALAM yang di mana masa pergerakan mencapai minimum dilaksanakan. Ini adalah salah satu rumusan pertama bagi prinsip variasi.

Pada tahun 1696, I. Bernoulli merumuskan masalah mencari panjang laluan (trajektori) di mana titik material bergerak dari satu titik A di bawah pengaruh graviti sahaja, mencapai titik dalam masa yang paling singkat DALAM. Mencari lengkung sedemikian, dipanggil brachistochrone(lengkung penurunan paling curam), berkurangan untuk menentukan minimum fungsi

di bawah keadaan sempadan di (0) = 0; y(a) = y a, yang merupakan koordinat titik mula dan titik akhir pergerakan.

Di sini T - masa keturunan paling curam; g- pecutan akibat graviti.

Pengenalan fungsi (A) menandakan permulaan kemunculan kalkulus variasi. Fungsi sedemikian biasanya ditulis seperti berikut:

di bawah keadaan sempadan y(a) = A = const, y(b) = B= const.

Biasanya dalam masalah fizik matematik ekstrem beberapa fungsi ditemui di = y(x). Kepentingan kalkulus variasi terletak pada fakta bahawa di sini ekstrem kuantiti yang lebih kompleks daripada fungsi ditentukan - ekstrem fungsi J =J daripada fungsi y(x). Dalam hubungan ini, peluang telah dibuka untuk kajian objek fizikal baharu dan pembangunan arah matematik baharu.

Pada tahun 1774 L. Euler menunjukkan bahawa jika fungsi y(x) menyampaikan minimum kepada kamiran linear J = J[y(x), maka ia mesti memenuhi beberapa persamaan pembezaan, kemudiannya dipanggil Persamaan Euler. Penemuan fakta ini merupakan pencapaian penting dalam pemodelan matematik (membina model matematik). Ia menjadi jelas bahawa model matematik yang sama boleh diwakili dalam dua bentuk setara: dalam bentuk fungsi atau dalam bentuk persamaan pembezaan Euler (sistem persamaan pembezaan). Dalam hal ini, penggantian persamaan pembezaan dengan fungsi dipanggil masalah songsang bagi kalkulus variasi. Oleh itu, penyelesaian kepada masalah ekstrem bagi fungsi boleh dipertimbangkan dengan cara yang sama seperti penyelesaian kepada persamaan pembezaan Euler yang sepadan dengan fungsi ini. Akibatnya, rumusan matematik masalah fizikal yang sama boleh dibentangkan sama ada dalam bentuk fungsian dengan keadaan sempadan yang sepadan (ekstrem fungsi ini memberikan penyelesaian kepada masalah fizikal), atau dalam bentuk persamaan pembezaan Euler yang sepadan. kepada fungsi ini dengan syarat sempadan yang sama (penyepaduan persamaan ini menyediakan penyelesaian kepada masalah).

Penyebaran meluas kaedah variasi dalam sains gunaan telah difasilitasi oleh kemunculan pada tahun 1908 penerbitan oleh W. Ritz, yang dikaitkan dengan kaedah meminimumkan fungsi, kemudian dipanggil Kaedah Ritz. Kaedah ini dianggap kaedah variasi klasik. Idea utamanya ialah fungsi yang dikehendaki y = y(x) y menyampaikan fungsi (A ) Dengan syarat sempadan y (a) = A, y (b) = DALAM nilai minimum, dicari sebagai satu siri

di mana Cj (i = 0, yy) - pekali tidak diketahui; (r/(d) (r = 0, P) - fungsi koordinat (polip algebra atau trigonometri).

Fungsi koordinat ditemui dalam bentuk sedemikian sehingga ia betul-betul memenuhi syarat sempadan masalah.

Menggantikan (c) kepada (A), selepas menentukan terbitan bagi fungsi J daripada C yang tidak diketahui, (r = 0, r) berkenaan dengan yang terakhir, sistem persamaan linear algebra diperolehi. Selepas menentukan pekali C, penyelesaian kepada masalah dalam bentuk tertutup didapati daripada (c).

Apabila menggunakan sebilangan besar istilah siri (c) (H- 5 ? °о) pada dasarnya adalah mungkin untuk mendapatkan penyelesaian dengan ketepatan yang diperlukan. Namun, bagaimana tunjukkan pengiraan masalah khusus, matriks pekali C, (g = 0, P) ialah matriks segi empat sama terisi dengan sebaran pekali yang besar dalam nilai mutlak. Matriks sedemikian hampir dengan singular dan, sebagai peraturan, tidak bersyarat. Ini kerana mereka tidak memenuhi mana-mana syarat di mana matriks boleh dikondisikan dengan baik. Mari lihat beberapa syarat ini.

1. Kepastian positif matriks (istilah yang terletak pada pepenjuru utama mestilah positif dan maksimum).

2. Pandangan reben matriks berbanding pepenjuru utama dengan lebar minimum pita (pekali matriks yang terletak di luar pita adalah sama dengan sifar).

3. Kesimetrian matriks berbanding pepenjuru utama.

Dalam hal ini, dengan peningkatan anggaran dalam kaedah Ritz, nombor keadaan matriks, ditentukan oleh nisbah maksimum kepada nilai eigen minimumnya, cenderung kepada nilai yang tidak terhingga besar. Dan ketepatan penyelesaian yang terhasil, disebabkan pengumpulan ralat pembundaran yang cepat apabila menyelesaikan sistem besar persamaan linear algebra, mungkin tidak bertambah baik, tetapi bertambah buruk.

Bersama dengan kaedah Ritz, kaedah Galerkin yang berkaitan dibangunkan. Pada tahun 1913, I. G. Bubnov menetapkan bahawa persamaan linear algebra berkenaan dengan tidak diketahui C, (/ = 0, P) daripada (c) boleh diperolehi tanpa menggunakan fungsi bentuk (A). Rumusan matematik masalah dalam kes ini termasuk persamaan pembezaan dengan syarat sempadan yang sesuai. Penyelesaian, seperti dalam kaedah Ritz, dibuat dalam bentuk (c). Terima kasih kepada pembinaan khas fungsi koordinat φ,(x), penyelesaian (c) betul-betul memenuhi syarat sempadan masalah. Untuk menentukan pekali C yang tidak diketahui, (g = 0, P) percanggahan persamaan pembezaan disusun dan percanggahan itu diperlukan supaya percanggahan itu ortogon kepada semua fungsi koordinat φ 7 Cr) (/ = i = 0, P). Menentukan penerima Dalam kes ini, terdapat kamiran berkenaan dengan pekali C yang tidak diketahui, (G= 0, r) kita memperoleh sistem persamaan linear algebra yang sepenuhnya bertepatan dengan sistem persamaan serupa kaedah Ritz. Oleh itu, apabila menyelesaikan masalah yang sama menggunakan sistem fungsi koordinat yang sama, kaedah Ritz dan Bubnov-Galerkin membawa kepada keputusan yang sama.

Walaupun identiti keputusan yang diperolehi, kelebihan penting kaedah Bubnov-Galerkin berbanding kaedah Ritz ialah ia tidak memerlukan pembinaan analog variasi (fungsi) persamaan pembezaan. Perhatikan bahawa analog sedemikian tidak boleh selalu dibina. Sehubungan dengan kaedah Bubnov-Galerkin ini, masalah yang mana kaedah variasi klasik tidak terpakai boleh diselesaikan.

Kaedah lain yang tergolong dalam kumpulan variasi ialah kaedah Kantorovich. Ciri tersendirinya ialah pekali yang tidak diketahui dalam kombinasi linear jenis (c) bukan pemalar, tetapi fungsi yang bergantung pada salah satu pembolehubah bebas masalah (contohnya, masa). Di sini, seperti dalam kaedah Bubnov-Galerkin, percanggahan persamaan pembezaan disusun dan percanggahan itu diperlukan untuk menjadi ortogon kepada semua fungsi koordinat (ру(дг) (j = i = 0, P). Selepas mentakrifkan kamiran berkenaan dengan fungsi yang tidak diketahui fj(x) kita akan mempunyai sistem persamaan pembezaan biasa tertib pertama. Kaedah untuk menyelesaikan sistem sedemikian dibangunkan dengan baik (program komputer standard tersedia).

Salah satu arahan dalam menyelesaikan masalah nilai sempadan ialah penggunaan bersama kaedah analisis tepat (Fourier, kamiran, dll.) dan anggaran (variasi, baki berwajaran, kolokasi, dll.). Pendekatan bersepadu sedemikian memungkinkan untuk menggunakan sebaik mungkin aspek positif kedua-dua peranti matematik gunaan yang paling penting ini, kerana ia menjadi mungkin, tanpa menjalankan pengiraan matematik yang halus dan rumit, untuk mendapatkan ungkapan dalam bentuk ringkas yang setara. ke bahagian utama penyelesaian tepat, yang terdiri daripada siri fungsi tak terhingga. Untuk pengiraan praktikal, sebagai peraturan, jumlah separa beberapa istilah ini digunakan. Apabila menggunakan kaedah sedemikian, untuk mendapatkan hasil yang lebih tepat dalam bahagian awal koordinat parabola, adalah perlu untuk melakukan sejumlah besar anggaran. Walau bagaimanapun, dengan besar P fungsi koordinat dengan indeks bersebelahan membawa kepada persamaan algebra yang berkaitan dengan hubungan hampir linear. Matriks pekali dalam kes ini, sebagai matriks segi empat sama terisi, adalah hampir kepada singular dan ternyata, sebagai peraturan, tidak bersyarat. Dan bila P- 3? °° penyelesaian anggaran mungkin tidak menumpu walaupun kepada penyelesaian yang kurang tepat. Menyelesaikan sistem persamaan linear algebra dengan matriks yang tidak bersyarat memberikan kesukaran teknikal yang ketara disebabkan oleh pengumpulan ralat pembundaran yang cepat. Oleh itu, sistem persamaan sedemikian mesti diselesaikan dengan ketepatan tinggi pengiraan pertengahan.

Tempat istimewa di antara kaedah analisis anggaran yang memungkinkan untuk mendapatkan penyelesaian analisis dalam bahagian awal koordinat masa (parabola) diduduki oleh kaedah yang menggunakan konsep hadapan gangguan suhu. Mengikut kaedah ini, keseluruhan proses pemanasan atau penyejukan badan secara rasmi dibahagikan kepada dua peringkat. Yang pertama dicirikan oleh penyebaran beransur-ansur gangguan suhu hadapan dari permukaan badan ke pusatnya, dan yang kedua dengan perubahan suhu di seluruh isipadu badan sehingga permulaan keadaan pegun. Pembahagian proses haba ini kepada dua peringkat dalam masa membolehkan penyelesaian langkah demi langkah bagi masalah kekonduksian terma tidak pegun dan untuk setiap peringkat secara berasingan, sebagai peraturan, sudah dalam anggaran pertama, mencari formula pengiraan yang memuaskan. dalam ketepatan, agak mudah dan mudah dalam aplikasi kejuruteraan. Kaedah ini juga mempunyai kelemahan yang ketara, iaitu keperluan untuk pilihan apriori pergantungan koordinat fungsi suhu yang dikehendaki. Biasanya parabola kuadratik atau kubik diterima. Kekaburan penyelesaian ini menimbulkan masalah ketepatan, kerana, dengan mengandaikan terlebih dahulu satu atau satu lagi profil medan suhu, setiap kali kita akan memperoleh keputusan akhir yang berbeza.

Antara kaedah yang menggunakan idea kelajuan terhingga pergerakan bahagian hadapan gangguan suhu, yang paling meluas ialah kaedah keseimbangan haba integral. Dengan bantuannya, persamaan pembezaan separa boleh dikurangkan kepada persamaan pembezaan biasa dengan keadaan awal yang diberikan, penyelesaiannya selalunya boleh diperolehi dalam bentuk analisis tertutup. Kaedah kamiran, sebagai contoh, boleh digunakan untuk lebih kurang menyelesaikan masalah apabila sifat termofizik tidak tetap, tetapi ditentukan oleh pergantungan fungsi yang kompleks, dan masalah di mana, bersama-sama dengan kekonduksian terma, perolakan juga mesti diambil kira. Kaedah integral juga mempunyai kelemahan yang dinyatakan di atas - pilihan apriori profil suhu, yang menimbulkan masalah keunikan penyelesaian dan membawa kepada ketepatan yang rendah.

Banyak contoh penggunaan kaedah kamiran untuk menyelesaikan masalah pengaliran haba diberikan dalam kerja T. Goodman. Dalam karya ini, bersama dengan ilustrasi kemungkinan besar, batasannya juga ditunjukkan. Oleh itu, walaupun pada hakikatnya banyak masalah boleh diselesaikan dengan jayanya dengan kaedah kamiran, terdapat keseluruhan kelas masalah yang mana kaedah ini secara praktikalnya tidak boleh digunakan. Ini adalah, sebagai contoh, masalah dengan perubahan impuls dalam fungsi input. Sebabnya ialah profil suhu dalam bentuk parabola kuadratik atau kubik tidak sepadan dengan profil suhu sebenar untuk masalah tersebut. Oleh itu, jika taburan suhu sebenar dalam badan yang dikaji berbentuk fungsi bukan monotonik, maka adalah mustahil untuk mendapatkan penyelesaian yang memuaskan selaras dengan maksud fizikal masalah dalam apa jua keadaan.

Cara yang jelas untuk meningkatkan ketepatan kaedah kamiran ialah menggunakan fungsi suhu polinomial yang lebih tinggi. Dalam kes ini, keadaan sempadan utama dan keadaan kelancaran di hadapan gangguan suhu tidak mencukupi untuk menentukan pekali polinomial tersebut. Dalam hal ini, terdapat keperluan untuk mencari keadaan sempadan yang hilang, yang, bersama-sama dengan yang diberikan, akan membolehkan kita menentukan pekali profil suhu optimum susunan yang lebih tinggi, dengan mengambil kira semua ciri fizikal masalah yang dikaji. Keadaan sempadan tambahan tersebut boleh didapati daripada syarat sempadan utama dan persamaan pembezaan asal dengan membezakannya pada titik sempadan dalam koordinat ruang dan dalam masa.

Apabila mengkaji pelbagai masalah pemindahan haba, diandaikan bahawa sifat termofizik tidak bergantung pada suhu, dan keadaan linear diambil sebagai keadaan sempadan. Walau bagaimanapun, jika suhu badan berubah dalam julat yang luas, maka, disebabkan pergantungan sifat termofizik pada suhu, persamaan pengaliran haba menjadi tak linear. Penyelesaiannya menjadi lebih rumit, dan kaedah analisis tepat yang diketahui ternyata tidak berkesan. Kaedah imbangan haba integral membolehkan seseorang mengatasi beberapa kesukaran yang berkaitan dengan ketidaklinearan masalah. Sebagai contoh, ia mengurangkan persamaan pembezaan separa dengan syarat sempadan tak linear kepada persamaan pembezaan biasa dengan keadaan awal yang diberikan, penyelesaiannya selalunya boleh diperolehi dalam bentuk analitikal tertutup.

Adalah diketahui bahawa penyelesaian analitikal yang tepat pada masa ini hanya diperolehi untuk masalah dalam rumusan matematik yang dipermudahkan, apabila banyak ciri penting proses tidak diambil kira (tidak lineariti, kebolehubahan sifat dan keadaan sempadan, dsb.). Semua ini membawa kepada sisihan ketara model matematik daripada proses fizikal sebenar yang berlaku dalam loji kuasa tertentu. Di samping itu, penyelesaian tepat dinyatakan oleh siri fungsi tak terhingga kompleks, yang di sekitar titik sempadan dan untuk nilai kecil koordinat masa perlahan-lahan menumpu. Penyelesaian sedemikian tidak banyak digunakan untuk aplikasi kejuruteraan, dan terutamanya dalam kes di mana penyelesaian masalah suhu adalah peringkat pertengahan dalam menyelesaikan beberapa masalah lain (masalah fleksibiliti terma, masalah songsang, masalah kawalan, dll.). Dalam hal ini, kaedah matematik gunaan yang disenaraikan di atas sangat menarik, membolehkan penyelesaian, walaupun anggaran, dalam bentuk analisis, dengan ketepatan dalam banyak kes mencukupi untuk aplikasi kejuruteraan. Kaedah-kaedah ini memungkinkan untuk meluaskan julat masalah dengan ketara yang penyelesaian analisis boleh diperolehi berbanding dengan kaedah klasik.

Mari kita bandingkan metodologi untuk menggunakan matematik dalam penyelidikan praktikal dengan metodologi sains semula jadi yang lain. Sains seperti fizik, kimia, dan biologi secara langsung mengkaji objek sebenar itu sendiri (mungkin pada skala yang dikurangkan dan dalam keadaan makmal). Keputusan saintifik, selepas pengesahan yang diperlukan, juga boleh digunakan secara langsung dalam amalan. Matematik bukan mengkaji objek itu sendiri, tetapi modelnya. Penerangan tentang objek dan rumusan masalah diterjemahkan daripada bahasa biasa ke dalam "bahasa matematik" (formal), menghasilkan model matematik. Model ini dikaji lebih lanjut sebagai masalah matematik. Keputusan saintifik yang diperolehi tidak segera digunakan dalam amalan, kerana ia dirumuskan dalam bahasa matematik. Oleh itu, proses terbalik dijalankan - tafsiran yang bermakna (dalam bahasa masalah asal) hasil matematik yang diperolehi. Hanya selepas ini persoalan permohonan mereka dalam amalan diputuskan.

Satu bahagian penting dalam metodologi matematik gunaan ialah analisis menyeluruh tentang masalah sebenar, sebelum pemodelan matematiknya. Secara umum, analisis sistemik masalah melibatkan melaksanakan langkah-langkah berikut:

· analisis kemanusiaan (pra-matematik) masalah;

· kajian matematik masalah;

· aplikasi keputusan yang diperolehi dalam amalan.

Menjalankan analisis sistematik sedemikian bagi setiap masalah khusus harus dijalankan oleh kumpulan penyelidik, termasuk ahli ekonomi (sebagai pembuat masalah atau pelanggan), ahli matematik, peguam, ahli sosiologi, ahli psikologi, ahli ekologi, dll. Selain itu, ahli matematik, sebagai penyelidik utama, harus mengambil bahagian bukan sahaja dalam "menyelesaikan" tugas, tetapi juga dalam perumusannya, serta dalam pelaksanaan keputusan dalam amalan.

Untuk menjalankan penyelidikan matematik masalah ekonomi, langkah-langkah utama berikut diperlukan:

1. kajian bidang subjek dan penentuan tujuan kajian;

2. perumusan masalah;

3. pengumpulan data (statistik, pakar dan lain-lain);

4. pembinaan model matematik;

5. pemilihan (atau pembangunan) kaedah pengiraan dan pembinaan algoritma untuk menyelesaikan masalah;

6. memprogramkan algoritma dan menyahpepijat atur cara;

7. menyemak kualiti model menggunakan contoh ujian;

8. pelaksanaan keputusan dalam amalan.

peringkat 1 -3 berkaitan dengan bahagian pra-matematik kajian. Bidang subjek mesti dikaji secara menyeluruh oleh ahli ekonomi sendiri supaya mereka, sebagai pelanggan, boleh merumuskan masalah dengan jelas dan menentukan matlamat untuk penyelidik. Penyelidik mesti dibekalkan dengan semua data dokumentari dan statistik yang diperlukan secara menyeluruh. Ahli matematik menyusun, menyimpan, menganalisis dan memproses data yang diberikan kepada mereka dalam bentuk yang mudah (elektronik) oleh pelanggan.

peringkat 4 -7 berkaitan dengan bahagian matematik penyelidikan. Hasil daripada peringkat ini ialah perumusan masalah asal dalam bentuk masalah matematik yang ketat. Model matematik jarang boleh "dipilih" daripada model yang ada, yang diketahui (Rajah 1.1). Proses memilih parameter model supaya sepadan dengan objek yang dikaji dipanggil pengenalan model. Berdasarkan sifat model (tugas) yang terhasil dan tujuan kajian, sama ada kaedah yang diketahui dipilih, atau kaedah yang diketahui diadaptasi (diubah suai), atau yang baru dibangunkan. Selepas ini, algoritma (prosedur untuk menyelesaikan masalah) dan program komputer disusun. Keputusan yang diperoleh menggunakan program ini dianalisis: masalah ujian diselesaikan, perubahan dan pembetulan yang diperlukan diperkenalkan ke dalam algoritma dan program.

Jika bagi matematik "tulen" adalah tradisional untuk memilih model matematik sekali dan merumuskan andaian sekali pada awal kajian, maka dalam kerja gunaan ia selalunya berguna untuk kembali kepada model dan membuat pembetulan kepadanya selepas pusingan pertama pengiraan percubaan telah pun dijalankan. Selain itu, perbandingan model sering menjadi membuahkan hasil apabila fenomena yang sama digambarkan bukan oleh satu, tetapi oleh beberapa model. Jika kesimpulan ternyata (kira-kira) sama untuk model yang berbeza dan kaedah penyelidikan yang berbeza, ini adalah bukti ketepatan pengiraan, kecukupan model kepada objek itu sendiri, dan objektiviti cadangan yang diberikan.

Peringkat akhir 8 dijalankan secara bersama oleh pelanggan dan pembangun model.

Hasil penyelidikan matematik (serta mana-mana saintifik) hanyalah cadangan untuk digunakan dalam amalan. Keputusan muktamad mengenai isu ini - sama ada untuk menggunakan model atau tidak - bergantung kepada pelanggan, iaitu, pada orang yang bertanggungjawab untuk hasilnya dan akibat yang akan membawa kepada penggunaan keputusan yang disyorkan.

Untuk membina model matematik tugas ekonomi tertentu (masalah), disyorkan untuk melaksanakan urutan kerja berikut:

1. penentuan kuantiti yang diketahui dan tidak diketahui, serta keadaan dan prasyarat sedia ada (apa yang diberikan dan apa yang perlu dicari?);

2. mengenal pasti faktor terpenting masalah;

3. pengenalpastian parameter yang boleh dikawal dan tidak terkawal;

4. huraian matematik melalui persamaan, ketaksamaan, fungsi dan perhubungan lain antara elemen model (parameter, pembolehubah), berdasarkan kandungan masalah yang sedang dipertimbangkan.

Parameter masalah yang diketahui relatif kepada model matematiknya dipertimbangkan luaran(diberi priori, iaitu sebelum membina model). Dalam kesusasteraan ekonomi mereka dipanggil pembolehubah eksogen. Nilai pembolehubah yang pada mulanya tidak diketahui dikira sebagai hasil daripada mengkaji model, jadi berhubung dengan model ia dianggap dalaman. Dalam kesusasteraan ekonomi mereka dipanggil pembolehubah endogen.

DALAM § 2 yang paling penting difahami sebagai faktor yang memainkan peranan penting dalam tugas itu sendiri dan yang, satu cara atau yang lain, mempengaruhi keputusan akhir. DALAM § 3 boleh dikawal ialah parameter masalah yang boleh diberi nilai berangka sewenang-wenangnya berdasarkan keadaan masalah; tidak terkawal ialah parameter yang nilainya tetap dan tidak boleh diubah.

Dari sudut tujuan, kita boleh membezakan model deskriptif Dan model membuat keputusan. Model Deskriptif mencerminkan kandungan dan sifat asas objek ekonomi seperti itu. Dengan bantuan mereka, nilai berangka faktor ekonomi dan penunjuk dikira.

Model membuat keputusan membantu mencari pilihan terbaik untuk penunjuk yang dirancang atau keputusan pengurusan. Antaranya, yang paling tidak kompleks ialah model pengoptimuman, di mana tugas seperti perancangan diterangkan (dimodelkan), dan yang paling kompleks ialah model permainan yang menggambarkan masalah yang bersifat percanggahan, dengan mengambil kira persimpangan pelbagai kepentingan. Model ini berbeza daripada model deskriptif kerana ia mempunyai keupayaan untuk memilih nilai parameter kawalan (yang tiada dalam model deskriptif).

Contoh melukis model matematik

Contoh 1.1. Biarkan wilayah ekonomi tertentu menghasilkan beberapa jenis produk secara eksklusif dan hanya untuk penduduk wilayah ini. Diandaikan bahawa proses teknologi telah diusahakan, dan permintaan penduduk untuk barangan ini telah dikaji. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah tahunan pengeluaran produk, dengan mengambil kira hakikat bahawa jumlah ini mesti menyediakan kedua-dua penggunaan akhir dan industri.

Mari kita cipta model matematik masalah ini. Mengikut syarat, berikut diberikan: jenis produk, permintaan untuknya dan proses teknologi; kita perlu mencari isipadu keluaran setiap jenis produk Mari kita nyatakan kuantiti yang diketahui: - permintaan penduduk untuk produk ke-; - kuantiti produk ke-i yang diperlukan untuk menghasilkan unit produk ke-i menggunakan teknologi ini . Mari kita nyatakan kuantiti yang tidak diketahui: - isipadu keluaran produk ke-. Keseluruhan dipanggil vektor permintaan, nombor dipanggil pekali teknologi, dan keseluruhannya - vektor pelepasan. Mengikut keadaan masalah, vektor diedarkan kepada dua bahagian: untuk penggunaan akhir (vektor) dan untuk pembiakan (vektor). Mari kita hitung bahagian vektor yang pergi ke pembiakan. Berdasarkan notasi, untuk pengeluaran kuantiti produk ke-, kuantiti produk ke- digunakan. Kemudian jumlahnya menunjukkan kuantiti -baik yang diperlukan untuk keseluruhan keluaran . Oleh itu, kesaksamaan mesti dipenuhi:

Mengitlak alasan ini kepada semua jenis produk, kami sampai pada model yang diingini:

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati vektor pelepas yang diperlukan.

Untuk menulis model ini dalam bentuk yang lebih padat (vektor), kami memperkenalkan tatatanda berikut:

Matriks persegi A (bersaiz) dipanggil matriks teknologi. Jelas sekali, model boleh ditulis sebagai: atau

Kami menerima model "Input-Output" klasik, yang dikarang oleh ahli ekonomi terkenal Amerika V. Leontiev.

Contoh 1.2. Penapisan minyak mempunyai dua gred minyak: gred - 10 unit, gred - 15 unit. Apabila diproses daripada minyak, dua bahan diperoleh: petrol () dan minyak bahan api (). Terdapat tiga pilihan untuk proses teknologi pemprosesan:

saya: 1 unit A+ 2 unit DALAM memberikan 3 unit. B+ 2 unit M;

II: 2 unit A+ 1 unit DALAM memberikan 1 unit. B+ 5 unit M;

III: 2 unit A+ 2 unit DALAM memberikan 1 unit. B+ 2 unit M.

Harga petrol ialah $10 seunit, minyak bahan api ialah $1 seunit. Ia adalah perlu untuk menentukan gabungan proses teknologi yang paling berfaedah untuk memproses jumlah minyak yang ada.

Sebelum membuat model, mari kita jelaskan perkara berikut. Dari keadaan masalah itu, "keuntungan" proses teknologi untuk loji harus difahami dalam erti kata memperoleh pendapatan maksimum daripada penjualan produk siapnya (petrol dan minyak bahan bakar). Dalam hal ini, adalah jelas bahawa "pilihan (membuat) keputusan" kilang terdiri daripada menentukan teknologi yang akan digunakan dan berapa kali. Jelas sekali, terdapat banyak pilihan yang mungkin.

Mari kita nyatakan kuantiti yang tidak diketahui: - jumlah penggunaan proses teknologi ke. Parameter model lain (rizab minyak, harga petrol dan minyak bahan api) diketahui.

Kemudian satu keputusan khusus loji adalah untuk memilih satu vektor yang mana hasil loji itu sama dengannya dolar. Di sini, 32 dolar ialah pendapatan yang diterima daripada satu permohonan proses teknologi pertama ($10 3 unit. B+ 1 dolar 2 unit M= $32). Pekali 15 dan 12 untuk proses teknologi kedua dan ketiga, masing-masing, mempunyai makna yang sama. Perakaunan untuk rizab minyak membawa kepada keadaan berikut:

untuk pelbagai A: ,

untuk pelbagai DALAM: ,

di mana dalam pekali ketidaksamaan pertama 1, 2, 2 ialah kadar penggunaan gred minyak A untuk penggunaan satu kali proses teknologi saya, II, III masing-masing. Pekali ketaksamaan kedua mempunyai maksud yang sama untuk gred minyak DALAM.

Model matematik secara keseluruhan mempunyai bentuk:

Cari vektor sedemikian

memaksimumkan

tertakluk kepada syarat-syarat berikut:

,

,

.

Bentuk ringkasan entri ini ialah:

di bawah sekatan

, (1.4.2)

,

Kami mendapat apa yang dipanggil masalah pengaturcaraan linear. Model (1.4.2.) ialah contoh model pengoptimuman jenis deterministik (dengan elemen yang jelas).

Contoh 1.3. Seorang pelabur perlu menentukan campuran terbaik saham, bon dan sekuriti lain untuk dibeli untuk jumlah tertentu untuk mendapatkan keuntungan tertentu dengan risiko minimum kepada dirinya sendiri. Keuntungan bagi setiap dolar yang dilaburkan dalam sekuriti jenis ini dicirikan oleh dua petunjuk: keuntungan yang dijangkakan dan keuntungan sebenar. Bagi pelabur, adalah wajar bahawa jangkaan keuntungan bagi setiap dolar pelaburan tidak lebih rendah daripada nilai tertentu untuk keseluruhan set sekuriti. Ambil perhatian bahawa untuk memodelkan masalah ini dengan betul, seorang ahli matematik perlu mempunyai pengetahuan asas tertentu dalam bidang teori portfolio sekuriti. Mari kita nyatakan parameter masalah yang diketahui: - bilangan jenis sekuriti; - keuntungan sebenar (nombor rawak) daripada jenis keselamatan ke- - keuntungan dijangka daripada jenis keselamatan ke-. Mari kita nyatakan kuantiti yang tidak diketahui: - dana yang diperuntukkan untuk pemerolehan sekuriti jenis . Disebabkan oleh notasi, keseluruhan jumlah yang dilaburkan ditakrifkan sebagai . Untuk memudahkan model, kami memperkenalkan kuantiti baharu

Oleh itu, ini adalah bahagian semua dana yang diperuntukkan untuk pemerolehan sekuriti jenis. Ia adalah jelas bahawa. Daripada keadaan masalah adalah jelas bahawa matlamat pelabur adalah untuk mencapai tahap keuntungan tertentu dengan risiko yang minimum. Pada dasarnya, risiko adalah ukuran penyelewengan keuntungan sebenar daripada yang dijangkakan. Oleh itu ia boleh dikenal pasti dengan kovarians

keuntungan untuk sekuriti jenis dan jenis. Di sini M- penetapan jangkaan matematik. Model matematik masalah asal mempunyai bentuk:

(1.4.3)

Kami memperoleh model Markowitz yang terkenal untuk mengoptimumkan struktur portfolio sekuriti. Model (1.4.3.) ialah contoh model pengoptimuman jenis stokastik (dengan unsur rawak).

Contoh 1.4. Berdasarkan organisasi perdagangan terdapat jenis salah satu produk pelbagai minimum. Hanya satu jenis produk tertentu mesti dibawa ke dalam kedai. Anda perlu memilih jenis produk yang sesuai untuk dibawa masuk ke kedai. Jika produk jenis ini mendapat permintaan, maka kedai akan mendapat keuntungan daripada jualannya, tetapi jika ia tidak mendapat permintaan, ia akan mengalami kerugian.

Kalkulus baru sebagai sistem telah dicipta sepenuhnya oleh Newton, yang bagaimanapun, tidak menerbitkan penemuannya untuk masa yang lama.

Tarikh rasmi kelahiran kalkulus pembezaan boleh dianggap Mei, apabila Leibniz menerbitkan artikel pertamanya "Kaedah Baru Tinggi dan Rendah...". Artikel ini, dalam bentuk yang ringkas dan tidak boleh diakses, menetapkan prinsip kaedah baharu yang dipanggil kalkulus pembezaan.

Leibniz dan pelajarnya

Takrifan ini dijelaskan secara geometri, manakala dalam Rajah. kenaikan yang sangat kecil digambarkan sebagai terhingga. Pertimbangan adalah berdasarkan dua keperluan (aksiom). Pertama:

Adalah dikehendaki bahawa dua kuantiti yang berbeza antara satu sama lain hanya dengan jumlah yang tidak terhingga boleh diambil [apabila mempermudahkan ungkapan?] secara acuh tak acuh satu daripada yang lain.

Kesinambungan setiap garis tersebut dipanggil tangen kepada lengkung. Menyiasat tangen yang melalui titik itu, L'Hopital sangat mementingkan kuantiti
,
mencapai nilai ekstrem pada titik infleksi lengkung, manakala hubungan dengan tidak diberi sebarang kepentingan khusus.

Perlu diperhatikan untuk mencari titik ekstrem. Jika, dengan pertambahan diameter yang berterusan, ordinat mula-mula bertambah dan kemudian berkurang, maka pembezaan adalah positif pertama berbanding , dan kemudian negatif.

Tetapi sebarang nilai yang terus meningkat atau menurun tidak boleh bertukar daripada positif kepada negatif tanpa melalui infiniti atau sifar... Ini berikutan bahawa pembezaan nilai terbesar dan terkecil mestilah sama dengan sifar atau infiniti.

Rumusan ini mungkin tidak sempurna, jika kita mengingati keperluan pertama: katakan, , kemudian berdasarkan keperluan pertama
;
pada sifar, sebelah kanan adalah sifar dan sebelah kiri tidak. Nampaknya ia sepatutnya dikatakan bahawa ia boleh diubah mengikut keperluan pertama supaya pada titik maksimum . . Dalam contoh, segala-galanya adalah jelas, dan hanya dalam teori titik infleksi L'Hopital menulis bahawa ia adalah sama dengan sifar pada titik maksimum, dibahagikan dengan .

Selanjutnya, dengan bantuan pembezaan sahaja, keadaan ekstrem dirumuskan dan sejumlah besar masalah kompleks yang berkaitan terutamanya dengan geometri pembezaan pada satah dipertimbangkan. Pada akhir buku, dalam ch. 10, menetapkan apa yang kini dipanggil peraturan L'Hopital, walaupun dalam bentuk yang luar biasa. Biarkan ordinat lengkung itu dinyatakan sebagai pecahan, pengangka dan penyebutnya lenyap pada . Kemudian titik lengkung c mempunyai ordinat sama dengan nisbah pembezaan pengangka dengan pembezaan penyebut yang diambil pada .

Menurut rancangan L'Hôpital, apa yang ditulisnya membentuk bahagian pertama Analisis, manakala yang kedua sepatutnya mengandungi kalkulus kamiran, iaitu kaedah mencari hubungan antara pembolehubah berdasarkan sambungan yang diketahui bagi pembezaannya. Pembentangan pertamanya telah diberikan oleh Johann Bernoulli dalam bukunya Syarahan matematik kaedah kamiran. Di sini kaedah diberikan untuk mengambil kebanyakan kamiran asas dan kaedah untuk menyelesaikan banyak persamaan pembezaan tertib pertama ditunjukkan.

Menunjukkan kegunaan praktikal dan kesederhanaan kaedah baru, Leibniz menulis:

Apa yang seseorang yang mahir dalam kalkulus ini boleh memperoleh secara langsung dalam tiga baris, lelaki terpelajar lain terpaksa mencari dengan mengikuti lencongan yang kompleks.

Euler

Perubahan-perubahan yang berlaku dalam setengah abad berikutnya dicerminkan dalam risalah Euler yang luas. Pembentangan analisis dibuka dengan dua jilid "Pengenalan", yang mengandungi penyelidikan tentang pelbagai perwakilan fungsi asas. Istilah "fungsi" mula-mula muncul hanya di Leibniz, tetapi Euler yang meletakkannya di tempat pertama. Tafsiran asal konsep fungsi ialah fungsi ialah ungkapan untuk mengira (Jerman. Rechnungsausdrϋck) atau ungkapan analitikal.

Fungsi kuantiti berubah-ubah ialah ungkapan analitik yang terdiri dalam beberapa cara daripada kuantiti berubah dan nombor atau kuantiti malar ini.

Menekankan bahawa "perbezaan utama antara fungsi terletak pada cara ia terdiri daripada pembolehubah dan pemalar," Euler menyenaraikan tindakan "di mana kuantiti boleh digabungkan dan dicampur antara satu sama lain; tindakan ini ialah: penambahan dan penolakan, pendaraban dan pembahagian, eksponen dan pengekstrakan punca; Ini juga harus termasuk penyelesaian persamaan [algebra]. Sebagai tambahan kepada operasi ini, dipanggil algebra, terdapat banyak lagi, transendental, seperti: eksponen, logaritma dan lain-lain yang tidak terkira banyaknya, disampaikan oleh kalkulus kamiran. Tafsiran ini memungkinkan untuk mengendalikan fungsi berbilang nilai dengan mudah dan tidak memerlukan penjelasan tentang bidang mana fungsi tersebut sedang dipertimbangkan: ungkapan pengiraan ditakrifkan untuk nilai kompleks pembolehubah walaupun ini tidak diperlukan untuk masalah di bawah pertimbangan.

Operasi dalam ungkapan dibenarkan hanya dalam bilangan terhingga, dan transendental menembusi dengan bantuan nombor yang tidak terhingga besar. Dalam ungkapan, nombor ini digunakan bersama dengan nombor asli. Sebagai contoh, ungkapan sedemikian untuk eksponen dianggap boleh diterima
,
di mana hanya pengarang kemudiannya melihat peralihan muktamad. Pelbagai transformasi dibuat dengan ungkapan analitikal, yang membolehkan Euler mencari perwakilan untuk fungsi asas dalam bentuk siri, produk tak terhingga, dll. Euler mengubah ungkapan untuk mengira seperti yang mereka lakukan dalam algebra, tanpa memberi perhatian kepada kemungkinan mengira nilai fungsi pada satu titik untuk setiap daripada formula bertulis.

Tidak seperti L'Hopital, Euler meneliti secara terperinci fungsi transendental dan khususnya dua kelas mereka yang paling banyak dipelajari - eksponen dan trigonometri. Dia mendapati bahawa semua fungsi asas boleh dinyatakan menggunakan operasi aritmetik dan dua operasi - mengambil logaritma dan eksponen.

Bukti itu sendiri dengan sempurna menunjukkan teknik menggunakan yang tidak terhingga besar. Setelah menentukan sinus dan kosinus menggunakan bulatan trigonometri, Euler memperoleh yang berikut daripada formula penambahan:

Andainya dan , dia dapat
,
membuang kuantiti tak terhingga tertib yang lebih tinggi. Menggunakan ini dan ungkapan yang serupa, Euler memperoleh formula terkenalnya
.
Setelah menunjukkan pelbagai ungkapan untuk fungsi yang kini dipanggil asas, Euler meneruskan untuk mempertimbangkan lengkung pada satah yang dilukis oleh pergerakan bebas tangan. Pada pendapatnya, tidak mungkin untuk mencari satu ungkapan analitikal untuk setiap lengkung tersebut (lihat juga Pertikaian Rentetan). Pada abad ke-19, atas hasutan Casorati, pernyataan ini dianggap salah: menurut teorem Weierstrass, sebarang lengkung berterusan dalam erti kata moden boleh digambarkan secara lebih kurang oleh polinomial. Sebenarnya, Euler hampir tidak yakin dengan ini, kerana dia masih perlu menulis semula petikan ke had menggunakan simbol.

Euler memulakan pembentangan kalkulus pembezaan dengan teori perbezaan terhingga, diikuti dalam bab ketiga dengan penjelasan falsafah bahawa "kuantiti terhingga adalah betul-betul sifar," yang kebanyakannya tidak sesuai dengan sezaman Euler. Kemudian, pembezaan terbentuk daripada perbezaan terhingga pada kenaikan yang sangat kecil, dan daripada formula interpolasi Newton - formula Taylor. Kaedah ini pada asasnya kembali kepada kerja Taylor (1715). Dalam kes ini, Euler mempunyai hubungan yang stabil, yang, bagaimanapun, dianggap sebagai hubungan dua infinitesimal. Bab terakhir ditumpukan kepada pengiraan anggaran menggunakan siri.

Dalam kalkulus kamiran tiga jilid, Euler mentafsir dan memperkenalkan konsep kamiran seperti berikut:

Fungsi yang pembezaannya dipanggil kamirannya dan dilambangkan dengan tanda yang diletakkan di hadapan.

Secara umum, bahagian risalah Euler ini ditumpukan kepada masalah penyepaduan persamaan pembezaan yang lebih umum, dari sudut pandangan moden. Pada masa yang sama, Euler menemui beberapa kamiran dan persamaan pembezaan yang membawa kepada fungsi baharu, contohnya, -fungsi, fungsi elips, dsb. Bukti yang ketat tentang sifat bukan asasnya telah diberikan pada tahun 1830-an oleh Jacobi untuk fungsi elips dan oleh Liouville (lihat fungsi asas).

Lagrange

Kerja utama seterusnya yang memainkan peranan penting dalam pembangunan konsep analisis ialah Teori fungsi analitik Penceritaan semula Lagrange dan Lacroix secara meluas tentang karya Lagrange dengan cara yang agak eklektik.

Mahu menyingkirkan yang sangat kecil sama sekali, Lagrange membalikkan hubungan antara derivatif dan siri Taylor. Dengan fungsi analitik Lagrange memahami fungsi arbitrari yang dikaji dengan kaedah analisis. Dia menetapkan fungsi itu sendiri sebagai , memberikan cara grafik untuk menulis kebergantungan - Euler sebelum ini melakukan hanya dengan pembolehubah. Untuk menggunakan kaedah analisis, menurut Lagrange, fungsi itu perlu dikembangkan menjadi satu siri
,
yang pekalinya akan menjadi fungsi baharu. Ia kekal untuk memanggilnya derivatif (pekali pembezaan) dan menandakannya sebagai . Oleh itu, konsep derivatif diperkenalkan pada halaman kedua risalah dan tanpa bantuan infinitesimal. Perlu diingatkan bahawa
,
oleh itu pekali ialah dua kali terbitan terbitan, iaitu
dan lain-lain.
Pendekatan kepada tafsiran konsep derivatif ini digunakan dalam algebra moden dan dijadikan sebagai asas untuk penciptaan teori fungsi analitik Weierstrass.

Lagrange beroperasi dengan siri seperti yang formal dan memperoleh beberapa teorem yang luar biasa. Khususnya, buat kali pertama dan agak ketat dia membuktikan kebolehlarutan masalah awal untuk persamaan pembezaan biasa dalam siri kuasa formal.

Persoalan menilai ketepatan anggaran yang disediakan oleh jumlah separa siri Taylor pertama kali dikemukakan oleh Lagrange: pada akhirnya Teori fungsi analitik dia memperoleh apa yang kini dipanggil formula Taylor dengan sebutan selebihnya dalam bentuk Lagrange. Walau bagaimanapun, berbeza dengan pengarang moden, Lagrange tidak melihat keperluan untuk menggunakan hasil ini untuk mewajarkan penumpuan siri Taylor.

Persoalan sama ada fungsi yang digunakan dalam analisis benar-benar boleh dikembangkan menjadi siri kuasa kemudiannya menjadi bahan perdebatan. Sudah tentu, Lagrange tahu bahawa pada beberapa titik fungsi asas mungkin tidak diperluaskan kepada siri kuasa, tetapi pada titik ini ia tidak boleh dibezakan dalam apa-apa pengertian. Cauchy dalam dia Analisis algebra memetik fungsi sebagai contoh balas

dilanjutkan dengan sifar pada sifar. Fungsi ini lancar di mana-mana pada paksi sebenar dan pada sifar ia mempunyai siri Maclaurin sifar, yang, oleh itu, tidak menumpu kepada nilai . Terhadap contoh ini, Poisson membantah bahawa Lagrange mentakrifkan fungsi sebagai ungkapan analitik tunggal, manakala dalam contoh Cauchy fungsi ditakrifkan secara berbeza pada sifar dan pada . Hanya pada penghujung abad ke-19 Pringsheim membuktikan bahawa terdapat fungsi yang boleh dibezakan secara tak terhingga, diberikan oleh satu ungkapan, yang mana siri Maclaurin menyimpang. Contoh fungsi sedemikian ialah ungkapan
.
Perkembangan selanjutnya

Pada pertiga terakhir abad ke-19, Weierstrass membuat aritmetik analisis, memandangkan justifikasi geometri tidak mencukupi, dan mencadangkan definisi klasik bagi had melalui bahasa ε-δ. Dia juga mencipta teori ketat pertama bagi set nombor nyata. Pada masa yang sama, percubaan untuk menambah baik teorem kebolehintegrasian Riemann membawa kepada penciptaan klasifikasi ketakselanjaran fungsi sebenar. Contoh "patologi" juga ditemui (fungsi berterusan yang tidak dapat dibezakan di mana-mana, lengkung mengisi ruang). Dalam hal ini, Jordan membangunkan teori ukuran, dan Cantor mengembangkan teori set, dan pada awal abad ke-20, analisis matematik telah diformalkan dengan bantuan mereka. Satu lagi perkembangan penting abad ke-20 ialah pembangunan analisis bukan piawai sebagai pendekatan alternatif untuk mewajarkan analisis.

Bahagian analisis matematik

Ruang metrik, Ruang topologi

lihat juga

Bibliografi

Artikel ensiklopedia

// Leksikon Ensiklopedia: St. Petersburg: jenis. A. Plushara, 1835-1841. Jilid 1-17.

// Kamus Ensiklopedia Brockhaus dan Efron: Dalam 86 jilid (82 jilid dan 4 jilid tambahan). - St Petersburg. , 1890-1907.

Sastera pendidikan

Buku teks standard

Selama bertahun-tahun, buku teks berikut telah popular di Rusia:

Courant, R. Kursus kalkulus pembezaan dan kamiran (dalam dua jilid). Penemuan metodologi utama kursus: pertama, idea utama dinyatakan secara ringkas, dan kemudiannya diberi bukti yang kukuh. Ditulis oleh Courant semasa beliau menjadi profesor di Universiti Göttingen pada tahun 1920-an di bawah pengaruh idea Klein, kemudian dipindahkan ke tanah Amerika pada tahun 1930-an. Terjemahan Rusia tahun 1934 dan cetakan semulanya memberikan teks berdasarkan edisi Jerman, terjemahan tahun 1960-an (yang dipanggil edisi ke-4) adalah kompilasi daripada versi Jerman dan Amerika buku teks dan oleh itu sangat bertele-tele.

Fikhtengolts G. M. Kursus dalam kalkulus pembezaan dan kamiran (dalam tiga jilid) dan buku masalah.

Demidovich B. P. Pengumpulan masalah dan latihan dalam analisis matematik.

Lyashko I. I. et al. Buku rujukan untuk matematik tinggi, jld.

Sesetengah universiti mempunyai panduan analisis mereka sendiri:

Universiti Negeri Moscow, MechMat:

Arkhipov G. I., Sadovnichy V. A., Chubarikov V. N. Kuliah tentang matematik. analisis.

Zorich V. A. Analisis matematik. Bahagian I. M.: Nauka, 1981. 544 hlm.

Zorich V. A. Analisis matematik. Bahagian II. M.: Nauka, 1984. 640 hlm.

Kamynin L. I. Kursus analisis matematik (dalam dua jilid). M.: Rumah Penerbitan Universiti Moscow, 2001.

V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. H. Sendov. analisis matematik / Ed. A. N. Tikhonova. - ed ke-3. , telah di proses dan tambahan - M.: Prospekt, 2006. - ISBN 5-482-00445-7

Universiti Negeri Moscow, jabatan fizik:

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Asas analisis matematik (dalam dua bahagian). - M.: Fizmatlit, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1

Butuzov V.F. Mat. analisis dalam soalan dan tugasan

Matematik di universiti teknikal Koleksi buku teks dalam 21 jilid.

St. Petersburg State University, Fakulti Fizik:

Smirnov V.I. Kursus matematik yang lebih tinggi, dalam 5 jilid. M.: Nauka, 1981 (edisi ke-6), BHV-Petersburg, 2008 (edisi ke-24).

NSU, Mekanik dan Matematik:

Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematik. Bahagian I. Buku 1. Pengenalan kepada analisis matematik. Kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematik, 1999. 454 dengan ISBN 5-86134-066-8.

Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematik. Bahagian I. Buku 2. Kalkulus kamiran bagi fungsi satu pembolehubah. Kalkulus pembezaan fungsi beberapa pembolehubah. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematik, 1999. 512 dengan ISBN 5-86134-067-6.

Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematik. Bahagian II. Buku 1. Asas analisis lancar dalam ruang multidimensi. Teori siri. Novosibirsk: Publishing House of the Institute of Mathematics, 2000. 440 dengan ISBN 5-86134-086-2.

Reshetnyak Yu. Kursus analisis matematik. Bahagian II. Buku 2. Kalkulus kamiran fungsi beberapa pembolehubah. Kalkulus kamiran pada manifold. Bentuk pembezaan luaran. Novosibirsk: Rumah Penerbitan Institut Matematik, 2001. 444 dengan ISBN 5-86134-089-7.

Shvedov I. A. Kursus padat dalam analisis matematik: Bahagian 1. Fungsi satu pembolehubah, Bahagian 2. Kalkulus pembezaan fungsi beberapa pembolehubah.

MIPT, Moscow

Kudryavtsev L. D. Kursus analisis matematik (dalam tiga jilid).

BSU, jabatan fizik:

Bogdanov Yu. Kuliah mengenai analisis matematik (dalam dua bahagian). - Minsk: BSU, 1974. - 357 p.

Buku teks lanjutan

Buku teks:

Rudin U. Asas analisis matematik. M., 1976 - sebuah buku kecil, ditulis dengan sangat jelas dan padat.

Masalah peningkatan kesukaran:

G. Polia, G. Szege, Masalah dan teorem daripada analisis. Bahagian 1, Bahagian 2, 1978. (Kebanyakan bahan berkaitan TFKP)

Pascal, E.(Napoli). Esersizii, 1895; 2 ed., 1909 // Arkib Internet

Buku teks untuk kemanusiaan

A. M. Akhtyamov Matematik untuk ahli sosiologi dan ahli ekonomi. - M.: Fizmatlit, 2004.

N. Sh. Kremer dan lain-lain matematik tinggi untuk ahli ekonomi. Buku teks. ed ke-3. - M.: Perpaduan, 2010

Buku masalah

G. N. Berman. Koleksi masalah untuk kursus analisis matematik: Buku teks untuk universiti. - ed ke-20. M.: Sains. Pejabat editorial utama kesusasteraan fizikal dan matematik, 1985. - 384 p.

P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Matematik yang lebih tinggi dalam latihan dan masalah. (Dalam 2 bahagian) - M.: Vyssh.shk, 1986.

G. I. Zaporozhets Panduan untuk menyelesaikan masalah dalam analisis matematik. - M.: Sekolah Tinggi, 1966.

I. A. Kaplan. Pelajaran praktikal dalam matematik yang lebih tinggi, dalam 5 bahagian.. - Kharkov, Rumah penerbitan. Negeri Kharkov Univ., 1967, 1971, 1972.

A. K. Boyarchuk, G. P. Golovach. Persamaan pembezaan dalam contoh dan masalah. Moscow. Editorial URSS, 2001.

A. V. Panteleev, A. S. Yakimova, A. V. Bosov. Persamaan pembezaan biasa dalam contoh dan masalah. "MAI", 2000

A. M. Samoilenko, S. A. Krivosheya, N. A. Perestyuk. Persamaan pembezaan: contoh dan masalah. VS, 1989.

K. N. Lungu, V. P. Norin, D. T. Pismenny, Yu. Pengumpulan masalah dalam matematik yang lebih tinggi. 1 kursus. - ed ke-7. - M.: Iris-press, 2008.

I. A. Maron. Kalkulus pembezaan dan kamiran dalam contoh dan masalah (Fungsi satu pembolehubah). - M., Fizmatlit, 1970.

V. D. Chernenko. Matematik yang lebih tinggi dalam contoh dan masalah: Buku teks untuk universiti. Dalam 3 jilid - St. Petersburg: Politekhnika, 2003.

Direktori

Karya klasik

Esei mengenai sejarah analisis

Kestner, Abraham Gottgelf. Geschichte der Mathematik . 4 jilid, Göttingen, 1796-1800

Kantor, Moritz. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4

Sejarah matematik disunting oleh A. P. Yushkevich (dalam tiga jilid):

Jilid 1 Dari zaman dahulu hingga permulaan zaman moden. (1970)

Jilid 2 Matematik abad ke-17. (1970)

Jilid 3 Matematik abad ke-18. (1972)

Markushevich A.I. Esei mengenai sejarah teori fungsi analitik. 1951

Vileitner G. Sejarah matematik dari Descartes hingga pertengahan abad ke-19. 1960

Nota

Rabu, cth. kursus Cornell Un

Newton I. kerja matematik. M, 1937.

Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., jld. 220-226. Rus. Terjemahan: Uspekhi Mat. Sains, jilid 3, v. 1 (23), hlm. 166-173.

L'Hpital. Analisis Infinitesimal. M.-L.: GTTI, 1935. (Selepas ini: L'Hopital) // Mat. analisis pada EqWorld

L'Hopital, ch. 1, def. 2.

L'Hopital, ch. 4, def. 1.

L'Hopital, ch. 1, keperluan 1.

L'Hopital, ch. 1, keperluan 2.

L'Hopital, ch. 2, def.

L'Hopital, § 46.

L'Hopital bimbang tentang sesuatu yang lain: baginya panjang segmen dan perlu menjelaskan maksud negatifnya. Kenyataan yang dibuat dalam § 8-10 bahkan boleh difahami sebagai bermaksud bahawa apabila menurun dengan peningkatan seseorang harus menulis , tetapi ini tidak digunakan lagi.