2. Asas teori kebarangkalian
Jangkaan
Pertimbangkan pembolehubah rawak dengan nilai berangka. Selalunya berguna untuk mengaitkan nombor dengan fungsi ini - "nilai min" atau, seperti yang mereka katakan, "nilai purata", "indeks kecenderungan memusat". Atas beberapa sebab, beberapa daripadanya akan menjadi jelas kemudian, jangkaan matematik biasanya digunakan sebagai "nilai purata".
Definisi 3. Jangkaan matematik pembolehubah rawak X nombor yang dipanggil
mereka. jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah wajaran nilai pembolehubah rawak dengan pemberat sama dengan kebarangkalian peristiwa asas yang sepadan.
Contoh 6. Mari kita hitung jangkaan matematik nombor yang muncul pada muka atas die. Ia mengikuti terus dari Definisi 3 bahawa
Kenyataan 2. Biarkan pembolehubah rawak X mengambil nilai x 1, x 2,…, xm. Maka persamaan itu benar
(5)
mereka. Jangkaan matematik pembolehubah rawak ialah jumlah wajaran nilai pembolehubah rawak dengan pemberat sama dengan kebarangkalian pembolehubah rawak mengambil nilai tertentu.
Tidak seperti (4), di mana penjumlahan dijalankan terus ke atas peristiwa asas, peristiwa rawak boleh terdiri daripada beberapa peristiwa asas.
Kadangkala hubungan (5) diambil sebagai definisi jangkaan matematik. Walau bagaimanapun, dengan menggunakan Takrif 3, seperti yang ditunjukkan di bawah, adalah lebih mudah untuk mewujudkan sifat jangkaan matematik yang diperlukan untuk membina model kebarangkalian fenomena sebenar daripada menggunakan hubungan (5).
Untuk membuktikan hubungan (5), kita kumpulkan kepada (4) sebutan dengan nilai yang sama bagi pembolehubah rawak:
Oleh kerana faktor malar boleh diambil daripada tanda jumlah, maka
Dengan menentukan kebarangkalian sesuatu kejadian
Menggunakan dua hubungan terakhir kami memperoleh yang diperlukan:
Konsep jangkaan matematik dalam teori probabilistik-statistik sepadan dengan konsep pusat graviti dalam mekanik. Mari letakkan dalam mata x 1, x 2,…, xm pada paksi nombor jisim P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) masing-masing. Kemudian kesamaan (5) menunjukkan bahawa pusat graviti sistem mata bahan ini bertepatan dengan jangkaan matematik, yang menunjukkan keaslian Definisi 3.
Pernyataan 3. biarlah X– pembolehubah rawak, M(X)- jangkaan matematiknya, A- nombor tertentu. Kemudian
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3) M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Untuk membuktikan ini, mari kita pertimbangkan dahulu pembolehubah rawak yang malar, i.e. fungsi memetakan ruang peristiwa asas kepada satu titik A. Oleh kerana faktor malar boleh diambil melebihi tanda jumlah, maka
Jika setiap ahli suatu jumlah dibahagikan kepada dua sebutan, maka keseluruhan jumlah dibahagikan kepada dua jumlah, yang mana yang pertama terdiri daripada sebutan pertama, dan yang kedua terdiri daripada yang kedua. Oleh itu, jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak X+Y, ditakrifkan pada ruang yang sama peristiwa asas, adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik M(X) Dan M(U) pembolehubah rawak ini:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Dan oleh itu M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Seperti yang ditunjukkan di atas, M(M(X)) = M(X). Oleh itu, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Kerana (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Itu M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Mari kita permudahkan persamaan terakhir. Seperti yang ditunjukkan pada permulaan bukti Pernyataan 3, jangkaan matematik bagi pemalar ialah pemalar itu sendiri, dan oleh itu M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Oleh kerana faktor malar boleh diambil melebihi tanda jumlah, maka M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Bahagian kanan kesamaan terakhir ialah 0 kerana, seperti yang ditunjukkan di atas, M(X-M(X))=0. Oleh itu, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , itulah yang perlu dibuktikan.
Daripada perkara di atas ia mengikuti bahawa M[(X- a) 2 ] mencapai tahap minimum A, sama M[(X- M(X)) 2 ], di a = M(X), kerana sebutan kedua dalam kesamaan 3) sentiasa bukan negatif dan sama dengan 0 sahaja untuk nilai yang ditentukan A.
Kenyataan 4. Biarkan pembolehubah rawak X mengambil nilai x 1, x 2,…, xm, dan f ialah beberapa fungsi hujah berangka. Kemudian
Untuk membuktikannya, mari kumpulkan di sebelah kanan kesamaan (4), yang mentakrifkan jangkaan matematik, istilah dengan nilai yang sama:
Dengan menggunakan fakta bahawa faktor malar boleh diambil daripada tanda jumlah, dan takrifan kebarangkalian kejadian rawak (2), kita memperoleh
Q.E.D.
Kenyataan 5. biarlah X Dan U– pembolehubah rawak ditakrifkan pada ruang yang sama bagi peristiwa asas, A Dan b- beberapa nombor. Kemudian M(aX+ olehY)= pagi(X)+ bM(Y).
Menggunakan takrif jangkaan matematik dan sifat simbol penjumlahan, kami memperoleh rantai kesamaan:
Yang diperlukan telah terbukti.
Di atas menunjukkan bagaimana jangkaan matematik bergantung pada peralihan ke titik rujukan lain dan ke unit pengukuran lain (peralihan Y=aX+b), serta fungsi pembolehubah rawak. Keputusan yang diperoleh sentiasa digunakan dalam analisis teknikal dan ekonomi, dalam menilai aktiviti kewangan dan ekonomi sesebuah perusahaan, semasa peralihan daripada satu mata wang kepada mata wang lain dalam pengiraan ekonomi asing, dalam dokumentasi kawal selia dan teknikal, dsb. Keputusan yang sedang dipertimbangkan membolehkan penggunaan formula pengiraan yang sama untuk skala dan anjakan pelbagai parameter.
| Sebelumnya |
Teori kebarangkalian adalah cabang khusus matematik yang hanya dipelajari oleh pelajar institusi pengajian tinggi. Adakah anda suka pengiraan dan formula? Tidakkah anda takut dengan prospek untuk membiasakan diri dengan taburan normal, entropi ensembel, jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak diskret? Kemudian subjek ini akan menjadi sangat menarik kepada anda. Mari kita berkenalan dengan beberapa konsep asas yang paling penting dalam cabang sains ini.
Mari kita ingat asasnya
Walaupun anda masih ingat konsep paling mudah bagi teori kebarangkalian, jangan abaikan perenggan pertama artikel. Intinya ialah tanpa pemahaman yang jelas tentang asas, anda tidak akan dapat bekerja dengan formula yang dibincangkan di bawah.
Jadi, beberapa peristiwa rawak berlaku, beberapa percubaan. Hasil daripada tindakan yang kami ambil, kami boleh memperoleh beberapa hasil - sesetengah daripadanya berlaku lebih kerap, yang lain kurang kerap. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil yang sebenarnya diperoleh daripada satu jenis kepada jumlah bilangan yang mungkin. Hanya dengan mengetahui definisi klasik konsep ini anda boleh mula mengkaji jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak berterusan.
Aritmetik min
Di sekolah, semasa pelajaran matematik, anda mula bekerja dengan min aritmetik. Konsep ini digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian, dan oleh itu tidak boleh diabaikan. Perkara utama bagi kita pada masa ini ialah kita akan menemuinya dalam formula untuk jangkaan matematik dan serakan pembolehubah rawak.
Kami mempunyai urutan nombor dan ingin mencari min aritmetik. Apa yang diperlukan daripada kita ialah meringkaskan semua yang ada dan bahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan itu. Biarkan kita mempunyai nombor dari 1 hingga 9. Jumlah unsur akan sama dengan 45, dan kita akan membahagikan nilai ini dengan 9. Jawapan: - 5.
Penyerakan
Dalam istilah saintifik, serakan ialah purata kuasa dua sisihan nilai yang diperoleh bagi sesuatu ciri daripada min aritmetik. Ia dilambangkan dengan satu huruf Latin besar D. Apakah yang diperlukan untuk mengiranya? Bagi setiap elemen jujukan, kami mengira perbezaan antara nombor sedia ada dan min aritmetik dan kuasa duakannya. Akan ada nilai yang sama banyaknya dengan hasil untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Seterusnya, kami merumuskan semua yang diterima dan membahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan. Jika kita mempunyai lima hasil yang mungkin, maka bahagikan dengan lima.
Penyerakan juga mempunyai ciri-ciri yang perlu diingati untuk digunakan semasa menyelesaikan masalah. Contohnya, apabila meningkatkan pembolehubah rawak sebanyak X kali, varians meningkat sebanyak X kuasa dua kali (iaitu X*X). Ia tidak pernah kurang daripada sifar dan tidak bergantung pada peralihan nilai ke atas atau ke bawah dengan jumlah yang sama. Selain itu, untuk percubaan bebas, varians jumlah adalah sama dengan jumlah varians.
Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh serakan pembolehubah rawak diskret dan jangkaan matematik.
Katakan kami menjalankan 21 eksperimen dan mendapat 7 hasil yang berbeza. Kami memerhati setiap daripada mereka 1, 2, 2, 3, 4, 4 dan 5 kali, masing-masing. Apakah varians akan sama dengan?
Mula-mula, mari kita hitung min aritmetik: jumlah unsur, sudah tentu, ialah 21. Bahagikannya dengan 7, dapatkan 3. Sekarang tolak 3 daripada setiap nombor dalam urutan asal, kuasa duakan setiap nilai, dan tambah hasilnya bersama-sama. Hasilnya ialah 12. Sekarang apa yang perlu kita lakukan ialah membahagikan nombor dengan bilangan elemen, dan, nampaknya, itu sahaja. Tetapi ada tangkapan! Mari kita bincangkannya.
Pergantungan kepada bilangan eksperimen
Ternyata apabila mengira varians, penyebut boleh mengandungi satu daripada dua nombor: sama ada N atau N-1. Di sini N ialah bilangan eksperimen yang dilakukan atau bilangan elemen dalam jujukan (yang pada asasnya adalah perkara yang sama). Ini bergantung pada apa?
Jika bilangan ujian diukur dalam ratusan, maka kita mesti meletakkan N dalam penyebut Jika dalam unit, maka N-1. Para saintis memutuskan untuk melukis sempadan secara simbolik: hari ini ia melalui nombor 30. Jika kami menjalankan kurang daripada 30 eksperimen, maka kami akan membahagikan jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.
Tugasan
Mari kita kembali kepada contoh penyelesaian masalah varians dan jangkaan matematik. Kami mendapat nombor perantaraan 12, yang perlu dibahagikan dengan N atau N-1. Memandangkan kami menjalankan 21 eksperimen, iaitu kurang daripada 30, kami akan memilih pilihan kedua. Jadi jawapannya ialah: varians ialah 12/2 = 2.
Jangkaan
Mari kita beralih kepada konsep kedua, yang mesti kita pertimbangkan dalam artikel ini. Jangkaan matematik adalah hasil daripada menambah semua hasil yang mungkin didarab dengan kebarangkalian yang sepadan. Adalah penting untuk memahami bahawa nilai yang diperolehi, serta hasil pengiraan varians, diperolehi sekali sahaja untuk keseluruhan masalah, tidak kira berapa banyak hasil yang dipertimbangkan di dalamnya.
Formula untuk jangkaan matematik agak mudah: kita mengambil hasilnya, darab dengan kebarangkaliannya, menambah yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dan lain-lain. Semua yang berkaitan dengan konsep ini tidak sukar untuk dikira. Sebagai contoh, jumlah nilai jangkaan adalah sama dengan nilai jangkaan jumlah tersebut. Perkara yang sama berlaku untuk kerja. Tidak setiap kuantiti dalam teori kebarangkalian membenarkan anda melakukan operasi mudah tersebut. Mari kita ambil masalah dan kirakan maksud dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Selain itu, kami terganggu oleh teori - sudah tiba masanya untuk berlatih.
Contoh lain
Kami menjalankan 50 percubaan dan mendapat 10 jenis hasil - nombor dari 0 hingga 9 - muncul dalam peratusan yang berbeza. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingat bahawa untuk mendapatkan kebarangkalian, anda perlu membahagikan nilai peratusan dengan 100. Oleh itu, kita mendapat 0.02; 0.1, dsb. Mari kita kemukakan contoh penyelesaian masalah bagi varians pembolehubah rawak dan jangkaan matematik.
Kami mengira min aritmetik menggunakan formula yang kami ingat dari sekolah rendah: 50/10 = 5.
Sekarang mari kita tukar kebarangkalian kepada bilangan hasil "sebahagian" untuk memudahkan pengiraan. Kami mendapat 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Daripada setiap nilai yang diperolehi, kita tolak min aritmetik, selepas itu kita kuasa duakan setiap keputusan yang diperolehi. Lihat cara melakukan ini menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Seterusnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lain, lakukan sendiri operasi ini. Jika anda melakukan semuanya dengan betul, maka selepas menambah semuanya, anda akan mendapat 90.
Mari kita teruskan mengira varians dan nilai jangkaan dengan membahagikan 90 dengan N. Mengapa kita memilih N berbanding N-1? Betul, kerana bilangan eksperimen yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kami mendapat varians. Jika anda mendapat nombor yang berbeza, jangan putus asa. Kemungkinan besar, anda membuat kesilapan mudah dalam pengiraan. Semak semula apa yang anda tulis, dan semuanya mungkin akan sesuai.
Akhir sekali, ingat formula untuk jangkaan matematik. Kami tidak akan memberikan semua pengiraan, kami hanya akan menulis jawapan yang boleh anda semak selepas menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Nilai yang dijangkakan ialah 5.48. Mari kita hanya ingat bagaimana untuk menjalankan operasi, menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 0*0.02 + 1*0.1... dan seterusnya. Seperti yang anda lihat, kami hanya mendarabkan nilai hasil dengan kebarangkaliannya.
penyelewengan
Konsep lain yang berkait rapat dengan serakan dan jangkaan matematik ialah sisihan piawai. Ia dilambangkan sama ada dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan berapa banyak secara purata nilai menyimpang daripada ciri pusat. Untuk mencari nilainya, anda perlu mengira punca kuasa dua varians.
Jika anda memplot graf taburan normal dan ingin melihat sisihan kuasa dua terus padanya, ini boleh dilakukan dalam beberapa peringkat. Ambil separuh daripada imej ke kiri atau kanan mod (nilai pusat), lukiskan serenjang dengan paksi mendatar supaya kawasan angka yang terhasil adalah sama. Saiz segmen antara tengah taburan dan unjuran yang terhasil pada paksi mendatar akan mewakili sisihan piawai.
Perisian
Seperti yang dapat dilihat daripada huraian formula dan contoh yang dikemukakan, mengira varians dan jangkaan matematik bukanlah prosedur yang paling mudah dari sudut aritmetik. Untuk tidak membuang masa, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di institusi pengajian tinggi - ia dipanggil "R". Ia mempunyai fungsi yang membolehkan anda mengira nilai untuk banyak konsep daripada statistik dan teori kebarangkalian.
Sebagai contoh, anda menentukan vektor nilai. Ini dilakukan seperti berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Kesimpulannya
Serakan dan jangkaan matematik adalah sukar untuk mengira apa-apa pada masa hadapan. Dalam kursus utama kuliah di universiti, mereka sudah dibincangkan pada bulan pertama mempelajari subjek tersebut. Justru kerana kekurangan pemahaman tentang konsep-konsep mudah ini dan ketidakupayaan untuk mengiranya, ramai pelajar serta-merta mula ketinggalan dalam program dan kemudian menerima gred buruk pada akhir sesi, yang menghalang mereka daripada biasiswa.
Berlatih selama sekurang-kurangnya satu minggu, setengah jam sehari, menyelesaikan tugas yang serupa dengan yang dibentangkan dalam artikel ini. Kemudian, pada mana-mana ujian dalam teori kebarangkalian, anda akan dapat mengatasi contoh tanpa petua dan helaian curang.
Ciri paling lengkap pembolehubah rawak ialah hukum taburannya. Walau bagaimanapun, ia tidak selalu diketahui dan dalam kes ini seseorang harus berpuas hati dengan maklumat yang kurang. Maklumat sedemikian mungkin termasuk: julat perubahan pembolehubah rawak, nilai terbesar (paling kecil), beberapa ciri lain yang menggambarkan pembolehubah rawak dalam beberapa cara ringkasan. Semua kuantiti ini dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak. Biasanya ini adalah beberapa bukan rawak nombor yang entah bagaimana mencirikan pembolehubah rawak. Tujuan utama ciri berangka adalah untuk menyatakan dalam bentuk ringkas ciri-ciri yang paling penting bagi taburan tertentu.
Ciri berangka termudah bagi pembolehubah rawak X memanggilnya jangkaan matematik:
M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)
Di sini x 1, x 2, …, x n– kemungkinan nilai pembolehubah rawak X, A p 1, p 2, …, р n– kebarangkalian mereka.
Contoh 1. Cari jangkaan matematik pembolehubah rawak jika hukum taburannya diketahui:
Penyelesaian. M(X)=2×0.3+3×0.1+5×0.6=3.9.
Contoh 2. Cari jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa A dalam satu percubaan, jika kebarangkalian kejadian ini adalah sama r.
Penyelesaian. Jika X– bilangan kejadian peristiwa A dalam satu ujian, maka, jelas, undang-undang pengedaran X mempunyai bentuk:
Kemudian M(X)=0×(1–р)+1×р=р.
Jadi: jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam satu percubaan adalah sama dengan kebarangkaliannya.
Makna probabilistik jangkaan matematik
Biar terhasil n ujian di mana pembolehubah rawak X diterima m 1 nilai kali x 1, m 2 nilai kali x 2, …, m k nilai kali x k. Kemudian jumlah semua nilai dalam n ujian adalah sama dengan:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Mari cari min aritmetik semua nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak:
Nilai – kekerapan relatif kejadian nilai x i (i=1, …, k). Jika n cukup besar (n®¥), maka frekuensi ini adalah lebih kurang sama dengan kebarangkalian: . Tetapi kemudian
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Oleh itu, jangkaan matematik adalah lebih kurang sama (lebih tepat, lebih banyak bilangan ujian) dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak. Ini adalah maksud kebarangkalian jangkaan matematik.
Sifat jangkaan matematik
1. Jangkaan matematik bagi pemalar adalah sama dengan pemalar itu sendiri.
M(C)=C×1=C.
2. Faktor pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda jangkaan matematik
M(CX)=C×M(X).
Bukti. Biarkan undang-undang pengedaran X diberikan oleh jadual:
Kemudian pembolehubah rawak CX mengambil nilai Cx 1, Cx 2, …, Сх n dengan kebarangkalian yang sama, iaitu undang-undang pengedaran CX mempunyai bentuk:
M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).
3. Jangkaan matematik hasil darab dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Kenyataan ini diberikan tanpa bukti (bukti adalah berdasarkan definisi jangkaan matematik).
Akibat. Jangkaan matematik hasil darab beberapa pembolehubah rawak yang saling bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya.
Khususnya, untuk tiga pembolehubah rawak bebas
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Contoh. Cari jangkaan matematik hasil darab bilangan mata yang boleh muncul apabila membaling dua dadu.
Penyelesaian. biarlah Xi– bilangan mata setiap i tulang ke. Ia boleh jadi nombor 1 , 2 , …, 6 dengan kebarangkalian. Kemudian
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
biarlah X=X 1 ×X 2. Kemudian
M(X)=M(X 1)×M(X 2)= =12.25.
4. Jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak (bebas atau bersandar) adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Sifat ini digeneralisasikan kepada kes bilangan terma arbitrari.
Contoh. 3 tembakan dilepaskan dengan kebarangkalian mengenai sasaran sama dengan p 1 =0.4, p 2 =0.3 Dan p 3 =0.6. Cari jangkaan matematik bagi jumlah bilangan hits.
Penyelesaian. biarlah Xi– bilangan hits pada i-tembakan ke-. Kemudian
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Oleh itu,
M(X 1 +X 2 +X 3)= =0.4+0.3+0.6=1.3.
Ciri-ciri DSV dan sifatnya. Jangkaan, varians, sisihan piawai
Hukum taburan mencirikan sepenuhnya pembolehubah rawak. Walau bagaimanapun, apabila mustahil untuk mencari undang-undang pengedaran, atau ini tidak diperlukan, anda boleh mengehadkan diri anda untuk mencari nilai yang dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak. Nilai ini menentukan beberapa nilai purata di mana nilai pembolehubah rawak dikumpulkan, dan sejauh mana ia tersebar di sekitar nilai purata ini.
Jangkaan matematik Pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan kebarangkaliannya.
Jangkaan matematik wujud jika siri di sebelah kanan kesamaan menumpu secara mutlak.
Dari sudut pandangan kebarangkalian, kita boleh mengatakan bahawa jangkaan matematik adalah lebih kurang sama dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak.
Contoh. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret diketahui. Cari jangkaan matematik.
| X | ||||
| hlm | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Penyelesaian:
9.2 Sifat jangkaan matematik
1. Jangkaan matematik bagi nilai pemalar adalah sama dengan pemalar itu sendiri.
2. Faktor malar boleh diambil sebagai tanda jangkaan matematik.
3. Jangkaan matematik hasil darab dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya.
Sifat ini benar untuk bilangan pembolehubah rawak yang sewenang-wenangnya.
4. Jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah.
Sifat ini juga benar untuk bilangan pembolehubah rawak yang sewenang-wenangnya.
Biarkan n percubaan bebas dilakukan, kebarangkalian berlakunya peristiwa A yang bersamaan dengan p.
Teorem. Jangkaan matematik M(X) bagi bilangan kejadian A dalam n percubaan bebas adalah sama dengan hasil darab bilangan percubaan dan kebarangkalian berlakunya peristiwa dalam setiap percubaan.
Contoh. Cari jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak Z jika jangkaan matematik X dan Y diketahui: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Penyelesaian:
9.3 Serakan pembolehubah rawak diskret
Walau bagaimanapun, jangkaan matematik tidak dapat mencirikan sepenuhnya proses rawak. Sebagai tambahan kepada jangkaan matematik, adalah perlu untuk memasukkan nilai yang mencirikan sisihan nilai pembolehubah rawak daripada jangkaan matematik.
Sisihan ini adalah sama dengan perbezaan antara pembolehubah rawak dan jangkaan matematiknya. Dalam kes ini, jangkaan matematik bagi sisihan adalah sifar. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa beberapa penyimpangan yang mungkin adalah positif, yang lain adalah negatif, dan akibat pembatalan bersama mereka, sifar diperoleh.
Penyerakan (penyebaran) bagi pembolehubah rawak diskret ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya.
Dalam amalan, kaedah pengiraan varians ini menyusahkan, kerana membawa kepada pengiraan yang rumit untuk sejumlah besar nilai pembolehubah rawak.
Oleh itu, kaedah lain digunakan.
Teorem. Varians adalah sama dengan perbezaan antara jangkaan matematik kuasa dua pembolehubah rawak X dan kuasa dua jangkaan matematiknya.
Bukti. Dengan mengambil kira hakikat bahawa jangkaan matematik M(X) dan kuasa dua jangkaan matematik M2(X) ialah kuantiti malar, kita boleh menulis:
Contoh. Cari varians bagi pembolehubah rawak diskret yang diberikan oleh hukum taburan.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| r | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Penyelesaian: .
9.4 Sifat serakan
1. Varians nilai malar ialah sifar. .
2. Faktor pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda serakan dengan menduakannya. .
3. Varians jumlah dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan jumlah varians pembolehubah ini. .
4. Varians perbezaan antara dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan jumlah varians pembolehubah ini. .
Teorem. Varians bilangan kejadian A dalam n percubaan bebas, di mana setiap satu kebarangkalian p kejadian kejadian adalah malar, adalah sama dengan hasil darab bilangan percubaan dan kebarangkalian kejadian dan bukan- berlakunya peristiwa dalam setiap percubaan.
9.5 Sisihan piawai pembolehubah rawak diskret
Sisihan piawai pembolehubah rawak X dipanggil punca kuasa dua varians.
Teorem. Sisihan piawai hasil tambah bilangan terhingga pembolehubah rawak saling bebas adalah sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua sisihan piawai pembolehubah ini.
Magnitud
Ciri berangka asas rawak
Undang-undang taburan ketumpatan mencirikan pembolehubah rawak. Tetapi selalunya ia tidak diketahui, dan seseorang perlu mengehadkan diri kepada kurang maklumat. Kadangkala adalah lebih menguntungkan untuk menggunakan nombor yang menggambarkan pembolehubah rawak secara keseluruhan. Nombor sedemikian dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak. Mari lihat yang utama.
Definisi:Jangkaan matematik M(X) pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin bagi kuantiti ini dan kebarangkaliannya:
Jika pembolehubah rawak diskret X mengambil banyak kemungkinan nilai, kemudian
Selain itu, jangkaan matematik wujud jika siri ini benar-benar menumpu.
Daripada definisi itu, ia mengikutinya M(X) pembolehubah rawak diskret ialah pembolehubah bukan rawak (malar).
Contoh: biarlah X– bilangan kejadian peristiwa A dalam satu ujian, P(A) = p. Kita perlu mencari jangkaan matematik X.
Penyelesaian: Mari kita buat undang-undang pengedaran jadual X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - hlm | hlm |
Mari cari jangkaan matematik:
Oleh itu, jangkaan matematik bilangan kejadian peristiwa dalam satu percubaan adalah sama dengan kebarangkalian peristiwa ini.
Asal usul istilah jangkaan matematik dikaitkan dengan tempoh awal kemunculan teori kebarangkalian (abad XVI-XVII), apabila skop penggunaannya terhad kepada perjudian. Pemain berminat dengan nilai purata kemenangan yang dijangkakan, i.e. jangkaan matematik untuk menang.
Mari kita pertimbangkan makna probabilistik jangkaan matematik.
Biar terhasil n ujian di mana pembolehubah rawak X diterima m 1 nilai kali x 1, m 2 nilai kali x 2, dan seterusnya, dan akhirnya dia menerima m k nilai kali x k, dan m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Kemudian jumlah semua nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak X, adalah sama x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Purata aritmetik bagi semua nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak X, sama dengan:
kerana ialah kekerapan relatif sesuatu nilai untuk sebarang nilai i = 1, …, k.
Seperti yang diketahui, jika bilangan ujian n adalah cukup besar, maka frekuensi relatif adalah lebih kurang sama dengan kebarangkalian kejadian itu berlaku, oleh itu,
Justeru, .
Kesimpulan:Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret adalah lebih kurang sama (lebih tepat, lebih banyak bilangan ujian) dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak.
Mari kita pertimbangkan sifat asas jangkaan matematik.
Harta 1:Jangkaan matematik bagi nilai malar adalah sama dengan nilai malar itu sendiri:
M(C) = C.
Bukti: berterusan DENGAN boleh dipertimbangkan, yang mempunyai satu makna yang mungkin DENGAN dan menerimanya dengan kebarangkalian p = 1. Oleh itu, M(C) =C 1= S.
Mari kita tentukan hasil darab pembolehubah malar C dan pembolehubah rawak diskret X sebagai pembolehubah rawak diskret CX, nilai yang mungkin adalah sama dengan produk pemalar DENGAN kepada nilai yang mungkin X CX sama dengan kebarangkalian nilai yang mungkin sepadan X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Harta 2:Faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan matematik:
M(CX) = CM(X).
Bukti: Biarkan pembolehubah rawak X diberikan oleh hukum taburan kebarangkalian:
| X | … | |||
| P | … |
Mari kita tulis hukum taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Definisi:Dua pembolehubah rawak dipanggil bebas jika hukum taburan salah satu daripadanya tidak bergantung pada nilai yang mungkin diambil oleh pembolehubah lain. Jika tidak, pembolehubah rawak adalah bergantung.
Definisi:Beberapa pembolehubah rawak dikatakan saling bebas jika undang-undang taburan mana-mana bilangan daripadanya tidak bergantung pada nilai yang mungkin diambil oleh pembolehubah yang selebihnya.
Mari kita tentukan hasil darab pembolehubah rawak diskret bebas X dan Y sebagai pembolehubah rawak diskret XY, nilai yang mungkin adalah sama dengan produk setiap nilai yang mungkin X untuk setiap nilai yang mungkin Y. Kebarangkalian nilai yang mungkin XY adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian nilai kemungkinan faktor.
Biarkan taburan pembolehubah rawak diberikan X Dan Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Kemudian taburan pembolehubah rawak XY mempunyai bentuk:
| XY | … | |||
| P | … |
Sesetengah karya mungkin sama. Dalam kes ini, kebarangkalian nilai kemungkinan produk adalah sama dengan jumlah kebarangkalian yang sepadan. Contohnya, jika = , maka kebarangkalian nilai itu ialah
Hartanah 3:Jangkaan matematik hasil darab dua pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya:
M(XY) = M(X) M(Y).
Bukti: Biarkan pembolehubah rawak bebas X Dan Y ditentukan oleh undang-undang taburan kebarangkalian mereka sendiri:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Untuk memudahkan pengiraan, kami akan mengehadkan diri kami kepada sebilangan kecil nilai yang mungkin. Dalam kes umum, buktinya adalah serupa.
Mari kita cipta hukum taburan pembolehubah rawak XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Akibat:Jangkaan matematik hasil darab beberapa pembolehubah rawak yang saling bebas adalah sama dengan hasil darab jangkaan matematiknya.
Bukti: Mari kita buktikan bagi tiga pembolehubah rawak yang saling bebas X,Y,Z. Pembolehubah rawak XY Dan Z bebas, maka kita mendapat:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Untuk bilangan pembolehubah rawak yang saling bebas bebas, pembuktian dilakukan dengan kaedah aruhan matematik.
Contoh: Pembolehubah rawak bebas X Dan Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Perlu mencari M(XY).
Penyelesaian: Sejak pembolehubah rawak X Dan Y adalah bebas, maka M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Mari kita tentukan jumlah pembolehubah rawak diskret X dan Y sebagai pembolehubah rawak diskret X+Y, nilai yang mungkin adalah sama dengan jumlah setiap nilai yang mungkin X dengan setiap nilai yang mungkin Y. Kebarangkalian nilai yang mungkin X+Y untuk pembolehubah rawak bebas X Dan Y adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian sebutan, dan untuk pembolehubah rawak bersandar - kepada hasil darab kebarangkalian satu sebutan dengan kebarangkalian bersyarat kedua.
Jika = dan kebarangkalian nilai-nilai ini masing-masing sama, maka kebarangkalian (sama dengan ) adalah sama dengan .
Harta 4:Jangkaan matematik hasil tambah dua pembolehubah rawak (bergantung atau bebas) adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Bukti: Biarkan dua pembolehubah rawak X Dan Y diberikan oleh undang-undang pengedaran berikut:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Untuk memudahkan kesimpulan, kami akan menghadkan diri kami kepada dua nilai yang mungkin bagi setiap kuantiti. Dalam kes umum, buktinya adalah serupa.
Mari kita susun semua kemungkinan nilai pembolehubah rawak X+Y(andaikan, untuk kesederhanaan, bahawa nilai-nilai ini berbeza; jika tidak, maka buktinya adalah serupa):
| X+Y | ||||
| P |
Mari cari jangkaan matematik nilai ini.
M(X+Y) = + + + +
Mari kita buktikan bahawa + = .
Peristiwa X = ( kebarangkaliannya P(X = ) melibatkan peristiwa bahawa pembolehubah rawak X+Y akan mengambil nilai atau (kebarangkalian peristiwa ini, mengikut teorem penambahan, adalah sama dengan ) dan sebaliknya. Kemudian = .
Persamaan = = = dibuktikan dengan cara yang sama
Menggantikan bahagian kanan kesamaan ini ke dalam formula yang terhasil untuk jangkaan matematik, kita memperoleh:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Akibat:Jangkaan matematik hasil tambah beberapa pembolehubah rawak adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah.
Bukti: Mari kita buktikan untuk tiga pembolehubah rawak X,Y,Z. Mari cari jangkaan matematik pembolehubah rawak X+Y Dan Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Untuk bilangan pembolehubah rawak yang sewenang-wenangnya, pembuktiannya dilakukan dengan kaedah aruhan matematik.
Contoh: Cari nilai purata hasil tambah bilangan mata yang boleh muncul semasa membaling dua dadu.
Penyelesaian: biarlah X– bilangan mata yang boleh muncul pada die pertama, Y- pada yang kedua. Adalah jelas bahawa pembolehubah rawak X Dan Y mempunyai pembahagian yang sama. Mari kita tulis data pengedaran X Dan Y ke dalam satu jadual:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Jadi, nilai purata bagi jumlah mata yang boleh muncul semasa membaling dua dadu ialah 7 .
Teorem:Jangkaan matematik M(X) bagi bilangan kejadian A dalam n percubaan bebas adalah sama dengan hasil darab bilangan percubaan dan kebarangkalian berlakunya peristiwa dalam setiap percubaan: M(X) = np.
Bukti: biarlah X– bilangan kejadian peristiwa A V n ujian bebas. Jelas sekali jumlahnya X kejadian peristiwa tersebut A dalam percubaan ini ialah jumlah bilangan kejadian kejadian dalam percubaan individu. Kemudian, jika bilangan kejadian peristiwa dalam percubaan pertama, kedua, dan seterusnya, akhirnya, ialah bilangan kejadian peristiwa dalam n ujian -th, maka jumlah bilangan kejadian peristiwa dikira dengan formula:
Oleh sifat 4 jangkaan matematik kami ada:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Oleh kerana jangkaan matematik bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam satu percubaan adalah sama dengan kebarangkalian kejadian itu, maka
M( ) = M( )= … = M( ) = hlm.
Oleh itu, M(X) = np.
Contoh: Kebarangkalian mengenai sasaran apabila melepaskan tembakan dari pistol adalah sama dengan p = 0.6. Cari purata bilangan hits jika dibuat 10 tembakan.
Penyelesaian: Pukulan untuk setiap pukulan tidak bergantung pada hasil pukulan lain, oleh itu peristiwa yang sedang dipertimbangkan adalah bebas dan, oleh itu, jangkaan matematik yang diperlukan adalah sama dengan:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Jadi purata bilangan hits ialah 6.
Sekarang pertimbangkan jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak berterusan.
Definisi:Jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan X, nilai yang mungkin dimiliki oleh selang,dipanggil integral tentu:
dengan f(x) ialah ketumpatan taburan kebarangkalian.
Jika nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan X tergolong dalam keseluruhan paksi Ox, maka
Diandaikan kamiran tak wajar ini menumpu secara mutlak, i.e. kamiran menumpu Jika keperluan ini tidak dipenuhi, maka nilai kamiran akan bergantung pada kadar di mana (secara berasingan) had bawah cenderung kepada -∞, dan had atas cenderung kepada +∞.
Ia boleh dibuktikan bahawa semua sifat jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret dikekalkan untuk pembolehubah rawak berterusan. Buktinya adalah berdasarkan sifat kamiran pasti dan tak wajar.
Ia adalah jelas bahawa jangkaan matematik M(X) lebih besar daripada nilai terkecil dan kurang daripada nilai terbesar yang mungkin bagi pembolehubah rawak X. Itu. Pada paksi nombor, kemungkinan nilai pembolehubah rawak terletak di sebelah kiri dan di sebelah kanan jangkaan matematiknya. Dalam pengertian ini, jangkaan matematik M(X) mencirikan lokasi pengedaran dan oleh itu sering dipanggil pusat pengedaran.