Matriks dalam matematik adalah salah satu objek terpenting yang mempunyai kepentingan praktikal. Selalunya lawatan ke dalam teori matriks bermula dengan perkataan: "Matriks ialah jadual segi empat tepat ...". Kami akan memulakan lawatan ini dari arah yang sedikit berbeza.
Buku telefon dalam sebarang saiz dan dengan sebarang jumlah data pelanggan tidak lebih daripada matriks. Matriks sedemikian kelihatan lebih kurang seperti ini:
Adalah jelas bahawa kita semua menggunakan matriks sedemikian hampir setiap hari. Matriks ini datang dengan bilangan baris yang berbeza (ia berbeza seperti direktori yang dikeluarkan oleh syarikat telefon, yang boleh mempunyai beribu-ribu, ratusan ribu malah berjuta-juta baris, dan buku nota baharu yang baru anda mulakan, yang mempunyai kurang daripada sepuluh baris) dan lajur (direktori pegawai dari beberapa jenis organisasi yang mungkin terdapat lajur seperti jawatan dan nombor pejabat dan buku alamat anda yang sama, di mana mungkin tidak terdapat sebarang data kecuali nama, dan oleh itu hanya terdapat dua lajur). di dalamnya - nama dan nombor telefon).
Segala macam matriks boleh ditambah dan didarab, serta operasi lain boleh dilakukan pada mereka, tetapi tidak perlu menambah dan mendarabkan direktori telefon, tidak ada faedah daripada ini, dan selain itu, anda boleh menggunakan fikiran anda.
Tetapi banyak matriks boleh dan harus ditambah dan didarab dan dengan itu menyelesaikan pelbagai masalah mendesak. Di bawah adalah contoh matriks tersebut.
Matriks di mana lajur adalah pengeluaran unit jenis produk tertentu, dan baris adalah tahun di mana pengeluaran produk ini direkodkan:
Anda boleh menambah matriks jenis ini, yang mengambil kira output produk serupa oleh perusahaan yang berbeza, untuk mendapatkan data ringkasan untuk industri.
Atau matriks yang terdiri, sebagai contoh, satu lajur, yang mana barisnya ialah kos purata bagi jenis produk tertentu:
Dua jenis matriks terakhir boleh didarabkan, dan hasilnya ialah matriks baris yang mengandungi kos semua jenis produk mengikut tahun.
Matriks, definisi asas
Meja segi empat tepat yang terdiri daripada nombor yang disusun dalam m garisan dan n lajur dipanggil mn-matriks (atau hanya matriks ) dan ditulis seperti ini:
(1)
Dalam matriks (1) nombor dipanggilnya elemen (seperti dalam penentu, indeks pertama bermaksud bilangan baris, yang kedua - lajur di persimpangan di mana elemen itu berdiri; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).
Matriks dipanggil segi empat tepat , Jika .
Jika m = n, maka matriks dipanggil segi empat sama , dan nombor n ialahnya mengikut tertib .
Penentu bagi matriks segi empat sama A ialah penentu yang unsur-unsurnya ialah unsur-unsur matriks A. Ia ditunjukkan oleh simbol | A|.
Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa (atau tidak merosot , bukan tunggal ), jika penentunya bukan sifar, dan istimewa (atau merosot , tunggal ) jika penentunya ialah sifar.
Matriks dipanggil sama rata , jika mereka mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama dan semua elemen sepadan sepadan.
Matriks dipanggil null , jika semua elemennya sama dengan sifar. Kami akan menandakan matriks sifar dengan simbol 0 atau .
Sebagai contoh,
Baris matriks (atau huruf kecil ) dipanggil 1 n-matriks, dan lajur matriks (atau kolumnar ) – m 1-matriks.
Matriks A", yang diperoleh daripada matriks A menukar baris dan lajur di dalamnya dipanggil dialihkan relatif kepada matriks A. Oleh itu, untuk matriks (1) matriks terpindah ialah
Operasi peralihan matriks A" dialihkan berkenaan dengan matriks A, dipanggil transposisi matriks A. Untuk mn-matriks transposed ialah nm-matriks.
Matriks yang ditukarkan berkenaan dengan matriks ialah A, itu dia
(A")" = A .
Contoh 1. Cari matriks A" , dialihkan berkenaan dengan matriks
dan ketahui sama ada penentu bagi matriks asal dan transpos adalah sama.
pepenjuru utama Matriks persegi ialah garis khayalan yang menghubungkan unsur-unsurnya, yang mana kedua-dua indeks adalah sama. Unsur-unsur ini dipanggil pepenjuru .
Matriks segi empat sama di mana semua elemen di luar pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil pepenjuru . Tidak semua unsur pepenjuru bagi matriks pepenjuru semestinya bukan sifar. Di antara mereka mungkin ada sama dengan sifar.
Matriks segi empat sama di mana unsur-unsur pada pepenjuru utama adalah sama dengan nombor yang sama, bukan sifar, dan semua yang lain sama dengan sifar, dipanggil matriks skalar .
Matriks identiti dipanggil matriks pepenjuru di mana semua unsur pepenjuru adalah sama dengan satu. Sebagai contoh, matriks identiti urutan ketiga ialah matriks
Contoh 2. Matriks yang diberi:
Penyelesaian. Mari kita hitung penentu bagi matriks ini. Menggunakan peraturan segitiga, kita dapati
Penentu matriks B mari mengira menggunakan formula 
Kami mudah mendapatkannya 
Oleh itu, matriks A dan bukan tunggal (bukan degenerasi, bukan tunggal), dan matriks B– istimewa (merosot, tunggal).
Penentu matriks identiti bagi sebarang susunan jelas sama dengan satu.
Selesaikan sendiri masalah matriks, dan kemudian lihat penyelesaiannya
Contoh 3. Diberi matriks
,
,
Tentukan yang mana antara mereka bukan tunggal (tidak merosot, tidak tunggal).
Aplikasi matriks dalam pemodelan matematik dan ekonomi
Data berstruktur tentang objek tertentu direkodkan secara ringkas dan mudah dalam bentuk matriks. Model matriks dicipta bukan sahaja untuk menyimpan data berstruktur ini, tetapi juga untuk menyelesaikan pelbagai masalah dengan data ini menggunakan algebra linear.
Oleh itu, model matriks ekonomi yang terkenal ialah model input-output, yang diperkenalkan oleh ahli ekonomi Amerika yang berasal dari Rusia Vasily Leontiev. Model ini berdasarkan andaian bahawa keseluruhan sektor pengeluaran ekonomi dibahagikan kepada n industri bersih. Setiap industri hanya menghasilkan satu jenis produk, dan industri yang berbeza menghasilkan produk yang berbeza. Disebabkan oleh pembahagian kerja antara industri ini, terdapat hubungan antara industri, yang bermaksud sebahagian daripada pengeluaran setiap industri dipindahkan ke industri lain sebagai sumber pengeluaran.
Jumlah produk i-industri ke- (diukur dengan unit ukuran tertentu), yang dihasilkan dalam tempoh pelaporan, dilambangkan dengan dan dipanggil output penuh i-industri ke-. Isu boleh diletakkan dengan mudah n-baris komponen matriks.
Bilangan unit i-industri yang perlu dibelanjakan j-industri untuk pengeluaran unit keluarannya ditetapkan dan dipanggil pekali kos langsung.
Dalam topik ini kita akan mempertimbangkan konsep matriks, serta jenis matriks. Memandangkan terdapat banyak istilah dalam topik ini, saya akan menambah ringkasan ringkas untuk memudahkan anda menavigasi bahan.
Definisi matriks dan unsurnya. Notasi.
Matriks ialah jadual $m$ baris dan $n$ lajur. Unsur-unsur matriks boleh menjadi objek yang sama sekali berbeza: nombor, pembolehubah atau, sebagai contoh, matriks lain. Contohnya, matriks $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ mengandungi 3 baris dan 2 lajur; unsurnya ialah integer. Matriks $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ mengandungi 2 baris dan 4 lajur.
Cara yang berbeza untuk menulis matriks: tunjukkan\sembunyikan
Matriks boleh ditulis bukan sahaja dalam bentuk bulat, tetapi juga dalam kurungan lurus empat segi atau dua kali ganda. Iaitu, entri di bawah bermaksud matriks yang sama:
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$
Produk $m\times n$ dipanggil saiz matriks. Sebagai contoh, jika matriks mengandungi 5 baris dan 3 lajur, maka kita bercakap tentang matriks bersaiz $5\kali 3$. Matriks $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mempunyai saiz $3 \times 2$.
Biasanya, matriks dilambangkan dengan huruf besar abjad Latin: $A$, $B$, $C$ dan seterusnya. Contohnya, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Penomboran baris pergi dari atas ke bawah; lajur - dari kiri ke kanan. Sebagai contoh, baris pertama matriks $B$ mengandungi unsur 5 dan 3, dan lajur kedua mengandungi unsur 3, -87, 0.
Unsur matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Contohnya, unsur-unsur matriks $A$ dilambangkan dengan $a_(ij)$. Indeks berganda $ij$ mengandungi maklumat tentang kedudukan unsur dalam matriks. Nombor $i$ ialah nombor baris, dan nombor $j$ ialah nombor lajur, di persimpangannya ialah elemen $a_(ij)$. Contohnya, pada persilangan baris kedua dan lajur kelima matriks $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemen $a_(25)= $59:
Dengan cara yang sama, di persimpangan baris pertama dan lajur pertama kita mempunyai elemen $a_(11)=51$; di persimpangan baris ketiga dan lajur kedua - elemen $a_(32)=-15$ dan seterusnya. Ambil perhatian bahawa entri $a_(32)$ berbunyi “a tiga dua”, tetapi bukan “a tiga puluh dua”.
Untuk menyingkatkan matriks $A$, yang saiznya ialah $m\times n$, notasi $A_(m\times n)$ digunakan. Anda boleh menulisnya dengan lebih terperinci:
$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$
di mana tatatanda $(a_(ij))$ menandakan unsur-unsur matriks $A$. Dalam bentuk yang diperluas sepenuhnya, matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ boleh ditulis seperti berikut:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \kanan) $$
Mari kita perkenalkan istilah lain - matriks yang sama.
Dua matriks yang sama saiz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ dipanggil sama rata, jika elemen sepadan mereka adalah sama, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1,n)$.
Penjelasan untuk entri $i=\overline(1,m)$: show\hide
Notasi "$i=\overline(1,m)$" bermakna parameter $i$ berbeza dari 1 hingga m. Sebagai contoh, notasi $i=\overline(1,5)$ menunjukkan bahawa parameter $i$ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.
Jadi, untuk matriks menjadi sama, dua syarat mesti dipenuhi: kebetulan saiz dan kesamaan unsur yang sepadan. Sebagai contoh, matriks $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ tidak sama dengan matriks $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\kanan)$ kerana matriks $A$ mempunyai saiz $3\times 2$ dan matriks $B$ mempunyai saiz $2\kali $2. Selain itu, matriks $A$ tidak sama dengan matriks $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , sejak $a_( 21)\neq c_(21)$ (iaitu $0\neq 98$). Tetapi untuk matriks $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\kanan)$ kita boleh menulis $A= dengan selamat F$ kerana kedua-dua saiz dan unsur yang sepadan bagi matriks $A$ dan $F$ bertepatan.
Contoh No 1
Tentukan saiz matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Nyatakan apakah elemen $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ bersamaan.
Matriks ini mengandungi 5 baris dan 3 lajur, jadi saiznya ialah $5\kali 3$. Anda juga boleh menggunakan tatatanda $A_(5\times 3)$ untuk matriks ini.
Elemen $a_(12)$ berada di persimpangan baris pertama dan lajur kedua, jadi $a_(12)=-2$. Elemen $a_(33)$ berada di persimpangan baris ketiga dan lajur ketiga, jadi $a_(33)=23$. Elemen $a_(43)$ berada di persimpangan baris keempat dan lajur ketiga, jadi $a_(43)=-5$.
Jawab: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Jenis matriks bergantung pada saiznya. pepenjuru utama dan sekunder. Jejak matriks.
Biarkan matriks tertentu $A_(m\kali n)$ diberikan. Jika $m=1$ (matriks terdiri daripada satu baris), maka matriks yang diberikan dipanggil baris matriks. Jika $n=1$ (matriks terdiri daripada satu lajur), maka matriks sedemikian dipanggil lajur matriks. Contohnya, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ ialah matriks baris dan $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ ialah matriks lajur.
Jika matriks $A_(m\times n)$ memenuhi syarat $m\neq n$ (iaitu, bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur), maka selalunya dikatakan bahawa $A$ ialah segi empat tepat matriks. Sebagai contoh, matriks $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ mempunyai saiz $2\times 4 $, mereka. mengandungi 2 baris dan 4 lajur. Oleh kerana bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur, matriks ini adalah segi empat tepat.
Jika matriks $A_(m\times n)$ memenuhi syarat $m=n$ (iaitu, bilangan baris adalah sama dengan bilangan lajur), maka $A$ dikatakan sebagai matriks segi empat sama tertib $ n$. Contohnya, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ialah matriks segi empat sama tertib kedua; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ ialah matriks segi empat sama tertib ketiga. Secara umum, matriks segi empat sama $A_(n\times n)$ boleh ditulis seperti berikut:
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \kanan) $$
Unsur $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ dikatakan berada pada pepenjuru utama matriks $A_(n\times n)$. Unsur-unsur ini dipanggil unsur pepenjuru utama(atau hanya unsur pepenjuru). Unsur $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ dihidupkan sisi (kecil) pepenjuru; mereka dipanggil unsur pepenjuru sisi. Contohnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ kita ada:
Unsur $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ialah unsur pepenjuru utama; unsur $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ialah unsur pepenjuru sisi.
Jumlah unsur pepenjuru utama dipanggil diikuti dengan matriks dan dilambangkan dengan $\Tr A$ (atau $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Contohnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\kanan)$ kita ada:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Konsep unsur pepenjuru juga digunakan untuk matriks bukan segi empat sama. Contohnya, untuk matriks $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ unsur pepenjuru utama ialah $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Jenis matriks bergantung pada nilai unsurnya.
Jika semua elemen matriks $A_(m\times n)$ adalah sama dengan sifar, maka matriks sedemikian dipanggil null dan biasanya dilambangkan dengan huruf $O$. Contohnya, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matriks sifar.
Biarkan matriks $A_(m\times n)$ mempunyai bentuk berikut:
Kemudian matriks ini dipanggil trapezoid. Ia mungkin tidak mengandungi sifar baris, tetapi jika ia wujud, ia terletak di bahagian bawah matriks. Dalam bentuk yang lebih umum, matriks trapezoid boleh ditulis seperti berikut:
Sekali lagi, mengekori garis nol tidak diperlukan. Itu. Secara formal, kita boleh membezakan syarat berikut untuk matriks trapezoid:
- Semua elemen di bawah pepenjuru utama adalah sifar.
- Semua elemen daripada $a_(11)$ hingga $a_(rr)$ terletak pada pepenjuru utama tidak sama dengan sifar: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
- Sama ada semua elemen baris $m-r$ terakhir adalah sifar, atau $m=r$ (iaitu tiada langsung sifar baris).
Contoh matriks trapezoid:
Mari kita beralih kepada definisi seterusnya. Matriks $A_(m\times n)$ dipanggil melangkah, jika ia memenuhi syarat berikut:
Sebagai contoh, matriks langkah ialah:
Sebagai perbandingan, matriks $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ bukan eselon kerana baris ketiga mempunyai bahagian sifar yang sama dengan baris kedua. Iaitu, prinsip "semakin rendah garisan, semakin besar bahagian sifar" dilanggar. Saya akan menambah bahawa matriks trapezoid adalah kes khas matriks bertingkat.
Mari kita beralih kepada definisi seterusnya. Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar, maka matriks sedemikian dipanggil matriks segi tiga atas. Contohnya, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ ialah matriks segi tiga atas. Perhatikan bahawa takrifan matriks segi tiga atas tidak menyatakan apa-apa tentang nilai unsur yang terletak di atas pepenjuru utama atau pada pepenjuru utama. Mereka boleh menjadi sifar atau tidak - tidak mengapa. Contohnya, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ juga merupakan matriks segi tiga atas.
Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di atas pepenjuru utama adalah sama dengan sifar, maka matriks sedemikian dipanggil matriks segitiga bawah. Contohnya, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matriks segi tiga bawah. Ambil perhatian bahawa takrifan matriks segi tiga yang lebih rendah tidak menyatakan apa-apa tentang nilai unsur yang terletak di bawah atau pada pepenjuru utama. Mereka mungkin sifar atau tidak - tidak mengapa. Contohnya, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ dan $\left(\ mula (tatasusunan) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \kanan)$ juga adalah matriks segi tiga yang lebih rendah.
Matriks segi empat sama dipanggil pepenjuru, jika semua elemen matriks ini yang tidak terletak pada pepenjuru utama adalah sama dengan sifar. Contoh: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\kanan)$. Unsur-unsur pada pepenjuru utama boleh menjadi apa sahaja (sama dengan sifar atau tidak) - tidak mengapa.
Matriks pepenjuru dipanggil bujang, jika semua elemen matriks ini terletak pada pepenjuru utama adalah sama dengan 1. Contohnya, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\kanan)$ - matriks identiti tertib keempat; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ialah matriks identiti tertib kedua.
Matriks ialah jadual nombor segi empat tepat yang terdiri daripada m garisan yang sama panjang atau n lajur yang sama panjang.
aij- elemen matriks yang ada dalam i -baris ke- dan j lajur ke.
Untuk ringkasnya, matriks boleh dilambangkan dengan satu huruf besar, sebagai contoh, A atau DALAM.
Secara umum, matriks saiz m× n tulis macam ni
Contoh: 
Jika matriks mempunyai bilangan baris yang sama dengan bilangan lajur, maka matriks itu dipanggil segi empat sama, dan bilangan baris atau lajurnya dipanggil mengikut tertib matriks. Dalam contoh di atas, matriks kedua ialah segi empat sama - susunannya ialah 3, dan matriks keempat ialah susunannya 1.
Matriks di mana bilangan baris tidak sama dengan bilangan lajur dipanggil segi empat tepat. Dalam contoh ini adalah matriks pertama dan yang ketiga.
pepenjuru utama daripada matriks segi empat sama kita panggil pepenjuru dari kiri atas ke sudut kanan bawah.
Matriks segi empat sama di mana semua unsur di bawah pepenjuru utama adalah sama dengan sifar dipanggil segi tiga matriks.
.
Matriks segi empat sama di mana semua elemen, kecuali mungkin pada pepenjuru utama, adalah sama dengan sifar, dipanggil pepenjuru matriks. Sebagai contoh, atau.
Matriks pepenjuru di mana semua unsur pepenjuru adalah sama dengan satu dipanggil bujang matriks dan dilambangkan dengan huruf E. Contohnya, matriks identiti tertib ke-3 mempunyai bentuk .
kembali kepada kandungan
(36)85.Apakah operasi linear pada matriks? Contoh.
Dalam semua kes apabila objek matematik baru diperkenalkan, adalah perlu untuk bersetuju dengan peraturan untuk beroperasi pada mereka, dan juga untuk menentukan objek mana yang dianggap sama antara satu sama lain.
Sifat objek tidak penting. Ini boleh menjadi nombor nyata atau kompleks, vektor, matriks, rentetan atau sesuatu yang lain.
Operasi piawai merangkumi operasi linear, iaitu: pendaraban dengan nombor dan penambahan; dalam kes ini - mendarab matriks dengan nombor dan menambah matriks.
Apabila mendarab matriks dengan nombor, setiap elemen matriks didarabkan dengan nombor itu, dan penambahan matriks melibatkan penambahan unsur berpasangan yang terletak dalam kedudukan yang setara.
Ungkapan terminologi "gabungan linear"<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.
Matriks A = || a i j|| Dan B = || a i j|| dianggap sama jika mereka mempunyai dimensi yang sama dan elemen matriks yang sepadan adalah sama berpasangan:
Penambahan matriks Operasi tambah ditakrifkan hanya untuk matriks yang sama saiz. Hasil penambahan matriks A = || a i j|| Dan B = || b i j|| ialah matriks C = || c i j|| , yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah unsur matriks yang sepadan.
Operasi pada matriks dan sifatnya.
Konsep penentu bagi susunan kedua dan ketiga.Sifat penentu dan pengiraannya.
3. Penerangan umum tugas.
4. Menyelesaikan tugasan.
5. Penyediaan laporan kerja makmal.
Glosari
Ketahui definisi berikut syarat:
Dimensi Matriks ialah himpunan dua nombor, yang terdiri daripada bilangan barisnya m dan bilangan lajur n.
Jika m=n, maka matriks dipanggil segi empat sama matriks susunan n.
Operasi pada matriks: memindahkan matriks, mendarab (membahagi) matriks dengan nombor, menambah dan menolak, mendarab matriks dengan matriks.
Peralihan daripada matriks A kepada matriks A m, yang mana barisnya ialah lajur, dan lajur ialah baris bagi matriks A, dipanggil transposisi matriks A.
Contoh: A = , A t = .
Kepada darab matriks dengan nombor, anda perlu mendarab setiap elemen matriks dengan nombor ini.
Contoh: 2A= 2· = .
Jumlah (perbezaan) matriks A dan B daripada dimensi yang sama dipanggil matriks C=A B, unsur-unsurnya adalah sama dengan ij = a ij b ij untuk semua i Dan j.
Contoh: A = ; B = . A+B= 
= .
Kerja matriks A m n oleh matriks B n k dipanggil matriks C m k , setiap unsur yang c ij adalah sama dengan hasil tambah unsur-unsur baris ke-i matriks A oleh unsur sepadan lajur j-ke daripada matriks B:
c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a dalam ·b nj .
Untuk dapat mendarab matriks dengan matriks, ia mestilah dipersetujui untuk pendaraban iaitu bilangan lajur dalam matriks pertama hendaklah sama dengan bilangan baris dalam matriks kedua.
Contoh: A= dan B=.
А·В—tidak mungkin, kerana mereka tidak konsisten.
VA= . = 
= 
.
Sifat operasi pendaraban matriks.
1. Jika matriks A mempunyai dimensi m n, dan matriks B ialah dimensi n k, maka produk A·B wujud.
Produk BA boleh wujud hanya apabila m=k.
2. Pendaraban matriks tidak komutatif, iaitu. A·B tidak selalu sama dengan BA·A walaupun kedua-dua produk ditakrifkan. Walau bagaimanapun, jika hubungan А·В=В·А berpuas hati, maka matriks A dan B dipanggil boleh ubah.
Contoh. Kira.
kecil elemen ialah penentu matriks tertib, yang diperoleh dengan memadam baris ke lajur ke.
Pelengkap algebra unsur dipanggil .
Teorem pengembangan Laplace:
Penentu bagi matriks segi empat sama dengan jumlah hasil darab unsur mana-mana baris (lajur) dengan pelengkap algebranya.
Contoh. Kira.
Penyelesaian. .
Sifat penentu susunan ke-n:
1) Nilai penentu tidak akan berubah jika baris dan lajur ditukar.
2) Jika penentu mengandungi baris (lajur) hanya sifar, maka ia sama dengan sifar.
3) Apabila menyusun semula dua baris (lajur), tanda perubahan penentu.
4) Penentu yang mempunyai dua baris (lajur) yang sama adalah sama dengan sifar.
5) Faktor sepunya unsur-unsur mana-mana baris (lajur) boleh diambil daripada tanda penentu.
6) Jika setiap elemen baris (lajur) tertentu ialah hasil tambah dua sebutan, maka penentunya adalah sama dengan hasil tambah dua penentu, di mana setiap satunya semua baris (lajur), kecuali yang disebutkan, adalah sama dengan dalam penentu ini, dan dalam baris yang disebut ( Lajur) penentu pertama mengandungi istilah pertama, yang kedua - yang kedua.
7) Jika dua baris (lajur) dalam penentu adalah berkadar, maka ia sama dengan sifar.
8) Penentu tidak akan berubah jika unsur-unsur sepadan baris lain (lajur) ditambah kepada unsur-unsur baris tertentu (lajur), didarab dengan nombor yang sama.
9) Penentu matriks segi tiga dan pepenjuru adalah sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utama.
Kaedah mengumpul sifar untuk mengira penentu adalah berdasarkan sifat penentu.
Contoh. Kira.
Penyelesaian. Kurangkan dua pertiga daripada baris pertama, kemudian gunakan teorem pengembangan dalam lajur pertama.
~ 
.
Soalan kawalan(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
1. Apakah yang dipanggil penentu tertib kedua?
2. Apakah sifat utama penentu?
3. Apakah minor unsur?
4. Apakah yang dipanggil pelengkap algebra bagi unsur penentu?
5. Bagaimana untuk mengembangkan penentu tertib ketiga ke dalam elemen baris (lajur)?
6. Apakah jumlah hasil darab unsur-unsur baris (atau lajur), penentu pelengkap algebra bagi unsur-unsur yang sepadan bagi baris (atau lajur) yang lain?
7. Apakah peraturan segi tiga?
8. Bagaimanakah penentu pesanan lebih tinggi dikira menggunakan kaedah pengurangan pesanan?
10. Matriks manakah yang dipanggil segi empat sama? batal? Apakah matriks baris, matriks lajur?
11. Matriks yang manakah dipanggil sama?
12. Berikan takrifan operasi tambah, pendaraban matriks, pendaraban matriks dengan nombor
13. Apakah syarat yang mesti dipenuhi oleh saiz matriks semasa penambahan dan pendaraban?
14. Apakah sifat operasi algebra: komutatif, persekutuan, pengagihan? Antaranya yang manakah dipenuhi untuk matriks semasa penambahan dan pendaraban, dan yang mana tidak?
15. Apakah matriks songsang? Untuk matriks apakah ia ditakrifkan?
16. Merumus satu teorem tentang kewujudan dan keunikan matriks songsang.
17. Merumus lemma pada transposisi hasil darab matriks.
Tugas amali am(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
No 1. Cari hasil tambah dan beza bagi matriks A dan B :
A) 
b) 
V) 
No 2. Ikut langkah-langkah ini :
c) Z= -11A+7B-4C+D
Jika 
No 3. Ikut langkah-langkah ini :
V) 
No 4. Dengan menggunakan empat kaedah pengiraan penentu bagi matriks segi empat sama, cari penentu bagi matriks berikut :
No 5. Cari penentu bagi susunan ke-n, berdasarkan unsur-unsur lajur (baris) :
A) 
b) 
No 6. Cari penentu matriks menggunakan sifat penentu:
A) 
b) 
Titik dalam ruang, produk Rv memberikan vektor lain yang menentukan kedudukan titik selepas putaran. Jika v ialah vektor baris, penjelmaan yang sama boleh diperoleh menggunakan vR T, di mana R T - ditukar kepada R matriks.
YouTube ensiklopedia
1 / 5
C# - Console - Olympiad - Spiral Square
Matriks: definisi dan konsep asas
Di mana untuk mendapatkan kekuatan dan inspirasi Mengecas semula matriks 4 persegi
Jumlah dan perbezaan matriks, pendaraban matriks dengan nombor
Transposed matrix / Transposed matrix
Sari kata
pepenjuru utama
elemen a ii (i = 1, ..., n) membentuk pepenjuru utama bagi matriks segi empat sama. Unsur-unsur ini terletak pada garis lurus khayalan yang berjalan dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks. Sebagai contoh, pepenjuru utama matriks 4x4 dalam rajah mengandungi unsur-unsur a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.
Diagonal matriks segi empat sama yang melalui sudut kiri bawah dan atas kanan dipanggil sebelah.
Jenis khas
| Nama | Contoh dengan n = 3 |
|---|---|
| Matriks pepenjuru | [ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))) |
| Matriks segi tiga rendah | [ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatriks))) |
| Matriks segi tiga atas | [ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatriks))) |
Matriks pepenjuru dan segi tiga
Jika semua elemen di luar pepenjuru utama adalah sifar, A dipanggil pepenjuru. Jika semua elemen di atas (di bawah) pepenjuru utama adalah sifar, A dipanggil matriks segitiga bawah (atas).
Matriks identiti
Q(x) = x T Axhanya menerima nilai positif (masing-masing, nilai negatif atau kedua-duanya). Jika bentuk kuadratik hanya mengambil nilai bukan negatif (masing-masing, hanya bukan positif), matriks simetri dipanggil semidefinite positif (masing-masing, semidefinite negatif). Sesuatu matriks akan menjadi tak tentu jika ia bukan separuh pasti positif atau negatif.
Matriks simetri adalah pasti positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya adalah positif. Jadual di sebelah kanan menunjukkan dua kemungkinan kes untuk matriks 2x2.
Jika kita menggunakan dua vektor berbeza, kita memperoleh bentuk bilinear yang dikaitkan dengan A:
B A (x, y) = x T Ay.Matriks ortogon
Matriks ortogon ialah matriks segi empat sama dengan unsur nyata yang lajur dan barisnya ialah vektor unit ortogon (iaitu, ortonormal). Anda juga boleh mentakrifkan matriks ortogon sebagai matriks yang songsangnya sama dengan transposenya:
A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)dari mana datangnya
A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),Matriks ortogon A sentiasa boleh diterbalikkan ( A −1 = A T), kesatuan ( A −1 = A*), dan biasa ( A*A = A.A.*). Penentu mana-mana matriks ortonormal ialah sama ada +1 atau -1. Sebagai pemetaan linear, mana-mana matriks ortonormal dengan penentu +1 ialah satu putaran ringkas, manakala mana-mana matriks ortonormal dengan penentu −1 ialah sama ada pantulan ringkas atau komposisi pantulan dan putaran.
operasi
Jejak
Penentu det( A) atau | A| matriks segi empat sama A ialah nombor yang menentukan beberapa sifat matriks. Matriks boleh terbalik jika dan hanya jika penentunya bukan sifar.