Bagaimana untuk mengurangkan pecahan algebra (rasional) kepada penyebut biasa?
1) Jika penyebut pecahan mengandungi polinomial, anda perlu mencuba menggunakan salah satu kaedah yang diketahui.
2) Penyebut biasa (LCD) terendah terdiri daripada semua orang pengganda diambil terhebat darjah.
Kami secara lisan mencari penyebut sepunya terkecil untuk nombor sebagai nombor terkecil yang boleh dibahagikan dengan nombor yang tinggal.
3) Untuk mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan, anda perlu membahagikan penyebut baru dengan yang lama.
4) Darabkan pengangka dan penyebut pecahan asal dengan faktor tambahan.
Mari kita lihat contoh mengurangkan pecahan algebra kepada penyebut sepunya.
Untuk mencari penyebut biasa bagi nombor, kami memilih nombor yang lebih besar dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan yang lebih kecil. 15 tidak boleh dibahagikan dengan 9. Kita darab 15 dengan 2 dan semak sama ada nombor yang terhasil boleh dibahagi dengan 9. 30 tidak boleh dibahagi dengan 9. Kami mendarab 15 dengan 3 dan menyemak sama ada nombor yang terhasil boleh dibahagi dengan 9. 45 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud penyebut sepunya untuk nombor ialah 45.
Penyebut sepunya terendah terdiri daripada semua faktor yang diambil ke kuasa terbesarnya. Oleh itu, penyebut sepunya bagi pecahan ini ialah 45 bc (huruf biasanya ditulis dalam susunan abjad).
Untuk mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan, anda perlu membahagikan penyebut baru dengan yang lama. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan:
Pertama, kita mencari penyebut sepunya untuk nombor: 8 tidak boleh dibahagi dengan 6, 8∙2=16 tidak boleh dibahagikan dengan 6, 8∙3=24 boleh dibahagi dengan 6. Setiap pembolehubah mesti dimasukkan dalam penyebut biasa sekali. Daripada darjah kita ambil ijazah dengan eksponen yang besar.
Oleh itu, penyebut sepunya bagi pecahan ini ialah 24a³bc.
Untuk mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan, anda perlu membahagikan penyebut baharu dengan yang lama: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Kami mendarabkan faktor tambahan dengan pengangka dan penyebut:
Polinomial dalam penyebut pecahan ini diperlukan. Penyebut pecahan pertama ialah kuasa dua lengkap beza: x²-18x+81=(x-9)²; dalam penyebut kedua - beza segi empat sama: x²-81=(x-9)(x+9):
Penyebut sepunya terdiri daripada semua faktor yang diambil ke tahap yang paling besar, iaitu, sama dengan (x-9)²(x+9). Kami mencari faktor tambahan dan mendarabnya dengan pengangka dan penyebut setiap pecahan:
Pecahan mempunyai penyebut yang berbeza atau sama. Penyebut yang sama atau sebaliknya dipanggil penyebut biasa pada pecahan. Contoh penyebut biasa:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Contoh penyebut yang berbeza untuk pecahan:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Bagaimana untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa?
Penyebut pecahan pertama ialah 3, penyebut kedua ialah 13. Anda perlu mencari nombor yang boleh dibahagi dengan kedua-dua 3 dan 13. Nombor ini ialah 39.
Pecahan pertama mesti didarab dengan pengganda tambahan 13. Untuk memastikan pecahan tidak berubah, kita mesti mendarab kedua-dua pengangka dengan 13 dan penyebutnya.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(merah) (13))(3 \times \color(merah) (13)) = \frac(104)(39)\)
Kami mendarabkan pecahan kedua dengan faktor tambahan 3.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(merah) (3))(13 \times \color(merah) (3)) = \frac(6)(39)\)
Kami telah mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
Penyebut biasa terendah.
Mari lihat contoh lain:
Mari kita kurangkan pecahan \(\frac(5)(8)\) dan \(\frac(7)(12)\) kepada penyebut yang sama.
Penyebut biasa untuk nombor 8 dan 12 boleh menjadi nombor 24, 48, 96, 120, ..., adalah kebiasaan untuk memilih penyebut biasa terendah dalam kes kami ini adalah nombor 24.
Penyebut biasa terendah ialah nombor terkecil di mana penyebut pecahan pertama dan kedua boleh dibahagikan.
Bagaimana untuk mencari penyebut biasa terendah?
Kaedah mengira nombor untuk membahagi penyebut pecahan pertama dan kedua dan memilih yang terkecil.
Kita perlu mendarab pecahan dengan penyebut 8 dengan 3, dan mendarab pecahan dengan penyebut 12 dengan 2.
\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(merah) (2))(12 \times \color(merah) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\ \end(align)\)
Jika anda tidak boleh segera mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa terendah, tiada apa yang perlu dibimbangkan pada masa hadapan, apabila menyelesaikan contoh, anda mungkin perlu mendapatkan jawapan yang anda terima.
Penyebut sepunya boleh didapati untuk mana-mana dua pecahan; ia boleh menjadi hasil darab penyebut pecahan ini.
Sebagai contoh:
Kurangkan pecahan \(\frac(1)(4)\) dan \(\frac(9)(16)\) kepada penyebut sepunya terendahnya.
Cara termudah untuk mencari penyebut sepunya adalah dengan mendarabkan penyebut 4⋅16=64. Nombor 64 bukan penyebut biasa terendah. Tugasan memerlukan anda mencari penyebut biasa terendah. Oleh itu, kami melihat lebih jauh. Kita memerlukan nombor yang boleh dibahagi dengan kedua-dua 4 dan 16, ini adalah nombor 16. Mari kita bawa pecahan kepada penyebut sepunya, darab pecahan dengan penyebut 4 dengan 4, dan pecahan dengan penyebut 16 dengan satu. Kita mendapatkan:
\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(merah) (1))(16 \times \color(merah) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(align)\)
Dalam pelajaran ini kita akan melihat mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa dan menyelesaikan masalah mengenai topik ini. Mari kita takrifkan konsep penyebut biasa dan faktor tambahan, dan ingat tentang nombor yang relatif perdana. Mari kita takrifkan konsep penyebut biasa (LCD) terendah dan selesaikan beberapa masalah untuk mencarinya.
Topik: Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza
Pengajaran: Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya
Pengulangan. Sifat utama pecahan.
Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab atau dibahagikan dengan nombor asli yang sama, anda mendapat pecahan yang sama.
Sebagai contoh, pengangka dan penyebut pecahan boleh dibahagikan dengan 2. Kami mendapat pecahan itu. Operasi ini dipanggil pengurangan pecahan. Anda juga boleh melakukan penjelmaan songsang dengan mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan itu dengan 2. Dalam kes ini, kita katakan bahawa kita telah mengurangkan pecahan itu kepada penyebut baharu. Nombor 2 dipanggil faktor tambahan.
Kesimpulan. Pecahan boleh dikurangkan kepada sebarang penyebut yang merupakan gandaan penyebut pecahan yang diberi. Untuk membawa pecahan kepada penyebut baru, pengangka dan penyebutnya didarab dengan faktor tambahan.
1. Kurangkan pecahan kepada penyebut 35.
Nombor 35 ialah gandaan 7, iaitu 35 boleh dibahagi dengan 7 tanpa baki. Ini bermakna bahawa transformasi ini mungkin. Mari cari faktor tambahan. Untuk melakukan ini, bahagikan 35 dengan 7. Kita dapat 5. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan asal dengan 5.
2. Kurangkan pecahan kepada penyebut 18.
Mari cari faktor tambahan. Untuk melakukan ini, bahagikan penyebut baharu dengan penyebut asal. Kita dapat 3. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan ini dengan 3.
3. Kurangkan pecahan kepada penyebut 60.
Membahagi 60 dengan 15 memberikan faktor tambahan. Ia sama dengan 4. Darabkan pengangka dan penyebut dengan 4.
4. Kurangkan pecahan kepada penyebut 24
Dalam kes mudah, pengurangan kepada penyebut baru dilakukan secara mental. Ia hanya lazim untuk menunjukkan faktor tambahan di belakang kurungan sedikit ke kanan dan di atas pecahan asal.
Pecahan boleh diturunkan kepada penyebut 15 dan pecahan boleh dikurangkan kepada penyebut 15. Pecahan juga mempunyai penyebut sepunya 15.
Penyebut sepunya pecahan boleh menjadi sebarang gandaan sepunya penyebutnya. Untuk kesederhanaan, pecahan dikurangkan kepada penyebut sepunya terendah. Ia sama dengan gandaan sepunya terkecil penyebut pecahan yang diberikan.
Contoh. Kurangkan pecahan dan kepada penyebut sepunya terendah.
Mula-mula, mari kita cari gandaan sepunya terkecil bagi penyebut pecahan ini. Nombor ini ialah 12. Mari cari faktor tambahan bagi pecahan pertama dan kedua. Untuk melakukan ini, bahagikan 12 dengan 4 dan 6. Tiga ialah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan dua untuk pecahan kedua. Mari kita bawa pecahan kepada penyebut 12.
Kami membawa pecahan kepada penyebut biasa, iaitu, kami mendapati pecahan sama yang mempunyai penyebut yang sama.
peraturan. Untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya terendah, anda mesti
Pertama, cari gandaan sepunya terkecil bagi penyebut pecahan ini, ia akan menjadi penyebut sepunya terkecilnya;
Kedua, bahagikan penyebut sepunya terendah dengan penyebut pecahan ini, iaitu cari faktor tambahan bagi setiap pecahan.
Ketiga, darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.
a) Kurangkan pecahan dan kepada penyebut yang sama.
Penyebut biasa terendah ialah 12. Faktor tambahan untuk pecahan pertama ialah 4, untuk yang kedua - 3. Kami mengurangkan pecahan kepada penyebut 24.
b) Kurangkan pecahan dan kepada penyebut sepunya.
Penyebut sepunya terendah ialah 45. Membahagikan 45 dengan 9 dengan 15 masing-masing memberikan 5 dan 3, Kami mengurangkan pecahan kepada penyebut 45.
c) Kurangkan pecahan dan kepada penyebut yang sama.
Penyebut biasa ialah 24. Faktor tambahan ialah 2 dan 3, masing-masing.
Kadangkala sukar untuk mencari secara lisan gandaan sepunya terkecil bagi penyebut pecahan yang diberikan. Kemudian penyebut sepunya dan faktor tambahan didapati menggunakan pemfaktoran perdana.
Kurangkan pecahan dan kepada penyebut biasa.
Mari kita memfaktorkan nombor 60 dan 168 menjadi faktor perdana. Mari kita tulis pengembangan nombor 60 dan tambah faktor 2 dan 7 yang hilang daripada pengembangan kedua. Mari kita darab 60 dengan 14 dan dapatkan penyebut sepunya 840. Faktor tambahan bagi pecahan pertama ialah 14. Faktor tambahan bagi pecahan kedua ialah 5. Mari kita bawa pecahan itu kepada penyebut sepunya 840.
Bibliografi
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik darjah 6. - Gimnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di sebalik halaman buku teks matematik. - Pencerahan, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugasan untuk kursus matematik, gred 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. Manual untuk pelajar darjah 6 di sekolah surat menyurat MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. dan lain-lain Matematik: Buku teks-teman bicara untuk 5-6 darjah sekolah menengah. perpustakaan guru matematik. - Pencerahan, 1989.
Anda boleh memuat turun buku yang dinyatakan dalam klausa 1.2. daripada pelajaran ini.
Kerja rumah
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (pautan lihat 1.2)
Kerja rumah: No 297, No 298, No 300.
Tugas-tugas lain: No. 270, No. 290
Dalam bahan ini kita akan melihat cara menukar pecahan kepada penyebut baharu dengan betul, apakah faktor tambahan dan cara mencarinya. Selepas ini, kami akan merumuskan peraturan asas untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut baharu dan menggambarkannya dengan contoh masalah.
Konsep mengurangkan pecahan kepada penyebut lain
Mari kita ingat sifat asas pecahan. Menurutnya, pecahan biasa a b (di mana a dan b ialah sebarang nombor) mempunyai bilangan pecahan tak terhingga yang sama dengannya. Pecahan tersebut boleh diperolehi dengan mendarabkan pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama m (nombor asli). Dengan kata lain, semua pecahan biasa boleh digantikan dengan pecahan lain dalam bentuk a · m b · m. Ini ialah pengurangan nilai asal kepada pecahan dengan penyebut yang dikehendaki.
Anda boleh mengurangkan pecahan kepada penyebut lain dengan mendarabkan pengangka dan penyebutnya dengan sebarang nombor asli. Syarat utama ialah pengganda mestilah sama untuk kedua-dua bahagian pecahan. Hasilnya akan menjadi pecahan yang sama dengan yang asal.
Mari kita gambarkan ini dengan contoh.
Contoh 1
Tukarkan pecahan 11 25 kepada penyebut baru.
Penyelesaian
Mari kita ambil nombor asli 4 arbitrari dan darab kedua-dua belah pecahan asal dengannya. Kami mengira: 11 · 4 = 44 dan 25 · 4 = 100. Hasilnya ialah pecahan daripada 44 100.
Semua pengiraan boleh ditulis dalam bentuk ini: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Ternyata mana-mana pecahan boleh dikurangkan kepada sejumlah besar penyebut yang berbeza. Daripada empat, kita boleh mengambil satu lagi nombor asli dan mendapatkan satu lagi pecahan yang setara dengan yang asal.
Tetapi tidak sebarang nombor boleh menjadi penyebut pecahan baharu. Jadi, untuk a b penyebut hanya boleh mengandungi nombor b m iaitu gandaan b. Semak semula konsep asas pembahagian—gandaan dan pembahagi. Jika nombor itu bukan gandaan b, tetapi ia tidak boleh menjadi pembahagi pecahan baharu. Marilah kita menggambarkan idea kita dengan contoh penyelesaian masalah.
Contoh 2
Hitung sama ada pecahan 5 9 boleh dikurangkan kepada penyebut 54 dan 21.
Penyelesaian
54 ialah gandaan sembilan, yang terdapat dalam penyebut pecahan baharu (iaitu 54 boleh dibahagikan dengan 9). Ini bermakna pengurangan sedemikian adalah mungkin. Tetapi kita tidak boleh membahagi 21 dengan 9, jadi tindakan ini tidak boleh dilakukan untuk pecahan ini.
Konsep pengganda tambahan
Mari kita rumuskan apakah faktor tambahan.
Definisi 1
Pengganda tambahan ialah nombor asli di mana kedua-dua belah pecahan didarab untuk membawanya kepada penyebut baharu.
Itu. apabila kita melakukan ini dengan pecahan, kita mengambil faktor tambahan untuknya. Sebagai contoh, untuk mengurangkan pecahan 7 10 kepada bentuk 21 30, kita memerlukan faktor tambahan 3. Dan anda boleh mendapatkan pecahan 15 40 daripada 3 8 menggunakan pengganda 5.
Oleh itu, jika kita mengetahui penyebut yang perlu dikurangkan pecahan, maka kita boleh mengira faktor tambahan untuknya. Mari kita fikirkan bagaimana untuk melakukan ini.
Kami mempunyai pecahan a b, yang boleh dikurangkan kepada penyebut tertentu c; Mari kita hitung faktor tambahan m. Kita perlu mendarab penyebut pecahan asal dengan m. Kami mendapat b · m, dan mengikut keadaan masalah b · m = c. Mari kita ingat bagaimana pendaraban dan pembahagian berkait antara satu sama lain. Sambungan ini akan mendorong kita kepada kesimpulan berikut: faktor tambahan tidak lebih daripada hasil bahagi c dengan b, dengan kata lain, m = c: b.
Oleh itu, untuk mencari faktor tambahan, kita perlu membahagikan penyebut yang diperlukan dengan yang asal.
Contoh 3
Cari faktor tambahan yang dengannya pecahan 17 4 dikurangkan menjadi penyebut 124.
Penyelesaian
Menggunakan peraturan di atas, kita hanya membahagikan 124 dengan penyebut pecahan asal, empat.
Kami mengira: 124: 4 = 31.
Pengiraan jenis ini selalunya diperlukan apabila menukar pecahan kepada penyebut biasa.
Peraturan untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut yang ditentukan
Mari kita teruskan untuk mentakrifkan peraturan asas yang anda boleh mengurangkan pecahan kepada penyebut yang ditentukan. Jadi,
Definisi 2
Untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut yang ditentukan anda perlukan:
- tentukan faktor tambahan;
- darab kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan asal dengannya.
Bagaimana untuk menggunakan peraturan ini dalam amalan? Mari kita berikan contoh penyelesaian masalah.
Contoh 4
Kurangkan pecahan 7 16 menjadi penyebut 336.
Penyelesaian
Mari kita mulakan dengan mengira pengganda tambahan. Bahagi: 336: 16 = 21.
Kami mendarabkan jawapan yang terhasil dengan kedua-dua bahagian pecahan asal: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Jadi kami membawa pecahan asal kepada penyebut yang dikehendaki 336.
Jawapan: 7 16 = 147 336.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Untuk memahami cara menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, mari kita pelajari peraturan dahulu dan kemudian lihat contoh khusus.
Untuk menambah atau menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza:
1) Cari (NOZ) pecahan yang diberi.
2) Cari faktor tambahan bagi setiap pecahan. Untuk melakukan ini, penyebut baru mesti dibahagikan dengan yang lama.
3) Darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan tambah atau tolak pecahan dengan penyebut yang sama.
4) Semak sama ada pecahan yang terhasil adalah betul dan tidak boleh dikurangkan.
Dalam contoh berikut, anda perlu menambah atau menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza:
1) Untuk menolak pecahan dengan penyebut tidak seperti, mula-mula cari penyebut sepunya terendah bagi pecahan yang diberikan. Kami memilih nombor terbesar dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan yang lebih kecil. 25 tidak boleh dibahagikan dengan 20. Kita darab 25 dengan 2. 50 tidak boleh dibahagikan dengan 20. Kita darab 25 dengan 3. 75 tidak boleh dibahagikan dengan 20. Darab 25 dengan 4. 100 dibahagi dengan 20. Jadi penyebut sepunya terendah ialah 100.
2) Untuk mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan, anda perlu membahagikan penyebut baru dengan yang lama. 100:25=4, 100:20=5. Oleh itu, pecahan pertama mempunyai faktor tambahan 4, dan pecahan kedua mempunyai faktor tambahan 5.
3) Darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan tolak pecahan mengikut peraturan untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama.
4) Pecahan yang terhasil adalah betul dan tidak boleh dikurangkan. Jadi ini jawapannya.
1) Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, mula-mula cari penyebut sepunya terendah. 16 tidak boleh dibahagikan dengan 12. 16∙2=32 tidak boleh dibahagikan dengan 12. 16∙3=48 boleh dibahagi dengan 12. Jadi, 48 ialah NOZ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Ini adalah faktor tambahan bagi setiap pecahan.
3) darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan menambah pecahan baharu.
4) Pecahan yang terhasil adalah betul dan tidak boleh dikurangkan.
1) 30 tidak boleh dibahagikan dengan 20. 30∙2=60 boleh dibahagi dengan 20. Jadi 60 ialah penyebut sepunya terkecil bagi pecahan ini.
2) untuk mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan, anda perlu membahagikan penyebut baharu dengan yang lama: 60:20=3, 60:30=2.
3) darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan dan tolak pecahan baharu.
4) pecahan yang terhasil 5.
1) 8 tidak boleh dibahagikan dengan 6. 8∙2=16 tidak boleh dibahagikan dengan 6. 8∙3=24 boleh dibahagikan dengan kedua-dua 4 dan 6. Ini bermakna 24 ialah NOZ.
2) untuk mencari faktor tambahan bagi setiap pecahan, anda perlu membahagikan penyebut baru dengan yang lama. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Ini bermakna 3, 6 dan 4 adalah faktor tambahan kepada pecahan pertama, kedua dan ketiga.
3) darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahan. Tambah dan tolak. Pecahan yang terhasil adalah tidak wajar, jadi perlu memilih keseluruhan bahagian.