Kami memperkenalkan persamaan di atas dalam § 7. Mula-mula, mari kita ingat apa itu ungkapan rasional. Ini ialah ungkapan algebra yang terdiri daripada nombor dan pembolehubah x menggunakan operasi tambah, tolak, darab, bahagi dan eksponen dengan eksponen semula jadi.
Jika r(x) ialah ungkapan rasional, maka persamaan r(x) = 0 dipanggil persamaan rasional.
Walau bagaimanapun, dalam amalan adalah lebih mudah untuk menggunakan tafsiran yang lebih luas sedikit bagi istilah "persamaan rasional": ini ialah persamaan bentuk h(x) = q(x), di mana h(x) dan q(x) adalah ungkapan rasional.
Sehingga kini, kami tidak dapat menyelesaikan sebarang persamaan rasional, tetapi hanya satu yang, hasil daripada pelbagai transformasi dan penaakulan, telah dikurangkan kepada persamaan linear. Kini keupayaan kami lebih besar: kami akan dapat menyelesaikan persamaan rasional yang mengurangkan bukan sahaja kepada linear
mu, tetapi juga kepada persamaan kuadratik.
Mari kita ingat bagaimana kita menyelesaikan persamaan rasional sebelum ini dan cuba merumuskan algoritma penyelesaian.
Contoh 1. Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk
Dalam kes ini, seperti biasa, kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa kesamaan A = B dan A - B = 0 menyatakan hubungan yang sama antara A dan B. Ini membolehkan kita mengalihkan istilah ke sebelah kiri persamaan dengan tanda bertentangan.
Mari kita ubah bahagian kiri persamaan. Kami ada
Mari kita ingat syarat-syarat kesaksamaan pecahan sifar: jika dan hanya jika dua hubungan secara serentak berpuas hati:
1) pengangka pecahan ialah sifar (a = 0); 2) penyebut pecahan adalah berbeza daripada sifar).
Menyamakan pengangka pecahan di sebelah kiri persamaan (1) kepada sifar, kita perolehi
Ia kekal untuk menyemak pemenuhan syarat kedua yang dinyatakan di atas. Hubungan itu bermakna bagi persamaan (1) bahawa . Nilai x 1 = 2 dan x 2 = 0.6 memenuhi hubungan yang ditunjukkan dan oleh itu berfungsi sebagai punca-punca persamaan (1), dan pada masa yang sama punca-punca persamaan yang diberikan.
1) Mari tukarkan persamaan kepada bentuk
2) Mari kita ubah bahagian kiri persamaan ini:
(secara serentak menukar tanda dalam pengangka dan
pecahan).
Oleh itu, persamaan yang diberikan mengambil bentuk
3) Selesaikan persamaan x 2 - 6x + 8 = 0. Cari
4) Untuk nilai yang ditemui, semak pemenuhan syarat tersebut 
. Nombor 4 memenuhi syarat ini, tetapi nombor 2 tidak. Ini bermakna 4 ialah punca bagi persamaan yang diberikan, dan 2 ialah punca luar.
JAWAPAN: 4.
2. Menyelesaikan persamaan rasional dengan memperkenalkan pembolehubah baharu
Kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu adalah biasa kepada anda; kami telah menggunakannya lebih daripada sekali. Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana ia digunakan dalam menyelesaikan persamaan rasional.
Contoh 3. Selesaikan persamaan x 4 + x 2 - 20 = 0.
Penyelesaian. Mari kita perkenalkan pembolehubah baharu y = x 2 . Oleh kerana x 4 = (x 2) 2 = y 2, persamaan yang diberikan boleh ditulis semula sebagai
y 2 + y - 20 = 0.
Ini ialah persamaan kuadratik, punca-puncanya boleh didapati menggunakan dikenali formula; kita dapat y 1 = 4, y 2 = - 5.
Tetapi y = x 2, yang bermaksud masalah telah dikurangkan untuk menyelesaikan dua persamaan:
x 2 =4; x 2 = -5.
Daripada persamaan pertama kita dapati bahawa persamaan kedua tidak mempunyai punca.
Jawapan: .
Persamaan bentuk ax 4 + bx 2 + c = 0 dipanggil persamaan biquadratic (“bi” ialah dua, iaitu sejenis persamaan “double quadratic”). Persamaan yang baru diselesaikan adalah tepat biquadratik. Mana-mana persamaan dwikuadrat diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan dari Contoh 3: perkenalkan pembolehubah baru y = x 2, selesaikan persamaan kuadratik yang terhasil berkenaan dengan pembolehubah y, dan kemudian kembali kepada pembolehubah x.
Contoh 4. Selesaikan persamaan
Penyelesaian. Ambil perhatian bahawa ungkapan yang sama x 2 + 3x muncul dua kali di sini. Ini bermakna masuk akal untuk memperkenalkan pembolehubah baharu y = x 2 + 3x. Ini akan membolehkan kita menulis semula persamaan dalam bentuk yang lebih mudah dan menyenangkan (yang sebenarnya, adalah tujuan untuk memperkenalkan pembolehubah- dan memudahkan rakaman
menjadi lebih jelas, dan struktur persamaan menjadi lebih jelas):
Sekarang mari kita gunakan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional.
1) Mari kita pindahkan semua sebutan persamaan ke dalam satu bahagian:
= 0
2) Ubah bahagian kiri persamaan
Jadi, kami telah mengubah persamaan yang diberikan kepada bentuk
3) Daripada persamaan - 7y 2 + 29y -4 = 0 kami dapati (anda dan saya telah menyelesaikan banyak persamaan kuadratik, jadi mungkin tidak patut sentiasa memberikan pengiraan terperinci dalam buku teks).
4) Mari kita semak punca yang ditemui menggunakan keadaan 5 (y - 3) (y + 1). Kedua-dua akar memenuhi syarat ini.
Jadi, persamaan kuadratik untuk pembolehubah baru y diselesaikan: 
Oleh kerana y = x 2 + 3x, dan y, seperti yang telah kita tetapkan, mengambil dua nilai: 4 dan , kita masih perlu menyelesaikan dua persamaan: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Punca-punca persamaan pertama ialah nombor 1 dan - 4, punca-punca persamaan kedua ialah nombor.
Dalam contoh yang dipertimbangkan, kaedah memperkenalkan pembolehubah baru adalah, seperti yang dikatakan oleh ahli matematik, memadai dengan keadaan, iaitu, ia sepadan dengannya. kenapa? Ya, kerana ungkapan yang sama jelas muncul dalam persamaan beberapa kali dan ada sebab untuk menetapkan ungkapan ini dengan huruf baharu. Tetapi ini tidak selalu berlaku; kadangkala pembolehubah baru "muncul" hanya semasa proses transformasi. Inilah yang akan berlaku dalam contoh seterusnya.
Contoh 5. Selesaikan persamaan
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Penyelesaian. Kami ada
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Ini bermakna persamaan yang diberikan boleh ditulis semula dalam bentuk
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Kini pembolehubah baharu telah “muncul”: y = x 2 - 3x.
Dengan bantuannya, persamaan boleh ditulis semula dalam bentuk y (y + 2) = 24 dan kemudian y 2 + 2y - 24 = 0. Punca-punca persamaan ini ialah nombor 4 dan -6.
Berbalik kepada pembolehubah asal x, kita memperoleh dua persamaan x 2 - 3x = 4 dan x 2 - 3x = - 6. Daripada persamaan pertama kita dapati x 1 = 4, x 2 = - 1; persamaan kedua tidak mempunyai punca.
JAWAPAN: 4, - 1.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan Mari lihat contoh. Contoh-contohnya adalah mudah dan ilustrasi. Dengan bantuan mereka, anda akan dapat memahami dengan cara yang paling mudah difahami.
Sebagai contoh, anda perlu menyelesaikan persamaan mudah x/b + c = d.
Persamaan jenis ini dipanggil linear, kerana Penyebut hanya mengandungi nombor.
Penyelesaian dilakukan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan b, maka persamaan itu mengambil bentuk x = b*(d – c), i.e. penyebut pecahan di sebelah kiri membatalkan.
Sebagai contoh, cara menyelesaikan persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kami mendarab kedua-dua belah dengan 5. Kami mendapat:
x+20=45
x=45-20=25
Contoh lain apabila yang tidak diketahui adalah dalam penyebut:
Persamaan jenis ini dipanggil pecahan-rasional atau hanya pecahan.
Kami akan menyelesaikan persamaan pecahan dengan menyingkirkan pecahan, selepas itu persamaan ini, paling kerap, bertukar menjadi persamaan linear atau kuadratik, yang diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya perlu mempertimbangkan perkara berikut:
- nilai pembolehubah yang menukarkan penyebut kepada 0 tidak boleh menjadi punca;
- Anda tidak boleh membahagi atau mendarab persamaan dengan ungkapan =0.
Di sinilah konsep kawasan nilai yang dibenarkan (ADV) mula berkuat kuasa - ini adalah nilai punca persamaan yang mana persamaan itu masuk akal.
Oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, adalah perlu untuk mencari punca, dan kemudian menyemaknya untuk pematuhan dengan ODZ. Akar yang tidak sesuai dengan ODZ kami dikecualikan daripada jawapan.
Sebagai contoh, anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:
Berdasarkan peraturan di atas, x tidak boleh = 0, i.e. ODZ dalam kes ini: x – sebarang nilai selain sifar.
Kami menyingkirkan penyebut dengan mendarab semua sebutan persamaan dengan x
Dan kami menyelesaikan persamaan biasa
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Jawapan: x = 1/3
Mari kita selesaikan persamaan yang lebih rumit:
ODZ juga terdapat di sini: x -2.
Apabila menyelesaikan persamaan ini, kita tidak akan mengalihkan segala-galanya ke satu sisi dan membawa pecahan kepada penyebut yang sama. Kami akan segera mendarab kedua-dua belah persamaan dengan ungkapan yang akan membatalkan semua penyebut sekaligus.
Untuk mengurangkan penyebut, anda perlu mendarabkan bahagian kiri dengan x+2, dan bahagian kanan dengan 2. Ini bermakna kedua-dua belah persamaan mesti didarab dengan 2(x+2):
Ini adalah pendaraban pecahan yang paling biasa, yang telah kita bincangkan di atas.
Mari kita tulis persamaan yang sama, tetapi sedikit berbeza
Bahagian kiri dikurangkan dengan (x+2), dan kanan dengan 2. Selepas pengurangan, kita memperoleh persamaan linear biasa:
x = 4 – 2 = 2, yang sepadan dengan ODZ kami
Jawapan: x = 2.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesukar yang disangka. Dalam artikel ini kami telah menunjukkan ini dengan contoh. Jika anda mempunyai sebarang kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, kemudian nyahlanggan dalam ulasan.
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Pembentangan dan pelajaran mengenai topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh penyelesaian persamaan rasional"
Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 8
Manual untuk buku teks oleh Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks oleh Mordkovich A.G.
Pengenalan kepada Persamaan Tidak Rasional
Kawan-kawan, kami belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Tetapi matematik tidak terhad kepada mereka sahaja. Hari ini kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan rasional. Konsep persamaan rasional dalam banyak cara serupa dengan konsep nombor rasional. Hanya sebagai tambahan kepada nombor, kini kami telah memperkenalkan beberapa pembolehubah $x$. Dan dengan itu kita mendapat ungkapan di mana operasi tambah, tolak, darab, bahagi dan naikkan kepada kuasa integer hadir.Biarkan $r(x)$ menjadi ungkapan rasional. Ungkapan sedemikian boleh menjadi polinomial mudah dalam pembolehubah $x$ atau nisbah polinomial (operasi bahagi diperkenalkan, seperti untuk nombor rasional).
Persamaan $r(x)=0$ dipanggil persamaan rasional.
Mana-mana persamaan bentuk $p(x)=q(x)$, di mana $p(x)$ dan $q(x)$ ialah ungkapan rasional, juga akan persamaan rasional.
Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan rasional.
Contoh 1.Selesaikan persamaan: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Penyelesaian.
Mari kita alihkan semua ungkapan ke sebelah kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika bahagian kiri persamaan diwakili oleh nombor biasa, maka kita akan mengurangkan dua pecahan kepada penyebut sepunya.
Mari kita lakukan ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kami mendapat persamaan: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangka pecahan adalah sifar dan penyebutnya bukan sifar. Kemudian kita secara berasingan menyamakan pengangka kepada sifar dan mencari punca pengangka.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita semak penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada nombor ini sama dengan sifar. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar yang diperoleh dalam pengangka dan penyebut tidak bertepatan. Jadi kita tuliskan kedua-dua punca pembilang dalam jawapan.
Jawapan: $x=1$ atau $x=-3$.
Jika tiba-tiba salah satu punca pengangka bertepatan dengan punca penyebut, maka ia harus dikecualikan. Akar sedemikian dipanggil luar!
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:
1. Pindahkan semua ungkapan yang terkandung dalam persamaan ke sebelah kiri tanda sama.2. Tukarkan bahagian persamaan ini kepada pecahan algebra: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Samakan pengangka yang terhasil kepada sifar, iaitu selesaikan persamaan $p(x)=0$.
4. Samakan penyebut kepada sifar dan selesaikan persamaan yang terhasil. Jika akar penyebut bertepatan dengan akar pengangka, maka ia harus dikecualikan daripada jawapan.
Contoh 2.
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Penyelesaian.
Mari kita selesaikan mengikut mata algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pengangka dengan sifar: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebut dengan sifar:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu punca $x=1$ bertepatan dengan punca pembilang, maka kita tidak menulisnya dalam jawapan.
Jawapan: $x=-1$.
Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan kaedah perubahan pembolehubah. Mari kita tunjukkan ini.
Contoh 3.
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.
Penyelesaian.
Mari perkenalkan pengganti: $t=x^2$.
Kemudian persamaan kami akan mengambil bentuk:
$t^2+12t-64=0$ - persamaan kuadratik biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Mari kita perkenalkan penggantian terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Punca-punca persamaan pertama ialah sepasang nombor $x=±2$. Perkara kedua ialah ia tidak mempunyai akar.
Jawapan: $x=±2$.
Contoh 4.
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Penyelesaian.
Mari perkenalkan pembolehubah baharu: $t=x^2+x+1$.
Kemudian persamaan akan mengambil bentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Seterusnya kita akan meneruskan mengikut algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - akarnya tidak bertepatan.
Mari perkenalkan penggantian terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari kita selesaikan setiap persamaan secara berasingan:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar.
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah nombor $x=-2$ dan $x=1$.
Jawapan: $x=-2$ dan $x=1$.
Contoh 5.
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Penyelesaian.
Mari perkenalkan pengganti: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kami mendapat persamaan: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari kita perkenalkan penggantian terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan membuat keputusan secara berasingan.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Mari kita selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Punca bagi persamaan ini ialah nombor $x=1$.
Jawapan: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Masalah untuk diselesaikan secara bebas
Selesaikan persamaan:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.