Artikel ini mengkaji operasi pada pecahan. Peraturan untuk penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian atau eksponensi bagi pecahan bentuk A B akan dibentuk dan dijustifikasikan, di mana A dan B boleh menjadi nombor, ungkapan berangka atau ungkapan dengan pembolehubah. Kesimpulannya, contoh penyelesaian dengan penerangan terperinci akan dipertimbangkan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Peraturan untuk melaksanakan operasi dengan pecahan berangka am
Pecahan am mempunyai pengangka dan penyebut yang mengandungi nombor asli atau ungkapan berangka. Jika kita mempertimbangkan pecahan seperti 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, maka jelaslah bahawa pengangka dan penyebut boleh mempunyai bukan sahaja nombor, tetapi juga ungkapan pelbagai jenis.
Definisi 1
Terdapat peraturan di mana operasi dengan pecahan biasa dijalankan. Ia juga sesuai untuk pecahan am:
- Apabila menolak pecahan dengan penyebut yang sama, hanya pengangka yang ditambah, dan penyebutnya tetap sama, iaitu: a d ± c d = a ± c d, nilai a, c dan d ≠ 0 ialah beberapa nombor atau ungkapan berangka.
- Apabila menambah atau menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, adalah perlu untuk mengurangkannya kepada penyebut biasa, dan kemudian menambah atau menolak pecahan yang terhasil dengan eksponen yang sama. Secara literal ia kelihatan seperti ini: a b ± c d = a · p ± c · r s, di mana nilai a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 adalah nombor nyata, dan b · p = d · r = s . Apabila p = d dan r = b, maka a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
- Apabila mendarab pecahan, operasi dilakukan dengan pengangka, selepas itu dengan penyebut, maka kita mendapat b · c d = a · c b · d, di mana a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 bertindak sebagai nombor nyata.
- Apabila membahagi pecahan dengan pecahan, kita darabkan yang pertama dengan songsang kedua, iaitu, kita menukar pengangka dan penyebut: a b: c d = a b · d c.
Rasional untuk peraturan
Definisi 2Terdapat mata matematik berikut yang anda harus bergantung pada semasa mengira:
- garis miring bermaksud tanda bahagian;
- pembahagian dengan nombor dianggap sebagai pendaraban dengan nilai salingannya;
- penggunaan sifat operasi dengan nombor nyata;
- aplikasi sifat asas pecahan dan ketaksamaan berangka.
Dengan bantuan mereka, anda boleh melakukan transformasi bentuk:
a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d
Contoh
Dalam perenggan sebelumnya dikatakan tentang operasi dengan pecahan. Selepas ini pecahan itu perlu dipermudahkan. Topik ini telah dibincangkan secara terperinci dalam perenggan tentang penukaran pecahan.
Mula-mula, mari kita lihat contoh menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama.
Contoh 1
Diberi pecahan 8 2, 7 dan 1 2, 7, maka menurut peraturan itu perlu menambah pengangka dan menulis semula penyebutnya.
Penyelesaian
Kemudian kita mendapat pecahan daripada bentuk 8 + 1 2, 7. Selepas melakukan penambahan, kita memperoleh pecahan daripada bentuk 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Jadi, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.
Jawapan: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3
Ada penyelesaian lain. Sebagai permulaan, kita beralih kepada bentuk pecahan biasa, selepas itu kita melakukan penyederhanaan. Ia kelihatan seperti ini:
8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3
Contoh 2
Mari kita tolak daripada 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 pecahan daripada bentuk 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .
Oleh kerana penyebut sama diberikan, ini bermakna kita mengira pecahan dengan penyebut yang sama. Kami dapat itu
1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1
Terdapat contoh pengiraan pecahan dengan penyebut yang berbeza. Perkara penting ialah pengurangan kepada penyebut biasa. Tanpa ini, kita tidak akan dapat melakukan operasi selanjutnya dengan pecahan.
Proses ini secara samar-samar mengingatkan pengurangan kepada penyebut biasa. Iaitu, pembahagi sepunya terkecil dalam penyebut dicari, selepas itu faktor yang hilang ditambah kepada pecahan.
Jika pecahan yang ditambah tidak mempunyai faktor sepunya, maka produknya boleh menjadi satu.
Contoh 3
Mari kita lihat contoh penambahan pecahan 2 3 5 + 1 dan 1 2.
Penyelesaian
Dalam kes ini, penyebut biasa ialah hasil darab penyebut. Kemudian kita dapat 2 · 3 5 + 1. Kemudian, apabila menetapkan faktor tambahan, kita mempunyai bahawa untuk pecahan pertama ia adalah sama dengan 2, dan untuk yang kedua ia adalah 3 5 + 1. Selepas pendaraban, pecahan dikurangkan kepada bentuk 4 2 · 3 5 + 1. Pengurangan umum 1 2 ialah 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Kami menambah ungkapan pecahan yang terhasil dan mendapatkannya
2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Jawapan: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Apabila kita berurusan dengan pecahan am, maka kita biasanya tidak bercakap tentang penyebut biasa terendah. Adalah tidak menguntungkan untuk mengambil hasil darab pengangka sebagai penyebut. Mula-mula anda perlu menyemak sama ada terdapat nombor yang kurang nilainya daripada produk mereka.
Contoh 4
Mari kita pertimbangkan contoh 1 6 · 2 1 5 dan 1 4 · 2 3 5, apabila hasil keluarannya bersamaan dengan 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Kemudian kita ambil 12 · 2 3 5 sebagai penyebut biasa.
Mari kita lihat contoh mendarab pecahan am.
Contoh 5
Untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan 2 + 1 6 dan 2 · 5 3 · 2 + 1.
Penyelesaian
Mengikut peraturan, adalah perlu untuk menulis semula dan menulis hasil darab pengangka sebagai penyebut. Kami mendapat bahawa 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Apabila pecahan telah didarab, anda boleh membuat pengurangan untuk memudahkannya. Kemudian 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.
Menggunakan peraturan untuk peralihan daripada pembahagian kepada pendaraban dengan pecahan salingan, kita memperoleh pecahan yang merupakan salingan bagi pecahan yang diberi. Untuk melakukan ini, pengangka dan penyebut ditukar. Mari lihat contoh:
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10
Kemudian mereka mesti mendarab dan memudahkan pecahan yang terhasil. Jika perlu, hapuskan ketidakrasionalan dalam penyebut. Kami dapat itu
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2
Jawapan: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2
Perenggan ini terpakai apabila nombor atau ungkapan berangka boleh diwakili sebagai pecahan dengan penyebut sama dengan 1, maka operasi dengan pecahan sedemikian dianggap sebagai perenggan yang berasingan. Sebagai contoh, ungkapan 1 6 · 7 4 - 1 · 3 menunjukkan bahawa punca 3 boleh digantikan dengan ungkapan 3 1 yang lain. Kemudian entri ini akan kelihatan seperti mendarab dua pecahan bentuk 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.
Menjalankan Operasi ke atas Pecahan yang Mengandungi Pembolehubah
Peraturan yang dibincangkan dalam artikel pertama boleh digunakan untuk operasi dengan pecahan yang mengandungi pembolehubah. Pertimbangkan peraturan penolakan apabila penyebutnya sama.
Adalah perlu untuk membuktikan bahawa A, C dan D (D tidak sama dengan sifar) boleh menjadi sebarang ungkapan, dan kesamaan A D ± C D = A ± C D adalah bersamaan dengan julat nilai yang dibenarkan.
Ia adalah perlu untuk mengambil satu set pembolehubah ODZ. Kemudian A, C, D mesti mengambil nilai yang sepadan a 0 , c 0 dan d 0. Penggantian bentuk A D ± C D menghasilkan perbezaan bentuk a 0 d 0 ± c 0 d 0 , di mana, dengan menggunakan peraturan penambahan, kita memperoleh formula bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Jika kita menggantikan ungkapan A ± C D, maka kita mendapat pecahan yang sama dari bentuk a 0 ± c 0 d 0. Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa nilai yang dipilih yang memenuhi ODZ, A ± C D dan A D ± C D dianggap sama.
Untuk sebarang nilai pembolehubah, ungkapan ini akan sama, iaitu, ia dipanggil sama sama. Ini bermakna ungkapan ini dianggap sebagai persamaan yang boleh dibuktikan dalam bentuk A D ± C D = A ± C D .
Contoh penambahan dan penolakan pecahan dengan pembolehubah
Apabila anda mempunyai penyebut yang sama, anda hanya perlu menambah atau menolak pengangka. Pecahan ini boleh dipermudahkan. Kadang-kadang anda perlu bekerja dengan pecahan yang sama, tetapi pada pandangan pertama ini tidak ketara, kerana beberapa transformasi mesti dilakukan. Contohnya, x 2 3 x 1 3 + 1 dan x 1 3 + 1 2 atau 1 2 sin 2 α dan sin a cos a. Selalunya, penyederhanaan ungkapan asal diperlukan untuk melihat penyebut yang sama.
Contoh 6
Kira: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .
Penyelesaian
- Untuk membuat pengiraan, anda perlu menolak pecahan yang mempunyai penyebut yang sama. Kemudian kita dapat bahawa x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Selepas itu anda boleh mengembangkan kurungan dan menambah istilah yang serupa. Kami mendapat bahawa x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
- Oleh kerana penyebutnya adalah sama, yang tinggal hanyalah menambah pengangka, meninggalkan penyebut: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
Penambahan telah selesai. Ia boleh dilihat bahawa adalah mungkin untuk mengurangkan pecahan. Pengangkanya boleh dilipat menggunakan rumus kuasa dua jumlah, maka kita dapat (l g x + 2) 2 daripada rumus pendaraban yang disingkatkan. Kemudian kita dapat itu
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x - Diberi pecahan bentuk x - 1 x - 1 + x x + 1 dengan penyebut yang berbeza. Selepas transformasi, anda boleh beralih kepada penambahan.
Mari kita pertimbangkan penyelesaian dua kali ganda.
Kaedah pertama ialah penyebut pecahan pertama difaktorkan menggunakan kuasa dua, dengan pengurangan seterusnya. Kami mendapat sebahagian kecil daripada borang
x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1
Jadi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .
Dalam kes ini, adalah perlu untuk menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut.
1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Kaedah kedua ialah mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan kedua dengan ungkapan x - 1. Oleh itu, kita menyingkirkan ketidakrasionalan dan beralih kepada menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian
x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1
Jawapan: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .
Dalam contoh terakhir kami mendapati bahawa pengurangan kepada penyebut biasa tidak dapat dielakkan. Untuk melakukan ini, anda perlu memudahkan pecahan. Apabila menambah atau menolak, anda sentiasa perlu mencari penyebut biasa, yang kelihatan seperti hasil darab penyebut dengan faktor tambahan ditambahkan pada pengangka.
Contoh 7
Hitung nilai pecahan: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x
Penyelesaian
- Penyebutnya tidak memerlukan sebarang pengiraan yang rumit, jadi anda perlu memilih hasil darabnya dalam bentuk 3 x 7 + 2 · 2, kemudian pilih x 7 + 2 · 2 untuk pecahan pertama sebagai faktor tambahan, dan 3 untuk yang kedua. Apabila mendarab, kita mendapat pecahan daripada bentuk x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
- Ia boleh dilihat bahawa penyebut dibentangkan dalam bentuk produk, yang bermaksud bahawa transformasi tambahan tidak diperlukan. Penyebut biasa akan dianggap sebagai hasil darab dalam bentuk x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Oleh itu x 4
ialah faktor tambahan kepada pecahan pertama, dan ln(x + 1)
kepada yang kedua. Kemudian kita tolak dan dapatkan:
x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4 ) - Contoh ini masuk akal apabila bekerja dengan penyebut pecahan. Ia adalah perlu untuk menggunakan formula untuk perbezaan kuasa dua dan kuasa dua hasil tambah, kerana ia akan membolehkan untuk beralih kepada ungkapan bentuk 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Ia boleh dilihat bahawa pecahan dikurangkan kepada penyebut biasa. Kami mendapat bahawa cos x - x · cos x + x 2 .
Kemudian kita dapat itu
1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2
Jawapan:
1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .
Contoh mendarab pecahan dengan pembolehubah
Apabila mendarab pecahan, pengangka didarab dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian anda boleh menggunakan sifat pengurangan.
Contoh 8
Darabkan pecahan x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 dan 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.
Penyelesaian
Pendaraban perlu dilakukan. Kami dapat itu
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
Nombor 3 dialihkan ke tempat pertama untuk kemudahan pengiraan, dan anda boleh mengurangkan pecahan sebanyak x 2, kemudian kami mendapat ungkapan bentuk
3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
Jawapan: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · dosa (2 · x - x) .
Pembahagian
Pembahagian pecahan adalah serupa dengan pendaraban, kerana pecahan pertama didarab dengan salingan kedua. Jika kita ambil contoh pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan bahagikan dengan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, maka ia boleh ditulis sebagai
x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , kemudian gantikan dengan hasil darab bentuk x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)
Eksponensiasi
Mari kita beralih kepada mempertimbangkan operasi dengan pecahan am dengan eksponen. Sekiranya terdapat kuasa dengan eksponen semula jadi, maka tindakan itu dianggap sebagai pendaraban pecahan yang sama. Tetapi adalah disyorkan untuk menggunakan pendekatan umum berdasarkan sifat darjah. Sebarang ungkapan A dan C, di mana C tidak sama dengan sifar, dan sebarang r nyata pada ODZ untuk ungkapan bentuk A C r kesamaan A C r = A r C r adalah sah. Hasilnya ialah pecahan dinaikkan kepada kuasa. Sebagai contoh, pertimbangkan:
x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5
Prosedur untuk melaksanakan operasi dengan pecahan
Operasi ke atas pecahan dilakukan mengikut peraturan tertentu. Dalam amalan, kami mendapati bahawa ungkapan mungkin mengandungi beberapa pecahan atau ungkapan pecahan. Maka adalah perlu untuk melakukan semua tindakan dalam susunan yang ketat: naikkan kepada kuasa, darab, bahagi, kemudian tambah dan tolak. Sekiranya terdapat kurungan, tindakan pertama dilakukan di dalamnya.
Contoh 9
Kira 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .
Penyelesaian
Oleh kerana kita mempunyai penyebut yang sama, maka 1 - x cos x dan 1 c o s x, tetapi penolakan tidak boleh dilakukan mengikut peraturan pertama, tindakan dalam kurungan dilakukan, kemudian pendaraban, dan kemudian penambahan; Kemudian apabila mengira kita mendapat itu
1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x
Apabila menggantikan ungkapan kepada yang asal, kita mendapat bahawa 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Apabila mendarab pecahan kita ada: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Setelah membuat semua penggantian, kita mendapat 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Sekarang anda perlu bekerja dengan pecahan yang mempunyai penyebut yang berbeza. Kami mendapat:
x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x
Jawapan: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
) dan penyebut mengikut penyebut (kita mendapat penyebut produk).
Formula untuk mendarab pecahan:
Contohnya:
Sebelum anda mula mendarab pengangka dan penyebut, anda perlu menyemak sama ada pecahan itu boleh dikurangkan. Jika anda boleh mengurangkan pecahan, lebih mudah untuk anda membuat pengiraan selanjutnya.
Membahagi pecahan biasa dengan pecahan.
Membahagi pecahan yang melibatkan nombor asli.
Ia tidak seram seperti yang disangka. Seperti dalam kes penambahan, kita menukar integer kepada pecahan dengan satu dalam penyebut. Contohnya:
Mendarab pecahan bercampur.
Peraturan untuk mendarab pecahan (bercampur):
- menukar pecahan bercampur kepada pecahan tak wajar;
- mendarab pengangka dan penyebut pecahan;
- mengurangkan pecahan;
- Jika anda mendapat pecahan tak wajar, maka kami tukarkan pecahan tak wajar kepada pecahan bercampur.
Beri perhatian! Untuk mendarab pecahan bercampur dengan pecahan bercampur yang lain, anda perlu terlebih dahulu menukarnya kepada bentuk pecahan tak wajar, dan kemudian darab mengikut peraturan untuk mendarab pecahan biasa.
Cara kedua untuk mendarab pecahan dengan nombor asli.
Ia mungkin lebih mudah untuk menggunakan kaedah kedua untuk mendarab pecahan biasa dengan nombor.
Beri perhatian! Untuk mendarab pecahan dengan nombor asli, anda mesti membahagikan penyebut pecahan dengan nombor ini dan biarkan pengangkanya tidak berubah.
Daripada contoh di atas, jelas bahawa pilihan ini lebih mudah digunakan apabila penyebut pecahan dibahagikan tanpa baki dengan nombor asli.
Pecahan berbilang tingkat.
Di sekolah menengah, pecahan tiga tingkat (atau lebih) sering ditemui. Contoh:
Untuk membawa pecahan sedemikian kepada bentuk biasa, gunakan pembahagian melalui 2 mata:
Beri perhatian! Apabila membahagi pecahan, susunan pembahagian adalah sangat penting. Berhati-hati, mudah keliru di sini.
Sila ambil perhatian Contohnya:
Apabila membahagi satu dengan mana-mana pecahan, hasilnya akan menjadi pecahan yang sama, hanya terbalik:
Petua praktikal untuk mendarab dan membahagi pecahan:
1. Perkara yang paling penting apabila bekerja dengan ungkapan pecahan ialah ketepatan dan perhatian. Lakukan semua pengiraan dengan teliti dan tepat, pekat dan jelas. Lebih baik menulis beberapa baris tambahan dalam draf anda daripada tersesat dalam pengiraan mental.
2. Dalam tugasan dengan pelbagai jenis pecahan, pergi ke jenis pecahan biasa.
3. Kita kurangkan semua pecahan sehingga tidak dapat dikurangkan lagi.
4. Kami menukar ungkapan pecahan berbilang aras kepada yang biasa menggunakan pembahagian melalui 2 mata.
5. Bahagikan unit dengan pecahan dalam kepala anda, hanya terbalikkan pecahan itu.
Ungkapan pecahan sukar difahami oleh kanak-kanak. Kebanyakan orang mengalami kesukaran dengan. Apabila mempelajari topik "menambah pecahan dengan nombor bulat," kanak-kanak itu jatuh ke dalam pengsan, mendapati sukar untuk menyelesaikan masalah itu. Dalam banyak contoh, sebelum melakukan tindakan, satu siri pengiraan mesti dilakukan. Contohnya, tukarkan pecahan atau tukarkan pecahan tak wajar kepada pecahan wajar.
Mari jelaskan dengan jelas kepada kanak-kanak itu. Mari ambil tiga epal, dua daripadanya akan menjadi keseluruhan, dan potong yang ketiga kepada 4 bahagian. Pisahkan satu keping dari epal yang dipotong, dan letakkan baki tiga di sebelah dua buah keseluruhan. Kami mendapat ¼ sebiji epal di satu sisi dan 2 ¾ di sebelah yang lain. Jika kita gabungkan, kita dapat tiga biji epal. Mari cuba kurangkan 2 ¾ epal sebanyak ¼, iaitu, keluarkan hirisan lain, kita dapat 2 2/4 epal.
Mari kita lihat dengan lebih dekat operasi dengan pecahan yang mengandungi integer:
Mula-mula, mari kita ingat peraturan pengiraan untuk ungkapan pecahan dengan penyebut biasa:
Pada pandangan pertama, semuanya mudah dan ringkas. Tetapi ini hanya terpakai pada ungkapan yang tidak memerlukan penukaran.
Bagaimana untuk mencari nilai ungkapan yang penyebutnya berbeza
Dalam sesetengah tugas, anda perlu mencari makna ungkapan yang penyebutnya berbeza. Mari lihat kes tertentu:
3 2/7+6 1/3
Mari cari nilai ungkapan ini dengan mencari penyebut sepunya bagi dua pecahan.
Untuk nombor 7 dan 3, ini ialah 21. Kami membiarkan bahagian integer sama, dan membawa bahagian pecahan kepada 21, untuk ini kita darabkan pecahan pertama dengan 3, yang kedua dengan 7, kita dapat:
6/21+7/21, jangan lupa bahawa keseluruhan bahagian tidak boleh ditukar. Akibatnya, kita mendapat dua pecahan dengan penyebut yang sama dan mengira jumlahnya:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Bagaimana jika hasil penambahan ialah pecahan tak wajar yang sudah mempunyai bahagian integer:
2 1/3+3 2/3
Dalam kes ini, kami menambah bahagian integer dan bahagian pecahan, kami mendapat:
5 3/3, seperti yang anda tahu, 3/3 ialah satu, yang bermaksud 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Mencari jumlah semuanya jelas, mari lihat penolakan:
Daripada semua yang telah dikatakan, peraturan untuk operasi dengan nombor bercampur berikut:
- Jika anda perlu menolak integer daripada ungkapan pecahan, anda tidak perlu mewakili nombor kedua sebagai pecahan, cukup untuk melakukan operasi hanya pada bahagian integer.
Mari kita cuba mengira makna ungkapan itu sendiri:
Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah huruf "m":
4 5/11-2 8/11, pengangka pecahan pertama adalah kurang daripada kedua. Untuk melakukan ini, kita meminjam satu integer daripada pecahan pertama, kita dapat,
3 5/11+11/11=3 keseluruhan 16/11, tolak yang kedua daripada pecahan pertama:
3 16/11-2 8/11=1 keseluruhan 8/11
- Berhati-hati semasa menyelesaikan tugasan, jangan lupa untuk menukar pecahan tak wajar kepada pecahan bercampur, menyerlahkan keseluruhan bahagian. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan nilai pengangka dengan nilai penyebut, apa yang anda dapat mengambil tempat keseluruhan bahagian, selebihnya akan menjadi pengangka, contohnya:
19/4=4 ¾, mari kita periksa: 4*4+3=19, penyebut 4 kekal tidak berubah.
Mari kita ringkaskan:
Sebelum memulakan tugasan yang berkaitan dengan pecahan, adalah perlu untuk menganalisis jenis ungkapan itu, apakah transformasi yang perlu dibuat pada pecahan agar penyelesaiannya betul. Cari penyelesaian yang lebih rasional. Jangan pergi dengan cara yang sukar. Rancang semua tindakan, selesaikan dahulu dalam bentuk draf, kemudian pindahkannya ke buku nota sekolah anda.
Untuk mengelakkan kekeliruan semasa menyelesaikan ungkapan pecahan, anda mesti mengikut peraturan ketekalan. Tentukan semuanya dengan berhati-hati, tanpa tergesa-gesa.
Contoh dengan pecahan adalah salah satu elemen asas matematik. Terdapat pelbagai jenis persamaan dengan pecahan. Di bawah ialah arahan terperinci untuk menyelesaikan contoh jenis ini.
Bagaimana untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan - peraturan am
Untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan apa-apa jenis, sama ada penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian, anda perlu mengetahui peraturan asas:
- Untuk menambah ungkapan pecahan dengan penyebut yang sama (penyebut ialah nombor yang terletak di bahagian bawah pecahan, pengangka berada di bahagian atas), anda perlu menambah pengangkanya, dan biarkan penyebutnya sama.
- Untuk menolak ungkapan pecahan kedua (dengan penyebut yang sama) daripada satu pecahan, anda perlu menolak pengangkanya dan biarkan penyebutnya sama.
- Untuk menambah atau menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, anda perlu mencari penyebut sepunya terendah.
- Untuk mencari produk pecahan, anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebut, dan, jika boleh, kurangkan.
- Untuk membahagi pecahan dengan pecahan, anda mendarab pecahan pertama dengan pecahan kedua terbalik.
Bagaimana untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan - latihan
Peraturan 1, contoh 1:
Kira 3/4 +1/4.
Menurut Peraturan 1, jika dua (atau lebih) pecahan mempunyai penyebut yang sama, anda hanya menambah pengangkanya. Kami mendapat: 3/4 + 1/4 = 4/4. Jika suatu pecahan mempunyai pengangka dan penyebut yang sama, pecahan tersebut akan sama dengan 1.
Jawapan: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Peraturan 2, contoh 1:
Kira: 3/4 – 1/4
Menggunakan peraturan nombor 2, untuk menyelesaikan persamaan ini anda perlu menolak 1 daripada 3 dan biarkan penyebutnya sama. Kami mendapat 2/4. Oleh kerana dua 2 dan 4 boleh dikurangkan, kita kurangkan dan mendapat 1/2.
Jawapan: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Peraturan 3, Contoh 1
Kira: 3/4 + 1/6
Penyelesaian: Menggunakan peraturan ke-3, kita dapati penyebut sepunya terendah. Penyebut sepunya terkecil ialah nombor yang boleh dibahagikan dengan penyebut semua ungkapan pecahan dalam contoh. Oleh itu, kita perlu mencari nombor minimum yang boleh dibahagi dengan kedua-dua 4 dan 6. Nombor ini ialah 12. Kita tulis 12 sebagai penyebut Bahagi 12 dengan penyebut pecahan pertama, kita dapat 3, darab dengan 3, tulis. 3 dalam pengangka *3 dan tanda +. Bahagikan 12 dengan penyebut pecahan kedua, kita dapat 2, darab 2 dengan 1, tulis 2*1 dalam pengangka. Jadi, kita mendapat pecahan baru dengan penyebut sama dengan 12 dan pengangka sama dengan 3*3+2*1=11. 11/12.
Jawapan: 11/12
Peraturan 3, Contoh 2:
Kira 3/4 – 1/6. Contoh ini sangat serupa dengan yang sebelumnya. Kami melakukan semua langkah yang sama, tetapi dalam pengangka dan bukannya tanda +, kami menulis tanda tolak. Kami mendapat: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Jawapan: 7/12
Peraturan 4, Contoh 1:
Kira: 3/4 * 1/4
Dengan menggunakan peraturan keempat, kita mendarabkan penyebut pecahan pertama dengan penyebut kedua dan pengangka pecahan pertama dengan pengangka kedua. 3*1/4*4 = 3/16.
Jawapan: 3/16
Peraturan 4, Contoh 2:
Kira 2/5 * 10/4.
Pecahan ini boleh dikurangkan. Dalam kes produk, pengangka pecahan pertama dan penyebut kedua dan pengangka pecahan kedua dan penyebut pecahan pertama dibatalkan.
2 membatalkan daripada 4. 10 membatalkan daripada 5. Kami mendapat 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Jawapan: 2/5 * 10/4 = 1
Peraturan 5, Contoh 1:
Kira: 3/4: 5/6
Menggunakan peraturan ke-5, kita dapat: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Kami mengurangkan pecahan mengikut prinsip contoh sebelumnya dan mendapat 9/10.
Jawapan: 9/10.
Bagaimana untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan - persamaan pecahan
Persamaan pecahan ialah contoh di mana penyebutnya mengandungi yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, anda perlu menggunakan peraturan tertentu.
Mari lihat contoh:
Selesaikan persamaan 15/3x+5 = 3
Marilah kita ingat bahawa anda tidak boleh membahagi dengan sifar, i.e. nilai penyebut tidak boleh sifar. Apabila menyelesaikan contoh sedemikian, ini mesti ditunjukkan. Untuk tujuan ini, terdapat OA (julat nilai yang dibenarkan).
Jadi 3x+5 ≠ 0.
Oleh itu: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Pada x = 5/3 persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian.
Setelah menentukan ODZ, cara terbaik untuk menyelesaikan persamaan ini ialah menyingkirkan pecahan. Untuk melakukan ini, kami mula-mula membentangkan semua nilai bukan pecahan sebagai pecahan, dalam kes ini nombor 3. Kami mendapat: 15/(3x+5) = 3/1. Untuk menyingkirkan pecahan, anda perlu mendarab setiap pecahan dengan penyebut sepunya terendah. Dalam kes ini ia akan menjadi (3x+5)*1. Urutan tindakan:
- Darab 15/(3x+5) dengan (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Buka kurungan: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Kami melakukan perkara yang sama dengan sebelah kanan persamaan: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Samakan sisi kiri dan kanan: 45x + 75 = 9x +15
- Gerakkan X ke kiri, nombor ke kanan: 36x = – 50
- Cari x: x = -50/36.
- Kami kurangkan: -50/36 = -25/18
Jawapan: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Bagaimana untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan - ketaksamaan pecahan
Ketaksamaan pecahan jenis (3x-5)/(2-x)≥0 diselesaikan menggunakan paksi nombor. Mari lihat contoh ini.
Urutan tindakan:
- Kami menyamakan pengangka dan penyebut dengan sifar: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Kami melukis paksi nombor, menulis nilai yang terhasil di atasnya.
- Lukis bulatan di bawah nilai. Terdapat dua jenis bulatan - diisi dan kosong. Bulatan yang diisi bermakna bahawa nilai yang diberikan berada dalam julat penyelesaian. Bulatan kosong menunjukkan bahawa nilai ini tidak termasuk dalam julat penyelesaian.
- Oleh kerana penyebut tidak boleh sama dengan sifar, akan ada bulatan kosong di bawah ke-2.
- Untuk menentukan tanda, kita menggantikan sebarang nombor yang lebih besar daripada dua ke dalam persamaan, contohnya 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. nilainya negatif, yang bermaksud kita menulis tolak di atas kawasan selepas dua. Kemudian gantikan X sebarang nilai selang dari 5/3 hingga 2, contohnya 1. Nilai itu sekali lagi negatif. Kami menulis tolak. Kami mengulangi perkara yang sama dengan kawasan yang terletak sehingga 5/3. Kami menggantikan sebarang nombor yang kurang daripada 5/3, contohnya 1. Sekali lagi, tolak.
- Oleh kerana kami berminat dengan nilai x di mana ungkapan akan lebih besar daripada atau sama dengan 0, dan tidak ada nilai sedemikian (terdapat tolak di mana-mana), ketidaksamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, iaitu, x = Ø (satu set kosong).
Jawapan: x = Ø
Pecahan- nombor yang terdiri daripada nombor integer pecahan unit dan diwakili dalam bentuk: a/b
Penbilang pecahan (a)- nombor yang terletak di atas garis pecahan dan menunjukkan bilangan syer di mana unit itu dibahagikan.
Penyebut pecahan (b)- nombor yang terletak di bawah garis pecahan dan menunjukkan bilangan bahagian unit dibahagikan kepada.
2. Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya
3. Operasi aritmetik pada pecahan biasa
3.1. Penambahan pecahan biasa
3.2. Menolak pecahan
3.3. Mendarab pecahan sepunya
3.4. Membahagi pecahan
4. Nombor timbal balik
5. perpuluhan
6. Operasi aritmetik pada perpuluhan
6.1. Menambah Perpuluhan
6.2. Menolak Perpuluhan
6.3. Mendarab Perpuluhan
6.4. Pembahagian perpuluhan
#1. Sifat utama pecahan
Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama yang tidak sama dengan sifar, anda mendapat pecahan yang sama dengan yang diberikan.
3/7=3*3/7*3=9/21, iaitu, 3/7=9/21
a/b=a*m/b*m - inilah rupa sifat utama pecahan.
Dalam erti kata lain, kita mendapat pecahan yang sama dengan yang diberi dengan mendarab atau membahagikan pengangka dan penyebut pecahan asal dengan nombor asli yang sama.
Jika iklan=bc, maka dua pecahan a/b =c /d dianggap sama.
Sebagai contoh, pecahan 3/5 dan 9/15 akan sama, kerana 3*15=5*9, iaitu, 45=45
Mengurangkan pecahan ialah proses menggantikan pecahan di mana pecahan baru itu sama dengan pecahan asal, tetapi dengan pengangka dan penyebut yang lebih kecil.
Adalah menjadi kebiasaan untuk mengurangkan pecahan berdasarkan sifat asas pecahan.
Sebagai contoh, 45/60=15/ 20 =9/12=3/4 (pengangka dan penyebut dibahagikan dengan nombor 3, dengan 5 dan dengan 15).
Pecahan tidak boleh dikurangkan ialah pecahan daripada bentuk 3/4 , di mana pengangka dan penyebut adalah nombor perdana bersama. Tujuan utama mengurangkan pecahan adalah untuk menjadikan pecahan tidak dapat dikurangkan.
2. Mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa
Untuk membawa dua pecahan kepada penyebut sepunya, anda perlu:
1) faktorkan penyebut setiap pecahan kepada faktor perdana;
2) darabkan pengangka dan penyebut pecahan pertama dengan pecahan yang hilang
faktor daripada pengembangan penyebut kedua;
3) darabkan pengangka dan penyebut pecahan kedua dengan faktor yang hilang daripada pengembangan pertama.
Contoh: Kurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.
Mari faktorkan penyebut menjadi faktor mudah: 18=3∙3∙2, 15=3∙5
Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor yang hilang 5 daripada pengembangan kedua.
pengangka dan penyebut pecahan ke dalam faktor 3 dan 2 yang hilang daripada pengembangan pertama.
= , 90 – penyebut sepunya bagi pecahan.
3. Operasi aritmetik pada pecahan biasa
3.1. Penambahan pecahan biasa
a) Jika penyebutnya sama, pengangka pecahan pertama ditambah kepada pengangka pecahan kedua, meninggalkan penyebutnya sama. Seperti yang anda lihat dalam contoh:
a/b+c/b=(a+c)/b ;
b) Untuk penyebut yang berbeza, pecahan terlebih dahulu dikurangkan kepada penyebut biasa, dan kemudian pengangkanya ditambah mengikut peraturan a):
7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12
3.2. Menolak pecahan
a) Jika penyebutnya sama, tolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, biarkan penyebutnya sama:
a/b-c/b=(a-c)/b ;
b) Jika penyebut pecahan itu berbeza, maka mula-mula pecahan itu dibawa kepada penyebut biasa, dan kemudian tindakan diulang seperti di titik a).
3.3. Mendarab pecahan sepunya
Mendarab pecahan mematuhi peraturan berikut:
a/b*c/d=a*c/b*d,
iaitu, mereka mendarabkan pengangka dan penyebut secara berasingan.
Contohnya:
3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.
3.4. Membahagi pecahan
Pecahan dibahagikan dengan cara berikut:
a/b:c/d=a*d/b*c,
iaitu pecahan a/b didarab dengan pecahan songsang bagi yang diberi, iaitu didarab dengan d/c.
Contoh: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28
4. Nombor salingan
Jika a*b=1, maka nombor b ialah nombor timbal balik bagi nombor a.
Contoh: untuk nombor 9 timbal balik ialah 1/9 , sejak 9*1/9 = 1 , untuk nombor 5 - nombor songsang 1/5 , kerana 5* 1/5 = 1 .
5. Perpuluhan
perpuluhan ialah pecahan wajar yang penyebutnya sama dengan 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 n .
Contohnya: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 .
Yang salah dengan penyebut ditulis dengan cara yang sama 10^n atau nombor bercampur.
Contohnya: 51/10= 5,1; 763/100=7,63
Mana-mana pecahan biasa dengan penyebut yang merupakan pembahagi kuasa tertentu 10 diwakili sebagai pecahan perpuluhan.
penukar, yang merupakan pembahagi kuasa tertentu nombor 10.
Contoh: 5 ialah pembahagi 100, jadi ia adalah pecahan 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 0 = 0 , 2 .
6. Operasi aritmetik pada perpuluhan
6.1. Menambah Perpuluhan
Untuk menambah dua pecahan perpuluhan, anda perlu menyusunnya supaya terdapat digit yang sama di bawah satu sama lain dan koma di bawah koma, dan kemudian menambah pecahan seperti nombor biasa.
6.2. Menolak Perpuluhan
Ia dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan.
6.3. Mendarab Perpuluhan
Apabila mendarab nombor perpuluhan, cukup untuk mendarab nombor yang diberikan, tidak memberi perhatian kepada koma (seperti nombor asli), dan dalam jawapan yang terhasil, koma di sebelah kanan memisahkan seberapa banyak digit yang terdapat selepas titik perpuluhan dalam kedua-dua faktor. secara keseluruhan.
Mari kita darab 2.7 dengan 1.3. Kami ada 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Kami memisahkan dua digit di sebelah kanan dengan koma (nombor pertama dan kedua mempunyai satu digit selepas titik perpuluhan; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Hasilnya kita dapat 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .
Jika hasil yang terhasil mengandungi lebih sedikit digit daripada yang perlu dipisahkan dengan koma, maka sifar yang hilang ditulis di hadapan, sebagai contoh:
Untuk mendarab dengan 10, 100, 1000, anda perlu mengalihkan titik perpuluhan 1, 2, 3 digit ke kanan (jika perlu, bilangan sifar tertentu diberikan ke kanan).
Contohnya: 1.47\cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .
6.4. Pembahagian perpuluhan
Membahagi pecahan perpuluhan dengan nombor asli dilakukan dengan cara yang sama seperti membahagi nombor asli dengan nombor asli. Koma dalam hasil bagi diletakkan selepas pembahagian keseluruhan bahagian selesai.
Jika bahagian integer dividen kurang daripada pembahagi, maka jawapannya ialah sifar integer, sebagai contoh:
.png)
Mari kita lihat membahagi perpuluhan dengan perpuluhan. Katakan kita perlu membahagikan 2.576 dengan 1.12. Pertama sekali, mari kita darabkan dividen dan pembahagi pecahan dengan 100, iaitu, gerakkan titik perpuluhan ke kanan dalam dividen dan pembahagi dengan seberapa banyak tempat perpuluhan seperti yang terdapat dalam pembahagi selepas titik perpuluhan (dalam contoh ini , dua). Kemudian anda perlu membahagikan pecahan 257.6 dengan nombor asli 112, iaitu, masalahnya dikurangkan kepada kes yang telah dipertimbangkan:
.png)
Ia berlaku bahawa pecahan perpuluhan akhir tidak selalu diperoleh apabila membahagikan satu nombor dengan yang lain. Hasilnya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga. Dalam kes sedemikian, kita beralih kepada pecahan biasa.
Contohnya, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= 31 1/9 .