Tahap pertama

Teori kebarangkalian. Penyelesaian Masalah (2019)

Apakah kebarangkalian?

Kali pertama saya menemui istilah ini, saya tidak akan faham apa itu. Oleh itu, saya akan cuba menerangkan dengan jelas.

Kebarangkalian adalah peluang bahawa peristiwa yang kita inginkan akan berlaku.

Sebagai contoh, anda memutuskan untuk pergi ke rumah rakan, anda masih ingat pintu masuk dan juga lantai di mana dia tinggal. Tetapi saya terlupa nombor dan lokasi apartmen. Dan kini anda berdiri di atas tangga, dan di hadapan anda terdapat pintu untuk dipilih.

Apakah peluang (kebarangkalian) jika anda membunyikan loceng pintu pertama, rakan anda akan membuka pintu untuk anda? Terdapat hanya apartmen, dan seorang rakan tinggal hanya di belakang salah satu daripadanya. Dengan peluang yang sama kita boleh memilih mana-mana pintu.

Tetapi apakah peluang ini?

Pintu, pintu kanan. Kebarangkalian meneka dengan membunyikan loceng pintu pertama: . Iaitu, satu kali daripada tiga anda akan meneka dengan tepat.

Kami ingin tahu, setelah menelefon sekali, berapa kerap kami akan meneka pintu? Mari lihat semua pilihan:

1. Awak panggil pertama pintu
2. Awak panggil ke-2 pintu
3. Awak panggil ke-3 pintu

Sekarang mari kita lihat semua pilihan di mana rakan boleh berada:

A. belakang pertama pintu
b. belakang ke-2 pintu
V. belakang ke-3 pintu

Mari bandingkan semua pilihan dalam bentuk jadual. Tanda semak menunjukkan pilihan apabila pilihan anda bertepatan dengan lokasi rakan, tanda pangkah - apabila ia tidak bertepatan.

Bagaimana anda melihat segala-galanya Mungkin pilihan lokasi rakan anda dan pilihan anda pintu mana yang hendak dibunyikan.

A hasil yang menggalakkan untuk semua . Iaitu, anda akan meneka sekali dengan membunyikan loceng pintu sekali, i.e. .

Ini adalah kebarangkalian - nisbah hasil yang menggalakkan (apabila pilihan anda bertepatan dengan lokasi rakan anda) kepada bilangan acara yang mungkin.

Definisi adalah formula. Kebarangkalian biasanya dilambangkan dengan p, oleh itu:

Ia tidak begitu mudah untuk menulis formula sedemikian, jadi kami akan mengambil untuk - bilangan hasil yang menggalakkan, dan untuk - jumlah bilangan hasil.

Kebarangkalian boleh ditulis sebagai peratusan; untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan hasil yang terhasil dengan:

Perkataan "hasil" mungkin menarik perhatian anda. Oleh kerana ahli matematik memanggil pelbagai tindakan (dalam kes kami, tindakan sedemikian adalah loceng pintu) eksperimen, hasil eksperimen sedemikian biasanya dipanggil hasil.

Nah, terdapat hasil yang menggalakkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali kepada contoh kita. Katakan kami menekan salah satu pintu, tetapi orang yang tidak dikenali membukanya untuk kami. Kami tidak meneka dengan betul. Apakah kebarangkalian jika kita membunyikan salah satu pintu yang tinggal, kawan kita akan membukanya untuk kita?

Jika anda fikir begitu, maka ini adalah satu kesilapan. Mari kita fikirkan.

Kami mempunyai dua pintu lagi. Jadi kami mempunyai langkah yang mungkin:

1) Panggil pertama pintu
2) Panggil ke-2 pintu

Rakan itu, walaupun semua ini, pasti berada di belakang salah seorang daripada mereka (lagipun, dia tidak berada di belakang yang kami panggil):

a) Kawan untuk pertama pintu
b) Kawan untuk ke-2 pintu

Mari kita lukis jadual sekali lagi:

Seperti yang anda dapat lihat, terdapat hanya pilihan, yang menguntungkan. Iaitu, kebarangkalian adalah sama.

Kenapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan ialah contoh peristiwa bergantung. Acara pertama loceng pintu pertama, acara kedua loceng pintu kedua.

Dan mereka dipanggil bergantung kerana mereka mempengaruhi tindakan berikut. Lagipun, jika selepas deringan pertama loceng pintu dijawab oleh rakan, apakah kebarangkalian dia berada di belakang salah seorang daripada dua yang lain? Betul, .

Tetapi jika ada peristiwa tanggungan, maka mesti ada juga bebas? Betul, ia berlaku.

Contoh buku teks ialah melambung duit syiling.

1. Baling duit syiling sekali. Apakah kebarangkalian mendapat kepala, contohnya? Betul - kerana terdapat semua pilihan (sama ada kepala atau ekor, kita mengabaikan kebarangkalian syiling mendarat di tepinya), tetapi ia hanya sesuai untuk kita.
2. Tetapi ia muncul di kepala. Okey, kita buang lagi. Apakah kebarangkalian untuk mendapat kepala sekarang? Tiada apa yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? dua. Berapa ramai yang kita gembira? satu.

Dan biarkan ia muncul sekurang-kurangnya seribu kali berturut-turut. Kebarangkalian mendapat kepala sekali gus adalah sama. Selalu ada pilihan, dan yang menguntungkan.

Adalah mudah untuk membezakan peristiwa bergantung daripada peristiwa bebas:

1. Jika eksperimen dijalankan sekali (mereka membaling duit syiling sekali, membunyikan loceng pintu sekali, dsb.), maka acara itu sentiasa bebas.
2. Jika eksperimen dijalankan beberapa kali (syiling dilempar sekali, loceng pintu dibunyikan beberapa kali), maka acara pertama sentiasa bebas. Dan kemudian, jika bilangan yang menguntungkan atau bilangan semua hasil berubah, maka peristiwa itu bergantung, dan jika tidak, ia adalah bebas.

Mari berlatih menentukan kebarangkalian sedikit.

Contoh 1.

Syiling dilambung dua kali. Apakah kebarangkalian mendapat kepala dua kali berturut-turut?

Penyelesaian:

Mari kita pertimbangkan semua pilihan yang mungkin:

1. Helang-helang
2. Kepala-ekor
3. Ekor-Kepala
4. Ekor-ekor

Seperti yang anda lihat, hanya ada pilihan. Daripada jumlah ini kami hanya berpuas hati. Iaitu, kebarangkalian:

Jika syarat hanya meminta anda mencari kebarangkalian, maka jawapan mesti diberikan dalam bentuk pecahan perpuluhan. Jika dinyatakan bahawa jawapan harus diberikan sebagai peratusan, maka kita akan darab dengan.

Jawapan:

Contoh 2.

Dalam kotak coklat, semua coklat dibungkus dalam pembungkus yang sama. Walau bagaimanapun, dari gula-gula - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel dan dengan nougat.

Apakah kebarangkalian untuk mengambil satu gula-gula dan mendapat gula-gula dengan kacang? Berikan jawapan anda sebagai peratusan.

Penyelesaian:

Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .

Iaitu, jika anda mengambil satu gula-gula, ia akan menjadi salah satu gula-gula yang terdapat di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menggalakkan?

Kerana kotak itu hanya mengandungi coklat dengan kacang.

Jawapan:

Contoh 3.

Dalam kotak belon. antaranya putih dan hitam.

1. Apakah kebarangkalian untuk melukis bola putih?
2. Kami menambah lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Apakah sekarang kebarangkalian untuk melukis bola putih?

Penyelesaian:

a) Hanya terdapat bola di dalam kotak. Daripada mereka berwarna putih.

Kebarangkaliannya ialah:

b) Sekarang terdapat lebih banyak bola di dalam kotak. Dan masih ada orang putih yang tinggal - .

Jawapan:

Jumlah kebarangkalian

Kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan ().

Katakan terdapat bola merah dan hijau di dalam kotak. Apakah kebarangkalian untuk menarik bola merah? bola hijau? Bola merah atau hijau?

Kebarangkalian melukis bola merah

bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang anda lihat, jumlah semua peristiwa yang mungkin adalah sama dengan (). Memahami perkara ini akan membantu anda menyelesaikan banyak masalah.

Contoh 4.

Terdapat penanda dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Apakah kebarangkalian untuk melukis BUKAN penanda merah?

Penyelesaian:

Mari kita mengira nombor hasil yang menggalakkan.

BUKAN penanda merah, itu bermaksud hijau, biru, kuning atau hitam.

Kebarangkalian semua peristiwa. Dan kebarangkalian kejadian yang kami anggap tidak menguntungkan (apabila kami mengeluarkan penanda merah) ialah .

Oleh itu, kebarangkalian untuk menarik keluar sebatang pen BUKAN berwarna merah ialah .

Jawapan:

Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.

Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas

Anda sudah tahu apa itu acara bebas.

Bagaimana jika anda perlu mencari kebarangkalian bahawa dua (atau lebih) peristiwa bebas akan berlaku berturut-turut?

Katakan kita ingin tahu apakah kebarangkalian jika kita menyelak duit syiling sekali, kita akan melihat kepala dua kali?

Kami sudah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melemparkan syiling sekali? Apakah kebarangkalian untuk melihat helang dua kali berturut-turut?

Jumlah pilihan yang mungkin:

1. Helang-helang-helang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang anda, tetapi saya membuat kesilapan beberapa kali semasa menyusun senarai ini. Wah! Dan hanya pilihan (pertama) yang sesuai dengan kita.

Untuk 5 balingan, anda boleh membuat senarai kemungkinan hasil sendiri. Tetapi ahli matematik tidak serajin anda.

Oleh itu, mereka mula-mula menyedari dan kemudian membuktikan bahawa kebarangkalian urutan tertentu peristiwa bebas setiap kali berkurangan dengan kebarangkalian satu peristiwa.

Dalam kata lain,

Mari kita lihat contoh syiling malang yang sama.

Kebarangkalian mendapat cabaran? . Sekarang kita flip duit syiling sekali.

Apakah kebarangkalian mendapat kepala berturut-turut?

Peraturan ini bukan sahaja berfungsi jika kita diminta untuk mencari kebarangkalian bahawa peristiwa yang sama akan berlaku beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin mencari urutan TAILS-HEADS-TAILS untuk lambungan berturut-turut, kita akan melakukan perkara yang sama.

Kebarangkalian mendapat ekor ialah , kepala - .

Kebarangkalian mendapat jujukan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Anda boleh menyemaknya sendiri dengan membuat jadual.

Peraturan untuk menambah kebarangkalian peristiwa tidak serasi.

Jadi berhenti! Definisi baharu.

Mari kita fikirkan. Mari kita ambil syiling kita yang usang dan baling sekali.
Pilihan yang mungkin:

1. Helang-helang-helang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi, peristiwa yang tidak serasi adalah sesuatu yang tertentu, berdasarkan urutan peristiwa. - ini adalah peristiwa yang tidak serasi.

Jika kita ingin menentukan apakah kebarangkalian dua (atau lebih) peristiwa tidak serasi, maka kita menambah kebarangkalian peristiwa ini.

Anda perlu memahami bahawa kepala atau ekor adalah dua peristiwa bebas.

Jika kita ingin menentukan kebarangkalian urutan (atau mana-mana yang lain) berlaku, maka kita menggunakan peraturan kebarangkalian pendaraban.
Apakah kebarangkalian mendapat kepala pada lambungan pertama, dan ekor pada lambungan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin tahu apakah kebarangkalian mendapat salah satu daripada beberapa urutan, sebagai contoh, apabila kepala muncul tepat sekali, i.e. pilihan dan, kemudian kita mesti menambah kebarangkalian jujukan ini.

Jumlah pilihan sesuai dengan kami.

Kita boleh mendapatkan perkara yang sama dengan menjumlahkan kebarangkalian berlakunya setiap jujukan:

Oleh itu, kita menambah kebarangkalian apabila kita ingin menentukan kebarangkalian urutan peristiwa tertentu, tidak konsisten.

Terdapat peraturan yang bagus untuk membantu anda mengelak daripada keliru bila hendak mendarab dan bila hendak menambah:

Mari kita kembali kepada contoh di mana kita melemparkan syiling sekali dan ingin mengetahui kebarangkalian untuk melihat kepala sekali.
Apa yang akan berlaku?

Harus jatuh:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Ini adalah bagaimana ia ternyata:

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Terdapat pensel di dalam kotak. merah, hijau, oren dan kuning dan hitam. Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel merah atau hijau?

Penyelesaian:

Apa yang akan berlaku? Kita kena tarik (merah ATAU hijau).

Sekarang sudah jelas, mari kita tambahkan kebarangkalian peristiwa ini:

Jawapan:

Contoh 6.

Jika sebiji dadu dilempar dua kali, apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah 8?

Penyelesaian.

Bagaimana kita boleh mendapat mata?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Kebarangkalian mendapat satu (mana-mana) muka ialah .

Kami mengira kebarangkalian:

Jawapan:

Latihan.

Saya fikir sekarang anda faham bila anda perlu mengira kebarangkalian, bila untuk menambahnya, dan bila untuk mendarabkannya. bukan? Jom amalkan sikit.

Tugasan:

Mari ambil dek kad yang mengandungi kad termasuk penyodok, hati, 13 kelab dan 13 berlian. Dari kepada Ace setiap saman.

1. Apakah kebarangkalian untuk melukis kelab secara berturut-turut (kami meletakkan kad pertama yang ditarik keluar semula ke dalam dek dan mengocoknya)?
2. Apakah kebarangkalian untuk menarik kad hitam (skop atau kayu)?
3. Apakah kebarangkalian melukis gambar (jack, queen, king atau ace)?
4. Apakah kebarangkalian untuk melukis dua gambar berturut-turut (kami mengeluarkan kad pertama yang dikeluarkan dari dek)?
5. Apakah kebarangkalian, dengan mengambil dua kad, untuk mengumpul kombinasi - (jack, ratu atau raja) dan ace.

Jawapan:

1. Dalam dek kad setiap nilai, ini bermakna:
2. Acara bergantung, kerana selepas kad pertama ditarik keluar, bilangan kad dalam dek berkurangan (begitu juga bilangan "gambar"). Terdapat jumlah bicu, permaisuri, raja dan ace dalam dek pada mulanya, yang bermaksud kebarangkalian melukis "gambar" dengan kad pertama:

   Memandangkan kami mengeluarkan kad pertama dari dek, ini bermakna sudah ada kad yang tinggal di dek, termasuk gambar. Kebarangkalian melukis gambar dengan kad kedua:

   Oleh kerana kita berminat dengan situasi apabila kita mengeluarkan "gambar" DAN "gambar" dari dek, kita perlu mendarabkan kebarangkalian:

   Jawapan:

3. Selepas kad pertama ditarik keluar, bilangan kad dalam dek akan berkurangan Oleh itu, dua pilihan sesuai dengan kita:
   1) Kad pertama ialah Ace, yang kedua ialah Jack, Queen atau King
   2) Kami mengeluarkan bicu, ratu atau raja dengan kad pertama, dan ace dengan kad kedua. (ace dan (jack atau ratu atau raja)) atau ((jack atau ratu atau raja) dan ace). Jangan lupa tentang mengurangkan bilangan kad dalam dek!

Jika anda dapat menyelesaikan semua masalah sendiri, maka anda hebat! Sekarang anda akan memecahkan masalah teori kebarangkalian dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu seperti kacang!

TEORI KEBARANGKALIAN. TAHAP PURATA

Mari kita lihat contoh. Katakan kita baling dadu. Apakah jenis tulang ini, anda tahu? Inilah yang mereka panggil kubus dengan nombor di mukanya. Berapa banyak muka, begitu banyak nombor: dari kepada berapa banyak? Sebelum ini.

Jadi kita membaling dadu dan kita mahu ia muncul atau. Dan kami mendapatnya.

Dalam teori kebarangkalian mereka mengatakan apa yang berlaku acara bertuah(jangan dikelirukan dengan makmur).

Sekiranya ia berlaku, acara itu juga akan menguntungkan. Secara keseluruhan, hanya dua peristiwa yang menggembirakan boleh berlaku.

Berapa ramai yang tidak menguntungkan? Oleh kerana terdapat jumlah peristiwa yang mungkin, ini bermakna yang tidak menguntungkan adalah peristiwa (ini jika atau jatuh).

Definisi:

Kebarangkalian ialah nisbah bilangan peristiwa yang menguntungkan kepada bilangan semua peristiwa yang mungkin. Iaitu, kebarangkalian menunjukkan berapa bahagian semua peristiwa yang mungkin adalah menguntungkan.

Mereka menandakan kebarangkalian dengan huruf Latin (nampaknya daripada perkataan Inggeris kebarangkalian - kebarangkalian).

Adalah lazim untuk mengukur kebarangkalian sebagai peratusan (lihat topik,). Untuk melakukan ini, nilai kebarangkalian mesti didarabkan dengan. Dalam contoh dadu, kebarangkalian.

Dan dalam peratusan: .

Contoh (tentukan sendiri):

1. Apakah kebarangkalian mendapat kepala apabila melambung syiling? Apakah kebarangkalian kepala pendaratan?
2. Apakah kebarangkalian mendapat nombor genap semasa melontar dadu? Dan yang mana satu ganjil?
3. Dalam kotak pensel ringkas, biru dan merah. Kami melukis satu pensel secara rawak. Apakah kebarangkalian mendapat yang mudah?

Penyelesaian:

1. Berapa banyak pilihan yang ada? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa ramai daripada mereka yang menguntungkan? Hanya seekor burung helang. Jadi kebarangkalian

   Sama juga dengan ekor: .

2. Jumlah pilihan: (berapa banyak sisi kiub mempunyai, begitu banyak pilihan yang berbeza). Yang menguntungkan: (ini semua adalah nombor genap:).
   Kebarangkalian. Sudah tentu, ia sama dengan nombor ganjil.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kebarangkalian: .

Jumlah kebarangkalian

Semua pensel di dalam kotak berwarna hijau. Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel merah? Tiada peluang: kebarangkalian (lagipun, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa sedemikian dipanggil mustahil.

Apakah kebarangkalian untuk melukis pensel hijau? Terdapat bilangan acara yang menggembirakan yang sama dengan jumlah acara (semua acara adalah menguntungkan). Jadi kebarangkalian adalah sama dengan atau.

Peristiwa sedemikian dipanggil boleh dipercayai.

Jika sebuah kotak mengandungi pensel hijau dan merah, apakah kebarangkalian untuk melukis hijau atau merah? Sekali lagi. Mari kita ambil perhatian ini: kebarangkalian menarik keluar hijau adalah sama, dan merah adalah sama.

Kesimpulannya, kebarangkalian ini adalah sama. Itu dia, jumlah kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan atau.

Contoh:

Dalam kotak pensel, antaranya ialah biru, merah, hijau, biasa, kuning, dan selebihnya ialah oren. Apakah kebarangkalian untuk tidak melukis hijau?

Penyelesaian:

Kami ingat bahawa semua kebarangkalian bertambah. Dan kebarangkalian untuk mendapat hijau adalah sama. Ini bermakna kebarangkalian untuk tidak melukis hijau adalah sama.

Ingat helah ini: Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.

Peristiwa bebas dan peraturan pendaraban

Anda membelek duit syiling sekali dan mahu ia muncul dua kali. Apakah kemungkinan ini?

Mari kita lihat semua pilihan yang mungkin dan tentukan bilangannya:

Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Jumlah pilihan. Daripada jumlah ini, hanya satu yang sesuai untuk kita: Eagle-Eagle. Secara keseluruhan, kebarangkalian adalah sama.

baik. Sekarang mari kita membalikkan syiling sekali. Buat matematik sendiri. Terjadi? (jawapan).

Anda mungkin perasan bahawa dengan penambahan setiap balingan berikutnya, kebarangkalian berkurangan sebanyak separuh. Peraturan am dipanggil peraturan pendaraban:

Kebarangkalian peristiwa bebas berubah.

Apakah acara bebas? Semuanya logik: ini adalah yang tidak bergantung antara satu sama lain. Sebagai contoh, apabila kita membaling syiling beberapa kali, setiap kali lontaran baru dibuat, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lontaran sebelumnya. Kita boleh melemparkan dua syiling berbeza pada masa yang sama dengan mudah.

Lebih banyak contoh:

1. Dadu dilempar dua kali. Apakah kebarangkalian ia akan muncul kedua-dua kali?
2. Syiling dilambung sekali. Apakah kebarangkalian ia akan muncul pada kali pertama, dan kemudian ekor dua kali?
3. Pemain membaling dua dadu. Apakah kebarangkalian bahawa jumlah nombor padanya adalah sama?

Jawapan:

1. Peristiwa adalah bebas, yang bermaksud peraturan pendaraban berfungsi: .
2. Kebarangkalian kepala adalah sama. Kebarangkalian ekor adalah sama. gandakan:
3. 12 hanya boleh diperolehi jika dua -ki digulung: .

Peristiwa tidak serasi dan peraturan penambahan

Peristiwa yang melengkapi antara satu sama lain hingga ke tahap kebarangkalian penuh dipanggil tidak serasi. Seperti namanya, ia tidak boleh berlaku serentak. Sebagai contoh, jika kita membalikkan syiling, ia boleh timbul sama ada kepala atau ekor.

Contoh.

Dalam kotak pensel, antaranya ialah biru, merah, hijau, biasa, kuning, dan selebihnya adalah oren. Apakah kebarangkalian lukisan hijau atau merah?

Penyelesaian .

Kebarangkalian untuk melukis pensel hijau adalah sama. Merah - .

Acara yang menggembirakan semuanya: hijau + merah. Ini bermakna kebarangkalian untuk melukis hijau atau merah adalah sama.

Kebarangkalian yang sama boleh diwakili dalam bentuk ini: .

Ini adalah peraturan tambahan: kebarangkalian peristiwa tidak serasi bertambah.

Masalah jenis campuran

Contoh.

Syiling dilambung dua kali. Apakah kebarangkalian bahawa keputusan gulungan akan berbeza?

Penyelesaian .

Ini bermakna jika keputusan pertama adalah kepala, yang kedua mestilah ekor, dan sebaliknya. Ternyata terdapat dua pasangan acara bebas, dan pasangan ini tidak serasi antara satu sama lain. Bagaimana untuk tidak keliru tentang di mana untuk membiak dan di mana untuk menambah.

Terdapat peraturan mudah untuk situasi sedemikian. Cuba huraikan perkara yang akan berlaku menggunakan kata hubung “DAN” atau “ATAU”. Sebagai contoh, dalam kes ini:

Ia harus muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Di mana terdapat kata hubung "dan" akan ada pendaraban, dan di mana terdapat "atau" akan ada penambahan:

Cuba sendiri:

1. Apakah kebarangkalian jika sekeping syiling dilambung dua kali, syiling itu akan mendarat di sebelah yang sama kedua-dua kali?
2. Dadu dilempar dua kali. Apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah mata?

Penyelesaian:

1. (Kepala jatuh dan ekor jatuh) atau (ekor jatuh dan ekor jatuh): .
2. Apakah pilihan? Dan. Kemudian:
   Digugurkan (dan) atau (dan) atau (dan): .

Contoh yang lain:

Baling duit syiling sekali. Apakah kebarangkalian bahawa kepala akan muncul sekurang-kurangnya sekali?

Penyelesaian:

Oh, betapa saya tidak mahu melalui pilihan... Kepala-ekor-ekor, Helang-kepala-ekor,... Tetapi tidak perlu! Mari kita ingat tentang jumlah kebarangkalian. Adakah awak ingat? Apakah kebarangkalian bahawa helang itu tidak akan pernah gugur? Ia mudah: kepala terbang sepanjang masa, itulah sebabnya.

TEORI KEBARANGKALIAN. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Kebarangkalian ialah nisbah bilangan peristiwa yang menguntungkan kepada bilangan semua peristiwa yang mungkin.

Acara bebas

Dua peristiwa adalah bebas jika kejadian satu tidak mengubah kebarangkalian kejadian lain berlaku.

Jumlah kebarangkalian

Kebarangkalian semua kejadian yang mungkin adalah sama dengan ().

Kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku adalah sama dengan tolak kebarangkalian bahawa peristiwa itu akan berlaku.

Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas

Kebarangkalian bagi urutan peristiwa bebas tertentu adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian bagi setiap peristiwa

Peristiwa yang tidak serasi

Peristiwa tidak serasi ialah peristiwa yang tidak mungkin berlaku serentak akibat daripada eksperimen. Sebilangan peristiwa yang tidak serasi membentuk kumpulan acara yang lengkap.

Kebarangkalian peristiwa tidak serasi bertambah.

Setelah menerangkan perkara yang sepatutnya berlaku, menggunakan kata hubung "DAN" atau "ATAU", bukannya "DAN" kami meletakkan tanda darab, dan bukannya "ATAU" kami meletakkan tanda tambah.

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...

Untuk apa?

Kerana berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, kerana memasuki kolej dengan bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang telah mendapat pendidikan yang baik mendapat lebih banyak pendapatan daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.

Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 gosok.
2. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - 999 gosok.

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Dalam kes kedua kami akan memberi anda simulator "6000 masalah dengan penyelesaian dan jawapan, untuk setiap topik, pada semua peringkat kerumitan." Ia pasti akan mencukupi untuk menyelesaikan masalah pada mana-mana topik.

Malah, ini lebih daripada sekadar simulator - keseluruhan program latihan. Jika perlu, anda juga boleh menggunakannya secara PERCUMA.

Akses kepada semua teks dan program disediakan untuk KESELURUHAN tempoh kewujudan tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.

"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Dalam ekonomi, seperti dalam bidang lain aktiviti manusia atau dalam alam semula jadi, kita sentiasa perlu berurusan dengan peristiwa yang tidak dapat diramalkan dengan tepat. Oleh itu, jumlah jualan produk bergantung pada permintaan, yang boleh berbeza-beza dengan ketara, dan pada beberapa faktor lain yang hampir mustahil untuk diambil kira. Oleh itu, apabila mengatur pengeluaran dan menjalankan jualan, anda perlu meramalkan hasil aktiviti tersebut berdasarkan sama ada pengalaman terdahulu anda sendiri, atau pengalaman orang lain yang serupa, atau gerak hati, yang sebahagian besarnya juga bergantung pada data eksperimen.

Untuk menilai sesuatu acara yang dipersoalkan, perlu mengambil kira atau mengatur secara khusus keadaan di mana acara ini direkodkan.

Pelaksanaan syarat atau tindakan tertentu untuk mengenal pasti peristiwa berkenaan dipanggil pengalaman atau eksperimen.

Peristiwa itu dipanggil rawak, jika hasil daripada pengalaman ia mungkin atau mungkin tidak berlaku.

Peristiwa itu dipanggil boleh dipercayai, jika ia semestinya muncul sebagai hasil daripada pengalaman yang diberikan, dan mustahil, jika ia tidak boleh muncul dalam pengalaman ini.

Sebagai contoh, salji di Moscow pada 30 November adalah peristiwa rawak. Matahari terbit setiap hari boleh dianggap sebagai peristiwa yang boleh dipercayai. Salji di khatulistiwa boleh dianggap sebagai peristiwa yang mustahil.

Salah satu tugas utama dalam teori kebarangkalian ialah tugas menentukan ukuran kuantitatif kemungkinan sesuatu kejadian berlaku.

Algebra peristiwa

Peristiwa dipanggil tidak serasi jika ia tidak dapat diperhatikan bersama dalam pengalaman yang sama. Oleh itu, kehadiran dua dan tiga kereta dalam satu kedai untuk dijual pada masa yang sama adalah dua acara yang tidak serasi.

Jumlah peristiwa ialah peristiwa yang terdiri daripada berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa tersebut

Contoh jumlah peristiwa ialah kehadiran sekurang-kurangnya satu daripada dua produk di kedai.

Kerja peristiwa adalah peristiwa yang terdiri daripada kejadian serentak semua peristiwa ini

Acara yang terdiri daripada kemunculan dua barangan di kedai pada masa yang sama ialah produk daripada peristiwa: - kemunculan satu produk, - kemunculan produk lain.

Peristiwa membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap jika sekurang-kurangnya satu daripadanya pasti berlaku dalam pengalaman.

Contoh. Pelabuhan ini mempunyai dua dermaga untuk menerima kapal. Tiga peristiwa boleh dipertimbangkan: - ketiadaan kapal di dermaga, - kehadiran satu kapal di salah satu dermaga, - kehadiran dua kapal di dua dermaga. Ketiga-tiga peristiwa ini membentuk kumpulan acara yang lengkap.

bertentangan dua peristiwa unik yang mungkin membentuk kumpulan lengkap dipanggil.

Jika salah satu peristiwa yang berlawanan dilambangkan dengan , maka peristiwa yang berlawanan biasanya dilambangkan dengan .

Takrifan klasik dan statistik kebarangkalian peristiwa

Setiap keputusan ujian (eksperimen) yang sama mungkin dipanggil hasil asas. Mereka biasanya ditetapkan dengan surat. Contohnya, dadu dilempar. Terdapat sejumlah enam hasil asas berdasarkan bilangan mata di sisi.

Daripada hasil asas anda boleh mencipta acara yang lebih kompleks. Oleh itu, peristiwa bilangan mata genap ditentukan oleh tiga keputusan: 2, 4, 6.

Ukuran kuantitatif kemungkinan berlakunya peristiwa yang dimaksudkan ialah kebarangkalian.

Takrifan kebarangkalian sesuatu peristiwa yang paling banyak digunakan ialah: klasik Dan statistik.

Takrifan klasik kebarangkalian dikaitkan dengan konsep hasil yang menguntungkan.

Hasilnya dipanggil menguntungkan kepada peristiwa tertentu jika kejadiannya melibatkan kejadian peristiwa ini.

Dalam contoh di atas, peristiwa yang dipersoalkan—bilangan mata genap pada bahagian yang digulung—mempunyai tiga hasil yang menggalakkan. Dalam kes ini, jeneral
bilangan hasil yang mungkin. Ini bermakna definisi klasik bagi kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh digunakan di sini.

Definisi klasik sama dengan nisbah bilangan hasil yang menggalakkan kepada jumlah bilangan hasil yang mungkin

di mana kebarangkalian kejadian, ialah bilangan hasil yang menguntungkan acara itu, ialah jumlah bilangan hasil yang mungkin.

Dalam contoh yang dipertimbangkan

Takrif statistik kebarangkalian dikaitkan dengan konsep kekerapan relatif kejadian sesuatu peristiwa dalam eksperimen.

Kekerapan relatif kejadian sesuatu peristiwa dikira menggunakan formula

di manakah bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam satu siri eksperimen (ujian).

Definisi statistik. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nombor di sekeliling frekuensi relatif stabil (ditetapkan) dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan eksperimen.

Dalam masalah praktikal, kebarangkalian sesuatu peristiwa dianggap sebagai kekerapan relatif untuk bilangan percubaan yang cukup besar.

Daripada takrifan kebarangkalian sesuatu kejadian ini jelas menunjukkan bahawa ketidaksamaan sentiasa berpuas hati

Untuk menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa berdasarkan formula (1.1), formula kombinatorik sering digunakan, yang digunakan untuk mencari bilangan hasil yang menggalakkan dan jumlah bilangan hasil yang mungkin.

Pada mulanya, hanya sebagai koleksi maklumat dan pemerhatian empirikal tentang permainan dadu, teori kebarangkalian menjadi sains yang menyeluruh. Yang pertama memberikannya rangka kerja matematik ialah Fermat dan Pascal.

Dari memikirkan tentang yang kekal kepada teori kebarangkalian

Kedua-dua individu yang teori kebarangkalian berhutang banyak formula asasnya, Blaise Pascal dan Thomas Bayes, dikenali sebagai orang yang sangat beragama, yang kedua ialah seorang menteri Presbyterian. Nampaknya, keinginan kedua-dua saintis ini untuk membuktikan kekeliruan pendapat tentang Fortune tertentu yang memberikan tuah kepada kegemarannya memberi dorongan kepada penyelidikan dalam bidang ini. Lagipun, sebenarnya, apa-apa permainan perjudian dengan kemenangan dan kekalahannya hanyalah simfoni prinsip matematik.

Terima kasih kepada keghairahan Chevalier de Mere, yang sama-sama seorang penjudi dan seorang yang tidak peduli dengan sains, Pascal terpaksa mencari cara untuk mengira kebarangkalian. De Mere berminat dengan soalan berikut: "Berapa kali anda perlu membaling dua dadu secara berpasangan supaya kebarangkalian mendapat 12 mata melebihi 50%?" Soalan kedua, yang sangat menarik minat lelaki itu: "Bagaimana untuk membahagikan pertaruhan antara peserta dalam permainan yang belum selesai?" Sudah tentu, Pascal berjaya menjawab kedua-dua soalan de Mere, yang menjadi pemula tanpa disedari perkembangan teori kebarangkalian. Adalah menarik bahawa orang de Mere kekal dikenali di kawasan ini, dan bukan dalam kesusasteraan.

Sebelum ini, tiada ahli matematik pernah cuba mengira kebarangkalian kejadian, kerana dipercayai bahawa ini hanyalah penyelesaian meneka. Blaise Pascal memberikan definisi pertama tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa dan menunjukkan bahawa ia adalah angka tertentu yang boleh dibenarkan secara matematik. Teori kebarangkalian telah menjadi asas kepada statistik dan digunakan secara meluas dalam sains moden.

Apa itu rawak

Jika kita menganggap ujian yang boleh diulang bilangan kali yang tidak terhingga, maka kita boleh menentukan peristiwa rawak. Ini adalah salah satu kemungkinan hasil percubaan.

Pengalaman ialah pelaksanaan tindakan tertentu di bawah keadaan yang berterusan.

Untuk dapat bekerja dengan hasil eksperimen, acara biasanya ditetapkan oleh huruf A, B, C, D, E...

Kebarangkalian kejadian rawak

Untuk memulakan bahagian matematik kebarangkalian, adalah perlu untuk menentukan semua komponennya.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah ukuran berangka kemungkinan sesuatu peristiwa (A atau B) berlaku akibat daripada pengalaman. Kebarangkalian dilambangkan sebagai P(A) atau P(B).

Dalam teori kebarangkalian mereka membezakan:

• boleh dipercayai peristiwa itu dijamin berlaku hasil daripada pengalaman P(Ω) = 1;
• mustahil peristiwa itu tidak boleh berlaku P(Ø) = 0;
• rawak sesuatu peristiwa terletak di antara dipercayai dan mustahil, iaitu, kebarangkalian kejadiannya adalah mungkin, tetapi tidak dijamin (kebarangkalian kejadian rawak sentiasa dalam julat 0≤Р(А)≤ 1).

Hubungan antara peristiwa

Kedua-dua satu dan jumlah peristiwa A+B dipertimbangkan, apabila peristiwa itu dikira apabila sekurang-kurangnya satu daripada komponen, A atau B, atau kedua-duanya, A dan B, dipenuhi.

Berkaitan antara satu sama lain, acara boleh:

• Sama-sama boleh.
• serasi.
• Tidak serasi.
• Bertentangan (saling eksklusif).
• Tanggungan.

Jika dua peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama, maka ia sama mungkin.

Jika berlakunya peristiwa A tidak mengurangkan kepada sifar kebarangkalian kejadian B, maka mereka serasi.

Jika peristiwa A dan B tidak pernah berlaku serentak dalam pengalaman yang sama, maka ia dipanggil tidak serasi. Melambung syiling ialah contoh yang baik: rupa kepala secara automatik adalah bukan rupa kepala.

Kebarangkalian untuk jumlah peristiwa tidak serasi tersebut terdiri daripada jumlah kebarangkalian setiap peristiwa:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jika berlakunya satu kejadian menjadikan kejadian yang lain mustahil, maka ia dipanggil sebaliknya. Kemudian salah satu daripada mereka ditetapkan sebagai A, dan yang lain - Ā (dibaca sebagai “bukan A”). Berlakunya peristiwa A bermakna Ā tidak berlaku. Kedua-dua peristiwa ini membentuk kumpulan lengkap dengan jumlah kebarangkalian sama dengan 1.

Peristiwa bergantung mempunyai pengaruh bersama, mengurangkan atau meningkatkan kebarangkalian antara satu sama lain.

Hubungan antara peristiwa. Contoh

Menggunakan contoh adalah lebih mudah untuk memahami prinsip teori kebarangkalian dan gabungan peristiwa.

Eksperimen yang akan dijalankan terdiri daripada mengeluarkan bola dari kotak, dan keputusan setiap eksperimen adalah hasil asas.

Peristiwa ialah salah satu kemungkinan hasil eksperimen - bola merah, bola biru, bola dengan nombor enam, dsb.

Ujian No 1. Terdapat 6 bola yang terlibat, tiga daripadanya berwarna biru dengan nombor ganjil padanya, dan tiga lagi berwarna merah dengan nombor genap.

Ujian No. 2. Terdapat 6 bola biru dengan nombor dari satu hingga enam.

Berdasarkan contoh ini, kita boleh menamakan kombinasi:

• Acara yang boleh dipercayai. Dalam bahasa Sepanyol No. 2 acara "dapatkan bola biru" boleh dipercayai, kerana kebarangkalian kejadiannya adalah sama dengan 1, kerana semua bola berwarna biru dan tidak boleh terlepas. Manakala acara "dapat bola dengan nombor 1" adalah rawak.
• Peristiwa yang mustahil. Dalam bahasa Sepanyol No. 1 dengan bola biru dan merah, acara "mendapatkan bola ungu" adalah mustahil, kerana kebarangkalian kejadiannya ialah 0.
• Peristiwa yang sama mungkin. Dalam bahasa Sepanyol No. 1, acara "dapatkan bola dengan nombor 2" dan "dapatkan bola dengan nombor 3" adalah sama mungkin, dan acara "dapatkan bola dengan nombor genap" dan "dapatkan bola dengan nombor 2 ” mempunyai kebarangkalian yang berbeza.
• Acara Serasi. Mendapat enam dua kali berturut-turut semasa melontar dadu adalah acara yang serasi.
• Peristiwa yang tidak serasi. Dalam bahasa Sepanyol yang sama No. 1, acara "dapat bola merah" dan "dapat bola dengan nombor ganjil" tidak boleh digabungkan dalam pengalaman yang sama.
• Peristiwa bertentangan. Contoh yang paling menarik ialah melambung syiling, di mana kepala lukisan adalah bersamaan dengan tidak melukis ekor, dan jumlah kebarangkalian mereka sentiasa 1 (kumpulan penuh).
• Peristiwa Bergantung. Jadi, dalam bahasa Sepanyol No 1, anda boleh menetapkan matlamat untuk menarik bola merah dua kali berturut-turut. Sama ada ia diambil pada kali pertama atau tidak menjejaskan kemungkinan untuk diambil kali kedua.

Dapat dilihat bahawa peristiwa pertama secara signifikan mempengaruhi kebarangkalian yang kedua (40% dan 60%).

Formula kebarangkalian peristiwa

Peralihan daripada ramalan nasib kepada data yang tepat berlaku melalui terjemahan topik ke dalam satah matematik. Iaitu, pertimbangan tentang peristiwa rawak seperti "kebarangkalian tinggi" atau "kebarangkalian minimum" boleh diterjemahkan ke dalam data berangka tertentu. Ia sudah dibenarkan untuk menilai, membandingkan dan memasukkan bahan tersebut ke dalam pengiraan yang lebih kompleks.

Dari sudut pengiraan, menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil positif asas kepada bilangan semua kemungkinan hasil pengalaman berkenaan peristiwa tertentu. Kebarangkalian dilambangkan dengan P(A), di mana P bermaksud perkataan "kebarangkalian", yang diterjemahkan daripada bahasa Perancis sebagai "kebarangkalian".

Jadi, formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah:

Di mana m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk peristiwa A, n ialah jumlah semua hasil yang mungkin untuk pengalaman ini. Dalam kes ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa sentiasa terletak di antara 0 dan 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Pengiraan kebarangkalian sesuatu peristiwa. Contoh

Mari ambil bahasa Sepanyol. No 1 dengan bola, yang diterangkan sebelum ini: 3 bola biru dengan nombor 1/3/5 dan 3 bola merah dengan nombor 2/4/6.

Berdasarkan ujian ini, beberapa masalah yang berbeza boleh dipertimbangkan:

• A - bola merah jatuh. Terdapat 3 bola merah, dan terdapat 6 pilihan kesemuanya Ini adalah contoh paling mudah di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah P(A)=3/6=0.5.
• B - menggolek nombor genap. Terdapat 3 nombor genap (2,4,6), dan jumlah bilangan pilihan berangka yang mungkin ialah 6. Kebarangkalian kejadian ini ialah P(B)=3/6=0.5.
• C - kejadian nombor lebih besar daripada 2. Terdapat 4 pilihan tersebut (3,4,5,6) daripada jumlah kemungkinan hasil 6. Kebarangkalian peristiwa C adalah sama dengan P(C)=4 /6=0.67.

Seperti yang dapat dilihat daripada pengiraan, peristiwa C mempunyai kebarangkalian yang lebih tinggi, kerana bilangan hasil positif yang berkemungkinan lebih tinggi daripada di A dan B.

Peristiwa yang tidak serasi

Peristiwa sedemikian tidak boleh muncul serentak dalam pengalaman yang sama. Seperti dalam bahasa Sepanyol No 1 adalah mustahil untuk mendapatkan bola biru dan merah pada masa yang sama. Iaitu, anda boleh mendapatkan sama ada bola biru atau merah. Dengan cara yang sama, nombor genap dan nombor ganjil tidak boleh muncul dalam dadu pada masa yang sama.

Kebarangkalian dua peristiwa dianggap sebagai kebarangkalian jumlah atau hasil duanya. Jumlah peristiwa A+B sedemikian dianggap sebagai peristiwa yang terdiri daripada kejadian A atau B, dan hasil darabnya AB ialah kejadian kedua-duanya. Sebagai contoh, penampilan dua enam serentak pada muka dua dadu dalam satu lontaran.

Jumlah beberapa peristiwa ialah peristiwa yang mengandaikan berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya. Penghasilan beberapa acara adalah kejadian bersama kesemuanya.

Dalam teori kebarangkalian, sebagai peraturan, penggunaan kata hubung "dan" menandakan jumlah, dan kata hubung "atau" - pendaraban. Formula dengan contoh akan membantu anda memahami logik penambahan dan pendaraban dalam teori kebarangkalian.

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi

Jika kebarangkalian kejadian tidak serasi dipertimbangkan, maka kebarangkalian jumlah peristiwa adalah sama dengan penambahan kebarangkalian mereka:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Sebagai contoh: mari kita hitung kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol. No. 1 dengan bola biru dan merah, nombor antara 1 dan 4 akan muncul Kami tidak akan mengira dalam satu tindakan, tetapi dengan jumlah kebarangkalian komponen asas. Jadi, dalam eksperimen sedemikian hanya terdapat 6 bola atau 6 daripada semua hasil yang mungkin. Nombor yang memenuhi syarat ialah 2 dan 3. Kebarangkalian mendapat nombor 2 ialah 1/6, kebarangkalian mendapat nombor 3 juga ialah 1/6. Kebarangkalian mendapat nombor antara 1 dan 4 ialah:

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi bagi kumpulan lengkap ialah 1.

Jadi, jika dalam eksperimen dengan kubus kita menjumlahkan kebarangkalian semua nombor yang muncul, hasilnya akan menjadi satu.

Ini juga berlaku untuk peristiwa berlawanan, contohnya dalam eksperimen dengan syiling, di mana satu sisi adalah peristiwa A, dan satu lagi adalah peristiwa bertentangan Ā, seperti yang diketahui,

P(A) + P(Ā) = 1

Kebarangkalian kejadian tidak serasi berlaku

Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila mempertimbangkan berlakunya dua atau lebih peristiwa yang tidak serasi dalam satu pemerhatian. Kebarangkalian peristiwa A dan B akan muncul di dalamnya secara serentak adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya, atau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol No 1, hasil daripada dua percubaan, bola biru akan muncul dua kali, sama dengan

Iaitu, kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku apabila, hasil daripada dua percubaan untuk mengeluarkan bola, hanya bola biru yang diekstrak ialah 25%. Sangat mudah untuk melakukan eksperimen praktikal mengenai masalah ini dan melihat sama ada ini sebenarnya berlaku.

Acara bersama

Peristiwa dianggap bersama apabila kejadian salah satu daripadanya boleh bertepatan dengan kejadian yang lain. Walaupun fakta bahawa ia adalah bersama, kebarangkalian peristiwa bebas dipertimbangkan. Sebagai contoh, membaling dua dadu boleh memberikan keputusan apabila nombor 6 muncul pada kedua-duanya Walaupun peristiwa itu bertepatan dan muncul pada masa yang sama, mereka bebas antara satu sama lain - hanya satu enam boleh jatuh, dadu kedua tidak mempunyai. pengaruh ke atasnya.

Kebarangkalian kejadian bersama dianggap sebagai kebarangkalian jumlahnya.

Kebarangkalian jumlah peristiwa bersama. Contoh

Kebarangkalian jumlah peristiwa A dan B, yang bercantum antara satu sama lain, adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa itu tolak kebarangkalian kejadiannya (iaitu kejadian bersamanya):

R sendi (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Mari kita andaikan bahawa kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan satu pukulan ialah 0.4. Kemudian acara A mencapai sasaran pada percubaan pertama, B - pada percubaan kedua. Peristiwa ini adalah bersama, kerana ada kemungkinan anda boleh mencapai sasaran dengan kedua-dua pukulan pertama dan kedua. Tetapi peristiwa tidak bergantung. Apakah kebarangkalian kejadian mengenai sasaran dengan dua pukulan (sekurang-kurangnya dengan satu)? Mengikut formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jawapan kepada soalan itu ialah: "Kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan dua pukulan ialah 64%."

Formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ini juga boleh digunakan untuk peristiwa tidak serasi, di mana kebarangkalian kejadian bersama peristiwa P(AB) = 0. Ini bermakna kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi boleh dianggap sebagai kes khas daripada formula yang dicadangkan.

Geometri kebarangkalian untuk kejelasan

Menariknya, kebarangkalian jumlah peristiwa bersama boleh diwakili sebagai dua kawasan A dan B, yang bersilang antara satu sama lain. Seperti yang dapat dilihat dari gambar, luas kesatuan mereka adalah sama dengan jumlah kawasan tolak luas persimpangan mereka. Penjelasan geometri ini menjadikan formula yang kelihatan tidak logik lebih mudah difahami. Ambil perhatian bahawa penyelesaian geometri adalah perkara biasa dalam teori kebarangkalian.

Menentukan kebarangkalian jumlah banyak (lebih daripada dua) peristiwa bersama adalah agak rumit. Untuk mengiranya, anda perlu menggunakan formula yang disediakan untuk kes ini.

Peristiwa Bergantung

Peristiwa dipanggil bersandar jika kejadian satu (A) daripadanya mempengaruhi kebarangkalian kejadian yang lain (B). Selain itu, pengaruh kedua-dua kejadian A dan tidak berlakunya diambil kira. Walaupun peristiwa dipanggil bergantung mengikut definisi, hanya satu daripadanya adalah bergantung (B). Kebarangkalian biasa dilambangkan sebagai P(B) atau kebarangkalian peristiwa bebas. Dalam kes peristiwa bergantung, konsep baru diperkenalkan - kebarangkalian bersyarat P A (B), iaitu kebarangkalian peristiwa bergantung B, tertakluk kepada kejadian A (hipotesis), di mana ia bergantung.

Tetapi peristiwa A juga rawak, jadi ia juga mempunyai kebarangkalian yang perlu dan boleh diambil kira dalam pengiraan yang dilakukan. Contoh berikut akan menunjukkan cara bekerja dengan peristiwa bergantung dan hipotesis.

Contoh pengiraan kebarangkalian peristiwa bersandar

Contoh yang baik untuk mengira acara bergantung ialah dek kad standard.

Menggunakan dek 36 kad sebagai contoh, mari kita lihat peristiwa bergantung. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa kad kedua yang dikeluarkan dari dek adalah berlian jika kad pertama yang dikeluarkan ialah:

1. Bubnovaya.
2. Warna yang berbeza.

Jelas sekali, kebarangkalian peristiwa kedua B bergantung pada A pertama. Jadi, jika pilihan pertama adalah benar, terdapat 1 kad (35) dan 1 berlian (8) kurang dalam dek, kebarangkalian peristiwa B:

R A (B) =8/35=0.23

Jika pilihan kedua adalah benar, maka dek mempunyai 35 kad, dan bilangan penuh berlian (9) masih dikekalkan, maka kebarangkalian peristiwa B berikut:

R A (B) =9/35=0.26.

Ia boleh dilihat bahawa jika peristiwa A dikondisikan pada fakta bahawa kad pertama adalah berlian, maka kebarangkalian peristiwa B berkurangan, dan sebaliknya.

Mendarabkan peristiwa bergantung

Berpandukan bab sebelumnya, kami menerima peristiwa pertama (A) sebagai fakta, tetapi pada dasarnya, ia adalah secara rawak. Kebarangkalian kejadian ini, iaitu melukis berlian dari dek kad, adalah sama dengan:

P(A) = 9/36=1/4

Oleh kerana teori itu tidak wujud dengan sendirinya, tetapi bertujuan untuk digunakan untuk tujuan praktikal, adalah wajar untuk diperhatikan bahawa perkara yang paling kerap diperlukan ialah kebarangkalian menghasilkan peristiwa bergantung.

Mengikut teorem pada hasil darab kebarangkalian peristiwa bersandar, kebarangkalian kejadian peristiwa bergantung bersama A dan B adalah sama dengan kebarangkalian satu peristiwa A, didarab dengan kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B (bergantung kepada A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Kemudian, dalam contoh dek, kebarangkalian untuk melukis dua kad dengan sut berlian ialah:

9/36*8/35=0.0571, atau 5.7%

Dan kebarangkalian untuk mengekstrak bukan berlian dahulu, dan kemudian berlian, adalah sama dengan:

27/36*9/35=0.19, atau 19%

Ia boleh dilihat bahawa kebarangkalian kejadian B berlaku adalah lebih besar dengan syarat kad pertama yang dikeluarkan adalah daripada sut selain berlian. Keputusan ini agak logik dan boleh difahami.

Jumlah kebarangkalian sesuatu peristiwa

Apabila masalah dengan kebarangkalian bersyarat menjadi pelbagai rupa, ia tidak boleh dikira menggunakan kaedah konvensional. Apabila terdapat lebih daripada dua hipotesis, iaitu A1, A2,…, A n, ..membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang disediakan:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Jadi, formula untuk jumlah kebarangkalian untuk peristiwa B dengan kumpulan lengkap peristiwa rawak A1, A2,..., A n adalah sama dengan:

Pandangan ke masa depan

Kebarangkalian kejadian rawak amat diperlukan dalam banyak bidang sains: ekonometrik, statistik, fizik, dsb. Memandangkan sesetengah proses tidak dapat diterangkan secara deterministik, kerana ia sendiri bersifat probabilistik, kaedah kerja khas diperlukan. Teori kebarangkalian peristiwa boleh digunakan dalam mana-mana bidang teknologi sebagai cara untuk menentukan kemungkinan ralat atau pincang tugas.

Kita boleh mengatakan bahawa dengan mengenali kebarangkalian, kita dalam beberapa cara mengambil langkah teoritis ke masa depan, melihatnya melalui prisma formula.

Dalam blog saya, terjemahan kuliah seterusnya kursus "Principles of Game Balance" oleh pereka permainan Jan Schreiber, yang bekerja pada projek seperti Marvel Trading Card Game dan Playboy: the Mansion.

Sehingga kini, hampir semua yang kami bincangkan adalah bersifat deterministik, dan minggu lepas kami melihat dengan lebih dekat mekanik transitif, dengan terperinci seperti yang saya boleh jelaskan. Tetapi sehingga kini kami tidak memberi perhatian kepada satu lagi aspek dalam banyak permainan, iaitu aspek bukan penentu - dengan kata lain, rawak.

Memahami sifat rawak adalah sangat penting untuk pereka permainan. Kami mencipta sistem yang mempengaruhi pengalaman pengguna dalam permainan tertentu, jadi kami perlu mengetahui cara sistem tersebut berfungsi. Sekiranya terdapat rawak dalam sistem, kita perlu memahami sifat rawak ini dan mengetahui cara mengubahnya untuk mendapatkan hasil yang kita perlukan.

Dadu

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah - membaling dadu. Apabila kebanyakan orang berfikir tentang dadu, mereka memikirkan dadu bermuka enam yang dikenali sebagai d6. Tetapi kebanyakan pemain telah melihat banyak dadu lain: tetrahedral (d4), oktagon (d8), dua belas sisi (d12), dua puluh sisi (d20). Jika anda seorang geek sebenar, anda mungkin mempunyai dadu 30 belah atau 100 belah di suatu tempat.

Jika anda tidak biasa dengan istilah tersebut, d bermaksud die, dan nombor selepasnya ialah bilangan sisi yang ada padanya. Jika nombor muncul sebelum d, maka ia menunjukkan bilangan dadu yang hendak dilempar. Sebagai contoh, dalam permainan Monopoli anda melancarkan 2d6.

Jadi, dalam kes ini, frasa "dadu" adalah simbol. Terdapat sejumlah besar penjana nombor rawak lain yang tidak kelihatan seperti angka plastik, tetapi melaksanakan fungsi yang sama - menjana nombor rawak dari 1 hingga n. Syiling biasa juga boleh diwakili sebagai dadu dihedral d2.

Saya melihat dua reka bentuk dadu tujuh belah: satu daripadanya kelihatan seperti dadu, dan satu lagi kelihatan lebih seperti pensel kayu tujuh segi. Tetrahedral dreidel, juga dikenali sebagai titotum, adalah serupa dengan tulang tetrahedral. Papan anak panah berputar dalam Chutes & Ladders, di mana skor boleh berkisar antara 1 hingga 6, sepadan dengan dadu enam belah.

Penjana nombor rawak komputer boleh mencipta sebarang nombor dari 1 hingga 19 jika pereka bentuk menentukannya, walaupun komputer itu tidak mempunyai die 19 sisi (secara umum, saya akan bercakap lebih lanjut tentang kebarangkalian nombor yang muncul pada komputer minggu depan). Semua item ini kelihatan berbeza, tetapi sebenarnya ia adalah setara: anda mempunyai peluang yang sama untuk setiap beberapa kemungkinan hasil.

Dadu mempunyai beberapa sifat menarik yang perlu kita ketahui. Pertama, kebarangkalian untuk mendarat pada kedua-dua muka adalah sama (saya mengandaikan anda sedang melancarkan die berbentuk biasa). Jika anda ingin mengetahui nilai purata gulungan (bagi mereka yang menggunakan teori kebarangkalian, ini dikenali sebagai nilai jangkaan), tambah nilai pada semua tepi dan bahagikan nombor itu dengan bilangan tepi.

Jumlah nilai semua sisi bagi dadu bermuka enam piawai ialah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Bahagikan 21 dengan bilangan sisi dan dapatkan nilai purata gulungan: 21 / 6 = 3.5. Ini adalah kes istimewa kerana kami menganggap bahawa semua hasil berkemungkinan sama.

Bagaimana jika anda mempunyai dadu istimewa? Sebagai contoh, saya melihat permainan dadu enam belah dengan pelekat khas pada sisi: 1, 1, 1, 2, 2, 3, jadi ia berkelakuan seperti dadu tiga segi pelik yang lebih cenderung untuk melancarkan 1 daripada 2. dan lebih berkemungkinan untuk melancarkan 2 daripada 3. Berapakah purata guling bagi dadu ini? Jadi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, dibahagikan dengan 6 - ternyata 5 / 3, atau kira-kira 1.66. Jadi, jika anda mempunyai dadu khas dan pemain membaling tiga dadu dan kemudian menjumlahkan keputusan - anda tahu bahawa balingan mereka akan ditambah sehingga kira-kira 5, dan anda boleh mengimbangi permainan berdasarkan andaian itu.

Dadu dan Kemerdekaan

Seperti yang telah saya katakan, kita meneruskan dari andaian bahawa setiap pihak berkemungkinan sama untuk gugur. Tidak kira berapa banyak dadu yang anda gulung. Setiap lemparan dadu adalah bebas, bermakna lemparan sebelumnya tidak menjejaskan keputusan lemparan berikutnya. Memandangkan percubaan yang mencukupi, anda pasti akan melihat corak nombor - contohnya, bergolek kebanyakannya nilai yang lebih tinggi atau lebih rendah - atau ciri lain, tetapi itu tidak bermakna dadu adalah "panas" atau "sejuk". Kita akan bercakap tentang ini kemudian.

Jika anda melancarkan mata dadu enam segi standard dan nombor 6 muncul dua kali berturut-turut, kebarangkalian balingan seterusnya akan menghasilkan 6 adalah tepat 1/6 Kebarangkalian tidak meningkat kerana dadu telah "dipanaskan". . Pada masa yang sama, kebarangkalian tidak berkurangan: adalah tidak betul untuk membuat alasan bahawa nombor 6 telah muncul dua kali berturut-turut, yang bermaksud bahawa kini pihak lain harus muncul.

Sudah tentu, jika anda melancarkan mata dadu sebanyak dua puluh kali dan mendapat 6 setiap kali, peluang untuk kali kedua puluh satu anda melancarkan mata dadu 6 adalah agak tinggi: mungkin anda hanya mendapat mata yang salah. Tetapi jika dadu adalah adil, setiap pihak mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat, tanpa mengira keputusan gulungan yang lain. Anda juga boleh membayangkan bahawa kami menggantikan dadu setiap kali: jika nombor 6 digulung dua kali berturut-turut, keluarkan dadu "panas" daripada permainan dan gantikannya dengan yang baharu. Saya minta maaf jika ada di antara anda yang sudah mengetahui tentang perkara ini, tetapi saya perlu menjelaskan perkara ini sebelum meneruskan.

Bagaimana untuk membuat dadu bergolek lebih kurang rawak

Mari kita bercakap tentang bagaimana untuk mendapatkan keputusan yang berbeza pada dadu yang berbeza. Sama ada anda membaling dadu sekali atau beberapa kali sahaja, permainan akan berasa lebih rawak apabila dadu mempunyai lebih banyak sisi. Lebih kerap anda perlu membaling dadu, dan lebih banyak dadu yang anda lempar, lebih banyak keputusan menghampiri purata.

Sebagai contoh, dalam kes 1d6 + 4 (iaitu, jika anda melancarkan dadu enam sisi standard sekali dan menambah 4 pada hasilnya), purata ialah nombor antara 5 dan 10. Jika anda melancarkan 5d2, purata juga akan menjadi nombor antara 5 dan 10. Keputusan rolling 5d2 terutamanya akan menjadi nombor 7 dan 8, kurang kerap nilai lain. Siri yang sama, walaupun nilai purata yang sama (7.5 dalam kedua-dua kes), tetapi sifat rawak adalah berbeza.

Tunggu sekejap. Bukankah saya hanya mengatakan bahawa dadu tidak "panas" atau "sejuk"? Sekarang saya katakan: jika anda membaling banyak dadu, keputusan gulungan akan mendekati purata. kenapa?

Biar saya jelaskan. Jika anda melancarkan satu dadu, setiap sisi mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat. Ini bermakna jika anda membaling banyak dadu dari semasa ke semasa, setiap bahagian akan muncul kira-kira bilangan kali yang sama. Lebih banyak dadu yang anda gulung, lebih banyak hasil keseluruhan akan menghampiri purata.

Ini bukan kerana nombor yang dilukis itu "memaksa" nombor lain untuk dilukis yang masih belum dilukis. Tetapi kerana siri kecil melancarkan nombor 6 (atau 20, atau nombor lain) pada akhirnya tidak akan menjejaskan keputusan begitu banyak jika anda membaling dadu sepuluh ribu kali lagi dan kebanyakannya nombor purata akan muncul. Kini anda akan mendapat beberapa nombor besar, dan kemudian beberapa nombor kecil - dan lama-kelamaan ia akan menjadi lebih hampir kepada purata.

Ini tidak berlaku kerana gulungan sebelumnya menjejaskan dadu (serius, dadu diperbuat daripada plastik, ia tidak mempunyai otak untuk berfikir, "Oh, sudah lama anda tidak membaling 2"), tetapi kerana ini apa yang biasanya berlaku dengan banyak gulung dadu

Oleh itu, agak mudah untuk melakukan pengiraan untuk satu gulung rawak dadu - sekurang-kurangnya untuk mengira nilai purata bagi gulungan itu. Terdapat juga cara untuk mengira "berapa rawak" sesuatu dan mengatakan bahawa keputusan penggelek 1d6+4 akan menjadi "lebih rawak" daripada 5d2. Untuk 5d2, gulung akan lebih sekata. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira sisihan piawai: semakin besar nilainya, semakin rawak hasilnya. Saya tidak ingin memberikan banyak pengiraan hari ini;

Satu-satunya perkara yang saya akan minta anda ingat ialah, sebagai peraturan umum, semakin sedikit dadu yang anda lemparkan, semakin besar kerawakannya. Dan lebih banyak sisi dadu, lebih besar rawak, kerana terdapat lebih banyak pilihan nilai yang mungkin.

Cara Mengira Kebarangkalian Menggunakan Pengiraan

Anda mungkin tertanya-tanya: bagaimana kita boleh mengira kebarangkalian tepat untuk mendapatkan hasil tertentu? Malah, ini agak penting untuk banyak permainan: jika anda mula-mula membaling dadu - kemungkinan besar terdapat beberapa jenis hasil yang optimum. Jawapan saya ialah: kita perlu mengira dua nilai. Pertama, jumlah bilangan hasil semasa melontar dadu, dan kedua, bilangan hasil yang menggalakkan. Membahagikan nilai kedua dengan yang pertama akan memberi anda kebarangkalian yang diingini. Untuk mendapatkan peratusan, darabkan hasilnya dengan 100.

Contoh

Berikut adalah contoh yang sangat mudah. Anda mahu nombor 4 atau lebih tinggi melancarkan dadu enam segi sekali. Bilangan maksimum hasil ialah 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Daripada jumlah ini, 3 hasil (4, 5, 6) adalah baik. Ini bermakna untuk mengira kebarangkalian, kita bahagikan 3 dengan 6 dan mendapat 0.5 atau 50%.

Berikut ialah contoh yang lebih rumit. Anda mahu nombor genap apabila melancarkan 2d6. Bilangan maksimum hasil ialah 36 (6 pilihan untuk setiap dadu, satu mati tidak menjejaskan yang lain, jadi darab 6 dengan 6 dan dapatkan 36). Kesukaran dengan soalan jenis ini ialah mudah untuk mengira dua kali. Sebagai contoh, apabila melancarkan 2d6, terdapat dua kemungkinan hasil 3: 1+2 dan 2+1. Mereka kelihatan sama, tetapi perbezaannya ialah nombor yang dipaparkan pada die pertama dan nombor yang dipaparkan pada yang kedua.

Anda juga boleh membayangkan bahawa dadu adalah warna yang berbeza: jadi, sebagai contoh, dalam kes ini, satu dadu berwarna merah dan satu lagi berwarna biru. Kemudian hitung bilangan pilihan untuk melancarkan nombor genap:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ternyata terdapat 18 pilihan untuk hasil yang menggalakkan daripada 36 - seperti dalam kes sebelumnya, kebarangkalian adalah 0.5 atau 50%. Mungkin tidak dijangka, tetapi agak tepat.

Simulasi Monte Carlo

Bagaimana jika anda mempunyai terlalu banyak dadu untuk pengiraan ini? Sebagai contoh, anda ingin tahu apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah 15 atau lebih apabila melancarkan 8d6. Terdapat sejumlah besar hasil yang berbeza untuk lapan dadu, dan mengiranya dengan tangan akan mengambil masa yang sangat lama - walaupun kita boleh mencari penyelesaian yang baik untuk mengumpulkan set gulung dadu yang berbeza.

Dalam kes ini, cara paling mudah ialah tidak mengira secara manual, tetapi menggunakan komputer. Terdapat dua cara untuk mengira kebarangkalian pada komputer. Kaedah pertama boleh memberi anda jawapan yang tepat, tetapi ia melibatkan sedikit pengaturcaraan atau skrip. Komputer akan melihat setiap kemungkinan, menilai dan mengira jumlah bilangan lelaran dan bilangan lelaran yang sepadan dengan hasil yang diingini, dan kemudian memberikan jawapan. Kod anda mungkin kelihatan seperti ini:

Jika anda tidak memahami pengaturcaraan dan anda memerlukan jawapan anggaran dan bukannya jawapan yang tepat, anda boleh mensimulasikan situasi ini dalam Excel, di mana anda melancarkan 8d6 beberapa ribu kali dan mendapatkan jawapannya. Untuk melancarkan 1d6 dalam Excel, gunakan formula =TINGKAT(RAND()*6)+1.

Terdapat nama untuk situasi apabila anda tidak tahu jawapannya dan cuba berkali-kali - simulasi Monte Carlo. Ini adalah penyelesaian yang bagus untuk digunakan apabila mengira kebarangkalian terlalu sukar. Perkara yang menarik ialah dalam kes ini kita tidak perlu memahami bagaimana matematik berfungsi, dan kita tahu bahawa jawapannya akan menjadi "agak bagus" kerana, seperti yang kita sedia maklum, semakin banyak gulung, semakin hampir hasilnya kepada purata.

Bagaimana untuk menggabungkan percubaan bebas

Jika anda bertanya tentang beberapa percubaan berulang tetapi bebas, hasil satu gulungan tidak menjejaskan hasil gulungan lain. Terdapat satu lagi penjelasan yang lebih mudah untuk keadaan ini.

Bagaimana untuk membezakan antara sesuatu yang bergantung dan bebas? Pada asasnya, jika anda boleh mengasingkan setiap lontaran (atau siri lontaran) dadu sebagai acara berasingan, maka ia adalah bebas. Sebagai contoh, kami membaling 8d6 dan mahu jumlah 15. Acara ini tidak boleh dibahagikan kepada beberapa gulungan dadu bebas. Untuk mendapatkan keputusan, anda mengira jumlah semua nilai, jadi hasil yang muncul pada satu dadu mempengaruhi keputusan yang sepatutnya muncul pada yang lain.

Berikut ialah contoh guling bebas: Anda sedang bermain permainan dadu dan anda membaling dadu enam belah berbilang kali. Gulungan pertama mestilah 2 atau lebih tinggi untuk kekal dalam permainan. Untuk lontaran kedua - 3 atau lebih tinggi. Yang ketiga memerlukan 4 atau lebih tinggi, yang keempat memerlukan 5 atau lebih tinggi, dan yang kelima memerlukan 6. Jika semua lima gulungan berjaya, anda menang. Dalam kes ini, semua lontaran adalah bebas. Ya, jika satu balingan tidak berjaya, ia akan menjejaskan keputusan keseluruhan permainan, tetapi satu balingan tidak menjejaskan yang lain. Sebagai contoh, jika balingan dadu kedua anda sangat berjaya, ini tidak bermakna balingan seterusnya akan menjadi sebaik. Oleh itu, kita boleh mempertimbangkan kebarangkalian setiap lemparan dadu secara berasingan.

Jika anda mempunyai kebarangkalian bebas dan ingin mengetahui kebarangkalian bahawa semua peristiwa akan berlaku, anda menentukan setiap kebarangkalian individu dan mendarabkannya bersama-sama. Cara lain: jika anda menggunakan kata hubung “dan” untuk menerangkan beberapa keadaan (contohnya, apakah kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak dan beberapa peristiwa rawak bebas yang lain?) - kira kebarangkalian individu dan darabkannya.

Tidak kira apa yang anda fikirkan, jangan sekali-kali menambah kebarangkalian bebas. Ini adalah kesilapan biasa. Untuk memahami mengapa ini salah, bayangkan situasi di mana anda melambung syiling dan ingin mengetahui kebarangkalian untuk mendapat kepala dua kali berturut-turut. Kebarangkalian setiap bahagian jatuh ialah 50%. Jika anda menjumlahkan kedua-dua kebarangkalian ini, anda mendapat peluang 100% untuk mendapat kepala, tetapi kami tahu itu tidak benar kerana ia boleh menjadi ekor dua kali berturut-turut. Jika anda sebaliknya mendarabkan dua kebarangkalian, anda mendapat 50% * 50% = 25% - yang merupakan jawapan yang betul untuk mengira kebarangkalian mendapat kepala dua kali berturut-turut.

Contoh

Mari kembali ke permainan dadu enam belah, di mana anda perlu membaling nombor yang lebih besar daripada 2, kemudian lebih besar daripada 3, dan seterusnya sehingga 6. Apakah kemungkinan dalam siri lima balingan yang diberikan semua keputusan akan menguntungkan ?

Seperti yang dinyatakan di atas, ini adalah percubaan bebas, jadi kami mengira kebarangkalian untuk setiap gulungan individu dan kemudian mendarabkannya bersama-sama. Kebarangkalian bahawa hasil gulungan pertama akan menguntungkan ialah 5/6. Kedua - 4/6. Ketiga - 3/6. Yang keempat - 2/6, yang kelima - 1/6. Kami mendarabkan semua keputusan dengan satu sama lain dan mendapat kira-kira 1.5%. Kemenangan dalam permainan ini agak jarang berlaku, jadi jika anda menambah elemen ini pada permainan anda, anda memerlukan jackpot yang agak besar.

Penafian

Berikut ialah satu lagi petua berguna: kadangkala sukar untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku, tetapi lebih mudah untuk menentukan kemungkinan sesuatu peristiwa tidak berlaku. Sebagai contoh, katakan kami mempunyai permainan lain: anda melancarkan 6d6 dan menang jika anda melancarkan 6 sekurang-kurangnya sekali.

Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk dipertimbangkan. Ada kemungkinan satu nombor 6 akan dilempar, iaitu satu daripada dadu akan menunjukkan nombor 6, dan yang lain akan menunjukkan nombor dari 1 hingga 5, kemudian terdapat 6 pilihan untuk dadu yang mana akan menunjukkan 6. Anda boleh mendapatkan nombor 6 pada dua dadu dadu, atau tiga, atau lebih, dan setiap kali anda perlu melakukan pengiraan berasingan, jadi mudah untuk dikelirukan di sini.

Tetapi mari kita lihat masalah dari sisi lain. Anda akan kalah jika tiada satu dadu membaling 6. Dalam kes ini kita mempunyai 6 percubaan bebas. Kebarangkalian setiap dadu akan membaling nombor selain daripada 6 ialah 5/6. Darabkan mereka dan anda mendapat kira-kira 33%. Oleh itu, kebarangkalian untuk kalah adalah satu dalam tiga. Oleh itu, kebarangkalian untuk menang ialah 67% (atau dua hingga tiga).

Daripada contoh ini adalah jelas: jika anda mengira kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku, anda perlu menolak keputusan daripada 100%. Jika kebarangkalian menang ialah 67%, maka kebarangkalian untuk kalah ialah 100% tolak 67%, atau 33%, dan sebaliknya. Jika sukar untuk mengira satu kebarangkalian tetapi mudah untuk mengira sebaliknya, hitung sebaliknya dan kemudian tolak nombor itu daripada 100%.

Kami menggabungkan syarat untuk satu ujian bebas

Saya katakan di atas bahawa anda tidak boleh menambah kebarangkalian merentasi percubaan bebas. Adakah terdapat sebarang kes di mana kemungkinan untuk menjumlahkan kebarangkalian? Ya, dalam satu situasi istimewa.

Jika anda ingin mengira kebarangkalian untuk beberapa hasil yang menguntungkan yang tidak berkaitan pada satu percubaan, jumlahkan kebarangkalian bagi setiap hasil yang menguntungkan. Sebagai contoh, kebarangkalian untuk melancarkan nombor 4, 5 atau 6 pada 1d6 adalah sama dengan jumlah kebarangkalian untuk melancarkan nombor 4, kebarangkalian nombor 5 dan kebarangkalian nombor 6. Keadaan ini boleh diwakili sebagai berikut: jika anda menggunakan kata hubung “atau” dalam soalan tentang kebarangkalian (contohnya, apakah kebarangkalian satu atau satu lagi hasil bagi satu peristiwa rawak?) - hitung kebarangkalian individu dan jumlahnya.

Sila ambil perhatian: apabila anda mengira semua kemungkinan hasil permainan, jumlah kebarangkalian kejadiannya mestilah sama dengan 100%, jika tidak pengiraan anda telah dibuat secara salah. Ini adalah cara yang baik untuk menyemak semula pengiraan anda. Sebagai contoh, anda menganalisis kebarangkalian semua kombinasi dalam poker. Jika anda menjumlahkan semua keputusan anda, anda sepatutnya mendapat tepat 100% (atau sekurang-kurangnya hampir 100%: jika anda menggunakan kalkulator, mungkin terdapat ralat pembundaran kecil, tetapi jika anda menjumlahkan nombor tepat dengan tangan, semuanya harus ditambah). Jika jumlahnya tidak bertumpu, ini bermakna anda berkemungkinan besar tidak mengambil kira beberapa kombinasi atau mengira kebarangkalian beberapa kombinasi secara salah, dan pengiraan perlu disemak dua kali.

Kebarangkalian yang tidak sama rata

Setakat ini kita telah mengandaikan bahawa setiap sisi dadu digulung pada frekuensi yang sama, kerana itulah cara dadu kelihatan berfungsi. Tetapi kadangkala anda mungkin menghadapi situasi di mana hasil yang berbeza mungkin dan mereka mempunyai peluang yang berbeza untuk muncul.

Sebagai contoh, dalam salah satu pengembangan permainan kad Perang Nuklear terdapat padang permainan dengan anak panah, di mana hasil pelancaran roket bergantung. Selalunya ia mengalami kerosakan biasa, lebih kuat atau lebih lemah, tetapi kadangkala kerosakan itu berganda atau tiga kali ganda, atau roket meletup pada pad pelancaran dan menyakiti anda, atau beberapa peristiwa lain berlaku. Tidak seperti papan anak panah dalam Chutes & Ladders atau A Game of Life, keputusan papan permainan dalam Perang Nuklear adalah tidak sekata. Sesetengah bahagian padang permainan adalah lebih besar dan anak panah berhenti padanya dengan lebih kerap, manakala bahagian lain sangat kecil dan anak panah jarang berhenti padanya.

Jadi, pada pandangan pertama, dadu kelihatan seperti ini: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - kita sudah bercakap mengenainya, ia adalah sesuatu seperti 1d3 berwajaran. Oleh itu, kita perlu membahagikan semua bahagian ini kepada bahagian yang sama, mencari unit ukuran terkecil, pembahagi yang semuanya adalah berganda, dan kemudian mewakili keadaan dalam bentuk d522 (atau yang lain), di mana set dadu wajah akan mewakili situasi yang sama, tetapi dengan lebih banyak hasil. Ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah, dan ia boleh dilaksanakan secara teknikal, tetapi terdapat pilihan yang lebih mudah.

Mari kita kembali kepada dadu enam segi standard kami. Kami telah mengatakan bahawa untuk mengira pusingan purata bagi dadu biasa, anda perlu menambah nilai pada semua muka dan membahagikan dengan bilangan muka, tetapi bagaimana sebenarnya pengiraan itu berfungsi? Terdapat cara lain untuk menyatakan ini. Untuk dadu bermuka enam, kebarangkalian setiap sisi digolek adalah tepat 1/6. Sekarang kita darabkan hasil setiap tepi dengan kebarangkalian hasil itu (dalam kes ini, 1/6 untuk setiap tepi), dan kemudian tambahkan nilai yang terhasil. Oleh itu, menjumlahkan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), kita mendapat keputusan yang sama (3.5) seperti dalam pengiraan di atas. Malah, kita mengira dengan cara ini setiap kali: kita mendarabkan setiap hasil dengan kebarangkalian hasil tersebut.

Bolehkah kita melakukan pengiraan yang sama untuk anak panah di padang permainan dalam Perang Nuklear? Sudah tentu kita boleh. Dan jika kita merumuskan semua keputusan yang ditemui, kita akan mendapat nilai purata. Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira kebarangkalian setiap hasil untuk anak panah pada papan permainan dan darab dengan nilai hasil.

Contoh yang lain

Kaedah pengiraan purata ini juga sesuai jika keputusannya berkemungkinan sama tetapi mempunyai kelebihan yang berbeza - contohnya, jika anda melemparkan mata dadu dan menang lebih banyak di beberapa pihak berbanding yang lain. Sebagai contoh, mari kita ambil permainan kasino: anda membuat pertaruhan dan melancarkan 2d6. Jika tiga nombor bernilai rendah (2, 3, 4) atau empat nombor bernilai tinggi (9, 10, 11, 12) digulung, anda akan memenangi jumlah yang sama dengan pertaruhan anda. Nombor dengan nilai terendah dan tertinggi adalah istimewa: jika anda melancarkan 2 atau 12, anda memenangi dua kali pertaruhan anda. Jika mana-mana nombor lain digulung (5, 6, 7, 8), anda akan kehilangan pertaruhan anda. Ini adalah permainan yang cukup mudah. Tetapi apakah kebarangkalian untuk menang?

Mari kita mulakan dengan mengira berapa kali anda boleh menang. Bilangan maksimum hasil apabila melancarkan 2d6 ialah 36. Berapakah bilangan hasil yang menggalakkan?

• Terdapat 1 pilihan bahawa 2 akan digulung dan 1 pilihan bahawa 12 akan digulung.
• Terdapat 2 pilihan yang 3 akan roll dan 2 pilihan yang 11 akan roll.
• Terdapat 3 pilihan untuk melancarkan 4 dan 3 pilihan untuk melancarkan 10.
• Terdapat 4 pilihan untuk melancarkan 9.

Merumuskan semua pilihan, kami mendapat 16 hasil yang menggalakkan daripada 36. Oleh itu, dalam keadaan biasa, anda akan menang 16 kali daripada 36 yang mungkin - kebarangkalian untuk menang adalah kurang sedikit daripada 50%.

Tetapi dalam dua kes daripada enam belas ini anda akan menang dua kali ganda - ia seperti menang dua kali. Jika anda bermain permainan ini 36 kali, pertaruhan $1 setiap kali, dan setiap satu daripada semua hasil yang mungkin muncul sekali, anda akan memenangi sejumlah $18 (sebenarnya anda akan menang 16 kali, tetapi dua daripadanya akan dikira sebagai dua kemenangan ). Jika anda bermain 36 kali dan memenangi $18, bukankah itu bermakna kemungkinannya adalah sama?

Ambil masa anda. Jika anda mengira bilangan kali anda boleh kalah, anda akan mendapat 20, bukan 18. Jika anda bermain 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, anda akan memenangi sejumlah $18 jika anda mencapai semua pilihan yang menguntungkan. Tetapi anda akan kehilangan sejumlah $20 jika anda mendapat kesemua 20 hasil yang tidak menguntungkan. Akibatnya, anda akan ketinggalan sedikit: anda kehilangan purata $2 bersih untuk setiap 36 permainan (anda juga boleh mengatakan bahawa anda kehilangan purata 1/18 dolar setiap hari). Sekarang anda melihat betapa mudahnya untuk membuat kesilapan dalam kes ini dan mengira kebarangkalian dengan tidak betul.

Penyusunan semula

Setakat ini kita telah menganggap bahawa susunan nombor semasa membaling dadu tidak penting. Rolling 2 + 4 adalah sama seperti rolling 4 + 2. Dalam kebanyakan kes, kami mengira bilangan hasil yang menggalakkan secara manual, tetapi kadangkala kaedah ini tidak praktikal dan lebih baik menggunakan formula matematik.

Contoh situasi ini adalah daripada permainan dadu Farkle. Untuk setiap pusingan baharu, anda melancarkan 6d6. Jika anda bernasib baik dan mendapat semua keputusan yang mungkin 1-2-3-4-5-6 (lurus), anda akan menerima bonus besar. Apakah kemungkinan perkara ini berlaku? Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk mendapatkan gabungan ini.

Penyelesaiannya adalah seperti berikut: satu daripada dadu (dan hanya satu) mesti mempunyai nombor 1. Berapa banyak cara nombor 1 boleh muncul pada satu dadu? Terdapat 6 pilihan, kerana terdapat 6 dadu, dan mana-mana daripadanya boleh jatuh pada nombor 1. Oleh itu, ambil satu dadu dan letakkan di tepi. Sekarang salah satu daripada dadu yang tinggal harus melancarkan nombor 2. Terdapat 5 pilihan untuk ini. Ambil satu lagi dadu dan ketepikan. Kemudian 4 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat nombor 3, 3 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat nombor 4, 2 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat nombor 5. Akibatnya, anda ditinggalkan dengan satu dadu, yang sepatutnya mendarat nombor 6 (dalam kes kedua, dadu hanya ada satu tulang, dan tiada pilihan).

Untuk mengira bilangan hasil yang menggalakkan untuk memukul lurus, kami mendarabkan semua kemungkinan bebas yang berbeza: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - nampaknya terdapat sejumlah besar kemungkinan untuk kombinasi ini muncul .

Untuk mengira kebarangkalian mendapat lurus, kita perlu membahagikan 720 dengan bilangan semua hasil yang mungkin untuk rolling 6d6. Berapakah bilangan semua hasil yang mungkin? Setiap dadu boleh mempunyai 6 sisi, jadi kita darabkan 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (nombor yang jauh lebih besar daripada yang sebelumnya). Bahagikan 720 dengan 46656 dan kita mendapat kebarangkalian kira-kira 1.5%. Jika anda mereka bentuk permainan ini, adalah berguna untuk anda mengetahui perkara ini supaya anda boleh mencipta sistem pemarkahan yang sewajarnya. Kini kami faham mengapa di Farkle anda mendapat bonus yang begitu besar jika anda mendapat straight: ini adalah situasi yang agak jarang berlaku.

Hasilnya juga menarik kerana sebab lain. Contoh menunjukkan betapa jarang dalam tempoh yang singkat hasil yang sepadan dengan kebarangkalian berlaku. Sudah tentu, jika kita melambung beberapa ribu dadu, sisi dadu yang berbeza akan muncul dengan kerap. Tetapi apabila kita melontar hanya enam dadu, hampir tidak pernah berlaku bahawa setiap muka muncul. Ia menjadi jelas bahawa adalah bodoh untuk menjangkakan bahawa baris kini akan muncul yang belum berlaku, kerana "kami telah lama tidak melancarkan nombor 6." Dengar, penjana nombor rawak anda rosak.

Ini membawa kita kepada salah tanggapan umum bahawa semua hasil berlaku pada kekerapan yang sama dalam tempoh masa yang singkat. Jika kita membaling dadu beberapa kali, kekerapan setiap sisi jatuh tidak akan sama.

Jika anda pernah mengusahakan permainan dalam talian dengan beberapa jenis penjana nombor rawak sebelum ini, kemungkinan besar anda pernah menghadapi situasi di mana pemain menulis kepada sokongan teknikal mengadu bahawa penjana nombor rawak tidak menunjukkan nombor rawak. Dia membuat kesimpulan ini kerana dia membunuh 4 raksasa berturut-turut dan menerima 4 ganjaran yang betul-betul sama, dan ganjaran ini sepatutnya hanya muncul 10% sahaja, jadi ini jelas sekali tidak sepatutnya berlaku.

Anda sedang membuat pengiraan matematik. Kebarangkalian ialah 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, iaitu, 1 hasil dalam 10 ribu adalah kes yang agak jarang berlaku. Inilah yang pemain cuba beritahu anda. Adakah terdapat masalah dalam kes ini?

Semuanya bergantung pada keadaan. Berapakah bilangan pemain pada masa ini pada pelayan anda? Katakan anda mempunyai permainan yang agak popular dan 100 ribu orang bermain setiap hari. Berapa ramai pemain yang boleh membunuh empat raksasa berturut-turut? Mungkin semua, beberapa kali sehari, tetapi mari kita anggap bahawa separuh daripada mereka hanya bertukar-tukar pelbagai barangan di lelongan, berbual di pelayan RP, atau melakukan aktiviti dalam permainan lain - jadi hanya separuh daripada mereka memburu raksasa. Apakah kebarangkalian seseorang akan mendapat ganjaran yang sama? Dalam keadaan ini, anda boleh menjangkakan perkara ini berlaku sekurang-kurangnya beberapa kali sehari.

Ngomong-ngomong, inilah sebabnya nampaknya setiap beberapa minggu seseorang memenangi loteri, walaupun seseorang itu tidak pernah menjadi anda atau sesiapa yang anda kenali. Jika cukup orang bermain dengan kerap, kemungkinan akan ada sekurang-kurangnya seorang pemain bertuah di suatu tempat. Tetapi jika anda bermain loteri sendiri, maka anda tidak mungkin menang, sebaliknya anda akan dijemput untuk bekerja di Infinity Ward.

Kad dan ketagihan

Kami telah membincangkan acara bebas, seperti membaling dadu, dan kini mengetahui banyak alat berkuasa untuk menganalisis rawak dalam banyak permainan. Mengira kebarangkalian adalah sedikit lebih rumit apabila ia datang untuk menarik kad dari dek, kerana setiap kad yang kita lukis mempengaruhi kad yang kekal dalam dek.

Jika anda mempunyai dek 52 kad standard, anda mengeluarkan 10 hati daripadanya dan ingin mengetahui kebarangkalian bahawa kad seterusnya adalah daripada saman yang sama - kebarangkalian telah berubah daripada yang asal kerana anda telah mengeluarkan satu kad saman itu hati dari dek. Setiap kad yang anda alih keluar mengubah kebarangkalian kad seterusnya muncul dalam dek. Dalam kes ini, peristiwa sebelumnya mempengaruhi yang seterusnya, jadi kami panggil ini bergantung kepada kebarangkalian.

Sila ambil perhatian bahawa apabila saya menyebut "kad" saya bercakap tentang mana-mana mekanik permainan di mana anda mempunyai satu set objek dan anda mengalih keluar salah satu objek tanpa menggantikannya. "Dek kad" dalam kes ini adalah analog dengan beg cip yang anda ambil satu cip, atau guci dari mana bola berwarna diambil (saya tidak pernah melihat permainan dengan guci dari mana bola berwarna diambil, tetapi guru teori kebarangkalian mengikut apa -sebab mengapa contoh ini diutamakan).

Sifat Kebergantungan

Saya ingin menjelaskan bahawa apabila ia berkaitan dengan kad, saya mengandaikan anda melukis kad, melihatnya dan mengeluarkannya dari dek. Setiap tindakan ini adalah harta yang penting. Jika saya mempunyai dek, katakan, enam kad dengan nombor 1 hingga 6, saya akan mengocoknya dan mencabut satu kad, kemudian mengocok semua enam kad sekali lagi - ini akan serupa dengan melontar dadu enam belah, kerana satu keputusan mempunyai tiada kesan untuk yang seterusnya. Dan jika saya mengeluarkan kad dan tidak menggantikannya, maka dengan mengeluarkan kad 1, saya meningkatkan kemungkinan bahawa pada kali seterusnya saya akan menarik kad dengan nombor 6. Kebarangkalian akan meningkat sehingga saya akhirnya mengeluarkan kad itu atau kocok dek.

Fakta bahawa kita melihat kad juga penting. Jika saya mengeluarkan kad dari dek dan tidak melihatnya, saya tidak akan mempunyai sebarang maklumat tambahan dan kebarangkalian tidak akan berubah sebenarnya. Ini mungkin kedengaran bertentangan dengan intuisi. Bagaimanakah dengan hanya membalikkan kad secara ajaib boleh mengubah kemungkinan? Tetapi ia adalah mungkin kerana anda boleh mengira kebarangkalian untuk item yang tidak diketahui hanya dari apa yang anda tahu.

Sebagai contoh, jika anda mengocok dek kad standard dan mendedahkan 51 kad dan tiada satu pun daripadanya adalah ratu kelab, maka anda boleh yakin 100% bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab. Jika anda mengocok dek kad standard dan mengeluarkan 51 kad tanpa melihatnya, kebarangkalian bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab masih 1/52. Apabila anda membuka setiap kad, anda mendapat lebih banyak maklumat.

Mengira kebarangkalian untuk peristiwa bergantung mengikut prinsip yang sama seperti untuk acara bebas, kecuali ia adalah lebih rumit sedikit kerana kebarangkalian berubah apabila anda mendedahkan kad. Oleh itu, anda perlu mendarabkan banyak nilai yang berbeza dan bukannya mendarabkan nilai yang sama. Maksud sebenarnya ialah kita perlu menggabungkan semua pengiraan yang kita lakukan menjadi satu gabungan.

Contoh

Anda kocok dek 52 kad standard dan lukis dua kad. Apakah kebarangkalian anda akan melukis sepasang? Terdapat beberapa cara untuk mengira kebarangkalian ini, tetapi mungkin yang paling mudah ialah ini: apakah kebarangkalian bahawa jika anda melukis satu kad, anda tidak akan dapat melukis sepasang? Kebarangkalian ini adalah sifar, jadi tidak kira kad pertama yang anda lukis, asalkan ia sepadan dengan kad kedua. Tidak kira kad yang mana kita lukis dahulu, kita masih berpeluang untuk menarik sepasang. Oleh itu, kebarangkalian untuk menarik sepasang selepas kad pertama dicabut ialah 100%.

Apakah kebarangkalian bahawa kad kedua sepadan dengan kad pertama? Terdapat 51 kad yang tinggal di dek, dan 3 daripadanya sepadan dengan kad pertama (sebenarnya terdapat 4 daripada 52, tetapi anda telah mengeluarkan salah satu kad yang sepadan apabila anda menarik kad pertama), jadi kebarangkalian adalah 1/ 17. Jadi pada kali seterusnya anda bermain Texas Hold'em, lelaki di seberang meja dari anda berkata, “Cool, pasangan lain? Saya berasa bertuah hari ini, "anda akan tahu bahawa terdapat kebarangkalian tinggi bahawa dia menipu.

Bagaimana jika kita menambah dua pelawak supaya kita mempunyai 54 kad dalam dek dan ingin tahu apakah kebarangkalian untuk melukis sepasang? Kad pertama mungkin pelawak, dan kemudian hanya akan ada satu kad dalam dek yang sepadan, dan bukan tiga. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian dalam kes ini? Kami akan membahagikan kebarangkalian dan mendarabkan setiap kemungkinan.

Kad pertama kami boleh menjadi pelawak atau kad lain. Kebarangkalian untuk melukis joker ialah 2/54, kebarangkalian untuk melukis beberapa kad lain ialah 52/54. Jika kad pertama adalah joker (2/54), maka kebarangkalian bahawa kad kedua akan sepadan dengan yang pertama ialah 1/53. Kami mendarabkan nilai (kita boleh mendarabkannya kerana ia adalah peristiwa yang berasingan dan kami mahu kedua-dua peristiwa itu berlaku) dan kami mendapat 1/1431 - kurang daripada satu persepuluh peratus.

Jika anda menarik beberapa kad lain dahulu (52/54), kebarangkalian untuk memadankan kad kedua ialah 3/53. Kami mendarabkan nilai dan mendapat 78/1431 (lebih sedikit daripada 5.5%). Apa yang kita lakukan dengan kedua-dua keputusan ini? Mereka tidak bersilang, dan kami ingin mengetahui kebarangkalian setiap daripada mereka, jadi kami menambah nilai. Kami mendapat keputusan akhir 79/1431 (masih kira-kira 5.5%).

Jika kami ingin memastikan ketepatan jawapan, kami boleh mengira kebarangkalian semua hasil lain yang mungkin: melukis pelawak dan tidak sepadan dengan kad kedua, atau melukis beberapa kad lain dan tidak sepadan dengan kad kedua. Dengan merumuskan kebarangkalian ini dan kebarangkalian untuk menang, kita akan mendapat tepat 100%. Saya tidak akan memberikan matematik di sini, tetapi anda boleh mencuba matematik untuk menyemak semula.

Paradoks Dewan Monty

Ini membawa kita kepada paradoks yang agak terkenal yang sering mengelirukan ramai orang - Paradoks Dewan Monty. Paradoks itu dinamakan sempena pengacara rancangan TV Let's Make a Deal Bagi mereka yang tidak pernah melihat rancangan TV ini, ia adalah bertentangan dengan The Price Is Right.

On The Price Is Right, hos (Bob Barker pernah menjadi hos; yang kini, Drew Carey? Tidak mengapa) ialah rakan anda. Dia mahu anda memenangi wang atau hadiah menarik. Ia cuba memberi anda setiap peluang untuk menang, asalkan anda boleh meneka berapa nilai barangan yang dibeli oleh penaja sebenarnya.

Monty Hall berkelakuan berbeza. Dia seperti kembar jahat Bob Barker. Matlamatnya adalah untuk menjadikan anda kelihatan seperti orang bodoh di televisyen nasional. Jika anda berada di acara itu, dia adalah lawan anda, anda bermain menentangnya, dan kemungkinannya berpihak kepadanya. Mungkin saya terlalu keras, tetapi melihat persembahan yang anda lebih cenderung untuk menyertai jika anda memakai kostum yang tidak masuk akal, itulah yang saya datangi.

Salah satu meme yang paling terkenal dalam rancangan itu ialah ini: terdapat tiga pintu di hadapan anda, pintu nombor 1, pintu nombor 2 dan pintu nombor 3. Anda boleh memilih satu pintu secara percuma. Di belakang salah satu daripada mereka adalah hadiah yang luar biasa - contohnya, kereta baru. Tiada hadiah di sebalik dua pintu yang lain, kedua-duanya tiada nilai. Mereka sepatutnya memalukan anda, jadi di belakang mereka bukan hanya apa-apa, tetapi sesuatu yang bodoh, sebagai contoh, kambing atau tiub besar ubat gigi - apa-apa selain kereta baru.

Anda pilih salah satu pintu, Monty akan membukanya untuk memberitahu anda sama ada anda menang atau tidak... tetapi tunggu. Sebelum kita mengetahuinya, mari kita lihat salah satu pintu yang anda tidak pilih. Monty tahu pintu mana hadiah berada di belakang, dan dia sentiasa boleh membuka pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya. “Awak pilih pintu nombor 3? Kemudian mari kita buka pintu nombor 1 untuk menunjukkan bahawa tidak ada hadiah di belakangnya." Dan sekarang, kerana kemurahan hati, dia menawarkan anda peluang untuk menukar pintu nombor 3 yang dipilih dengan apa yang ada di belakang pintu nombor 2.

Pada ketika ini, persoalan kebarangkalian timbul: adakah peluang ini meningkatkan kebarangkalian anda untuk menang, atau mengurangkannya, atau adakah ia kekal tidak berubah? Bagaimana anda berfikir?

Jawapan yang betul: keupayaan untuk memilih pintu lain meningkatkan kebarangkalian untuk menang daripada 1/3 kepada 2/3. Ini tidak logik. Jika anda tidak pernah menemui paradoks ini sebelum ini, kemungkinan besar anda berfikir: tunggu, bagaimanakah dengan membuka satu pintu, kami secara ajaib mengubah kebarangkalian? Seperti yang telah kita lihat dengan peta, inilah yang berlaku apabila kita mendapat lebih banyak maklumat. Jelas sekali, apabila anda memilih buat kali pertama, kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Apabila satu pintu dibuka, ia tidak mengubah kebarangkalian untuk menang untuk pilihan pertama sama sekali: kebarangkalian masih 1/3. Tetapi kebarangkalian bahawa pintu yang satu lagi adalah betul kini 2/3.

Mari kita lihat contoh ini dari perspektif yang berbeza. Anda memilih pintu. Kebarangkalian menang ialah 1/3. Saya cadangkan anda menukar dua pintu yang lain, iaitu yang dilakukan oleh Monty Hall. Sudah tentu, dia membuka salah satu pintu untuk mendedahkan bahawa tiada hadiah di sebaliknya, tetapi dia sentiasa boleh melakukannya, jadi ia tidak benar-benar mengubah apa-apa. Sudah tentu, anda akan mahu memilih pintu yang berbeza.

Jika anda tidak begitu memahami soalan dan memerlukan penjelasan yang lebih meyakinkan, klik pada pautan ini untuk dibawa ke aplikasi Flash kecil yang hebat yang akan membolehkan anda meneroka paradoks ini dengan lebih terperinci. Anda boleh bermain bermula dengan kira-kira 10 pintu dan kemudian secara beransur-ansur mencapai permainan dengan tiga pintu. Terdapat juga simulator di mana anda boleh bermain dengan sebarang bilangan pintu dari 3 hingga 50, atau menjalankan beberapa ribu simulasi dan melihat berapa kali anda akan menang jika anda bermain.

Pilih satu daripada tiga pintu - kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Kini anda mempunyai dua strategi: tukar pilihan anda selepas membuka pintu yang salah atau tidak. Jika anda tidak mengubah pilihan anda, maka kebarangkalian akan kekal 1/3, kerana pilihan itu berlaku hanya pada peringkat pertama, dan anda mesti meneka dengan segera. Jika anda berubah, maka anda boleh menang jika anda mula-mula memilih pintu yang salah (kemudian mereka membuka pintu yang salah lagi, yang betul kekal - dengan mengubah keputusan anda, anda mengambilnya). Kebarangkalian untuk memilih pintu yang salah pada permulaan adalah 2/3 - jadi ternyata dengan mengubah keputusan anda, anda menggandakan kebarangkalian untuk menang.

Kenyataan daripada guru matematik yang lebih tinggi dan pakar keseimbangan permainan Maxim Soldatov - sudah tentu, Schreiber tidak memilikinya, tetapi tanpa itu agak sukar untuk memahami transformasi ajaib ini

Dan sekali lagi mengenai paradoks Monty Hall

Bagi persembahan itu sendiri: walaupun lawan Monty Hall tidak mahir dalam matematik, dia pandai melakukannya. Inilah yang dia lakukan untuk mengubah sedikit permainan. Jika anda memilih pintu yang mempunyai hadiah di belakangnya, yang mempunyai 1/3 peluang untuk berlaku, ia akan sentiasa memberi anda pilihan untuk memilih pintu lain. Anda akan memilih kereta dan kemudian menukarnya dengan kambing dan anda akan kelihatan agak bodoh - itulah yang anda mahukan kerana Hall adalah jenis lelaki yang jahat.

Tetapi jika anda memilih pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya, dia hanya akan meminta anda memilih satu lagi separuh masa, atau dia hanya akan menunjukkan kepada anda kambing baru anda dan anda akan meninggalkan pentas. Mari analisa permainan baharu ini di mana Monty Hall boleh memutuskan sama ada akan menawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain atau tidak.

Katakan dia mengikuti algoritma ini: jika anda memilih pintu dengan hadiah, dia sentiasa menawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain, jika tidak, dia juga mungkin menawarkan anda untuk memilih pintu lain atau memberi anda seekor kambing. Apakah kebarangkalian anda untuk menang?

Dalam salah satu daripada tiga pilihan, anda segera memilih pintu di belakang tempat hadiah itu terletak, dan penyampai menjemput anda untuk memilih satu lagi.

Daripada baki dua pilihan daripada tiga (anda pada mulanya memilih pintu tanpa hadiah), dalam separuh kes penyampai akan menawarkan anda untuk menukar keputusan anda, dan dalam separuh lagi kes - tidak.

Separuh daripada 2/3 ialah 1/3, iaitu, dalam satu daripada tiga anda akan mendapat seekor kambing, dalam satu daripada tiga anda akan memilih pintu yang salah dan tuan rumah akan meminta anda memilih yang lain, dan dalam satu kes daripada tiga anda akan memilih pintu yang betul, tetapi dia sekali lagi dia akan menawarkan satu lagi.

Jika penyampai menawarkan untuk memilih pintu lain, kita sudah tahu bahawa satu kes daripada tiga, apabila dia memberi kita kambing dan kita pergi, tidak berlaku. Ini adalah maklumat yang berguna: ini bermakna peluang kami untuk menang telah berubah. Dua daripada tiga kes apabila kita mempunyai peluang untuk memilih: dalam satu kes ia bermakna kita meneka dengan betul, dan dalam kes lain kita meneka salah, jadi jika kita ditawarkan peluang untuk memilih sama sekali, maka kebarangkalian kemenangan kita ialah 1/2 , dan dari sudut pandangan matematik, tidak kira sama ada anda kekal dengan pilihan anda atau memilih pintu lain.

Seperti poker, ia adalah permainan psikologi, bukan permainan matematik. Mengapa Monty memberi anda pilihan? Adakah dia fikir anda seorang yang mudah yang tidak tahu bahawa memilih pintu lain adalah keputusan yang "betul" dan akan berdegil berpegang pada pilihannya (lagipun, keadaan psikologi lebih sukar apabila anda memilih kereta dan kemudian kehilangannya )?

Atau adakah dia, memutuskan bahawa anda bijak dan akan memilih pintu lain, menawarkan anda peluang ini kerana dia tahu bahawa anda meneka dengan betul pada mulanya dan akan ketagih? Atau mungkin dia bersikap baik secara luar biasa dan mendorong anda melakukan sesuatu yang akan memberi manfaat kepada anda kerana dia sudah lama tidak memberikan kereta dan penerbit mengatakan penonton semakin bosan dan lebih baik untuk memberikan hadiah besar tidak lama lagi. rating jatuh?

Dengan cara ini, Monty berjaya sekali-sekala menawarkan pilihan dan masih mengekalkan kebarangkalian keseluruhan untuk menang pada 1/3. Ingat bahawa kebarangkalian anda akan kalah secara langsung ialah 1/3. Peluang anda akan meneka dengan betul serta-merta ialah 1/3, dan 50% daripada masa tersebut anda akan menang (1/3 x 1/2 = 1/6).

Peluang anda salah meneka pada mulanya tetapi kemudian mempunyai peluang untuk memilih pintu lain ialah 1/3, dan separuh daripada masa itu anda akan menang (juga 1/6). Tambahkan dua kemungkinan kemenangan bebas dan anda mendapat kebarangkalian 1/3, jadi tidak kira sama ada anda tetap dengan pilihan anda atau memilih pintu lain - kebarangkalian keseluruhan anda untuk menang sepanjang permainan ialah 1/3.

Kebarangkalian tidak menjadi lebih besar daripada dalam situasi apabila anda meneka pintu dan penyampai hanya menunjukkan kepada anda apa yang ada di belakangnya, tanpa menawarkan untuk memilih yang lain. Maksud cadangan itu bukan untuk mengubah kebarangkalian, tetapi untuk menjadikan proses membuat keputusan lebih menyeronokkan untuk ditonton di televisyen.

Ngomong-ngomong, ini adalah salah satu sebab mengapa poker boleh menjadi sangat menarik: dalam kebanyakan format, antara pusingan apabila pertaruhan dibuat (contohnya, kegagalan, pusingan dan sungai di Texas Hold'em), kad diturunkan secara beransur-ansur, dan jika pada permulaan permainan anda mempunyai satu peluang untuk menang , maka selepas setiap pusingan pertaruhan, apabila lebih banyak kad didedahkan, kebarangkalian ini berubah.

Paradoks lelaki dan perempuan

Ini membawa kita kepada satu lagi paradoks yang terkenal, yang, sebagai peraturan, membingungkan semua orang - paradoks lelaki dan perempuan itu. Satu-satunya perkara yang saya tulis hari ini yang tidak berkaitan secara langsung dengan permainan (walaupun saya rasa saya hanya sepatutnya menggalakkan anda mencipta mekanik permainan yang sesuai). Ini lebih kepada teka-teki, tetapi yang menarik, dan untuk menyelesaikannya, anda perlu memahami kebarangkalian bersyarat, yang kita bincangkan di atas.

Masalah: Saya mempunyai seorang kawan dengan dua orang anak, sekurang-kurangnya seorang daripada mereka adalah perempuan. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan? Mari kita anggap bahawa dalam mana-mana keluarga peluang untuk mempunyai anak perempuan dan lelaki adalah 50/50, dan ini berlaku untuk setiap kanak-kanak.

Malah, sesetengah lelaki mempunyai lebih banyak sperma dengan kromosom X atau kromosom Y dalam sperma mereka, jadi kemungkinannya berubah sedikit. Jika anda tahu bahawa seorang anak adalah perempuan, kemungkinan untuk mempunyai anak perempuan kedua adalah lebih tinggi sedikit, dan terdapat keadaan lain, seperti hermafroditisme. Tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, kami tidak akan mengambil kira ini dan menganggap bahawa kelahiran seorang kanak-kanak adalah peristiwa bebas dan kelahiran seorang lelaki dan perempuan adalah sama berkemungkinan.

Memandangkan kita bercakap tentang peluang 1/2, secara intuitif kita menjangkakan bahawa kemungkinan besar jawapannya ialah 1/2 atau 1/4, atau beberapa nombor lain yang merupakan gandaan dua dalam penyebut. Tetapi jawapannya ialah 1/3. kenapa?

Kesukaran di sini ialah maklumat yang kami ada mengurangkan bilangan kemungkinan. Katakan ibu bapa adalah peminat Sesame Street dan, tanpa mengira jantina kanak-kanak, menamakan mereka A dan B. Dalam keadaan biasa, terdapat empat kemungkinan yang sama: A dan B ialah dua lelaki, A dan B ialah dua perempuan, A ialah lelaki dan B ialah perempuan, A ialah perempuan dan B ialah lelaki. Oleh kerana kita tahu bahawa sekurang-kurangnya seorang kanak-kanak adalah perempuan, kita boleh menolak kemungkinan bahawa A dan B adalah dua lelaki. Ini memberi kita tiga kemungkinan - masih sama kemungkinannya. Jika semua kemungkinan adalah sama kemungkinan dan terdapat tiga daripadanya, maka kebarangkalian setiap satu daripadanya ialah 1/3. Hanya dalam satu daripada tiga pilihan ini kedua-dua kanak-kanak perempuan, jadi jawapannya ialah 1/3.

Dan sekali lagi tentang paradoks lelaki dan perempuan

Penyelesaian kepada masalah menjadi lebih tidak logik. Bayangkan kawan saya ada dua orang anak dan seorang daripadanya perempuan yang lahir pada hari Selasa. Mari kita anggap bahawa dalam keadaan biasa seorang kanak-kanak boleh dilahirkan pada setiap tujuh hari dalam seminggu dengan kebarangkalian yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan?

Anda mungkin fikir jawapannya masih 1/3: apakah kepentingan hari Selasa? Tetapi walaupun dalam kes ini, intuisi kita gagal. Jawapannya ialah 13/27, yang bukan sahaja tidak intuitif, tetapi sangat pelik. Apa masalah dalam kes ini?

Malah, hari Selasa mengubah kebarangkalian kerana kita tidak tahu anak mana yang dilahirkan pada hari Selasa, atau mungkin kedua-duanya dilahirkan pada hari Selasa. Dalam kes ini, kami menggunakan logik yang sama: kami mengira semua kombinasi yang mungkin apabila sekurang-kurangnya seorang kanak-kanak perempuan yang dilahirkan pada hari Selasa. Seperti dalam contoh sebelumnya, mari kita anggap bahawa kanak-kanak itu dinamakan A dan B. Gabungan kelihatan seperti ini:

• A ialah perempuan yang dilahirkan pada hari Selasa, B ialah lelaki (dalam situasi ini terdapat 7 kemungkinan, satu untuk setiap hari dalam seminggu apabila seorang lelaki boleh dilahirkan).
• B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah lelaki (juga 7 kemungkinan).
• A - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, B - seorang gadis yang dilahirkan pada hari lain dalam seminggu (6 kemungkinan).
• B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah perempuan yang tidak lahir pada hari Selasa (juga 6 kebarangkalian).
• A dan B adalah dua gadis yang dilahirkan pada hari Selasa (1 kemungkinan, anda perlu memberi perhatian kepada ini supaya tidak mengira dua kali).

Kami menjumlahkan dan mendapatkan 27 kombinasi kelahiran kanak-kanak dan hari yang sama mungkin berbeza dengan sekurang-kurangnya satu kemungkinan seorang gadis dilahirkan pada hari Selasa. Daripada jumlah ini, terdapat 13 kemungkinan apabila dua anak perempuan dilahirkan. Ia juga kelihatan tidak logik - nampaknya tugas ini dicipta hanya untuk menyebabkan sakit kepala. Jika anda masih hairan, laman web ahli teori permainan Jesper Juhl mempunyai penjelasan yang baik tentang isu ini.

Jika anda sedang mengusahakan permainan

Jika terdapat rawak dalam permainan yang anda reka, ini adalah masa yang tepat untuk menganalisisnya. Pilih beberapa elemen yang anda ingin analisis. Mula-mula tanya diri anda apakah yang anda jangkakan kebarangkalian untuk elemen tertentu, apakah yang sepatutnya dalam konteks permainan.

Sebagai contoh, jika anda membuat RPG dan anda tertanya-tanya apakah kebarangkalian pemain itu akan mengalahkan raksasa dalam pertempuran, tanya diri anda apakah peratusan kemenangan yang anda rasa sesuai untuk anda. Biasanya dengan RPG konsol, pemain berasa sangat kecewa apabila mereka kalah, jadi lebih baik jika mereka kalah jarang - 10% daripada masa atau kurang. Jika anda seorang pereka RPG, anda mungkin tahu lebih baik daripada saya, tetapi anda perlu mempunyai idea asas tentang kebarangkalian yang sepatutnya.

Kemudian tanya diri anda sama ada kebarangkalian anda bergantung (seperti dengan kad) atau bebas (seperti dengan dadu). Menganalisis semua kemungkinan hasil dan kebarangkaliannya. Pastikan jumlah semua kebarangkalian adalah 100%. Dan, tentu saja, bandingkan hasil yang diperoleh dengan jangkaan anda. Adakah anda boleh membaling dadu atau melukis kad mengikut cara yang anda inginkan, atau adakah jelas bahawa nilainya perlu diselaraskan. Dan, sudah tentu, jika anda mendapati sebarang kekurangan, anda boleh menggunakan pengiraan yang sama untuk menentukan berapa banyak untuk menukar nilai.

Kerja rumah

Kerja rumah anda minggu ini akan membantu anda mengasah kemahiran kebarangkalian anda. Berikut adalah dua permainan dadu dan permainan kad yang akan anda analisis menggunakan kebarangkalian, serta mekanik permainan aneh yang pernah saya bangunkan yang akan menguji kaedah Monte Carlo.

Permainan #1 - Tulang Naga

Ini adalah permainan dadu yang pernah saya dan rakan sekerja saya buat (terima kasih kepada Jeb Heavens dan Jesse King) - ia secara khusus memeranjatkan fikiran orang ramai dengan kebarangkaliannya. Ia adalah permainan kasino ringkas yang dipanggil Dragon Dice, dan ia adalah pertandingan dadu perjudian antara pemain dan rumah.

Anda diberi die 1d6 biasa. Matlamat permainan ini adalah untuk melancarkan nombor yang lebih tinggi daripada rumah. Tom diberi 1d6 bukan standard - sama seperti anda, tetapi pada salah satu wajahnya dan bukannya unit terdapat imej naga (oleh itu, kasino mempunyai kiub naga - 2-3-4-5-6 ). Jika rumah itu mendapat naga, ia secara automatik menang dan anda kalah. Jika kedua-duanya mendapat nombor yang sama, ia adalah seri dan anda membaling dadu sekali lagi. Orang yang melancarkan nombor tertinggi menang.

Sudah tentu, semuanya tidak berfungsi sepenuhnya memihak kepada pemain, kerana kasino mempunyai kelebihan dalam bentuk kelebihan naga. Tetapi adakah ini benar-benar benar? Inilah yang anda perlu kira. Tetapi semak intuisi anda terlebih dahulu.

Katakan kemungkinan adalah 2 berbanding 1. Jadi jika anda menang, anda kekalkan pertaruhan anda dan mendapat dua kali ganda pertaruhan anda. Sebagai contoh, jika anda bertaruh 1 dolar dan menang, anda menyimpan dolar itu dan mendapat 2 lagi di atas, dengan jumlah 3 dolar. Jika anda kalah, anda hanya kehilangan pertaruhan anda. Adakah anda akan bermain? Adakah anda secara intuitif merasakan bahawa kebarangkalian adalah lebih besar daripada 2 berbanding 1, atau adakah anda masih berfikir bahawa ia adalah kurang? Dalam erti kata lain, secara purata lebih daripada 3 perlawanan, adakah anda menjangkakan untuk menang lebih daripada sekali, atau kurang, atau sekali?

Sebaik sahaja anda mengetahui intuisi anda, gunakan matematik. Terdapat hanya 36 kemungkinan kedudukan untuk kedua-dua dadu, jadi anda boleh mengira semuanya tanpa masalah. Jika anda tidak pasti tentang tawaran 2-untuk-1 itu, pertimbangkan perkara ini: Katakan anda bermain permainan 36 kali (pertaruhan $1 setiap kali). Untuk setiap kemenangan anda mendapat 2 dolar, untuk setiap kerugian anda kehilangan 1, dan keputusan seri tidak mengubah apa-apa. Kira semua kemungkinan kemenangan dan kerugian anda dan tentukan sama ada anda akan kehilangan atau mendapat beberapa dolar. Kemudian tanya diri anda sejauh mana intuisi anda betul. Dan kemudian sedar betapa penjahat saya.

Dan, ya, jika anda sudah memikirkan soalan ini - saya sengaja mengelirukan anda dengan menyalahgambarkan mekanik sebenar permainan dadu, tetapi saya pasti anda boleh mengatasi halangan ini hanya dengan sedikit pemikiran. Cuba selesaikan masalah ini sendiri.

Permainan No. 2 - Baling untuk nasib

Ia adalah permainan dadu peluang yang dipanggil "Roll for Luck" (juga dipanggil "Birdcage" kerana kadangkala dadu tidak dibaling, tetapi diletakkan di dalam sangkar dawai yang besar, mengingatkan sangkar dari Bingo). Permainan ini mudah dan pada asasnya bermuara kepada ini: pertaruhan, katakan, $1 pada nombor dari 1 hingga 6. Kemudian anda melancarkan 3d6. Untuk setiap mati yang mendapat nombor anda, anda mendapat $1 (dan mengekalkan pertaruhan asal anda). Jika nombor anda tidak muncul pada mana-mana dadu, kasino mendapat dolar anda dan anda tidak mendapat apa-apa. Jadi jika anda bertaruh pada 1 dan anda mendapat 1 pada sisi tiga kali, anda mendapat $3.

Secara intuitif nampaknya permainan ini mempunyai peluang yang sama. Setiap mati adalah individu 1 dalam 6 peluang untuk menang, jadi daripada jumlah tiga gulungan, peluang anda untuk menang ialah 3 dalam 6. Walau bagaimanapun, sudah tentu, ingat bahawa anda menambah tiga dadu berasingan, dan anda hanya dibenarkan untuk tambah jika kita bercakap tentang kombinasi kemenangan yang berasingan daripada dadu yang sama. Sesuatu yang anda perlukan untuk membiak.

Sebaik sahaja anda mengira semua hasil yang mungkin (mungkin lebih mudah dilakukan dalam Excel berbanding menggunakan tangan, kerana terdapat 216 daripadanya), permainan ini masih kelihatan ganjil-genap pada pandangan pertama. Malah, kasino masih mempunyai peluang yang lebih baik untuk menang - apatah lagi? Secara khusus, berapa banyak wang secara purata yang anda jangkakan untuk kehilangan setiap pusingan permainan?

Apa yang anda perlu lakukan ialah menjumlahkan kemenangan dan kekalahan semua 216 keputusan dan kemudian bahagikan dengan 216, yang sepatutnya agak mudah. Tetapi, seperti yang anda lihat, terdapat beberapa perangkap di sini, itulah sebabnya saya berkata: jika anda fikir permainan ini mempunyai peluang yang sama untuk menang, anda mempunyai semuanya salah.

Permainan #3 - 5 Card Stud Poker

Jika anda sudah memanaskan diri dengan permainan sebelumnya, mari semak perkara yang kami ketahui tentang kebarangkalian bersyarat menggunakan permainan kad ini sebagai contoh. Mari bayangkan permainan poker dengan dek 52 kad. Mari kita bayangkan juga 5 kad stud, di mana setiap pemain hanya menerima 5 kad. Anda tidak boleh membuang kad, anda tidak boleh melukis yang baharu, tiada dek kongsi - anda hanya mendapat 5 kad.

Royal flush ialah 10-J-Q-K-A dalam satu tangan, terdapat empat kesemuanya, jadi terdapat empat cara yang mungkin untuk mendapatkan royal flush. Kira kebarangkalian anda akan mendapat satu kombinasi tersebut.

Saya mesti memberi amaran kepada anda tentang satu perkara: ingat bahawa anda boleh menarik lima kad ini dalam sebarang susunan. Iaitu, pertama anda boleh melukis ace atau sepuluh, tidak mengapa. Oleh itu, semasa anda membuat pengiraan, perlu diingat bahawa sebenarnya terdapat lebih daripada empat cara untuk mendapatkan royal flush, dengan mengandaikan kad telah diuruskan mengikut urutan.

Permainan No. 4 - Loteri IMF

Masalah keempat tidak dapat diselesaikan dengan begitu mudah menggunakan kaedah yang kita bincangkan hari ini, tetapi anda boleh mensimulasikan situasi dengan mudah menggunakan pengaturcaraan atau Excel. Pada contoh masalah ini, anda boleh menggunakan kaedah Monte Carlo.

Saya menyebut sebelum ini permainan Chron X, yang pernah saya kerjakan, dan terdapat satu kad yang sangat menarik di sana - loteri IMF. Begini cara ia berfungsi: anda menggunakannya dalam permainan. Selepas pusingan tamat, kad telah diedarkan semula, dan terdapat 10% kemungkinan bahawa kad itu akan dimatikan dan pemain rawak akan menerima 5 unit bagi setiap jenis sumber yang tokennya terdapat pada kad tersebut. Kad itu dimasukkan ke dalam permainan tanpa satu cip, tetapi setiap kali ia kekal dalam permainan pada permulaan pusingan seterusnya, ia menerima satu cip.

Jadi terdapat 10% peluang bahawa jika anda memasukkannya ke dalam permainan, pusingan akan tamat, kad akan meninggalkan permainan, dan tiada siapa yang akan mendapat apa-apa. Jika ini tidak berlaku (90% peluang), terdapat 10% peluang (sebenarnya 9%, kerana ia adalah 10% daripada 90%) bahawa pada pusingan seterusnya dia akan meninggalkan permainan dan seseorang akan menerima 5 unit sumber. Jika kad meninggalkan permainan selepas satu pusingan (10% daripada 81% yang tersedia, jadi kebarangkalian adalah 8.1%), seseorang akan menerima 10 unit, satu lagi pusingan - 15, satu lagi - 20, dan seterusnya. Soalan: Apakah nilai jangkaan umum bilangan sumber yang anda akan dapat daripada kad ini apabila ia akhirnya meninggalkan permainan?

Biasanya kami akan cuba menyelesaikan masalah ini dengan mengira kemungkinan setiap hasil dan darab dengan bilangan semua hasil. Terdapat 10% peluang anda akan mendapat 0 (0.1 * 0 = 0). 9% bahawa anda akan menerima 5 unit sumber (9% * 5 = 0.45 sumber). 8.1% daripada apa yang anda akan dapat ialah 10 (8.1%*10=0.81 sumber - nilai jangkaan keseluruhan). Dan sebagainya. Dan kemudian kami akan merumuskan semuanya.

Dan kini masalahnya jelas kepada anda: sentiasa ada kemungkinan bahawa kad itu tidak akan meninggalkan permainan, ia boleh kekal dalam permainan selama-lamanya, untuk bilangan pusingan yang tidak terhingga, jadi tidak ada cara untuk mengira setiap kebarangkalian. Kaedah yang kami pelajari hari ini tidak membenarkan kami mengira rekursi tak terhingga, jadi kami perlu menciptanya secara buatan.

Jika anda cukup mahir dalam pengaturcaraan, tulis program yang akan mensimulasikan peta ini. Anda sepatutnya mempunyai gelung masa yang membawa pembolehubah ke kedudukan permulaan sifar, menunjukkan nombor rawak dan dengan peluang 10% pembolehubah keluar dari gelung. Jika tidak, ia menambah 5 kepada pembolehubah dan gelung berulang. Apabila ia akhirnya keluar dari gelung, tambahkan jumlah bilangan percubaan yang dijalankan sebanyak 1 dan jumlah bilangan sumber (mengikut jumlah bergantung pada tempat pembolehubah itu berakhir). Kemudian tetapkan semula pembolehubah dan mulakan semula.

Jalankan program beberapa ribu kali. Pada akhirnya, bahagikan jumlah sumber dengan jumlah larian - ini akan menjadi nilai Monte Carlo yang anda harapkan. Jalankan program beberapa kali untuk memastikan bahawa nombor yang anda dapat adalah lebih kurang sama. Jika serakan masih besar, tambahkan bilangan ulangan dalam gelung luar sehingga anda mula mendapat padanan. Anda boleh yakin bahawa apa-apa nombor yang anda perolehi adalah kira-kira betul.

Jika anda baru dalam pengaturcaraan (walaupun anda tahu), berikut ialah latihan pantas untuk menguji kemahiran Excel anda. Jika anda seorang pereka permainan, kemahiran ini tidak akan berlebihan.

Sekarang fungsi if dan rand akan sangat berguna kepada anda. Rand tidak memerlukan nilai, ia hanya mengeluarkan nombor perpuluhan rawak antara 0 dan 1. Kami biasanya menggabungkannya dengan lantai dan tambah dan tolak untuk mensimulasikan membaling dadu, yang saya nyatakan sebelum ini. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, kami hanya meninggalkan peluang 10% bahawa kad itu akan meninggalkan permainan, jadi kami hanya boleh menyemak sama ada nilai rand kurang daripada 0.1 dan tidak perlu risau lagi.

Jika mempunyai tiga makna. Mengikut urutan: syarat yang sama ada benar atau palsu, kemudian nilai yang dikembalikan jika syarat itu benar, dan nilai yang dikembalikan jika syarat itu palsu. Jadi fungsi berikut akan mengembalikan 5% masa, dan 0 90% masa yang lain: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Terdapat banyak cara untuk menetapkan arahan ini, tetapi saya akan menggunakan formula ini untuk sel yang mewakili pusingan pertama, katakan ia sel A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Di sini saya menggunakan pembolehubah negatif untuk bermaksud "kad ini belum meninggalkan permainan dan belum melepaskan sebarang sumber lagi." Jadi jika pusingan pertama telah tamat dan kad keluar bermain, A1 ialah 0; sebaliknya ia adalah –1.

Untuk sel seterusnya yang mewakili pusingan kedua: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Jadi jika pusingan pertama tamat dan kad segera meninggalkan permainan, A1 ialah 0 (bilangan sumber) dan sel ini hanya akan menyalin nilai tersebut. Jika tidak, A1 ialah -1 (kad masih belum meninggalkan permainan), dan sel ini terus bergerak secara rawak: 10% daripada masa ia akan mengembalikan 5 unit sumber, selebihnya nilainya masih sama dengan -1. Jika kami menggunakan formula ini pada sel tambahan, kami mendapat pusingan tambahan, dan mana-mana sel yang anda hadapi akan memberikan anda keputusan akhir (atau -1 jika kad tidak pernah meninggalkan permainan selepas semua pusingan yang anda mainkan).

Ambil baris sel itu, yang mewakili satu-satunya pusingan dengan kad itu, dan salin dan tampal beberapa ratus (atau seribu) baris. Kami mungkin tidak dapat melakukan ujian tak terhingga untuk Excel (terdapat bilangan sel yang terhad dalam jadual), tetapi sekurang-kurangnya kami boleh menampung kebanyakan kes. Kemudian pilih satu sel di mana anda akan meletakkan purata keputusan semua pusingan - Excel membantu menyediakan fungsi purata() untuk ini.

Pada Windows, anda sekurang-kurangnya boleh menekan F9 untuk mengira semula semua nombor rawak. Seperti sebelum ini, lakukan ini beberapa kali dan lihat jika anda mendapat nilai yang sama. Jika hamparan terlalu besar, gandakan bilangan larian dan cuba lagi.

Masalah yang tidak dapat diselesaikan

Sekiranya anda mempunyai ijazah dalam teori kebarangkalian dan masalah di atas kelihatan terlalu mudah kepada anda, berikut adalah dua masalah yang saya telah menggaru kepala saya selama bertahun-tahun, tetapi malangnya saya tidak cukup mahir dalam matematik untuk menyelesaikannya.

Masalah Tidak Selesai #1: Loteri IMF

Masalah pertama yang belum selesai ialah tugasan kerja rumah sebelum ini. Saya boleh menggunakan kaedah Monte Carlo dengan mudah (menggunakan C++ atau Excel) dan yakin dengan jawapan kepada soalan "berapa banyak sumber yang akan diterima oleh pemain", tetapi saya tidak tahu dengan tepat cara memberikan jawapan yang boleh dibuktikan secara matematik (ia adalah siri yang tidak terhingga).

Masalah tidak diselesaikan #2: Urutan rajah

Masalah ini (ia juga melangkaui tugas-tugas yang diselesaikan dalam blog ini) telah diberikan kepada saya oleh rakan gamer lebih sepuluh tahun yang lalu. Semasa bermain blackjack di Vegas, dia melihat satu perkara yang menarik: apabila dia mengeluarkan kad dari kasut 8 dek, dia melihat sepuluh angka berturut-turut (angka atau kad muka ialah 10, Joker, King atau Queen, jadi terdapat 16 dalam. jumlah dalam kad 52 dek standard atau 128 dalam kasut kad 416).

Apakah kebarangkalian bahawa kasut ini mengandungi sekurang-kurangnya satu urutan sepuluh atau lebih angka? Mari kita anggap bahawa mereka telah dikocok secara adil, dalam susunan rawak. Atau, jika anda lebih suka, apakah kebarangkalian bahawa urutan sepuluh atau lebih angka tidak berlaku di mana-mana sahaja?

Kita boleh memudahkan tugas. Berikut adalah urutan 416 bahagian. Setiap bahagian ialah 0 atau 1. Terdapat 128 satu dan 288 sifar bertaburan secara rawak sepanjang jujukan. Berapa banyak cara yang ada untuk menyelang secara rawak 128 yang dengan 288 sifar, dan berapa kali dalam cara ini sekurang-kurangnya satu kumpulan sepuluh atau lebih yang akan berlaku?

Setiap kali saya mula menyelesaikan masalah ini, ia kelihatan mudah dan jelas kepada saya, tetapi sebaik sahaja saya menyelidiki butirannya, ia tiba-tiba runtuh dan kelihatan mustahil.

Oleh itu, jangan tergesa-gesa untuk menjawab jawapan: duduk, fikir dengan teliti, kaji syarat-syarat, cuba masukkan nombor nyata, kerana semua orang yang saya bercakap tentang masalah ini (termasuk beberapa pelajar siswazah yang bekerja dalam bidang ini) memberi reaksi tentang yang sama: "Ia benar-benar jelas... oh, tidak, tunggu, ia tidak jelas sama sekali." Ini berlaku apabila saya tidak mempunyai kaedah untuk mengira semua pilihan. Saya boleh, sudah tentu, memaksa masalah melalui algoritma komputer, tetapi ia akan menjadi lebih menarik untuk mengetahui penyelesaian matematik.

Teori ringkas

Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif mengikut tahap kemungkinan kejadiannya, ukuran berangka diperkenalkan, yang dipanggil kebarangkalian kejadian. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor yang menyatakan ukuran kemungkinan objektif sesuatu peristiwa berlaku.

Kuantiti yang menentukan betapa pentingnya sebab objektif untuk menjangkakan kejadian sesuatu peristiwa dicirikan oleh kebarangkalian kejadian itu. Perlu ditekankan bahawa kebarangkalian ialah kuantiti objektif yang wujud secara bebas daripada yang mengetahui dan dikondisikan oleh keseluruhan set keadaan yang menyumbang kepada kejadian sesuatu peristiwa.

Penjelasan yang telah kami berikan untuk konsep kebarangkalian bukanlah definisi matematik, kerana ia tidak mengukur konsep tersebut. Terdapat beberapa takrifan kebarangkalian kejadian rawak, yang digunakan secara meluas dalam menyelesaikan masalah tertentu (klasik, aksiomatik, statistik, dll.).

Takrif klasik kebarangkalian peristiwa mengurangkan konsep ini kepada konsep yang lebih asas tentang peristiwa yang sama mungkin, yang tidak lagi tertakluk kepada definisi dan diandaikan jelas secara intuitif. Sebagai contoh, jika dadu ialah kubus homogen, maka kehilangan mana-mana muka kubus ini akan menjadi peristiwa yang sama mungkin.

Biarkan acara yang boleh dipercayai dibahagikan kepada kes yang sama mungkin, yang jumlahnya memberikan acara itu. Iaitu, kes-kes dari mana ia rosak dipanggil sesuai untuk acara itu, kerana kemunculan salah satu daripadanya memastikan kejadian itu.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan dilambangkan dengan simbol.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dengan nisbah bilangan kes yang menguntungkannya daripada jumlah bilangan kes unik yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi kepada bilangan, i.e.

Ini ialah takrifan klasik bagi kebarangkalian. Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa, adalah perlu, setelah mempertimbangkan pelbagai hasil ujian, untuk mencari satu set kes yang mungkin unik, sama mungkin dan tidak serasi, hitung jumlah bilangannya n, bilangan kes m yang sesuai untuk peristiwa tertentu, dan kemudian lakukan pengiraan menggunakan formula di atas.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa yang sama dengan nisbah bilangan hasil eksperimen yang menguntungkan peristiwa itu kepada jumlah bilangan hasil eksperimen dipanggil kebarangkalian klasik peristiwa rawak.

Sifat kebarangkalian berikut mengikut definisi:

Harta 1. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

Sifat 2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sifat 3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Harta 4. Kebarangkalian berlakunya peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu.

Sifat 5. Kebarangkalian berlakunya peristiwa bertentangan ditentukan dengan cara yang sama seperti kebarangkalian kejadian A.

Bilangan kes yang memihak kepada kejadian yang bertentangan. Oleh itu kebarangkalian berlakunya peristiwa bertentangan adalah sama dengan perbezaan antara perpaduan dan kebarangkalian kejadian A:

Kelebihan penting definisi klasik tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah dengan bantuannya kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, tetapi berdasarkan penaakulan logik.

Apabila satu set syarat dipenuhi, peristiwa yang boleh dipercayai pasti akan berlaku, tetapi peristiwa yang mustahil pasti tidak akan berlaku. Antara peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak apabila satu set syarat dicipta, kejadian sesetengahnya boleh dikira dengan alasan yang munasabah, dan kejadian yang lain dengan alasan yang kurang. Jika, sebagai contoh, terdapat lebih banyak bola putih dalam tempayan daripada bola hitam, maka terdapat lebih banyak sebab untuk mengharapkan kemunculan bola putih apabila diambil dari tempayan secara rawak daripada kemunculan bola hitam.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 1

Sebuah kotak mengandungi 8 bola putih, 4 bola hitam dan 7 bola merah. 3 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: – sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik, – terdapat sekurang-kurangnya 2 bola yang sama warna, – terdapat sekurang-kurangnya 1 bola merah dan 1 bola putih.

Penyelesaian masalah

Kami mencari jumlah bilangan hasil ujian sebagai bilangan gabungan 19 (8+4+7) elemen bagi 3:

Mari cari kebarangkalian kejadian itu– sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik (1,2 atau 3 bola merah)

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya 2 bola dengan warna yang sama (2 atau 3 bola putih, 2 atau 3 bola hitam dan 2 atau 3 bola merah)

Bilangan hasil yang menguntungkan acara tersebut:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya satu bola merah dan 1 bola putih

(1 merah, 1 putih, 1 hitam atau 1 merah, 2 putih atau 2 merah, 1 putih)

Bilangan hasil yang menguntungkan acara tersebut:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Jawapan: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Contoh 2

Dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian bahawa jumlah mata adalah sekurang-kurangnya 5.

Penyelesaian

Biarkan acara itu mendapat markah sekurang-kurangnya 5

Mari kita gunakan definisi klasik kebarangkalian:

Jumlah bilangan hasil ujian yang mungkin

Bilangan percubaan yang memihak kepada acara yang diminati

Di bahagian yang dijatuhkan pada dadu pertama, satu mata, dua mata..., enam mata mungkin muncul. begitu juga, enam hasil adalah mungkin apabila melancarkan dadu kedua. Setiap hasil melontar mata dadu pertama boleh digabungkan dengan setiap hasil mata kedua. Oleh itu, jumlah bilangan hasil ujian asas yang mungkin adalah sama dengan bilangan peletakan dengan ulangan (pilihan dengan peletakan 2 elemen daripada set volum 6):

Mari kita cari kebarangkalian peristiwa bertentangan - jumlah mata adalah kurang daripada 5

Gabungan mata yang digugurkan berikut akan memihak kepada acara tersebut:

№

tulang pertama

tulang ke-2

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Takrif geometri kebarangkalian dibentangkan dan penyelesaian kepada masalah pertemuan yang terkenal diberikan.