Dua sisi segitiga tegak yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki. Sisi terpanjang bagi segitiga bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus. Untuk mengesan hipotenus, anda perlu mengetahui panjang kaki.

Arahan

1. Panjang kaki dan hipotenus dikaitkan dengan hubungan yang diterangkan oleh teorem Pythagoras. Rumusan algebra: "Dalam segi tiga tepat, kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua panjang kaki." panjang hipotenus, a dan b ialah panjang kaki.

2. Mengetahui panjang kaki, mengikut teorem Pythagoras, adalah mungkin untuk mencari hipotenus segi tiga tepat: c = ?(a2 + b2).

3. Contoh. Panjang satu daripada kaki ialah 3 cm, panjang yang lain ialah 4 cm. Jumlah segi empat samanya ialah 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? = 25 cm?.Panjang hipotenus dalam kes kita adalah sama dengan punca kuasa dua 25 cm? – 5 cm Oleh itu, panjang hipotenus ialah 5 cm.

Hipotenus ialah sisi dalam segi tiga tepat yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Untuk mengira panjangnya, cukup untuk mengetahui panjang salah satu kaki dan saiz salah satu sudut akut segitiga.

Arahan

1. Dengan kaki yang terkenal dan sudut akut bagi segi tiga tegak, saiz hipotenus boleh sama dengan nisbah kaki kepada kosinus/sinus sudut ini, jika sudut ini bertentangan/bersebelahan dengannya: h = C1 (atau C2)/sin?; h = C1 (atau C2 )/cos?.Contoh: Biarkan segitiga tegak ABC dengan hipotenus AB dan sudut tegak C Biarkan sudut B ialah 60 darjah dan sudut A 30 darjah kaki BC ialah 8 cm Kita perlu mencari panjang hipotenus AB. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan di atas: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi empat tepat segi tiga. Ia terletak bertentangan dengan sudut kanan. Kaedah untuk mencari hipotenus segi empat tepat segi tiga bergantung pada data awal yang anda miliki.

Arahan

1. Jika kita mempunyai kaki segi empat tepat segi tiga, maka panjang hipotenus segi empat tepat itu segi tiga boleh ditemui dengan bantuan teorem Pythagoras - kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki: c2 = a2 + b2, di mana a dan b ialah panjang kaki. daripada segi empat tepat segi tiga .

2. Jika kita melukis salah satu kaki dan sudut akut, maka formula untuk mencari hipotenus akan bergantung pada sudut mana yang berkaitan dengan kaki yang dipandu - bersebelahan (terletak berhampiran kaki) atau bertentangan (terletak bertentangan dengannya. Dalam kes satu sudut bersebelahan, hipotenus adalah sama dengan nisbah kaki dengan kosinus sudut ini: c = a/cos?; E ialah sudut bertentangan, hipotenus adalah sama dengan nisbah kaki kepada sinus sudut: c = a/dosa?.

Video mengenai topik

Hipotenus ialah sisi segi tiga tegak yang terletak bertentangan dengan sudut tegak. Ia adalah sisi terpanjang bagi segi tiga tepat. Ia boleh dikira menggunakan teorem Pythagoras atau menggunakan formula fungsi trigonometri.

Arahan

1. Sisi segi tiga tegak yang bersebelahan dengan sudut tegak dipanggil kaki. Dalam rajah itu, kaki-kaki itu ditetapkan AB dan BC. Biarkan panjang kedua-dua belah kaki diberi. Mari kita nyatakan mereka sebagai |AB| dan |BC|. Untuk mencari panjang hipotenus |AC|, kita menggunakan teorem Pythagoras. Menurut teorem ini, hasil tambah kuasa dua kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus, i.e. dalam tatatanda rajah kami |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Daripada formula kita dapati bahawa panjang hipotenus AC didapati sebagai |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Mari kita lihat contoh. Biarkan panjang kaki |AB|. = 13, |SM| = 21. Dengan teorem Pythagoras kita dapati bahawa |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Untuk mendapatkan panjang hipotenus, anda perlu mengambil punca kuasa dua hasil tambah daripada segi empat sama kaki, i.e. daripada nombor 610: |AC| =?610. Dengan menggunakan jadual kuasa dua integer, kita dapati bahawa nombor 610 bukanlah kuasa dua sempurna bagi sebarang integer. Untuk mendapatkan nilai akhir panjang hipotenus, mari cuba gerakkan petak penuh dari bawah tanda akar. Untuk melakukan ini, mari kita memfaktorkan nombor 610. 610 = 2 * 5 * 61. Melihat jadual nombor primitif, kita melihat bahawa 61 ialah nombor primitif. Akibatnya, pengurangan nombor seterusnya?610 adalah tidak realistik. Kami mendapat keputusan akhir |AC| = ?610 Jika kuasa dua hipotenus adalah sama dengan, contohnya, 675, maka?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Jika pengurangan serupa boleh diterima, lakukan semakan terbalik - kuasa duakan jumlah dan bandingkan dengan nilai awal.

3. Beritahu kami salah satu kaki dan sudut yang bersebelahan dengannya. Untuk lebih spesifik, biarkan ini menjadi sebelah |AB| dan sudut?. Kemudian kita boleh menggunakan formula untuk kosinus fungsi trigonometri - kosinus sudut adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Itu. dalam notasi cos kami? = |AB| / |AC|. Dari situ kita mendapat panjang hipotenus |AC| = |AB| / cos ?.Jika kita biasa dengan sisi |BC| dan sudut?, maka kita akan menggunakan formula untuk mengira sinus sudut - sinus sudut adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus: sin? = |SM| / |AC|. Kami mendapati bahawa panjang hipotenus ialah |AC| = |SM| /cos?.

4. Untuk kejelasan, mari kita lihat contoh. Biarkan panjang kaki |AB|. = 15. Dan sudut? = 60°. Kami mendapat |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30. Mari lihat bagaimana anda boleh menyemak keputusan anda menggunakan teorem Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita perlu mengira panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan formula tangen sudut tg? = |SM| / |AC|, kami mendapat |BC| = |AB| *tg? = 15 * tan 60° = 15 * ?3. Seterusnya kita menggunakan teorem Pythagoras, kita mendapat 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Semakan selesai.

Nasihat yang berguna
Selepas mengira hipotenus, semak sama ada nilai yang terhasil memenuhi teorem Pythagoras.

Geometri bukanlah sains yang mudah. Ia boleh berguna untuk kurikulum sekolah dan dalam kehidupan sebenar. Pengetahuan tentang banyak formula dan teorem akan memudahkan pengiraan geometri. Salah satu angka paling mudah dalam geometri ialah segitiga. Salah satu jenis segi tiga, sama sisi, mempunyai ciri tersendiri.

Ciri-ciri segi tiga sama sisi

Secara definisi, segitiga ialah polihedron yang mempunyai tiga sudut dan tiga sisi. Ini adalah angka dua dimensi yang rata, sifatnya dipelajari di sekolah menengah. Berdasarkan jenis sudut, terdapat segi tiga akut, tumpul dan tegak. Segitiga tegak ialah rajah geometri dengan salah satu sudutnya ialah 90º. Segitiga sedemikian mempunyai dua kaki (ia mencipta sudut tepat) dan satu hipotenus (ia bertentangan dengan sudut tepat). Bergantung pada kuantiti yang diketahui, terdapat tiga cara mudah untuk mengira hipotenus segi tiga tepat.

Cara pertama ialah mencari hipotenus bagi segi tiga tegak. Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras ialah cara tertua untuk mengira mana-mana sisi bagi segi tiga tegak. Bunyinya seperti ini: "Dalam segi tiga tepat, kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki." Oleh itu, untuk mengira hipotenus, seseorang mesti memperoleh punca kuasa dua hasil tambah dua kaki kuasa dua. Untuk kejelasan, formula dan gambar rajah diberikan.

Cara kedua. Pengiraan hipotenus menggunakan 2 kuantiti yang diketahui: kaki dan sudut bersebelahan

Salah satu sifat segi tiga tegak menyatakan bahawa nisbah panjang kaki kepada panjang hipotenus adalah bersamaan dengan kosinus sudut antara kaki ini dan hipotenus. Mari kita panggil sudut yang diketahui oleh kita α. Sekarang, terima kasih kepada definisi yang terkenal, anda boleh dengan mudah merumuskan formula untuk mengira hipotenus: Hypotenuse = leg/cos(α)

cara ketiga. Pengiraan hipotenus menggunakan 2 kuantiti yang diketahui: kaki dan sudut bertentangan

Jika sudut bertentangan diketahui, adalah mungkin untuk menggunakan sifat segi tiga tepat sekali lagi. Nisbah panjang kaki dan hipotenus adalah bersamaan dengan sinus sudut bertentangan. Mari kita panggil sekali lagi sudut yang diketahui α. Sekarang untuk pengiraan kami akan menggunakan formula yang sedikit berbeza:
Hypotenuse = kaki/sin (α)

Contoh untuk membantu anda memahami formula

Untuk pemahaman yang lebih mendalam tentang setiap formula, anda harus mempertimbangkan contoh ilustrasi. Jadi, katakan anda diberi segi tiga tepat, di mana terdapat data berikut:

• Kaki - 8 cm.
• Sudut bersebelahan cosα1 ialah 0.8.
• Sudut bertentangan sinα2 ialah 0.8.

Mengikut teorem Pythagoras: Hypotenuse = punca kuasa dua (36+64) = 10 cm.
Mengikut saiz kaki dan sudut bersebelahan: 8/0.8 = 10 cm.
Mengikut saiz kaki dan sudut bertentangan: 8/0.8 = 10 cm.

Sebaik sahaja anda memahami formula, anda boleh mengira hipotenus dengan mudah dengan sebarang data.

Video: Teorem Pythagoras

Terdapat banyak jenis segitiga: positif, isosceles, akut, dan sebagainya. Kesemua mereka mempunyai sifat yang klasik hanya untuk mereka, dan masing-masing mempunyai peraturan sendiri untuk mencari kuantiti, sama ada sisi atau sudut di pangkalan. Tetapi daripada setiap kepelbagaian angka geometri ini, adalah mungkin untuk memilih segitiga dengan sudut tepat ke dalam kumpulan yang berasingan.

Anda akan perlukan

• Helaian kosong, pensel dan pembaris untuk gambaran skematik segi tiga.

Arahan

1. Segitiga dipanggil segi empat tepat jika salah satu sudutnya ialah 90 darjah. Ia terdiri daripada 2 kaki dan hipotenus. Hipotenus ialah sisi terbesar bagi segi tiga ini. Ia terletak bertentangan dengan sudut kanan. Kaki, dengan itu, dipanggil sisi yang lebih kecil. Mereka boleh sama ada sama antara satu sama lain atau mempunyai saiz yang berbeza. Kesamaan kaki bermakna anda sedang bekerja dengan segi tiga tegak sama kaki. Keindahannya ialah ia menggabungkan sifat 2 angka: segi tiga tepat dan segi tiga sama kaki. Jika kaki tidak sama, maka segitiga adalah sewenang-wenangnya dan mematuhi undang-undang asas: semakin besar sudut, semakin besar yang terletak bertentangan dengannya berguling.

2. Terdapat beberapa kaedah untuk mencari hipotenus mengikut kaki dan sudut. Tetapi sebelum menggunakan salah satu daripada mereka, anda harus menentukan kaki dan sudut mana yang diketahui. Jika sudut dan kaki yang bersebelahan dengannya diberikan, maka hipotenus lebih mudah untuk dikesan dengan melihat kosinus sudut. Kosinus sudut akut (cos a) dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Ia berikutan bahawa hipotenus (c) akan sama dengan nisbah kaki bersebelahan (b) kepada kosinus sudut a (cos a). Ini boleh ditulis seperti ini: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Jika sudut dan kaki bertentangan diberikan, maka anda harus bekerja dengan sinus. Sinus sudut akut (sin a) dalam segi tiga tegak ialah nisbah sisi bertentangan (a) kepada hipotenus (c). Tesis di sini berfungsi seperti dalam contoh sebelumnya, hanya sebagai ganti fungsi kosinus, sinus diambil. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Anda juga boleh menggunakan fungsi trigonometri seperti tangen. Tetapi mencari nilai yang diingini akan menjadi lebih sukar. Tangen bagi sudut akut (tg a) dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bertentangan (a) kepada kaki bersebelahan (b). Setelah menemui kedua-dua kaki, gunakan teorem Pythagoras (persegi segi tiga hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama kaki) dan sisi besar segi tiga akan ditemui.

Hipotenus ialah sisi dalam segi tiga tepat yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Untuk mengira panjangnya, cukup untuk mengetahui panjang salah satu kaki dan saiz salah satu sudut akut segitiga.

Arahan

1. Dengan kaki mengekor dan sudut akut segi tiga tegak, saiz hipotenus boleh sama dengan nisbah kaki kepada kosinus/sinus sudut ini, jika sudut ini bertentangan/bersebelahan dengannya: h = C1 ( atau C2)/sin?; h = C1 (atau C2 )/cos?.Contoh: Biarkan segi tiga tegak ABC dengan hipotenus AB dan sudut tegak C. Biarkan sudut B ialah 60 darjah dan sudut A 30 darjah panjang kaki BC ialah 8 cm Kita perlu mencari panjang hipotenus AB. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan di atas: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

perkataan " kaki"berasal daripada perkataan Yunani "serenjang" atau "plumb" - ini menjelaskan mengapa kedua-dua belah segi tiga tepat, yang membentuk sudut sembilan puluh darjah, dinamakan seperti ini. Cari panjang setiap satu kaki Tidak sukar jika anda mengetahui nilai sudut yang bersebelahan dengannya dan beberapa parameter lain, kerana dalam kes ini nilai semua 3 sudut sebenarnya akan diketahui.

Arahan

1. Jika, sebagai tambahan kepada nilai sudut bersebelahan (β), panjang kedua kaki a (b), kemudian panjang kaki dan (a) boleh ditakrifkan sebagai hasil bagi panjang yang terkenal kaki dan untuk tangen sudut yang dikehendaki: a=b/tg(β). Ini berikutan daripada definisi fungsi trigonometri ini. Anda boleh melakukannya tanpa tangen jika anda menggunakan teorem sinus. Ia berikutan daripadanya bahawa nisbah panjang sisi yang dikehendaki kepada sinus sudut bertentangan adalah sama dengan nisbah panjang sisi yang dikehendaki. kaki dan kepada sinus sudut yang terkenal. Bertentangan dengan apa yang dihajati kaki y sudut akut boleh dinyatakan melalui sudut yang terkenal sebagai 180°-90°-β = 90°-β, kerana hasil tambah semua sudut mana-mana segi tiga mestilah 180°, dan mengikut takrif segi tiga tepat, salah satu daripadanya. sudut ialah 90°. Ini bermakna panjang yang dikehendaki kaki dan boleh dikira menggunakan formula a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Jika nilai sudut bersebelahan (β) dan panjang hipotenus (c) diketahui, maka panjang kaki dan (a) boleh dikira sebagai hasil darab panjang hipotenus dan kosinus sudut terkenal: a=c∗cos(β). Ini berikutan daripada takrifan kosinus sebagai fungsi trigonometri. Tetapi anda boleh menggunakan, seperti dalam langkah sebelumnya, teorem sinus dan kemudian panjang yang dikehendaki kaki a akan sama dengan hasil darab sinus bagi perbezaan antara 90° dan sudut rujukan dan nisbah panjang hipotenus kepada sinus sudut tepat. Dan kerana sinus 90° adalah sama dengan satu, formula boleh ditulis seperti berikut: a=sin(90°-β)∗c.

3. Pengiraan sebenar boleh dibuat, katakan, menggunakan kalkulator perisian yang disertakan dalam OS Windows. Untuk melancarkannya, anda boleh memilih item "Jalankan" dalam menu utama pada butang "Mula", taip arahan calc dan klik butang "OK". Dalam versi paling mudah antara muka program ini yang dibuka secara lalai, fungsi trigonometri tidak disediakan, oleh itu, selepas melancarkannya, anda perlu mengklik bahagian "Lihat" dalam menu dan pilih baris "Saintis" atau "Jurutera"; (bergantung pada versi sistem pengendalian yang digunakan).

Video mengenai topik

Perkataan "kathet" berasal dari bahasa Rusia dari bahasa Yunani. Dalam terjemahan tepat, ia bermaksud garis tegak, iaitu, berserenjang dengan permukaan bumi. Dalam matematik, kaki ialah sisi yang membentuk sudut tepat bagi segi tiga tegak. Sisi yang bertentangan dengan sudut ini dipanggil hipotenus. Istilah "kaki" juga digunakan dalam seni bina dan teknologi kimpalan khas.

Lukiskan segi tiga tepat DIA. Labelkan kakinya sebagai a dan b, dan hipotenusnya sebagai c. Semua sisi dan sudut segi tiga tegak berkaitan antara satu sama lain oleh hubungan tertentu. Nisbah kaki yang bertentangan dengan salah satu sudut akut kepada hipotenus dipanggil sinus sudut ini. Dalam segi tiga ini sinCAB=a/c. Kosinus ialah nisbah kepada hipotenus kaki bersebelahan, iaitu, cosCAB=b/c. Hubungan songsang dipanggil sekan dan kosekan Bahagian sudut tertentu diperoleh dengan membahagikan hipotenus dengan kaki bersebelahan, iaitu secCAB = c/b. Hasilnya ialah timbal balik kosinus, iaitu, ia boleh dinyatakan menggunakan formula secCAB=1/cosSAB. Kosekan adalah sama dengan hasil bagi hipotenus dibahagikan dengan sisi bertentangan dan merupakan salingan sinus. Ia boleh dikira menggunakan formula cosecCAB = 1/sinCAB Kedua-dua kaki berkait antara satu sama lain secara tangen dan kotangen. Dalam kes ini, tangen akan menjadi nisbah sisi a ke sisi b, iaitu sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Hubungan ini boleh dinyatakan dengan formula tgCAB=a/b. Oleh itu, nisbah songsang akan menjadi kotangen: ctgCAB=b/a. Hubungan antara saiz hipotenus dan kedua-dua kaki ditentukan oleh ahli matematik Yunani purba Pythagoras. Teorem yang dinamakan sempena namanya masih digunakan oleh orang ramai hingga ke hari ini. Ia mengatakan bahawa kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki, iaitu, c2 = a2 + b2. Sehubungan itu, setiap kaki akan sama dengan punca kuasa dua perbezaan antara kuasa dua hipotenus dan kaki yang satu lagi. Formula ini boleh ditulis sebagai b=?(c2-a2). Panjang kaki juga boleh dinyatakan melalui hubungan yang terkenal. Menurut teorem sinus dan kosinus, kaki adalah sama dengan hasil darab hipotenus dan salah satu daripada fungsi ini. Ia juga boleh dinyatakan melalui tangen atau kotangen. Kaki a boleh didapati, katakan, menggunakan formula a = b*tan CAB. Dengan cara yang sama, bergantung pada tangen atau kotangen yang diberikan, kaki ke-2 ditentukan Istilah "kaki" juga digunakan dalam seni bina. Ia digunakan berhubung dengan modal Ionik dan menandakan garis paip melalui bahagian tengah belakangnya. Iaitu, dalam kes ini, istilah ini menandakan serenjang dengan garis tertentu. Dalam teknologi kimpalan khas terdapat konsep "kaki kimpalan fillet". Seperti dalam kes lain, ini adalah jarak terpendek. Di sini kita bercakap tentang selang antara salah satu bahagian yang dikimpal ke sempadan jahitan yang terletak di permukaan bahagian lain.

Video mengenai topik

Beri perhatian!
Apabila bekerja dengan teorem Pythagoras, ingat bahawa anda sedang berurusan dengan ijazah. Setelah menemui jumlah kuasa dua kaki, untuk mendapatkan hasil akhir, seseorang mesti mengekstrak punca kuasa dua.

Terdapat tiga pilihan untuk menyelesaikan masalah ini. Yang pertama ialah jika dalam keadaan masalah itu diberikan bahawa kaki adalah sama (sebenarnya, kita mempunyai segi tiga sama kaki kanan). Yang kedua ialah jika beberapa sudut masih diberikan (kecuali untuk sudut 45%, maka kita mempunyai segi tiga sama kaki yang sama dan kembali ke pilihan pertama). Dan yang ketiga - apabila salah satu kaki diketahui. Mari pertimbangkan pilihan ini dengan lebih terperinci.

Bagaimana untuk mencari kaki yang sama dengan hipotenus yang diketahui

• kaki pertama (mari kita nyatakan dengan huruf "a") adalah sama dengan kaki kedua ((mari kita nyatakan dengan huruf "b"): a=b;

• saiz kaki;

Dalam versi ini, penyelesaian kepada masalah adalah berdasarkan penggunaan teorem Pythagoras. Ia digunakan pada segi tiga tepat dan versi utamanya berbunyi seperti: "Kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama kaki." Oleh kerana kaki kita adalah sama, kita boleh menandakan kedua-dua kaki dengan simbol yang sama: a=b, yang bermaksud a=a.

1. Kami menggantikan simbol kami ke dalam teorem (dengan mengambil kira perkara di atas):
   c^2=a^2+a^2,
2. Seterusnya, kami permudahkan formula sebanyak mungkin:
   с^2=2*(a^2) - kumpulan,
   с=√2*а - kita bawa kedua-dua belah persamaan kepada punca kuasa dua,
   a=c/√2 - kami mengeluarkan apa yang kami cari.
3. Mari kita gantikan nilai hipotenus ini dan dapatkan penyelesaiannya:
   a=x/√2

Bagaimana untuk mencari kaki, memandangkan hipotenus dan sudut yang diketahui

• hipotenus (mari kita nyatakan dengan huruf "c") adalah sama dengan x cm: c=x;
• sudut β sama dengan q: β=q;

• saiz kaki;

Untuk menyelesaikan masalah ini anda perlu menggunakan fungsi trigonometri. Dua yang paling popular ialah:

• fungsi sinus - sinus sudut yang dikehendaki adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus;
• fungsi kosinus - kosinus sudut yang dikehendaki adalah sama dengan nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus;

Anda boleh menggunakan mana-mana satu. Saya akan memberikan contoh menggunakan yang pertama. Biarkan kaki ditetapkan dengan simbol "a" (bersebelahan dengan sudut) dan "b" (bertentangan dengan sudut). Oleh itu, sudut kami terletak di antara kaki "a" dan hipotenus.

1. Kami menggantikan simbol yang dipilih ke dalam formula:
   sinβ = b/c
2. Kami memperoleh kaki:
   b=c*sinβ
3. Kami menggantikan yang diberikan dan kami mempunyai satu kaki.
   b=c*sinq

Kaki kedua boleh didapati menggunakan fungsi trigonometri kedua, atau pergi ke pilihan ketiga.

Bagaimana untuk mencari sebelah jika hipotenus dan sebelah lagi diketahui

• hipotenus (mari kita nyatakan dengan huruf "c") adalah sama dengan x cm: c=x;
• kaki (mari kita nyatakan dengan huruf "b") adalah sama dengan y cm: b=y;

• saiz kaki yang lain (mari kita nyatakan dengan huruf "a");

Dalam versi ini, penyelesaian kepada masalah, seperti yang pertama, adalah menggunakan teorem Pythagoras.

1. Kami menggantikan simbol kami ke dalam teorem:
   c^2=a^2+b^2,
2. Kami mengeluarkan kaki yang diperlukan:
   a^2=c^2-b^2
3. Kami mengambil kedua-dua belah persamaan ke punca kuasa dua:
   a=√(c^2-b^2)
4. Kami menggantikan nilai-nilai ini dan kami mempunyai penyelesaiannya:
   a=√(x^2-y^2)

Arahan

Biarkan salah satu kaki segi tiga tegak diketahui. Katakan |BC| = b. Kemudian kita boleh menggunakan teorem Pythagoras, mengikut hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki: a^2 + b^2 = c^2. Daripada persamaan ini kita dapati sisi yang tidak diketahui |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Biarkan salah satu sudut bagi segi tiga tegak diketahui, andaikan ∟α. Kemudian AB dan BC bagi segi tiga tepat ABC boleh didapati menggunakan fungsi trigonometri. Jadi kita dapat: sinus ∟α adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan sin α = b / c, kosinus ∟α adalah sama dengan nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus cos α = a / c. Dari sini kita dapati panjang sisi yang diperlukan: |AB| = a = c * cos α, |BC| = b = c * sin α.

Biarkan nisbah kaki k = a / b diketahui. Kami juga menyelesaikan masalah menggunakan fungsi trigonometri. Nisbah a / b adalah tidak lebih daripada kotangen ∟α: sisi bersebelahan ctg α = a / b. Dalam kes ini, daripada kesamarataan ini kita nyatakan a = b * ctg α. Dan kita gantikan a^2 + b^2 = c^2 ke dalam teorem Pythagoras:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Mengambil b^2 daripada kurungan, kita dapat b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. Dan dari sini kita dengan mudah memperoleh panjang kaki b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), di mana k ialah nisbah kaki yang diberikan.

Secara analogi, jika nisbah kaki b / a diketahui, kami menyelesaikan masalah menggunakan tangent tan α = b / a. Kami menggantikan nilai b = a * tan α ke dalam teorem Pythagoras a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2. Oleh itu a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), dengan k ialah nisbah kaki yang diberi.

Mari kita pertimbangkan kes-kes khas.

∟α = 30°. Kemudian |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |SM| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Kemudian |AB| = |SM| = a = b = c * √2 / 2.

Video mengenai topik

Sila ambil perhatian

Akar kuasa dua diekstrak dengan tanda positif, kerana panjang tidak boleh negatif. Ini kelihatan jelas, tetapi ralat ini sangat biasa jika anda menyelesaikan masalah secara automatik.

Nasihat yang berguna

Untuk mencari kaki segi tiga tepat, adalah mudah untuk menggunakan formula pengurangan: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Sumber:

• Jadual Bradis untuk mencari nilai fungsi trigonometri

Hubungan antara sisi dan sudut segitiga tegak dibincangkan dalam cabang matematik yang dipanggil trigonometri. Untuk mencari sisi segi tiga tepat, cukup untuk mengetahui teorem Pythagoras, definisi fungsi trigonometri, dan mempunyai beberapa cara untuk mencari nilai fungsi trigonometri, contohnya, kalkulator atau jadual Bradis. Mari kita pertimbangkan di bawah kes-kes utama masalah mencari sisi segi tiga tepat.

Anda akan perlukan

• Kalkulator, jadual Bradis.

Arahan

Jika anda diberi salah satu sudut akut, contohnya, A, dan hipotenus, maka kaki boleh didapati daripada takrifan trigonometri asas:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Jika salah satu sudut akut, sebagai contoh, A, dan satu daripada kaki, sebagai contoh, a, diberikan, maka hipotenus dan kaki yang satu lagi dikira daripada hubungan: b=a*tg(A), c= a*dosa(A).

Nasihat yang berguna

Jika anda tidak mengetahui nilai sinus atau kosinus salah satu sudut yang diperlukan untuk pengiraan, anda boleh menggunakan jadual Bradis yang menyediakan nilai fungsi trigonometri untuk sejumlah besar sudut. Di samping itu, kebanyakan kalkulator moden mampu mengira sinus dan kosinus sudut.

Sumber:

• cara mengira sisi segi tiga tepat pada tahun 2019

Petua 3: Bagaimana untuk mencari sudut jika anda mengetahui sisi segi tiga tepat

Tre segi empat sama, salah satu sudutnya tegak (sama dengan 90°) dipanggil segi empat tepat. Sisi terpanjangnya sentiasa terletak bertentangan dengan sudut tepat dan dipanggil hipotenus, dan dua yang lain. sisi dipanggil kaki. Jika panjang ketiga-tiga sisi ini diketahui, maka cari nilai semua sudut tiga segi empat sama dan tidak akan sukar, kerana sebenarnya anda hanya perlu mengira salah satu sudut. Terdapat beberapa cara untuk melakukan ini.

Arahan

Gunakan untuk mengira kuantiti (α, β, γ) takrifan fungsi trigonometri melalui segi tiga segi empat tepat. Seperti, sebagai contoh, untuk sinus sudut akut sebagai nisbah panjang kaki bertentangan dengan panjang hipotenus. Ini bermakna jika panjang kaki (A dan B) dan hipotenus (C), maka, sebagai contoh, anda boleh mencari sinus sudut α terletak bertentangan kaki A dengan membahagikan panjang sisi Dan untuk panjangnya sisi C (hipotenus): sin(α)=A/C. Setelah mengetahui nilai sinus sudut ini, anda boleh mencari nilainya dalam darjah menggunakan fungsi songsang sinus - arcsine. Iaitu, α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Dengan cara yang sama anda boleh mencari saiz sudut akut dalam segitiga. segi empat sama Ya, tetapi ini tidak perlu. Oleh kerana hasil tambah semua sudut ialah tiga segi empat sama a ialah 180°, dan dalam tiga segi empat sama Jika salah satu sudut ialah 90°, maka nilai sudut ketiga boleh dikira sebagai perbezaan antara 90° dan nilai sudut yang ditemui: β=180°-90°-α=90°-α.

Daripada menentukan sinus, anda boleh menggunakan takrifan kosinus sudut akut, yang dirumuskan sebagai nisbah panjang kaki bersebelahan dengan sudut yang dikehendaki kepada panjang hipotenus: cos(α)=B/ C. Dan di sini, gunakan fungsi trigonometri songsang (arccosine) untuk mencari sudut dalam darjah: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Selepas ini, seperti dalam langkah sebelumnya, yang tinggal hanyalah mencari nilai sudut yang hilang: β=90°-α.

Anda boleh menggunakan tangen yang serupa - ia dinyatakan dengan nisbah panjang kaki bertentangan dengan sudut yang dikehendaki kepada panjang kaki bersebelahan: tan(α)=A/B. Sekali lagi, tentukan sudut dalam darjah menggunakan fungsi trigonometri songsang -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Formula untuk sudut yang hilang akan kekal tidak berubah: β=90°-α.

Video mengenai topik

Petua 4: Bagaimana untuk mencari panjang sisi segi tiga tepat

Segitiga dianggap bersudut tegak jika salah satu sudutnya tegak. sebelah segi tiga terletak bertentangan dengan sudut tepat dipanggil hipotenus, dan dua yang lain sisi- kaki. Untuk mencari panjang sisi segi empat tepat segi tiga, anda boleh menggunakan beberapa kaedah.

Arahan

Anda boleh mengetahui yang ketiga sisi, mengetahui panjang dua sisi yang lain segi tiga. Ini boleh dilakukan dengan menggunakan teorem Pythagoras, yang menyatakan bahawa segi empat sama segi empat tepat segi tiga jumlah segiempat sama kakinya. (a² = b²+ c²). Dari sini kita boleh menyatakan panjang semua sisi segi empat tepat segi tiga:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Sebagai contoh, untuk segi empat tepat segi tiga panjang hipotenus a (18 cm) dan satu daripada kaki, contohnya c (14 cm), diketahui. Kepada panjang sisi lain, anda perlu melakukan 2 operasi algebra:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Jawapan: panjang kaki ialah √128 cm atau lebih kurang 11.3 cm

Anda boleh menggunakan jika anda mengetahui panjang hipotenus dan saiz salah satu titik akut bagi segi empat tepat tertentu. segi tiga. Biarkan panjangnya c dan salah satu sudut lancip sama dengan α. Dalam kes ini, cari 2 yang lain sisi segi empat tepat segi tiga ia boleh dilakukan menggunakan formula berikut:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Anda boleh memberi: panjang hipotenus ialah 15 cm, salah satu sudut akut ialah 30 darjah. Untuk mencari panjang dua sisi yang lain, anda perlu melakukan 2 langkah:
a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (lebih kurang)

Cara yang paling tidak remeh untuk mencari panjang sisi segi empat tepat segi tiga- adalah untuk menyatakannya dari perimeter angka yang diberikan:
P = a + b + c, dengan P ialah perimeter segi empat tepat segi tiga. Daripada ungkapan ini mudah diungkapkan panjang mana-mana sisi segi empat tepat segi tiga.

Petua 5: Bagaimana untuk mencari sudut segi tiga tepat dengan mengetahui semua sisi

Pengetahuan tentang ketiga-tiga pihak secara langsung arang batu segi tiga adalah lebih daripada cukup untuk mengira mana-mana sudutnya. Terdapat begitu banyak maklumat yang anda juga berpeluang untuk memilih pihak mana yang hendak digunakan dalam pengiraan untuk menggunakan fungsi trigonometri yang paling sesuai dengan anda.

Arahan

Jika anda lebih suka berurusan dengan arcsine, gunakan panjang hipotenus (C) - yang paling panjang sisi- dan kaki (A) yang terletak bertentangan dengan sudut yang dikehendaki (α). Membahagikan panjang kaki ini dengan panjang hipotenus akan memberikan nilai sinus sudut yang dikehendaki, dan fungsi songsang sinus - arcsine - daripada nilai yang terhasil akan memulihkan nilai sudut dalam . Oleh itu, gunakan yang berikut dalam pengiraan anda: α = arcsin(A/C).

Untuk menggantikan arcsine dengan arccosine, gunakan pengiraan panjang sisi yang membentuk sudut yang dikehendaki (α). Satu daripadanya akan menjadi hipotenus (C), dan yang lain akan menjadi kaki (B). Secara definisi, kosinus ialah panjang kaki yang bersebelahan dengan sudut kepada panjang hipotenus, dan sudut dari nilai kosinus ialah fungsi arka kosinus. Gunakan formula pengiraan berikut: α = arccos(B/C).

Boleh digunakan dalam pengiraan. Untuk melakukan ini, anda memerlukan panjang dua sisi pendek - kaki. Tangen bagi sudut akut (α) dalam garis lurus arang batu segi tiga ditentukan oleh nisbah panjang kaki (A) yang terletak bertentangan dengan panjang kaki bersebelahan (B). Dengan analogi dengan pilihan yang diterangkan di atas, gunakan formula berikut: α = arctan(A/B).

Formula

Segi tiga yang manakah dipanggil segi tiga tegak?

Terdapat beberapa jenis segitiga. Ada yang mempunyai semua sudut akut, yang lain mempunyai satu tumpul dan dua akut, dan yang lain mempunyai dua akut dan satu lurus. Atas dasar ini, setiap jenis bentuk geometri ini dinamakan: bersudut akut, bersudut tumpul dan segi empat tepat. Iaitu, segitiga yang salah satu sudutnya ialah 90° dipanggil segi tiga tegak. Terdapat satu lagi perkara yang serupa dengan yang pertama. Segitiga yang dua sisinya berserenjang dipanggil segitiga tegak.

Hipotenus dan kaki

Dalam segi tiga akut dan tumpul, segmen yang menghubungkan bucu sudut hanya dipanggil sisi. Sebelah juga ada nama lain. Yang bersebelahan dengan sudut kanan dipanggil kaki. Sisi yang bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus. Diterjemahkan daripada bahasa Yunani, perkataan "hypotenuse" bermaksud "ketat", dan "cathetus" bermaksud "berserenjang".

Hubungan antara hipotenus dan kaki

Sisi segi tiga tepat disambungkan oleh hubungan tertentu, yang sangat memudahkan pengiraan. Sebagai contoh, mengetahui dimensi kaki, anda boleh mengira panjang hipotenus. Hubungan ini, dinamakan sempena orang yang menemuinya, dipanggil teorem Pythagoras dan ia kelihatan seperti ini:

c2=a2+b2, dengan c ialah hipotenus, a dan b ialah kaki. Iaitu, hipotenus akan sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua kaki. Untuk mencari mana-mana kaki, cukup untuk menolak kuasa dua kaki yang lain daripada kuasa dua hipotenus dan mengeluarkan punca kuasa dua daripada perbezaan yang terhasil.

Kaki bersebelahan dan bertentangan

Lukiskan segi tiga tepat DIA. Huruf C biasanya menandakan bucu sudut tegak, A dan B - bucu sudut akut. Adalah mudah untuk memanggil sisi yang bertentangan dengan setiap sudut a, b dan c, selepas nama sudut yang bertentangan dengannya. Pertimbangkan sudut A. Sisi a akan bertentangan untuknya, sisi b akan bersebelahan. Nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus dipanggil. Fungsi trigonometri ini boleh dikira menggunakan formula: sinA=a/c. Nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus dipanggil kosinus. Ia dikira menggunakan formula: cosA=b/c.

Oleh itu, mengetahui sudut dan salah satu sisi, anda boleh menggunakan formula ini untuk mengira sisi lain. Kedua-dua belah juga dihubungkan dengan hubungan trigonometri. Nisbah yang bertentangan dengan yang bersebelahan dipanggil tangen, dan nisbah yang bersebelahan dengan yang bertentangan dipanggil kotangen. Hubungan ini boleh dinyatakan dengan formula tgA=a/b atau ctgA=b/a.