Mencari matriks songsang.
Dalam artikel ini kita akan memahami konsep matriks songsang, sifatnya dan kaedah mencari. Marilah kita memikirkan secara terperinci tentang penyelesaian contoh di mana ia adalah perlu untuk membina matriks songsang untuk yang diberikan.
Navigasi halaman.
Matriks songsang - definisi.
Mencari matriks songsang menggunakan matriks daripada pelengkap algebra.
Sifat matriks songsang.
Mencari matriks songsang menggunakan kaedah Gauss-Jordan.
Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.
Matriks songsang - definisi.
Konsep matriks songsang hanya diperkenalkan untuk matriks segi empat sama yang penentunya adalah bukan sifar, iaitu, untuk matriks kuasa dua bukan tunggal.
Definisi.
Matriksdipanggil songsangan matriks, yang penentunya berbeza daripada sifar jika kesamaan adalah benar 
, Di mana E– matriks pesanan unit n pada n.
Mencari matriks songsang menggunakan matriks daripada pelengkap algebra.
Bagaimana untuk mencari matriks songsang untuk yang diberikan?
Pertama, kita memerlukan konsep matriks terpindah, matriks minor dan pelengkap algebra bagi unsur matriks.
Definisi.
kecilkth pesanan matriks A pesanan m pada n ialah penentu bagi matriks tertib k pada k, yang diperoleh daripada unsur matriks A terletak dalam pilihan k garisan dan k lajur. ( k tidak melebihi bilangan terkecil m atau n).
kecil (n-1) ke tertib, yang terdiri daripada elemen semua baris kecuali i-th, dan semua lajur kecuali jth, matriks segi empat sama A pesanan n pada n mari kita nyatakan sebagai .
Dalam erti kata lain, minor diperoleh daripada matriks segi empat sama A pesanan n pada n dengan memotong elemen i-th garisan dan jth kolum.
Sebagai contoh, mari kita menulis, kecil ke-2 tertib, yang diperoleh daripada matriks 
memilih elemen baris kedua, ketiga dan pertama, lajur ketiga 
. Kami juga akan menunjukkan minor, yang diperoleh daripada matriks 
dengan memotong baris kedua dan lajur ketiga 
. Mari kita gambarkan pembinaan kanak-kanak bawah umur ini: dan .
Definisi.
Pelengkap algebra unsur matriks segi empat sama dipanggil kecil (n-1) ke tertib, yang diperoleh daripada matriks A, memotong unsur-unsurnya i-th garisan dan jth lajur didarab dengan .
Pelengkap algebra bagi suatu unsur dilambangkan sebagai . Oleh itu, 
.
Sebagai contoh, untuk matriks 
pelengkap algebra bagi suatu unsur ialah .
Kedua, kita memerlukan dua sifat penentu, yang kita bincangkan dalam bahagian ini mengira penentu sesuatu matriks:
Berdasarkan sifat penentu ini, definisi operasi mendarab matriks dengan nombor dan konsep matriks songsang adalah benar: 
, di manakah matriks terpindah yang unsurnya ialah pelengkap algebra.
Matriks 
memang songsang bagi matriks A, kerana kesamarataan dipenuhi 
. Jom tunjuk 
Jom mengarang algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan persamaan 
.
Mari kita lihat algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan contoh.
Contoh.
Diberi matriks 
. Cari matriks songsang.
Penyelesaian.
Mari kita hitung penentu matriks A, menguraikannya menjadi elemen lajur ketiga: 
Penentu adalah bukan sifar, jadi matriks A boleh diterbalikkan.
Mari kita cari matriks penambahan algebra: 
sebab tu 
Mari kita alihkan matriks daripada penambahan algebra: 
Sekarang kita dapati matriks songsang sebagai 
:
Mari kita semak hasilnya: 
Persamaan 
berpuas hati, oleh itu, matriks songsang ditemui dengan betul.
Sifat matriks songsang.
Konsep matriks songsang, kesamaan 
, takrifan operasi pada matriks dan sifat penentu sesuatu matriks memungkinkan untuk mewajarkan perkara berikut sifat matriks songsang:
Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.
Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mencari matriks songsang bagi matriks segi empat sama A pesanan n pada n.
Kaedah ini adalah berdasarkan penyelesaian n sistem persamaan algebra tak homogen linear dengan n tidak diketahui. Pembolehubah yang tidak diketahui dalam sistem persamaan ini ialah unsur-unsur matriks songsang.
Ideanya sangat mudah. Mari kita nyatakan matriks songsang sebagai X, itu dia, 
. Oleh kerana mengikut takrifan matriks songsang, maka 
Menyamakan elemen yang sepadan dengan lajur, kita dapat n sistem persamaan linear 
Kami menyelesaikannya dalam apa jua cara dan membentuk matriks songsang daripada nilai yang ditemui.
Mari kita lihat kaedah ini dengan contoh.
Contoh.
Diberi matriks 
. Cari matriks songsang.
Penyelesaian.
Jom terima 
. Kesamaan memberi kita tiga sistem persamaan algebra tak homogen linear: 
Kami tidak akan menerangkan penyelesaian kepada sistem ini jika perlu, rujuk bahagian menyelesaikan sistem persamaan algebra linear.
Daripada sistem persamaan pertama kita ada, daripada kedua - , daripada ketiga - . Oleh itu, matriks songsang yang diperlukan mempunyai bentuk 
. Kami mengesyorkan menyemaknya untuk memastikan keputusannya betul.
ringkaskan.
Kami melihat konsep matriks songsang, sifatnya, dan tiga kaedah untuk mencarinya.
Contoh penyelesaian menggunakan kaedah matriks songsang
Latihan 1. Selesaikan SLAE menggunakan kaedah matriks songsang. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Permulaan borang
Tamat borang
Penyelesaian. Mari kita tulis matriks dalam bentuk: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Penentu utama Minor untuk (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor untuk (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor untuk (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor untuk (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Penentu minor ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Matriks terpindah Penambahan algebra ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Matriks songsang Hasil vektor X X = A -1 ∙ B 
X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1
lihat juga penyelesaian SLAE menggunakan kaedah matriks songsang dalam talian. Untuk melakukan ini, masukkan data anda dan terima penyelesaian dengan ulasan terperinci.
Tugasan 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikannya menggunakan matriks songsang. Semak penyelesaian yang terhasil. Penyelesaian:xml:xls
Contoh 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan matriks songsang. Penyelesaian:xml:xls
Contoh. Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Dikehendaki: 1) cari penyelesaiannya menggunakan Formula Cramer; 2) tulis sistem dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan kalkulus matriks. Garis panduan. Selepas menyelesaikan dengan kaedah Cramer, cari butang "Penyelesaian dengan kaedah matriks songsang untuk data sumber". Anda akan menerima penyelesaian yang sesuai. Oleh itu, anda tidak perlu mengisi data lagi. Penyelesaian. Mari kita nyatakan dengan A matriks pekali untuk yang tidak diketahui; X - matriks-lajur yang tidak diketahui; B - matriks-lajur ahli percuma:
|
|
Vektor B: B T =(4,-3,-3) Dengan mengambil kira tatatanda ini, sistem persamaan ini mengambil bentuk matriks berikut: A*X = B. Jika matriks A bukan tunggal (penentunya bukan sifar , maka ia mempunyai matriks songsang A -1 Mendarab kedua-dua belah persamaan dengan A -1, kita dapat: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. tatatanda matriks bagi penyelesaian kepada sistem persamaan linear. Untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan, adalah perlu untuk mengira matriks songsang A -1. Sistem akan mempunyai penyelesaian jika penentu matriks A ialah bukan sifar. Mari cari penentu utama. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Jadi, penentu 14 ≠ 0, jadi kita teruskan penyelesaian. Untuk melakukan ini, kita mencari matriks songsang melalui penambahan algebra. Mari kita mempunyai matriks bukan tunggal A:
|
|
Kami mengira pelengkap algebra.
|
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Peperiksaan. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Jawapan: -1,1,2.
Sama dengan songsang dalam banyak sifat.
YouTube ensiklopedia
1 / 5
✪ Bagaimana untuk mencari songsangan matriks - bezbotvy
✪ Matriks songsang (2 cara untuk mencari)
✪ Matriks songsang #1
✪ 28-01-2015. Matriks 3x3 songsang
✪ 27-01-2015. Matriks songsang 2x2
Sari kata
Sifat matriks songsang
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Di mana det (\displaystyle \\det ) menunjukkan penentu.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) untuk dua matriks boleh terbalik segi empat sama A (\gaya paparan A) Dan B (\gaya paparan B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Di mana (. . .) T (\gaya paparan (...)^(T)) menandakan matriks terpindah.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) untuk sebarang pekali k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
- Jika perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, (b ialah vektor bukan sifar) di mana x (\displaystyle x) ialah vektor yang dikehendaki, dan jika A − 1 (\displaystyle A^(-1)) wujud, maka x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Jika tidak, sama ada dimensi ruang penyelesaian lebih besar daripada sifar, atau tiada penyelesaian langsung.
Kaedah untuk mencari matriks songsang
Jika matriks boleh terbalik, maka untuk mencari matriks songsang anda boleh menggunakan salah satu kaedah berikut:
Kaedah tepat (langsung).
Kaedah Gauss-Jordan
Mari kita ambil dua matriks: the A dan bujang E. Mari kita bentangkan matriks A kepada matriks identiti menggunakan kaedah Gauss-Jordan, menggunakan transformasi di sepanjang baris (anda juga boleh menggunakan transformasi di sepanjang lajur, tetapi tidak bercampur-campur). Selepas menggunakan setiap operasi pada matriks pertama, gunakan operasi yang sama pada kedua. Apabila pengurangan matriks pertama kepada bentuk unit selesai, matriks kedua akan sama dengan A−1.
Apabila menggunakan kaedah Gaussian, matriks pertama akan didarab di sebelah kiri dengan salah satu matriks asas Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transveksi atau matriks pepenjuru dengan matriks pada pepenjuru utama, kecuali untuk satu kedudukan):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\titik &&&\\0&\titik &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatriks))).Matriks kedua selepas menggunakan semua operasi akan sama dengan Λ (\displaystyle \Lambda), iaitu, ia akan menjadi yang dikehendaki. Kerumitan algoritma - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Menggunakan matriks pelengkap algebra
Matriks songsang bagi matriks A (\gaya paparan A), boleh diwakili dalam bentuk
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
di mana adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matriks bersebelahan;
Kerumitan algoritma bergantung pada kerumitan algoritma untuk mengira penentu O det dan sama dengan O(n²)·O det.
Menggunakan Penguraian LU/LUP
Persamaan matriks A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) untuk matriks songsang X (\displaystyle X) boleh dianggap sebagai koleksi n (\gaya paparan n) sistem bentuk A x = b (\gaya paparan Ax=b). Mari kita nyatakan i (\gaya paparan i) lajur ke matriks X (\displaystyle X) melalui X i (\displaystyle X_(i)); Kemudian A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),kerana ia i (\gaya paparan i) lajur ke matriks I n (\displaystyle I_(n)) ialah vektor unit e i (\displaystyle e_(i)). dalam erti kata lain, mencari matriks songsang datang kepada menyelesaikan n persamaan dengan matriks yang sama dan sisi kanan yang berbeza. Selepas melakukan penguraian LUP (masa O(n³), menyelesaikan setiap persamaan n mengambil masa O(n²), jadi bahagian kerja ini juga memerlukan masa O(n³).
Jika matriks A bukan tunggal, maka penguraian LUP boleh dikira untuknya P A = L U (\displaystyle PA=LU). biarlah P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\gaya paparan B^(-1)=D). Kemudian dari sifat matriks songsang kita boleh menulis: D = U − 1 L − 1 (\gaya paparan D=U^(-1)L^(-1)). Jika anda mendarabkan kesamaan ini dengan U dan L, anda boleh mendapatkan dua kesamaan bentuk U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Dan D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Yang pertama daripada kesamaan ini ialah sistem persamaan linear n² untuk n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) dari mana bahagian sebelah kanan diketahui (daripada sifat matriks segi tiga). Yang kedua juga mewakili sistem persamaan linear n² untuk n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) dari mana sisi kanan diketahui (juga daripada sifat matriks segi tiga). Bersama-sama ia mewakili sistem kesamaan n². Dengan menggunakan kesamaan ini, kita boleh menentukan secara rekursif semua unsur n² matriks D. Kemudian daripada kesamaan (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. kita memperoleh kesamaan A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
Dalam kes menggunakan penguraian LU, tiada pilih atur lajur matriks D diperlukan, tetapi penyelesaian mungkin menyimpang walaupun matriks A adalah bukan tunggal.
Kerumitan algoritma ialah O(n³).
Kaedah berulang
Kaedah Schultz
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\jumlah _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\tamat(kes)))
Anggaran ralat
Memilih Anggaran Awal
Masalah memilih penghampiran awal dalam proses penyongsangan matriks berulang yang dipertimbangkan di sini tidak membenarkan kita menganggapnya sebagai kaedah universal bebas yang bersaing dengan kaedah penyongsangan langsung berdasarkan, sebagai contoh, pada penguraian LU matriks. Terdapat beberapa cadangan untuk memilih U 0 (\displaystyle U_(0)), memastikan pemenuhan syarat ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (jejari spektrum matriks adalah kurang daripada kesatuan), yang diperlukan dan mencukupi untuk penumpuan proses. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, pertama sekali, adalah perlu untuk mengetahui dari atas anggaran untuk spektrum matriks terbalik A atau matriks A A T (\displaystyle AA^(T))(iaitu, jika A ialah matriks pasti positif simetri dan ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), maka anda boleh ambil U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Di mana ; jika A ialah matriks bukan tunggal arbitrari dan ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), kemudian mereka beriman U 0 = α AT (\gaya paparan U_(0)=(\alfa )A^(T)), di mana juga α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\kanan)); Anda boleh, sudah tentu, memudahkan keadaan dan mengambil kesempatan daripada fakta itu ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), letak U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Kedua, apabila menentukan matriks awal dengan cara ini, tidak ada jaminan bahawa ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) akan menjadi kecil (mungkin ia akan menjadi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dan kadar penumpuan tertib tinggi tidak akan didedahkan serta-merta.
Contoh
Matriks 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)Penyongsangan matriks 2x2 hanya mungkin di bawah syarat itu a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
Topik ini antara yang paling dibenci oleh pelajar. Lebih teruk, mungkin, adalah kelayakan.
Caranya ialah konsep unsur songsang (dan saya bukan hanya bercakap tentang matriks) merujuk kita kepada operasi pendaraban. Malah dalam kurikulum sekolah, pendaraban dianggap sebagai operasi yang kompleks, dan pendaraban matriks secara amnya merupakan topik yang berasingan, yang mana saya mempunyai keseluruhan perenggan dan pelajaran video khusus.
Hari ini kita tidak akan pergi ke butiran pengiraan matriks. Mari kita ingat: bagaimana matriks ditetapkan, bagaimana ia didarab, dan apa yang berikut daripada ini.
Semakan: Pendaraban Matriks
Pertama sekali, mari kita bersetuju dengan notasi. Matriks $A$ bersaiz $\left[ m\times n \right]$ hanyalah jadual nombor dengan tepat $m$ baris dan $n$ lajur:
\=\underbrace(\left[ \begin(matriks) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & (a)_(mn)) \\\end(matriks) \kanan])_(n)\]
Untuk mengelakkan percampuran baris dan lajur secara tidak sengaja (percayalah, dalam peperiksaan anda boleh mengelirukan satu dengan dua, apatah lagi beberapa baris), lihat sahaja gambar:
Menentukan indeks untuk sel matriks Apa yang sedang berlaku? Jika anda meletakkan sistem koordinat piawai $OXY$ di sudut kiri atas dan mengarahkan paksi supaya ia meliputi keseluruhan matriks, maka setiap sel matriks ini boleh dikaitkan secara unik dengan koordinat $\left(x;y \right)$ - ini akan menjadi nombor baris dan nombor lajur.
Mengapakah sistem koordinat diletakkan di sudut kiri atas? Ya, kerana dari situlah kita mula membaca mana-mana teks. Ia sangat mudah untuk diingati.
Mengapakah paksi $x$ diarahkan ke bawah dan bukan ke kanan? Sekali lagi, ia mudah: ambil sistem koordinat piawai (paksi $x$ pergi ke kanan, paksi $y$ naik) dan putarkannya supaya ia meliputi matriks. Ini adalah putaran 90 darjah mengikut arah jam - kita lihat hasilnya dalam gambar.
Secara umum, kami telah memikirkan cara untuk menentukan indeks unsur matriks. Sekarang mari kita lihat pendaraban.
Definisi. Matriks $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$, apabila bilangan lajur dalam yang pertama bertepatan dengan bilangan baris dalam yang kedua, adalah dipanggil konsisten.
Tepat dalam susunan itu. Seseorang boleh keliru dan mengatakan bahawa matriks $A$ dan $B$ membentuk pasangan tertib $\left(A;B \right)$: jika ia selaras dalam susunan ini, maka ia tidak semestinya $B $ dan $A$ itu. pasangan $\left(B;A \right)$ juga konsisten.
Hanya matriks yang sepadan boleh didarab.
Definisi. Hasil darab matriks yang dipadankan $A=\left[ m\times n \right]$ dan $B=\left[ n\times k \right]$ ialah matriks baharu $C=\left[ m\times k \right ]$ , elemen yang $((c)_(ij))$ dikira mengikut formula:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Dengan kata lain: untuk mendapatkan elemen $((c)_(ij))$ matriks $C=A\cdot B$, anda perlu mengambil $i$-baris matriks pertama, $j$ -lajur ke- matriks kedua, dan kemudian darab dalam pasangan elemen daripada baris dan lajur ini. Tambah hasilnya.
Ya, itu definisi yang keras. Beberapa fakta serta-merta mengikuti daripadanya:
- Pendaraban matriks, secara amnya, adalah bukan komutatif: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Walau bagaimanapun, pendaraban adalah bersekutu: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- Dan juga secara agihan: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- Dan sekali lagi secara agihan: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Taburan pendaraban perlu diterangkan secara berasingan untuk faktor jumlah kiri dan kanan dengan tepat kerana operasi pendaraban tidak boleh komutatif.
Jika ternyata $A\cdot B=B\cdot A$, matriks sedemikian dipanggil komutatif.
Di antara semua matriks yang didarab dengan sesuatu di sana, terdapat yang istimewa - yang, apabila didarab dengan mana-mana matriks $A$, sekali lagi memberikan $A$:
Definisi. Matriks $E$ dipanggil identiti jika $A\cdot E=A$ atau $E\cdot A=A$. Dalam kes matriks segi empat sama $A$ kita boleh menulis:
Matriks identiti adalah tetamu yang kerap apabila menyelesaikan persamaan matriks. Dan secara umum, tetamu yang kerap dalam dunia matriks :)
Dan kerana $E$ ini, seseorang datang dengan semua karut yang akan ditulis seterusnya.
Apakah itu matriks songsang
Memandangkan pendaraban matriks adalah operasi yang sangat intensif buruh (anda perlu mendarab sekumpulan baris dan lajur), konsep matriks songsang juga ternyata bukan yang paling remeh. Dan memerlukan beberapa penjelasan.
Definisi Utama
Nah, sudah tiba masanya untuk mengetahui kebenaran.
Definisi. Matriks $B$ dipanggil songsangan bagi matriks $A$ jika
Matriks songsang dilambangkan dengan $((A)^(-1))$ (jangan dikelirukan dengan darjah!), jadi takrifan boleh ditulis semula seperti berikut:
Nampaknya semuanya sangat mudah dan jelas. Tetapi apabila menganalisis definisi ini, beberapa soalan segera timbul:
- Adakah matriks songsang sentiasa wujud? Dan jika tidak selalu, maka bagaimana untuk menentukan: bila ia wujud dan bila ia tidak?
- Dan siapa yang mengatakan bahawa terdapat satu matriks sedemikian? Bagaimana jika untuk beberapa matriks awal $A$ terdapat sekumpulan songsang?
- Apakah rupa semua "terbalikan" ini? Dan bagaimana, sebenarnya, kita harus mengira mereka?
Bagi algoritma pengiraan, kita akan membincangkannya sedikit kemudian. Tetapi kami akan menjawab soalan yang tinggal sekarang. Mari kita rumuskan dalam bentuk pernyataan-lemmas yang berasingan.
Sifat asas
Mari kita mulakan dengan bagaimana matriks $A$ sepatutnya, pada dasarnya, melihat agar $((A)^(-1))$ wujud untuknya. Sekarang kita akan memastikan bahawa kedua-dua matriks ini mestilah segi empat sama, dan saiz yang sama: $\left[ n\times n \right]$.
Lema 1. Diberi matriks $A$ dan songsangannya $((A)^(-1))$. Maka kedua-dua matriks ini adalah segi empat sama, dan dengan susunan yang sama $n$.
Bukti. Mudah sahaja. Biarkan matriks $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Oleh kerana hasil darab $A\cdot ((A)^(-1))=E$ wujud mengikut takrifan, matriks $A$ dan $((A)^(-1))$ adalah konsisten dalam susunan yang ditunjukkan:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( selaraskan)\]
Ini adalah akibat langsung daripada algoritma pendaraban matriks: pekali $n$ dan $a$ ialah "transit" dan mestilah sama.
Pada masa yang sama, pendaraban songsang juga ditakrifkan: $((A)^(-1))\cdot A=E$, oleh itu matriks $((A)^(-1))$ dan $A$ ialah juga konsisten dalam susunan yang ditentukan:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( selaraskan)\]
Oleh itu, tanpa kehilangan keluasan, kita boleh menganggap bahawa $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Walau bagaimanapun, mengikut takrifan $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, oleh itu saiz matriks bertepatan dengan betul:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Jadi ternyata ketiga-tiga matriks - $A$, $((A)^(-1))$ dan $E$ - ialah matriks segi empat sama bersaiz $\left[ n\times n \right]$. Lemma terbukti.
Nah, itu sudah bagus. Kami melihat bahawa hanya matriks segi empat sama boleh terbalik. Sekarang mari kita pastikan bahawa matriks songsang sentiasa sama.
Lemma 2. Diberi matriks $A$ dan songsangannya $((A)^(-1))$. Kemudian matriks songsang ini adalah satu-satunya.
Bukti. Mari kita pergi dengan percanggahan: biarkan matriks $A$ mempunyai sekurang-kurangnya dua songsang - $B$ dan $C$. Kemudian, mengikut definisi, persamaan berikut adalah benar:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]
Daripada Lemma 1 kami menyimpulkan bahawa keempat-empat matriks - $A$, $B$, $C$ dan $E$ - ialah segi empat sama tertib yang sama: $\left[ n\times n \right]$. Oleh itu, produk ditakrifkan:
Oleh kerana pendaraban matriks adalah bersekutu (tetapi bukan komutatif!), kita boleh menulis:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]
Kami mendapat satu-satunya pilihan yang mungkin: dua salinan matriks songsang adalah sama. Lemma terbukti.
Argumen di atas mengulangi hampir secara verbatim bukti keunikan unsur songsang untuk semua nombor nyata $b\ne 0$. Satu-satunya penambahan yang ketara ialah mengambil kira dimensi matriks.
Walau bagaimanapun, kami masih tidak tahu apa-apa tentang sama ada setiap matriks segi empat sama boleh terbalik. Di sini penentu datang untuk membantu kami - ini adalah ciri utama untuk semua matriks persegi.
Lemma 3. Diberi matriks $A$. Jika matriks songsangnya $((A)^(-1))$ wujud, maka penentu matriks asal ialah bukan sifar:
\[\kiri| A\kanan|\ne 0\]
Bukti. Kita sudah tahu bahawa $A$ dan $((A)^(-1))$ ialah matriks segi empat sama bersaiz $\left[ n\times n \right]$. Oleh itu, bagi setiap daripada mereka kita boleh mengira penentu: $\left| A\kanan|$ dan $\kiri| ((A)^(-1)) \kanan|$. Walau bagaimanapun, penentu produk adalah sama dengan hasil penentu:
\[\kiri| A\cdot B \kanan|=\kiri| A \kanan|\cdot \kiri| B \kanan|\Anak panah kanan \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| A \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\]
Tetapi mengikut takrifan, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, dan penentu $E$ sentiasa sama dengan 1, jadi
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kiri| A\cdot ((A)^(-1)) \kanan|=\kiri| E\kanan|; \\ & \kiri| A \kanan|\cdot \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|=1. \\ \end(align)\]
Hasil darab dua nombor adalah sama dengan satu hanya jika setiap nombor ini bukan sifar:
\[\kiri| A \kanan|\ne 0;\quad \kiri| ((A)^(-1)) \kanan|\ne 0.\]
Jadi ternyata $\left| A \kanan|\ne 0$. Lemma terbukti.
Malah, keperluan ini agak logik. Sekarang kita akan menganalisis algoritma untuk mencari matriks songsang - dan ia akan menjadi jelas sepenuhnya mengapa, dengan penentu sifar, tiada matriks songsang pada dasarnya boleh wujud.
Tetapi pertama, mari kita rumuskan definisi "bantu":
Definisi. Matriks tunggal ialah matriks segi empat sama bersaiz $\left[ n\times n \right]$ yang penentunya ialah sifar.
Oleh itu, kita boleh mendakwa bahawa setiap matriks boleh terbalik adalah bukan tunggal.
Bagaimana untuk mencari songsangan matriks
Sekarang kita akan mempertimbangkan algoritma universal untuk mencari matriks songsang. Secara umum, terdapat dua algoritma yang diterima umum, dan kami juga akan mempertimbangkan yang kedua hari ini.
Yang akan dibincangkan sekarang sangat berkesan untuk matriks bersaiz $\left[ 2\times 2 \right]$ dan - sebahagiannya - saiz $\left[ 3\times 3 \right]$. Tetapi bermula dari saiz $\left[ 4\times 4 \right]$ adalah lebih baik untuk tidak menggunakannya. Mengapa - sekarang anda akan memahami segala-galanya sendiri.
Penambahan algebra
Bersedia. Sekarang akan ada kesakitan. Tidak, jangan risau: seorang jururawat cantik dalam skirt, stoking dengan renda tidak akan datang kepada anda dan memberi anda suntikan di punggung. Segala-galanya lebih prosaik: penambahan algebra dan Kebawah Duli Yang Maha Mulia "Matriks Kesatuan" datang kepada anda.
Mari kita mulakan dengan perkara utama. Biarkan terdapat matriks segi empat sama bersaiz $A=\left[ n\times n \right]$, yang unsurnya dipanggil $((a)_(ij))$. Kemudian untuk setiap elemen tersebut kita boleh menentukan pelengkap algebra:
Definisi. Pelengkap algebra $((A)_(ij))$ kepada elemen $((a)_(ij))$ yang terletak di baris $i$th dan $j$th lajur matriks $A=\left[ n \times n \right]$ ialah binaan borang
\[((A)_(ij))=((\kiri(-1 \kanan))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Di mana $M_(ij)^(*)$ ialah penentu matriks yang diperolehi daripada $A$ asal dengan memotong baris $i$th dan lajur $j$th yang sama.
sekali lagi. Pelengkap algebra kepada elemen matriks dengan koordinat $\left(i;j \right)$ dilambangkan sebagai $((A)_(ij))$ dan dikira mengikut skema:
- Mula-mula, kami memadamkan lajur $i$-row dan $j$-th daripada matriks asal. Kami memperoleh matriks segi empat sama baharu, dan kami menyatakan penentunya sebagai $M_(ij)^(*)$.
- Kemudian kita darabkan penentu ini dengan $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - pada mulanya ungkapan ini mungkin kelihatan menarik, tetapi pada dasarnya kita hanya memikirkan tanda di hadapan $M_(ij)^(*) $.
- Kami mengira dan mendapat nombor tertentu. Itu. penambahan algebra adalah tepat nombor, dan bukan beberapa matriks baharu, dsb.
Matriks $M_(ij)^(*)$ itu sendiri dipanggil minor tambahan kepada unsur $((a)_(ij))$. Dan dalam pengertian ini, takrifan pelengkap algebra di atas ialah kes khas definisi yang lebih kompleks - perkara yang kita lihat dalam pelajaran tentang penentu.
Nota PENTING. Sebenarnya, dalam matematik "dewasa", penambahan algebra ditakrifkan seperti berikut:
- Kami mengambil $k$ baris dan $k$ lajur dalam matriks segi empat sama. Di persimpangan mereka kita mendapat matriks bersaiz $\left[ k\times k \right]$ - penentunya dipanggil minor of order $k$ dan ditandakan $((M)_(k))$.
- Kemudian kami memotong baris $k$ dan lajur $k$ yang "dipilih" ini. Sekali lagi anda mendapat matriks segi empat sama - penentunya dipanggil minor tambahan dan dilambangkan $M_(k)^(*)$.
- Darab $M_(k)^(*)$ dengan $((\kiri(-1 \kanan))^(t))$, dengan $t$ ialah (perhatian sekarang!) jumlah nombor semua baris yang dipilih dan lajur. Ini akan menjadi penambahan algebra.
Lihat pada langkah ketiga: sebenarnya terdapat sejumlah $2k$ terma! Perkara lain ialah untuk $k=1$ kita hanya akan mendapat 2 sebutan - ini akan menjadi $i+j$ yang sama - "koordinat" unsur $((a)_(ij))$ yang mana kita berada mencari pelengkap algebra.
Jadi hari ini kita menggunakan definisi yang sedikit dipermudahkan. Tetapi seperti yang akan kita lihat nanti, ia akan lebih daripada mencukupi. Perkara berikut adalah lebih penting:
Definisi. Matriks bersekutu $S$ kepada matriks segi empat sama $A=\left[ n\times n \right]$ ialah matriks baharu bersaiz $\left[ n\times n \right]$, yang diperoleh daripada $A$ dengan menggantikan $(( a)_(ij))$ dengan penambahan algebra $((A)_(ij))$:
\\Anak panah kanan S=\kiri[ \mulakan(matriks) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ ((( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matriks) \kanan]\]
Pemikiran pertama yang timbul pada saat merealisasikan definisi ini ialah "berapa banyak yang perlu dikira!" Bersantai: anda perlu mengira, tetapi tidak begitu :)
Nah, semua ini sangat bagus, tetapi mengapa ia perlu? Tapi kenapa.
Teorem utama
Jom balik sikit. Ingat, dalam Lemma 3 telah dinyatakan bahawa matriks terbalik $A$ sentiasa bukan tunggal (iaitu, penentunya bukan sifar: $\left| A \right|\ne 0$).
Jadi, sebaliknya juga benar: jika matriks $A$ bukan tunggal, maka ia sentiasa boleh terbalik. Malah terdapat skim carian untuk $((A)^(-1))$. Semak ia keluar:
Teorem matriks songsang. Biarkan matriks segi empat sama $A=\left[ n\times n \right]$ diberikan, dan penentunya ialah bukan sifar: $\left| A \kanan|\ne 0$. Kemudian matriks songsang $((A)^(-1))$ wujud dan dikira dengan formula:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\kiri| A \kanan|)\cdot ((S)^(T))\]
Dan sekarang - semuanya sama, tetapi dalam tulisan tangan yang boleh dibaca. Untuk mencari matriks songsang, anda perlu:
- Kira penentu $\left| A \right|$ dan pastikan ia bukan sifar.
- Bina matriks kesatuan $S$, i.e. kira 100500 penambahan algebra $((A)_(ij))$ dan letakkan di tempat $((a)_(ij))$.
- Ubah matriks ini $S$, dan kemudian darabkannya dengan beberapa nombor $q=(1)/(\kiri| A \kanan|)\;$.
Itu sahaja! Matriks songsang $((A)^(-1))$ telah ditemui. Mari lihat contoh:
\[\kiri[ \begin(matriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matriks) \kanan]\]
Penyelesaian. Mari kita semak kebolehterbalikan. Mari kita hitung penentu:
\[\kiri| A\kanan|=\kiri| \begin(matriks) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matriks) \kanan|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Penentu berbeza daripada sifar. Ini bermakna matriks boleh terbalik. Mari buat matriks kesatuan:
Mari kita hitung penambahan algebra:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\kiri(-1 \kanan))^(1+2))\cdot \kiri| 5 \kanan|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\kiri(-1 \kanan))^(2+1))\cdot \kiri| 1 \kanan|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\kiri(-1 \kanan))^(2+2))\cdot \kiri| 3\kanan|=3. \\ \end(align)\]
Sila ambil perhatian: penentu |2|, |5|, |1| dan |3| ialah penentu bagi matriks bersaiz $\left[ 1\times 1 \right]$, dan bukan modul. Itu. Sekiranya terdapat nombor negatif dalam penentu, tidak perlu mengeluarkan "tolak".
Secara keseluruhan, matriks kesatuan kami kelihatan seperti ini:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \kanan]\]
OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Masalah selesai.
Jawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Tugasan. Cari matriks songsang:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]
Penyelesaian. Kami mengira penentu sekali lagi:
\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matriks ) \kiri(1\cdot 2\cdot 1+\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-1 \kanan)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \kanan)- \\ -\kiri (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matriks)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Penentu ialah bukan sifar—matriks boleh terbalik. Tetapi sekarang ia akan menjadi sangat sukar: kita perlu mengira sebanyak 9 (sembilan, bajingan!) penambahan algebra. Dan setiap daripadanya akan mengandungi penentu $\left[ 2\times 2 \right]$. Terbang:
\[\begin(matriks) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriks) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=2; \\ ((A)_(12))=((\kiri(-1 \kanan))^(1+2))\cdot \kiri| \begin(matriks) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matriks) \kanan|=-1; \\ ((A)_(13))=((\kiri(-1 \kanan))^(1+3))\cdot \kiri| \begin(matriks) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matriks) \kanan|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\kiri(-1 \kanan))^(3+3))\cdot \kiri| \begin(matriks) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matriks) \right|=2; \\ \end(matriks)\]
Ringkasnya, matriks kesatuan akan kelihatan seperti ini:
Oleh itu, matriks songsang ialah:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matriks) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matriks) \kanan]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]
Itu sahaja. Inilah jawapannya.
Jawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$
Seperti yang anda lihat, pada akhir setiap contoh kami melakukan pemeriksaan. Dalam hal ini, satu nota penting:
Jangan malas nak semak. Darabkan matriks asal dengan matriks songsang yang ditemui - anda sepatutnya mendapat $E$.
Melakukan semakan ini adalah lebih mudah dan lebih pantas daripada mencari ralat dalam pengiraan selanjutnya apabila, sebagai contoh, anda sedang menyelesaikan persamaan matriks.
Cara alternatif
Seperti yang saya katakan, teorem matriks songsang berfungsi dengan baik untuk saiz $\left[ 2\times 2 \right]$ dan $\left[ 3\times 3 \right]$ (dalam kes kedua, ia tidak begitu "hebat" " ), tetapi untuk matriks bersaiz besar kesedihan bermula.
Tetapi jangan risau: terdapat algoritma alternatif yang dengannya anda boleh mencari songsang dengan tenang walaupun untuk matriks $\left[ 10\times 10 \right]$. Tetapi, seperti yang sering berlaku, untuk mempertimbangkan algoritma ini kita memerlukan sedikit pengenalan teori.
Transformasi asas
Di antara semua kemungkinan transformasi matriks, terdapat beberapa yang istimewa - ia dipanggil asas. Terdapat betul-betul tiga transformasi sedemikian:
- Pendaraban. Anda boleh mengambil baris $i$th (lajur) dan darabkannya dengan sebarang nombor $k\ne 0$;
- Penambahan. Tambahkan pada baris $i$-th (lajur) mana-mana baris (lajur) $j$-th lain, didarab dengan sebarang nombor $k\ne 0$ (anda boleh, sudah tentu, lakukan $k=0$, tetapi apakah maksudnya?
- Penyusunan semula. Ambil baris $i$th dan $j$th (lajur) dan tukar tempat.
Mengapa penjelmaan ini dipanggil asas (untuk matriks besar ia tidak kelihatan begitu asas) dan mengapa hanya terdapat tiga daripadanya - soalan ini berada di luar skop pelajaran hari ini. Oleh itu, kami tidak akan pergi ke butiran.
Perkara lain yang penting: kita perlu melakukan semua penyelewengan ini pada matriks bersebelahan. Ya, ya: anda dengar betul. Sekarang akan ada satu lagi definisi - yang terakhir dalam pelajaran hari ini.
Matriks bersebelahan
Sudah tentu di sekolah anda menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penambahan. Nah, di sana, tolak satu lagi dari satu baris, darab beberapa baris dengan nombor - itu sahaja.
Jadi: kini semuanya akan sama, tetapi dengan cara "dewasa". sedia?
Definisi. Biarkan matriks $A=\left[ n\times n \right]$ dan matriks identiti $E$ bersaiz $n$ yang sama diberikan. Kemudian matriks bersebelahan $\left[ A\left| E\betul. \right]$ ialah matriks baharu bersaiz $\left[ n\times 2n \right]$ yang kelihatan seperti ini:
\[\left[ A\left| E\betul. \kanan]=\kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \kanan]\]
Ringkasnya, kami mengambil matriks $A$, di sebelah kanan kami menetapkan padanya matriks identiti $E$ daripada saiz yang diperlukan, kami memisahkannya dengan bar menegak untuk kecantikan - di sini anda mempunyai sambungan :)
Apa tangkapannya? Inilah yang:
Teorem. Biarkan matriks $A$ boleh terbalik. Pertimbangkan matriks bersebelahan $\left[ A\left| E\betul. \kanan]$. Jika menggunakan penukaran rentetan asas bawa ke borang $\left[ E\left| B\betul. \kanan]$, i.e. dengan mendarab, menolak dan menyusun semula baris untuk mendapatkan daripada $A$ matriks $E$ di sebelah kanan, maka matriks $B$ yang diperoleh di sebelah kiri ialah songsang bagi $A$:
\[\left[ A\left| E\betul. \kanan]\ke \kiri[ E\kiri| B\betul. \kanan]\Anak panah kanan B=((A)^(-1))\]
Semudah itu! Ringkasnya, algoritma untuk mencari matriks songsang kelihatan seperti ini:
- Tulis matriks bersebelahan $\left[ A\left| E\betul. \kanan]$;
- Lakukan penukaran rentetan asas sehingga $E$ muncul dan bukannya $A$;
- Sudah tentu, sesuatu juga akan muncul di sebelah kiri - matriks tertentu $B$. Ini akan menjadi sebaliknya;
- UNTUNG! :)
Sudah tentu, ini lebih mudah dikatakan daripada dilakukan. Jadi mari kita lihat beberapa contoh: untuk saiz $\left[ 3\times 3 \right]$ dan $\left[ 4\times 4 \right]$.
Tugasan. Cari matriks songsang:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Penyelesaian. Kami mencipta matriks bersebelahan:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Oleh kerana lajur terakhir matriks asal diisi dengan yang, tolak baris pertama daripada yang lain:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matriks)\to \\ & \to \left [ \mulakan(susun)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Tiada unit lagi, kecuali baris pertama. Tetapi kami tidak menyentuhnya, jika tidak, unit yang baru dialih keluar akan mula "berdarab" dalam lajur ketiga.
Tetapi kita boleh menolak baris kedua dua kali dari yang terakhir - kita mendapat satu di sudut kiri bawah:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matriks)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Sekarang kita boleh menolak baris terakhir dari yang pertama dan dua kali dari yang kedua - dengan cara ini kita "sifar" lajur pertama:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matriks) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matriks)\to \\ & \ ke \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Darabkan baris kedua dengan −1, dan kemudian tolaknya 6 kali daripada yang pertama dan tambah 1 kali kepada yang terakhir:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) \ \\ \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \ \\\tamat(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \mulakan(tatasusunan)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \kanan]\begin(matriks) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \mulakan(tatasusunan)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Yang tinggal hanyalah menukar baris 1 dan 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]
sedia! Di sebelah kanan ialah matriks songsang yang diperlukan.
Jawab. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Tugasan. Cari matriks songsang:
\[\kiri[ \mulakan(matriks) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matriks) \kanan]\]
Penyelesaian. Kami mengarang bersebelahan lagi:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Mari kita menangis sedikit, bersedih tentang berapa banyak yang perlu kita kira sekarang... dan mula mengira. Mula-mula, mari "sifarkan" lajur pertama dengan menolak baris 1 daripada baris 2 dan 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \kanan]\mulakan(matriks) \anak panah ke bawah \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\tamat(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Kami melihat terlalu banyak "kontra" dalam baris 2-4. Darab ketiga-tiga baris dengan −1, dan kemudian bakar lajur ketiga dengan menolak baris 3 daripada yang lain:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matriks) \ \\ \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\\end(matriks)\ke \\ & \ke \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matriks) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matriks)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr|. rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Sekarang adalah masa untuk "menggoreng" lajur terakhir matriks asal: tolak baris 4 daripada yang lain:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \kanan]\begin(matriks) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matriks)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Lemparan akhir: "membakar" lajur kedua dengan menolak baris 2 daripada baris 1 dan 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( tatasusunan) \kanan]\mulakan(matriks) 6 \\ \anak panah ke bawah \\ -5 \\ \ \\\tamat(matriks)\ke \\ & \ke \kiri[ \mulakan(tatasusunan)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Dan sekali lagi matriks identiti berada di sebelah kiri, yang bermaksud songsang adalah di sebelah kanan.
Jawab. $\left[ \begin(matriks) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matriks) \kanan]$
Mencari matriks songsang- masalah yang sering diselesaikan dengan dua kaedah:
- kaedah penambahan algebra, yang memerlukan mencari penentu dan transposing matriks;
- kaedah Gaussian untuk menghapuskan yang tidak diketahui, yang memerlukan melakukan transformasi asas matriks (menambah baris, mendarab baris dengan nombor yang sama, dll.).
Bagi mereka yang sangat ingin tahu, terdapat kaedah lain, contohnya, kaedah transformasi linear. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tiga kaedah dan algoritma yang dinyatakan untuk mencari matriks songsang menggunakan kaedah ini.
Matriks songsang A, matriks sedemikian dipanggil
A
. (1)
Matriks songsang , yang perlu dicari untuk matriks segi empat sama tertentu A, matriks sedemikian dipanggil
hasil darab yang mana matriks A di sebelah kanan ialah matriks identiti, i.e.
. (1)
Matriks identiti ialah matriks pepenjuru di mana semua elemen pepenjuru adalah sama dengan satu.
Teorem.Untuk setiap matriks segi empat sama bukan tunggal (bukan merosot, bukan tunggal), seseorang boleh mencari matriks songsang, dan hanya satu. Untuk matriks segi empat tepat (merosot, tunggal), matriks songsang tidak wujud.
Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa(atau tidak merosot, bukan tunggal), jika penentunya bukan sifar, dan istimewa(atau merosot, tunggal) jika penentunya ialah sifar.
Songsangan matriks hanya boleh didapati untuk matriks segi empat sama. Sememangnya, matriks songsang juga akan menjadi segi empat sama dan susunan yang sama dengan matriks yang diberikan. Matriks yang mana matriks songsang boleh didapati dipanggil matriks boleh terbalik.
Untuk matriks songsang Terdapat analogi yang relevan dengan songsangan nombor. Untuk setiap nombor a, tidak sama dengan sifar, terdapat nombor sedemikian b bahawa kerja itu a Dan b sama dengan satu: ab= 1 . Nombor b dipanggil songsang bagi suatu nombor b. Sebagai contoh, untuk nombor 7 timbal balik ialah 1/7, kerana 7*1/7=1.
Mencari matriks songsang menggunakan kaedah penambahan algebra (matriks bersekutu)
Untuk matriks persegi bukan tunggal A songsangan ialah matriks
di manakah penentu bagi matriks A, a ialah matriks bersekutu dengan matriks A.
Bersekutu dengan matriks segi empat sama A ialah matriks dengan susunan yang sama, unsur-unsurnya ialah pelengkap algebra bagi unsur-unsur yang sepadan bagi penentu matriks yang dialihkan berkenaan dengan matriks A. Oleh itu, jika
Itu 
Dan 
Algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan kaedah penambahan algebra
1. Cari penentu bagi matriks ini A. Jika penentu adalah sama dengan sifar, mencari matriks songsang berhenti, kerana matriks adalah tunggal dan songsangannya tidak wujud.
2. Cari matriks tertranspos berkenaan dengan A.
3. Kira unsur matriks kesatuan sebagai pelengkap algebra bagi maritz yang terdapat dalam langkah 2.
4. Guna formula (2): darab songsangan penentu matriks A, kepada matriks kesatuan yang terdapat dalam langkah 4.
5. Semak keputusan yang diperolehi dalam langkah 4 dengan mendarab matriks ini A kepada matriks songsang. Jika hasil darab matriks ini sama dengan matriks identiti, maka matriks songsang didapati dengan betul. Jika tidak, mulakan proses penyelesaian semula.
Contoh 1. Untuk matriks
cari matriks songsang.
Penyelesaian. Untuk mencari matriks songsang, anda perlu mencari penentu matriks itu A. Kami dapati dengan peraturan segitiga:
Oleh itu, matriks A– bukan tunggal (tidak merosot, tidak tunggal) dan terdapat songsang untuknya.
Mari cari matriks yang bersekutu dengan matriks ini A.
Mari kita cari matriks yang ditransposkan berkenaan dengan matriks A:
Kami mengira unsur-unsur matriks bersekutu sebagai pelengkap algebra bagi matriks yang dialihkan berkenaan dengan matriks A:
Oleh itu, matriks bersekutu dengan matriks A, mempunyai borang
Komen. Urutan di mana unsur-unsur dikira dan matriks dipindahkan mungkin berbeza. Anda boleh terlebih dahulu mengira pelengkap algebra matriks A, dan kemudian alihkan matriks pelengkap algebra. Hasilnya mestilah elemen yang sama bagi matriks kesatuan.
Menggunakan formula (2), kita dapati matriks songsang kepada matriks A:
Mencari matriks songsang menggunakan kaedah penyingkiran tidak diketahui Gaussian
Langkah pertama untuk mencari songsangan matriks menggunakan kaedah penyingkiran Gaussian adalah untuk menetapkan kepada matriks A matriks identiti tertib yang sama, memisahkannya dengan bar menegak. Kami akan mendapat dwi matriks. Mari kita darab kedua-dua belah matriks ini dengan , maka kita dapat
,
Algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan kaedah penyingkiran tidak diketahui Gaussian
1. Kepada matriks A tetapkan matriks identiti dengan susunan yang sama.
2. Ubah matriks dwi yang terhasil supaya di sebelah kiri anda mendapat matriks unit, kemudian di sebelah kanan, bukannya matriks identiti, anda secara automatik mendapat matriks songsang. Matriks A di sebelah kiri diubah menjadi matriks identiti oleh transformasi matriks asas.
2. Jika dalam proses penjelmaan matriks A dalam matriks identiti hanya akan ada sifar dalam mana-mana baris atau dalam mana-mana lajur, maka penentu matriks adalah sama dengan sifar, dan, akibatnya, matriks A akan menjadi tunggal, dan ia tidak mempunyai matriks songsang. Dalam kes ini, penentuan lanjut matriks songsang berhenti.
Contoh 2. Untuk matriks
cari matriks songsang.
dan kami akan mengubahnya supaya di sebelah kiri kami mendapat matriks identiti. Kami memulakan transformasi.
Darab baris pertama matriks kiri dan kanan dengan (-3) dan tambahkannya ke baris kedua, dan kemudian darab baris pertama dengan (-4) dan tambahkannya ke baris ketiga, maka kita dapat
.
Untuk memastikan bahawa tiada nombor pecahan dalam penjelmaan seterusnya, mari kita mula-mula mencipta unit dalam baris kedua di sebelah kiri matriks dwi. Untuk melakukan ini, darabkan baris kedua dengan 2 dan tolak baris ketiga daripadanya, maka kita dapat
.
Mari tambahkan baris pertama dengan baris kedua, dan kemudian darabkan baris kedua dengan (-9) dan tambahkannya dengan baris ketiga. Kemudian kita dapat
.
Bahagikan baris ketiga dengan 8, kemudian
.
Darabkan baris ketiga dengan 2 dan tambahkannya pada baris kedua. Kesudahannya:
.
Mari kita tukar baris kedua dan ketiga, maka akhirnya kita dapat:
.
Kita melihat bahawa di sebelah kiri kita mempunyai matriks identiti, oleh itu, di sebelah kanan kita mempunyai matriks songsang. Oleh itu:
.
Anda boleh menyemak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal dengan matriks songsang yang ditemui:
Hasilnya mestilah matriks songsang.
Contoh 3. Untuk matriks
cari matriks songsang.
Penyelesaian. Menyusun matriks dwi
dan kami akan mengubahnya.
Kami mendarabkan baris pertama dengan 3, dan yang kedua dengan 2, dan menolak dari yang kedua, dan kemudian kami mendarabkan baris pertama dengan 5, dan yang ketiga dengan 2 dan menolak dari baris ketiga, maka kami mendapat
.
Kami mendarabkan baris pertama dengan 2 dan menambahnya kepada yang kedua, dan kemudian menolak yang kedua dari baris ketiga, kemudian kami mendapat
.
Kami melihat bahawa dalam baris ketiga di sebelah kiri semua elemen adalah sama dengan sifar. Oleh itu, matriks adalah tunggal dan tidak mempunyai matriks songsang. Kami berhenti mencari maritz songsang.
Algebra matriks - Matriks songsangmatriks songsang
Matriks songsang ialah matriks yang, apabila didarab di sebelah kanan dan di sebelah kiri dengan matriks tertentu, memberikan matriks identiti.
Mari kita nyatakan matriks songsang matriks itu A melalui , maka mengikut definisi kita dapat:
di mana E– matriks identiti.
Matriks segi empat sama dipanggil tidak istimewa (tidak merosot) jika penentunya bukan sifar. Jika tidak ia dipanggil istimewa (merosot) atau tunggal.
Teorem itu memegang: Setiap matriks bukan tunggal mempunyai matriks songsang.
Operasi mencari matriks songsang dipanggil rayuan matriks. Mari kita pertimbangkan algoritma penyongsangan matriks. Biarkan matriks bukan tunggal diberikan n-perintah ke-:
di mana Δ = det A ≠ 0.
Penambahan algebra bagi sesuatu unsur matriks n-perintah ke- A dipanggil penentu matriks yang diambil dengan tanda tertentu ( n–1) pesanan ke-1 diperoleh dengan memadam i-baris ke- dan j lajur matriks ke- A:
Mari kita cipta apa yang dipanggil dilampirkan matriks:
di manakah pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan A.
Ambil perhatian bahawa penambahan algebra bagi elemen baris matriks A diletakkan dalam lajur matriks yang sepadan Ã
, iaitu, matriks dipindahkan pada masa yang sama.
Dengan membahagikan semua elemen matriks Ã
oleh Δ – nilai penentu matriks A, kita mendapat matriks songsang sebagai hasilnya:
Mari kita perhatikan beberapa sifat khas matriks songsang:
1) untuk matriks tertentu A matriks songsangnya
adalah satu-satunya;
2) jika terdapat matriks songsang, maka terbalik kanan Dan kiri terbalik matriks bertepatan dengannya;
3) matriks persegi khas (tunggal) tidak mempunyai matriks songsang.
Sifat asas matriks songsang:
1) penentu matriks songsang dan penentu matriks asal adalah salingan;
2) matriks songsang hasil darab matriks kuasa dua adalah sama dengan hasil darab matriks songsang faktor, diambil dalam susunan songsang:
3) matriks songsang terbalik adalah sama dengan matriks songsang matriks terbalik yang diberikan:
CONTOH Hitung songsangan bagi matriks yang diberi.