| Lebih-lebih lagi, selama 12 tahun terakhir hidupnya, Euler sakit tenat, menjadi buta, dan, walaupun sakit serius, terus bekerja dan mencipta. Pengiraan statistik menunjukkan bahawa Euler membuat purata satu penemuan setiap minggu. Sukar untuk mencari masalah matematik yang tidak ditangani dalam karya Euler. Semua ahli matematik generasi berikutnya belajar dengan Euler dalam satu cara atau yang lain, dan bukan tanpa alasan bahawa saintis Perancis terkenal P.S. Laplace berkata: "Baca Euler, dia adalah guru kita semua." Lagrange berkata: "Jika anda benar-benar menyukai matematik, baca Euler; persembahan karya beliau adalah luar biasa kerana kejelasan dan ketepatannya yang menakjubkan." Sesungguhnya keanggunan perhitungannya dibawa ke tahap yang paling tinggi. Condorcet mengakhiri ucapannya di Akademi untuk mengenang Euler dengan kata-kata berikut: "Jadi Euler berhenti hidup dan mengira!" Hidup untuk mengira - betapa membosankannya dari luar! Adalah menjadi kebiasaan untuk membayangkan seorang ahli matematik sebagai kering dan pekak terhadap segala-galanya setiap hari, dengan minat orang biasa. Dinamakan sempena Euler, adalah masalah tiga rumah dan tiga telaga. |
TEORI GRAF
Salah satu cabang topologi. Graf ialah rajah geometri yang merupakan sistem garisan yang menghubungkan titik-titik tertentu. Titik dipanggil bucu, dan garis yang menghubungkannya dipanggil tepi (atau lengkok). Semua masalah teori graf boleh diselesaikan dalam bentuk grafik dan matriks. Dalam kes penulisan dalam bentuk matriks, kemungkinan menghantar mesej dari puncak tertentu kepada yang lain dilambangkan dengan satu, dan ketiadaannya dilambangkan dengan sifar.
Asal usul Teori Graf pada abad ke-18. dikaitkan dengan teka-teki matematik, tetapi dorongan yang sangat kuat untuk perkembangannya telah diberikan pada abad ke-19. dan terutamanya pada abad ke-20, apabila kemungkinan aplikasi praktikalnya ditemui: untuk mengira litar radio-elektronik, menyelesaikan apa yang dipanggil. tugas pengangkutan, dsb. Sejak tahun 50-an. Teori graf semakin banyak digunakan dalam psikologi sosial dan sosiologi.
Dalam bidang Teori Graf, seseorang harus menyebut karya F. Harry, J. Kemeny, K. Flament, J. Snell, J. French, R. Norman, O. Oyser, A. Beivelas, R. Weiss, dll. . Di USSR, menurut T. g. M. Borodkin et al.
Bahasa Teori Graf sangat sesuai untuk menganalisis pelbagai jenis struktur dan memindahkan keadaan. Selaras dengan ini, kita boleh membezakan jenis masalah sosiologi dan sosio-psikologi berikut yang diselesaikan menggunakan Teori Graf.
1) Pembentukan dan pembinaan model struktur umum objek sosial pada tahap kerumitan yang berbeza. Contohnya, gambar rajah struktur organisasi, sosiogram, perbandingan sistem persaudaraan dalam masyarakat yang berbeza, analisis struktur peranan kumpulan, dsb. Kita boleh menganggap bahawa struktur peranan merangkumi tiga komponen: orang, jawatan (dalam versi ringkas - jawatan) dan tugas yang dilakukan dalam jawatan tertentu. Setiap komponen boleh diwakili sebagai graf:
Adalah mungkin untuk menggabungkan ketiga-tiga graf untuk semua kedudukan atau hanya untuk satu, dan sebagai hasilnya kita mendapat idea yang jelas tentang struktur khusus c.l. peranan ini. Oleh itu, untuk peranan kedudukan P5 kita mempunyai graf (Rajah). Menenun hubungan tidak formal ke dalam struktur formal yang ditentukan akan merumitkan graf dengan ketara, tetapi ia akan menjadi salinan realiti yang lebih tepat.
2) Analisis model yang terhasil, pengenalpastian unit struktur (subsistem) di dalamnya dan kajian sambungannya. Dengan cara ini, sebagai contoh, subsistem dalam organisasi besar boleh dibezakan.
3) Mengkaji tahap struktur organisasi hierarki: bilangan tahap, bilangan sambungan yang pergi dari satu tahap ke tahap yang lain dan dari satu orang ke orang lain. Berdasarkan ini, tugas berikut diselesaikan:
a) kuantiti. menilai berat (status) seseorang individu dalam organisasi berhierarki. Salah satu pilihan yang mungkin untuk menentukan status ialah formula:
di mana r (p) ialah status orang tertentu p, k ialah nilai tahap subordinasi, ditakrifkan sebagai bilangan langkah terkecil daripada orang tertentu kepada orang bawahannya, nk ialah bilangan orang pada tahap k yang diberikan. . Sebagai contoh, dalam organisasi yang diwakili oleh yang berikut. Kiraan:
berat a=1·2+2·7+3·4=28; 6=1·3+2·3=9, dsb.
b) keazaman ketua kumpulan. Pemimpin biasanya dicirikan oleh keterkaitan yang lebih besar dengan seluruh kumpulan berbanding yang lain. Seperti dalam tugasan sebelum ini, pelbagai kaedah juga boleh digunakan di sini untuk mengenal pasti pemimpin.
Kaedah termudah diberikan oleh formula: r=Σdxy/Σdqx, i.e. hasil bagi membahagikan jumlah semua jarak setiap individu kepada semua yang lain dengan jumlah jarak individu tertentu kepada semua yang lain.
4) Analisis keberkesanan aktiviti sistem ini, yang juga termasuk tugas-tugas seperti mencari struktur optimum organisasi, meningkatkan perpaduan kumpulan, menganalisis sistem sosial dari sudut kemampanannya; kajian aliran maklumat (penghantaran mesej apabila menyelesaikan masalah, pengaruh ahli kumpulan antara satu sama lain dalam proses menyatukan kumpulan); dengan bantuan teknologi, mereka menyelesaikan masalah mencari rangkaian komunikasi yang optimum.
Apabila digunakan pada Teori Graf, dan juga pada mana-mana radas matematik, adalah benar bahawa prinsip asas untuk menyelesaikan masalah ditetapkan oleh teori substantif (dalam kes ini, sosiologi).
Tugasan : Tiga jiran mempunyai tiga telaga biasa. Adakah mungkin untuk membina laluan tidak bersilang dari setiap rumah ke setiap telaga? Laluan tidak boleh melalui telaga dan rumah (Rajah 1).
nasi. 1. Kepada masalah rumah dan perigi.
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan teorem yang dibuktikan oleh Euler pada tahun 1752, yang merupakan salah satu teorem utama dalam teori graf. Karya pertama mengenai teori graf adalah milik Leonhard Euler (1736), walaupun istilah "graf" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1936 oleh ahli matematik Hungary, Dénes König. Graf dipanggil gambar rajah yang terdiri daripada titik dan segmen garis lurus atau lengkung yang menghubungkan titik-titik ini.
Teorem. Jika poligon dibahagikan kepada bilangan poligon terhingga supaya mana-mana dua poligon partition sama ada tidak mempunyai titik sepunya, atau mempunyai bucu sepunya, atau mempunyai tepi sepunya, maka kesamaan itu berlaku.
B - P + G = 1, (*)
di mana B ialah jumlah bilangan bucu, P ialah jumlah bilangan tepi, G ialah bilangan poligon (muka).
Bukti. Mari kita buktikan bahawa kesamaan tidak berubah jika pepenjuru dilukis dalam beberapa poligon bagi partition tertentu (Rajah 2, a).
b) 
Sesungguhnya, selepas melukis pepenjuru sedemikian, partition baharu akan mempunyai bucu B, tepi P+1, dan bilangan poligon akan bertambah satu. Oleh itu, kita ada
B - (P + 1) + (G+1) = B – P + G.
Dengan menggunakan sifat ini, kami melukis pepenjuru yang membelah poligon masuk menjadi segi tiga, dan untuk partition yang terhasil kami menunjukkan kebolehlaksanaan hubungan.
Untuk melakukan ini, kami akan mengeluarkan tepi luaran secara berurutan, mengurangkan bilangan segi tiga. Dalam kes ini, dua kes adalah mungkin:
untuk mengeluarkan segitiga ABC, anda perlu mengeluarkan dua tepi, dalam kes kami AB dan BC;
Untuk mengalih keluar segitiga MKN, anda perlu mengeluarkan satu tepi, dalam kes kami MN.
Dalam kedua-dua kes kesaksamaan tidak akan berubah. Sebagai contoh, dalam kes pertama, selepas mengalih keluar segitiga, graf akan terdiri daripada bucu B-1, tepi P-2 dan poligon G-1:
(B - 1) - (P + 2) + (G -1) = B – P + G.
Oleh itu, mengeluarkan satu segi tiga tidak mengubah kesamaan.
Meneruskan proses mengalihkan segi tiga ini, kita akhirnya akan tiba di partition yang terdiri daripada segi tiga tunggal. Untuk sekatan sedemikian B = 3, P = 3, G = 1 dan, oleh itu,
Ini bermakna kesamaan juga berlaku untuk partition asal, yang akhirnya kami dapati bahawa hubungan itu sah untuk partition poligon ini.
Perhatikan bahawa hubungan Euler tidak bergantung pada bentuk poligon. Poligon boleh diubah bentuk, dibesarkan, dikurangkan, atau bahkan sisinya dibengkokkan, selagi sisinya tidak pecah. Hubungan Euler tidak akan berubah.
Sekarang mari kita meneruskan untuk menyelesaikan masalah tiga rumah dan tiga telaga.
Penyelesaian. Mari kita anggap bahawa ini boleh dilakukan. Mari kita tandakan rumah dengan titik D1, D2, D3, dan telaga dengan titik K1, K2, K3 (Rajah 1). Kami menyambungkan setiap titik rumah dengan setiap titik telaga. Kami mendapat sembilan tepi yang tidak bersilang secara berpasangan.
Tepi ini membentuk poligon pada satah, dibahagikan kepada poligon yang lebih kecil. Oleh itu, untuk partition ini hubungan Euler B - P + G = 1 mesti dipenuhi.
Mari tambahkan satu muka lagi pada muka yang sedang dipertimbangkan - bahagian luar satah berhubung dengan poligon. Kemudian hubungan Euler akan mengambil bentuk B - P + G = 2, dengan B = 6 dan P = 9.
E. Babaev. Calon Sains Kimia. Apabila bercakap tentang matematik sains, selalunya mereka hanya bermaksud penggunaan kaedah pengiraan pragmatik semata-mata, melupakan kenyataan yang tepat A. A. Lyubishchev tentang matematik sebagai bukan seorang hamba, tetapi ratu semua sains. Tahap pengmatematikan yang membawa sains ini atau itu ke dalam kategori yang tepat, jika ini yang kami maksudkan bukan penggunaan anggaran kuantitatif yang tepat, tetapi tahap abstraksi yang tinggi, kebebasan untuk beroperasi dengan konsep yang berkaitan dengan kategori bukan. -matematik berangka.
Antara kaedah matematik kualitatif sedemikian yang telah menemui aplikasi yang berkesan dalam kimia, peranan utama adalah milik set, kumpulan, algebra, pembinaan topologi dan, pertama sekali, graf - kaedah paling umum untuk mewakili struktur kimia.
Mari kita ambil, sebagai contoh, empat titik sewenang-wenangnya terletak pada satah atau di angkasa, dan sambungkannya dengan tiga baris. Tidak kira bagaimana titik ini (dipanggil bucu) terletak dan tidak kira bagaimana ia disambungkan antara satu sama lain dengan sengkang (dipanggil tepi), kita hanya mendapat dua kemungkinan struktur graf, berbeza antara satu sama lain dalam susunan sambungan bersama: satu graf, serupa dengan huruf "P" " atau "I", dan graf lain serupa dengan huruf "T", "E" atau "U". Jika bukannya empat titik abstrak kita mengambil empat atom karbon, dan bukannya sengkang kita mengambil ikatan kimia di antara mereka, maka kedua-dua graf yang ditunjukkan akan sepadan dengan dua kemungkinan isomer butana - normal dan iso-struktur.
Apakah sebab minat ahli kimia yang semakin meningkat dalam teori graf, bahasa titik dan garis yang pelik tetapi sangat mudah ini?
Graf mempunyai sifat yang luar biasa iaitu ia kekal tidak berubah di bawah sebarang ubah bentuk struktur yang tidak disertai dengan putusnya hubungan antara unsur-unsurnya. Struktur graf boleh diherotkan, menghilangkan simetri sepenuhnya dalam erti kata biasa; walau bagaimanapun, graf masih akan mempunyai simetri dalam erti kata topologi, ditentukan oleh kesamaan dan kebolehtukaran bucu akhir. Memandangkan simetri tersembunyi ini, seseorang boleh, sebagai contoh, meramalkan bilangan amina isomer berbeza yang diperoleh daripada struktur butana dan isobutana dengan menggantikan atom karbon dengan atom nitrogen; graf membolehkan anda menggunakan pertimbangan fizikal mudah untuk memahami corak jenis "sifat struktur".
Idea lain yang agak tidak dijangka ialah untuk menyatakan kualiti struktur graf (contohnya, tahap percabangannya) menggunakan nombor. Secara intuitif, kami merasakan bahawa isobutana lebih bercabang daripada butana biasa; Ini boleh dinyatakan secara kuantitatif, katakan, oleh fakta bahawa dalam molekul isobutana serpihan struktur propana diulang tiga kali, dan dalam butana biasa ia diulang hanya dua kali. Nombor struktur ini (dipanggil indeks topologi Wiener) berkorelasi dengan baik dengan ciri hidrokarbon tepu seperti takat didih atau nilai kalori. Baru-baru ini, fesyen pelik telah muncul untuk ciptaan pelbagai indeks topologi sudah ada lebih daripada dua puluh daripadanya; Kesederhanaan yang memikat menjadikan kaedah Pythagoras ini semakin popular *.
Penggunaan teori graf dalam kimia tidak terhad kepada struktur molekul. Kembali pada tahun tiga puluhan, A. A. Balandin, salah seorang pendahulu kimia matematik moden, mengisytiharkan prinsip penggantian isomorfik, mengikut mana graf yang sama membawa maklumat seragam tentang sifat-sifat objek berstruktur yang paling pelbagai; ia hanya penting untuk mentakrifkan dengan jelas elemen yang dipilih sebagai bucu dan jenis hubungan antara mereka akan dinyatakan dengan tepi. Jadi, sebagai tambahan kepada atom dan ikatan, anda boleh memilih fasa dan komponen, isomer dan tindak balas, makromolekul dan interaksi antara mereka sebagai bucu dan tepi. Seseorang boleh melihat hubungan topologi yang mendalam antara peraturan fasa Gibbs, peraturan Horiuchi stoikiometrik dan pengelasan rasional sebatian organik mengikut tahap ketidaktepuannya. Dengan bantuan graf, interaksi antara zarah asas, pelakuran kristal, pembahagian sel berjaya diterangkan... Dalam pengertian ini, teori graf berfungsi sebagai bahasa visual, hampir universal komunikasi antara disiplin.
Perkembangan setiap idea saintifik secara tradisinya melalui peringkat berikut: buku teks monograf ulasan artikel. Pertumbuhan idea yang dipanggil kimia matematik telah pun melepasi peringkat ulasan, walaupun masih belum mencapai status disiplin akademik. Oleh kerana kepelbagaian kawasan, bentuk utama penerbitan di kawasan ini kini adalah koleksi; beberapa koleksi tersebut diterbitkan pada tahun 1987-1988.
Koleksi pertama yang disunting oleh R. King "Aplikasi kimia topologi dan teori graf" (M., "Mir", 1987) mengandungi terjemahan laporan daripada simposium antarabangsa dengan penyertaan ahli kimia dan ahli matematik dari negara yang berbeza. Buku ini memberikan gambaran lengkap tentang palet beraneka ragam pendekatan yang muncul di persimpangan teori graf dan kimia. Ia menyentuh pelbagai isu yang sangat luas, bermula daripada struktur algebra kimia kuantum dan stereokimia, peraturan ajaib pengiraan elektronik, dan berakhir dengan struktur polimer dan teori penyelesaian. Ahli kimia organik sudah pasti akan tertarik dengan strategi baru untuk sintesis simpulan molekul jenis trefoil, pelaksanaan eksperimen idea jalur Möbius molekul. Kepentingan khusus ialah ulasan artikel mengenai penggunaan indeks topologi yang telah disebutkan di atas untuk menilai dan meramalkan pelbagai jenis sifat, termasuk aktiviti biologi molekul.
Terjemahan buku ini juga berguna kerana isu yang dibangkitkan di dalamnya mungkin membantu menyelesaikan beberapa masalah yang boleh dipertikaikan dalam bidang metodologi sains kimia. Oleh itu, penolakan oleh beberapa ahli kimia pada tahun 50-an terhadap simbolisme matematik formula resonans memberi laluan pada tahun 70-an kepada penafian oleh beberapa ahli fizik terhadap konsep struktur kimia. Dalam rangka kerja kimia matematik, percanggahan tersebut boleh dihapuskan, contohnya, menggunakan penerangan gabungan-topologi kedua-dua sistem kimia klasik dan kuantum.
Walaupun karya saintis Soviet tidak dibentangkan dalam koleksi ini, adalah menggembirakan untuk diperhatikan peningkatan minat dalam masalah kimia matematik dalam sains domestik. Contohnya ialah bengkel pertama "Graf molekul dalam penyelidikan kimia" (Odessa, 1987), yang mengumpulkan kira-kira seratus pakar dari seluruh negara. Berbanding dengan penyelidikan asing, kerja domestik dibezakan oleh sifat gunaan yang lebih ketara, fokus pada penyelesaian masalah sintesis komputer, dan mewujudkan pelbagai bank data. Walaupun tahap laporan yang tinggi, mesyuarat itu mencatatkan ketinggalan yang tidak boleh diterima dalam latihan pakar dalam kimia matematik. Hanya di universiti Moscow dan Novosibirsk sekali-sekala kursus diberikan mengenai isu individu. Pada masa yang sama, sudah tiba masanya untuk serius menimbulkan persoalan: apakah jenis matematik yang harus dipelajari oleh pelajar kimia? Malah, dalam program matematik universiti jabatan kimia, bahagian seperti teori kumpulan, kaedah gabungan, teori graf dan topologi secara praktikalnya tidak diwakili; seterusnya, ahli matematik universiti tidak belajar kimia langsung. Sebagai tambahan kepada masalah latihan, isu komunikasi saintifik adalah akut: jurnal semua-Kesatuan mengenai kimia matematik diperlukan, diterbitkan sekurang-kurangnya sekali setahun. Jurnal "MATCH" (Kimia Matematik) telah diterbitkan di luar negara selama bertahun-tahun, dan penerbitan kami tersebar di seluruh koleksi dan pelbagai jenis terbitan berkala.
Sehingga baru-baru ini, pembaca Soviet boleh berkenalan dengan kimia matematik hanya dari buku V. I. Sokolov "Pengantar Stereokimia Teoritis" (M.: Nauka, 1979) dan brosur oleh I. S. Dmitriev "Molekul tanpa Ikatan Kimia" (L.: Khimiya , 1977). Sebahagian mengisi jurang ini, cawangan Siberia dari rumah penerbitan Nauka menerbitkan tahun lepas buku "Aplikasi Teori Graf dalam Kimia" (diedit oleh N. S. Zefirov, S. I. Kuchanov). Buku ini terdiri daripada tiga bahagian, dengan bahagian pertama dikhaskan untuk penggunaan teori graf dalam kimia struktur; bahagian kedua meneliti graf tindak balas; yang ketiga menunjukkan bagaimana graf boleh digunakan untuk memudahkan penyelesaian banyak masalah tradisional dalam fizik kimia polimer. Sudah tentu, buku ini belum lagi menjadi buku teks (sebahagian besar idea yang dibincangkan adalah hasil asal pengarang); walau bagaimanapun, bahagian pertama koleksi boleh disyorkan sepenuhnya untuk kenalan awal dengan subjek.
Satu lagi prosiding koleksi seminar Fakulti Kimia Universiti Negeri Moscow "Prinsip simetri dan sistematik dalam kimia" (diedit oleh N. F. Stepanov) diterbitkan pada tahun 1987. Topik utama koleksi ialah kaedah teori kumpulan, teori graf dan teori sistem dalam kimia. Pelbagai soalan yang dibincangkan adalah tidak konvensional, dan jawapan kepada mereka adalah lebih kurang standard. Pembaca akan belajar, sebagai contoh, tentang sebab-sebab tiga dimensi ruang, tentang mekanisme yang mungkin untuk kemunculan ketidaksimetri dalam alam semula jadi, tentang prinsip-prinsip reka bentuk sistem berkala molekul, tentang satah simetri kimia. tindak balas, tentang perihalan bentuk molekul tanpa menggunakan parameter geometri, dan banyak lagi. Malangnya, buku itu hanya boleh didapati di perpustakaan saintifik, kerana ia tidak dijual secara am.
Memandangkan kita bercakap tentang prinsip simetri dan sistematik dalam sains, adalah mustahil untuk tidak menyebut satu lagi buku yang luar biasa "Sistem" (M.: Mysl, 1988). Buku ini didedikasikan untuk salah satu varian yang dipanggil teori umum sistem (GTS), yang dicadangkan dan dibangunkan oleh Yu.A Urmantsev dan yang hari ini telah menemui bilangan penyokong terbesar di kalangan saintis pelbagai kepakaran, baik semula jadi dan kemanusiaan. Prinsip awal OTS Urmantsev ialah konsep sistem dan huru-hara, polimorfisme dan isomorfisme, simetri dan asimetri, serta keharmonian dan ketidakharmonian.
Nampaknya teori Urmantsev harus menarik perhatian paling dekat ahli kimia, jika hanya kerana ia secara tradisinya meningkatkan konsep kimia komposisi, isomerisme, dan ketidaksimetrian kepada peringkat keseluruhan sistem. Dalam buku anda boleh menemui analog simetri yang menarik contohnya antara isomer daun dan struktur molekul **. Sudah tentu, apabila membaca buku itu, di sesetengah tempat tahap kesaksamaan profesional tertentu diperlukan - contohnya, apabila ia berkaitan dengan persamaan kimia-muzik atau rasional untuk sistem elemen simetri cermin. Walau bagaimanapun, buku itu diserap oleh idea utama untuk mencari bahasa universal yang menyatakan kesatuan alam semesta, yang mungkin merupakan bahasa Castalian dari "permainan manik" oleh Hermann Hess.
Bercakap tentang struktur matematik kimia moden, seseorang tidak boleh mengabaikan buku indah oleh A.F. Bochkov dan V.A. Smith "Sintesis Organik" (M.: Nauka, 1987). Walaupun pengarangnya adalah ahli kimia "tulen", beberapa idea yang dibincangkan dalam buku ini sangat hampir dengan masalah yang dibangkitkan di atas. Tanpa memikirkan bentuk pembentangan yang cemerlang dan kedalaman kandungan buku ini, selepas membaca yang anda ingin mengambil sintesis organik, kami akan menekankan hanya dua perkara. Pertama, mempertimbangkan kimia organik melalui prisma sumbangannya kepada sains dan budaya dunia, penulis membuat persamaan yang jelas antara kimia dan matematik sebagai sains universal yang menarik objek dan masalah penyelidikan mereka dari dalam diri mereka sendiri. Dalam erti kata lain, kepada status tradisional matematik sebagai ratu dan hamba kimia, kita boleh menambah hipostasis pelik kakaknya. Kedua, meyakinkan pembaca bahawa sintesis organik adalah sains yang tepat, penulis merayu kepada ketepatan dan ketegasan kedua-dua kimia struktur itu sendiri dan kepada kesempurnaan logik idea kimia.
Jika penguji berkata demikian, adakah terdapat keraguan bahawa jam kimia matematik telah tiba?
________________________
* Lihat "Kimia dan Kehidupan", 1988, No. 7, hlm.
** Lihat "Kimia dan Kehidupan", 1989, No. 2.