Persamaan dengan pecahan itu sendiri tidak sukar dan sangat menarik. Mari kita lihat jenis-jenis persamaan pecahan dan cara menyelesaikannya.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x dalam pengangka
Jika persamaan pecahan diberikan, di mana yang tidak diketahui adalah dalam pengangka, penyelesaian tidak memerlukan syarat tambahan dan diselesaikan tanpa kerumitan yang tidak perlu. Bentuk umum persamaan tersebut ialah x/a + b = c, di mana x ialah yang tidak diketahui, a, b dan c ialah nombor biasa.
Cari x: x/5 + 10 = 70.
Untuk menyelesaikan persamaan, anda perlu menyingkirkan pecahan. Darabkan setiap sebutan dalam persamaan dengan 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x dan 5 dibatalkan, 10 dan 70 didarab dengan 5 dan kita dapat: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Cari x: x/5 + x/10 = 90.
Contoh ini ialah versi yang lebih rumit daripada yang pertama. Terdapat dua penyelesaian yang mungkin di sini.
- Pilihan 1: Kita menyingkirkan pecahan dengan mendarab semua sebutan persamaan dengan penyebut yang lebih besar, iaitu, dengan 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- Pilihan 2: Tambahkan bahagian kiri persamaan. x/5 + x/10 = 90. Penyebut sepunya ialah 10. Bahagi 10 dengan 5, darab dengan x, kita dapat 2x. Bahagi 10 dengan 10, darab dengan x, kita dapat x: 2x+x/10 = 90. Oleh itu 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Kita sering menghadapi persamaan pecahan di mana x berada pada sisi bertentangan tanda sama. Dalam situasi sedemikian, adalah perlu untuk memindahkan semua pecahan dengan X ke satu sisi, dan nombor ke sisi yang lain.
- Cari x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Gerakkan 2x/5 ke kanan dengan tanda bertentangan: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Kami mengurangkan 5x/5 dan mendapat: x = 130.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x dalam penyebut
Persamaan pecahan jenis ini memerlukan penulisan syarat tambahan. Menentukan syarat ini adalah bahagian wajib dan penting dalam keputusan yang betul. Dengan tidak menambahnya, anda menghadapi risiko, kerana jawapannya (walaupun betul) mungkin tidak dikira.
Bentuk umum persamaan pecahan, di mana x berada dalam penyebut, ialah: a/x + b = c, di mana x ialah yang tidak diketahui, a, b, c ialah nombor biasa. Sila ambil perhatian bahawa x mungkin bukan sebarang nombor. Sebagai contoh, x tidak boleh sama dengan sifar, kerana ia tidak boleh dibahagikan dengan 0. Ini adalah syarat tambahan yang mesti kami nyatakan. Ini dipanggil julat nilai yang dibenarkan, disingkatkan sebagai OA.
Cari x: 15/x + 18 = 21.
Kami segera menulis ODZ untuk x: x ≠ 0. Sekarang ODZ ditunjukkan, kami menyelesaikan persamaan mengikut skema piawai, menyingkirkan pecahan. Kami mendarabkan semua sebutan persamaan dengan x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Selalunya terdapat persamaan di mana penyebut mengandungi bukan sahaja x, tetapi juga beberapa operasi lain dengannya, sebagai contoh, penambahan atau penolakan.
Cari x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Kita sudah tahu bahawa penyebut tidak boleh sama dengan sifar, yang bermaksud x-3 ≠ 0. Kami bergerak -3 ke sebelah kanan, menukar tanda "-" kepada "+" dan kami mendapat bahawa x ≠ 3. ODZ ialah ditunjukkan.
Kami menyelesaikan persamaan, darabkan semuanya dengan x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Gerakkan X ke kanan, nombor ke kiri: 24 = 3x => x = 8.
Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.
Menghormati privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.
Arahan
Mungkin perkara yang paling jelas di sini ialah, sudah tentu. Pecahan berangka tidak menimbulkan sebarang bahaya (persamaan pecahan, di mana semua penyebut hanya mengandungi nombor, secara amnya adalah linear), tetapi jika terdapat pembolehubah dalam penyebut, maka ini mesti diambil kira dan ditulis. Pertama, x, yang menukarkan penyebutnya kepada 0, tidak boleh, dan secara amnya adalah perlu untuk menyatakan secara berasingan fakta bahawa x tidak boleh sama dengan nombor ini. Walaupun anda berjaya itu apabila menggantikan ke dalam pengangka, semuanya menumpu dengan sempurna dan memenuhi syarat. Kedua, kita tidak boleh mendarab kedua-dua belah persamaan dengan , yang sama dengan sifar.
Selepas ini, persamaan sedemikian dikurangkan untuk memindahkan semua sebutannya ke sebelah kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan.
Adalah perlu untuk membawa semua istilah kepada penyebut yang sama, mendarab, jika perlu, pengangka dengan ungkapan yang hilang.
Seterusnya, kami menyelesaikan persamaan biasa yang ditulis dalam pengangka. Kita boleh mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, menggunakan pendaraban singkatan, membawa yang serupa, mengira punca persamaan kuadratik melalui diskriminasi, dsb.
Hasilnya hendaklah pemfaktoran dalam bentuk hasil darab kurungan (x-(i-th root)). Ini mungkin juga termasuk polinomial yang tidak mempunyai punca, contohnya, trinomial kuadratik dengan diskriminasi kurang daripada sifar (melainkan, sudah tentu, masalah itu hanya melibatkan punca sebenar, seperti yang paling kerap berlaku).
Adalah penting untuk memfaktorkan penyebut dan mencari kurungan yang telah terkandung dalam pengangka. Jika penyebut mengandungi ungkapan seperti (x-(nombor)), maka adalah lebih baik untuk tidak mendarab kurungan di dalamnya secara langsung apabila dikurangkan kepada penyebut biasa, tetapi meninggalkannya sebagai hasil daripada ungkapan ringkas asal.
Tanda kurung yang sama dalam pengangka dan penyebut boleh dipendekkan dengan menulis terlebih dahulu, seperti yang dinyatakan di atas, syarat pada x.
Jawapannya ditulis dalam kurungan kerinting, sebagai satu set nilai x, atau hanya sebagai penghitungan: x1=..., x2=..., dsb.
Sumber:
- Persamaan rasional pecahan
Sesuatu yang anda tidak boleh lakukan tanpa dalam fizik, matematik, kimia. Sekurang-kurangnya. Mari belajar asas menyelesaikannya.
Arahan
Pengelasan yang paling umum dan mudah boleh dibahagikan mengikut bilangan pembolehubah yang terkandung di dalamnya dan darjah di mana pembolehubah ini berdiri.
Selesaikan persamaan dengan semua puncanya atau buktikan bahawa tidak ada.
Mana-mana persamaan tidak mempunyai lebih daripada punca P, di mana P ialah maksimum bagi persamaan yang diberikan.
Tetapi beberapa akar ini mungkin bertepatan. Jadi, sebagai contoh, persamaan x^2+2*x+1=0, dengan ^ ialah ikon untuk eksponen, dilipat ke dalam segi empat sama ungkapan (x+1), iaitu, menjadi hasil darab dua yang serupa. kurungan, setiap satunya memberikan x=- 1 sebagai penyelesaian.
Jika terdapat hanya satu yang tidak diketahui dalam persamaan, ini bermakna anda akan dapat mencari puncanya secara eksplisit (nyata atau kompleks).
Untuk ini, anda berkemungkinan besar memerlukan pelbagai transformasi: pendaraban singkatan, pengiraan diskriminasi dan punca persamaan kuadratik, pemindahan sebutan dari satu bahagian ke bahagian yang lain, pengurangan kepada penyebut biasa, pendaraban kedua-dua bahagian persamaan dengan yang sama. ungkapan, dengan segi empat sama, dsb.
Transformasi yang tidak menjejaskan punca persamaan adalah sama. Ia digunakan untuk memudahkan proses menyelesaikan persamaan.
Anda juga boleh menggunakan kaedah grafik dan bukannya kaedah analitikal tradisional dan tulis persamaan ini dalam bentuk, kemudian jalankan kajiannya.
Jika terdapat lebih daripada satu yang tidak diketahui dalam persamaan, maka anda hanya akan dapat menyatakan salah satu daripadanya dalam sebutan yang lain, dengan itu menunjukkan satu set penyelesaian. Ini adalah, sebagai contoh, persamaan dengan parameter di mana terdapat x tidak diketahui dan parameter a. Untuk menyelesaikan persamaan parametrik bermakna semua a menyatakan x dalam sebutan a, iaitu, untuk mempertimbangkan semua kes yang mungkin.
Jika persamaan mengandungi derivatif atau pembezaan yang tidak diketahui (lihat gambar), tahniah, ini adalah persamaan pembezaan, dan anda tidak boleh melakukannya tanpa matematik yang lebih tinggi).
Sumber:
- Transformasi identiti
Untuk menyelesaikan masalah dengan dalam pecahan, anda perlu belajar cara melakukan aritmetik dengan mereka. Mereka boleh menjadi perpuluhan, tetapi selalunya pecahan asli dengan pengangka dan penyebut digunakan. Hanya selepas ini anda boleh meneruskan untuk menyelesaikan masalah matematik dengan kuantiti pecahan.
Anda akan memerlukan
- - kalkulator;
- - pengetahuan tentang sifat pecahan;
- - keupayaan untuk melakukan operasi dengan pecahan.
Arahan
Pecahan ialah tatatanda untuk membahagi satu nombor dengan nombor lain. Selalunya ini tidak dapat dilakukan sepenuhnya, itulah sebabnya tindakan ini dibiarkan tidak selesai. Nombor yang boleh dibahagikan (ia muncul di atas atau sebelum tanda pecahan) dipanggil pengangka, dan nombor kedua (di bawah atau selepas tanda pecahan) dipanggil penyebut. Jika pengangka lebih besar daripada penyebut, pecahan itu dipanggil pecahan tak wajar, dan keseluruhan bahagian boleh dipisahkan daripadanya. Jika pengangkanya kurang daripada penyebutnya, maka pecahan tersebut dipanggil wajar, dan bahagian integernya adalah sama dengan 0.
Tugasan terbahagi kepada beberapa jenis. Tentukan yang mana tugas itu milik mereka. Pilihan yang paling mudah ialah mencari pecahan nombor yang dinyatakan sebagai pecahan. Untuk menyelesaikan masalah ini, hanya darabkan nombor ini dengan pecahan. Sebagai contoh, 8 tan kentang telah dihantar. Pada minggu pertama, 3/4 daripada jumlahnya telah dijual. Berapa biji kentang yang tinggal? Untuk menyelesaikan masalah ini, darabkan nombor 8 dengan 3/4. Ternyata 8∙3/4=6 t.
Jika anda perlu mencari nombor dengan bahagiannya, darab bahagian nombor yang diketahui dengan pecahan songsang yang menunjukkan bahagian bahagian ini dalam nombor itu. Sebagai contoh, 8 daripadanya membentuk 1/3 daripada jumlah pelajar. dalam berapa? Oleh kerana 8 orang adalah bahagian yang mewakili 1/3 daripada jumlah tersebut, maka cari pecahan salingan, iaitu 3/1 atau hanya 3. Kemudian untuk mendapatkan bilangan pelajar dalam kelas 8∙3=24 pelajar.
Apabila anda perlu mencari bahagian nombor satu daripada nombor lain, bahagikan nombor yang mewakili bahagian itu dengan nombor keseluruhan. Sebagai contoh, jika jaraknya ialah 300 km, dan kereta itu telah berjalan sejauh 200 km, apakah bahagian daripada jumlah jarak ini? Bahagikan sebahagian daripada laluan 200 dengan laluan penuh 300, selepas mengurangkan pecahan anda mendapat hasilnya. 200/300=2/3.
Untuk mencari pecahan nombor yang tidak diketahui apabila terdapat yang diketahui, ambil nombor keseluruhan sebagai unit konvensional dan tolak pecahan yang diketahui daripadanya. Contohnya, jika 4/7 pelajaran telah pun berlalu, adakah masih ada masa lagi? Ambil keseluruhan pelajaran sebagai satu unit dan tolak 4/7 daripadanya. Dapatkan 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Persamaan yang mengandungi pembolehubah dalam penyebut boleh diselesaikan dengan dua cara:
Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya
Menggunakan sifat asas perkadaran
Tanpa mengira kaedah yang dipilih, selepas mencari punca persamaan, adalah perlu untuk memilih daripada nilai sah yang ditemui, iaitu, yang tidak menukarkan penyebut kepada $0$.
1 cara. Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.
Contoh 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Penyelesaian:
1. Mari kita pindahkan pecahan dari sebelah kanan persamaan ke kiri
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
Untuk melakukan ini dengan betul, ingat bahawa apabila memindahkan elemen ke bahagian lain persamaan, tanda di hadapan ungkapan berubah kepada sebaliknya. Ini bermakna jika terdapat tanda "+" di hadapan pecahan di sebelah kanan, maka akan ada tanda "-" di hadapannya di sebelah kiri Kemudian di sebelah kiri kita mendapat perbezaan pecahan.
2. Sekarang ambil perhatian bahawa pecahan mempunyai penyebut yang berbeza, yang bermaksud bahawa untuk membuat perbezaan adalah perlu untuk membawa pecahan kepada penyebut biasa. Penyebut biasa akan menjadi hasil darab polinomial dalam penyebut pecahan asal: $(2x-1)(x+3)$
Untuk mendapatkan ungkapan yang sama, pengangka dan penyebut pecahan pertama mesti didarab dengan polinomial $(x+3)$, dan yang kedua dengan polinomial $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Mari kita lakukan penjelmaan dalam pengangka bagi pecahan pertama - darab polinomial. Marilah kita ingat bahawa untuk ini adalah perlu untuk mendarabkan sebutan pertama yang pertama polinomial darab dengan setiap sebutan polinomial kedua, kemudian darab sebutan kedua polinomial pertama dengan setiap sebutan polinomial kedua dan tambah hasilnya
\[\kiri(2x+3\kanan)\kiri(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam ungkapan yang terhasil
\[\kiri(2x+3\kanan)\kiri(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Mari kita lakukan transformasi yang serupa dalam pengangka pecahan kedua - darab polinomial
$\kiri(x-5\kanan)\kiri(2x-1\kanan)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$
Kemudian persamaan akan mengambil bentuk:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Sekarang pecahan mempunyai penyebut yang sama, yang bermaksud anda boleh menolak. Ingat bahawa apabila menolak pecahan dengan penyebut yang sama daripada pengangka bagi pecahan pertama, anda mesti menolak pengangka bagi pecahan kedua, meninggalkan penyebutnya sama.
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Mari kita ubah ungkapan menjadi pengangka. Untuk membuka kurungan yang didahului dengan tanda "-", anda perlu menukar semua tanda di hadapan istilah dalam kurungan ke sebaliknya
\[(2x)^2+9x+9-\kiri((2x)^2-11x+5\kanan)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Mari kita kemukakan istilah yang serupa
$(2x)^2+9x+9-\kiri((2x)^2-11x+5\kanan)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Kemudian pecahan akan mengambil bentuk
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. Suatu pecahan bersamaan dengan $0$ jika pengangkanya ialah 0. Oleh itu, kita menyamakan pengangka pecahan itu dengan $0$.
\[(\rm 20х+4=0)\]
Mari kita selesaikan persamaan linear:
4. Mari kita sampel akarnya. Ini bermakna adalah perlu untuk menyemak sama ada penyebut bagi pecahan asal bertukar kepada $0$ apabila punca ditemui.
Mari kita tetapkan syarat bahawa penyebutnya tidak sama dengan $0$
x$\ne 0.5$ x$\ne -3$
Ini bermakna semua nilai pembolehubah boleh diterima kecuali $-3$ dan $0.5$.
Punca yang kami temui ialah nilai yang boleh diterima, yang bermaksud ia boleh dianggap sebagai punca persamaan dengan selamat. Jika punca yang ditemui bukan nilai yang sah, maka akar tersebut akan menjadi luar dan, sudah tentu, tidak akan disertakan dalam respons.
Jawapan:$-0,2.$
Sekarang kita boleh mencipta algoritma untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi pembolehubah dalam penyebut
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi pembolehubah dalam penyebut
Pindahkan semua elemen dari sebelah kanan persamaan ke kiri. Untuk mendapatkan persamaan yang sama, adalah perlu untuk menukar semua tanda di hadapan ungkapan di sebelah kanan ke sebaliknya
Jika di sebelah kiri kita menerima ungkapan dengan penyebut yang berbeza, maka kita mengurangkannya kepada yang biasa menggunakan sifat asas pecahan. Lakukan transformasi menggunakan transformasi identiti dan dapatkan pecahan akhir bersamaan $0$.
Samakan pengangka dengan $0$ dan cari punca persamaan yang terhasil.
Mari kita sampel akar, i.e. cari nilai pembolehubah yang sah yang tidak menjadikan penyebutnya $0$.
Kaedah 2. Kami menggunakan sifat asas perkadaran
Sifat utama perkadaran ialah hasil darab sebutan ekstrem bagi perkadaran adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.
Contoh 2
Kami menggunakan harta ini untuk menyelesaikan tugasan ini
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Mari kita cari dan samakan hasil darab sebutan ekstrem dan pertengahan bagi bahagian itu.
$\kiri(2x+3\kanan)\cdot(\ x+3)=\kiri(x-5\kanan)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
Setelah menyelesaikan persamaan yang terhasil, kita akan mencari punca-punca asal
2. Mari cari nilai pembolehubah yang boleh diterima.
Daripada penyelesaian sebelumnya (kaedah 1) kami telah mendapati bahawa sebarang nilai boleh diterima kecuali $-3$ dan $0.5$.
Kemudian, setelah menetapkan bahawa punca yang ditemui ialah nilai yang sah, kami mendapati bahawa $-0.2$ akan menjadi punca.