Statistik selang keyakinan. Kaedah analisis kuantitatif: Anggaran selang keyakinan

Dalam subseksyen sebelumnya kami mempertimbangkan isu menganggarkan parameter yang tidak diketahui A satu nombor. Ini dipanggil anggaran "titik". Dalam beberapa tugas, anda bukan sahaja perlu mencari parameter A nilai berangka yang sesuai, tetapi juga untuk menilai ketepatan dan kebolehpercayaannya. Anda perlu tahu apakah ralat yang boleh menyebabkan penggantian parameter A anggaran titiknya A dan dengan tahap keyakinan apakah yang boleh kita jangkakan bahawa kesilapan ini tidak akan melebihi had yang diketahui?

Masalah seperti ini amat relevan dengan sebilangan kecil pemerhatian, apabila anggaran titik dan dalam sebahagian besarnya rawak dan anggaran penggantian a dengan a boleh membawa kepada ralat yang serius.

Untuk memberi gambaran tentang ketepatan dan kebolehpercayaan anggaran A,

Dalam statistik matematik, apa yang dipanggil selang keyakinan dan kebarangkalian keyakinan digunakan.

Biarkan untuk parameter A anggaran tidak berat sebelah diperoleh daripada pengalaman A. Kami ingin menganggarkan kemungkinan ralat dalam kes ini. Mari kita tetapkan beberapa kebarangkalian p yang cukup besar (contohnya, p = 0.9, 0.95 atau 0.99) supaya peristiwa dengan kebarangkalian p boleh dianggap boleh dipercayai secara praktikal, dan mencari nilai s yang

Kemudian julat nilai ralat yang mungkin berlaku semasa penggantian A pada A, akan menjadi ± s; Ralat besar dalam nilai mutlak akan muncul hanya dengan kebarangkalian rendah a = 1 - p. Mari kita tulis semula (14.3.1) sebagai:

Kesamaan (14.3.2) bermakna dengan kebarangkalian p nilai parameter yang tidak diketahui A jatuh dalam selang waktu

Perlu diperhatikan satu keadaan. Sebelum ini, kami telah berulang kali mempertimbangkan kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang bukan rawak yang diberikan. Di sini keadaannya berbeza: magnitud A bukan rawak, tetapi selang / p adalah rawak. Kedudukannya pada paksi-x adalah rawak, ditentukan oleh pusatnya A; Secara umum, panjang selang 2s juga rawak, kerana nilai s dikira, sebagai peraturan, daripada data eksperimen. Oleh itu, dalam kes ini, adalah lebih baik untuk mentafsir nilai p bukan sebagai kebarangkalian "memukul" titik itu. A dalam selang / p, dan sebagai kebarangkalian bahawa selang rawak / p akan meliputi titik A(Gamb. 14.3.1).

nasi. 14.3.1

Kebarangkalian p biasanya dipanggil kebarangkalian keyakinan, dan selang / p - selang keyakinan. Sempadan selang Jika. a x = a- s dan a 2 = a + dan dipanggil sempadan amanah.

Mari kita berikan satu lagi tafsiran kepada konsep selang keyakinan: ia boleh dianggap sebagai selang nilai parameter A, serasi dengan data eksperimen dan tidak bercanggah dengannya. Sesungguhnya, jika kita bersetuju untuk menganggap peristiwa dengan kebarangkalian a = 1-p hampir mustahil, maka nilai-nilai parameter a yang a - a> s mesti diiktiraf sebagai bercanggah dengan data eksperimen, dan data yang |a - A a t na 2 .

Biarkan untuk parameter A terdapat anggaran yang tidak berat sebelah A. Jika kita tahu hukum taburan kuantiti A, tugas mencari selang keyakinan akan menjadi sangat mudah: sudah cukup untuk mencari nilai s yang

Kesukaran adalah bahawa undang-undang pengagihan anggaran A bergantung kepada hukum taburan kuantiti X dan, oleh itu, pada parameter yang tidak diketahui (khususnya, pada parameter itu sendiri A).

Untuk mengatasi kesukaran ini, anda boleh menggunakan teknik anggaran berikut: gantikan parameter yang tidak diketahui dalam ungkapan untuk s dengan anggaran mata mereka. Dengan bilangan eksperimen yang agak besar P(kira-kira 20...30) teknik ini biasanya memberikan hasil yang memuaskan dari segi ketepatan.

Sebagai contoh, pertimbangkan masalah selang keyakinan untuk jangkaan matematik.

Biar terhasil P X, yang ciri-cirinya adalah jangkaan matematik T dan varians D- tidak diketahui. Anggaran berikut diperoleh untuk parameter ini:

Ia diperlukan untuk membina selang keyakinan / p sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p untuk jangkaan matematik T kuantiti X.

Apabila menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan fakta bahawa kuantiti T mewakili jumlah P pembolehubah rawak teragih sama bebas X h dan mengikut teorem had pusat, untuk yang cukup besar P undang-undang pengedarannya hampir normal. Dalam amalan, walaupun dengan bilangan istilah yang agak kecil (kira-kira 10...20), undang-undang pengedaran jumlah itu boleh dianggap normal. Kami akan menganggap bahawa nilai T diedarkan mengikut hukum biasa. Ciri-ciri undang-undang ini - jangkaan dan varians matematik - adalah sama, masing-masing T Dan

(lihat bab 13 subseksyen 13.3). Mari kita anggap bahawa nilai D kita tahu dan akan mencari nilai Ep yang

Menggunakan formula (6.3.5) Bab 6, kami menyatakan kebarangkalian di sebelah kiri (14.3.5) melalui fungsi taburan normal

di manakah sisihan piawai anggaran T.

Daripada Pers.

cari nilai Sp:

dengan arg Ф* (х) ialah fungsi songsang bagi Ф* (X), mereka. nilai hujah sedemikian yang mana fungsi taburan normal adalah sama X.

Penyerakan D, melalui mana kuantiti dinyatakan A 1P, kita tidak tahu dengan tepat; sebagai nilai anggarannya, anda boleh menggunakan anggaran D(14.3.4) dan letakkan lebih kurang:

Oleh itu, masalah membina selang keyakinan telah lebih kurang diselesaikan, iaitu bersamaan dengan:

di mana gp ditentukan oleh formula (14.3.7).

Untuk mengelakkan interpolasi terbalik dalam jadual fungsi Ф* (l) apabila mengira s p, adalah mudah untuk menyusun jadual khas (Jadual 14.3.1), yang memberikan nilai kuantiti

bergantung kepada r. Nilai (p menentukan untuk hukum biasa bilangan sisihan piawai yang mesti diplot ke kanan dan kiri dari pusat serakan supaya kebarangkalian untuk masuk ke kawasan yang terhasil adalah sama dengan p.

Menggunakan nilai 7 p, selang keyakinan dinyatakan sebagai:

Jadual 14.3.1

Contoh 1. 20 eksperimen telah dijalankan ke atas kuantiti X; keputusan ditunjukkan dalam jadual. 14.3.2.

Jadual 14.3.2

Ia dikehendaki mencari anggaran daripada jangkaan matematik kuantiti X dan bina selang keyakinan sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p = 0.8.

Penyelesaian. Kami ada:

Memilih l: = 10 sebagai titik rujukan, menggunakan formula ketiga (14.2.14) kita dapati anggaran tidak berat sebelah D :

Mengikut jadual 14.3.1 kita dapati

Had keyakinan:

Selang keyakinan:

Nilai parameter T, terletak dalam selang ini adalah serasi dengan data eksperimen yang diberikan dalam jadual. 14.3.2.

Selang keyakinan untuk varians boleh dibina dengan cara yang sama.

Biar terhasil P eksperimen bebas ke atas pembolehubah rawak X dengan parameter yang tidak diketahui untuk kedua-dua A dan penyebaran D anggaran tidak berat sebelah diperolehi:

Ia dikehendaki membina kira-kira selang keyakinan untuk varians.

Daripada formula (14.3.11) jelas bahawa kuantiti D mewakili

jumlah P pembolehubah rawak bentuk . Nilai-nilai ini tidak

bebas, kerana mana-mana daripadanya termasuk kuantiti T, bergantung pada orang lain. Walau bagaimanapun, ia boleh ditunjukkan bahawa dengan peningkatan P hukum pengagihan jumlah mereka juga menghampiri normal. Hampir di P= 20...30 dah boleh dianggap biasa.

Mari kita anggap bahawa ini benar dan cari ciri-ciri undang-undang ini: jangkaan matematik dan penyebaran. Sejak penilaian D- tidak berat sebelah, maka M[D] = D.

Pengiraan varians D D dikaitkan dengan pengiraan yang agak kompleks, jadi kami membentangkan ungkapannya tanpa terbitan:

di mana q 4 ialah momen pusat keempat magnitud X.

Untuk menggunakan ungkapan ini, anda perlu menggantikan nilai \u003d 4 dan D(sekurang-kurangnya yang rapat). Sebaliknya D anda boleh menggunakan penilaiannya D. Pada dasarnya, momen tengah keempat juga boleh digantikan dengan anggaran, sebagai contoh, nilai bentuk:

tetapi penggantian sedemikian akan memberikan ketepatan yang sangat rendah, kerana secara umum, dengan bilangan percubaan yang terhad, momen tertib tinggi ditentukan dengan ralat yang besar. Walau bagaimanapun, dalam amalan ia sering berlaku bahawa jenis undang-undang pengagihan kuantiti X diketahui terlebih dahulu: hanya parameternya tidak diketahui. Kemudian anda boleh cuba menyatakan μ 4 melalui D.

Mari kita ambil kes yang paling biasa, apabila nilai X diedarkan mengikut hukum biasa. Kemudian momen pusat keempatnya dinyatakan dalam bentuk serakan (lihat Bab 6, subseksyen 6.2);

dan formula (14.3.12) memberi atau

Menggantikan yang tidak diketahui dalam (14.3.14) D penilaiannya D, kita dapat: dari mana

Momen μ 4 boleh dinyatakan melalui D juga dalam beberapa kes lain, apabila pengagihan nilai X tidak normal, tetapi rupanya diketahui. Sebagai contoh, untuk undang-undang ketumpatan seragam (lihat Bab 5) kita ada:

di mana (a, P) ialah selang di mana undang-undang itu ditentukan.

Oleh itu,

Menggunakan formula (14.3.12) kami memperoleh: di mana kita dapati lebih kurang

Dalam kes di mana jenis undang-undang pengedaran untuk kuantiti 26 tidak diketahui, apabila membuat anggaran anggaran nilai a/) masih disyorkan untuk menggunakan formula (14.3.16), melainkan terdapat sebab khas untuk mempercayai bahawa undang-undang ini sangat berbeza daripada yang biasa (mempunyai kurtosis positif atau negatif yang ketara) .

Jika nilai anggaran a/) diperolehi dalam satu cara atau yang lain, maka kita boleh membina selang keyakinan untuk varians dengan cara yang sama seperti kita membinanya untuk jangkaan matematik:

di mana nilai bergantung kepada kebarangkalian p yang diberi didapati mengikut jadual. 14.3.1.

Contoh 2. Cari kira-kira 80% selang keyakinan untuk varians pembolehubah rawak X di bawah syarat contoh 1, jika diketahui bahawa nilai X diedarkan mengikut undang-undang yang hampir normal.

Penyelesaian. Nilai tetap sama seperti dalam jadual. 14.3.1:

Mengikut formula (14.3.16)

Menggunakan formula (14.3.18) kita dapati selang keyakinan:

Julat nilai sisihan piawai yang sepadan: (0.21; 0.29).

14.4. Kaedah tepat untuk membina selang keyakinan bagi parameter pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum biasa

Dalam subseksyen sebelumnya, kami meneliti kaedah anggaran secara kasar untuk membina selang keyakinan untuk jangkaan dan varians matematik. Di sini kami akan memberikan idea tentang kaedah yang tepat untuk menyelesaikan masalah yang sama. Kami menekankan bahawa untuk mencari selang keyakinan dengan tepat adalah perlu untuk mengetahui terlebih dahulu bentuk undang-undang taburan kuantiti X, sedangkan untuk penggunaan kaedah anggaran ini tidak perlu.

Idea kaedah yang tepat untuk membina selang keyakinan datang kepada perkara berikut. Sebarang selang keyakinan ditemui daripada keadaan yang menyatakan kebarangkalian untuk memenuhi ketaksamaan tertentu, yang termasuk anggaran yang kami minati A. Undang-undang pengagihan penilaian A dalam kes umum bergantung pada parameter kuantiti yang tidak diketahui X. Walau bagaimanapun, kadangkala adalah mungkin untuk lulus dalam ketaksamaan daripada pembolehubah rawak A kepada beberapa fungsi lain bagi nilai yang diperhatikan X p X 2, ..., X hlm. hukum taburan yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui, tetapi hanya bergantung pada bilangan eksperimen dan pada jenis hukum taburan kuantiti X. Pembolehubah rawak jenis ini memainkan peranan penting dalam statistik matematik; mereka telah dikaji secara terperinci untuk kes taburan normal kuantiti X.

Sebagai contoh, telah dibuktikan bahawa dengan taburan normal nilai X nilai rawak

mematuhi apa yang dipanggil Undang-undang pengedaran pelajar Dengan P- 1 darjah kebebasan; ketumpatan undang-undang ini mempunyai bentuk

di mana G(x) ialah fungsi gamma yang diketahui:

Ia juga telah dibuktikan bahawa pembolehubah rawak

mempunyai "pengedaran % 2" dengan P- 1 darjah kebebasan (lihat Bab 7), ketumpatannya dinyatakan oleh formula

Tanpa memikirkan terbitan taburan (14.4.2) dan (14.4.4), kami akan menunjukkan bagaimana ia boleh digunakan semasa membina selang keyakinan untuk parameter ty D.

Biar terhasil P eksperimen bebas ke atas pembolehubah rawak X, diedarkan secara normal dengan parameter yang tidak diketahui T&P. Untuk parameter ini, anggaran telah diperolehi

Ia diperlukan untuk membina selang keyakinan untuk kedua-dua parameter yang sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p.

Mari mula-mula bina selang keyakinan untuk jangkaan matematik. Adalah wajar untuk mengambil selang ini simetri berkenaan dengan T; biarkan s p menandakan separuh panjang selang itu. Nilai s p mesti dipilih supaya syarat itu dipenuhi

Mari cuba bergerak di sebelah kiri kesamaan (14.4.5) daripada pembolehubah rawak T kepada pembolehubah rawak T, diedarkan mengikut undang-undang Pelajar. Untuk melakukan ini, darab kedua-dua belah ketaksamaan |m-w?|

dengan nilai positif: atau, menggunakan tatatanda (14.4.1),

Mari cari nombor / p supaya nilai / p boleh didapati daripada keadaan

Daripada formula (14.4.2) adalah jelas bahawa (1) ialah fungsi genap, oleh itu (14.4.8) memberikan

Kesamaan (14.4.9) menentukan nilai / p bergantung pada p. Jika anda mempunyai jadual nilai kamiran yang anda boleh gunakan

maka nilai /p boleh didapati dengan interpolasi songsang dalam jadual. Walau bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk merangka jadual nilai /p terlebih dahulu. Jadual sedemikian diberikan dalam Lampiran (Jadual 5). Jadual ini menunjukkan nilai bergantung pada tahap keyakinan p dan bilangan darjah kebebasan P- 1. Setelah ditentukan / p daripada jadual. 5 dan andaikan

kita akan dapati separuh lebar selang keyakinan / p dan selang itu sendiri

Contoh 1. 5 eksperimen bebas telah dilakukan ke atas pembolehubah rawak X, diedarkan secara normal dengan parameter yang tidak diketahui T dan tentang. Keputusan eksperimen diberikan dalam jadual. 14.4.1.

Jadual 14.4.1

Cari rating T untuk jangkaan matematik dan bina selang keyakinan 90% / p untuknya (iaitu, selang sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p = 0.9).

Penyelesaian. Kami ada:

Mengikut jadual 5 permohonan untuk P - 1 = 4 dan p = 0.9 kita dapati di mana

Selang keyakinan akan menjadi

Contoh 2. Untuk syarat contoh 1 subseksyen 14.3, dengan andaian nilainya X taburan normal, cari selang keyakinan yang tepat.

Penyelesaian. Menurut jadual 5 lampiran kita dapati apabila P - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; dari sini

Membandingkan dengan penyelesaian contoh 1 subseksyen 14.3 (e p = 0.072), kami yakin bahawa percanggahan itu sangat tidak ketara. Jika kita mengekalkan ketepatan ke tempat perpuluhan kedua, maka selang keyakinan yang ditemui oleh kaedah tepat dan anggaran bertepatan:

Mari kita teruskan untuk membina selang keyakinan untuk varians. Pertimbangkan penganggar varians tidak berat sebelah

dan nyatakan pembolehubah rawak D melalui magnitud V(14.4.3), mempunyai pengedaran x 2 (14.4.4):

Mengetahui hukum taburan kuantiti V, anda boleh mencari selang /(1) di mana ia jatuh dengan kebarangkalian p yang diberikan.

Hukum pengagihan kn_x(v) magnitud I 7 mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 14.4.1.

nasi. 14.4.1

Persoalannya timbul: bagaimana untuk memilih selang / p? Jika hukum taburan magnitud V adalah simetri (seperti undang-undang biasa atau taburan Pelajar), adalah wajar untuk mengambil selang /p simetri berkenaan dengan jangkaan matematik. Dalam hal ini undang-undang k p_x (v) tidak simetri. Marilah kita bersetuju untuk memilih selang /p supaya kebarangkalian nilai itu V melepasi selang ke kanan dan kiri (kawasan berlorek dalam Rajah 14.4.1) adalah sama dan sama

Untuk membina selang /p dengan sifat ini, kami menggunakan jadual. 4 aplikasi: ia mengandungi nombor y) seperti itu

untuk nilai V, mempunyai x 2 -taburan dengan r darjah kebebasan. Dalam kes kita r = n- 1. Mari kita betulkan r = n- 1 dan cari dalam baris jadual yang sepadan. 4 dua makna x 2 - satu sepadan dengan kebarangkalian yang lain - kebarangkalian Mari kita nyatakan ini

nilai pukul 2 Dan xl? Selang telah y 2, dengan kiri anda, dan y ~ hujung kanan.

Sekarang mari kita cari daripada selang / p selang keyakinan yang diingini /|, untuk serakan dengan sempadan D, dan D2, yang meliputi perkara itu D dengan kebarangkalian p:

Mari kita bina selang / (, = (?> ь А) yang merangkumi titik D jika dan hanya jika nilai V jatuh ke dalam selang /r. Mari kita tunjukkan bahawa selang

memenuhi syarat ini. Sesungguhnya, ketidaksamaan adalah bersamaan dengan ketidaksamaan

dan ketaksamaan ini berpuas hati dengan kebarangkalian p. Oleh itu, selang keyakinan bagi varians telah ditemui dan dinyatakan dengan formula (14.4.13).

Contoh 3. Cari selang keyakinan bagi varians di bawah syarat contoh 2 subseksyen 14.3, jika diketahui bahawa nilai X diedarkan secara normal.

Penyelesaian. Kami ada . Mengikut jadual 4 lampiran

kita dapati di r = n - 1 = 19

Menggunakan formula (14.4.13) kita mencari selang keyakinan untuk varians

Selang yang sepadan untuk sisihan piawai ialah (0.21; 0.32). Selang ini hanya sedikit melebihi selang (0.21; 0.29) yang diperoleh dalam contoh 2 subseksyen 14.3 menggunakan kaedah anggaran.

Rajah 14.3.1 menganggap simetri selang keyakinan tentang a. Secara umum, seperti yang akan kita lihat kemudian, ini tidak perlu.

Mari kita bina selang keyakinan dalam MS EXCEL untuk menganggarkan nilai min taburan dalam kes nilai serakan yang diketahui.

Sudah tentu pilihan tahap kepercayaan sepenuhnya bergantung kepada masalah yang diselesaikan. Oleh itu, tahap keyakinan penumpang udara terhadap kebolehpercayaan kapal terbang sudah pasti lebih tinggi daripada tahap keyakinan pembeli terhadap kebolehpercayaan mentol lampu elektrik.

Perumusan masalah

Mari kita anggap bahawa dari penduduk telah diambil sampel saiz n. Diandaikan bahawa sisihan piawai pengedaran ini diketahui. Ia perlu berdasarkan ini sampel menilai yang tidak diketahui min pengedaran(μ, ) dan bina yang sepadan dua belah selang keyakinan.

Anggaran mata

Seperti yang diketahui daripada perangkaan(mari kita nyatakan X purata) ialah anggaran yang tidak berat sebelah bagi min ini penduduk dan mempunyai taburan N(μ;σ 2 /n).

Catatan: Apa yang perlu dilakukan jika anda perlu membina selang keyakinan dalam kes pengagihan yang tidak biasa ke? Dalam kes ini, datang untuk menyelamatkan, yang menyatakan bahawa dengan saiz yang cukup besar sampel n daripada pengedaran bukan menjadi biasa, taburan sampel statistik X purata kehendak lebih kurang sepadan taburan normal dengan parameter N(μ;σ 2 /n).

Jadi, anggaran mata purata nilai pengagihan kita ada - ini min sampel, iaitu X purata. Sekarang mari kita mulakan selang keyakinan.

Membina selang keyakinan

Biasanya, mengetahui taburan dan parameternya, kita boleh mengira kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai dari selang yang kita tentukan. Sekarang mari kita lakukan sebaliknya: cari selang di mana pembolehubah rawak akan jatuh dengan kebarangkalian yang diberikan. Sebagai contoh, dari sifat taburan normal diketahui bahawa dengan kebarangkalian 95%, pembolehubah rawak diedarkan undang-undang biasa, akan berada dalam julat lebih kurang +/- 2 dari nilai purata(lihat artikel tentang). Selang ini akan berfungsi sebagai prototaip untuk kita selang keyakinan.

Sekarang mari kita lihat sama ada kita tahu pengedarannya , untuk mengira selang ini? Untuk menjawab soalan, kita mesti menunjukkan bentuk taburan dan parameternya.

Kami tahu bentuk pengedaran - ini taburan normal(ingat bahawa kita bercakap tentang pengedaran pensampelan perangkaan X purata).

Parameter μ tidak diketahui oleh kami (ia hanya perlu dianggarkan menggunakan selang keyakinan), tetapi kami mempunyai anggaran mengenainya X purata, dikira berdasarkan sampel, yang boleh digunakan.

Parameter kedua - sisihan piawai min sampel kami akan menganggapnya diketahui, ia sama dengan σ/√n.

Kerana kita tidak tahu μ, maka kita akan membina selang +/- 2 sisihan piawai bukan dari nilai purata, dan daripada anggarannya yang diketahui X purata. Itu. apabila mengira selang keyakinan kami TIDAK akan menganggap itu X purata berada dalam julat +/- 2 sisihan piawai dari μ dengan kebarangkalian 95%, dan kami akan menganggap bahawa selang ialah +/- 2 sisihan piawai daripada X purata dengan kebarangkalian 95% ia akan meliputi μ - purata penduduk umum, daripada mana ia diambil sampel. Kedua-dua pernyataan ini adalah setara, tetapi pernyataan kedua membolehkan kita membina selang keyakinan.

Di samping itu, mari kita jelaskan selang: pembolehubah rawak diedarkan undang-undang biasa, dengan kebarangkalian 95% berada dalam selang +/- 1.960 sisihan piawai, bukan +/- 2 sisihan piawai. Ini boleh dikira menggunakan formula =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), cm. contoh fail Helaian Selang.

Sekarang kita boleh merumuskan pernyataan kebarangkalian yang akan membantu kita membentuk selang keyakinan:
“Kebarangkalian itu min penduduk terletak dari purata sampel dalam 1,960" sisihan piawai bagi min sampel", bersamaan dengan 95%".

Nilai kebarangkalian yang disebut dalam pernyataan mempunyai nama khas , yang dikaitkan dengan aras keertian α (alfa) dengan ungkapan mudah tahap kepercayaan =1 -α . Dalam kes kita aras keertian α =1-0,95=0,05 .

Sekarang, berdasarkan pernyataan kebarangkalian ini, kami menulis ungkapan untuk mengira selang keyakinan:

di mana Z α/2 – standard taburan normal(nilai pembolehubah rawak ini z, Apa P(z>=Z α/2 )=α/2).

Catatan: α/2-kuantil atas mentakrifkan lebar selang keyakinan V sisihan piawai min sampel. α/2-kuantil atas standard taburan normal sentiasa lebih besar daripada 0, yang sangat mudah.

Dalam kes kami, dengan α=0.05, α/2-kuantil atas bersamaan dengan 1.960. Untuk tahap keertian lain α (10%; 1%) α/2-kuantil atas Z α/2 boleh dikira menggunakan formula =NORM.ST.REV(1-α/2) atau, jika diketahui tahap kepercayaan, =NORM.ST.OBR((1+tahap kepercayaan)/2).

Biasanya apabila membina selang keyakinan untuk menganggar min guna sahaja atas α/2-kuantil dan jangan gunakan rendah α/2-kuantil. Ini mungkin kerana standard taburan normal simetri tentang paksi x ( kepadatan taburannya simetri tentang purata, i.e. 0). Oleh itu, tidak perlu mengira lebih rendah α/2-kuantil(ia hanya dipanggil α /2-kuantil), kerana ia adalah sama atas α/2-kuantil dengan tanda tolak.

Mari kita ingat bahawa, walaupun bentuk taburan nilai x, pembolehubah rawak yang sepadan X purata diedarkan lebih kurang baiklah N(μ;σ 2 /n) (lihat artikel tentang). Oleh itu, secara umum, ungkapan di atas untuk selang keyakinan hanyalah anggaran. Jika nilai x diedarkan ke atas undang-undang biasa N(μ;σ 2 /n), kemudian ungkapan untuk selang keyakinan adalah tepat.

Pengiraan selang keyakinan dalam MS EXCEL

Jom selesaikan masalah.
Masa tindak balas komponen elektronik kepada isyarat input adalah ciri penting peranti. Seorang jurutera ingin membina selang keyakinan untuk purata masa tindak balas pada tahap keyakinan 95%. Dari pengalaman terdahulu, jurutera mengetahui bahawa sisihan piawai masa tindak balas ialah 8 ms. Adalah diketahui bahawa untuk menilai masa tindak balas, jurutera membuat 25 ukuran, nilai purata ialah 78 ms.

Penyelesaian: Seorang jurutera ingin mengetahui masa tindak balas peranti elektronik, tetapi dia memahami bahawa masa tindak balas bukanlah nilai tetap, tetapi pembolehubah rawak yang mempunyai taburan sendiri. Jadi, yang terbaik yang boleh dia harapkan ialah menentukan parameter dan bentuk taburan ini.

Malangnya, dari keadaan masalah kita tidak tahu bentuk taburan masa tindak balas (ia tidak semestinya biasa). , pengedaran ini juga tidak diketahui. Hanya dia yang dikenali sisihan piawaiσ=8. Oleh itu, sementara kita tidak boleh mengira kebarangkalian dan membina selang keyakinan.

Walau bagaimanapun, walaupun pada hakikatnya kita tidak tahu pengedarannya masa tindak balas berasingan, kita tahu bahawa menurut CPT, pengedaran pensampelan purata masa tindak balas adalah lebih kurang biasa(kami akan menganggap bahawa syarat CPT dijalankan, kerana saiz sampel agak besar (n=25)) .

Lebih-lebih lagi, purata pengagihan ini adalah sama dengan nilai purata pengedaran satu respons, i.e. μ. A sisihan piawai taburan ini (σ/√n) boleh dikira menggunakan formula =8/ROOT(25) .

Ia juga diketahui bahawa jurutera menerima anggaran mata parameter μ sama dengan 78 ms (X purata). Oleh itu, sekarang kita boleh mengira kebarangkalian, kerana kita tahu bentuk pengagihan ( biasa) dan parameternya (X purata dan σ/√n).

Jurutera ingin tahu nilai yang dijangkakanμ taburan masa tindak balas. Seperti yang dinyatakan di atas, μ ini adalah sama dengan jangkaan matematik taburan sampel purata masa tindak balas. Jika kita menggunakan taburan normal N(X purata; σ/√n), maka μ yang dikehendaki akan berada dalam julat +/-2*σ/√n dengan kebarangkalian lebih kurang 95%.

Tahap keertian sama dengan 1-0.95=0.05.

Akhir sekali, mari kita cari sempadan kiri dan kanan selang keyakinan.
Sempadan kiri: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Sempadan kanan: =78+NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

Sempadan kiri: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
Sempadan kanan: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))

Jawab: selang keyakinan di 95% tahap keyakinan dan σ=8msec sama 78+/-3.136 ms.

DALAM contoh fail pada helaian Sigma diketahui, mencipta borang untuk pengiraan dan pembinaan dua belah selang keyakinan untuk sewenang-wenangnya sampel dengan diberi σ dan tahap kepentingan.

Fungsi CONFIDENCE.NORM().

Jika nilai-nilai sampel berada dalam julat B20:B79 , A aras keertian sama dengan 0.05; maka formula MS EXCEL:
=PURATA(B20:B79)-KEYAKINAN.NORM(0.05;σ; KIRA(B20:B79))
akan mengembalikan sempadan kiri selang keyakinan.

Had yang sama boleh dikira menggunakan formula:
=PURATA(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

Catatan: Fungsi CONFIDENCE.NORM() muncul dalam MS EXCEL 2010. Dalam versi terdahulu MS EXCEL, fungsi TRUST() telah digunakan.

SELANG KEYAKINAN UNTUK KEKERAPAN DAN PECAHAN

Institut Kesihatan Awam Negara, Oslo, Norway

Artikel ini menerangkan dan membincangkan pengiraan selang keyakinan untuk frekuensi dan perkadaran menggunakan kaedah Wald, Wilson, Clopper - Pearson, menggunakan penjelmaan sudut dan kaedah Wald dengan pembetulan Agresti - Coull. Bahan yang dibentangkan memberikan maklumat umum tentang kaedah untuk mengira selang keyakinan untuk frekuensi dan perkadaran dan bertujuan untuk membangkitkan minat pembaca jurnal bukan sahaja dalam menggunakan selang keyakinan semasa membentangkan hasil penyelidikan mereka sendiri, tetapi juga dalam membaca kesusasteraan khusus sebelum memulakan kerja. pada penerbitan akan datang.

Kata kunci: selang keyakinan, kekerapan, perkadaran

Salah satu penerbitan sebelumnya secara ringkas menyebut perihalan data kualitatif dan melaporkan bahawa anggaran selangnya adalah lebih baik daripada anggaran titik untuk menerangkan kekerapan berlakunya ciri yang dikaji dalam populasi. Sesungguhnya, memandangkan penyelidikan dijalankan menggunakan data sampel, unjuran keputusan ke atas populasi mesti mengandungi unsur ketidaktepatan persampelan. Selang keyakinan ialah ukuran ketepatan parameter yang dianggarkan. Adalah menarik bahawa beberapa buku mengenai statistik asas untuk doktor benar-benar mengabaikan topik selang keyakinan untuk frekuensi. Dalam artikel ini kita akan melihat beberapa cara untuk mengira selang keyakinan untuk frekuensi, membayangkan ciri sampel seperti bukan pengulangan dan perwakilan, serta kebebasan pemerhatian antara satu sama lain. Dalam artikel ini, kekerapan difahami bukan sebagai nombor mutlak yang menunjukkan berapa kali nilai tertentu berlaku dalam agregat, tetapi sebagai nilai relatif yang menentukan bahagian peserta kajian yang ciri yang dikaji berlaku.

Dalam penyelidikan bioperubatan, selang keyakinan 95% paling kerap digunakan. Selang keyakinan ini ialah kawasan di mana perkadaran sebenar jatuh 95% sepanjang masa. Dalam erti kata lain, kita boleh mengatakan dengan kebolehpercayaan 95% bahawa nilai sebenar kekerapan kejadian sesuatu sifat dalam populasi akan berada dalam selang keyakinan 95%.

Kebanyakan manual statistik untuk penyelidik perubatan melaporkan bahawa ralat kekerapan dikira menggunakan formula

di mana p ialah kekerapan berlakunya ciri dalam sampel (nilai dari 0 hingga 1). Kebanyakan artikel saintifik domestik menunjukkan kekerapan berlakunya sifat dalam sampel (p), serta ralatnya (s) dalam bentuk p ± s. Walau bagaimanapun, adalah lebih sesuai untuk membentangkan selang keyakinan 95% untuk kekerapan berlakunya sifat dalam populasi, yang akan merangkumi nilai daripada

sebelum ini.

Sesetengah manual mengesyorkan bahawa untuk sampel kecil, gantikan nilai 1.96 dengan nilai t untuk N – 1 darjah kebebasan, di mana N ialah bilangan cerapan dalam sampel. Nilai t didapati daripada jadual untuk taburan-t, tersedia dalam hampir semua buku teks statistik. Penggunaan taburan t untuk kaedah Wald tidak memberikan kelebihan yang boleh dilihat berbanding dengan kaedah lain yang dibincangkan di bawah, dan oleh itu tidak disyorkan oleh sesetengah pengarang.

Kaedah yang dibentangkan di atas untuk mengira selang keyakinan untuk frekuensi atau perkadaran dinamakan Wald sebagai penghormatan kepada Abraham Wald (1902–1950), kerana penggunaannya yang meluas bermula selepas penerbitan Wald dan Wolfowitz pada tahun 1939. Walau bagaimanapun, kaedah itu sendiri telah dicadangkan oleh Pierre Simon Laplace (1749–1827) pada tahun 1812.

Kaedah Wald sangat popular, tetapi aplikasinya dikaitkan dengan masalah yang ketara. Kaedah ini tidak disyorkan untuk saiz sampel yang kecil, serta dalam kes di mana kekerapan kejadian ciri cenderung kepada 0 atau 1 (0% atau 100%) dan hanya mustahil untuk frekuensi 0 dan 1. Di samping itu, penghampiran taburan normal, yang digunakan semasa mengira ralat , "tidak berfungsi" dalam kes di mana n · p< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

Memandangkan pembolehubah baharu diedarkan secara normal, sempadan bawah dan atas selang keyakinan 95% untuk pembolehubah φ ialah φ-1.96 dan φ+1.96 kiri">

Daripada 1.96 untuk sampel kecil, adalah disyorkan untuk menggantikan nilai t untuk N – 1 darjah kebebasan. Kaedah ini tidak menghasilkan nilai negatif dan membenarkan anggaran selang keyakinan yang lebih tepat untuk frekuensi daripada kaedah Wald. Di samping itu, ia diterangkan dalam banyak buku rujukan domestik mengenai statistik perubatan, yang, bagaimanapun, tidak membawa kepada penggunaannya yang meluas dalam penyelidikan perubatan. Pengiraan selang keyakinan menggunakan penjelmaan sudut tidak disyorkan untuk frekuensi yang menghampiri 0 atau 1.

Di sinilah huraian kaedah untuk menganggar selang keyakinan dalam kebanyakan buku mengenai asas statistik untuk penyelidik perubatan biasanya berakhir, dan masalah ini adalah tipikal bukan sahaja untuk domestik tetapi juga untuk kesusasteraan asing. Kedua-dua kaedah adalah berdasarkan teorem had pusat, yang membayangkan sampel yang besar.

Dengan mengambil kira kelemahan menganggar selang keyakinan menggunakan kaedah di atas, Clopper dan Pearson mencadangkan pada tahun 1934 satu kaedah untuk mengira apa yang dipanggil selang keyakinan tepat, memandangkan taburan binomial sifat yang sedang dikaji. Kaedah ini tersedia dalam banyak kalkulator dalam talian, tetapi selang keyakinan yang diperoleh dengan cara ini dalam kebanyakan kes terlalu lebar. Pada masa yang sama, kaedah ini disyorkan untuk digunakan dalam kes di mana penilaian konservatif diperlukan. Tahap konservatif kaedah meningkat apabila saiz sampel berkurangan, terutamanya apabila N< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

Menurut banyak ahli statistik, penilaian selang keyakinan yang paling optimum untuk frekuensi dijalankan oleh kaedah Wilson, yang dicadangkan pada tahun 1927, tetapi secara praktikal tidak digunakan dalam penyelidikan bioperubatan domestik. Kaedah ini bukan sahaja membenarkan seseorang untuk menganggarkan selang keyakinan untuk kedua-dua frekuensi yang sangat kecil dan sangat besar, tetapi juga boleh digunakan untuk sebilangan kecil pemerhatian. Secara umum, selang keyakinan mengikut formula Wilson mempunyai bentuk

di mana mengambil nilai 1.96 apabila mengira selang keyakinan 95%, N ialah bilangan cerapan, dan p ialah kekerapan berlakunya ciri dalam sampel. Kaedah ini boleh didapati dalam kalkulator dalam talian, jadi penggunaannya tidak bermasalah. dan jangan mengesyorkan menggunakan kaedah ini untuk n p< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

Sebagai tambahan kepada kaedah Wilson, kaedah Wald dengan pembetulan Agresti-Coll juga dipercayai memberikan anggaran optimum selang keyakinan untuk frekuensi. Pembetulan Agresti-Coll ialah penggantian dalam formula Wald kekerapan kejadian ciri dalam sampel (p) dengan p`, apabila mengira yang 2 ditambah kepada pengangka dan 4 ditambah kepada penyebut, iaitu, p` = (X + 2) / (N + 4), di mana X ialah bilangan peserta kajian yang mempunyai ciri yang dikaji, dan N ialah saiz sampel. Pengubahsuaian ini menghasilkan keputusan yang hampir sama dengan formula Wilson, kecuali apabila kekerapan peristiwa menghampiri 0% atau 100% dan sampel adalah kecil. Sebagai tambahan kepada kaedah di atas untuk mengira selang keyakinan untuk frekuensi, pembetulan kesinambungan telah dicadangkan untuk kedua-dua kaedah Wald dan Wilson untuk sampel kecil, tetapi kajian telah menunjukkan bahawa penggunaannya tidak sesuai.

Mari kita pertimbangkan aplikasi kaedah di atas untuk mengira selang keyakinan menggunakan dua contoh. Dalam kes pertama, kami mengkaji sampel besar 1,000 peserta kajian yang dipilih secara rawak, di mana 450 daripadanya mempunyai sifat yang dikaji (ini boleh menjadi faktor risiko, hasil, atau sebarang sifat lain), mewakili kekerapan 0.45, atau 45 %. Dalam kes kedua, kajian dijalankan menggunakan sampel yang kecil, katakan, hanya 20 orang, dan hanya 1 peserta kajian (5%) mempunyai sifat yang dikaji. Selang keyakinan menggunakan kaedah Wald, kaedah Wald dengan pembetulan Agresti-Coll, dan kaedah Wilson dikira menggunakan kalkulator dalam talian yang dibangunkan oleh Jeff Sauro (http://www. /wald. htm). Selang keyakinan yang diperbetulkan kesinambungan Wilson dikira menggunakan kalkulator yang disediakan oleh Wassar Stats: Web Site for Statistical Computation (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html). Pengiraan transformasi Angular Fisher dilakukan secara manual menggunakan nilai t kritikal untuk 19 dan 999 darjah kebebasan, masing-masing. Keputusan pengiraan dibentangkan dalam jadual untuk kedua-dua contoh.

Selang keyakinan dikira dalam enam cara berbeza untuk dua contoh yang diterangkan dalam teks

Kaedah pengiraan selang keyakinan	P=0.0500, atau 5%	95% CI untuk X=450, N=1000, P=0.4500 atau 45%

	–0,0455–0,2541
Wald dengan pembetulan Agresti–Coll	<,0001–0,2541

Wilson dengan pembetulan kesinambungan
Clopper–Pearson "kaedah tepat"
Transformasi sudut	<0,0001–0,1967

Seperti yang dapat dilihat dari jadual, untuk contoh pertama selang keyakinan yang dikira menggunakan kaedah Wald "diterima secara umum" memasuki rantau negatif, yang tidak boleh berlaku untuk frekuensi. Malangnya, kejadian sebegitu tidak jarang berlaku dalam kesusasteraan Rusia. Cara tradisional untuk menyampaikan data dari segi kekerapan dan ralatnya sebahagiannya menutupi masalah ini. Sebagai contoh, jika kekerapan kejadian sesuatu sifat (dalam peratusan) dibentangkan sebagai 2.1 ± 1.4, maka ini tidak "menyinggung mata" seperti 2.1% (95% CI: -0.7; 4.9), walaupun dan bermakna benda yang sama. Kaedah Wald dengan pembetulan Agresti–Coll dan pengiraan menggunakan penjelmaan sudut memberikan batas bawah yang cenderung kepada sifar. Kaedah pembetulan kesinambungan Wilson dan "kaedah tepat" menghasilkan selang keyakinan yang lebih luas daripada kaedah Wilson. Untuk contoh kedua, semua kaedah memberikan kira-kira selang keyakinan yang sama (perbezaan hanya muncul dalam perseribu), yang tidak menghairankan, kerana kekerapan kejadian dalam contoh ini tidak jauh berbeza daripada 50%, dan saiz sampel adalah agak besar.

Bagi pembaca yang berminat dalam masalah ini, kami boleh mengesyorkan karya R. G. Newcombe dan Brown, Cai dan Dasgupta, yang memberikan kebaikan dan keburukan menggunakan 7 dan 10 kaedah berbeza untuk mengira selang keyakinan, masing-masing. Di antara manual domestik, kami mengesyorkan buku itu dan, sebagai tambahan kepada penerangan terperinci tentang teori, membentangkan kaedah Wald dan Wilson, serta kaedah untuk mengira selang keyakinan dengan mengambil kira taburan frekuensi binomial. Selain kalkulator dalam talian percuma (http://www. /wald. htm dan http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html), selang keyakinan untuk frekuensi (dan bukan sahaja!) boleh dikira menggunakan Program CIA ( Confidence Intervals Analysis), yang boleh dimuat turun dari http://www. sekolah perubatan. soton. ac. uk/cia/ .

Artikel seterusnya akan melihat cara univariate untuk membandingkan data kualitatif.

Bibliografi

Banerji A. Statistik perubatan dalam bahasa yang jelas: kursus pengenalan / A. Banerjee. – M.: Perubatan Praktikal, 2007. – 287 p. Statistik perubatan / . – M.: Agensi Maklumat Perubatan, 2007. – 475 p. Glanz S. Statistik perubatan dan biologi / S. Glanz. – M.: Praktika, 1998. Jenis data, ujian pengedaran dan statistik deskriptif // Ekologi Manusia – 2008. – No. 1. – P. 52–58. Zhizhin K. S.. Statistik perubatan: buku teks / . – Rostov n/d: Phoenix, 2007. – 160 p. Perangkaan perubatan gunaan / , . - St Petersburg. : Foliot, 2003. – 428 p. Lakin G. F. Biometrik / . – M.: Sekolah Tinggi, 1990. – 350 p. Perubatan V. A. Statistik matematik dalam perubatan / , . – M.: Kewangan dan Perangkaan, 2007. – 798 p. Statistik matematik dalam penyelidikan klinikal / , . – M.: GEOTAR-MED, 2001. – 256 hlm. Junkerov V. DAN. Pemprosesan perubatan dan statistik data penyelidikan perubatan / , . - St Petersburg. : VmedA, 2002. – 266 p. Agresti A. Anggaran adalah lebih baik daripada tepat untuk anggaran selang perkadaran binomial / A. Agresti, B. Coull // ahli statistik Amerika. – 1998. – N 52. – P. 119–126. Altman D. Statistik dengan yakin // D. Altman, D. Machin, T. Bryant, M. J. Gardner. – London: BMJ Books, 2000. – 240 p. Brown L.D. Anggaran selang untuk perkadaran binomial / L. D. Brown, T. T. Cai, A. Dasgupta // Sains statistik. – 2001. – N 2. – P. 101–133. Clopper C.J. Penggunaan had keyakinan atau fiducial yang digambarkan dalam kes binomial / C. J. Clopper, E. S. Pearson // Biometrika. – 1934. – N 26. – P. 404–413. Garcia-Perez M. A. Pada selang keyakinan untuk parameter binomial / M. A. Garcia-Perez // Kualiti dan kuantiti. – 2005. – N 39. – P. 467–481. Motulsky H. Biostatistik intuitif // H. Motulsky. – Oxford: Oxford University Press, 1995. – 386 hlm. Newcombe R. G. Selang Keyakinan Dua Sebelah untuk Perkadaran Tunggal: Perbandingan Tujuh Kaedah / R. G. Newcombe // Statistik dalam Perubatan. – 1998. – N. 17. – P. 857–872. Sauro J. Menganggarkan kadar penyiapan daripada sampel kecil menggunakan selang keyakinan binomial: perbandingan dan cadangan / J. Sauro, J. R. Lewis // Prosiding mesyuarat tahunan masyarakat faktor manusia dan ergonomik. – Orlando, FL, 2005. Wald A. Had keyakinan untuk fungsi pengedaran berterusan // A. Wald, J. Wolfovitz // Annals of Mathematical Statistics. – 1939. – N 10. – P. 105–118. Wilson E.B. Inferens berkemungkinan, undang-undang penggantian, dan inferens statistik / E. B. Wilson // Journal of American Statistical Association. – 1927. – N 22. – P. 209–212.

SELANG KEYAKINAN UNTUK PERKADAR

A. M. Grjibovski

Institut Kesihatan Awam Negara, Oslo, Norway

Artikel ini membentangkan beberapa kaedah untuk pengiraan selang keyakinan untuk perkadaran binomial, iaitu, Wald, Wilson, arcsine, Agresti-Coull dan kaedah Clopper-Pearson yang tepat. Makalah ini hanya memberikan pengenalan umum kepada masalah anggaran selang keyakinan bagi perkadaran binomial dan tujuannya bukan sahaja untuk merangsang pembaca menggunakan selang keyakinan apabila membentangkan hasil penyelidikan empirikal mereka sendiri, tetapi juga untuk menggalakkan mereka merujuk buku statistik. sebelum menganalisis data sendiri dan menyediakan manuskrip.

Kata kunci: selang keyakinan, perkadaran

Maklumat perhubungan:

– Penasihat Kanan, Institut Kesihatan Awam Negara, Oslo, Norway

Selang keyakinan.

Pengiraan selang keyakinan adalah berdasarkan ralat purata parameter yang sepadan. Selang keyakinan menunjukkan dalam had dengan kebarangkalian (1-a) nilai sebenar parameter anggaran terletak. Di sini a ialah aras keertian, (1-a) juga dipanggil kebarangkalian keyakinan.

Dalam bab pertama kami menunjukkan bahawa, sebagai contoh, untuk min aritmetik, min populasi sebenar dalam kira-kira 95% kes terletak dalam 2 ralat piawai bagi min. Oleh itu, sempadan selang keyakinan 95% bagi min akan dipisahkan daripada min sampel sebanyak dua kali ganda ralat min bagi min, i.e. kita darabkan ralat purata min dengan pekali tertentu bergantung pada tahap keyakinan. Untuk purata dan perbezaan purata, pekali Pelajar (nilai kritikal ujian Pelajar) diambil, untuk bahagian dan perbezaan syer, nilai kritikal bagi kriteria z. Hasil darab pekali dan ralat purata boleh dipanggil ralat maksimum parameter tertentu, i.e. maksimum yang boleh kita perolehi semasa menilainya.

Selang keyakinan untuk min aritmetik : .

Berikut ialah min sampel;

Ralat min bagi min aritmetik;

s – sisihan piawai sampel;

f = n-1 (Pekali pelajar).

Selang keyakinan untuk perbezaan cara aritmetik :

Berikut adalah perbezaan antara sampel bermakna;

- ralat purata perbezaan antara cara aritmetik;

s 1 , s 2 – sisihan piawai sampel;

n1,n2

Nilai kritikal ujian Pelajar untuk tahap keertian a dan bilangan darjah kebebasan f=n 1 +n 2-2 (Pekali pelajar).

Selang keyakinan untuk saham :

Di sini d ialah pecahan sampel;

– ralat pecahan purata;

n– saiz sampel (saiz kumpulan);

Selang keyakinan untuk perbezaan saham :

Berikut adalah perbezaan dalam saham sampel;

– ralat purata perbezaan antara min aritmetik;

n1,n2– jumlah sampel (bilangan kumpulan);

Nilai kritikal bagi kriteria z pada aras keertian tertentu a ( , , ).

Dengan mengira selang keyakinan untuk perbezaan antara penunjuk, kami, pertama sekali, secara langsung melihat kemungkinan nilai kesan, dan bukan hanya anggaran titiknya. Kedua, kita boleh membuat kesimpulan tentang penerimaan atau penolakan hipotesis nol dan, ketiga, kita boleh membuat kesimpulan tentang kuasa ujian.

Apabila menguji hipotesis menggunakan selang keyakinan, anda mesti mematuhi peraturan berikut:

Jika selang keyakinan 100(1-a) peratus perbezaan min tidak mengandungi sifar, maka perbezaan adalah signifikan secara statistik pada aras keertian a; sebaliknya, jika selang ini mengandungi sifar, maka perbezaannya tidak signifikan secara statistik.

Sesungguhnya, jika selang ini mengandungi sifar, ini bermakna penunjuk yang dibandingkan mungkin sama ada lebih besar atau kurang dalam salah satu kumpulan berbanding yang lain, i.e. perbezaan yang diperhatikan adalah kerana kebetulan.

Kuasa ujian boleh dinilai dengan lokasi sifar dalam selang keyakinan. Jika sifar adalah hampir dengan had bawah atau atas selang, maka ada kemungkinan bahawa dengan bilangan kumpulan yang lebih besar dibandingkan, perbezaan akan mencapai kepentingan statistik. Jika sifar adalah hampir dengan pertengahan selang, maka ini bermakna kedua-dua peningkatan dan penurunan dalam penunjuk dalam kumpulan eksperimen adalah sama berkemungkinan, dan, mungkin, tidak ada perbezaan.

Contoh:

Untuk membandingkan kematian pembedahan apabila menggunakan dua jenis anestesia yang berbeza: 61 orang telah dibedah dengan jenis anestesia pertama, 8 meninggal dunia, dengan jenis kedua - 67 orang, 10 meninggal dunia.

d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.

Perbezaan dalam kematian kaedah yang dibandingkan akan berada dalam julat (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) atau (-0.14; 0.104) dengan kebarangkalian 100(1-a) = 95%. Selang mengandungi sifar, i.e. hipotesis kematian yang sama dengan dua jenis anestesia yang berbeza tidak boleh ditolak.

Oleh itu, kadar kematian boleh dan akan menurun kepada 14% dan meningkat kepada 10.4% dengan kebarangkalian 95%, i.e. sifar adalah kira-kira di tengah-tengah selang, jadi boleh dikatakan bahawa, kemungkinan besar, kedua-dua kaedah ini benar-benar tidak berbeza dalam kematian.

Dalam contoh yang dibincangkan sebelum ini, purata masa menekan semasa ujian menoreh dibandingkan dalam empat kumpulan pelajar yang berbeza dalam markah peperiksaan. Mari kita hitung selang keyakinan untuk purata masa menekan untuk pelajar yang lulus peperiksaan dengan gred 2 dan 5 dan selang keyakinan untuk perbezaan antara purata ini.

Pekali pelajar didapati menggunakan jadual taburan Pelajar (lihat lampiran): untuk kumpulan pertama: = t(0.05;48) = 2.011; bagi kumpulan kedua: = t(0.05;61) = 2.000. Oleh itu, selang keyakinan untuk kumpulan pertama: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), untuk kumpulan kedua (156.55- 2,000*1.88 ; 156.50 = 1.88. ; 160.3). Jadi, bagi mereka yang lulus peperiksaan dengan 2, purata masa menekan antara 157.8 ms hingga 166.6 ms dengan kebarangkalian 95%, bagi mereka yang lulus peperiksaan dengan 5 – daripada 152.8 ms hingga 160.3 ms dengan kebarangkalian 95% .

Anda juga boleh menguji hipotesis nol menggunakan selang keyakinan untuk min, dan bukan hanya untuk perbezaan min. Sebagai contoh, seperti dalam kes kami, jika selang keyakinan untuk min bertindih, maka hipotesis nol tidak boleh ditolak. Untuk menolak hipotesis pada tahap keertian yang dipilih, selang keyakinan yang sepadan tidak boleh bertindih.

Mari cari selang keyakinan untuk perbezaan purata masa menekan dalam kumpulan yang lulus peperiksaan dengan gred 2 dan 5. Perbezaan purata: 162.19 – 156.55 = 5.64. Pekali pelajar: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. Sisihan piawai kumpulan akan sama dengan: ; . Kami mengira ralat purata perbezaan antara min: . Selang keyakinan: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).

Jadi, perbezaan dalam purata masa menekan dalam kumpulan yang lulus peperiksaan dengan 2 dan 5 akan berada dalam julat dari -0.044 ms hingga 11.33 ms. Selang ini termasuk sifar, i.e. Purata masa mendesak bagi mereka yang lulus peperiksaan dengan baik mungkin sama ada meningkat atau berkurangan berbanding mereka yang lulus peperiksaan dengan tidak memuaskan, i.e. hipotesis nol tidak boleh ditolak. Tetapi sifar adalah sangat hampir dengan had yang lebih rendah, dan masa menekan lebih berkemungkinan berkurangan bagi mereka yang lulus dengan baik. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa masih terdapat perbezaan dalam purata masa menekan antara mereka yang melepasi 2 dan 5, kita hanya tidak dapat mengesannya memandangkan perubahan dalam masa purata, penyebaran masa purata dan saiz sampel.

Kuasa sesuatu ujian ialah kebarangkalian untuk menolak hipotesis nol yang salah, i.e. cari perbezaan di mana ia sebenarnya wujud.

Kuasa ujian ditentukan berdasarkan tahap keertian, magnitud perbezaan antara kumpulan, penyebaran nilai dalam kumpulan dan saiz sampel.

Untuk ujian t Pelajar dan analisis varians, gambar rajah sensitiviti boleh digunakan.

Kuasa kriteria boleh digunakan untuk menentukan terlebih dahulu bilangan kumpulan yang diperlukan.

Selang keyakinan menunjukkan di mana had nilai sebenar parameter anggaran terletak pada kebarangkalian yang diberikan.

Menggunakan selang keyakinan, anda boleh menguji hipotesis statistik dan membuat kesimpulan tentang sensitiviti kriteria.

KESUSASTERAAN.

Glanz S. – Bab 6,7.

Rebrova O.Yu. – hlm.112-114, hlm.171-173, hlm.234-238.

Sidorenko E.V. – hlm.32-33.

Soalan untuk ujian kendiri pelajar.

1. Apakah kuasa kriteria tersebut?

2. Dalam kes apakah perlu untuk menilai kuasa kriteria?

3. Kaedah untuk mengira kuasa.

6. Bagaimana untuk menguji hipotesis statistik menggunakan selang keyakinan?

7. Apakah yang boleh dikatakan tentang kuasa kriteria semasa mengira selang keyakinan?

Tugasan.

Selang keyakinan

Selang keyakinan- istilah yang digunakan dalam statistik matematik untuk selang (berbanding dengan titik) anggaran parameter statistik, yang lebih baik apabila saiz sampel kecil. Selang keyakinan ialah selang yang meliputi parameter yang tidak diketahui dengan kebolehpercayaan yang diberikan.

Kaedah selang keyakinan telah dibangunkan oleh ahli statistik Amerika Jerzy Neumann, berdasarkan idea ahli statistik Inggeris Ronald Fisher.

Definisi

Selang keyakinan parameter θ taburan pembolehubah rawak X dengan tahap keyakinan 100 p%, dihasilkan oleh sampel ( x 1 ,…,x n), dipanggil selang dengan sempadan ( x 1 ,…,x n) dan ( x 1 ,…,x n), yang merupakan realisasi pembolehubah rawak L(X 1 ,…,X n) dan U(X 1 ,…,X n), sedemikian rupa

Titik sempadan selang keyakinan dipanggil had keyakinan.

Tafsiran berasaskan intuisi bagi selang keyakinan ialah: jika hlm adalah besar (katakan 0.95 atau 0.99), maka selang keyakinan hampir pasti mengandungi nilai sebenar θ .

Satu lagi tafsiran konsep selang keyakinan: ia boleh dianggap sebagai selang nilai parameter θ serasi dengan data eksperimen dan tidak bercanggah dengannya.

Contoh

Selang keyakinan untuk jangkaan matematik bagi sampel biasa;
Selang keyakinan untuk varians sampel normal.

Selang keyakinan Bayesian

Dalam statistik Bayesian, terdapat yang serupa tetapi berbeza dalam beberapa definisi butiran penting bagi selang keyakinan. Di sini, parameter anggaran itu sendiri dianggap pembolehubah rawak dengan beberapa pengedaran terdahulu (dalam kes paling mudah, seragam), dan sampel ditetapkan (dalam statistik klasik semuanya betul-betul bertentangan). Selang keyakinan Bayesian ialah selang yang meliputi nilai parameter dengan kebarangkalian posterior:

Secara umum, selang keyakinan klasik dan Bayesian adalah berbeza. Dalam kesusasteraan bahasa Inggeris, selang keyakinan Bayesian biasanya dipanggil istilah selang yang boleh dipercayai, dan yang klasik - selang keyakinan.

Nota

Sumber

Yayasan Wikimedia. 2010.

Kanak-kanak (filem)
Penjajah

Lihat apa "Selang keyakinan" dalam kamus lain:

Selang keyakinan- selang yang dikira daripada data sampel, yang dengan kebarangkalian tertentu (keyakinan) meliputi nilai sebenar yang tidak diketahui bagi parameter pengagihan anggaran. Sumber: GOST 20522 96: Tanah. Kaedah untuk pemprosesan statistik keputusan... Buku rujukan kamus istilah dokumentasi normatif dan teknikal

selang keyakinan- untuk parameter skalar populasi, ini ialah segmen yang kemungkinan besar mengandungi parameter ini. Frasa ini tidak bermakna tanpa perincian lanjut. Oleh kerana sempadan selang keyakinan dianggarkan daripada sampel, adalah wajar untuk... ... Kamus Statistik Sosiologi

SELANG KEYAKINAN- kaedah menganggar parameter yang berbeza daripada anggaran titik. Biarkan sampel x1, . . ., xn daripada taburan dengan ketumpatan kebarangkalian f(x, α), dan a*=a*(x1, . . ., xn) menganggarkan α, g(a*, α) anggaran ketumpatan kebarangkalian. Sedang mencari… … Ensiklopedia geologi

SELANG KEYAKINAN- (selang keyakinan) Selang di mana kebolehpercayaan nilai parameter untuk populasi yang diperoleh berdasarkan tinjauan sampel mempunyai tahap kebarangkalian tertentu, contohnya 95%, yang disebabkan oleh sampel itu sendiri. Lebar… … Kamus ekonomi

selang keyakinan- ialah selang di mana nilai sebenar kuantiti yang ditentukan terletak dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan. Kimia am: buku teks / A. V. Zholnin ... Istilah kimia

Selang keyakinan CI- Selang keyakinan, CI * selang data, CI * selang selang keyakinan nilai ciri, dikira untuk k.l. parameter pengedaran (contohnya, nilai purata ciri) merentas sampel dan dengan kebarangkalian tertentu (contohnya, 95% untuk 95% ... Genetik. Kamus ensiklopedia

SELANG KEYAKINAN- konsep yang timbul apabila menganggar parameter statistik. pengagihan mengikut selang nilai. D. dan. untuk parameter q, sepadan dengan pekali ini. kepercayaan P adalah sama dengan selang (q1, q2) yang bagi sebarang taburan kebarangkalian ketaksamaan... ... Ensiklopedia fizikal

selang keyakinan- - Topik telekomunikasi, konsep asas EN selang keyakinan ... Panduan Penterjemah Teknikal

selang keyakinan- Paksikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: engl. selang keyakinan vok. Vertrauensbereich, saya rus.… … Penkiakalbis aiškinamasi metrologijos terminų žodynas

selang keyakinan- Paksikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: engl. selang keyakinan rus. kawasan amanah; selang keyakinan... Chemijos terminų aiškinamasi žodynas