Fungsi pembolehubah kompleks.
Pembezaan fungsi pembolehubah kompleks.

Artikel ini membuka satu siri pelajaran di mana saya akan mempertimbangkan masalah tipikal yang berkaitan dengan teori fungsi pembolehubah kompleks. Untuk berjaya menguasai contoh, anda mesti mempunyai pengetahuan asas tentang nombor kompleks. Untuk menyatukan dan mengulangi bahan, hanya lawati halaman. Anda juga memerlukan kemahiran untuk mencari derivatif separa tertib kedua. Ini dia, derivatif separa ini... sekarang pun saya agak terkejut dengan kekerapan ia berlaku...

Topik yang kita mula periksa tidak menunjukkan sebarang kesulitan tertentu, dan dalam fungsi pembolehubah kompleks, pada dasarnya, semuanya jelas dan boleh diakses. Perkara utama adalah mematuhi peraturan asas, yang saya perolehi secara eksperimen. Teruskan membaca!

Konsep fungsi pembolehubah kompleks

Mula-mula, mari kita segarkan semula pengetahuan kita tentang fungsi sekolah bagi satu pembolehubah:

Fungsi pembolehubah tunggal ialah peraturan mengikut mana setiap nilai pembolehubah bebas (dari domain definisi) sepadan dengan satu dan hanya satu nilai fungsi. Sememangnya, "x" dan "y" ialah nombor nyata.

Dalam kes yang kompleks, pergantungan fungsi ditentukan sama:

Fungsi nilai tunggal pembolehubah kompleks- ini adalah peraturan mengikut mana setiap orang menyeluruh nilai pembolehubah bebas (dari domain definisi) sepadan dengan satu dan hanya satu menyeluruh nilai fungsi. Teori ini juga mempertimbangkan pelbagai nilai dan beberapa jenis fungsi lain, tetapi untuk kesederhanaan saya akan memberi tumpuan kepada satu definisi.

Apakah perbezaan antara fungsi pembolehubah kompleks?

Perbezaan utama: nombor kompleks. Saya tidak menjadi ironik. Soalan sebegitu sering membuatkan orang terpinga-pinga pada penghujung artikel saya akan memberitahu anda kisah lucu. Pada pelajaran Nombor kompleks untuk dummies kami menganggap nombor kompleks dalam bentuk . Sejak sekarang huruf "z" telah menjadi pembolehubah, maka kami akan menandakannya seperti berikut: , manakala "x" dan "y" boleh mengambil masa yang berbeza sah makna. Secara kasarnya, fungsi pembolehubah kompleks bergantung pada pembolehubah dan , yang mengambil nilai "biasa". Perkara berikut secara logik mengikuti fakta ini:

Fungsi pembolehubah kompleks boleh ditulis sebagai:
, di mana dan ialah dua fungsi dua sah pembolehubah.

Fungsi itu dipanggil bahagian sebenar fungsi
Fungsi itu dipanggil bahagian khayalan fungsi

Iaitu, fungsi pembolehubah kompleks bergantung kepada dua fungsi sebenar dan . Untuk akhirnya menjelaskan segala-galanya, mari lihat contoh praktikal:

Contoh 1

Penyelesaian: Pembolehubah bebas "zet", seperti yang anda ingat, ditulis dalam bentuk , oleh itu:

(1) Kami menggantikan .

(2) Untuk sebutan pertama, formula pendaraban yang disingkatkan telah digunakan. Dalam istilah, kurungan telah dibuka.

(3) Kuasa dua dengan teliti, tidak lupa itu

(4) Penyusunan semula istilah: mula-mula kita tulis semula istilah , di mana tiada unit khayalan(kumpulan pertama), kemudian istilah yang ada (kumpulan kedua). Perlu diingatkan bahawa merombak istilah tidak perlu, dan langkah ini boleh dilangkau (dengan sebenarnya melakukannya secara lisan).

(5) Untuk kumpulan kedua kami mengeluarkannya daripada kurungan.

Akibatnya, fungsi kami ternyata diwakili dalam borang

Jawapan:
– bahagian sebenar fungsi.
– bahagian khayalan fungsi.

Apakah jenis fungsi ini ternyata? Fungsi yang paling biasa dari dua pembolehubah yang anda boleh temui begitu popular terbitan separa. Tanpa belas kasihan, kita akan menemuinya. Tetapi sedikit kemudian.

Secara ringkas, algoritma untuk masalah yang diselesaikan boleh ditulis seperti berikut: kita menggantikan , ke dalam fungsi asal, menjalankan penyederhanaan dan membahagikan semua istilah kepada dua kumpulan - tanpa unit khayalan (bahagian nyata) dan dengan unit khayalan (bahagian khayalan) .

Contoh 2

Cari bahagian sebenar dan khayalan bagi fungsi tersebut

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Sebelum anda tergesa-gesa ke dalam pertempuran di pesawat kompleks dengan dam anda dilukis, izinkan saya memberi anda nasihat yang paling penting mengenai topik ini:

BERHATI-HATI! Anda perlu berhati-hati, sudah tentu, di mana-mana, tetapi dalam nombor yang kompleks anda harus lebih berhati-hati daripada sebelumnya! Ingat bahawa, berhati-hati membuka kurungan, jangan kehilangan apa-apa. Menurut pemerhatian saya, kesilapan yang paling biasa adalah kehilangan tanda. Jangan tergesa-gesa!

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Sekarang kiub. Menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan, kami memperoleh:
.

Formula sangat mudah digunakan dalam amalan, kerana ia mempercepatkan proses penyelesaian dengan ketara.

Pembezaan fungsi pembolehubah kompleks.

Saya mempunyai dua berita: baik dan buruk. Saya akan mulakan dengan yang baik. Untuk fungsi pembolehubah kompleks, peraturan pembezaan dan jadual terbitan bagi fungsi asas adalah sah. Oleh itu, derivatif diambil dengan cara yang sama seperti dalam kes fungsi pembolehubah sebenar.

Berita buruknya ialah untuk banyak fungsi pembolehubah kompleks tidak ada derivatif sama sekali, dan anda perlu memikirkannya adakah ia boleh dibezakan satu fungsi atau yang lain. Dan "memikirkan" perasaan hati anda dikaitkan dengan masalah tambahan.

Mari kita pertimbangkan fungsi pembolehubah kompleks. Untuk membolehkan fungsi ini boleh dibezakan adalah perlu dan mencukupi:

1) Supaya terbitan separa tertib pertama wujud. Lupakan tentang notasi ini dengan segera, kerana dalam teori fungsi pembolehubah kompleks, notasi berbeza digunakan secara tradisional: .

2) Untuk memenuhi apa yang dipanggil Keadaan Cauchy-Riemann:

Hanya dalam kes ini derivatif akan wujud!

Contoh 3

Penyelesaian dibahagikan kepada tiga peringkat berturut-turut:

1) Mari cari bahagian sebenar dan khayalan bagi fungsi tersebut. Tugas ini telah dibincangkan dalam contoh sebelumnya, jadi saya akan menulisnya tanpa mengulas:

Sejak itu:

Oleh itu:

– bahagian khayalan fungsi.

Izinkan saya menyentuh satu lagi perkara teknikal: dalam susunan apa tulis istilah dalam bahagian nyata dan khayalan? Ya, pada dasarnya, ia tidak penting. Sebagai contoh, bahagian sebenar boleh ditulis seperti ini: , dan yang khayalan – seperti ini: .

2) Mari kita semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann. Terdapat dua daripada mereka.

Mari kita mulakan dengan menyemak keadaan. Kita dapati terbitan separa:

Oleh itu, syaratnya dipenuhi.

Sudah tentu, berita baiknya ialah derivatif separa hampir selalu sangat mudah.

Kami menyemak pemenuhan syarat kedua:

Hasilnya adalah sama, tetapi dengan tanda-tanda yang bertentangan, iaitu, syaratnya juga dipenuhi.

Syarat Cauchy-Riemann dipenuhi, oleh itu fungsinya boleh dibezakan.

3) Mari cari terbitan bagi fungsi tersebut. Derivatif juga sangat mudah dan didapati mengikut peraturan biasa:

Unit khayalan dianggap sebagai pemalar semasa pembezaan.

Jawapan: - bahagian sebenar, - bahagian khayalan.
Syarat Cauchy-Riemann dipenuhi, .

Terdapat dua lagi cara untuk mencari derivatif, sudah tentu, ia jarang digunakan, tetapi maklumat itu berguna untuk memahami pelajaran kedua - Bagaimana untuk mencari fungsi pembolehubah kompleks?

Derivatif boleh didapati menggunakan formula:

Dalam kes ini:

Justeru

Kita perlu menyelesaikan masalah songsang - dalam ungkapan yang terhasil kita perlu mengasingkan. Untuk melakukan ini, adalah perlu dalam syarat dan di luar kurungan:

Tindakan terbalik, seperti yang diperhatikan oleh ramai, agak sukar untuk dilakukan, selalu lebih baik untuk mengambil ungkapan pada draf atau membuka kurungan secara lisan, memastikan bahawa hasilnya betul-betul tepat.

Formula cermin untuk mencari terbitan:

Dalam kes ini: , Itulah sebabnya:

Contoh 4

Menentukan bahagian nyata dan khayalan bagi suatu fungsi . Semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann. Jika syarat Cauchy-Riemann dipenuhi, cari terbitan bagi fungsi tersebut.

Penyelesaian ringkas dan sampel anggaran reka bentuk akhir pada akhir pelajaran.

Adakah syarat Cauchy-Riemann sentiasa dipenuhi? Secara teorinya, ia tidak dipenuhi lebih kerap daripada dipenuhi. Tetapi dalam contoh praktikal, saya tidak ingat kes di mana ia tidak dipenuhi =) Oleh itu, jika derivatif separa anda "tidak menumpu," maka dengan kebarangkalian yang sangat tinggi anda boleh mengatakan bahawa anda membuat kesilapan di suatu tempat.

Mari kita rumitkan fungsi kita:

Contoh 5

Menentukan bahagian nyata dan khayalan bagi suatu fungsi . Semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann. Kira

Penyelesaian: Algoritma penyelesaian dipelihara sepenuhnya, tetapi pada akhirnya titik baharu akan ditambah: mencari derivatif pada satu titik. Untuk kubus, formula yang diperlukan telah diperolehi:

Mari kita tentukan bahagian sebenar dan khayalan fungsi ini:

Perhatian dan perhatian sekali lagi!

Sejak itu:


Oleh itu:
– bahagian sebenar fungsi;
– bahagian khayalan fungsi.

Memeriksa syarat kedua:

Hasilnya adalah sama, tetapi dengan tanda-tanda yang bertentangan, iaitu, syaratnya juga dipenuhi.

Syarat Cauchy-Riemann dipenuhi, oleh itu fungsinya boleh dibezakan:

Mari kita hitung nilai derivatif pada titik yang diperlukan:

Jawapan:, , syarat Cauchy-Riemann dipenuhi,

Fungsi dengan kiub adalah perkara biasa, jadi berikut ialah contoh untuk diperkukuhkan:

Contoh 6

Menentukan bahagian nyata dan khayalan bagi suatu fungsi . Semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann. Kira.

Penyelesaian dan contoh penamat pada akhir pelajaran.

Dalam teori analisis kompleks, fungsi lain hujah kompleks juga ditakrifkan: eksponen, sinus, kosinus, dll. Fungsi-fungsi ini mempunyai sifat yang luar biasa malah pelik - dan ini benar-benar menarik! Saya benar-benar ingin memberitahu anda, tetapi di sini, seperti yang berlaku, bukan buku rujukan atau buku teks, tetapi buku penyelesaian, jadi saya akan mempertimbangkan masalah yang sama dengan beberapa fungsi biasa.

Pertama tentang apa yang dipanggil Formula Euler:

Untuk sesiapa sah nombor, formula berikut adalah sah:

Anda juga boleh menyalinnya ke dalam buku nota anda sebagai bahan rujukan.

Tegasnya, hanya ada satu formula, tetapi biasanya untuk kemudahan mereka juga menulis kes khas dengan tolak dalam eksponen. Parameter tidak perlu menjadi satu huruf; ia boleh menjadi ungkapan atau fungsi yang kompleks, ia hanya penting untuk diterima hanya sah makna. Sebenarnya, kita akan melihat ini sekarang:

Contoh 7

Cari terbitan.

Penyelesaian: Garis umum parti tetap tidak tergoyahkan - adalah perlu untuk membezakan bahagian sebenar dan khayalan fungsi. Saya akan memberikan penyelesaian terperinci dan mengulas pada setiap langkah di bawah:

Sejak itu:

(1) Gantikan “z” sebaliknya.

(2) Selepas penggantian, anda perlu memilih bahagian sebenar dan khayalan pertama dalam penunjuk pempamer. Untuk melakukan ini, buka kurungan.

(3) Kami mengumpulkan bahagian khayalan penunjuk, meletakkan unit khayalan daripada kurungan.

(4) Kami menggunakan tindakan sekolah dengan ijazah.

(5) Untuk pengganda kita menggunakan formula Euler, dan .

(6) Buka kurungan, menghasilkan:

– bahagian sebenar fungsi;
– bahagian khayalan fungsi.

Tindakan lanjut adalah standard;

Contoh 9

Menentukan bahagian nyata dan khayalan bagi suatu fungsi . Semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann. Jadi, kami tidak akan menemui derivatifnya.

Penyelesaian: Algoritma penyelesaian sangat serupa dengan dua contoh sebelumnya, tetapi terdapat perkara yang sangat penting, jadi saya akan mengulas lagi pada peringkat awal langkah demi langkah:

Sejak itu:

1) Gantikan "z" sebaliknya.

(2) Mula-mula, kita pilih bahagian sebenar dan khayalan dalam sinus. Untuk tujuan ini, kami membuka kurungan.

(3) Kami menggunakan formula, dan .

(4) Penggunaan pariti kosinus hiperbolik: Dan keanehan sinus hiperbolik: . Hiperbola, walaupun di luar dunia ini, dalam banyak cara mengingatkan fungsi trigonometri yang serupa.

Akhirnya:
– bahagian sebenar fungsi;
– bahagian khayalan fungsi.

Perhatian! Tanda tolak merujuk kepada bahagian khayalan, dan dalam keadaan apa pun kita tidak boleh kehilangannya! Untuk gambaran yang jelas, hasil yang diperolehi di atas boleh ditulis semula seperti berikut:

Mari kita semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann:

Syarat Cauchy-Riemann dipenuhi.

Jawapan:, , syarat Cauchy-Riemann dipenuhi.

Tuan-tuan dan puan-puan, mari kita fikirkan sendiri:

Contoh 10

Tentukan bahagian nyata dan khayalan bagi fungsi tersebut. Semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann.

Saya sengaja memilih contoh yang lebih sukar, kerana semua orang nampaknya dapat mengatasi sesuatu, seperti kacang tanah. Pada masa yang sama, anda akan melatih perhatian anda! Keropok kacang di akhir pelajaran.

Nah, sebagai kesimpulan, saya akan melihat satu lagi contoh menarik apabila hujah yang kompleks berada dalam penyebut. Ia berlaku beberapa kali dalam amalan, mari kita lihat sesuatu yang mudah. Eh, saya semakin tua...

Contoh 11

Tentukan bahagian nyata dan khayalan bagi fungsi tersebut. Semak pemenuhan syarat Cauchy-Riemann.

Penyelesaian: Sekali lagi adalah perlu untuk membezakan bahagian sebenar dan khayalan fungsi.
Jika , maka

Timbul persoalan, apa yang perlu dilakukan apabila "Z" berada dalam penyebut?

Segala-galanya mudah - yang standard akan membantu kaedah mendarab pengangka dan penyebut dengan ungkapan konjugat, ia telah pun digunakan dalam contoh pelajaran Nombor kompleks untuk dummies. Mari kita ingat formula sekolah. Kita sudah ada dalam penyebut, yang bermaksud ungkapan konjugat akan menjadi . Oleh itu, anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebut dengan: