Topik: “Jenis poligon”.
darjah 9
SHL No. 20
Guru: Kharitonovich T.I. Tujuan pelajaran: mengkaji jenis poligon.
Tugas pembelajaran: mengemas kini, mengembangkan dan membuat generalisasi pengetahuan pelajar tentang poligon; membentuk idea tentang "bahagian komponen" poligon; menjalankan kajian bilangan unsur konstituen poligon sekata (dari segi tiga kepada n-gon);
Tugas perkembangan: membangunkan keupayaan untuk menganalisis, membandingkan, membuat kesimpulan, membangunkan kemahiran pengiraan, ucapan matematik lisan dan bertulis, ingatan, serta kebebasan dalam aktiviti berfikir dan pembelajaran, keupayaan untuk bekerja secara berpasangan dan berkumpulan; membangunkan aktiviti penyelidikan dan pendidikan;
Tugas pendidikan: memupuk sikap berdikari, beraktiviti, tanggungjawab terhadap kerja yang diberikan, ketabahan dalam mencapai matlamat.
Peralatan: papan putih interaktif (persembahan)
Kemajuan pelajaran
Persembahan menunjukkan: "Polygons"
"Alam semula jadi bercakap bahasa matematik, huruf bahasa ini ... angka matematik." G.Galliley
Pada permulaan pelajaran, kelas dibahagikan kepada kumpulan kerja (dalam kes kami, dibahagikan kepada 3 kumpulan)
1. Peringkat panggilan-
a) mengemaskini pengetahuan pelajar mengenai topik tersebut;
b) membangkitkan minat terhadap topik yang dipelajari, memotivasikan setiap pelajar untuk aktiviti pendidikan.
Teknik: Permainan "Adakah anda percaya bahawa...", organisasi kerja dengan teks.
Bentuk kerja: hadapan, kumpulan.
“Adakah anda percaya bahawa...”
1. ... perkataan "poligon" menunjukkan bahawa semua angka dalam keluarga ini mempunyai "banyak sudut"?
2. ... adakah segitiga tergolong dalam keluarga besar poligon, dibezakan antara pelbagai bentuk geometri yang berbeza pada satah?
3. ... adakah segi empat sama oktagon sekata (empat sisi + empat bucu)?
Hari ini dalam pelajaran kita akan bercakap tentang poligon. Kami mengetahui bahawa angka ini dihadkan oleh garis putus tertutup, yang seterusnya boleh menjadi mudah, tertutup. Mari kita bercakap tentang fakta bahawa poligon boleh menjadi rata, sekata atau cembung. Salah satu poligon rata ialah segitiga, yang telah lama anda kenali (anda boleh menunjukkan poster pelajar yang menggambarkan poligon, garis putus-putus, menunjukkan jenisnya yang berbeza, anda juga boleh menggunakan TSO).
2. Peringkat konsepsi
Matlamat: mendapatkan maklumat baharu, memahaminya, memilihnya.
Teknik: zigzag.
Bentuk kerja: individu->pasangan->kumpulan.
Setiap ahli kumpulan diberikan teks mengenai topik pelajaran, dan teks itu disusun sedemikian rupa sehingga ia merangkumi kedua-dua maklumat yang telah diketahui oleh pelajar dan maklumat yang benar-benar baru. Bersama-sama dengan teks, pelajar menerima soalan, jawapan yang mesti ditemui dalam teks ini.
Poligon. Jenis poligon.
Siapa yang tidak pernah mendengar tentang Segitiga Bermuda yang misterius, di mana kapal dan kapal terbang hilang tanpa jejak? Tetapi segitiga, biasa kepada kita dari zaman kanak-kanak, penuh dengan banyak perkara yang menarik dan misteri.
Sebagai tambahan kepada jenis segi tiga yang telah kita ketahui, dibahagikan dengan sisi (skala, isosceles, sama sisi) dan sudut (akut, tumpul, segi empat tepat), segi tiga itu tergolong dalam keluarga besar poligon, dibezakan di antara banyak bentuk geometri yang berbeza pada kapal terbang.
Perkataan "poligon" menunjukkan bahawa semua angka dalam keluarga ini mempunyai "banyak sudut." Tetapi ini tidak mencukupi untuk mencirikan angka itu.
Garis putus A1A2...An ialah rajah yang terdiri daripada titik A1,A2,...An dan ruas A1A2, A2A3,... yang menghubungkannya. Titik dipanggil bucu polyline, dan segmen dipanggil pautan polyline. (GAMBAR.1)
Garis putus dipanggil ringkas jika ia tidak mempunyai persilangan sendiri (Rajah 2, 3).
Poliline dipanggil tertutup jika hujungnya bertepatan. Panjang garis putus ialah jumlah panjang pautannya (Rajah 4)
Garis putus tertutup mudah dipanggil poligon jika pautan jirannya tidak terletak pada garis lurus yang sama (Rajah 5).
Gantikan nombor tertentu, contohnya 3, dalam perkataan "poligon" dan bukannya bahagian "banyak". Anda akan mendapat segitiga. Atau 5. Kemudian - pentagon. Ambil perhatian bahawa, seberapa banyak sudut yang ada, terdapat banyak sisi, jadi angka ini boleh dipanggil polilateral.
Bucu garis putus dipanggil bucu poligon, dan pautan garis putus dipanggil sisi poligon.
Poligon membahagikan satah kepada dua kawasan: dalaman dan luaran (Rajah 6).
Poligon satah atau kawasan poligon ialah bahagian terhingga satah yang dibatasi oleh poligon.
Dua bucu poligon yang merupakan hujung satu sisi dipanggil bersebelahan. Bucu yang bukan hujung sebelah adalah bukan jiran.
Poligon dengan n bucu, dan oleh itu n sisi, dipanggil n-gon.
Walaupun bilangan sisi terkecil poligon ialah 3. Tetapi segitiga, apabila disambungkan antara satu sama lain, boleh membentuk rajah lain, yang seterusnya juga poligon.
Segmen yang menghubungkan bucu bukan bersebelahan poligon dipanggil pepenjuru.
Poligon dipanggil cembung jika ia terletak pada separuh satah yang sama berbanding mana-mana garis yang mengandungi sisinya. Dalam kes ini, garis lurus itu sendiri dianggap milik SETENGAH SASAH
Sudut poligon cembung pada bucu tertentu ialah sudut yang dibentuk oleh sisinya yang menumpu pada bucu ini.
Mari kita buktikan teorem (tentang hasil tambah sudut n-gon cembung): Jumlah sudut n-gon cembung adalah bersamaan dengan 1800*(n - 2).
Bukti. Dalam kes n=3 teorem adalah sah. Biarkan A1A2...A n ialah poligon cembung dan n>3 yang diberi. Mari kita lukis pepenjuru di dalamnya (dari satu bucu). Oleh kerana poligon itu cembung, pepenjuru ini membahagikannya kepada n – 2 segi tiga. Jumlah sudut poligon ialah hasil tambah sudut semua segi tiga ini. Jumlah sudut bagi setiap segi tiga ialah 1800, dan bilangan segi tiga ini n ialah 2. Oleh itu, hasil tambah sudut bagi segi tiga cembung n A1A2...A n ialah 1800* (n - 2). Teorem terbukti.
Sudut luar poligon cembung pada bucu tertentu ialah sudut bersebelahan dengan sudut pedalaman poligon pada bucu ini.
Poligon cembung dipanggil sekata jika semua sisinya adalah sama dan semua sudut adalah sama.
Jadi segi empat boleh dipanggil secara berbeza - segi empat biasa. Segi tiga sama sisi juga sekata. Tokoh sedemikian telah lama menarik minat tukang yang menghias bangunan. Mereka membuat corak yang cantik, contohnya pada parket. Tetapi tidak semua poligon biasa boleh digunakan untuk membuat parket. Parket tidak boleh dibuat daripada oktagon biasa. Hakikatnya ialah setiap sudut adalah sama dengan 1350. Dan jika mana-mana titik adalah puncak dua oktagon tersebut, maka bahagian mereka akan menjadi 2700, dan tiada tempat untuk oktagon ketiga untuk dimuatkan di sana: 3600 - 2700 = 900. Tetapi untuk segi empat sama ini sudah memadai. Oleh itu, anda boleh membuat parket dari oktagon biasa dan segi empat sama.
Bintang juga betul. Bintang berbucu lima kami ialah bintang pentagonal biasa. Dan jika anda memusingkan segi empat sama di sekeliling pusat sebanyak 450, anda akan mendapat bintang oktagon biasa.
Apakah garis putus-putus? Terangkan apakah bucu dan pautan bagi garis poli.
Garis putus yang manakah dipanggil mudah?
Garis putus yang manakah dipanggil tertutup?
Apakah yang dipanggil poligon? Apakah bucu poligon yang dipanggil? Apakah sisi poligon dipanggil?
Poligon manakah yang dipanggil rata? Berikan contoh poligon.
Apakah n – segi empat sama?
Terangkan bucu poligon yang manakah bersebelahan dan yang tidak.
Apakah pepenjuru poligon?
Poligon manakah yang dipanggil cembung?
Terangkan sudut poligon yang manakah luar dan yang manakah dalam?
Poligon manakah yang dipanggil sekata? Berikan contoh poligon sekata.
Berapakah jumlah sudut bagi n-gon cembung? Buktikan.
Pelajar bekerja dengan teks, mencari jawapan kepada soalan yang dikemukakan, selepas itu kumpulan pakar dibentuk, di mana kerja dijalankan mengenai isu yang sama: pelajar menyerlahkan perkara utama, membuat ringkasan sokongan, dan menyampaikan maklumat dalam salah satu bentuk grafik. Setelah selesai kerja, pelajar kembali ke kumpulan kerja mereka.
3. Peringkat refleksi -
a) penilaian pengetahuan seseorang, cabaran kepada langkah pengetahuan seterusnya;
b) pemahaman dan pengagihan maklumat yang diterima.
Penerimaan: kerja penyelidikan.
Bentuk kerja: individu->pasangan->kumpulan.
Kumpulan kerja termasuk pakar dalam menjawab setiap bahagian soalan yang dicadangkan.
Kembali ke kumpulan kerja, pakar memperkenalkan jawapan kepada soalannya kepada ahli kumpulan lain. Kumpulan bertukar maklumat antara semua ahli kumpulan kerja. Oleh itu, dalam setiap kumpulan kerja, terima kasih kepada kerja pakar, pemahaman umum tentang topik yang sedang dipelajari terbentuk.
Kerja penyelidikan pelajar- mengisi meja.
Poligon sekata Lukisan Bilangan sisi Bilangan bucu Jumlah semua sudut dalam Darjah mengukur dalam. sudut Ukuran darjah sudut luar Bilangan pepenjuru
A) segi tiga
B) segi empat
B) lima lubang
D) heksagon
D) n-gon
Menyelesaikan masalah yang menarik tentang tajuk pelajaran.
1) Berapakah bilangan sisi poligon sekata, setiap satu sudut pedalamannya ialah 1350?
2) Dalam poligon tertentu, semua sudut pedalaman adalah sama antara satu sama lain. Bolehkah jumlah sudut pedalaman poligon ini: 3600, 3800?
3) Adakah mungkin untuk membina pentagon dengan sudut 100,103,110,110,116 darjah?
Merumuskan pelajaran.
Rakaman kerja rumah: MUKA SURAT 66-72 Bil 15,17 DAN TUGASAN: DALAM KUADRIAGON, LUKISKAN GARIS LURUS SUPAYA MEMBAHAGINYA KEPADA TIGA SEGITIGA.
Refleksi dalam bentuk ujian (di papan putih interaktif)
Dalam pelajaran ini kita akan memulakan topik baru dan memperkenalkan konsep baru untuk kita: "poligon". Kita akan melihat konsep asas yang dikaitkan dengan poligon: sisi, sudut bucu, kecembungan dan tidak cembung. Kemudian kita akan membuktikan fakta yang paling penting, seperti teorem pada jumlah sudut dalam poligon, teorem pada hasil tambah sudut luar poligon. Akibatnya, kita akan hampir mengkaji kes-kes khas poligon, yang akan dipertimbangkan dalam pelajaran selanjutnya.
Topik: Segiempat
Pelajaran: Poligon
Dalam kursus geometri, kami mengkaji sifat-sifat angka geometri dan telah memeriksa yang paling mudah: segi tiga dan bulatan. Pada masa yang sama, kami juga membincangkan kes-kes khas khusus bagi angka-angka ini, seperti kanan, isosceles dan segi tiga sekata. Kini tiba masanya untuk bercakap tentang angka yang lebih umum dan kompleks - poligon.
Dengan kes khas poligon kita sudah biasa - ini adalah segitiga (lihat Rajah 1).
nasi. 1. Segi tiga
Nama itu sendiri sudah menekankan bahawa ini adalah angka dengan tiga sudut. Oleh itu, dalam poligon boleh ada banyak daripada mereka, i.e. lebih daripada tiga. Sebagai contoh, mari kita lukis pentagon (lihat Rajah 2), i.e. rajah dengan lima penjuru.
nasi. 2. Pentagon. Poligon cembung
Definisi.Poligon- angka yang terdiri daripada beberapa titik (lebih daripada dua) dan bilangan segmen yang sepadan yang menghubungkannya secara berurutan. Titik-titik ini dipanggil puncak poligon, dan segmennya ialah pihak. Dalam kes ini, tiada dua sisi bersebelahan terletak pada garis lurus yang sama dan tiada dua sisi bukan bersebelahan bersilang.
Definisi.Poligon biasa ialah poligon cembung di mana semua sisi dan sudut adalah sama.
mana-mana poligon membahagikan pesawat kepada dua kawasan: dalaman dan luaran. Kawasan dalaman juga disebut sebagai poligon.
Dalam erti kata lain, sebagai contoh, apabila mereka bercakap tentang pentagon, mereka bermaksud kedua-dua kawasan dalamannya dan sempadannya. Dan kawasan dalaman termasuk semua titik yang terletak di dalam poligon, i.e. titik itu juga merujuk kepada pentagon (lihat Rajah 2).
Poligon juga kadangkala dipanggil n-gon untuk menekankan bahawa kes umum kehadiran beberapa bilangan sudut yang tidak diketahui (n keping) dipertimbangkan.
Definisi. Perimeter poligon- hasil tambah panjang sisi poligon itu.
Sekarang kita perlu membiasakan diri dengan jenis poligon. Mereka dibahagikan kepada cembung Dan tidak cembung. Sebagai contoh, poligon yang ditunjukkan dalam Rajah. 2 ialah cembung, dan dalam Rajah. 3 tidak cembung.
nasi. 3. Poligon bukan cembung
Definisi 1. Poligon dipanggil cembung, jika apabila melukis garis lurus melalui mana-mana sisinya, keseluruhannya poligon hanya terletak pada satu sisi garis lurus ini. Tidak cembung adalah orang lain poligon.
Adalah mudah untuk membayangkan bahawa apabila memanjangkan mana-mana sisi pentagon dalam Rajah. 2 semuanya akan berada di satu sisi garis lurus ini, i.e. ia adalah cembung. Tetapi apabila melukis garis lurus melalui segiempat dalam Rajah. 3 kita sudah melihat bahawa ia membahagikannya kepada dua bahagian, i.e. ia tidak cembung.
Tetapi terdapat definisi lain tentang kecembungan poligon.
Definisi 2. Poligon dipanggil cembung, jika apabila memilih mana-mana dua titik dalamannya dan menyambungkannya dengan segmen, semua titik segmen itu juga merupakan titik dalam poligon.
Demonstrasi penggunaan definisi ini boleh dilihat dalam contoh membina segmen dalam Rajah. 2 dan 3.
Definisi. pepenjuru poligon ialah sebarang segmen yang menghubungkan dua bucu bukan bersebelahan.
Untuk menerangkan sifat poligon, terdapat dua teorem yang paling penting tentang sudutnya: teorem hasil tambah sudut pedalaman poligon cembung Dan teorem hasil tambah sudut luar poligon cembung. Mari lihat mereka.
Teorem. Pada hasil tambah sudut pedalaman poligon cembung (n-gon).
Di manakah bilangan sudutnya (sisi).
Bukti 1. Mari kita gambarkan dalam Rajah. 4 cembung n-gon.
nasi. 4. Cembung n-gon
Dari puncak kita melukis semua pepenjuru yang mungkin. Mereka membahagikan n-gon kepada segi tiga, kerana setiap sisi poligon membentuk segi tiga, kecuali sisi yang bersebelahan dengan bucu. Adalah mudah untuk melihat dari rajah bahawa jumlah sudut semua segi tiga ini akan sama dengan jumlah sudut dalaman n-gon. Oleh kerana jumlah sudut mana-mana segi tiga ialah , maka hasil tambah sudut dalam bagi n-gon ialah:
Q.E.D.
Bukti 2. Satu lagi bukti teorem ini mungkin. Mari kita lukis n-gon yang serupa dalam Rajah. 5 dan sambungkan mana-mana titik dalamannya dengan semua bucu.
nasi. 5.
Kami telah memperoleh pembahagian n-gon kepada n segi tiga (sebanyak sisi yang terdapat segi tiga). Jumlah semua sudutnya adalah sama dengan jumlah sudut pedalaman poligon dan jumlah sudut pada titik pedalaman, dan ini ialah sudut. Kami ada:
Q.E.D.
Terbukti.
Menurut teorem terbukti, adalah jelas bahawa jumlah sudut n-gon bergantung kepada bilangan sisinya (pada n). Sebagai contoh, dalam segi tiga, dan jumlah sudut ialah . Dalam segi empat, dan jumlah sudut ialah, dsb.
Teorem. Pada hasil tambah sudut luar poligon cembung (n-gon).
Di manakah bilangan sudutnya (sisi), dan , …, ialah sudut luar.
Bukti. Mari kita gambarkan n-gon cembung dalam Rajah. 6 dan tentukan sudut dalam dan luarnya.
nasi. 6. N-gon cembung dengan sudut luar yang ditetapkan
Kerana Sudut luaran disambungkan kepada sudut dalaman sebagai bersebelahan, dan perkara yang sama berlaku untuk sudut luaran yang tinggal. Kemudian:
Semasa penjelmaan, kami menggunakan teorem yang telah terbukti tentang jumlah sudut dalaman n-gon.
Terbukti.
Fakta menarik berikut dari teorem terbukti bahawa jumlah sudut luar n-gon cembung adalah sama dengan bilangan sudutnya (sisi). By the way, berbeza dengan jumlah sudut dalaman.
Rujukan
- Alexandrov A.D. dan lain-lain Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, darjah 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Kerja rumah
Subjek, umur pelajar: geometri, gred 9
Tujuan pelajaran: mengkaji jenis poligon.
Tugas pendidikan: untuk mengemas kini, mengembangkan dan menyamaratakan pengetahuan pelajar tentang poligon; membentuk idea tentang "bahagian komponen" poligon; menjalankan kajian bilangan unsur juzuk poligon sekata (dari segi tiga kepada n-gon);
Tugas pembangunan: untuk membangunkan keupayaan untuk menganalisis, membandingkan, membuat kesimpulan, membangunkan kemahiran pengiraan, ucapan matematik lisan dan bertulis, ingatan, serta kebebasan dalam aktiviti berfikir dan pembelajaran, keupayaan untuk bekerja secara berpasangan dan kumpulan; membangunkan aktiviti penyelidikan dan pendidikan;
Tugas pendidikan: untuk memupuk kemerdekaan, aktiviti, tanggungjawab untuk kerja yang diberikan, ketabahan dalam mencapai matlamat.
Kemajuan pelajaran: petikan ditulis di papan tulis
"Alam semula jadi bercakap bahasa matematik, huruf bahasa ini ... angka matematik." G.Galliley
Pada permulaan pelajaran, kelas dibahagikan kepada kumpulan kerja (dalam kes kami, dibahagikan kepada kumpulan 4 orang setiap satu - bilangan ahli kumpulan adalah sama dengan bilangan kumpulan soalan).
1. Peringkat panggilan-
Matlamat:
a) mengemaskini pengetahuan pelajar mengenai topik tersebut;
b) membangkitkan minat terhadap topik yang dipelajari, memotivasikan setiap pelajar untuk aktiviti pendidikan.
Teknik: Permainan "Adakah anda percaya bahawa...", organisasi kerja dengan teks.
Bentuk kerja: hadapan, kumpulan.
“Adakah anda percaya bahawa...”
1. ... perkataan "poligon" menunjukkan bahawa semua angka dalam keluarga ini mempunyai "banyak sudut"?
2. ... adakah segitiga tergolong dalam keluarga besar poligon, dibezakan antara pelbagai bentuk geometri yang berbeza pada satah?
3. ... adakah segi empat sama oktagon sekata (empat sisi + empat bucu)?
Hari ini dalam pelajaran kita akan bercakap tentang poligon. Kami mengetahui bahawa angka ini dihadkan oleh garis putus tertutup, yang seterusnya boleh menjadi mudah, tertutup. Mari kita bercakap tentang fakta bahawa poligon boleh menjadi rata, sekata atau cembung. Salah satu poligon rata ialah segitiga, yang telah lama anda kenali (anda boleh menunjukkan poster pelajar yang menggambarkan poligon, garis putus-putus, menunjukkan jenisnya yang berbeza, anda juga boleh menggunakan TSO).
2. Peringkat konsepsi
Matlamat: mendapatkan maklumat baharu, memahaminya, memilihnya.
Teknik: zigzag.
Bentuk kerja: individu->pasangan->kumpulan.
Setiap ahli kumpulan diberikan teks mengenai topik pelajaran, dan teks itu disusun sedemikian rupa sehingga ia merangkumi kedua-dua maklumat yang telah diketahui oleh pelajar dan maklumat yang benar-benar baru. Bersama-sama dengan teks, pelajar menerima soalan, jawapan yang mesti ditemui dalam teks ini.
Poligon. Jenis poligon.
Siapa yang tidak pernah mendengar tentang Segitiga Bermuda yang misterius, di mana kapal dan kapal terbang hilang tanpa jejak? Tetapi segitiga, biasa kepada kita dari zaman kanak-kanak, penuh dengan banyak perkara yang menarik dan misteri.
Sebagai tambahan kepada jenis segi tiga yang telah kita ketahui, dibahagikan dengan sisi (skala, isosceles, sama sisi) dan sudut (akut, tumpul, segi empat tepat), segi tiga itu tergolong dalam keluarga besar poligon, dibezakan di antara banyak bentuk geometri yang berbeza pada kapal terbang.
Perkataan "poligon" menunjukkan bahawa semua angka dalam keluarga ini mempunyai "banyak sudut." Tetapi ini tidak mencukupi untuk mencirikan angka itu.
Garis putus A 1 A 2 ...A n ialah rajah yang terdiri daripada titik A 1, A 2, ...A n dan ruas yang menghubungkannya A 1 A 2, A 2 A 3,.... Titik dipanggil bucu polyline, dan segmen dipanggil pautan polyline. (Gamb.1)
Garis putus dipanggil ringkas jika ia tidak mempunyai persilangan sendiri (Rajah 2, 3).
Poliline dipanggil tertutup jika hujungnya bertepatan. Panjang garis putus ialah jumlah panjang pautannya (Rajah 4).
Garis putus tertutup mudah dipanggil poligon jika pautan jirannya tidak terletak pada garis lurus yang sama (Rajah 5).
Gantikan nombor tertentu, contohnya 3, dalam perkataan "poligon" dan bukannya bahagian "banyak". Anda akan mendapat segitiga. Atau 5. Kemudian - pentagon. Ambil perhatian bahawa, seberapa banyak sudut yang ada, terdapat banyak sisi, jadi angka ini boleh dipanggil polilateral.
Bucu garis putus dipanggil bucu poligon, dan pautan garis putus dipanggil sisi poligon.
Poligon membahagikan satah kepada dua kawasan: dalaman dan luaran (Rajah 6).
Poligon satah atau kawasan poligon ialah bahagian terhingga satah yang dibatasi oleh poligon.
Dua bucu poligon yang merupakan hujung satu sisi dipanggil bersebelahan. Bucu yang bukan hujung sebelah adalah bukan jiran.
Poligon dengan n bucu, dan oleh itu n sisi, dipanggil n-gon.
Walaupun bilangan sisi terkecil poligon ialah 3. Tetapi segitiga, apabila disambungkan antara satu sama lain, boleh membentuk rajah lain, yang seterusnya juga poligon.
Segmen yang menghubungkan bucu bukan bersebelahan poligon dipanggil pepenjuru.
Poligon dipanggil cembung jika ia terletak pada separuh satah yang sama berbanding mana-mana garis yang mengandungi sisinya. Dalam kes ini, garis lurus itu sendiri dianggap milik separuh satah.
Sudut poligon cembung pada bucu tertentu ialah sudut yang dibentuk oleh sisinya yang menumpu pada bucu ini.
Mari kita buktikan teorem (tentang hasil tambah sudut n-gon cembung): Jumlah sudut n-gon cembung adalah sama dengan 180 0 *(n - 2).
Bukti. Dalam kes n=3 teorem adalah sah. Biarkan A 1 A 2 ...A n ialah poligon cembung dan n>3 yang diberi. Mari kita lukis pepenjuru di dalamnya (dari satu bucu). Oleh kerana poligon itu cembung, pepenjuru ini membahagikannya kepada n – 2 segi tiga. Jumlah sudut poligon ialah hasil tambah sudut semua segi tiga ini. Jumlah sudut bagi setiap segi tiga adalah sama dengan 180 0, dan bilangan segitiga ini n ialah 2. Oleh itu, hasil tambah sudut-sudut cembung n-gon A 1 A 2 ...A n adalah sama dengan 180 0 * (n - 2). Teorem terbukti.
Sudut luar poligon cembung pada bucu tertentu ialah sudut bersebelahan dengan sudut pedalaman poligon pada bucu ini.
Poligon cembung dipanggil sekata jika semua sisinya adalah sama dan semua sudut adalah sama.
Jadi segi empat boleh dipanggil secara berbeza - segi empat biasa. Segi tiga sama sisi juga sekata. Tokoh sedemikian telah lama menarik minat tukang yang menghias bangunan. Mereka membuat corak yang cantik, contohnya pada parket. Tetapi tidak semua poligon biasa boleh digunakan untuk membuat parket. Parket tidak boleh dibuat daripada oktagon biasa. Hakikatnya ialah setiap sudut adalah sama dengan 135 0. Dan jika beberapa titik ialah puncak dua oktagon tersebut, maka ia akan menyumbang 270 0, dan tiada tempat untuk oktagon ketiga untuk dimuatkan di sana: 360 0 - 270 0 = 90 0. Tetapi untuk segi empat sama ini sudah memadai. Oleh itu, anda boleh membuat parket dari oktagon biasa dan segi empat sama.
Bintang juga betul. Bintang berbucu lima kami ialah bintang pentagonal biasa. Dan jika anda memutarkan segi empat sama mengelilingi pusat sebanyak 45 0, anda akan mendapat bintang oktagon biasa.
1 kumpulan
Apakah garis putus-putus? Terangkan apakah bucu dan pautan bagi garis poli.
Garis putus yang manakah dipanggil mudah?
Garis putus yang manakah dipanggil tertutup?
Apakah yang dipanggil poligon? Apakah bucu poligon yang dipanggil? Apakah sisi poligon dipanggil?
kumpulan ke-2
Poligon manakah yang dipanggil rata? Berikan contoh poligon.
Apakah n – segi empat sama?
Terangkan bucu poligon yang manakah bersebelahan dan yang tidak.
Apakah pepenjuru poligon?
3 kumpulan
Poligon manakah yang dipanggil cembung?
Terangkan sudut poligon yang manakah luar dan yang manakah dalam?
Poligon manakah yang dipanggil sekata? Berikan contoh poligon sekata.
4 kumpulan
Berapakah jumlah sudut bagi n-gon cembung? Buktikan.
Pelajar bekerja dengan teks, mencari jawapan kepada soalan yang dikemukakan, selepas itu kumpulan pakar dibentuk, di mana kerja dijalankan mengenai isu yang sama: pelajar menyerlahkan perkara utama, membuat ringkasan sokongan, dan menyampaikan maklumat dalam salah satu bentuk grafik. Setelah selesai kerja, pelajar kembali ke kumpulan kerja mereka.
3. Peringkat refleksi -
a) penilaian pengetahuan seseorang, cabaran kepada langkah pengetahuan seterusnya;
b) pemahaman dan pengagihan maklumat yang diterima.
Penerimaan: kerja penyelidikan.
Bentuk kerja: individu->pasangan->kumpulan.
Kumpulan kerja termasuk pakar dalam menjawab setiap bahagian soalan yang dicadangkan.
Kembali ke kumpulan kerja, pakar memperkenalkan jawapan kepada soalannya kepada ahli kumpulan lain. Kumpulan bertukar maklumat antara semua ahli kumpulan kerja. Oleh itu, dalam setiap kumpulan kerja, terima kasih kepada kerja pakar, pemahaman umum tentang topik yang sedang dipelajari terbentuk.
Kerja penyelidikan pelajar - mengisi jadual.
| Poligon biasa | Melukis | Bilangan sisi | Bilangan bucu | Jumlah semua sudut pedalaman | Pengukuran tahap dalaman sudut | Ukuran darjah sudut luar | Bilangan pepenjuru |
| A) segi tiga | |||||||
| B) segi empat | |||||||
| B) lima bar | |||||||
| D) heksagon | |||||||
| D) n-gon |
Menyelesaikan masalah yang menarik tentang tajuk pelajaran.
- Dalam segi empat, lukis garis lurus supaya ia membahagikannya kepada tiga segi tiga.
- Berapa banyak sisi poligon sekata mempunyai, setiap sudut pedalamannya ialah 135 0?
- Dalam poligon tertentu, semua sudut pedalaman adalah sama antara satu sama lain. Bolehkah jumlah sudut pedalaman poligon ini sama dengan: 360 0, 380 0?
Merumuskan pelajaran. Merakam kerja rumah.
Segitiga, segi empat sama, heksagon - angka ini diketahui hampir semua orang. Tetapi tidak semua orang tahu apa itu poligon biasa. Tetapi ini semua adalah sama Poligon sekata ialah poligon yang mempunyai sudut dan sisi yang sama. Terdapat banyak angka sedemikian, tetapi semuanya mempunyai sifat yang sama, dan formula yang sama digunakan untuk mereka.
Sifat poligon sekata
Mana-mana poligon biasa, sama ada segi empat sama atau oktagon, boleh ditulis dalam bulatan. Sifat asas ini sering digunakan semasa membina rajah. Di samping itu, bulatan boleh ditulis dalam poligon. Dalam kes ini, bilangan titik hubungan akan sama dengan bilangan sisinya. Adalah penting bahawa bulatan yang ditulis dalam poligon biasa akan mempunyai pusat yang sama dengannya. Angka geometri ini tertakluk kepada teorem yang sama. Mana-mana sisi n-gon sekata berkaitan dengan jejari bulatan R yang mengelilinginya, ia boleh dikira menggunakan formula berikut: a = 2R ∙ sin180°. Melalui anda boleh mencari bukan sahaja sisi, tetapi juga perimeter poligon.
Bagaimana untuk mencari bilangan sisi poligon sekata
Mana-mana satu terdiri daripada bilangan segmen tertentu yang sama antara satu sama lain, yang, apabila disambungkan, membentuk garis tertutup. Dalam kes ini, semua sudut rajah yang terhasil mempunyai nilai yang sama. Poligon dibahagikan kepada mudah dan kompleks. Kumpulan pertama termasuk segi tiga dan segi empat sama. Poligon kompleks mempunyai lebih banyak sisi. Ini juga termasuk figura berbentuk bintang. Untuk poligon sekata kompleks, sisi ditemui dengan menuliskannya dalam bulatan. Mari kita berikan bukti. Lukis poligon sekata dengan nombor arbitrari sisi n. Lukis bulatan di sekelilingnya. Tetapkan jejari R. Sekarang bayangkan anda diberi beberapa n-gon. Jika titik sudutnya terletak pada bulatan dan sama antara satu sama lain, maka sisi boleh didapati menggunakan formula: a = 2R ∙ sinα: 2.
Mencari bilangan sisi bagi segi tiga sekata tertulis
Segi tiga sama ialah poligon sekata. Formula yang sama digunakan untuknya seperti segi empat sama dan n-gon. Segitiga akan dianggap sekata jika sisinya sama panjang. Dalam kes ini, sudut ialah 60⁰. Mari bina segitiga dengan panjang sisi tertentu a. Mengetahui median dan ketinggiannya, anda boleh mencari nilai sisinya. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan kaedah mencari melalui formula a = x: cosα, dengan x ialah median atau ketinggian. Oleh kerana semua sisi segitiga adalah sama, kita mendapat a = b = c. Maka pernyataan berikut akan menjadi benar: a = b = c = x: cosα. Begitu juga, anda boleh mencari nilai sisi dalam segi tiga sama kaki, tetapi x ialah ketinggian yang diberikan. Dalam kes ini, ia harus diunjurkan dengan ketat ke pangkal angka. Jadi, dengan mengetahui ketinggian x, kita mencari sisi a bagi segi tiga sama kaki menggunakan formula a = b = x: cosα. Selepas mencari nilai a, anda boleh mengira panjang tapak c. Mari kita gunakan teorem Pythagoras. Kita akan mencari nilai separuh asas c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Maka c = 2xtanα. Dengan cara mudah ini, anda boleh mencari bilangan sisi mana-mana poligon bertulis.
Mengira sisi segi empat sama yang ditulis dalam bulatan
Seperti mana-mana poligon sekata bertulis lain, segi empat sama mempunyai sisi dan sudut yang sama. Formula yang sama digunakan untuknya seperti segi tiga. Anda boleh mengira sisi segi empat sama menggunakan nilai pepenjuru. Mari pertimbangkan kaedah ini dengan lebih terperinci. Adalah diketahui bahawa pepenjuru membahagikan sudut kepada separuh. Pada mulanya nilainya ialah 90 darjah. Oleh itu, selepas pembahagian, dua terbentuk sudut mereka di tapak akan sama dengan 45 darjah. Sehubungan itu, setiap sisi segi empat sama akan sama, iaitu: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, dengan e ialah pepenjuru segi empat sama, atau tapak segi tiga tegak yang terbentuk selepas pembahagian. Ini bukan satu-satunya cara untuk mencari sisi segi empat sama. Mari kita tulis angka ini dalam bulatan. Mengetahui jejari bulatan R ini, kita dapati sisi segi empat sama. Kami akan mengiranya seperti berikut: a4 = R√2. Jejari poligon sekata dikira menggunakan formula R = a: 2tg (360 o: 2n), dengan a ialah panjang sisi.
Bagaimana untuk mengira perimeter n-gon
Perimeter n-gon ialah hasil tambah semua sisinya. Ia mudah untuk mengira. Untuk melakukan ini, anda perlu mengetahui makna semua pihak. Untuk beberapa jenis poligon terdapat formula khas. Mereka membolehkan anda mencari perimeter dengan lebih cepat. Adalah diketahui bahawa mana-mana poligon sekata mempunyai sisi yang sama. Oleh itu, untuk mengira perimeternya, cukup untuk mengetahui sekurang-kurangnya satu daripadanya. Formula akan bergantung pada bilangan sisi rajah. Secara umum, ia kelihatan seperti ini: P = an, dengan a ialah nilai sisi dan n ialah bilangan sudut. Sebagai contoh, untuk mencari perimeter oktagon sekata dengan sisi 3 cm, anda perlu mendarabnya dengan 8, iaitu, P = 3 ∙ 8 = 24 cm Untuk heksagon dengan sisi 5 cm, kami mengira seperti berikut: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Dan seterusnya bagi setiap poligon.
Mencari perimeter segi empat selari, segi empat sama dan rombus
Bergantung pada bilangan sisi poligon sekata, perimeternya dikira. Ini menjadikan tugas lebih mudah. Sesungguhnya, tidak seperti angka lain, dalam kes ini anda tidak perlu mencari semua sisinya, satu sudah cukup. Menggunakan prinsip yang sama, kita dapati perimeter segi empat, iaitu segi empat sama dan rombus. Walaupun fakta bahawa ini adalah angka yang berbeza, formula untuk mereka adalah sama: P = 4a, di mana a ialah sisi. Mari kita beri contoh. Jika sisi rombus atau segi empat sama ialah 6 cm, maka kita dapati perimeter seperti berikut: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Untuk segi empat selari, hanya sisi yang bertentangan adalah sama. Oleh itu, perimeternya didapati menggunakan kaedah yang berbeza. Jadi, kita perlu mengetahui panjang a dan lebar b rajah itu. Kemudian kita gunakan formula P = (a + b) ∙ 2. Sebuah segi empat selari di mana semua sisi dan sudut di antara mereka adalah sama dipanggil rombus.
Mencari perimeter segi tiga sama sisi dan tegak
Perimeter yang betul boleh didapati menggunakan formula P = 3a, dengan a ialah panjang sisi. Jika ia tidak diketahui, ia boleh didapati melalui median. Dalam segi tiga tegak, hanya dua sisi yang mempunyai nilai yang sama. Asasnya boleh didapati melalui teorem Pythagoras. Setelah nilai ketiga-tiga sisi diketahui, kami mengira perimeter. Ia boleh didapati dengan menggunakan formula P = a + b + c, di mana a dan b ialah sisi yang sama dan c ialah tapak. Ingat bahawa dalam segi tiga sama kaki a = b = a, yang bermaksud a + b = 2a, kemudian P = 2a + c. Contohnya, sisi segi tiga sama kaki ialah 4 cm, mari kita cari tapak dan perimeternya. Kami mengira nilai hipotenus menggunakan teorem Pythagoras dengan = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 cm Sekarang hitung perimeter P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.
Bagaimana untuk mencari sudut poligon sekata
Poligon biasa berlaku dalam kehidupan kita setiap hari, contohnya, segi empat sama, segi tiga, oktagon. Nampaknya tidak ada yang lebih mudah daripada membina angka ini sendiri. Tetapi ini mudah hanya pada pandangan pertama. Untuk membina sebarang n-gon, anda perlu mengetahui nilai sudutnya. Tetapi bagaimana untuk mencari mereka? Malah saintis purba cuba membina poligon biasa. Mereka memikirkan cara untuk menyesuaikan mereka ke dalam bulatan. Dan kemudian titik yang diperlukan ditandakan di atasnya dan disambungkan dengan garis lurus. Untuk angka mudah masalah pembinaan telah diselesaikan. Formula dan teorem diperolehi. Sebagai contoh, Euclid, dalam karya terkenalnya "Inception," berurusan dengan menyelesaikan masalah untuk 3-, 4-, 5-, 6-, dan 15-gon. Dia menemui cara untuk membinanya dan mencari sudut. Mari lihat bagaimana untuk melakukan ini untuk 15-gon. Mula-mula anda perlu mengira jumlah sudut dalamannya. Ia perlu menggunakan formula S = 180⁰(n-2). Jadi, kita diberi 15-gon, yang bermaksud nombor n ialah 15. Kami menggantikan data yang kita ketahui ke dalam formula dan mendapat S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Kami mendapati jumlah semua sudut pedalaman 15-gon. Sekarang anda perlu mendapatkan nilai setiap daripada mereka. Terdapat 15 sudut kesemuanya Kami membuat pengiraan 2340⁰: 15 = 156⁰. Ini bermakna setiap sudut dalam adalah sama dengan 156⁰, kini menggunakan pembaris dan kompas anda boleh membina 15-gon biasa. Tetapi bagaimana dengan n-gon yang lebih kompleks? Selama berabad-abad, saintis telah berjuang untuk menyelesaikan masalah ini. Ia hanya ditemui pada abad ke-18 oleh Carl Friedrich Gauss. Dia mampu membina 65537-gon. Sejak itu, masalah itu secara rasmi dianggap selesai sepenuhnya.
Pengiraan sudut n-gon dalam radian
Sudah tentu, terdapat beberapa cara untuk mencari sudut poligon. Selalunya mereka dikira dalam darjah. Tetapi mereka juga boleh dinyatakan dalam radian. Bagaimana untuk melakukan ini? Anda perlu meneruskan seperti berikut. Mula-mula, kita mengetahui bilangan sisi poligon sekata, kemudian tolak 2 daripadanya Ini bermakna kita mendapat nilai: n - 2. Darabkan perbezaan yang ditemui dengan nombor n (“pi” = 3.14). Sekarang yang tinggal hanyalah membahagikan hasil darab dengan bilangan sudut dalam n-gon. Mari kita pertimbangkan pengiraan ini menggunakan dekagon yang sama sebagai contoh. Jadi, nombor n ialah 15. Mari kita gunakan formula S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Ini, tentu saja, bukan satu-satunya cara untuk mengira sudut dalam radian. Anda hanya boleh membahagikan sudut dalam darjah dengan 57.3. Lagipun, ini ialah bilangan darjah yang bersamaan dengan satu radian.
Pengiraan sudut dalam darjah
Selain darjah dan radian, anda boleh cuba mencari sudut poligon sekata dalam darjah. Ini dilakukan seperti berikut. Tolak 2 daripada jumlah bilangan sudut dan bahagikan perbezaan yang terhasil dengan bilangan sisi poligon sekata. Kami mendarabkan hasil yang ditemui sebanyak 200. By the way, unit ukuran sudut seperti darjah praktikalnya tidak digunakan.
Pengiraan sudut luar n-gons
Untuk mana-mana poligon biasa, sebagai tambahan kepada poligon dalaman, anda juga boleh mengira sudut luaran. Nilainya didapati dengan cara yang sama seperti untuk angka lain. Jadi, untuk mencari sudut luar poligon sekata, anda perlu mengetahui nilai poligon dalam. Selanjutnya, kita tahu bahawa jumlah kedua-dua sudut ini sentiasa sama dengan 180 darjah. Oleh itu, kami melakukan pengiraan seperti berikut: 180⁰ tolak nilai sudut dalam. Kami dapati perbezaannya. Ia akan sama dengan nilai sudut yang bersebelahan dengannya. Sebagai contoh, sudut dalaman segi empat sama ialah 90 darjah, bermakna sudut luaran ialah 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Seperti yang kita lihat, ia tidak sukar untuk dicari. Sudut luaran boleh mengambil nilai dari +180⁰ hingga -180⁰, masing-masing.