Jarak

dari titik ke baris

Jarak antara garis selari

Geometri, darjah 7

Kepada buku teks oleh L.S. Atanasyan

guru matematik kategori tertinggi

Institusi pendidikan perbandaran "Sekolah menengah asas Upshinskaya"

Daerah Orsha di Republik Mari El

Panjang berserenjang dilukis dari satu titik ke garis, dipanggil jarak dari titik ini ke lurus.

AN ⏊ A

M є a, M berbeza dengan N

Serenjang , dilukis dari satu titik ke garis, kurang mana-mana cenderung , dilukis dari titik yang sama ke baris ini.

pagi – cenderung, dilukis dari titik A ke garis a

AN pagi

AN - cenderung

AN AN

AN AK

AK - cenderung

Jarak dari titik ke garisan

M

Jarak dari titik M ke garis lurus c adalah...

N

Jarak dari titik N ke garis c adalah...

Dengan

Jarak dari titik K ke garis lurus c adalah...

K

Jarak dari titik F ke garis lurus c adalah...

F

Jarak dari titik ke garisan

AN ⏊ A

AN= 5.2 cm

VC ⏊ A

VC= 2.8 cm

Teorem.

Semua titik setiap dua garis selari adalah sama jarak dari garis lain

Diberi: a ǁ b

A є a, B є a,

Buktikan: jarak dari titik A dan B ke garisan adalah sama.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

Buktikan: AH = BK

Δ ANK = ΔVKA(Kenapa?)

Daripada kesamaan segi tiga ia mengikuti AN = BK

Jarak dari titik arbitrari salah satu garis selari ke garis lain dipanggil jarak antara garisan ini.

Teorem Converse.

Semua titik satah yang terletak pada satu sisi garis tertentu dan jarak yang sama daripadanya terletak pada garis selari dengan garis yang diberi.

AN ⏊ b,BK ⏊ b,

АH = BK

Buktikan: AB ǁ b

Δ ANK = ΔKVA(Kenapa?)

Daripada kesamaan segi tiga ia berikut … , tetapi ini adalah sudut melintang dalaman yang terbentuk … , bermaksud AB ǁ NK

Berapakah jarak antara garisan b dan c, jika jarak antara garisan itu A dan b adalah sama dengan 4, dan di antara garisan A dan c sama dengan 5?

A ǁ b ǁ c

Berapakah jarak antara garis b dan a, jika jarak antara garis b dan c ialah 7, dan antara garisan A dan c sama dengan 2?

Berapakah jarak antara garisan A dan c, jika jarak antara garis b dan c ialah 10, dan antara garisan b Dan a sama dengan 6?

Apakah set semua titik dalam satah yang sama jarak dari dua garis selari yang diberi?

A ǁ b

Jawapan: Garis selari dengan garisan ini dan terletak pada jarak yang sama daripadanya.

Apakah set semua titik pada satah yang terletak pada jarak tertentu dari garis tertentu?

Jawapan: Dua garis selari dengan garis tertentu dan terletak pada jarak tertentu pada sisi bertentangan dengannya.

Oh-oh-oh-oh-oh... baik, sukar, seolah-olah dia membaca ayat untuk dirinya sendiri =) Namun, kelonggaran akan membantu kemudian, terutamanya sejak hari ini saya membeli aksesori yang sesuai. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya berharap pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Kedudukan relatif dua garis lurus

Ini berlaku apabila penonton menyanyi bersama dalam korus. Dua garis lurus boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : Sila ingat tanda persimpangan matematik, ia akan muncul dengan kerap. Notasi bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik .

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" supaya kesamaan itu dipenuhi

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan cipta tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan –1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan dipotong dengan 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua, apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya adalah berkadar: , Tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, ia agak jelas.

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIADA nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan itu dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan mencipta sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pembolehubah adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, anda boleh menggunakan skema penyelesaian yang baru dibincangkan. Ngomong-ngomong, ia sangat mengingatkan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami lihat di dalam kelas Konsep kebergantungan linear (dalam) vektor. Asas vektor. Tetapi terdapat pembungkusan yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, yang bermaksud bahawa vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti lebih jauh, terus ke Kashchei the Immortal =)

b) Cari vektor arah garis:

Garisan mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau bertepatan. Tidak perlu mengira penentu di sini.

Jelas sekali bahawa pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, dan .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Oleh itu,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memenuhi persamaan ini (sebarang nombor secara umum memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dibincangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak nampak apa-apa guna menawarkan apa-apa untuk penyelesaian bebas adalah lebih baik untuk meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk membina garis selari dengan yang diberikan?

Kerana kejahilan tentang tugas paling mudah ini, Nightingale si Perompak menghukum dengan keras.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Mari kita nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan keadaan tentang dia? Garis lurus melalui titik itu. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor arah garis lurus "tse" juga sesuai untuk membina garis lurus "de".

Kami mengambil vektor arah daripada persamaan:

Jawab:

Contoh geometri kelihatan mudah:

Ujian analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Dalam kebanyakan kes, ujian analitik boleh dilakukan secara lisan dengan mudah. Lihatlah dua persamaan, dan ramai di antara anda akan dengan cepat menentukan keselarian garisan tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk penyelesaian bebas hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta pelbagai teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garis bertepatan adalah kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sangat biasa kepada anda dari kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Di sini anda pergi makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Kaedah grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian kepada sistem. Pada asasnya, kami melihat penyelesaian grafik sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk mencipta lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persimpangan itu sendiri mungkin terletak di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan menggunakan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang relevan, ambil pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Semakan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan tugas kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Buat persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali memfokuskan pada perkara ini.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran:

Tidak ada sepasang kasut pun yang haus sebelum kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garis lurus

Mari kita mulakan dengan tugas biasa dan sangat penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang ini, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk membina garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan berserenjang dengan garis yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Dengan syarat diketahui bahawa . Alangkah baiknya untuk mencari vektor pengarah baris. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kembangkan lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Kami mengeluarkan vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab skalar bagi vektor kita sampai pada kesimpulan bahawa garis-garis itu memang berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Ujian itu, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang jika persamaan diketahui dan tempoh.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam masalah, jadi mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik.

Perjalanan menarik kami diteruskan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kami adalah jalur lurus sungai dan tugas kami adalah untuk pergi ke sana dengan laluan terpendek. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah untuk bergerak di sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani “rho”, contohnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: apa yang anda perlu lakukan ialah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan menjalankan pengiraan:

Jawab:

Mari buat lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda melukis lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. = 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Mari kita pertimbangkan tugas lain berdasarkan lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik yang simetri kepada titik berbanding dengan garis lurus . Saya cadangkan anda melakukan langkah-langkah itu sendiri, tetapi saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan hasil perantaraan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat titik tengah segmen kita dapati .

Adalah idea yang baik untuk menyemak bahawa jaraknya juga 2.2 unit.

Kesukaran mungkin timbul di sini dalam pengiraan, tetapi mikrokalkulator adalah bantuan besar dalam menara, membolehkan anda mengira pecahan biasa. Saya telah menasihati anda berkali-kali dan akan mengesyorkan anda sekali lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk anda membuat keputusan sendiri. Saya akan memberi anda sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk menyelesaikannya. Memberi taklimat pada akhir pelajaran, tetapi lebih baik anda cuba meneka sendiri, saya rasa kepintaran anda telah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah jamb:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut "raspberi".

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah sudut "menatal" pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, contohnya jika .

Mengapa saya memberitahu anda ini? Nampaknya kita boleh bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Hakikatnya ialah formula yang kita akan cari sudut boleh dengan mudah menghasilkan keputusan negatif, dan ini tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan anak panah (mengikut arah jam).

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis lurus? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian Dan Kaedah satu

Mari kita pertimbangkan dua garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Marilah kita perhatikan dengan teliti penyebutnya - ini betul-betul produk skalar mengarah vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut formula menjadi sifar, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garisan dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, adalah mudah untuk memformalkan penyelesaian dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar bagi vektor arah garis:
, yang bermaksud garisan tidak berserenjang.

2) Cari sudut antara garis lurus menggunakan formula:

Menggunakan fungsi songsang, adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan arctangent (lihat. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapan anda, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam kedua-dua darjah dan radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, tolak, bukan masalah besar. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam pernyataan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "membuka skru" sudut bermula tepat dengannya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama. Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Artikel ini memberi tumpuan kepada mencari jarak antara garisan lintasan menggunakan kaedah koordinat. Pertama, definisi jarak antara garis bersilang diberikan. Seterusnya, algoritma diperoleh yang membolehkan seseorang mencari jarak antara garisan lintasan. Kesimpulannya, penyelesaian kepada contoh dianalisis secara terperinci.

Navigasi halaman.

Jarak antara garisan lintasan - definisi.

Sebelum memberikan definisi jarak antara garis condong, mari kita ingat semula definisi garis condong dan buktikan satu teorem yang berkaitan dengan garis condong.

Definisi.

- ini ialah jarak antara satu garis bersilang dan satah selari dengannya melalui garisan yang satu lagi.

Sebaliknya, jarak antara garis lurus dan satah yang selari dengannya ialah jarak dari beberapa titik garis lurus ke satah. Maka rumusan definisi jarak antara garisan lintasan berikut adalah sah.

Definisi.

Jarak antara garisan lintasan ialah jarak dari titik tertentu salah satu garis bersilang ke satah yang melalui garis lain selari dengan garis pertama.

Pertimbangkan garisan silang a dan b. Mari tandakan titik M 1 tertentu pada garis a, lukis satah selari dengan garis a melalui garis b, dan dari titik M 1 turunkan M 1 H 1 berserenjang ke satah. Panjang serenjang M 1 H 1 ialah jarak antara garisan silang a dan b.

Mencari jarak antara garisan lintasan - teori, contoh, penyelesaian.

Apabila mencari jarak antara garisan lintasan, kesukaran utama selalunya adalah untuk melihat atau membina segmen yang panjangnya sama dengan jarak yang diingini. Sekiranya segmen sedemikian dibina, maka, bergantung kepada keadaan masalah, panjangnya boleh didapati menggunakan teorem Pythagoras, tanda-tanda kesamaan atau persamaan segitiga, dsb. Inilah yang kami lakukan apabila mencari jarak antara garis bersilang dalam pelajaran geometri dalam gred 10-11.

Jika Oxyz diperkenalkan dalam ruang tiga dimensi dan garis bersilang a dan b diberikan di dalamnya, maka kaedah koordinat membolehkan kita mengatasi tugas mengira jarak antara garis bersilang yang diberikan. Mari kita lihat secara terperinci.

Biarkan satah yang melalui garis b, selari dengan garis a. Maka jarak yang diperlukan antara garisan silang a dan b ialah, mengikut takrifan, sama dengan jarak dari beberapa titik M 1 yang terletak pada garisan a ke satah. Oleh itu, jika kita menentukan koordinat titik M 1 tertentu yang terletak pada garis lurus a, dan memperoleh persamaan normal satah dalam bentuk, maka kita boleh mengira jarak dari titik itu. ke satah menggunakan formula (formula ini diperolehi dalam artikel mencari jarak dari titik ke satah). Dan jarak ini adalah sama dengan jarak yang diperlukan antara garisan lintasan.

Sekarang secara terperinci.

Masalahnya datang kepada mendapatkan koordinat titik M 1 yang terletak pada garis a, dan untuk mencari persamaan normal satah itu.

Tiada kesukaran untuk menentukan koordinat titik M 1 jika anda mengetahui dengan baik jenis asas persamaan garis lurus dalam ruang. Tetapi ia patut dibincangkan dengan lebih terperinci untuk mendapatkan persamaan pesawat.

Jika kita menentukan koordinat titik M 2 tertentu yang melaluinya satah itu, dan juga mendapatkan vektor normal satah dalam bentuk , maka kita boleh menulis persamaan am satah itu sebagai .

Sebagai titik M 2, anda boleh mengambil mana-mana titik yang terletak pada garis b, kerana satah melalui garis b. Oleh itu, koordinat titik M 2 boleh dianggap dijumpai.

Ia kekal untuk mendapatkan koordinat vektor biasa satah. Mari lakukannya.

Satah melalui garis b dan selari dengan garis a. Akibatnya, vektor normal satah adalah berserenjang dengan kedua-dua vektor arah garis a (mari kita nyatakan) dan vektor arah garis b (mari kita nyatakan ia). Kemudian kita boleh mengambil dan sebagai vektor, iaitu, . Setelah menentukan koordinat dan vektor arah garis lurus a dan b dan dikira , kita akan mencari koordinat bagi vektor normal satah itu.

Jadi, kita mempunyai persamaan am satah: .

Apa yang tinggal ialah untuk membawa persamaan am satah kepada bentuk normal dan mengira jarak yang diperlukan antara garis silang a dan b menggunakan formula.

Oleh itu, untuk mencari jarak antara garis silang a dan b anda perlukan:

Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Dalam ruang tiga dimensi dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxyz, dua garis lurus bersilang a dan b diberi. Garis lurus a ditentukan

Tidak sampai seminit pun berlalu sebelum saya mencipta fail Verd baharu dan meneruskan topik yang begitu menarik. Anda perlu merakam detik-detik suasana kerja, jadi tidak akan ada pengenalan lirik. Akan ada pukulan yang membosankan =)

Dua ruang lurus boleh:

1) kacukan;

2) bersilang pada titik;

3) selari;

4) perlawanan.

Kes No. 1 pada asasnya berbeza daripada kes lain. Dua garis lurus bersilang jika mereka tidak terletak dalam satah yang sama. Angkat satu lengan ke atas dan rentangkan lengan yang satu lagi ke hadapan - berikut ialah contoh garisan silang. Dalam mata No. 2-4 garis lurus mesti terletak dalam satu kapal terbang.

Bagaimana untuk mengetahui kedudukan relatif garisan di angkasa?

Pertimbangkan dua ruang langsung:

– garis lurus yang ditakrifkan oleh titik dan vektor arah;
– garis lurus yang ditakrifkan oleh titik dan vektor arah.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari buat lukisan skematik:

Lukisan menunjukkan garis lurus bersilang sebagai contoh.

Bagaimana untuk menangani garis lurus ini?

Memandangkan titik diketahui, mudah untuk mencari vektor.

Jika lurus kacukan, kemudian vektor bukan coplanar(lihat pelajaran Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor), dan, oleh itu, penentu yang terdiri daripada koordinatnya ialah bukan sifar. Atau, yang sebenarnya adalah perkara yang sama, ia akan menjadi bukan sifar: .

Dalam kes No. 2-4, struktur kami "jatuh" ke dalam satu satah, dan vektor coplanar, dan hasil campuran vektor bersandar linear bersamaan dengan sifar: .

Mari kembangkan algoritma dengan lebih lanjut. Mari kita berpura-pura itu Oleh itu, garis sama ada bersilang, selari, atau bertepatan.

Jika vektor arah kolinear, maka garisan itu sama ada selari atau bertepatan. Untuk paku akhir, saya mencadangkan teknik berikut: ambil mana-mana titik pada satu garis dan gantikan koordinatnya ke dalam persamaan garis kedua; jika koordinat "sesuai," maka garisan bertepatan; jika mereka "tidak sesuai," maka garisan adalah selari.

Algoritmanya mudah, tetapi contoh praktikal masih tidak menyakitkan:

Contoh 11

Cari kedudukan relatif dua garis

Penyelesaian: seperti dalam banyak masalah geometri, adalah mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik:

1) Kami mengambil titik dan vektor arah daripada persamaan:

2) Cari vektor:

Oleh itu, vektor adalah koplanar, yang bermaksud bahawa garisan terletak pada satah yang sama dan boleh bersilang, selari atau bertepatan.

4) Mari kita semak vektor arah untuk kolineariti.

Mari kita buat sistem daripada koordinat yang sepadan bagi vektor ini:

daripada semua orang persamaan itu mengikuti bahawa, oleh itu, sistem adalah konsisten, koordinat vektor yang sepadan adalah berkadar, dan vektor adalah kolinear.

Kesimpulan: garisan selari atau bertepatan.

5) Ketahui sama ada garisan mempunyai titik sepunya. Mari kita ambil titik kepunyaan baris pertama dan gantikan koordinatnya ke dalam persamaan garis:

Oleh itu, garisan tidak mempunyai titik sepunya, dan mereka tidak mempunyai pilihan selain selari.

Jawab:

Contoh menarik untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 12

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Sila ambil perhatian bahawa baris kedua mempunyai huruf sebagai parameter. Logik. Dalam kes umum, ini adalah dua baris yang berbeza, jadi setiap baris mempunyai parameternya sendiri.

Dan sekali lagi saya menggesa anda untuk tidak melangkau contoh, tugas yang saya cadangkan adalah jauh dari rawak ;-)

Masalah dengan garisan dalam ruang

Pada bahagian akhir pelajaran, saya akan cuba mempertimbangkan bilangan maksimum masalah yang berbeza dengan garis spatial. Dalam kes ini, susunan asal cerita akan diperhatikan: pertama kita akan mempertimbangkan masalah dengan garis persimpangan, kemudian dengan garis bersilang, dan pada akhirnya kita akan bercakap tentang garis selari di ruang angkasa. Walau bagaimanapun, saya mesti mengatakan bahawa beberapa tugas pelajaran ini boleh dirumuskan untuk beberapa kes lokasi baris sekaligus, dan dalam hal ini, pembahagian bahagian ke dalam perenggan agak sewenang-wenangnya. Terdapat contoh yang lebih mudah, terdapat contoh yang lebih kompleks, dan diharapkan semua orang akan menemui apa yang mereka perlukan.

Melintasi garisan

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa garis lurus bersilang jika tiada satah di mana kedua-duanya terletak. Apabila saya memikirkan melalui latihan itu, masalah raksasa muncul di fikiran, dan kini saya gembira untuk mempersembahkan kepada perhatian anda seekor naga dengan empat kepala:

Contoh 13

Diberi garis lurus. Diperlukan:

a) membuktikan bahawa garis bersilang;

b) cari persamaan garis yang melalui titik yang berserenjang dengan garis yang diberi;

c) mengarang persamaan garis lurus yang mengandungi serenjang sepunya lintasan garisan;

d) cari jarak antara garisan.

Penyelesaian: Orang yang berjalan akan menguasai jalan:

a) Mari kita buktikan bahawa garis bersilang. Mari cari titik dan vektor arah garisan ini:

Mari cari vektor:

Jom kira hasil campuran vektor:

Oleh itu, vektor bukan coplanar, yang bermaksud bahawa garisan bersilang, itulah yang perlu dibuktikan.

Mungkin semua orang telah lama menyedari bahawa untuk melintasi garisan algoritma pengesahan adalah yang paling singkat.

b) Cari persamaan garis yang melalui titik dan berserenjang dengan garis. Mari buat lukisan skematik:

Untuk perubahan saya menyiarkan secara langsung DI BELAKANG lurus, lihat bagaimana ia dipadamkan sedikit di titik persimpangan. Kacukan? Ya, secara amnya, garis lurus "de" akan disilang dengan garis lurus asal. Walaupun kami tidak berminat pada masa ini, kami hanya perlu membina garis serenjang dan itu sahaja.

Apakah yang diketahui tentang "de" langsung? Perkara kepunyaan itu diketahui. Vektor panduan tidak mencukupi.

Mengikut syarat, garis lurus mestilah berserenjang dengan garis lurus, yang bermaksud bahawa vektor arahnya akan ortogon dengan vektor arah. Sudah biasa daripada Contoh No. 9, mari cari produk vektor:

Mari kita susun persamaan garis lurus "de" menggunakan titik dan vektor arah:

sedia. Pada dasarnya, anda boleh menukar tanda dalam penyebut dan menulis jawapan dalam borang , tetapi tidak perlu untuk ini.

Untuk menyemak, anda perlu menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan garis lurus yang terhasil, kemudian gunakan hasil darab skalar bagi vektor pastikan bahawa vektor benar-benar ortogon dengan vektor arah "pe satu" dan "pe dua".

Bagaimana untuk mencari persamaan garis yang mengandungi serenjang sepunya?

c) Masalah ini akan menjadi lebih sukar. Saya mengesyorkan agar dummies melangkau perkara ini, saya tidak mahu menyejukkan simpati ikhlas anda untuk geometri analisis =) By the way, mungkin lebih baik untuk pembaca yang lebih bersedia untuk menahan juga, hakikatnya dari segi kerumitan contohnya harus diletakkan terakhir dalam artikel, tetapi mengikut logik pembentangan ia harus terletak di sini.

Jadi, anda perlu mencari persamaan garis yang mengandungi serenjang sepunya bagi garis condong.

- ini ialah segmen yang menghubungkan garisan ini dan berserenjang dengan garisan ini:

Inilah lelaki kacak kami: - garisan bersilang serenjang biasa. Dia seorang sahaja. Tidak ada yang lain seperti itu. Kita perlu mencipta persamaan untuk garis yang mengandungi segmen ini.

Apa yang diketahui tentang "um" langsung? Vektor arahnya diketahui, terdapat dalam perenggan sebelumnya. Tetapi, malangnya, kita tidak tahu satu pun titik kepunyaan garis lurus “em”, dan kita juga tidak tahu hujung serenjang – titik . Di manakah garis serenjang ini bersilang dengan dua garis asal? Di Afrika, di Antartika? Dari semakan awal dan analisis keadaan, tidak jelas sama sekali cara menyelesaikan masalah... Tetapi terdapat helah rumit yang dikaitkan dengan penggunaan persamaan parametrik garis lurus.

Kami akan merumuskan keputusan titik demi titik:

1) Mari kita tulis semula persamaan baris pertama dalam bentuk parametrik:

Mari kita pertimbangkan perkara itu. Kami tidak tahu koordinat. TAPI. Jika titik kepunyaan garis tertentu, maka koordinatnya sepadan dengan , mari kita nyatakan dengan . Kemudian koordinat titik akan ditulis dalam bentuk:

Kehidupan semakin baik, satu yang tidak diketahui masih bukan tiga yang tidak diketahui.

2) Kemarahan yang sama mesti dilakukan pada titik kedua. Mari kita tulis semula persamaan baris kedua dalam bentuk parametrik:

Jika titik kepunyaan garis tertentu, maka dengan maksud yang sangat spesifik koordinatnya mesti memenuhi persamaan parametrik:

Atau:

3) Vektor, seperti vektor yang ditemui sebelum ini, akan menjadi vektor arah garis lurus. Bagaimana untuk membina vektor dari dua titik telah dibincangkan sejak dahulu lagi di dalam kelas Vektor untuk boneka. Sekarang perbezaannya ialah koordinat vektor ditulis dengan nilai parameter yang tidak diketahui. Jadi apa? Tiada siapa yang melarang menolak koordinat yang sepadan bagi permulaan vektor daripada koordinat penghujung vektor.

Terdapat dua titik: .

Mencari vektor:

4) Oleh kerana vektor arah adalah kolinear, satu vektor dinyatakan secara linear melalui yang lain dengan pekali perkadaran tertentu "lambda":

Atau dari segi koordinat:

Ternyata yang paling biasa sistem persamaan linear dengan tiga perkara yang tidak diketahui, yang boleh diselesaikan secara standard, sebagai contoh, kaedah Cramer. Tetapi di sini adalah mungkin untuk turun dengan sedikit kerugian; dari persamaan ketiga kita akan menyatakan "lambda" dan menggantikannya ke dalam persamaan pertama dan kedua:

Oleh itu: , dan kami tidak memerlukan "lambda". Hakikat bahawa nilai parameter ternyata sama adalah semata-mata kemalangan.

5) Langit benar-benar cerah, mari kita gantikan nilai yang ditemui kepada mata kami:

Vektor arah tidak diperlukan terutamanya, kerana rakan sejawatannya telah ditemui.

Ia sentiasa menarik untuk diperiksa selepas perjalanan yang panjang.

:

Persamaan yang betul diperolehi.

Mari kita gantikan koordinat titik ke dalam persamaan :

Persamaan yang betul diperolehi.

6) Kord akhir: mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik (anda boleh mengambilnya) dan vektor arah:

Pada dasarnya, anda boleh memilih titik "baik" dengan koordinat utuh, tetapi ini adalah kosmetik.

Bagaimana untuk mencari jarak antara garis bersilang?

d) Kami memotong kepala keempat naga.

Kaedah satu. Bukan kaedah, tetapi kes khas yang kecil. Jarak antara garisan silang adalah sama dengan panjang serenjang sepunya mereka: .

Titik melampau bagi serenjang sepunya terdapat dalam perenggan sebelumnya, dan tugasnya adalah asas:

Kaedah kedua. Dalam amalan, selalunya hujung serenjang biasa tidak diketahui, jadi pendekatan yang berbeza digunakan. Satah selari boleh dilukis melalui dua garis lurus yang bersilang, dan jarak antara satah ini adalah sama dengan jarak antara garis lurus ini. Khususnya, satu serenjang biasa menonjol di antara satah ini.

Dalam perjalanan geometri analitik, daripada pertimbangan di atas, formula diperoleh untuk mencari jarak antara garis lurus yang bersilang:
(bukannya mata kami "um satu, dua" anda boleh mengambil titik garisan sewenang-wenangnya).

Hasil campuran vektor sudah ditemui di titik "a": .

Produk vektor bagi vektor terdapat dalam perenggan "be": , mari kita hitung panjangnya:

Oleh itu:

Mari dengan bangganya mempamerkan trofi dalam satu baris:

Jawab:
A) , yang bermaksud bahawa garis lurus bersilang, iaitu apa yang diperlukan untuk dibuktikan;
b) ;
V) ;
G)

Apa lagi yang boleh anda ceritakan tentang melintasi garisan? Terdapat sudut tertentu di antara mereka. Tetapi kami akan mempertimbangkan formula sudut universal dalam perenggan seterusnya:

Bersilang ruang lurus semestinya terletak pada satah yang sama:

Pemikiran pertama adalah bersandar pada titik persimpangan dengan sekuat tenaga. Dan saya segera berfikir, mengapa menafikan diri anda keinginan yang betul?! Mari kita naik ke atas dia sekarang!

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis ruang?

Contoh 14

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Mari kita tulis semula persamaan garis dalam bentuk parametrik:

Tugas ini telah dibincangkan secara terperinci dalam Contoh No. 7 pelajaran ini (lihat. Persamaan garis dalam ruang). Dan dengan cara ini, saya mengambil garis lurus sendiri dari Contoh No. 12. Saya tidak akan berbohong, saya terlalu malas untuk mencipta yang baharu.

Penyelesaiannya adalah piawai dan telah ditemui semasa kita cuba memikirkan persamaan untuk serenjang sepunya garis bersilang.

Titik persilangan garis tergolong dalam garis, oleh itu koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis ini, dan sepadan dengannya nilai parameter yang sangat spesifik:

Tetapi titik yang sama ini juga tergolong dalam baris kedua, oleh itu:

Kami menyamakan persamaan yang sepadan dan menjalankan penyederhanaan:

Satu sistem tiga persamaan linear dengan dua tidak diketahui diperolehi. Jika garisan bersilang (yang dibuktikan dalam Contoh No. 12), maka sistem itu semestinya konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik. Ia boleh diselesaikan Kaedah Gaussian, tetapi kami tidak akan berdosa dengan fetisisme tadika seperti itu, kami akan melakukannya dengan lebih mudah: dari persamaan pertama kami menyatakan "te sifar" dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

Dua persamaan terakhir ternyata pada asasnya sama, dan ia mengikuti daripada mereka bahawa . Kemudian:

Mari kita gantikan nilai parameter yang ditemui ke dalam persamaan:

Jawab:

Untuk menyemak, kami menggantikan nilai parameter yang ditemui ke dalam persamaan:
Koordinat yang sama diperolehi yang perlu disemak. Pembaca yang teliti boleh menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan kanonik asal garis.

Dengan cara ini, adalah mungkin untuk melakukan sebaliknya: cari titik melalui "es zero", dan semaknya melalui "te zero".

Takhayul matematik yang terkenal berkata: di mana persilangan garis dibincangkan, sentiasa ada bau serenjang.

Bagaimana untuk membina garisan ruang berserenjang dengan yang diberikan?

(garisan bersilang)

Contoh 15

a) Tuliskan persamaan garis yang melalui titik yang berserenjang dengan garis tersebut (garisan bersilang).

b) Cari jarak dari titik ke garis.

Catatan : klausa “garis bersilang” – ketara. Melalui titik
anda boleh melukis bilangan garis serenjang yang tidak terhingga yang akan bersilang dengan garis lurus "el". Satu-satunya penyelesaian berlaku dalam kes apabila garis lurus berserenjang dengan titik tertentu dilukis dua diberikan oleh garis lurus (lihat Contoh No. 13, titik “b”).

A) Penyelesaian: Kami menandakan baris yang tidak diketahui dengan . Mari buat lukisan skematik:

Apakah yang diketahui tentang garis lurus? Mengikut syarat, satu mata diberikan. Untuk menyusun persamaan garis lurus, adalah perlu untuk mencari vektor arah. Vektor agak sesuai sebagai vektor sedemikian, jadi kami akan menanganinya. Lebih tepat lagi, mari kita lihat hujung vektor yang tidak diketahui dengan teliti.

1) Mari kita keluarkan vektor arahnya daripada persamaan garis lurus "el", dan tulis semula persamaan itu sendiri dalam bentuk parametrik:

Ramai yang meneka bahawa sekarang untuk kali ketiga semasa pelajaran, ahli silap mata akan menarik seekor angsa putih dari topinya. Pertimbangkan satu titik dengan koordinat yang tidak diketahui. Oleh kerana titiknya ialah , koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis lurus "el" dan ia sepadan dengan nilai parameter tertentu:

Atau dalam satu baris:

2) Mengikut keadaan, garisan mestilah berserenjang, oleh itu, vektor arahnya adalah ortogon. Dan jika vektor adalah ortogon, maka mereka produk skalar sama dengan sifar:

Apa yang berlaku? Persamaan linear termudah dengan satu yang tidak diketahui:

3) Nilai parameter diketahui, mari cari titik:

Dan vektor arah:
.

4) Kami akan menyusun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah :

Penyebut perkadaran itu ternyata pecahan, dan ini betul-betul berlaku apabila ia sesuai untuk menyingkirkan pecahan. Saya hanya akan mendarabkannya dengan -2:

Jawab:

Catatan : pengakhiran yang lebih ketat kepada penyelesaian diformalkan seperti berikut: mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah . Sesungguhnya, jika vektor ialah vektor pemandu garis lurus, maka vektor kolinear, secara semula jadi, juga akan menjadi vektor panduan garis lurus ini.

Pengesahan terdiri daripada dua peringkat:

1) semak vektor arah garis untuk keortogonan;

2) kita menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan setiap baris, mereka harus "sesuai" di sana dan di sana.

Terdapat banyak perbincangan tentang tindakan biasa, jadi saya menyemak draf.

By the way, saya terlupa satu lagi titik - untuk membina titik "zyu" simetri kepada titik "en" berbanding dengan garis lurus "el". Walau bagaimanapun, terdapat "analog rata" yang baik, yang boleh didapati dalam artikel itu Masalah paling mudah dengan garis lurus pada satah. Di sini satu-satunya perbezaan adalah dalam koordinat "Z" tambahan.

Bagaimana untuk mencari jarak dari titik ke garisan dalam ruang?

b) Penyelesaian: Mari kita cari jarak dari titik ke garis.

Kaedah satu. Jarak ini betul-betul sama dengan panjang serenjang: . Penyelesaiannya adalah jelas: jika mata diketahui , Itu:

Kaedah kedua. Dalam masalah praktikal, asas serenjang sering menjadi rahsia yang dimeterai, jadi lebih rasional untuk menggunakan formula siap pakai.

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan formula:
, di manakah vektor arah bagi garis lurus “el”, dan – percuma titik kepunyaan garis tertentu.

1) Daripada persamaan garis kami mengeluarkan vektor arah dan titik yang paling mudah diakses.

2) Titik diketahui dari keadaan, tajamkan vektor:

3) Jom cari produk vektor dan hitung panjangnya:

4) Kira panjang vektor panduan:

5) Oleh itu, jarak dari titik ke garis:

Rangka pelajaran

Teorem Jumlah Sudut Segitiga

1. Nama penuh: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna

2. Tempat kerja: Institusi pendidikan belanjawan perbandaran "Sekolah menengah Knyazevskaya" daerah Tukaevsky di Republik Tatarstan

3. Tajuk kerja: guru matematik

4. item: geometri

5. Kelas: darjah 7

6. Topik pelajaran: Jarak dari titik ke garis. Jarak antara garis selari.

7. Tutorial asas: Geometri.7-9 gred: buku teks untuk institusi pendidikan / pengarang. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov,

S.B. Kadomtsev et al., 2010

8. Matlamat:

Matlamat aktiviti: mewujudkan keadaan untuk penggubalan bebas dan bukti sifat serong dan serenjang yang dijatuhkan dari titik ke garis, teorem pada jarak sama titik pada garis selari; mengatur aktiviti pelajar untuk melihat, memahami dan pada mulanya menyatukan pengetahuan dan kaedah aktiviti baru.

Matlamat pendidikan:

Subjek:

mengaplikasikan konsep jarak dari titik ke garis, jarak antara garis semasa menyelesaikan masalah

Metasubjek:

UUD kawal selia:

UUD kognitif:

UUD komunikatif:

UUD peribadi:

10. Kaedah pengajaran: bermasalah, penyelidikan.
11.Bentuk penganjuran aktiviti pendidikan: hadapan, kumpulan, pasangan, individu, struktur latihan.

12. Peralatan, syarat teknikal:

Komputer, projektor, skrin, Internet, perisian: Microsoft Power Point, tempat duduk kelas - 4 orang setiap meja.

13.Tempoh pelajaran: 45 minit

14.Rancangan pengajaran

saya . mengatur masa.

II . Mengemas kini pengetahuan.

III . Menetapkan matlamat pelajaran . Pengenalan bahan baru.

VI. Merumuskan. Refleksi.

saya . mengatur masa.

Sasaran: menyediakan pelajar untuk bekerja, mengaktifkan perhatian untuk kemasukan cepat dalam aktiviti.

cikgu : Apa khabar semua? Apa perasaan awak? Mari bangkitkan dia dan mulakan pelajaran dengan senyuman! Jom senyum tengok muka pasangan kita! Jom senyum di bahu pasangan kita!

II . Mengemas kini pengetahuan.

cikgu : Anda telah mempelajari subjek baru geometri selama enam bulan sekarang dan anda mungkin tahu apa itu teorem. Apakah kaedah pembuktian yang anda tahu?

Jawapan pelajar yang mungkin: Kaedah dengan percanggahan, kaedah membina, kaedah pembuktian berdasarkan aksiom dan teorem yang telah dibuktikan sebelumnya (slaid No. 2).

cikgu: Guys, apa persatuan yang anda ada dengan perkataan jarak?

Jawapan pelajar yang mungkin: Jarak antara bandar, jarak antara tiang, jarak dari sesuatu kepada sesuatu (slaid nombor 3).

cikgu: Berapakah jarak antara dua titik?

Jawapan pelajar yang mungkin: Panjang bahagian (slaid nombor 4).

cikgu: Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 1

cikgu: Sila ambil perhatian bahawa dalam geometri, jarak merujuk kepada jarak terpendek. Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 2

cikgu: Apakah yang boleh dikatakan tentang kedudukan relatif garis lurus AN dan garis lurus a?

cikgu: Apakah nama baris ini?

cikgu: A Apakah nama segmen AN?

cikgu: Ingat: Serenjang ialah segmen. Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 3.

III. Menetapkan matlamat pelajaran.Pengenalan bahan baru.

cikgu: Tugas amali:

Kami berada di padang; Lukiskan model matematik situasi tersebut. Kita perlu pergi ke jalan raya. Lukis trajektori (slaid No. 6).

cikgu: Bagaimanakah seseorang boleh mentakrifkan trajektori ini dalam bahasa matematik? Jawapan pelajar yang mungkin: Serenjang

cikgu: Kenapa tidak? –

Cuba beri nama (slaid nombor 7).

Jawapan pelajar yang mungkin: Cenderung.

cikgu: Berapakah bilangan garis condong yang boleh dilukis dari titik ini?

Jawapan pelajar yang mungkin: Sekumpulan.

(slaid nombor 7).

cikgu: Jadi anda fikir laluan terpendek ialah serenjang? Buktikan.

cikgu: Sekarang buktikan bahawa mana-mana garis condong lebih besar daripada garis serenjang.

Apa yang kita lihat dalam gambar?

Jawapan pelajar yang mungkin: segi tiga tepat (slaid No. 8).

cikgu: Apakah nama serenjang dan serong dalam segi tiga ini? Jawapan pelajar yang mungkin: kaki dan hipotenus.

cikgu: Mengapa hipotenus lebih besar daripada kaki?

Jawapan pelajar yang mungkin: Bertentangan dengan sudut yang lebih besar ialah sisi yang lebih besar. Sudut terbesar dalam segi tiga tepat ialah sudut tegak. Di seberangnya terletak hipotenus.

cikgu. Apa lagi yang boleh anda panggil segmen AC? Bagaimana jika kita kembali kepada kandungan tugasan?

Jawapan pelajar yang mungkin: Jarak dari titik ke garisan .

cikgu: Rumuskan definisi: “Jarak dari titik ke garis ialah... (panjang serenjang yang dilukis dari titik ini ke garis)” (slaid No. 9). Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 4.

cikgu: Tugas praktikal.

Cari jarak dari titik B ke garis lurus A D DanDC menggunakan segi tiga lukisan dan pembaris (slaid No. 10 titik peta teknologi 6

cikgu: Tugasan praktikal. Bina dua garis selari a dan b. Pada baris a, tandakan titik A. Jatuhkan serenjang dari titik A ke garis b. Letakkan titik B di pangkal serenjang.

Apa yang anda boleh katakan tentang segmen AB? (slaid nombor 11).

Ia berserenjang dengan kedua-dua garis a dan garis b.

cikgu: Oleh itu, ia dipanggil serenjang biasa (slaid No. 13). Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 5

cikgu: Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 6

cikgu: Tugasan. Ia dikehendaki meletakkan linoleum di atas lantai di koridor panjang. Adalah diketahui bahawa dua dinding bertentangan adalah selari. Serenjang biasa dilukis pada satu hujung koridor, dan panjangnya ternyata 4 m Adakah patut menyemak semula panjang serenjang biasa di tempat lain di koridor? (slaid nombor 14).

Jawapan pelajar yang mungkin: Tidak perlu, panjangnya juga akan sama dengan 4.

cikgu: Buktikan. Tetapi pertama, lukiskan model matematik situasi ini. Untuk membuktikan, serlahkan apa yang diketahui dan apa yang perlu dibuktikan.

Bagaimanakah kesamaan segmen dan sudut biasanya dibuktikan dalam geometri?

Jawapan pelajar yang mungkin: Melalui kesamaan segi tiga yang mengandungi segmen dan sudut ini. Hasilkan pembinaan yang membolehkan kami membuktikan kesamaan segi tiga ini.

Struktur BujangBulatRobin:

2. Empat orang murid dalam satu pasukan menjawab sekali.

cikgu: Buktikan kesaksamaan segmen AB dan CD melalui kesamaan segi tiga . Pada papan tanda, tulis tiga syarat untuk ujian kesamaan segitiga.

1.Guru bertanyakan soalan dan memberi masa untuk berfikir

Pelajar melakukan pembinaan tambahan, membuktikan kesamaan segi tiga, membuat kesimpulan tentang kesamaan segmen AB dan CD (slaid No. 15-17).

cikgu: Segmen AB dan CD adalah sama. Apakah yang boleh dikatakan tentang titik A dan C berbanding dengan garis lurus BD?

Jawapan pelajar yang mungkin: Mereka berada pada jarak yang sama. Mereka adalah sama jarak (slaid nombor 18).

cikgu: Adakah harta ini memegang sebarang mata?

Jawapan pelajar yang mungkin: ya

cikgu: Mari cuba rumuskan sifat ini. Apakah penyata harta terdiri daripada?

Jawapan pelajar yang mungkin: Daripada syarat dan kesimpulan (slaid No. 19,20).

Jawapan pelajar yang mungkin: Jika titik terletak pada salah satu garis selari, maka jaraknya sama dari garis kedua.

cikgu: Edit sifat ini tanpa kata hubung: jika, maka (slaid nombor 21).

Jawapan pelajar yang mungkin: Titik yang terletak pada salah satu garis selari adalah sama jarak dari garis kedua.

Struktur Think-Write-Round Robin:

1.Guru bertanyakan soalan dan memberi masa untuk berfikir

2. Pelajar berfikir dan menulis jawapan di atas kertas mereka

3. Pelajar membaca jawapan mereka secara bergilir-gilir daripada sehelai kertas.

cikgu: Pernyataan yang manakah dipanggil sebaliknya?

Jawapan pelajar yang mungkin: Jika syarat dan kesimpulan ditukar.

cikgu: Rumuskan pernyataan yang bertentangan (slaid nombor 22).

Jawapan pelajar yang mungkin: Jika titik yang terletak pada satu daripada dua garisan adalah sama jarak dari baris kedua, maka garisan itu selari.

cikgu: Buat catatan dalam peta teknologi dalam perenggan 7,8.

cikgu: Adakah mungkin untuk menentukan konsep sedemikian sebagai jarak antara garis selari?

Jawapan pelajar yang mungkin: ya

cikgu: Apa yang boleh dipanggil jarak antara garis selari

Jawapan pelajar yang mungkin: Panjang serenjang sepunya. Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 5.

IV. Penggunaan teorem, pelaksanaankerja amali.

cikgu: Kerja praktikal. Cari lebar jalur.

Apakah konsep matematik lebar jalur?

cikgu: Di manakah lagi teorem ini digunakan dalam kehidupan praktikal?

VI. Merumuskan. Refleksi.

cikgu: Apakah konsep baharu yang anda pelajari?

Apakah yang anda pelajari dalam pelajaran?

Di mana dalam hidup kita akan menerapkan ini?

(slaid No. 26-28)

cikgu: Buat catatan dalam peta teknologi di perenggan 9

Kerja rumah No. 276.279 – bukti teorem terbalik.

Analisis kendiri pelajaran

Matlamat:

Matlamat aktiviti: mewujudkan keadaan untuk merumus dan membuktikan secara bebas sifat condong dan serenjang jatuh dari titik ke garis lurus, mewujudkan syarat untuk membuktikan teorem pada jarak sama titik pada garis selari; mengatur aktiviti pelajar untuk melihat, memahami dan pada mulanya menyatukan pengetahuan baru dan kaedah aktiviti.

Matlamat pendidikan: mengembangkan pengetahuan bahawa serenjang adalah kurang daripada mana-mana condong, dilukis dari satu titik ke garis lurus, semua titik setiap dua garis selari adalah sama jarak dari garis lurus yang lain.

Subjek: pelajar akan berpeluang untuk belajar:

menggunakan teorem untuk menyelesaikan masalah praktikal

menganalisis, membandingkan, membuat generalisasi, membuat kesimpulan untuk menyelesaikan masalah praktikal.

Metasubjek:

UUD kawal selia:

keupayaan untuk menetapkan matlamat secara bebas, memilih dan mencipta algoritma untuk menyelesaikan masalah matematik pendidikan;

keupayaan untuk merancang dan menjalankan aktiviti yang bertujuan untuk menyelesaikan masalah penyelidikan.

UUD kognitif:

• • keupayaan untuk mewujudkan hubungan sebab-akibat, membina penaakulan logik, inferens, kesimpulan;

  • keupayaan untuk mengemukakan hipotesis semasa menyelesaikan masalah pendidikan dan memahami keperluan untuk mengujinya; keupayaan untuk menggunakan kaedah penaakulan induktif dan deduktif, untuk melihat strategi yang berbeza untuk menyelesaikan masalah;

  • membangunkan idea-idea awal tentang idea dan kaedah matematik sebagai bahasa sains sejagat, cara untuk memodelkan fenomena dan proses;

  • kebolehan memahami dan menggunakan lukisan dan lukisan untuk ilustrasi, tafsiran, penghujahan.

UUD komunikatif:

• keupayaan untuk menganjurkan kerjasama pendidikan dan aktiviti bersama dengan guru dan pelajar, menentukan matlamat, mengagihkan fungsi dan peranan peserta, cara kerja umum;

• keupayaan untuk bekerja dalam kumpulan: mencari penyelesaian bersama dan menyelesaikan konflik berdasarkan kedudukan penyelarasan dan mengambil kira kepentingan, mendengar rakan kongsi, merumus, berhujah dan mempertahankan pendapat seseorang.

UUD peribadi:

• pembentukan kecekapan komunikatif dalam komunikasi dan kerjasama dalam aktiviti pendidikan dan penyelidikan bersama;

  pembangunan keupayaan untuk dengan jelas, tepat, cekap menyatakan pemikiran seseorang dalam ucapan lisan dan bertulis, memahami maksud tugas, membina hujah, memberi contoh dan contoh balas;

  pembangunan pemikiran kritis, keupayaan untuk mengenali kenyataan yang salah secara logik, membezakan hipotesis daripada fakta;

  membangunkan pemikiran kreatif, inisiatif, kepintaran, dan aktiviti dalam menyelesaikan masalah geometri.

Struktur serpihan pelajaran sepadan dengan jenis - pelajaran tentang penemuan pengetahuan baru. Selaras dengan matlamat dan kandungan bahan, pelajaran disusun mengikut peringkat berikut:

saya . mengatur masa.

II . Mengemas kini pengetahuan.

III . Menetapkan matlamat pelajaran . Pengenalan bahan baru.

IV. Penggunaan teorem, pelaksanaan kerja amali.

VI. Merumuskan.

Semua elemen struktur pelajaran telah diikuti. Organisasi proses pendidikan adalah berdasarkan kaedah aktiviti.

Tujuan peringkat pertamaIa adalah mudah untuk menyepadukan pelajar dengan cepat ke dalam rentak perniagaan.

Pada peringkat kedua pengetahuan yang diperlukan untuk mengusahakan bahan baharu telah dikemas kini.

Pada peringkat ketigaUntuk mentakrifkan konsep jarak dari satu titik ke garisan, konsep garis condong menarik minat kanak-kanak kepada aktiviti praktikal dengan elemen carian. Pertama, pada tahap intuitif, pelajar mengemukakan hipotesis, kemudian secara bebas membuktikan sifat serenjang dan serong yang dilukis dari satu titik ke garis lurus.

Secara umum, saya menggunakan tugas amali sepanjang keseluruhan pelajaran, termasuk semasa penyatuan awal. Mereka membantu menarik pelajar kepada aktiviti kognitif bebas, dan menyelesaikan masalah pendekatan pembelajaran berasaskan kecekapan.

Untuk merumuskan dan membuktikan teorem pada kesamaan titik pada garis selari, saya menggunakan tugas yang bermasalah, yang menyumbang kepada perumusan hipotesis tentang sifat objek yang sedang dipertimbangkan dan pencarian seterusnya untuk bukti kesahihan andaian yang diletakkan. ke hadapan.

Dengan mengatur kerja untuk merumuskan teorem, dan kemudian teorem songsang, saya mencapai matlamat sayaperkembangan idea awal tentang idea dan kaedah matematik sebagai bahasa sains sejagat, satu cara untuk memodelkan fenomena dan proses.

Aktiviti pendidikan dan kognitif telah dianjurkan melalui kerja hadapan, kerja individu dan kumpulan. Organisasi ini memungkinkan untuk memasukkan setiap pelajar dalam aktiviti aktif untuk mencapai matlamat. Pelajar bekerjasama antara satu sama lain, memberikan bantuan bersama.

Masa, saya percaya, diagihkan secara rasional. Dalam tempoh yang singkat, kami berjaya memperkenalkan konsep jarak dari titik ke garis lurus, garis condong, jarak antara garis lurus selari, merumus dan membuktikan dua teorem, dan mempertimbangkan aplikasi teorem dalam amalan.

Untuk kejelasan, saya menggunakan pembentangan semasa pelajaran. Saya menggunakan program khas untuk demonstrasi untuk membandingkan panjang serong dan serenjang, di mana bentuk geometri menjadi hidup. Semasa pelajaran, saya menggunakan kerja pelajar di papan isyarat, yang menyelesaikan masalah penyertaan pelajar yang sama dalam pelajaran, mengawal pembelajaran bahan, dan, sudah tentu, mengaktifkan pelajar dalam pelajaran.

Pelajar aktif semasa pengajaran, saya berjaya melibatkan mereka dalam aktiviti penyelidikan, aktiviti kreatif, dengan kaedah yang membina untuk membuktikan teorem, merumus teorem.

Pada akhir pembelajaran, pelajar merumuskan topik itu sendiri.

Refleksi