Apakah definisi urutan. Urutan berurutan

Definisi .
Urutan berangka (xn) ialah hukum (peraturan) yang mengikutnya, bagi setiap nombor asli n = 1, 2, 3, . . . nombor x n tertentu diberikan.
Unsur x n dipanggil ahli ke-n atau unsur jujukan.

Urutan itu dilambangkan sebagai sebutan ke-n yang disertakan dalam pendakap kerinting: . Penamaan berikut juga mungkin: . Mereka secara eksplisit menunjukkan bahawa indeks n tergolong dalam set nombor asli dan jujukan itu sendiri mempunyai bilangan sebutan yang tidak terhingga. Berikut adalah beberapa contoh urutan:
, , .

Dengan kata lain, urutan nombor ialah fungsi yang domain definisinya ialah set nombor asli. Bilangan unsur jujukan adalah tidak terhingga. Di antara unsur-unsur tersebut mungkin juga terdapat ahli yang mempunyai maksud yang sama. Juga, urutan boleh dianggap sebagai set nombor bernombor yang terdiri daripada bilangan ahli yang tidak terhingga.

Kami akan berminat terutamanya dalam persoalan bagaimana jujukan berkelakuan apabila n cenderung kepada infiniti: . Bahan ini dibentangkan dalam bahagian Had jujukan - teorem dan sifat asas. Di sini kita akan melihat beberapa contoh urutan.

Contoh Urutan

Contoh jujukan yang bertambah tak terhingga

Pertimbangkan urutannya. Ahli biasa bagi urutan ini ialah . Mari kita tulis beberapa istilah pertama:
.
Ia boleh dilihat bahawa apabila bilangan n bertambah, unsur-unsur meningkat tanpa had ke arah nilai positif. Kita boleh mengatakan bahawa urutan ini cenderung kepada: untuk .

Sekarang pertimbangkan urutan dengan istilah biasa. Berikut adalah beberapa ahli pertamanya:
.
Apabila nombor n bertambah, unsur-unsur jujukan ini meningkat tanpa had dalam nilai mutlak, tetapi tidak mempunyai tanda tetap. Iaitu, urutan ini cenderung kepada: pada .

Contoh jujukan menumpu kepada nombor terhingga

Pertimbangkan urutannya. Ahli biasa dia. Istilah pertama mempunyai bentuk berikut:
.
Ia boleh dilihat bahawa apabila bilangan n bertambah, unsur-unsur jujukan ini menghampiri nilai hadnya a = 0 : pada . = 0 dengan kesilapan. Jelas bahawa apabila n bertambah, ralat ini cenderung kepada sifar, iaitu, dengan memilih n, ralat boleh dibuat sekecil yang dikehendaki. Selain itu, untuk sebarang ralat yang diberikan ε > 0 anda boleh menentukan nombor N supaya untuk semua elemen dengan nombor lebih besar daripada N:, sisihan nombor daripada nilai had a tidak akan melebihi ralat ε:.

Seterusnya, pertimbangkan urutan. Ahli biasa dia. Berikut adalah beberapa ahli pertamanya:
.
Dalam urutan ini, sebutan bernombor genap adalah sama dengan sifar. Istilah dengan ganjil n adalah sama. Oleh itu, apabila n meningkat, nilai mereka menghampiri nilai had a = 0 . Ini juga berikutan daripada fakta bahawa
.
Sama seperti dalam contoh sebelumnya, kita boleh menentukan ralat kecil yang sewenang-wenangnya ε > 0 , yang mana adalah mungkin untuk mencari nombor N supaya unsur dengan nombor lebih besar daripada N akan menyimpang daripada nilai had a = 0 dengan jumlah yang tidak melebihi ralat yang ditentukan. Oleh itu jujukan ini menumpu kepada nilai a = 0 : pada .

Contoh jujukan mencapah

Pertimbangkan urutan dengan istilah umum berikut:

Berikut adalah ahli pertamanya:

.
Ia boleh dilihat bahawa istilah dengan nombor genap:
,
menumpu kepada nilai a 1 = 0 . Ahli nombor ganjil:
,
menumpu kepada nilai a 2 = 2 . Urutan itu sendiri, apabila n berkembang, tidak menumpu kepada sebarang nilai.

Urutan dengan istilah yang diedarkan dalam selang (0;1)

Sekarang mari kita lihat urutan yang lebih menarik. Mari kita ambil segmen pada garis nombor. Mari bahagikannya kepada separuh. Kami mendapat dua segmen. biarlah
.
Mari bahagikan setiap segmen kepada separuh lagi. Kami mendapat empat segmen. biarlah
.
Mari bahagikan setiap segmen kepada separuh lagi. Mari ambil

.
Dan sebagainya.

Akibatnya, kita memperoleh urutan yang unsur-unsurnya diedarkan dalam selang terbuka (0; 1) . Apa sahaja perkara yang kita ambil dari selang tertutup , kita sentiasa boleh mencari ahli urutan yang akan sewenang-wenangnya hampir dengan titik ini atau bertepatan dengannya.

Kemudian daripada urutan asal seseorang boleh memilih urutan yang akan menumpu ke titik sewenang-wenangnya dari selang . Iaitu, apabila bilangan n bertambah, ahli-ahli yang berikutnya akan datang lebih dekat dan lebih dekat dengan titik yang telah dipilih sebelumnya.

Sebagai contoh, untuk titik a = 0 anda boleh memilih urutan berikut:
.
= 0 .

Untuk titik a = 1 Mari pilih urutan berikut:
.
Terma bagi urutan ini menumpu kepada nilai a = 1 .

Oleh kerana terdapat urutan yang menumpu kepada nilai yang berbeza, jujukan asal itu sendiri tidak menumpu kepada sebarang nombor.

Urutan yang mengandungi semua nombor rasional

Sekarang mari kita bina jujukan yang mengandungi semua nombor rasional. Selain itu, setiap nombor rasional akan muncul dalam urutan sedemikian dalam bilangan kali yang tidak terhingga.

Nombor rasional r boleh diwakili seperti berikut:
,
di manakah integer; - semula jadi.
Kita perlu menetapkan setiap nombor asli n kepada pasangan nombor p dan q supaya sebarang pasangan p dan q dimasukkan ke dalam jujukan kita.

Untuk melakukan ini, lukiskan paksi p dan q pada satah. Kami melukis garis grid melalui nilai integer p dan q. Kemudian setiap nod grid c ini akan sepadan dengan nombor rasional. Keseluruhan set nombor rasional akan diwakili oleh satu set nod. Kita perlu mencari cara untuk menomborkan semua nod supaya kita tidak terlepas sebarang nod. Ini mudah dilakukan jika anda menomborkan nod dengan segi empat sama, yang pusatnya terletak pada titik (0; 0) (lihat gambar). Dalam kes ini, bahagian bawah petak dengan q < 1 kita tidak memerlukannya. Oleh itu mereka tidak ditunjukkan dalam rajah.

Jadi, untuk bahagian atas petak pertama kita ada:
.
Seterusnya, kami menomborkan bahagian atas petak seterusnya:

.
Kami menomborkan bahagian atas petak berikut:

.
Dan sebagainya.

Dengan cara ini kita memperoleh urutan yang mengandungi semua nombor rasional. Anda boleh perhatikan bahawa sebarang nombor rasional muncul dalam jujukan ini dalam bilangan kali yang tidak terhingga. Sesungguhnya, bersama-sama dengan nod , jujukan ini juga akan termasuk nod , di mana ialah nombor asli. Tetapi semua nod ini sepadan dengan nombor rasional yang sama.

Kemudian daripada jujukan yang telah kita bina, kita boleh memilih satu jujukan (mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga), kesemua unsurnya adalah sama dengan nombor rasional yang telah ditetapkan. Oleh kerana jujukan yang kami bina mempunyai jujukan yang menumpu kepada nombor yang berbeza, jujukan itu tidak menumpu kepada sebarang nombor.

Kesimpulan

Di sini kami telah memberikan definisi yang tepat tentang urutan nombor. Kami juga membangkitkan isu penumpuannya, berdasarkan idea intuitif. Takrifan penumpuan yang tepat dibincangkan pada halaman Menentukan Had Jujukan. Sifat dan teorem yang berkaitan dinyatakan pada halaman

Susulan

Susulan- Ini kit elemen beberapa set:

untuk setiap nombor asli anda boleh menentukan unsur set yang diberikan;
nombor ini ialah nombor unsur dan menunjukkan kedudukan unsur ini dalam jujukan;
Untuk mana-mana elemen (ahli) jujukan, anda boleh menentukan elemen seterusnya bagi jujukan.

Jadi urutan itu ternyata menjadi hasilnya konsisten pemilihan elemen bagi set tertentu. Dan, jika mana-mana set elemen adalah terhingga, dan kita bercakap tentang sampel volum terhingga, maka jujukan itu ternyata menjadi sampel volum terhingga.

Urutan adalah dengan sifatnya pemetaan, jadi ia tidak boleh dikelirukan dengan set yang "melalui" jujukan.

Dalam matematik, banyak urutan yang berbeza dipertimbangkan:

siri masa yang bersifat berangka dan bukan berangka;
jujukan unsur ruang metrik
urutan elemen ruang berfungsi
urutan keadaan sistem kawalan dan mesin.

Tujuan mengkaji semua urutan yang mungkin adalah untuk mencari corak, meramalkan keadaan masa depan dan menjana jujukan.

Definisi

Biarkan satu set unsur-unsur sifat sewenang-wenangnya diberikan. | Sebarang pemetaan daripada set nombor asli kepada set tertentu dipanggil urutan(elemen set).

Imej nombor asli, iaitu, unsur, dipanggil - ke ahli atau unsur urutan, dan nombor ordinal ahli jujukan ialah indeksnya.

Takrifan berkaitan

Jika kita mengambil jujukan nombor asli yang semakin meningkat, maka ia boleh dianggap sebagai jujukan indeks bagi beberapa jujukan: jika kita mengambil unsur-unsur jujukan asal dengan indeks yang sepadan (diambil daripada jujukan nombor asli yang semakin meningkat), maka kita boleh lagi mendapat urutan yang dipanggil susulan urutan yang diberikan.

Komen

Dalam analisis matematik, konsep penting ialah had bagi urutan nombor.

Jawatan

Urutan bentuk

Adalah menjadi kebiasaan untuk menulis padat menggunakan kurungan:

atau

Pendakap kerinting kadangkala digunakan:

Membenarkan sedikit kebebasan bersuara, kita juga boleh mempertimbangkan urutan terhingga bentuk

yang mewakili imej segmen awal jujukan nombor asli.

lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010.

sinonim:

Lihat apa "Jujukan" dalam kamus lain:

URUSAN. Dalam artikel I.V. Kireevsky "The Nineteenth Century" (1830) kita membaca: "Dari kejatuhan Empayar Rom hingga zaman kita, pencerahan Eropah muncul kepada kita dalam perkembangan beransur-ansur dan dalam urutan yang tidak terganggu" (jilid 1, hlm. ... ... Sejarah perkataan

URUTAN, urutan, jamak. tidak, perempuan (buku). terganggu kata nama kepada berurutan. Urutan peristiwa. Konsisten dalam perubahan pasang surut. Konsisten dalam penaakulan. Kamus Penerangan Ushakov.... ... Kamus Penerangan Ushakov

Ketekalan, kesinambungan, logik; baris, janjang, kesimpulan, siri, rentetan, pusingan, rantai, rantai, lata, perlumbaan geganti; kegigihan, kesahihan, set, kaedah, susunan, keharmonian, ketabahan, urutan, sambungan, baris gilir,... ... kamus sinonim

URUTAN, nombor atau unsur yang disusun secara tersusun. Jujukan boleh terhingga (mempunyai bilangan unsur yang terhad) atau tidak terhingga, seperti urutan lengkap nombor asli 1, 2, 3, 4 ....... ... Kamus ensiklopedia saintifik dan teknikal

JURUTAN, satu set nombor (ungkapan matematik, dsb.; mereka berkata: unsur apa-apa sifat), dinomborkan dengan nombor asli. Urutan ditulis sebagai x1, x2,..., xn,... atau secara ringkas (xi) ... Ensiklopedia moden

Salah satu konsep asas matematik. Urutan dibentuk oleh unsur-unsur dalam sebarang sifat, dinomborkan dengan nombor asli 1, 2, ..., n, ..., dan ditulis sebagai x1, x2, ..., xn, ... atau secara ringkas (xn) . .. Kamus Ensiklopedia Besar

Susulan- JURUTAN, satu set nombor (ungkapan matematik, dsb.; mereka berkata: unsur apa-apa sifat), bernombor dengan nombor asli. Urutan ditulis sebagai x1, x2, ..., xn, ... atau secara ringkas (xi). ... Kamus Ensiklopedia Bergambar

URUTAN, dan, perempuan. 1. Lihat berurutan. 2. Dalam matematik: set nombor tersusun tak terhingga. Kamus penerangan Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 … Kamus Penerangan Ozhegov

Inggeris penggantian/urutan; Jerman Konsequenz. 1. Susunan satu demi satu. 2. Salah satu konsep asas matematik. 3. Kualiti pemikiran logik yang betul, di mana penaakulan bebas daripada percanggahan dalaman dalam satu dan yang lain... ... Ensiklopedia Sosiologi

Susulan- "fungsi yang ditakrifkan pada set nombor asli, set nilai yang boleh terdiri daripada unsur apa-apa sifat: nombor, titik, fungsi, vektor, set, pembolehubah rawak, dll., dinomborkan dengan nombor asli.. . Kamus ekonomi dan matematik

Buku

Kami membina urutan. anak kucing. 2-3 tahun. Permainan "Anak kucing". Kami membina urutan. Tahap 1. Siri "Pendidikan prasekolah". Anak kucing yang ceria memutuskan untuk berjemur di pantai! Tetapi mereka tidak boleh membahagikan tempat. Tolong mereka...

Konsistensi sebagai kualiti keperibadian ialah kecenderungan untuk tidak henti-henti mengikuti sesuatu, untuk melaksanakan sesuatu secara berterusan, untuk melaksanakan tindakan yang berterusan mengikut satu demi satu.

Seorang saudagar yang mulia, setelah mendengar tentang kebolehan menakjubkan lelaki tua yang soleh itu, datang ke guanya dengan permintaan: “Oh, orang soleh yang mulia! Tulis beberapa ucapan yang baik untuk keluarga saya. Saya sangat sayangkan anak dan cucu saya. Dan saya mahu mereka gembira. Beri kami perjanjian-Mu." Orang tua yang soleh itu mengambil kertas dan pen - dan pedagang itu segera menerima apa yang dimintanya. Hasrat itu sangat ringkas: "Datuk meninggal, anak lelaki meninggal, cucu meninggal." - Apa yang awak tulis di sini, gila?! – saudagar yang marah itu melambai tangannya. - Adakah saya datang kepada awak untuk mengutuk? “Kamu tidak faham apa-apa,” jawab lelaki yang soleh itu. – Kita semua suatu hari nanti akan kembali kepada Bapa Syurgawi kita. Tetapi akan menjadi kutukan jika saya menulis: "Seorang cucu meninggal, seorang anak lelaki mati, seorang datuk mati." Dan urutan ini betul. Jika anda pergi dalam perintah ini, ia akan menjadi kebahagiaan.

Orang yang konsisten ialah wira zaman kita, di mana pemikiran praktikal-analisis, pragmatisme yang sihat dan realisme lebih dihargai berbanding sebelum ini. Majikan yang mewakili organisasi besar dengan matlamat dan objektif yang bercita-cita tinggi memberi keutamaan kepada orang yang konsistensi telah menjadi ciri personaliti yang ketara. Apa yang mereka tertarik pada pemohon ialah kebolehpercayaan, kebolehramalan, kebijaksanaan, keazaman dan keyakinan dalam pandangan mereka. Mana-mana pemimpin akan menghargai orang yang yakin diri yang secara konsisten melaksanakan tugas yang diberikan kepadanya dengan tindakan yang disahkan, diasah dan tidak berbelah bahagi dengan cara yang sesingkat mungkin.

Konsistensi adalah adik kepada keazaman - keupayaan untuk tegas, gigih dan gigih berusaha untuk merealisasikan matlamat seseorang. Orang yang konsisten tidak akan melupakan matlamatnya, dia tahu jalannya dan tidak akan berpaling darinya. Jalan untuk mencapai matlamat yang tinggi boleh menjadi berliku dan panjang. Bagi pemerhati luar, beberapa tindakan individu dalam urutan itu mungkin kelihatan tidak masuk akal. Dan "kotak itu baru terbuka" - dia melihat dengan jelas hasil akhir tindakannya. Tindakan individu membentuk rantaian logik yang membawa urutan ke matlamat yang dimaksudkan.

Konsistensi adalah keutamaan matlamat; ia sememangnya keteguhan dan tumpuan pada beberapa jenis kerja, tanpanya adalah mustahil untuk mencapai sebarang matlamat yang layak. Seseorang yang konsisten secara berterusan, tanpa terganggu daripada tugasan yang sedang dijalankan, menyelesaikan satu tugasan hingga tamat dan kemudian berpindah ke tugasan yang lain. Dia dengan tepat dan betul mengagihkan masa ke dalam peringkat dan tempoh, sambil sentiasa memikirkan di mana dan bagaimana masa boleh dijimatkan.

Selalunya orang bermain-main dengan konsisten dan, bukan pemilik sebenar, segera menerima pelajaran pengajaran dari kehidupan untuk ilusinya. Setelah tanpa berfikir dan tergesa-gesa membuat beberapa keputusan semalam, mereka tidak mendapat tempat untuk diri mereka sendiri pada waktu pagi - tidak konsisten adalah memalukan dan tidak mempunyai kuasa. Oleh itu, keputusan semalam, tidak kira betapa bodohnya itu, harus dilakukan dengan berat hati agar tidak "hilang kehormatan pakaian seragam." Tetapi, tiba-tiba, ia menjadi jelas bahawa ia bercanggah dan berbahaya kepada perniagaan. Termasuk kedegilan? Lebih memudaratkan diri sendiri. ke bawah? Mereka akan mengatakan bahawa dia mempunyai tujuh hari Jumaat seminggu. Dan kekeliruan itu bermula dalam pemikiran, tindakan dan perbuatan. Seseorang itu demam kerana takut akan hukuman, tetapi juga tidak menguntungkan pihak atasannya untuk mendedahkan pemecahan sifatnya. Akibatnya, ilusi integriti peribadi merugikan pihak yang menuntut konsistensi palsu.

Konsistensi sentiasa sangat dihargai oleh pendapat umum dan dianggap sebagai salah satu sifat keadilan, jadi orang telah mewarisi dari nenek moyang mereka yang jauh keinginan untuk tampil konsisten dalam perkataan dan perbuatan mereka. Ia sentiasa dikaitkan dengan kecerdasan, kekuatan, logik, rasional, kestabilan dan kejujuran. Seperti yang dikatakan oleh ahli fizik Inggeris yang hebat Michael Faraday, konsistensi kadangkala lebih diutamakan daripada yang betul. Apabila Faraday pernah ditanya selepas kuliah sama ada dia percaya bahawa pesaing saintifiknya yang dibenci sentiasa salah, Faraday memandang marah kepada penyoal itu dan menjawab: "Dia tidak begitu konsisten." Orang yang tidak konsisten adalah status sosial yang tidak menguntungkan sebagai simbol kelalaian, keterujaan dan tidak boleh dipercayai. Tiada siapa yang mahu berurusan dengannya. Agak boleh difahami mengapa orang takut dicap tidak konsisten - ini adalah ancaman langsung untuk berakhir di margin sosial.

Ketakutan untuk menjadi tidak konsisten adalah objek yang menarik dan menarik untuk memanipulasi orang. Konsisten, sebagai maruah manusia yang hebat, sebagai kualiti keperibadian yang sangat baik, menjadi mata kail yang manipulator berpaut kepada orang ramai untuk mencapai matlamat mementingkan diri mereka. Hakikatnya ialah sifat konsistensi adalah automatisme, kemekanan tertentu dalam melakukan tindakan seseorang. Secara umum, automasi adalah rasional dan berguna, membolehkan seseorang tidak memikirkan setiap tindakannya setiap masa dan, dengan itu, menjimatkan banyak masa.

Robert B. Cialdini memerhati: “Oleh kerana pada umumnya kita mendapati ia berguna untuk menjadi konsisten, kita tergoda untuk menjadi secara automatik, walaupun dalam situasi di mana adalah tidak bijak untuk berbuat demikian. Jika konsistensi menunjukkan dirinya tanpa berfikir, ia boleh menjadi bencana... Keinginan automatik untuk konsisten adalah sejenis perisai yang dipasang dengan berfikir. Tidak menghairankan bahawa mekanisme ini banyak digunakan oleh mereka yang lebih suka kita menjawab tuntutan mereka tanpa berfikir. Untuk jenis pengeksploitasi ini, keinginan automatik kami untuk konsisten adalah lombong emas. Mereka sangat bijak untuk mengajak kita memainkan "urutan pita" mereka apabila ia sesuai dengan mereka sehingga kita tidak menyedari bahawa kita telah ditangkap. Dalam gaya jiu-jitsu yang sangat diasah, orang-orang ini membina hubungan dengan kita dengan cara yang keinginan kita sendiri untuk konsisten secara langsung memberi manfaat kepada mereka."

Mari kita pertimbangkan teknik manipulator "Mula Kecil". Setelah berkata "Ya", mengesahkan persetujuannya, pada masa hadapan orang itu menjadi lebih patuh dan akomodatif. Setelah mengakui dalam perkara-perkara kecil, orang itu memenuhi permintaan seterusnya, jika ia adalah kesinambungan logik permintaan pertama, hanya bermula dari prinsip konsistensi. "Kami akan bercuti," kata jiran itu, "kami mempunyai permintaan besar untuk anda: siram bunga di apartmen. Inilah kuncinya." Anda bersetuju dan berasa seperti seorang yang tidak mementingkan diri sendiri, hampir altruis. Enam bulan kemudian, dia kembali kepada anda: “Saya dan isteri saya akan terbang ke Thailand selama dua minggu. Sekali lagi, kami mempunyai permintaan besar untuk anda menyiram bunga dan menjaga anjing kami. Kamu perlu mengantarnya pada waktu pagi dan petang, dan kami tinggalkan makanan untuk kamu.” Sudah menyusahkan anda untuk tidak konsisten, anda boleh, tentu saja, menolak, tetapi anda sudah memahami betapa tidak menyenangkannya dalam jiwa anda nanti, kerana anda seorang altruis, anda mesti menghayati makna tinggi perkataan ini.

Kaedah memanipulasi keinginan orang untuk konsisten juga boleh termasuk persetujuan bertulis. Kebanyakan orang, setelah menandatangani sebarang permohonan atau soal selidik, secara automatik mula mempertahankan apa yang ditulis di sana, walaupun tandatangan itu diletakkan pada "autopilot", secara mekanikal atau di bawah pengaruh keadaan.

Teknik "kenyataan awam tentang keadaan yang baik" telah membuktikan dirinya "baik". Apabila mereka ingin mengeluarkan wang daripada orang untuk amal, mereka bermula dari jauh: contohnya, dengan soalan tentang keadaan kewangan syarikat atau orang itu sendiri. “Bagaimana perasaan syarikat anda di pasaran? Adakah anda menganggap diri anda seorang yang berjaya dan aktif? Apabila orang ramai berehat, serangan datang: "Adakah anda bersetuju untuk membantu mereka yang memerlukan?" Orang yang mendakwa melakukan yang baik mempunyai masa yang sukar untuk tidak konsisten. Manipulator menggosok tangan mereka dengan puas dan bergembira kerana orang dikurniakan kualiti personaliti seperti "anda jururawat kami, Konsisten!"

Peter Kovalev

Matematik adalah sains yang membina dunia. Kedua-dua saintis dan orang biasa - tiada siapa yang boleh melakukannya tanpanya. Pertama, kanak-kanak kecil diajar mengira, kemudian menambah, menolak, mendarab dan membahagi dengan sekolah menengah, simbol huruf mula dimainkan, dan di sekolah menengah mereka tidak dapat dielakkan lagi.

Tetapi hari ini kita akan bercakap tentang apa yang berasaskan semua matematik yang diketahui. Mengenai komuniti nombor yang dipanggil "had jujukan".

Apakah jujukan dan di manakah hadnya?

Maksud perkataan "urutan" tidak sukar untuk ditafsirkan. Ini ialah susunan perkara di mana seseorang atau sesuatu terletak dalam susunan atau baris gilir tertentu. Sebagai contoh, giliran untuk tiket ke zoo adalah satu urutan. Dan hanya boleh ada satu! Jika, sebagai contoh, anda melihat baris gilir di kedai, ini adalah satu urutan. Dan jika seorang daripada barisan ini tiba-tiba keluar, maka ini adalah barisan yang berbeza, susunan yang berbeza.

Perkataan "had" juga mudah ditafsirkan - ia adalah pengakhiran sesuatu. Walau bagaimanapun, dalam matematik, had jujukan ialah nilai-nilai pada garis nombor yang cenderung kepada urutan nombor. Mengapa ia berusaha dan tidak berakhir? Ia mudah, garis nombor tidak mempunyai penghujung, dan kebanyakan jujukan, seperti sinar, hanya mempunyai permulaan dan kelihatan seperti ini:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Oleh itu takrifan urutan adalah fungsi hujah semula jadi. Dalam kata yang lebih mudah, ini adalah siri ahli set tertentu.

Bagaimanakah urutan nombor dibina?

Contoh ringkas bagi urutan nombor mungkin kelihatan seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…

Dalam kebanyakan kes, untuk tujuan praktikal, jujukan dibina daripada nombor, dan setiap ahli siri seterusnya, mari kita nyatakan X, mempunyai namanya sendiri. Sebagai contoh:

x 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;

x 2 ialah sebutan kedua bagi jujukan;

x 3 ialah sebutan ketiga;

x n ialah sebutan ke-n.

Dalam kaedah praktikal, urutan diberikan oleh formula umum di mana terdapat pembolehubah tertentu. Sebagai contoh:

X n =3n, maka siri nombor itu sendiri akan kelihatan seperti ini:

Perlu diingat bahawa semasa menulis urutan secara umum, anda boleh menggunakan mana-mana huruf Latin, bukan hanya X. Contohnya: y, z, k, dsb.

Janjang aritmetik sebagai sebahagian daripada jujukan

Sebelum mencari had jujukan, adalah dinasihatkan untuk mendalami konsep siri nombor sedemikian, yang semua orang hadapi semasa mereka di sekolah menengah. Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana perbezaan antara sebutan bersebelahan adalah malar.

Masalah: “Biar a 1 = 15, dan langkah janjang siri nombor d = 4. Bina 4 sebutan pertama siri ini"

Penyelesaian: a 1 = 15 (mengikut syarat) ialah sebutan pertama janjang (siri nombor).

dan 2 = 15+4=19 ialah sebutan kedua bagi janjang itu.

dan 3 =19+4=23 ialah sebutan ketiga.

dan 4 =23+4=27 ialah sebutan keempat.

Walau bagaimanapun, menggunakan kaedah ini sukar untuk mencapai nilai yang besar, contohnya sehingga 125. . Khusus untuk kes sebegini, formula yang sesuai untuk amalan diperolehi: a n =a 1 +d(n-1). Dalam kes ini, a 125 =15+4(125-1)=511.

Jenis urutan

Kebanyakan urutan tidak berkesudahan, ia patut diingati sepanjang hayat anda. Terdapat dua jenis siri nombor yang menarik. Yang pertama diberikan oleh formula a n =(-1) n. Ahli matematik sering memanggil jujukan ini sebagai flasher. kenapa? Mari kita semak siri nombornya.

1, 1, -1, 1, -1, 1, dsb. Dengan contoh seperti ini, menjadi jelas bahawa nombor dalam urutan boleh diulang dengan mudah.

Urutan faktorial. Mudah diteka - formula mentakrifkan jujukan mengandungi faktorial. Contohnya: a n = (n+1)!

Kemudian urutannya akan kelihatan seperti ini:

a 2 = 1x2x3 = 6;

dan 3 = 1x2x3x4 = 24, dsb.

Urutan yang ditakrifkan oleh janjang aritmetik dipanggil menurun secara tak terhingga jika ketaksamaan -1 diperhatikan untuk semua sebutannya

dan 3 = - 1/8, dsb.

Malah terdapat urutan yang terdiri daripada nombor yang sama. Jadi, n =6 terdiri daripada nombor enam tak terhingga.

Menentukan Had Urutan

Had jujukan telah lama wujud dalam matematik. Sudah tentu, mereka layak mendapat reka bentuk kompeten mereka sendiri. Jadi, masa untuk mempelajari definisi had jujukan. Pertama, mari kita lihat had untuk fungsi linear secara terperinci:

Semua had disingkatkan sebagai lim.
Notasi had terdiri daripada singkatan lim, sebarang pembolehubah yang cenderung kepada nombor tertentu, sifar atau infiniti, serta fungsi itu sendiri.

Adalah mudah untuk memahami bahawa takrifan had jujukan boleh dirumuskan seperti berikut: ini ialah nombor tertentu di mana semua ahli jujukan menghampiri secara tak terhingga. Contoh mudah: a x = 4x+1. Kemudian urutan itu sendiri akan kelihatan seperti ini.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Oleh itu, jujukan ini akan meningkat selama-lamanya, yang bermaksud hadnya adalah sama dengan infiniti sebagai x→∞, dan ia harus ditulis seperti ini:

Jika kita mengambil urutan yang sama, tetapi x cenderung kepada 1, kita dapat:

Dan siri nombor akan menjadi seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dsb. Setiap kali anda perlu menggantikan nombor lebih dekat kepada satu (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Daripada siri ini jelas bahawa had fungsi ialah lima.

Dari bahagian ini adalah wajar untuk mengingati apa had urutan berangka, definisi dan kaedah untuk menyelesaikan masalah mudah.

Penamaan am untuk had jujukan

Setelah meneliti had jujukan nombor, definisi dan contohnya, anda boleh meneruskan ke topik yang lebih kompleks. Sudah tentu semua had jujukan boleh dirumuskan dengan satu formula, yang biasanya dianalisis pada semester pertama.

Jadi, apakah maksud set huruf, modul dan tanda ketidaksamaan ini?

∀ ialah pengkuantiti universal, menggantikan frasa "untuk semua", "untuk segala-galanya", dsb.

∃ ialah pengkuantiti kewujudan, dalam kes ini ia bermakna terdapat beberapa nilai N kepunyaan set nombor asli.

Kayu menegak panjang mengikuti N bermakna set N yang diberikan adalah "begitu." Dalam amalan, ia boleh bermaksud "begitu", "begitu", dsb.

Untuk mengukuhkan bahan, baca formula dengan kuat.

Ketidakpastian dan kepastian had

Kaedah mencari had jujukan, yang telah dibincangkan di atas, walaupun mudah digunakan, tidak begitu rasional dalam amalan. Cuba cari had untuk fungsi ini:

Jika kita menggantikan nilai "x" yang berbeza (meningkat setiap kali: 10, 100, 1000, dsb.), maka kita mendapat ∞ dalam pengangka, tetapi juga ∞ dalam penyebut. Ini menghasilkan pecahan yang agak pelik:

Tetapi adakah ini benar-benar begitu? Mengira had jujukan nombor dalam kes ini nampaknya agak mudah. Ia mungkin untuk meninggalkan segala-galanya kerana jawapannya sudah sedia, dan ia diterima dalam keadaan yang munasabah, tetapi ada cara lain khusus untuk kes sedemikian.

Mula-mula, mari kita cari darjah tertinggi dalam pengangka pecahan - ini ialah 1, kerana x boleh diwakili sebagai x 1.

Sekarang mari kita cari darjah tertinggi dalam penyebut. Juga 1.

Mari bahagikan kedua-dua pengangka dan penyebut dengan pembolehubah ke darjah tertinggi. Dalam kes ini, bahagikan pecahan dengan x 1.

Seterusnya, kita akan mencari nilai yang cenderung kepada setiap istilah yang mengandungi pembolehubah. Dalam kes ini, pecahan dipertimbangkan. Sebagai x→∞, nilai setiap pecahan cenderung kepada sifar. Semasa menghantar kerja anda secara bertulis, anda harus membuat nota kaki berikut:

Ini menghasilkan ungkapan berikut:

Sudah tentu, pecahan yang mengandungi x tidak menjadi sifar! Tetapi nilai mereka sangat kecil sehingga benar-benar dibenarkan untuk tidak mengambil kira dalam pengiraan. Sebenarnya, x tidak akan sama dengan 0 dalam kes ini, kerana anda tidak boleh membahagi dengan sifar.

Apakah kejiranan?

Katakan profesor mempunyai urutan yang kompleks, yang diberikan, jelas, oleh formula yang sama kompleks. Profesor telah menemui jawapannya, tetapi adakah ia betul? Lagipun, semua orang melakukan kesilapan.

Auguste Cauchy pernah menghasilkan cara terbaik untuk membuktikan had jujukan. Kaedahnya dipanggil manipulasi kejiranan.

Katakan bahawa terdapat titik a tertentu, kejiranannya dalam kedua-dua arah pada garis nombor adalah sama dengan ε (“epsilon”). Oleh kerana pembolehubah terakhir ialah jarak, nilainya sentiasa positif.

Sekarang mari kita takrifkan beberapa jujukan x n dan anggap bahawa sebutan kesepuluh bagi jujukan (x 10) termasuk dalam kejiranan a. Bagaimanakah kita boleh menulis fakta ini dalam bahasa matematik?

Katakan x 10 berada di sebelah kanan titik a, kemudian jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Kini tiba masanya untuk menerangkan secara praktikal formula yang dibincangkan di atas. Adalah adil untuk memanggil nombor tertentu sebagai titik akhir jujukan jika untuk mana-mana hadnya ketaksamaan ε>0 dipegang, dan seluruh kejiranan mempunyai nombor aslinya sendiri N, supaya semua ahli jujukan dengan nombor yang lebih tinggi akan berada di dalam jujukan |x n - a|< ε.

Dengan pengetahuan sedemikian, adalah mudah untuk menyelesaikan had urutan dan membuktikan atau menafikan jawapan yang sedia dibuat.

Teorem

Teorem mengenai had jujukan adalah komponen penting dalam teori, tanpa amalan adalah mustahil. Terdapat hanya empat teorem utama, mengingat yang boleh membuat penyelesaian atau pembuktian lebih mudah:

Keunikan had jujukan. Mana-mana jujukan hanya boleh mempunyai satu had atau tiada sama sekali. Contoh yang sama dengan baris gilir yang hanya boleh mempunyai satu hujung.
Jika satu siri nombor mempunyai had, maka urutan nombor ini adalah terhad.
Had jumlah (perbezaan, hasil) jujukan adalah sama dengan jumlah (perbezaan, hasil) hadnya.
Had hasil bahagi bagi dua jujukan adalah sama dengan hasil bahagi jika dan hanya jika penyebut tidak hilang.

Bukti urutan

Kadangkala anda perlu menyelesaikan masalah songsang, untuk membuktikan had tertentu bagi urutan berangka. Mari kita lihat contoh.

Buktikan bahawa had jujukan yang diberikan oleh formula ialah sifar.

Mengikut peraturan yang dibincangkan di atas, untuk sebarang jujukan ketaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Mari kita ungkapkan n melalui "epsilon" untuk menunjukkan kewujudan nombor tertentu dan membuktikan kehadiran had jujukan.

Pada ketika ini, adalah penting untuk diingat bahawa "epsilon" dan "en" ialah nombor positif dan tidak sama dengan sifar. Kini adalah mungkin untuk meneruskan transformasi selanjutnya menggunakan pengetahuan tentang ketidaksamaan yang diperoleh di sekolah menengah.

Bagaimanakah ternyata n > -3 + 1/ε. Oleh kerana perlu diingat bahawa kita bercakap tentang nombor asli, hasilnya boleh dibundarkan dengan meletakkannya dalam kurungan segi empat sama. Oleh itu, telah dibuktikan bahawa untuk sebarang nilai kejiranan "epsilon" bagi titik a = 0, satu nilai didapati sedemikian rupa sehingga ketaksamaan awal dipenuhi. Dari sini kita boleh mengatakan dengan selamat bahawa nombor a ialah had bagi urutan tertentu. Q.E.D.

Kaedah mudah ini boleh digunakan untuk membuktikan had jujukan berangka, tidak kira betapa rumitnya pada pandangan pertama. Perkara utama ialah jangan panik apabila anda melihat tugas itu.

Atau mungkin dia tiada di sana?

Kewujudan had konsistensi tidak perlu dalam amalan. Anda boleh dengan mudah menjumpai siri nombor yang benar-benar tiada penghujungnya. Contohnya, "lampu berkelip" yang sama x n = (-1) n. adalah jelas bahawa urutan yang terdiri daripada dua digit sahaja, diulang secara kitaran, tidak boleh mempunyai had.

Cerita yang sama berulang dengan urutan yang terdiri daripada satu nombor, pecahan, mempunyai ketidakpastian sebarang susunan semasa pengiraan (0/0, ∞/∞, ∞/0, dsb.). Walau bagaimanapun, perlu diingat bahawa pengiraan yang salah juga berlaku. Kadangkala menyemak semula penyelesaian anda sendiri akan membantu anda mencari had jujukan.

Urutan monotonic

Beberapa contoh jujukan dan kaedah untuk menyelesaikannya telah dibincangkan di atas, dan sekarang mari kita cuba ambil kes yang lebih khusus dan memanggilnya sebagai "jujukan monotonik."

Definisi: sebarang jujukan boleh dipanggil meningkat secara monoton jika ketaksamaan yang ketat x n berlaku untuknya< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Seiring dengan kedua-dua syarat ini, terdapat juga ketidaksamaan tidak ketat yang serupa. Sehubungan itu, x n ≤ x n +1 (jujukan tidak menurun) dan x n ≥ x n +1 (jujukan tidak bertambah).

Tetapi lebih mudah untuk memahami ini dengan contoh.

Urutan yang diberikan oleh formula x n = 2+n membentuk siri nombor berikut: 4, 5, 6, dsb. Ini ialah jujukan meningkat secara monoton.

Dan jika kita mengambil x n =1/n, kita mendapat siri: 1/3, ¼, 1/5, dsb. Ini ialah urutan menurun secara monoton.

Had jujukan menumpu dan terikat

Jujukan terikat ialah jujukan yang mempunyai had. Jujukan penumpu ialah satu siri nombor yang mempunyai had yang sangat kecil.

Oleh itu, had bagi jujukan bersempadan ialah sebarang nombor nyata atau kompleks. Ingat bahawa hanya ada satu had.

Had jujukan penumpuan ialah kuantiti tak terhingga (nyata atau kompleks). Jika anda melukis rajah jujukan, maka pada titik tertentu ia akan kelihatan bertumpu, cenderung bertukar menjadi nilai tertentu. Oleh itu namanya - jujukan konvergen.

Had jujukan monotonik

Mungkin ada atau mungkin tiada had untuk urutan sedemikian. Pertama, adalah berguna untuk memahami apabila ia wujud dari sini anda boleh mula apabila membuktikan ketiadaan had.

Antara jujukan monotonic, konvergen dan divergen dibezakan. Konvergen ialah jujukan yang dibentuk oleh set x dan mempunyai had nyata atau kompleks dalam set ini. Divergen ialah urutan yang tidak mempunyai had dalam setnya (bukan nyata mahupun kompleks).

Selain itu, jujukan itu menumpu jika, dalam perwakilan geometri, had atas dan bawahnya menumpu.

Had jujukan penumpuan boleh menjadi sifar dalam banyak kes, kerana mana-mana jujukan infinitesimal mempunyai had yang diketahui (sifar).

Apa-apa pun jujukan menumpu yang anda ambil, semuanya terikat, tetapi tidak semua jujukan terikat bertumpu.

Jumlah, beza, hasil darab dua jujukan menumpu juga merupakan jujukan menumpu. Walau bagaimanapun, hasil bagi juga boleh menumpu jika ia ditakrifkan!

Pelbagai tindakan dengan had

Had jujukan adalah sama ketara (dalam kebanyakan kes) seperti digit dan nombor: 1, 2, 15, 24, 362, dll. Ternyata beberapa operasi boleh dilakukan dengan had.

Pertama, seperti digit dan nombor, had sebarang jujukan boleh ditambah dan ditolak. Berdasarkan teorem ketiga mengenai had jujukan, kesamaan berikut berlaku: had jumlah jujukan adalah sama dengan jumlah hadnya.

Kedua, berdasarkan teorem keempat tentang had jujukan, kesamaan berikut adalah benar: had hasil darab nombor ke-n jujukan adalah sama dengan hasil darab hadnya. Perkara yang sama berlaku untuk pembahagian: had hasil bagi dua jujukan adalah sama dengan hasil bagi hadnya, dengan syarat hadnya bukan sifar. Lagipun, jika had jujukan adalah sama dengan sifar, maka pembahagian dengan sifar akan terhasil, yang mustahil.

Sifat kuantiti jujukan

Nampaknya had jujukan berangka telah dibincangkan secara terperinci, tetapi frasa seperti nombor "kecil tak terhingga" dan "besar tak terhingga" disebut lebih daripada sekali. Jelas sekali, jika terdapat jujukan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut adalah sangat kecil, dan jika jujukan yang sama, tetapi hadnya cenderung kepada sifar (x→0), maka pecahan itu menjadi nilai besar tak terhingga. Dan kuantiti sedemikian mempunyai ciri-ciri mereka sendiri. Sifat had jujukan yang mempunyai sebarang nilai kecil atau besar adalah seperti berikut:

Jumlah sebarang nombor sebarang bilangan kuantiti kecil juga akan menjadi kuantiti kecil.
Jumlah sebarang bilangan kuantiti besar akan menjadi kuantiti besar yang tidak terhingga.
Hasil darab kuantiti yang kecil secara sewenang-wenangnya adalah sangat kecil.
Hasil darab sebarang bilangan nombor besar adalah besar tak terhingga.
Jika jujukan asal cenderung kepada nombor yang tidak terhingga besar, maka songsangnya akan menjadi sangat kecil dan cenderung kepada sifar.

Sebenarnya, mengira had jujukan bukanlah tugas yang sukar jika anda mengetahui algoritma yang mudah. Tetapi had konsistensi adalah topik yang memerlukan perhatian dan ketabahan yang maksimum. Sudah tentu, cukup untuk memahami intipati penyelesaian kepada ungkapan tersebut. Bermula dari kecil, anda boleh mencapai ketinggian yang hebat dari semasa ke semasa.

Pengenalan………………………………………………………………………………3

1. Bahagian teori ………………………………………………………………….4

Konsep dan istilah asas………………………………………………………………………………4

1.1 Jenis jujukan…………………………………………………………………………6

1.1.1.Jujukan nombor terhad dan tidak terhad…..6

1.1.2.Kemonotonan jujukan…………………………………………6

1.1.3.Jujukan tak terhingga besar dan tak terhingga…….7

1.1.4.Sifat jujukan tak terhingga………………8

1.1.5.Jujukan menumpu dan mencapah serta sifatnya.....9

1.2 Had jujukan……………………………………………………….11

1.2.1.Teorem tentang had jujukan……………………………………15

1.3 Janjang aritmetik………………………………………………………………17

1.3.1. Sifat janjang aritmetik…………………………………..17

1.4Janjang geometri……………………………………………………………..19

1.4.1. Sifat janjang geometri…………………………………….19

1.5. Nombor Fibonacci……………………………………………………………………..21

1.5.1 Sambungan nombor Fibonacci dengan bidang pengetahuan yang lain………………….22

1.5.2. Menggunakan siri nombor Fibonacci untuk menerangkan alam semula jadi yang hidup dan tidak bernyawa………………………………………………………………………………………………………….23

2. Penyelidikan sendiri…………………………………………………….28

Kesimpulan…………………………………………………………………………….30

Senarai rujukan……………………………………………………………………….31

pengenalan.

Urutan nombor adalah topik yang sangat menarik dan mendidik. Topik ini ditemui dalam tugas yang lebih kompleks yang ditawarkan kepada pelajar oleh pengarang bahan didaktik, dalam masalah Olimpik matematik, peperiksaan kemasukan ke Institusi Pendidikan Tinggi dan Peperiksaan Negeri Bersatu. Saya berminat untuk mempelajari cara urutan matematik berkaitan dengan bidang pengetahuan yang lain.

Tujuan kerja penyelidikan: Untuk meluaskan pengetahuan tentang urutan nombor.

1. Pertimbangkan urutan;

2. Pertimbangkan sifatnya;

3. Pertimbangkan tugas analisis urutan;

4. Menunjukkan peranannya dalam pembangunan bidang ilmu yang lain.

5. Tunjukkan penggunaan siri nombor Fibonacci untuk menerangkan sifat hidup dan tidak bernyawa.

1. Bahagian teori.

Konsep dan istilah asas.

Definisi. Urutan berangka ialah fungsi dalam bentuk y = f(x), x О N, dengan N ialah set nombor asli (atau fungsi hujah asli), dilambangkan y = f(n) atau y1, y2, …, yn,…. Nilai-nilai y1, y2, y3,... dipanggil pertama, kedua, ketiga,... ahli jujukan, masing-masing.

Nombor a dipanggil had bagi jujukan x = (x n ) jika bagi nombor positif kecil arbitrari yang ditetapkan arbitrari ε terdapat nombor asli N supaya untuk semua n>N ketaksamaan |x n - a|< ε.

Jika nombor a ialah had bagi jujukan x = (x n ), maka mereka mengatakan bahawa x n cenderung kepada a, dan tulis

Urutan (yn) dikatakan meningkat jika setiap ahli (kecuali yang pertama) lebih besar daripada yang sebelumnya:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Urutan (yn) dipanggil menurun jika setiap ahli (kecuali yang pertama) adalah kurang daripada yang sebelumnya:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Jujukan bertambah dan berkurang digabungkan di bawah istilah biasa - jujukan monotonic.

Satu jujukan dipanggil berkala jika terdapat nombor asli T supaya, bermula dari beberapa n, kesamaan yn = yn+T dipegang. Nombor T dipanggil panjang tempoh.

Janjang aritmetik ialah jujukan (an), setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan hasil tambah sebutan sebelumnya dan nombor yang sama d, dipanggil janjang aritmetik, dan nombor d ialah perbezaan suatu janjang aritmetik.

Oleh itu, janjang aritmetik ialah urutan berangka (an) yang ditakrifkan secara berulang oleh hubungan

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Janjang geometri ialah jujukan di mana semua sebutan berbeza daripada sifar dan setiap sebutan yang, bermula dari kedua, diperoleh daripada sebutan sebelumnya dengan mendarab dengan nombor q yang sama.

Oleh itu, janjang geometri ialah jujukan berangka (bn) yang ditakrifkan secara berulang oleh hubungan

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Jenis urutan.

1.1.1 Urutan terhad dan tidak terhad.

Satu jujukan (bn) dikatakan bersempadan di atas jika terdapat nombor M sedemikian sehingga untuk sebarang nombor n ketaksamaan bn≤ M dipegang;

Satu jujukan (bn) dipanggil bersempadan di bawah jika terdapat nombor M supaya bagi sebarang nombor n ketaksamaan bn≥ M dipegang;

Sebagai contoh:

1.1.2 Kemonotonan jujukan.

Urutan (bn) dipanggil tidak bertambah (tidak berkurang) jika bagi sebarang nombor n ketaksamaan bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) adalah benar;

Urutan (bn) dipanggil menurun (bertambah) jika bagi sebarang nombor n ketaksamaan bn> bn+1 (bn

Urutan menurun dan meningkat dipanggil monotonik ketat, jujukan tidak meningkat dipanggil monotonik dalam erti kata luas.

Urutan yang dibatasi di atas dan di bawah dipanggil terikat.

Urutan semua jenis ini dipanggil monotonik.

1.1.3 Urutan besar dan kecil yang tidak terhingga.

Jujukan infinitesimal ialah fungsi berangka atau jujukan yang cenderung kepada sifar.

Suatu jujukan an dikatakan sangat kecil jika

Suatu fungsi dipanggil infinitesimal dalam kejiranan titik x0 jika ℓimx→x0 f(x)=0.

Suatu fungsi dipanggil infinitesimal pada infiniti jika ℓimx→.+∞ f(x)=0 atau ℓimx→-∞ f(x)=0

Juga infinitesimal ialah fungsi yang mewakili perbezaan antara fungsi dan hadnya, iaitu, jika ℓimx→.+∞ f(x)=a, maka f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Urutan besar tak terhingga ialah fungsi berangka atau jujukan yang cenderung kepada infiniti.

Suatu jujukan an dikatakan besar tak terhingga jika

ℓimn→0 an=∞.

Suatu fungsi dikatakan besar tak terhingga dalam kejiranan titik x0 jika ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Suatu fungsi dikatakan besar infiniti pada infiniti jika

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ atau ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Sifat jujukan tak terhingga.

Jumlah dua jujukan sangat kecil juga merupakan jujukan sangat kecil.

Perbezaan dua jujukan infinitesimal itu sendiri juga merupakan jujukan infinitesimal.

Jumlah algebra bagi sebarang nombor terhingga bagi jujukan tak terhingga itu sendiri juga merupakan jujukan terhingga.

Hasil darab bagi jujukan terikat dan jujukan tak terhingga ialah turutan terhingga.

Hasil darab mana-mana nombor terhingga jujukan tak terhingga ialah jujukan tak terhingga.

Sebarang jujukan infinitesimal adalah dihadkan.

Jika jujukan pegun adalah sangat kecil, maka semua unsurnya, bermula dari beberapa, adalah sama dengan sifar.

Jika keseluruhan jujukan infinitesimal terdiri daripada unsur-unsur yang sama, maka unsur-unsur ini adalah sifar.

Jika (xn) ialah jujukan tak terhingga besar yang tidak mengandungi sebutan sifar, maka terdapat jujukan (1/xn) yang sangat kecil. Walau bagaimanapun, jika (xn) mengandungi unsur sifar, maka jujukan (1/xn) masih boleh ditakrifkan bermula daripada beberapa nombor n, dan masih akan menjadi sangat kecil.

Jika (an) ialah jujukan sangat kecil yang tidak mengandungi sebutan sifar, maka terdapat jujukan (1/an) yang besar tak terhingga. Jika (an) walau bagaimanapun mengandungi unsur sifar, maka jujukan (1/an) masih boleh ditakrifkan bermula daripada beberapa nombor n, dan masih akan besar tidak terhingga.

1.1.5 Jujukan menumpu dan mencapah serta sifatnya.

Jujukan penumpuan ialah jujukan unsur bagi set X yang mempunyai had dalam set ini.

Jujukan mencapah ialah jujukan yang tidak menumpu.

Setiap jujukan infinitesimal adalah konvergen. Hadnya ialah sifar.

Mengalih keluar sebarang bilangan unsur terhingga daripada jujukan tak terhingga tidak menjejaskan penumpuan mahupun had jujukan itu.

Sebarang jujukan penumpuan adalah terhad. Walau bagaimanapun, tidak setiap jujukan sempadan menumpu.

Jika jujukan (xn) menumpu, tetapi tidak sangat kecil, maka, bermula dari nombor tertentu, jujukan (1/xn) ditakrifkan, yang dibatasi.

Hasil tambah jujukan penumpu juga merupakan jujukan penumpu.

Perbezaan jujukan penumpu juga merupakan jujukan penumpu.

Hasil darab jujukan penumpu juga merupakan jujukan penumpu.

Hasil bagi dua jujukan menumpu ditakrifkan bermula pada beberapa unsur, melainkan jujukan kedua adalah sangat kecil. Jika hasil bagi dua jujukan menumpu ditakrifkan, maka ia adalah jujukan menumpu.

Jika jujukan konvergen bersempadan di bawah, maka tiada satu pun infimumnya melebihi hadnya.

Jika jujukan penumpu disempadani di atas, maka hadnya tidak melebihi mana-mana sempadan atasnya.

Jika bagi sebarang nombor sebutan satu jujukan penumpu tidak melebihi sebutan jujukan penumpu yang lain, maka had jujukan pertama juga tidak melebihi had jujukan kedua.