Pembahagi bagi segi tiga ialah segmen yang membahagikan sudut segitiga kepada dua sudut yang sama. Sebagai contoh, jika sudut segitiga ialah 120 0, maka dengan melukis pembahagi dua, kita akan membina dua sudut 60 0 setiap satu.
Dan kerana terdapat tiga sudut dalam segitiga, tiga pembahagi dua boleh dilukis. Mereka semua mempunyai satu titik pemotongan. Titik ini ialah pusat bulatan yang tertulis dalam segi tiga. Dengan cara lain, titik persilangan ini dipanggil incenter bagi segi tiga.
Apabila dua pembahagi dua sudut dalam dan luar bersilang, sudut 90 0 diperoleh. Sudut luar dalam segitiga ialah sudut yang bersebelahan dengan sudut pedalaman segitiga.
nasi. 1. Segitiga yang mengandungi 3 pembahagi dua
Pembahagi dua membahagikan sisi bertentangan kepada dua segmen yang disambungkan ke sisi:
$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$
Titik pembahagi dua adalah sama jarak dari sisi sudut, yang bermaksud bahawa ia berada pada jarak yang sama dari sisi sudut. Iaitu, jika dari mana-mana titik pembahagi dua kita menjatuhkan serenjang ke setiap sisi sudut segitiga, maka serenjang ini akan sama..
Jika anda melukis median, pembahagi dua dan ketinggian dari satu bucu, maka median akan menjadi segmen terpanjang, dan ketinggian akan menjadi yang terpendek.
Beberapa sifat pembahagi dua
Dalam jenis segitiga tertentu, pembahagi dua mempunyai sifat khas. Ini terpakai terutamanya pada segi tiga sama kaki. Angka ini mempunyai dua sisi yang sama, dan yang ketiga dipanggil pangkalan.
Jika anda melukis pembahagi dua daripada bucu sudut segi tiga sama kaki ke tapak, maka ia akan mempunyai sifat ketinggian dan median. Sehubungan itu, panjang pembahagi dua bertepatan dengan panjang median dan ketinggian.
Definisi:
- Ketinggian- serenjang yang dilukis dari bucu segitiga ke sisi bertentangan.
- Median– segmen yang menghubungkan bucu segitiga dan tengah sisi bertentangan.
nasi. 2. Pembahagi dua dalam segi tiga sama kaki
Ini juga terpakai kepada segi tiga sama sisi, iaitu, segitiga di mana ketiga-tiga sisi adalah sama.
Contoh tugasan
Dalam segi tiga ABC: BR ialah pembahagi dua, dengan AB = 6 cm, BC = 4 cm, dan RC = 2 cm Tolak panjang sisi ketiga.
nasi. 3. Pembahagi dua dalam segi tiga
Penyelesaian:
Pembahagi dua membahagi sisi segi tiga dalam bahagian tertentu. Mari gunakan perkadaran ini dan nyatakan AR. Kemudian kita dapati panjang sisi ketiga sebagai hasil tambah segmen yang bahagian ini dibahagikan dengan pembahagi dua.
- $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
- $RC=(6\over(4))*2=3 cm$
Kemudian keseluruhan segmen AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 cm.
Jumlah penilaian yang diterima: 107.
Topik pelajaran
Pembahagi dua sudut
Objektif Pelajaran
Untuk meningkatkan pengetahuan murid sekolah tentang pembahagi dua sudut dan sifatnya;
Memperkenalkan maklumat baharu tentang pembahagi dua sudut;
Kembangkan pengetahuan pelajar bahawa teorem tentang sifat pembahagi dua boleh dibuktikan dengan cara yang berbeza;
Membangunkan pemikiran logik, minat dalam sains matematik, ketabahan dan kebolehan menganalisis.
Objektif Pelajaran
Meluaskan pengetahuan pelajar tentang pembahagi dua sudut;
Mengukuhkan kemahiran membina pembahagi dua sudut menggunakan alatan lukisan;
Dapatkan maklumat tambahan dan menarik mengenai topik ini;
Memberi maklumat tentang kepentingan teorem dalam pembangunan matematik;
Menyatukan pengetahuan yang diperoleh dengan menyelesaikan masalah;
Untuk memupuk ketabahan, rasa ingin tahu dan keinginan untuk belajar sains matematik.
Pelan pembelajaran
1. Pendedahan topik utama pelajaran tentang pembahagi dua sudut;
2. Pengulangan bahan yang dilindungi;
3. Maklumat menarik tentang pembahagi dua.
4. Latar belakang sejarah, geometri Yunani.
5. Kerja rumah.
Pembahagi dua sudut
Pelajaran hari ini kita akan menumpukan kepada topik pembahagi dua. Mari kita ingat definisi pembahagi dua.
Pembahagi dua ialah lokus titik yang sama jarak dari sisi sudut.
Ringkasnya, pembahagi dua ialah garis yang membahagi dua sudut.
Pembahagi dua sudut ialah sinar yang muncul dari puncak sudut dan membahagikannya kepada dua sudut lain yang sama.
Perkataan "bisector" diterjemahkan daripada bahasa Perancis bermaksud sesuatu yang memotong sudut pada separuh atau sama-sama membahagikannya kepada separuh.
Pembahagi bagi segi tiga
Sebagai tambahan kepada pembahagi dua sudut, terdapat juga pembahagi dua segi tiga, kerana segitiga mengandungi sebanyak tiga sudut, masing-masing, setiap segi tiga boleh mempunyai tiga pembahagi dua yang berbeza.
Apakah pembahagi bagi segi tiga? Pembahagi bagi segi tiga ialah bahagian pembahagi dua sudut yang menghubungkan bucunya dalam segi tiga dengan satu titik pada sisi bertentangan.
Segitiga pembahagi dua mempunyai ciri unik tertentu. Sebagai contoh, ia membahagikan sisi bertentangan kepada segmen yang berkadar dengan dua sisi yang lain.
Bagi segi tiga tegak, pembahagi dua sudut akutnya, apabila bersilang, membentuk sudut tepat 45 darjah.
Di samping itu, seseorang tidak sepatutnya melupakan sifat pembahagi dua segi tiga seperti itu, seperti fakta bahawa mereka bersilang dengan ketat di tengah bulatan yang tertulis dalam segi tiga.
Nah, perkara yang paling menarik ialah untuk segi tiga sama kaki, garis yang dilukis ke pangkalnya ialah pembahagi dua, median dan ketinggian. Sehubungan itu, peraturan songsang ialah jika median, ketinggian dan pembahagi dua, yang dilukis daripada satu bucu segitiga, bertepatan, maka kita mempunyai segi tiga sama kaki.
Apakah sifat yang boleh anda ingat tentang segi tiga tegak dan sama kaki?
Pembinaan pembahagi dua bahagian
Pembahagi dua sudut dibina menggunakan protraktor menggunakan ukuran darjahnya. Untuk mula membina pembahagi dua, kami mengambil dan membahagikan ukuran darjah kepada separuh dan, meletakkan ukuran darjah separuh sudut pada satu sisi bucu, dan kemudian separuh kedua menjadi pembahagi bagi sudut yang diberikan.
Kami mengambil sudut tertentu, yang mempunyai ukuran darjah sembilan puluh darjah, dan menggunakan pembahagi dua kami memperoleh dua sudut terbina sebanyak 45 darjah.
Sudut lurus menggunakan pembahagi dua sudut untuk membahagikan sudut kepada 2 sudut tegak. Apabila membina pembahagi dua, sudut tumpul membahagikannya kepada 2 sudut lancip.
Daripada definisi pembahagi dua, kita tahu bahawa ia adalah sinar yang membelah satu sudut. Untuk membina pembahagi dua, ini bermakna anda perlu membahagikan sudut kepada separuh.
Algoritma untuk membina pembahagi dua sudut
1. Mula-mula, lukis bulatan dengan pusat di bucu sudut supaya ia bersilang sisinya.
3. Lukis 2 bulatan dengan jejari supaya ia mempunyai titik persilangan di dalam sudut ini.
4. Sekarang kita melukis sinar dari bucu sudut sedemikian rupa sehingga ia melalui titik persilangan bulatan ini. Sinar ini ialah pembahagi bagi sudut ini.
Sekarang mari kita cuba buktikan bahawa sinar yang terhasil ialah pembahagi dua sudut ini. Mari kita ambil contoh dua segi tiga yang mempunyai satu sisi yang sama, iaitu segmen dari puncak ke titik persilangan bulatan, yang kita perolehi dalam 3p.
Pasangan kedua sisi sepadan ialah segmen yang diperoleh dalam langkah 1 yang pergi dari puncak sudut ke titik persilangan bulatan dengan sisinya.
Pasangan ketiga sisi sepadan masing-masing ialah segmen yang diperolehi dalam 1p. dari titik persilangan bulatan, ke titik persilangan bulatan, tetapi diperoleh dalam 3p.
Oleh itu, 2 pasang segmen ini adalah sama, kerana ia adalah jejari satu atau dua bulatan, tetapi dengan jejari yang sama. Ia berikutan bahawa segi tiga adalah sama pada ketiga-tiga sisi. Adalah diketahui bahawa apabila segi tiga sama, maka sudutnya adalah sama. Oleh itu, pada bucu, dua sudut baru dan sudut yang diberi mengikut keadaan masalah adalah sama, oleh itu, sinar yang dibina akan menjadi pembahagi dua.
Maklumat menarik tentang pembahagi dua
Tahukah anda terdapat satu ilmu yang dinamakan mnemonik, yang diterjemahkan dari bahasa Greek bermaksud seni menghafal. Dan untuk lebih mengingati definisi pembahagi dua, terdapat peraturan mnemonik mengikut mana pembahagi dua ialah tikus yang berlari di sekeliling sudut dan membahagikan sudut itu kepada dua.
Adakah anda tahu bahawa Archimedes juga menggunakan teorem pembahagi dua? Dia menggunakannya untuk membahagi tapak kepada bahagian yang berkadar dengan sisi untuk menentukan panjang separuh sisi dua belas-gon, 24-gon, dsb.
Legenda pembahagi dua sudut
Kisah Dua Sudut dan Sebelah Dua, atau Pembentukan Sudut Bersebelahan.
Suatu hari dua penjuru bertemu di dataran yang sama. Sudut tertua adalah kira-kira 130 darjah, dan yang termuda hanya lima puluh. Oleh kerana ini adalah kisah dongeng, mari kita gantikan tahun dengan ijazah. Jadi mereka bertemu dan mula bertengkar siapa di antara mereka yang lebih baik dan lebih penting. Orang tua itu percaya bahawa keutamaan berada di pihaknya, kerana dia lebih tua, lebih bijak dan telah melihat lebih banyak dalam hidupnya dalam 130°. Yang lebih muda, sebaliknya, menegaskan bahawa dia lebih muda, oleh itu lebih kuat dan lebih berdaya tahan. Dan supaya perselisihan itu tidak berpanjangan, mereka memutuskan untuk mengadakan kejohanan. Bisector mengetahui tentang pertandingan ini dan memutuskan untuk mengalahkan musuhnya pada masa yang sama dan memimpin Geometri.
Dan kini masa yang ditunggu-tunggu telah tiba untuk kejohanan, di mana terdapat 2 Penjuru. Pada ketika pertempuran sedang berlangsung, Bisector muncul dan memutuskan untuk mengambil bahagian. Tetapi kemudian Angle yang lebih tua mula-mula memasuki pertempuran dengan Bisector, kemudian yang lebih muda menyertainya, dan kemenangan masih berakhir di pihak Bisector.
Teorem. Pembahagi dua sudut pedalaman segitiga membahagikan sisi bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan.
Bukti. Pertimbangkan segi tiga ABC (Rajah 259) dan pembahagi dua sudutnya B. Lukis melalui bucu C satu garis lurus CM, selari dengan pembahagi dua BC, sehingga ia bersilang pada titik M dengan kesinambungan sisi AB. Oleh kerana BK ialah pembahagi dua sudut ABC, maka . Selanjutnya, sebagai sudut sepadan untuk garis selari, dan sebagai sudut bersilang untuk garis selari. Oleh itu dan oleh itu - isosceles, dari mana . Dengan teorem tentang garis selari yang bersilang dengan sisi sudut, kita ada dan dalam pandangan kita dapat , itulah yang perlu kita buktikan.
Pembelah dua bagi sudut luar B segi tiga ABC (Rajah 260) mempunyai sifat yang serupa: segmen AL dan CL dari bucu A dan C ke titik L persilangan pembahagi dua dengan kesinambungan sisi AC adalah berkadar dengan sisi segitiga:
Sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya: dalam Rajah. 260 garis lurus tambahan SM dilukis selari dengan pembahagi dua BL. Pembaca sendiri akan yakin tentang kesamaan sudut VMS dan VSM, dan oleh itu sisi VM dan BC segitiga VMS, selepas itu perkadaran yang diperlukan akan diperolehi dengan serta-merta.
Kita boleh mengatakan bahawa pembahagi dua sudut luaran membahagikan sisi bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan; anda hanya perlu bersetuju untuk membenarkan "pembahagian luaran" segmen.
Titik L, terletak di luar segmen AC (pada kesinambungannya), membahagikannya secara luaran dalam hubungan jika Oleh itu, pembahagi dua sudut segitiga (dalaman dan luaran) membahagikan sisi bertentangan (dalaman dan luaran) kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan.
Masalah 1. Sisi trapezoid adalah sama dengan 12 dan 15, tapaknya adalah sama dengan 24 dan 16. Cari sisi segitiga yang dibentuk oleh tapak besar trapezoid dan sisi lanjutannya.
Penyelesaian. Dalam tatatanda Rajah. 261 kita mempunyai perkadaran untuk segmen yang berfungsi sebagai kesinambungan sisi sisi, dari mana kita dapati dengan mudah Dengan cara yang sama, kita menentukan sisi kedua segitiga itu bertepatan dengan tapak besar: .
Masalah 2. Tapak trapezium ialah 6 dan 15. Berapakah panjang ruas yang selari dengan tapak dan membahagi sisi dalam nisbah 1:2, mengira dari bucu tapak kecil itu?
Penyelesaian. Mari lihat Rajah. 262, menggambarkan trapezoid. Melalui bucu C tapak kecil kita lukis garis selari dengan sisi AB, memotong segi empat selari dari trapezoid. Sejak , maka dari sini kita dapati . Oleh itu, keseluruhan segmen KL yang tidak diketahui adalah sama dengan Perhatikan bahawa untuk menyelesaikan masalah ini kita tidak perlu mengetahui sisi sisi trapezoid.
Masalah 3. Pembahagi dua sudut dalam B segi tiga ABC memotong sisi AC kepada segmen pada jarak berapakah dari bucu A dan C pembahagi dua sudut luar B akan memotong sambungan AC?
Penyelesaian. Setiap pembahagi dua sudut B membahagikan AC dalam nisbah yang sama, tetapi satu secara dalaman dan satu lagi secara luaran. Mari kita nyatakan dengan L titik persilangan sambungan AC dan pembahagi dua sudut luar B. Oleh kerana AK Mari kita nyatakan jarak yang tidak diketahui AL pada masa itu dan kita akan mempunyai bahagian Penyelesaian yang memberikan kita jarak yang diperlukan
Lengkapkan lukisan itu sendiri.
Senaman
1. Trapezoid dengan tapak 8 dan 18 dibahagikan dengan garis lurus selari dengan tapak kepada enam jalur yang sama lebar. Cari panjang ruas lurus yang membahagikan trapezoid kepada jalur.
2. Perimeter segi tiga itu ialah 32. Pembahagi dua sudut A membahagi sisi BC kepada bahagian yang sama dengan 5 dan 3. Cari panjang sisi segi tiga itu.
3. Tapak segi tiga sama kaki ialah a, sisi ialah b. Cari panjang ruas yang menghubungkan titik persilangan pembahagi dua bucu tapak dengan sisi.
Apakah pembahagi dua sudut bagi segitiga? Untuk soalan ini, tikus yang terkenal berlari di sudut dan membahagikan sudut menjadi dua keluar dari mulut sesetengah orang." Jika jawapannya sepatutnya "lucu", maka mungkin ia betul. Tetapi dari sudut saintifik pandangan, jawapan kepada soalan ini sepatutnya: sesuatu seperti ini: bermula di bahagian atas sudut dan membahagikan yang terakhir kepada dua bahagian yang sama." Dalam geometri, angka ini juga dianggap sebagai segmen pembahagi dua sehingga ia bersilang dengan sisi bertentangan segitiga. Ini bukan satu tanggapan yang salah. Apakah lagi yang diketahui tentang pembahagi dua sudut, selain definisinya?
Seperti mana-mana lokus titik geometri, ia mempunyai ciri tersendiri. Yang pertama adalah, sebaliknya, bukan tanda, tetapi teorem, yang boleh dinyatakan secara ringkas seperti berikut: "Jika sisi yang bertentangan dengannya dibahagikan kepada dua bahagian oleh pembahagi dua, maka nisbahnya akan sepadan dengan nisbah sisi segitiga besar."
Sifat kedua yang dimilikinya: titik persilangan pembahagi dua semua sudut dipanggil insenter.
Tanda ketiga: pembahagi dua sudut dalaman dan dua sudut luaran segitiga bersilang di tengah salah satu daripada tiga bulatan bertulis.
Sifat keempat pembahagi dua sudut segitiga ialah jika setiap daripadanya adalah sama, maka yang kedua ialah sama kaki.
Tanda kelima juga melibatkan segi tiga sama kaki dan merupakan garis panduan utama untuk pengecamannya dalam lukisan oleh pembahagi dua, iaitu: dalam segi tiga sama kaki ia berfungsi sebagai median dan ketinggian secara serentak.
Pembahagi dua sudut boleh dibina menggunakan kompas dan pembaris:
Peraturan keenam menyatakan bahawa adalah mustahil untuk membina segitiga menggunakan yang kedua hanya dengan pembahagi dua yang sedia ada, sama seperti mustahil untuk membina dengan cara ini penggandaan kubus, kuasa dua bulatan dan triseksi sudut. Tegasnya, ini adalah semua sifat pembahagi dua sudut bagi segitiga.
Jika anda membaca perenggan sebelumnya dengan teliti, maka mungkin anda berminat dengan satu frasa. "Apakah trisection bagi sudut?" - anda mungkin akan bertanya. Trisector adalah sedikit serupa dengan pembahagi dua, tetapi jika anda melukis yang terakhir, sudut akan dibahagikan kepada dua bahagian yang sama, dan apabila membina trisection, ia akan dibahagikan kepada tiga. Sememangnya, pembahagi dua sudut lebih mudah diingat, kerana bahagian tiga tidak diajar di sekolah. Tetapi demi kesempurnaan, saya akan memberitahu anda tentangnya juga.
Trisektor, seperti yang telah saya katakan, tidak boleh dibina hanya dengan kompas dan pembaris, tetapi ia boleh dibuat menggunakan peraturan Fujita dan beberapa lengkung: siput Pascal, kuadratriks, konkoid Nicomedes, bahagian kon,
Masalah pada keratan tiga sudut diselesaikan dengan mudah menggunakan nevsis.
Dalam geometri terdapat teorem tentang trisektor sudut. Ia dipanggil teorem Morley. Dia menyatakan bahawa titik persilangan trisektor setiap sudut yang terletak di tengah akan menjadi bucu
Segi tiga hitam kecil di dalam yang besar akan sentiasa sama sisi. Teorem ini ditemui oleh saintis British Frank Morley pada tahun 1904.
Berikut ialah perkara yang boleh anda pelajari tentang membahagi sudut: Trisektor dan pembahagi dua sudut sentiasa memerlukan penjelasan terperinci. Tetapi di sini diberikan banyak definisi yang belum saya dedahkan: siput Pascal, conchoid Nicomedes, dll. Yakinlah, banyak lagi yang perlu ditulis tentang mereka.
Di antara banyak mata pelajaran sekolah menengah terdapat satu seperti "geometri". Secara tradisinya dipercayai bahawa pengasas sains sistematik ini adalah orang Yunani. Hari ini, geometri Yunani dipanggil asas, kerana dialah yang memulakan kajian bentuk paling mudah: satah, garis lurus, dan segi tiga. Kami akan menumpukan perhatian kami pada yang terakhir, atau lebih tepat pada pembahagi dua angka ini. Bagi mereka yang sudah terlupa, pembahagi dua segi tiga ialah segmen pembahagi dua salah satu sudut segitiga, yang membahagikannya kepada separuh dan menghubungkan puncak dengan titik yang terletak di sebelah bertentangan.
Pembahagi dua segi tiga mempunyai beberapa sifat yang perlu anda ketahui semasa menyelesaikan masalah tertentu:
- Pembahagi dua sudut ialah lokus titik yang terletak pada jarak yang sama dari sisi yang bersebelahan dengan sudut.
- Pembahagi dua dalam segi tiga membahagikan sisi yang bertentangan dengan sudut kepada segmen yang berkadar dengan sisi yang bersebelahan. Sebagai contoh, diberi segi tiga MKB, di mana pembahagi dua muncul dari sudut K, menghubungkan puncak sudut ini dengan titik A di sebelah bertentangan MB. Setelah menganalisis sifat ini dan segi tiga kami, kami mempunyai MA/AB=MK/KB.
- Titik di mana pembahagi dua bagi ketiga-tiga sudut segitiga bersilang ialah pusat bulatan yang tertera dalam segi tiga yang sama.
- Tapak pembahagi dua sudut luar dan dua sudut dalam berada pada garis lurus yang sama, dengan syarat pembahagi dua sudut luar itu tidak selari dengan sisi bertentangan segi tiga.
- Jika dua pembahagi dua daripada satu maka ini
Perlu diingatkan bahawa jika tiga pembahagi dua diberikan, maka membina segitiga daripada mereka, walaupun dengan bantuan kompas, adalah mustahil.
Selalunya, apabila menyelesaikan masalah, pembahagi bagi segi tiga tidak diketahui, tetapi perlu untuk menentukan panjangnya. Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mengetahui sudut yang dibelah dua oleh pembahagi dua dan sisi yang bersebelahan dengan sudut ini. Dalam kes ini, panjang yang diperlukan ditakrifkan sebagai nisbah dua kali ganda hasil sisi yang bersebelahan dengan sudut dan kosinus sudut dibahagikan kepada separuh kepada jumlah sisi yang bersebelahan dengan sudut. Sebagai contoh, diberi segi tiga yang sama MKB. Pembahagi dua timbul dari sudut K dan memotong sisi bertentangan MV pada titik A. Sudut dari mana pembahagi dua itu timbul dilambangkan dengan y. Sekarang mari kita tulis semua yang dikatakan dalam perkataan dalam bentuk formula: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Jika nilai sudut dari mana pembahagi dua segi tiga muncul tidak diketahui, tetapi semua sisinya diketahui, maka untuk mengira panjang pembahagi dua kita akan menggunakan pembolehubah tambahan, yang akan kita panggil separuh perimeter dan menandakan dengan huruf P: P=1/2*(MK+KB+MB). Selepas ini, kami akan membuat beberapa perubahan pada formula sebelumnya yang mana panjang pembahagi dua ditentukan, iaitu, dalam pengangka pecahan kami meletakkan dua kali ganda hasil darab panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut dengan separuh perimeter. dan hasil bagi, di mana panjang sisi ketiga ditolak daripada separuh perimeter. Kami akan membiarkan penyebut tidak berubah. Dalam bentuk formula, ia akan kelihatan seperti ini: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Pembelah dua bagi segi tiga sama kaki, bersama-sama dengan sifat am, juga mempunyai beberapa cirinya sendiri. Mari kita ingat apakah jenis segitiga ini. Segitiga sedemikian mempunyai dua sisi yang sama dan sudut yang sama bersebelahan dengan tapak. Ia berikutan bahawa pembahagi dua yang jatuh pada sisi sisi segi tiga sama kaki adalah sama antara satu sama lain. Di samping itu, pembahagi dua yang diturunkan ke pangkalan ialah ketinggian dan median.