Teorem had pusat statistik. Teorem had pusat dalam MS EXCEL

Teorem had pusat (CLT) ialah kumpulan kedua teorem had yang mewujudkan hubungan antara hukum taburan jumlah pembolehubah rawak dan bentuk muktamadnya - undang-undang taburan normal.

Sehingga kini, kita sering bercakap tentang kestabilan ciri purata sebilangan besar ujian, atau lebih tepat lagi, tentang kestabilan jumlah bentuk

Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa nilai
rawak, yang bermaksud ia mempunyai beberapa undang-undang pengedaran. Ternyata fakta yang luar biasa ini membentuk kandungannya

kumpulan teorem lain, disatukan di bawah nama am had pusatteorem, bahawa di bawah keadaan yang agak umum undang-undang pengedaran hampir dengan undang-undang biasa.

Sejak nilai berbeza dengan jumlahnya

hanya faktor tetap
maka, secara umum, kandungan CLT boleh dirumuskan seperti berikut.

Taburan hasil tambah sejumlah besar pembolehubah rawak bebas dengan sangat

Keadaan am adalah hampir dengan undang-undang taburan normal.

Adalah diketahui bahawa pembolehubah rawak teragih biasa digunakan secara meluas dalam amalan (bukan sahaja dalam teori kebarangkalian, tetapi juga dalam banyak aplikasinya). Apakah yang menjelaskan fenomena ini? Jawapan kepada "fenomena" sedemikian mula-mula diberikan oleh ahli matematik Rusia yang cemerlang A.M. Lyapunov pada tahun 1901: "Teorem had pusat Lyapunov." Jawapan Lyapunov terletak pada keadaannya di mana CLT memegang (lihat di bawah).

Untuk menyediakan rumusan CLT yang tepat, mari kita tanya diri kita dua soalan:

1. Apakah maksud tepat pernyataan bahawa “hukum pengagihan jumlah "dekat" dengan undang-undang biasa?

2. Dalam keadaan apakah kedekatan ini sah?

Untuk menjawab soalan ini, pertimbangkan urutan tak terhingga pembolehubah rawak:
Mari kita karang "jumlah separa" bagi jujukan r.v kita.

(23)

Daripada setiap pembolehubah rawak mari kita beralih kepada pembolehubah rawak "dinormalkan".

(24)

Kami telah menetapkan (lihat T.8., perenggan 3, persamaan (19)) bahawa
.

Jawapan kepada soalan pertama kini boleh dirumuskan dari segi kesamaan had

(25)
, (
,

bermakna bahawa hukum pengagihan r.v. dengan pertumbuhan mendekati hukum biasa dengan
. mempunyai taburan kira-kira normal, ia berikutan bahawa nilai kira-kira taburan normal,

(26)

Formula untuk menentukan kebarangkalian bahawa hasil tambah beberapa r.v. akan berada dalam had yang ditetapkan. CPT sering digunakan untuk

Berkenaan syarat-syarat yang perlu dikenakan ke atas kuantiti
Pertimbangan berikut boleh dibuat.
Mari kita pertimbangkan perbezaannya Kami mendapat sisihan r.v.
daripada jangkaan matematiknya. Maksud umum syarat yang dikenakan ke atas kuantiti
ialah penyimpangan individu
mestilah seragam kecil berbanding jumlah sisihan

Perumusan tepat syarat-syarat ini di mana perhubungan had adalah sah diberikan oleh M.A. Lyapunov pada tahun 1901.
Ia adalah seperti berikut. Biarkan untuk setiap kuantiti
- « nombor adalah terhingga (perhatikan bahawa).

terdapat serakan r.v.

momen pusat urutan ketiga"
Jika di maka kita akan mengatakan bahawa urutan

memuaskan
Keadaan Lyapunov.

Khususnya, CLT untuk kes apabila dalam jumlah pembolehubah rawak setiap istilah mempunyai taburan yang sama, i.e. segala-galanya dan

maka keadaan Lyapunov berpuas hati

Iaitu, dalam amalan kes CLT ini paling kerap digunakan. Kerana dalam statistik matematik mana-mana sampel rawak r.v. mempunyai taburan yang sama kerana "sampel" diambil daripada populasi yang sama.Mari kita rumuskan kes ini sebagai kenyataan berasingan CLT.
Teorem 10.7 (CPT).Biarkan pembolehubah rawak
bebas, sama rata

diedarkan, mempunyai jangkaan matematik yang terhad
dan varians

(27)

Kemudian fungsi taburan bagi jumlah berpusat dan ternormal bagi r.v ini. di
cenderung kepada fungsi taburan pembolehubah rawak normal piawai: Dalam kes khusus ini, adalah baik untuk memahami bagaimana "kekecilan" istilah yang seragam ditunjukkan, dimanakah nilainya
mempunyai perintah
, dan nilai

pesanan

, dengan itu nisbah kuantiti pertama kepada kuantiti kedua cenderung kepada 0.Sekarang kita dapat merumuskan teorem had pusat dalam bentuk A.M. Lyapunova.
Teorem 10.8. (Lyapunov).

(28)
,

Jika urutan
pembolehubah rawak bebas memenuhi syarat Lyapunov, maka hubungan had adalah sah untuk mana-mana
.

Dan , manakala (

Perlu diingatkan bahawa untuk membuktikan CPT A.M. Lyapunov membangunkan kaedah khas berdasarkan teori fungsi ciri yang dipanggil. Kaedah ini ternyata sangat berguna dalam cabang matematik lain (lihat bukti CLT, sebagai contoh, dalam buku Borodin [...]). Dalam buku ini, kami akan memberikan maklumat ringkas tentang penjanaan fungsi dan beberapa aplikasi untuk mengira ciri berangka pembolehubah rawak.

Maklumat ringkas tentang ralat pengukuran. Adalah diketahui bahawa apabila mengulangi pengukuran objek yang sama, dilakukan dengan alat pengukur yang sama dengan penjagaan yang sama (di bawah keadaan yang sama), keputusan yang sama tidak selalu dicapai. Penyebaran hasil pengukuran disebabkan oleh fakta bahawa proses pengukuran dipengaruhi oleh banyak faktor yang tidak mungkin dan tidak wajar untuk diambil kira. Dalam keadaan ini, ralat yang timbul semasa mengukur kuantiti kepentingan kepada kita selalunya boleh dianggap sebagai jumlah sejumlah besar istilah bebas, setiap satunya hanya memberikan sumbangan kecil kepada pembentukan keseluruhan jumlah. Tetapi kes sedemikian membawa kita dengan tepat kepada syarat untuk kebolehgunaan teorem Lyapunov, dan kita boleh menjangkakan bahawa taburan ralat kuantiti yang diukur berbeza sedikit daripada taburan normal.

Secara umumnya, ralat adalah fungsi bagi sejumlah besar argumen rawak, setiap satunya berbeza sedikit daripada nilai yang dijangkakan. Dengan linearize fungsi ini, iaitu, menggantikannya dengan yang linear, kita sekali lagi datang ke kes sebelumnya.

Pengalaman terkumpul dalam pemprosesan statistik keputusan pengukuran sememangnya mengesahkan fakta ini dalam kebanyakan kes praktikal.

Penaakulan yang sama menerangkan kemunculan taburan normal dalam sisihan parameter yang menentukan produk siap yang dikilang (produk) daripada nilai standard dalam pengeluaran besar-besaran.

Pertimbangkan contoh berikut. Contoh 5. Pembolehubah rawak bebas
diedarkan secara seragam pada segmen. Cari hukum taburan r.v.

, serta kebarangkalian bahawa Penyelesaian. Syarat-syarat CPT dipenuhi, oleh itu r.v.

mempunyai kira-kira kepadatan taburan

Mengikut formula yang diketahui untuk m.o. dan varians dalam kes taburan seragam kita dapati: Kemudian

Banyak masalah TV berkaitan dengan kajian jumlah pembolehubah rawak bebas, yang, dalam keadaan tertentu, mempunyai taburan hampir normal. Keadaan ini dinyatakan oleh teorem had pusat (CLT).

Biarkan ξ 1, ξ 2, …, ξ n, … menjadi urutan pembolehubah rawak bebas. Mari kita nyatakan

n η = ξ 1 + ξ 2 +…+ ξ n. Mereka mengatakan bahawa CTP boleh digunakan untuk urutan ξ 1, ξ 2, ..., ξ n, ...

jika sebagai n → ∞ hukum taburan η n cenderung kepada normal:

Intipati CLT: dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan pembolehubah rawak, hukum taburan jumlahnya cenderung kepada normal.

Teorem had pusat Lyapunov

Hukum nombor besar tidak mengkaji bentuk hukum had taburan jumlah pembolehubah rawak. Soalan ini dipertimbangkan dalam kumpulan teorem yang dipanggil teorem had pusat. Mereka berpendapat bahawa hukum taburan bagi jumlah pembolehubah rawak, setiap satunya boleh mempunyai taburan yang berbeza, mendekati normal apabila bilangan sebutan cukup besar. Ini menerangkan kepentingan undang-undang biasa untuk aplikasi praktikal.

Fungsi ciri.

Untuk membuktikan teorem had pusat, kaedah fungsi ciri digunakan.

Definisi 14.1.Fungsi ciri pembolehubah rawak X dipanggil fungsi

g(t) = M (e itX) (14.1)

Oleh itu, g (t) mewakili jangkaan matematik beberapa pembolehubah rawak kompleks U = e itX, dikaitkan dengan nilai X. Khususnya, jika X ialah pembolehubah rawak diskret yang ditentukan oleh siri taburan, maka

. (14.2)

Untuk pembolehubah rawak berterusan dengan ketumpatan taburan f(x)

(14.3)

Contoh 1. Biar X– bilangan 6 mata yang diperolehi dengan satu lontaran dadu. Kemudian mengikut formula (14.2) g(t) =

Contoh 2. Cari fungsi ciri bagi pembolehubah rawak selanjar ternormal yang diedarkan mengikut hukum normal . Mengikut formula (14.3) (kami menggunakan formula dan apa i² = -1).

Sifat fungsi ciri.

1. Fungsi f(x) boleh didapati menggunakan fungsi yang diketahui g(t) mengikut formula

(14.4)

(transformasi (14.3) dipanggil Transformasi Fourier, dan transformasi (14.4) – transformasi Fourier songsang).

2. Jika pembolehubah rawak X Dan Y berkaitan dengan hubungan Y = aX, maka fungsi ciri mereka dikaitkan dengan hubungan

g y (t) = g x (di). (14.5)

3. Fungsi ciri jumlah pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab fungsi ciri istilah: untuk

Teorem 14.1 (teorem had pusat untuk istilah taburan yang sama). Jika X 1 , X 2 ,…, X hlm,… - pembolehubah rawak bebas dengan hukum taburan yang sama, jangkaan matematik T dan varians σ 2, kemudian dengan peningkatan tanpa had n hukum pengagihan amaun itu menghampiri normal.

Bukti.

Mari kita buktikan teorem bagi pembolehubah rawak selanjar X 1 , X 2 ,…, X hlm(bukti untuk kuantiti diskret adalah serupa). Mengikut syarat teorem, fungsi ciri istilah adalah sama: Kemudian, dengan sifat 3, fungsi ciri jumlah Yn akan Kembangkan fungsi g x(t) dalam siri Maclaurin:

, di mana di .

Andainya T= 0 (iaitu, pindahkan asal ke titik T), Itu .

(kerana T= 0). Menggantikan keputusan yang diperolehi ke dalam formula Maclaurin, kami mendapati bahawa

Pertimbangkan pembolehubah rawak baharu yang berbeza daripada Yn dalam bahawa penyebarannya untuk mana-mana n sama dengan 0. Sejak Yn Dan Zn dikaitkan dengan hubungan linear, ia sudah cukup untuk membuktikannya Zn diedarkan mengikut undang-undang biasa, atau, yang merupakan perkara yang sama, bahawa fungsi cirinya menghampiri fungsi ciri undang-undang biasa (lihat contoh 2). Dengan sifat fungsi ciri

Mari kita ambil logaritma ungkapan yang terhasil:

di mana

Mari letakkannya berturut-turut di n→ ∞, menghadkan diri kita kepada dua sebutan pengembangan, kemudian ln(1 - k) ≈ - k.

Di mana had terakhir ialah 0, sejak pada . Oleh itu, , iaitu - fungsi ciri taburan normal. Jadi, dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan istilah, fungsi ciri kuantiti Zn menghampiri fungsi ciri undang-undang biasa tanpa had; oleh itu, undang-undang pengagihan Zn(Dan Yn) menghampiri normal tanpa had. Teorem telah terbukti.

A.M. Lyapunov membuktikan teorem had pusat untuk keadaan bentuk yang lebih umum:

Teorem 14.2 (teorem Lyapunov). Jika pembolehubah rawak X ialah jumlah bilangan pembolehubah rawak saling bebas yang sangat besar yang syarat berikut dipenuhi:

di mana b k– magnitud magnitud pusat mutlak ketiga X k, A Dk adalah variansnya, maka X mempunyai taburan yang hampir dengan normal (keadaan Lyapunov bermakna pengaruh setiap istilah pada jumlah itu boleh diabaikan).

Dalam amalan, adalah mungkin untuk menggunakan teorem had pusat dengan bilangan sebutan yang cukup kecil, kerana pengiraan kebarangkalian memerlukan ketepatan yang agak rendah. Pengalaman menunjukkan bahawa untuk jumlah sepuluh atau kurang istilah, hukum pengedarannya boleh digantikan dengan yang biasa.

Undang-undang nombor besar yang dibincangkan di atas menetapkan fakta bahawa purata sejumlah besar pembolehubah rawak menghampiri pemalar tertentu Tetapi ini tidak mengehadkan corak yang timbul akibat daripada jumlah tindakan pembolehubah rawak. Ternyata di bawah beberapa keadaan yang sangat umum tindakan gabungan sejumlah besar pembolehubah rawak membawa kepada y tertentu, iaitu hukum taburan y normal.

Teorem had pusat ialah sekumpulan teorem yang dikhaskan untuk menetapkan keadaan di mana hukum taburan normal timbul. Di antara teorem ini, tempat yang paling penting adalah kepunyaan teorem Lyapunov.

Teorem Lyapunov. Jika X ( , X ъ ..., , setiap satunya mempunyai jangkaan matematik M(X r) = A,

serakan 0(Хд=a 2, momen pusat mutlak urutan ketiga Dan

maka hukum pengagihan jumlah tersebut apabila n -> oo tidak terhad

tetapi mendekati normal dengan jangkaan dan varians matematik

Kami menerima teorem tanpa bukti.

Pengiraan tanpa had bagi undang-undang pengagihan jumlah

kepada undang-undang biasa untuk n -> oo mengikut sifat-sifat hukum biasa bermaksud bahawa

dengan Ф(r) ialah fungsi Laplace (2.11).

Maksud syarat (6.20) ialah jumlahnya tidak sepatutnya

istilah yang pengaruhnya terhadap penyebaran U p sangat besar berbanding dengan pengaruh semua yang lain, dan tidak sepatutnya terdapat sejumlah besar istilah rawak, yang pengaruhnya sangat kecil berbanding dengan jumlah pengaruh yang lain. Oleh itu, berat khusus bagi setiap istilah individu harus cenderung kepada sifar apabila bilangan istilah bertambah.

Jadi, sebagai contoh, penggunaan elektrik untuk keperluan isi rumah sebulan di setiap pangsapuri bangunan pangsapuri boleh diwakili sebagai n pelbagai pembolehubah rawak. Jika penggunaan elektrik di setiap apartmen tidak menonjol secara mendadak daripada yang lain dari segi nilainya, maka berdasarkan teorem Lyapunov kita boleh mengandaikan bahawa penggunaan elektrik seluruh rumah, i.e. jumlah n pembolehubah rawak bebas akan menjadi pembolehubah rawak yang mempunyai hukum taburan normal. Jika, sebagai contoh, pusat komputer terletak di salah satu premis rumah, tahap penggunaan elektrik adalah jauh lebih tinggi daripada di setiap apartmen untuk keperluan domestik, maka kesimpulan tentang pengagihan penggunaan elektrik yang lebih kurang normal bagi seluruh rumah. akan menjadi tidak betul, kerana syarat (6.20) dilanggar kerana penggunaan elektrik pusat komputer akan memainkan peranan utama dalam pembentukan keseluruhan jumlah penggunaan.

Contoh lain. Dengan operasi mesin yang stabil dan berfungsi dengan baik, keseragaman bahan yang sedang diproses, dsb. variasi dalam kualiti produk mengambil bentuk undang-undang pengedaran normal kerana fakta bahawa ralat pengeluaran adalah hasil daripada jumlah tindakan sejumlah besar pembolehubah rawak: ralat mesin, alat, pekerja, dll.

Akibat. Jika X ( , X 2 , ..., X n - pembolehubah rawak bebas, yang mempunyai jangkaan matematik yang sama M(X () = A, serakan 0(X,) = a 2 dan momen pusat mutlak ketiga

perintah kemudian hukum pengagihan jumlah

di n -> dengan selama-lamanya menghampiri normal

undang-undang.

Buktinya bermuara kepada keadaan pemeriksaan (6.20):

oleh itu, persamaan (6.21) juga berlaku. ?

khususnya, jika semua pembolehubah rawak X) diagihkan sama rata, maka hukum pengagihan jumlah mereka selama-lamanya menghampiri hukum biasa sebagai n -> oo.

Mari kita jelaskan pernyataan ini dengan contoh menjumlahkan pembolehubah rawak bebas yang mempunyai taburan seragam pada selang (0, 1). Keluk taburan satu pembolehubah rawak tersebut ditunjukkan dalam Rajah. 6.2, A. Dalam Rajah. 6.2, b menunjukkan ketumpatan kebarangkalian jumlah dua pembolehubah rawak tersebut (lihat contoh 5.9), dan dalam Rajah. 6.2, V - ketumpatan kebarangkalian jumlah tiga pembolehubah rawak tersebut (grafnya terdiri daripada tiga segmen parabola pada selang (0; 1), (1; 2) dan (2; 3) dan, bagaimanapun, sudah menyerupai lengkung biasa) .

Jika anda menjumlahkan enam pembolehubah rawak sedemikian, anda mendapat pembolehubah rawak dengan ketumpatan kebarangkalian yang boleh dikatakan tidak berbeza daripada pembolehubah biasa.

Sekarang kita mempunyai peluang untuk membuktikan teorem tempatan dan integral bagi Moivre - Laplace(lihat perenggan 2.3).

Pertimbangkan pembolehubah rawak - bilangan kejadian peristiwa dalam n percubaan bebas, di mana setiap satu ia boleh muncul dengan kebarangkalian yang sama p, i.e. X = T - pembolehubah rawak yang mempunyai hukum taburan binomial yang jangkaan matematiknya M(X) = pr dan varians O(X) = pr.

Pembolehubah rawak 7, sama seperti pembolehubah rawak X, secara amnya, diskret, tetapi untuk bilangan yang besar n ujian, nilainya terletak pada paksi absis begitu rapat sehingga ia boleh dianggap sebagai berterusan dengan ketumpatan kebarangkalian ср(х).

Mari cari ciri berangka pembolehubah rawak 7 menggunakan sifat jangkaan dan serakan matematik:

Disebabkan oleh fakta bahawa pembolehubah rawak X ialah jumlah pembolehubah rawak alternatif bebas (lihat perenggan 4.1), pembolehubah rawak 2 mewakili juga jumlah pembolehubah rawak bebas, teragih sama dan, oleh itu, berdasarkan teorem had pusat untuk nombor yang besar n mempunyai taburan yang hampir dengan hukum biasa dengan parameter a = 0, dengan 2 = 1. Menggunakan harta (4.32) undang-undang biasa, dengan mengambil kira kesamaan (4.33), kita memperoleh

Percaya , mengambil kira apa yang kita dapat,

bahawa ketaksamaan berganda dalam kurungan adalah bersamaan dengan ketaksamaan aHasilnya, daripada formula (6.22) kita perolehi formula integral Moivre - Laplace (2.10):

Kebarangkalian R t hlm bahawa peristiwa itu A akan berlaku T sekali setiap n ujian bebas, boleh ditulis lebih kurang dalam bentuk

Semakin kurang Pada, lebih tepat anggaran kesaksamaan. Minimum (integer) Pada - 1. Oleh itu, dengan mengambil kira formula (6.23) dan (6.22), kita boleh menulis:

di mana

Untuk Dg kecil kami ada

di mana f(g) ialah ketumpatan pembolehubah rawak taburan normal dengan parameter a = 0, dan 2 = 1, i.e.

Andaikan daripada formula

(6.25) dengan mengambil kira kesamaan (6.24) yang kita perolehi formula Moivre - Laplace tempatan (2.7):

Komen. Beberapa berhati-hati mesti dilakukan apabila menggunakan teorem had pusat dalam penyelidikan statistik. Jadi, jika jumlah di n -> oo sentiasa mempunyai undang-undang biasa

pengagihan, maka kadar penumpuan kepadanya sangat bergantung pada jenis pengagihan istilahnya. Jadi, sebagai contoh, seperti yang dinyatakan di atas, apabila menjumlahkan pembolehubah rawak teragih seragam, sudah dengan 6-10 sebutan seseorang boleh mencapai kedekatan yang mencukupi dengan undang-undang biasa, manakala untuk mencapai kedekatan yang sama apabila menjumlahkan x 2 -sebutan rawak teragih, lebih daripada 100 terma akan diperlukan.

Berdasarkan teorem had pusat, boleh dikatakan bahawa yang dipertimbangkan dalam Bab. 4 pembolehubah rawak yang mempunyai hukum taburan - binomial, Poisson, hipergeometrik, y)(“chi-square”), b(Ujian pelajar), di n -> oo diedarkan secara asimptotik secara normal.

Teorem had pusat (CLT) ialah kumpulan kedua teorem had yang mewujudkan hubungan antara hukum taburan jumlah pembolehubah rawak dan bentuk muktamadnya - undang-undang taburan normal.

Sehingga kini, kita sering bercakap tentang kestabilan ciri purata sebilangan besar ujian, atau lebih tepat lagi, tentang kestabilan jumlah bentuk

Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa nilai
rawak, yang bermaksud ia mempunyai beberapa undang-undang pengedaran. Ternyata fakta yang luar biasa ini membentuk kandungannya

kumpulan teorem lain, disatukan di bawah nama am had pusatteorem, bahawa di bawah keadaan yang agak umum undang-undang pengedaran hampir dengan undang-undang biasa.

Sejak nilai berbeza dengan jumlahnya

hanya faktor tetap
maka, secara umum, kandungan CLT boleh dirumuskan seperti berikut.

Taburan hasil tambah sejumlah besar pembolehubah rawak bebas dengan sangat

Keadaan am adalah hampir dengan undang-undang taburan normal.

Untuk menyediakan rumusan CLT yang tepat, mari kita tanya diri kita dua soalan:

1. Apakah maksud tepat pernyataan bahawa “hukum pengagihan jumlah "dekat" dengan undang-undang biasa?

2. Dalam keadaan apakah kedekatan ini sah?

Untuk menjawab soalan ini, pertimbangkan urutan tak terhingga pembolehubah rawak:
Mari kita karang "jumlah separa" bagi jujukan r.v kita.

(23)

Daripada setiap pembolehubah rawak mari kita beralih kepada pembolehubah rawak "dinormalkan".

(24)

Kami telah menetapkan (lihat T.8., perenggan 3, persamaan (19)) bahawa
.

Jawapan kepada soalan pertama kini boleh dirumuskan dari segi kesamaan had

(25)
, (
,

bermakna bahawa hukum pengagihan r.v. dengan pertumbuhan mendekati hukum biasa dengan
. mempunyai taburan kira-kira normal, ia berikutan bahawa nilai kira-kira taburan normal,

(26)

Formula untuk menentukan kebarangkalian bahawa hasil tambah beberapa r.v. akan berada dalam had yang ditetapkan. CPT sering digunakan untuk

terdapat serakan r.v.

momen pusat urutan ketiga"
Jika di maka kita akan mengatakan bahawa urutan

memuaskan
Keadaan Lyapunov.

Khususnya, CLT untuk kes apabila dalam jumlah pembolehubah rawak setiap istilah mempunyai taburan yang sama, i.e. segala-galanya dan

maka keadaan Lyapunov berpuas hati

diedarkan, mempunyai jangkaan matematik yang terhad
dan varians

(27)

Dalam kes khusus ini, adalah baik untuk memahami bagaimana "kekecilan" istilah yang seragam ditunjukkan,
cenderung kepada fungsi taburan pembolehubah rawak normal piawai: Dalam kes khusus ini, adalah baik untuk memahami bagaimana "kekecilan" istilah yang seragam ditunjukkan, dimanakah nilainya
mempunyai perintah
, dan nilai

pesanan

, dengan itu nisbah kuantiti pertama kepada kuantiti kedua cenderung kepada 0.Sekarang kita dapat merumuskan teorem had pusat dalam bentuk A.M. Lyapunova.
Teorem 10.8. (Lyapunov).

(28)
,

Jika urutan
pembolehubah rawak bebas memenuhi syarat Lyapunov, maka hubungan had adalah sah untuk mana-mana
.

Dan , manakala (

Pengalaman terkumpul dalam pemprosesan statistik keputusan pengukuran sememangnya mengesahkan fakta ini dalam kebanyakan kes praktikal.

Penaakulan yang sama menerangkan kemunculan taburan normal dalam sisihan parameter yang menentukan produk siap yang dikilang (produk) daripada nilai standard dalam pengeluaran besar-besaran.

Pertimbangkan contoh berikut. Contoh 5. Pembolehubah rawak bebas
diedarkan secara seragam pada segmen. Cari hukum taburan r.v.

, serta kebarangkalian bahawa Penyelesaian. Syarat-syarat CPT dipenuhi, oleh itu r.v.

mempunyai kira-kira kepadatan taburan

Mengikut formula yang diketahui untuk m.o. dan varians dalam kes taburan seragam kita dapati: Kemudian

Oleh kerana banyak pembolehubah rawak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor rawak bersandar lemah, taburannya dianggap normal. Dalam kes ini, syarat mesti dipenuhi bahawa tiada faktor yang dominan. Teorem had pusat dalam kes ini mewajarkan penggunaan taburan normal.

YouTube ensiklopedia

1 / 5
Biarkan terdapat urutan tak terhingga bagi pembolehubah rawak teragih serupa bebas yang mempunyai jangkaan dan varians terhingga. Mari kita nyatakan yang terakhir μ (\displaystyle \mu ) Dan σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)), masing-masing. Biar juga
. S n − μ n σ n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))\to N(0,1) ) melalui pengedaran di ,
di mana N (0 , 1) (\displaystyle N(0,1))- taburan normal dengan jangkaan matematik sifar dan sisihan piawai sama dengan satu. Dengan melambangkan min sampel yang pertama n (\gaya paparan n) magnitud, iaitu X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=1)^( n)X_(i)), kita boleh menulis semula hasil teorem had pusat seperti berikut:
n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) (\displaystyle (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\to N(0,1)) melalui pengedaran di n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).
Kadar penumpuan boleh dianggarkan menggunakan ketaksamaan Berry-Esseen.

Nota
- Secara tidak formal, teorem had pusat klasik menyatakan bahawa jumlah n (\gaya paparan n) pembolehubah rawak teragih identik bebas mempunyai taburan yang hampir dengan N (n μ , n σ 2) (\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^(2))). Setara, X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) mempunyai pengedaran yang hampir dengan N (μ , σ 2 / n) (\displaystyle N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
- Oleh kerana fungsi taburan taburan normal piawai adalah berterusan, penumpuan kepada taburan ini adalah bersamaan dengan penumpuan fungsi taburan ke arah fungsi taburan taburan normal piawai. Meletakkan Z n = S n − μ n σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))), kita dapat F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\displaystyle F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R) ), Di mana Φ (x) (\displaystyle \Phi (x))- fungsi taburan taburan normal piawai.
- Teorem had pusat dalam rumusan klasik dibuktikan dengan kaedah fungsi ciri (teorem kesinambungan Levi).
- Secara umumnya, penumpuan fungsi taburan tidak membayangkan penumpuan kepadatan. Walau bagaimanapun, dalam kes klasik ini, ini berlaku.
C.P.T. tempatan

Di bawah andaian rumusan klasik, mari kita anggap sebagai tambahan bahawa taburan pembolehubah rawak ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) benar-benar berterusan, iaitu, ia mempunyai ketumpatan. Kemudian pengedaran juga benar-benar berterusan, dan lebih-lebih lagi,
f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 (\gaya paparan f_(Z_(n))(x)\kepada (\frac (1)(\sqrt (2\pi )))\,e^ (-(\frac (x^(2))(2)))) di n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ),
di mana f Z n (x) (\gaya paparan f_(Z_(n))(x))- ketumpatan pembolehubah rawak Z n (\displaystyle Z_(n)), dan di sebelah kanan ialah ketumpatan taburan normal piawai.

Generalisasi

Hasil teorem had pusat klasik adalah sah untuk situasi yang lebih umum daripada kebebasan lengkap dan pengagihan sama.

C. P. T. Lindeberg

Biarkan pembolehubah rawak bebas X 1 , … , X n , … (\displaystyle X_(1),\ldots ,X_(n),\ldots ) ditakrifkan pada ruang kebarangkalian yang sama dan mempunyai jangkaan dan varians terhingga: E [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).
biarlah S n = ∑ i = 1 n X i (\displaystyle S_(n)=\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)).
Kemudian E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =m_(n)=\sum \ had _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (D) =s_(n)^(2)=\sum \limits _(i=1)^(n)\ sigma_(i)^(2)).
Dan biarkan ia dilakukan Keadaan Lindeberg:
∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) ] = 0 , (\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \had _(n\kepada \infty )\jumlah \had _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[(\frac ((X_(i)-\ mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (n)\))\kanan]=0,)
di mana 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\))) fungsi - penunjuk.
melalui pengedaran di n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).
Ts. P. T. Lyapunova

Biarkan andaian asas C. P. T. Lindeberg dipenuhi. Biarkan pembolehubah rawak ( X i ) (\gaya paparan \(X_(i)\)) mempunyai saat ketiga terhingga. Kemudian urutan ditakrifkan
r n 3 = ∑ i = 1 n E [ |.
X i − μ i |
3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\kanan]) (Jika had), lim n → ∞ r n s n = 0 (\displaystyle \lim \limits _(n\to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n)))=0) keadaan Lyapunov n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).
S n − m n s n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\to N(0,1))

melalui pengedaran di C.P.T. untuk martingale Biarkan proses
(X n) n ∈ N (\displaystyle (X_(n))_(n\in \mathbb (N) ))
ialah martingale dengan kenaikan terhad. Khususnya, mari kita anggap itu
E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (E) \left=0,\;n\in \mathbb (N) ,\;X_(0)\equiv 0,) dan kenaikan adalah terhad secara seragam, iaitu. ∃ C > 0 ∀ n ∈ N | keadaan Lyapunov n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

Teorem had pusat statistik. Teorem had pusat dalam MS EXCEL

YouTube ensiklopedia

Nota

C.P.T. tempatan

Generalisasi

C. P. T. Lindeberg

Ts. P. T. Lyapunova

S n − m n s n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\to N(0,1))