Apabila belajar algebra di sekolah menengah (gred 9), salah satu topik penting ialah kajian jujukan berangka, yang merangkumi janjang - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini kita akan melihat janjang aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah janjang aritmetik?

Untuk memahami perkara ini, adalah perlu untuk menentukan perkembangan yang dimaksudkan, serta menyediakan formula asas yang akan digunakan kemudian dalam menyelesaikan masalah.

Adalah diketahui bahawa dalam beberapa janjang algebra sebutan pertama adalah sama dengan 6, dan sebutan ke-7 adalah sama dengan 18. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan jujukan ini kepada sebutan ke-7.

Mari kita gunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita gantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu, nombor a 1 dan 7, kita ada: 18 = 6 + 6 * d. Daripada ungkapan ini anda boleh mengira perbezaan dengan mudah: d = (18 - 6) /6 = 2. Oleh itu, kami telah menjawab bahagian pertama masalah.

Untuk memulihkan jujukan kepada sebutan ke-7, anda harus menggunakan takrif janjang algebra, iaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Akibatnya, kami memulihkan keseluruhan urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Contoh No. 3: membuat janjang

Mari kita merumitkan lagi masalah. Sekarang kita perlu menjawab persoalan bagaimana untuk mencari janjang aritmetik. Contoh berikut boleh diberikan: dua nombor diberikan, contohnya - 4 dan 5. Ia adalah perlu untuk mencipta janjang algebra supaya tiga lagi sebutan diletakkan di antara ini.

Sebelum anda mula menyelesaikan masalah ini, anda perlu memahami tempat yang akan diduduki oleh nombor yang diberikan dalam perkembangan masa depan. Oleh kerana akan ada tiga lagi istilah di antara mereka, maka 1 = -4 dan 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih kepada masalah, yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk istilah ke-n kita menggunakan formula, kita dapat: a 5 = a 1 + 4 * d. Daripada: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Apa yang kami dapat di sini bukanlah nilai integer bagi perbezaan, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk janjang algebra kekal sama.

Sekarang mari tambahkan perbezaan yang ditemui pada 1 dan pulihkan istilah janjang yang hilang. Kami mendapat: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh No. 4: penggal pertama janjang

Mari teruskan memberi contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, nombor pertama janjang algebra diketahui. Sekarang mari kita pertimbangkan masalah jenis yang berbeza: biarkan dua nombor diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Ia adalah perlu untuk mencari nombor yang jujukan ini bermula.

Formula yang digunakan setakat ini menganggap pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam pernyataan masalah, tiada apa yang diketahui tentang nombor ini. Namun begitu, kami akan menulis ungkapan untuk setiap istilah mengenai maklumat yang tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana terdapat 2 kuantiti yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah dikurangkan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear.

Cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem ini ialah dengan menyatakan 1 dalam setiap persamaan dan kemudian membandingkan ungkapan yang terhasil. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kita dapat: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana daripada 2 ungkapan di atas untuk 1. Contohnya, pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Jika anda mempunyai keraguan tentang hasil yang diperoleh, anda boleh menyemaknya, sebagai contoh, tentukan penggal ke-43 perkembangan, yang dinyatakan dalam syarat. Kami mendapat: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ralat kecil adalah disebabkan fakta bahawa pembundaran kepada perseribu telah digunakan dalam pengiraan.

Contoh No. 5: jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan penyelesaian untuk jumlah janjang aritmetik.

Biarkan janjang berangka bagi bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada perkembangan teknologi komputer, adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini, iaitu, menambah semua nombor secara berurutan, yang akan dilakukan oleh komputer sebaik sahaja seseorang menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah itu boleh diselesaikan secara mental jika anda memberi perhatian kepada fakta bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah janjang algebra, dan perbezaannya adalah sama dengan 1. Menggunakan formula untuk jumlah, kita dapat: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian" kerana pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, dapat menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa saat. Budak itu tidak tahu formula untuk jumlah janjang algebra, tetapi dia perasan bahawa jika anda menambah nombor di hujung urutan secara berpasangan, anda sentiasa mendapat keputusan yang sama, iaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan kerana jumlah ini akan menjadi tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawapan yang betul sudah cukup untuk mendarabkan 50 dengan 101.

Contoh No. 6: jumlah sebutan dari n hingga m

Satu lagi contoh tipikal jumlah janjang aritmetik adalah seperti berikut: diberikan satu siri nombor: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari jumlah sebutannya dari 8 hingga 14 akan sama dengan .

Masalah diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan mencari istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak begitu intensif buruh. Namun begitu, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan kaedah kedua, iaitu lebih universal.

Ideanya adalah untuk mendapatkan formula bagi jumlah janjang algebra antara sebutan m dan n, dengan n > m ialah integer. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Oleh kerana n > m, adalah jelas bahawa jumlah ke-2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermakna jika kita mengambil perbezaan antara jumlah ini dan menambah istilah a m kepadanya (dalam kes mengambil perbezaan, ia ditolak daripada jumlah S n), kita akan memperoleh jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ia adalah perlu untuk menggantikan formula untuk a n dan a m ke dalam ungkapan ini. Kemudian kita dapat: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula yang terhasil agak rumit, walau bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kes kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Menggantikan nombor ini, kita mendapat: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat daripada penyelesaian di atas, semua masalah adalah berdasarkan pengetahuan tentang ungkapan untuk sebutan ke-n dan formula untuk jumlah set sebutan pertama. Sebelum mula menyelesaikan mana-mana masalah ini, disyorkan agar anda membaca dengan teliti syarat, memahami dengan jelas apa yang anda perlukan untuk mencari, dan hanya kemudian meneruskan penyelesaiannya.

Petua lain ialah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam kes ini kemungkinan membuat kesilapan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti pada formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan bahagikan masalah keseluruhan kepada subtugas yang berasingan (dalam kes ini, mula-mula cari istilah a n dan a m).

Jika anda mempunyai keraguan tentang keputusan yang diperoleh, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Kami mengetahui cara mencari janjang aritmetik. Jika anda memikirkannya, ia tidak begitu sukar.

Ya, ya: janjang aritmetik bukan mainan untuk anda :)

Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, maka bukti had dalaman memberitahu saya bahawa anda belum tahu apa itu janjang aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan perkenalan yang panjang dan akan terus ke intinya.

Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa set nombor:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apakah persamaan kesemua set ini? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap seterusnya adalah satu lebih daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara nombor bersebelahan sudah lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, tidak ada akar sama sekali. Walau bagaimanapun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).

Jadi: semua jujukan tersebut dipanggil janjang aritmetik. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Urutan nombor di mana setiap nombor seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama dipanggil janjang aritmetik. Jumlah yang berbeza nombor dipanggil perbezaan janjang dan paling kerap dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ ialah janjang itu sendiri, $d$ ialah perbezaannya.

Dan hanya beberapa nota penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan nombor: mereka dibenarkan untuk dibaca dengan ketat mengikut urutan yang ditulis - dan tidak ada yang lain. Nombor tidak boleh disusun semula atau ditukar.

Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas merupakan janjang aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah menjadi perkembangan yang tidak terhingga. Elipsis selepas empat nampaknya membayangkan bahawa terdapat beberapa lagi nombor yang akan datang. Tidak terhingga banyak, contohnya.

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan boleh meningkat atau menurun. Kami telah melihat peningkatan - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut ialah contoh perkembangan menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi yang lain, saya fikir, anda faham. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baharu:

Definisi. Janjang aritmetik dipanggil:

1. meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada yang sebelumnya;
2. menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Di samping itu, terdapat urutan yang dipanggil "pegun" - ia terdiri daripada nombor berulang yang sama. Contohnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu soalan yang tinggal: bagaimana untuk membezakan kemajuan yang semakin meningkat daripada yang semakin berkurangan? Nasib baik, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda nombor $d$, i.e. perbezaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka janjang meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka kemajuan itu jelas berkurangan;
3. Akhirnya, terdapat kes $d=0$ - dalam kes ini keseluruhan janjang dikurangkan kepada urutan pegun nombor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...), dsb.

Mari cuba kira perbezaan $d$ untuk tiga janjang menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil mana-mana dua elemen bersebelahan (contohnya, yang pertama dan kedua) dan tolak nombor di sebelah kiri dari nombor di sebelah kanan. Ia akan kelihatan seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang kita dapat lihat, dalam ketiga-tiga kes perbezaan sebenarnya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita mengetahui lebih kurang definisinya, tiba masanya untuk mengetahui cara perkembangan diterangkan dan sifat yang dimilikinya.

Istilah kemajuan dan formula berulang

Oleh kerana unsur-unsur jujukan kami tidak boleh ditukar, ia boleh dinomborkan:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \kanan\)\]

Unsur individu set ini dipanggil ahli janjang. Mereka ditunjukkan oleh nombor: ahli pertama, ahli kedua, dsb.

Di samping itu, seperti yang telah kita ketahui, istilah jiran kemajuan dikaitkan dengan formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Anak panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ringkasnya, untuk mencari sebutan $n$th bagi sesuatu janjang, anda perlu mengetahui sebutan $n-1$th dan perbezaan $d$. Formula ini dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda boleh mencari sebarang nombor hanya dengan mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya, semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula yang lebih licik yang mengurangkan sebarang pengiraan kepada sebutan pertama dan perbezaan:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin telah menemui formula ini. Mereka suka memberikannya dalam semua jenis buku rujukan dan buku penyelesaian. Dan dalam mana-mana buku teks matematik yang masuk akal ia adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya cadangkan anda berlatih sedikit.

Tugasan No 1. Tuliskan tiga sebutan pertama janjang aritmetik $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Penyelesaian. Jadi, kita tahu sebutan pertama $((a)_(1))=8$ dan perbezaan janjang $d=-5$. Mari kita gunakan formula yang baru diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Jawapan: (8; 3; −2)

Itu sahaja! Sila ambil perhatian: perkembangan kami semakin berkurangan.

Sudah tentu, $n=1$ tidak boleh digantikan - istilah pertama sudah diketahui oleh kami. Walau bagaimanapun, dengan menggantikan perpaduan, kami yakin bahawa walaupun untuk penggal pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, semuanya bermuara kepada aritmetik cetek.

Tugasan No. 2. Tuliskan tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika sebutan ketujuhnya bersamaan dengan −40 dan sebutan ketujuh belasnya bersamaan dengan −50.

Penyelesaian. Mari tulis keadaan masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \betul.\]

Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Sekarang mari kita ambil perhatian bahawa jika kita menolak yang pertama daripada persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), kita mendapat ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Begitulah mudahnya untuk mencari perbezaan kemajuan! Apa yang tinggal ialah menggantikan nombor yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan sistem. Sebagai contoh, dalam yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, mengetahui sebutan pertama dan perbezaannya, ia masih perlu mencari sebutan kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

sedia! Masalah selesai.

Jawapan: (−34; −35; −36)

Perhatikan sifat janjang yang menarik yang kami temui: jika kita mengambil sebutan $n$th dan $m$th dan menolaknya antara satu sama lain, kami mendapat perbezaan janjang yang didarab dengan nombor $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Harta yang mudah tetapi sangat berguna yang pasti anda perlu tahu - dengan bantuannya anda boleh mempercepatkan penyelesaian banyak masalah perkembangan dengan ketara. Berikut adalah contoh yang jelas tentang ini:

Tugasan No. 3. Sebutan kelima suatu janjang aritmetik ialah 8.4, dan sebutan kesepuluhnya ialah 14.4. Cari sebutan kelima belas janjang ini.

Penyelesaian. Oleh kerana $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kami perlu mencari $((a)_(15))$, kami perhatikan berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, oleh itu $5d=6$, dari mana kita mempunyai:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Jawapan: 20.4

Itu sahaja! Kami tidak perlu mencipta sebarang sistem persamaan dan mengira sebutan pertama dan perbezaan - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat satu lagi jenis masalah - mencari istilah negatif dan positif sesuatu janjang. Bukan rahsia lagi bahawa jika janjang meningkat, dan sebutan pertamanya negatif, maka lambat laun istilah positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat perkembangan yang semakin berkurangan lambat laun akan menjadi negatif.

Pada masa yang sama, ia tidak selalu mungkin untuk mencari detik ini secara "head-on" dengan meneliti unsur-unsur secara berurutan. Selalunya, masalah ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui formula, pengiraan akan mengambil beberapa helai kertas—kita hanya akan tertidur semasa kita menemui jawapannya. Oleh itu, mari kita cuba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugasan No. 4. Berapakah bilangan sebutan negatif yang terdapat dalam janjang aritmetik −38.5; −35.8; ...?

Penyelesaian. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari mana kita segera mencari perbezaannya:

Ambil perhatian bahawa perbezaan adalah positif, jadi perkembangan meningkat. Penggal pertama adalah negatif, jadi sememangnya pada satu ketika kita akan tersandung pada nombor positif. Satu-satunya persoalan ialah bila ini akan berlaku.

Mari cuba untuk mengetahui berapa lama (iaitu sehingga nombor asli $n$) negatif bagi istilah kekal:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\maks ))=15. \\ \end(align)\]

Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahawa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sebaliknya, kami berpuas hati dengan hanya nilai integer nombor (lebih-lebih lagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi nombor terbesar yang dibenarkan adalah tepat $n=15$, dan dalam kes tidak 16 .

Tugasan No. 5. Dalam janjang aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Cari nombor sebutan positif pertama bagi janjang ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama seperti yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah jiran diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita boleh mencari perbezaan janjang itu dengan mudah:

Di samping itu, mari kita cuba untuk menyatakan sebutan kelima melalui yang pertama dan perbezaan menggunakan formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita ketahui pada titik mana dalam urutan nombor positif kita akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Anak panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Penyelesaian integer minimum untuk ketaksamaan ini ialah nombor 56.

Sila ambil perhatian: dalam tugasan terakhir semuanya berpunca daripada ketidaksamaan yang ketat, jadi pilihan $n=55$ tidak sesuai dengan kami.

Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama, mari kita kaji satu lagi sifat janjang aritmetik yang sangat berguna, yang akan menjimatkan banyak masa dan sel yang tidak sama pada masa hadapan :)

Min aritmetik dan lekukan sama

Mari kita pertimbangkan beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari cuba tandai mereka pada garis nombor:

Istilah janjang aritmetik pada garis nombor

Saya secara khusus menandakan istilah arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan beberapa $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dsb. Kerana peraturan yang saya akan beritahu anda sekarang berfungsi sama untuk mana-mana "segmen".

Dan peraturannya sangat mudah. Mari kita ingat formula berulang dan tulis untuk semua istilah yang ditanda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Walau bagaimanapun, persamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Jadi apa? Dan hakikat bahawa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini bersamaan dengan $d$. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - ia juga dikeluarkan daripada $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama bersamaan dengan $2d$. Kita boleh meneruskan iklan infinitum, tetapi maknanya digambarkan dengan baik oleh gambar

Istilah janjang terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apakah maknanya bagi kita? Ini bermakna $((a)_(n))$ boleh didapati jika nombor jiran diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah memperoleh pernyataan yang sangat baik: setiap sebutan janjang aritmetik adalah sama dengan min aritmetik bagi sebutan jirannya! Selain itu: kita boleh berundur dari $((a)_(n))$ kami ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan formulanya masih betul:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita boleh mencari beberapa $((a)_(150))$ dengan mudah jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, kerana $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, nampaknya fakta ini tidak memberi kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak masalah disesuaikan khas untuk menggunakan min aritmetik. Lihatlah:

Tugasan No. 6. Cari semua nilai $x$ yang mana nombor $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ ialah sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik (dalam susunan yang ditunjukkan).

Penyelesaian. Oleh kerana nombor ini adalah ahli janjang, keadaan min aritmetik dipenuhi untuk mereka: unsur pusat $x+1$ boleh dinyatakan dalam sebutan unsur jiran:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Hasilnya ialah persamaan kuadratik klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawapannya.

Jawapan: −3; 2.

Tugasan No. 7. Cari nilai $$ yang mana nombor $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk janjang aritmetik (dalam susunan itu).

Penyelesaian. Mari kita nyatakan lagi sebutan tengah melalui min aritmetik bagi sebutan jiran:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Persamaan kuadratik sekali lagi. Dan sekali lagi terdapat dua punca: $x=6$ dan $x=1$.

Jawapan: 1; 6.

Jika dalam proses menyelesaikan masalah anda menghasilkan beberapa nombor yang kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang ketepatan jawapan yang ditemui, maka terdapat teknik hebat yang membolehkan anda menyemak: adakah kami telah menyelesaikan masalah dengan betul?

Katakan dalam masalah No. 6 kita menerima jawapan −3 dan 2. Bagaimanakah kita boleh menyemak bahawa jawapan ini betul? Mari kita pasangkannya ke dalam keadaan asal dan lihat apa yang berlaku. Biar saya ingatkan anda bahawa kita mempunyai tiga nombor ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang mesti membentuk janjang aritmetik. Mari kita gantikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Kami mendapat nombor −54; −2; 50 yang berbeza dengan 52 sudah pasti merupakan janjang aritmetik. Perkara yang sama berlaku untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Sekali lagi perkembangan, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu diselesaikan dengan betul. Mereka yang mahu boleh menyemak sendiri masalah kedua, tetapi saya akan katakan dengan segera: semuanya betul di sana juga.

Secara umum, semasa menyelesaikan masalah terakhir, kami menemui satu lagi fakta menarik yang juga perlu diingat:

Jika tiga nombor adalah sedemikian rupa sehingga yang kedua ialah min aritmetik bagi yang pertama dan terakhir, maka nombor ini membentuk janjang aritmetik.

Pada masa hadapan, memahami penyataan ini akan membolehkan kita "membina" secara literal perkembangan yang diperlukan berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "pembinaan" sedemikian, kita harus memberi perhatian kepada satu lagi fakta, yang secara langsung mengikuti apa yang telah dibincangkan.

Mengumpul dan menjumlahkan elemen

Mari kembali ke paksi nombor semula. Mari kita perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, antara yang, mungkin. bernilai banyak ahli lain:

Terdapat 6 elemen yang ditanda pada garis nombor

Mari cuba ungkapkan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ia sangat mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sekarang ambil perhatian bahawa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Ringkasnya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen janjang, yang secara keseluruhannya adalah sama dengan beberapa nombor $S$, dan kemudian mula melangkah dari unsur-unsur ini dalam arah yang bertentangan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah unsur yang akan kita temui juga akan sama$S$. Ini boleh diwakili dengan paling jelas secara grafik:

Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah yang pada asasnya mempunyai tahap kerumitan yang lebih tinggi daripada yang kita pertimbangkan di atas. Sebagai contoh, ini:

Tugasan No. 8. Tentukan beza janjang aritmetik di mana sebutan pertama ialah 66, dan hasil darab sebutan kedua dan kedua belas adalah terkecil yang mungkin.

Penyelesaian. Mari kita tulis semua yang kita tahu:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Jadi, kita tidak tahu perbezaan kemajuan $d$. Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian akan dibina di sekeliling perbezaan, kerana produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ boleh ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil pengganda keseluruhan 11 daripada kurungan kedua. Oleh itu, hasil darab yang diperlukan ialah fungsi kuadratik berkenaan dengan pembolehubah $d$. Oleh itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafnya akan menjadi parabola dengan cawangan ke atas, kerana jika kita mengembangkan kurungan, kita mendapat:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, pekali bagi sebutan tertinggi ialah 11 - ini adalah nombor positif, jadi kami benar-benar berurusan dengan parabola dengan cawangan ke atas:

graf fungsi kuadratik - parabola

Sila ambil perhatian: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada puncaknya dengan abscissa $((d)_(0))$. Sudah tentu, kita boleh mengira absis ini menggunakan skema standard (terdapat formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi lebih munasabah untuk diperhatikan bahawa bucu yang dikehendaki terletak pada simetri paksi parabola, oleh itu titik $((d)_(0))$ adalah sama jarak dari punca persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Itulah sebabnya saya tidak tergesa-gesa untuk membuka kurungan: dalam bentuk asalnya, akarnya sangat, sangat mudah dicari. Oleh itu, absis adalah sama dengan min aritmetik bagi nombor −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apakah yang diberikan oleh nombor yang ditemui kepada kita? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil (by the way, kami tidak pernah mengira $((y)_(\min ))$ - ini tidak diperlukan daripada kami). Pada masa yang sama, nombor ini ialah perbezaan janjang asal, i.e. kami jumpa jawapannya.

Jawapan: −36

Tugasan No. 9. Antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga nombor supaya bersama-sama nombor ini membentuk satu janjang aritmetik.

Penyelesaian. Pada asasnya, kita perlu membuat urutan lima nombor, dengan nombor pertama dan terakhir sudah diketahui. Mari kita nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ambil perhatian bahawa nombor $y$ ialah "tengah" jujukan kami - ia adalah sama jarak dari nombor $x$ dan $z$, dan daripada nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika pada masa ini kita tidak dapat memperoleh $y$ daripada nombor $x$ dan $z$, maka keadaannya berbeza dengan penghujung janjang. Mari kita ingat maksud aritmetik:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari nombor yang tinggal. Ambil perhatian bahawa $x$ terletak di antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru kami temui. sebab tu

Dengan menggunakan penaakulan yang sama, kita dapati nombor yang tinggal:

sedia! Kami menjumpai ketiga-tiga nombor. Mari kita tuliskannya dalam jawapan dalam susunan yang harus disisipkan di antara nombor asal.

Jawapan: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugasan No. 10. Di antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang, bersama-sama dengan nombor ini, membentuk janjang aritmetik, jika anda tahu bahawa jumlah nombor pertama, kedua dan terakhir nombor yang dimasukkan ialah 56.

Penyelesaian. Masalah yang lebih kompleks, bagaimanapun, diselesaikan mengikut skema yang sama seperti yang sebelumnya - melalui min aritmetik. Masalahnya ialah kita tidak tahu dengan tepat berapa banyak nombor yang perlu dimasukkan. Oleh itu, mari kita anggap untuk kepastian bahawa selepas memasukkan semua akan ada tepat $n$ nombor, dan yang pertama daripada mereka ialah 2, dan yang terakhir ialah 42. Dalam kes ini, janjang aritmetik yang diperlukan boleh diwakili dalam bentuk:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa nombor $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh daripada nombor 2 dan 42 di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain, iaitu . ke tengah urutan. Dan ini bermakna bahawa

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tetapi ungkapan yang ditulis di atas boleh ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita boleh mencari perbezaan janjang itu dengan mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Anak panah kanan d=5. \\ \end(align)\]

Apa yang tinggal ialah mencari istilah yang tinggal:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan tiba di hujung kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhan, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah perkataan dengan janjang

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang agak mudah. Nah, semudah itu: bagi kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan belum membaca apa yang ditulis di atas, masalah ini mungkin kelihatan sukar. Walau bagaimanapun, ini adalah jenis masalah yang muncul dalam OGE dan Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Tugasan No. 11. Pasukan itu menghasilkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka menghasilkan 14 bahagian lagi berbanding bulan sebelumnya. Berapa banyak bahagian yang dihasilkan oleh pasukan pada bulan November?

Penyelesaian. Jelas sekali, bilangan bahagian yang disenaraikan mengikut bulan akan mewakili janjang aritmetik yang semakin meningkat. Selain itu:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ialah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh itu, 202 bahagian akan dikeluarkan pada bulan November.

Tugasan No. 12. Bengkel penjilidan buku mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya ia mengikat 4 buku lebih banyak berbanding bulan sebelumnya. Berapakah bilangan buku yang diikat oleh bengkel itu pada bulan Disember?

Penyelesaian. Semuanya sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Disember ialah bulan ke-12 yang terakhir dalam tahun ini, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ini jawapannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Disember.

Nah, jika anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam janjang aritmetik. Anda boleh beralih ke pelajaran seterusnya dengan selamat, di mana kita akan mengkaji formula untuk jumlah kemajuan, serta akibat penting dan sangat berguna daripadanya.

Janjang aritmetik namakan urutan nombor (istilah janjang)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan istilah baru, yang juga dipanggil perbezaan langkah atau kemajuan.

Oleh itu, dengan menyatakan langkah janjang dan sebutan pertamanya, anda boleh mencari mana-mana elemennya menggunakan formula

Sifat sesuatu janjang aritmetik

1) Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari nombor kedua, ialah min aritmetik ahli janjang sebelumnya dan seterusnya

Begitu juga sebaliknya. Jika min aritmetik bagi sebutan ganjil (genap) bersebelahan bagi sesuatu janjang adalah sama dengan sebutan yang berada di antaranya, maka jujukan nombor ini ialah janjang aritmetik. Menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk menyemak sebarang urutan.

Juga, dengan sifat janjang aritmetik, formula di atas boleh digeneralisasikan kepada yang berikut

Ini mudah untuk disahkan jika anda menulis syarat di sebelah kanan tanda sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam masalah.

2) Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik dikira menggunakan formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah janjang aritmetik; ia amat diperlukan dalam pengiraan dan sering dijumpai dalam situasi kehidupan yang mudah.

3) Jika anda perlu mencari bukan jumlah keseluruhan, tetapi sebahagian daripada jujukan bermula dari sebutan ke-knya, maka formula jumlah berikut akan berguna kepada anda

4) Kepentingan praktikal ialah mencari hasil tambah n sebutan suatu janjang aritmetik bermula dari nombor k. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Ini menyimpulkan bahan teori dan meneruskan kepada menyelesaikan masalah biasa dalam amalan.

Contoh 1. Cari sebutan keempat puluh janjang aritmetik 4;7;...

Penyelesaian:

Mengikut syarat yang kita ada

Mari tentukan langkah kemajuan

Menggunakan formula yang terkenal, kita dapati sebutan keempat puluh janjang itu

Contoh 2.

Penyelesaian:

Janjang aritmetik diberikan oleh sebutan ketiga dan ketujuhnya. Cari sebutan pertama janjang itu dan hasil tambah sepuluh.

Mari kita tuliskan unsur-unsur janjang yang diberikan menggunakan formula

Kami menolak yang pertama daripada persamaan kedua, sebagai hasilnya kami dapati langkah kemajuan

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan untuk mencari sebutan pertama janjang aritmetik

Tanpa menggunakan pengiraan yang rumit, kami menemui semua kuantiti yang diperlukan.

Contoh 3. Janjang aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu sebutannya. Cari sebutan pertama janjang itu, hasil tambah 50 sebutannya bermula daripada 50 dan hasil tambah 100 yang pertama.

Penyelesaian:

Mari kita tuliskan formula untuk unsur keseratus janjang itu

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati sebutan ke-50 janjang itu

Mencari hasil tambah bahagian janjang itu

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah kemajuan ialah 250.

Contoh 4.

Cari bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Penyelesaian:

Mari kita tulis persamaan dalam sebutan sebutan pertama dan langkah janjang dan tentukannya

Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula jumlah untuk menentukan bilangan istilah dalam jumlah itu

Kami melakukan pemudahan

dan selesaikan persamaan kuadratik

Daripada dua nilai yang ditemui, hanya nombor 8 yang sesuai dengan keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan sebutan pertama janjang itu ialah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaan

1+3+5+...+x=307.

Penyelesaian: Persamaan ini ialah jumlah janjang aritmetik. Mari kita tulis penggal pertamanya dan cari perbezaan janjangnya

Masalah tentang janjang aritmetik telah pun wujud pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Oleh itu, salah satu papirus Mesir Purba yang mempunyai kandungan matematik, papirus Rhind (abad ke-19 SM), mengandungi tugas berikut: membahagikan sepuluh sukat roti kepada sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada ukuran.”

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Oleh itu, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada Elemen Euclid), merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik yang mempunyai bilangan sebutan genap, jumlah sebutan separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah sebutan yang pertama pada kuasa dua 1/2 nombor ahli."

Urutan itu dilambangkan dengan an. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya ditetapkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Dengan itu kita maksudkan yang diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan ini dianggap meningkat.

Janjang aritmetik dipanggil terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Dengan bilangan ahli yang sangat ramai, ini sudah menjadi kemajuan yang tidak berkesudahan.

Sebarang janjang aritmetik ditakrifkan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan yang bertentangan adalah benar: jika urutan diberikan oleh formula yang sama, maka ia adalah janjang aritmetik yang mempunyai sifat:

1. Setiap sebutan janjang ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya.
2. Berbalik: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan ini ialah janjang aritmetik. Kesamaan ini pada masa yang sama adalah tanda kemajuan, oleh itu ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana sebutan jujukan, bermula dengan ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati menggunakan formula berikut:

Contohnya: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) adalah sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan anda menentukan sebutan ke-n suatu janjang aritmetik melalui mana-mana sebutan ke-knya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah sebutan janjang aritmetik (bermaksud n sebutan pertama janjang terhingga) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain adalah sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung kepada keadaan masalah dan data awal.

Siri semula jadi sebarang nombor, seperti 1,2,3,...,n,..., ialah contoh paling mudah bagi janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga janjang geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Konsep urutan nombor membayangkan bahawa setiap nombor asli sepadan dengan beberapa nilai sebenar. Siri nombor sedemikian boleh sama ada sewenang-wenangnya atau mempunyai sifat tertentu - janjang. Dalam kes kedua, setiap elemen (ahli) seterusnya bagi jujukan boleh dikira menggunakan yang sebelumnya.

Janjang aritmetik ialah jujukan nilai berangka di mana ahli jirannya berbeza antara satu sama lain dengan nombor yang sama (semua elemen siri, bermula dari ke-2, mempunyai sifat yang serupa). Nombor ini - perbezaan antara sebutan sebelumnya dan seterusnya - adalah malar dan dipanggil perbezaan janjang.

Perbezaan kemajuan: definisi

Pertimbangkan jujukan yang terdiri daripada nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j tergolong dalam set nombor asli N. Suatu aritmetik janjang, mengikut takrifnya, ialah urutan , di mana a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Nilai d ialah perbezaan yang dikehendaki bagi janjang ini.

d = a(j) – a(j-1).

Serlahkan:

• Kemajuan yang semakin meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Mengurangkan perkembangan, kemudian d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Perkembangan perbezaan dan unsur arbitrarinya

Jika 2 sebutan arbitrari bagi janjang itu diketahui (i-th, k-th), maka perbezaan untuk urutan tertentu boleh ditentukan berdasarkan hubungan:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, yang bermaksud d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Perbezaan janjang dan sebutan pertamanya

Ungkapan ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kes di mana bilangan unsur jujukan diketahui.

Perbezaan kemajuan dan jumlahnya

Jumlah bagi sesuatu janjang ialah hasil tambah sebutannya. Untuk mengira jumlah nilai unsur j pertamanya, gunakan formula yang sesuai:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi sejak a(j) = a(1) + d(j – 1), kemudian S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.