Во оваа статија ќе научите како да ја пронајдете областа на фигура ограничена со линии користејќи интегрални пресметки. Формулирањето на ваков проблем за прв пат се среќаваме во средно училиште, кога штотуку го завршивме изучувањето на определените интеграли и време е да започнеме со геометриско толкување на стекнатото знаење во пракса.
Значи, што е потребно за успешно решавање на проблемот со наоѓање на површината на фигурата со помош на интеграли:
- Способност да се направат компетентни цртежи;
- Способност за решавање на определен интеграл со помош на познатата формула Њутн-Лајбниц;
- Способноста да се „види“ попрофитабилна опција за решение - т.е. разберете како ќе биде попогодно да се изврши интеграција во еден или друг случај? По должината на оската x (OX) или y-оската (OY)?
- Па, каде би биле без точни пресметки?) Ова вклучува разбирање како да се реши тој друг вид интеграли и точни нумерички пресметки.
Алгоритам за решавање на проблемот со пресметување на плоштината на фигура ограничена со линии:
1. Градиме цртеж. Препорачливо е да го направите ова на кариран лист хартија, во големи размери. Името на оваа функција го потпишуваме со молив над секој графикон. Потпишувањето на графиконите се врши исклучиво за погодност за понатамошни пресметки. Откако ќе добиете графикон на саканата фигура, во повеќето случаи веднаш ќе биде јасно кои граници на интеграција ќе се користат. Така, проблемот го решаваме графички. Сепак, се случува вредностите на границите да бидат фракционо или ирационални. Затоа, можете да направите дополнителни пресметки, одете на чекор два.
2. Ако границите на интеграција не се експлицитно наведени, тогаш ги наоѓаме точките на пресек на графиците меѓу себе и гледаме дали нашето графичко решение се поклопува со аналитичкото.
3. Следно, треба да го анализирате цртежот. Во зависност од тоа како се распоредени графиконите на функциите, постојат различни пристапи за наоѓање на плоштината на фигурата. Ајде да погледнеме различни примери за наоѓање на плоштина на фигура користејќи интеграли.
3.1. Најкласичната и наједноставната верзија на проблемот е кога треба да ја пронајдете областа на заоблен трапез. Што е заоблен трапез? Ова е рамна фигура ограничена со x-оската (y = 0), правите x = a, x = b и која било крива континуирана во интервалот од a до b. Покрај тоа, оваа бројка е не-негативна и се наоѓа не под оската x. Во овој случај, површината на криволинеарниот трапез е нумерички еднаква на одреден интеграл, пресметан со формулата Њутн-Лајбниц:
Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Со кои линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 - 3x + 3, која се наоѓа над оската OX, таа е ненегативна, бидејќи сите точки на оваа парабола имаат позитивни вредности. Понатаму, дадени се правите x = 1 и x = 3, кои се движат паралелно со оската на оп-засилувачот и се гранични линии на сликата лево и десно. Па, y = 0, што е и x-оската, која ја ограничува фигурата одоздола. Добиената фигура е засенчена, како што може да се види од сликата лево. Во овој случај, можете веднаш да започнете со решавање на проблемот. Пред нас е едноставен пример на заоблен трапез, кој понатаму го решаваме користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.
3.2. Во претходниот став 3.1, го испитавме случајот кога закривен трапез се наоѓа над оската x. Сега разгледајте го случајот кога условите на проблемот се исти, освен што функцијата лежи под оската x. Се додава минус на стандардната формула Њутн-Лајбниц. Подолу ќе разгледаме како да решиме таков проблем.
Пример 2. Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Во овој пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2, која потекнува од под оската OX, прави x = -4, x = -1, y = 0. Овде y = 0 ја ограничува посакуваната бројка одозгора. Правите x = -4 и x = -1 се границите во кои ќе се пресметува определениот интеграл. Принципот на решавање на проблемот со наоѓање на површината на фигурата речиси целосно се совпаѓа со примерот број 1. Единствената разлика е во тоа што дадената функција не е позитивна, а исто така е континуирана на интервалот [-4; -1]. Што сакаш да кажеш дека не е позитивно? Како што може да се види од сликата, фигурата што се наоѓа во дадените x има исклучиво „негативни“ координати, што е она што треба да го видиме и запомниме при решавањето на проблемот. Ја бараме областа на фигурата користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, само со знак минус на почетокот.
Статијата не е завршена.
Задача 1 (за пресметување на површината на заоблен трапез).
Во Декартовиот правоаголен координатен систем xOy, дадена е бројка (види слика) ограничена со оската x, прави линии x = a, x = b (a со криволинеарен трапез. Неопходно е да се пресмета плоштината на криволинеарна трапезоид.
Решение. Геометријата ни дава рецепти за пресметување на плоштините на многуаголниците и некои делови од кругот (сектор, отсечка). Користејќи геометриски размислувања, можеме да најдеме само приближна вредност на потребната површина, расудувајќи на следниов начин.
Да го поделиме сегментот [a; b] (основа на заоблен трапез) на n еднакви делови; оваа партиција се изведува со помош на точките x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Да повлечеме прави линии низ овие точки паралелни со y-оската. Тогаш дадениот криволинеарен трапез ќе се подели на n делови, на n тесни колони. Површината на целиот трапез е еднаква на збирот на површините на столбовите.
Ајде да ја разгледаме k-тата колона одделно, т.е. заоблен трапез чија основа е отсечка. Да го замениме со правоаголник со иста основа и висина еднаква на f(x k) (види слика). Површината на правоаголникот е еднаква на \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), каде што \(\Delta x_k \) е должината на сегментот; Природно е да се смета добиениот производ како приближна вредност на површината на k-та колона. 
Ако сега го сториме истото со сите други колони, ќе дојдеме до следниот резултат: плоштината S на даден криволинеарен трапез е приближно еднаква на плоштината S n на скалеста фигура составена од n правоаголници (види слика):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Овде, заради униформност на ознаката, претпоставуваме дека a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - должина на сегментот, \(\Delta x_1 \) - должина на сегментот, итн.; во овој случај, како што се договоривме погоре, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Значи, \(S \приближно S_n \), и оваа приближна еднаквост е попрецизна, колку е поголема n.
По дефиниција, се верува дека потребната површина на криволинеарен трапез е еднаква на границата на низата (S n):
$$ S = \lim_(n \до \infty) S_n $$
Задача 2 (за поместување точка)
Материјалната точка се движи по права линија. Зависноста на брзината од времето се изразува со формулата v = v(t). Најдете го движењето на точка во одреден временски период [a; б].
Решение. Кога движењето би било еднообразно, тогаш проблемот би бил решен многу едноставно: s = vt, т.е. s = v(b-a). За нерамномерно движење, треба да ги користите истите идеи на кои се базираше решението на претходниот проблем.
1) Поделете го временскиот интервал [a; b] на n еднакви делови.
2) Размислете за временски период и претпоставете дека во овој временски период брзината била константна, исто како и во времето t k. Значи, претпоставуваме дека v = v(t k).
3) Да ја најдеме приближната вредност на движењето на точката во одреден временски период, ќе ја означиме оваа приближна вредност како s k
\(s_k = v(t_k) \Делта t_k \)
4) Најдете ја приближната вредност на поместувањето s:
\(s \приближно S_n \) каде
\(S_n = s_0 + \точки + s_(n-1) = v(t_0)\Делта t_0 + \точки + v(t_(n-1)) \Делта t_(n-1) \)
5) Потребното поместување е еднакво на границата на низата (S n):
$$ s = \lim_(n \до \infty) S_n $$
Да резимираме. Решенијата на различни проблеми беа сведени на истиот математички модел. Многу проблеми од различни области на науката и технологијата водат кон истиот модел во процесот на решавање. Тоа значи дека овој математички модел мора посебно да се изучува.
Концептот на определен интегралДа дадеме математички опис на моделот што е изграден во трите разгледувани задачи за функцијата y = f(x), континуирано (но не нужно ненегативен, како што се претпоставуваше во разгледуваните задачи) на интервалот [a; б]:
1) подели го сегментот [a; b] на n еднакви делови;
2) сочинете го збирот $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) пресметајте $$ \lim_(n \до \infty) S_n $$
Во текот на математичката анализа беше докажано дека оваа граница постои во случај на континуирана (или на делови континуирана) функција. Се нарекува дефинитивен интеграл на функцијата y = f(x) над отсечката [a; b] и означено на следниов начин:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Броевите a и b се нарекуваат граници на интеграција (долна и горна, соодветно).
Да се вратиме на задачите дискутирани погоре. Дефиницијата за област дадена во задача 1 сега може да се преработи на следниов начин:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тука S е областа на закривениот трапез прикажан на сликата погоре. Ова е геометриското значење на определениот интеграл.
Дефиницијата за поместување s на точка што се движи во права линија со брзина v = v(t) во временскиот период од t = a до t = b, дадена во задача 2, може да се препише на следниов начин:
Прво, да одговориме на прашањето: каква е врската помеѓу определениот интеграл и антидериватот?
Одговорот може да се најде во задача 2. Од една страна, поместувањето s на точка што се движи права линија со брзина v = v(t) во временскиот период од t = a до t = b се пресметува со формулата
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Од друга страна, координатата на подвижна точка е антидериват за брзина - да ја означиме s(t); тоа значи дека поместувањето s се изразува со формулата s = s(b) - s(a). Како резултат добиваме:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
каде што s(t) е антидериват на v(t).
Следната теорема беше докажана во текот на математичката анализа.
Теорема. Ако функцијата y = f(x) е континуирана на интервалот [a; b], тогаш формулата е валидна
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
каде што F(x) е антидериват на f(x).
Горенаведената формула обично се нарекува формула Њутн-Лајбниц во чест на англискиот физичар Исак Њутн (1643-1727) и германскиот филозоф Готфрид Лајбниц (1646-1716), кои ја добиле независно еден од друг и речиси истовремено.
Во пракса, наместо да пишуваат F(b) - F(a), тие ја користат ознаката \(\left. F(x)\right|_a^b \) (понекогаш се нарекува двојна замена) и соодветно го препишуваат Њутн - Формулата на Лајбниц на овој начин се формира:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \лево. F(x)\десно|_a^b \)
Кога пресметувате дефинитивен интеграл, прво пронајдете го антидериватот, а потоа извршете двојна замена.
Врз основа на формулата Њутн-Лајбниц, можеме да добиеме две својства на определениот интеграл.
Својство 1. Интегралот од збирот на функции е еднаков на збирот на интегралите:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Својство 2. Константниот фактор може да се извади од интегралниот знак:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Користејќи го интегралот, можете да ги пресметате областите не само на закривени трапезоиди, туку и на рамни фигури од покомплексен тип, на пример, оној прикажан на сликата. Сликата P е ограничена со прави x = a, x = b и графикони на непрекинати функции y = f(x), y = g(x), и на отсечката [a; b] важи неравенката \(g(x) \leq f(x) \). За да ја пресметаме областа S на таква фигура, ќе постапиме на следниов начин:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Значи, плоштината S на фигура ограничена со прави x = a, x = b и графикони на функции y = f(x), y = g(x), непрекинато на отсечката и таква што за кој било x од отсечката [а; b] неравенката \(g(x) \leq f(x) \) е исполнета, пресметана со формулата
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
А)
Решение.
Првата и најважна точка во одлуката е цртањето.
Ајде да го направиме цртежот:
Равенката y=0ја поставува оската „x“;
- x=-2И x=1- директно, паралелно со оската ОУ;
- y=x 2 +2 -парабола, чии гранки се насочени нагоре, со теме во точката (0;2).
Коментар. За да се конструира парабола, доволно е да се пронајдат точките на нејзиното вкрстување со координатните оски, т.е. ставање x=0најдете го пресекот со оската ОУи решавајќи ја соодветната квадратна равенка, најди го пресекот со оската О .
Темето на параболата може да се најде со помош на формулите: 
Можете исто така да изградите линии точка по точка.
На интервалот [-2;1] графикот на функцијата y=x 2 +2се наоѓа над оската Вол, Затоа:
Одговор: С=9 квадратни единици
Откако ќе заврши задачата, секогаш е корисно да го погледнете цртежот и да откриете дали одговорот е реален. Во овој случај, „со око“ го броиме бројот на ќелии на цртежот - добро, ќе има околу 9, се чини дека е точно. Апсолутно е јасно дека ако го добиеме, да речеме, одговорот: 20 квадратни единици, тогаш очигледно е дека некаде е направена грешка - 20 ќелии очигледно не се вклопуваат во дотичната фигура, најмногу десетина. Ако одговорот е негативен, тогаш и задачата е погрешно решена.
Што да направите ако под оската се наоѓа заоблен трапез О?
б) Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите y=-e x , x=1и координатни оски.
Решение.
Ајде да направиме цртеж.
Ако закривен трапез е целосно лоциран под оската О , тогаш неговата површина може да се најде со помош на формулата:
Одговор: S=(е-1)кв. единици“ 1,72 кв. единици
Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:
1) Ако од вас се бара да решите едноставно одреден интеграл без никакво геометриско значење, тогаш тој може да биде негативен.
2) Ако од вас е побарано да ја пронајдете плоштината на фигурата користејќи дефинитивен интеграл, тогаш областа е секогаш позитивна! Затоа минусот се појавува во формулата која штотуку беше дискутирана.
Во пракса, најчесто фигурата се наоѓа и во горната и во долната полурамнина.
в) Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии y=2x-x 2, y=-x.
Решение.
Прво треба да го завршите цртежот. Општо земено, кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата 
и директно 
Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички.
Ја решаваме равенката:
Ова значи дека долната граница на интеграција a=0, горната граница на интеграција b=3 .
|
Ги градиме дадените прави: 1. Парабола - теме во точката (1;1); оска пресек О -поени (0;0) и (0;2). 2. Права - симетрала на 2-ри и 4-ти координатни агли. И сега Внимание! Ако на сегментот [ а;б] некоја континуирана функција f(x)поголема или еднаква на некоја континуирана функција g(x), тогаш областа на соодветната фигура може да се најде со помош на формулата: И не е важно каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, туку она што е важно е кој графикон е ПОВИСОК (во однос на друг графикон) и кој е ПОДОЛ. Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, и затоа е потребно да се одземе од |
.Можете да конструирате линии точка по точка, а границите на интеграцијата стануваат јасни „сами“. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални).
Посакуваната фигура е ограничена со парабола горе и права линија долу.
На сегментот 
, според соодветната формула:
Одговор: С=4,5 квадратни единици
Како да вметнете математички формули на веб-локација?
Ако некогаш треба да додадете една или две математички формули на веб-страница, тогаш најлесниот начин да го направите тоа е како што е опишано во статијата: математичките формули лесно се вметнуваат на страницата во форма на слики кои автоматски се генерираат од Wolfram Alpha . Покрај едноставноста, овој универзален метод ќе помогне да се подобри видливоста на страницата во пребарувачите. Работи долго време (и мислам дека ќе работи засекогаш), но веќе е морално застарен.
Ако редовно користите математички формули на вашиот сајт, тогаш ви препорачувам да користите MathJax - специјална библиотека JavaScript која прикажува математичка нотација во веб-прелистувачите користејќи ознака MathML, LaTeX или ASCIIMathML.
Постојат два начина да започнете со користење на MathJax: (1) со користење на едноставен код, можете брзо да поврзете MathJax скрипта на вашата веб-локација, која автоматски ќе се вчита од оддалечен сервер во вистинско време (список на сервери); (2) преземете ја скриптата MathJax од оддалечен сервер на вашиот сервер и поврзете ја на сите страници на вашата страница. Вториот метод - покомплексен и одзема многу време - ќе го забрза вчитувањето на страниците на вашата страница, и ако матичниот сервер MathJax поради некоја причина привремено стане недостапен, тоа нема да влијае на вашата веб-страница на кој било начин. И покрај овие предности, го избрав првиот метод бидејќи е поедноставен, побрз и не бара технички вештини. Следете го мојот пример и за само 5 минути ќе можете да ги користите сите карактеристики на MathJax на вашата страница.
Можете да ја поврзете скриптата за библиотека MathJax од оддалечен сервер користејќи две опции за код земени од главната веб-локација на MathJax или на страницата со документација:
Една од овие опции за код треба да се копира и залепи во кодот на вашата веб-страница, по можност помеѓу ознаките и или веднаш по ознаката. Според првата опција, MathJax се вчитува побрзо и помалку ја успорува страницата. Но, втората опција автоматски ги следи и вчитува најновите верзии на MathJax. Ако го вметнете првиот код, тој ќе треба периодично да се ажурира. Ако го вметнете вториот код, страниците ќе се вчитуваат побавно, но нема да треба постојано да ги следите ажурирањата на MathJax.
Најлесен начин за поврзување на MathJax е во Blogger или WordPress: во контролната табла на страницата, додајте графичка контрола дизајнирана за вметнување JavaScript код од трета страна, копирајте ја првата или втората верзија на кодот за преземање претставен погоре во него и поставете го додатокот поблиску до почетокот на шаблонот (патем, ова воопшто не е потребно, бидејќи скриптата MathJax се вчитува асинхроно). Тоа е се. Сега научете ја синтаксата за обележување на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и подготвени сте да вметнете математички формули во веб-страниците на вашата страница.
Секој фрактал е конструиран според одредено правило, кое постојано се применува неограничен број пати. Секое такво време се нарекува итерација.
Итеративниот алгоритам за конструирање на сунѓер Менгер е прилично едноставен: оригиналната коцка со страна 1 е поделена со рамнини паралелни на нејзините лица на 27 еднакви коцки. Од него се отстрануваат една централна коцка и 6 коцки во непосредна близина на неа по лицата. Резултатот е сет кој се состои од преостанатите 20 помали коцки. Правејќи го истото со секоја од овие коцки, добиваме сет составен од 400 помали коцки. Продолжувајќи го овој процес бескрајно, добиваме сунѓер Менгер.
Во претходниот дел, посветен на анализата на геометриското значење на дефинитивен интеграл, добивме голем број формули за пресметување на површината на криволинеарен трапез:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x за континуирана и ненегативна функција y = f (x) на интервалот [ a ; б],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x за континуирана и непозитивна функција y = f (x) на интервалот [ a ; б].
Овие формули се применливи за решавање на релативно едноставни проблеми. Во реалноста, често ќе треба да работиме со посложени фигури. Во овој поглед, овој дел ќе го посветиме на анализа на алгоритми за пресметување на областа на фигури кои се ограничени со функции во експлицитна форма, т.е. како y = f(x) или x = g(y).
ТеоремаНека функциите y = f 1 (x) и y = f 2 (x) се дефинирани и континуирани на интервалот [ a ; b ] , и f 1 (x) ≤ f 2 (x) за која било вредност x од [ a ; б]. Тогаш формулата за пресметување на површината на сликата G, ограничена со линиите x = a, x = b, y = f 1 (x) и y = f 2 (x) ќе изгледа како S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Слична формула ќе биде применлива за областа на фигура ограничена со линиите y = c, y = d, x = g 1 (y) и x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.
Доказ
Ајде да погледнеме три случаи за кои формулата ќе важи.
Во првиот случај, земајќи го предвид својството на адитивност на површината, збирот на површините на оригиналната слика G и криволинеарниот трапез G 1 е еднаков на плоштината на сликата G 2. Тоа значи дека
Затоа, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Можеме да ја извршиме последната транзиција користејќи го третото својство на определениот интеграл.
Во вториот случај, еднаквоста е точно: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Графичката илустрација ќе изгледа вака:
Ако двете функции се непозитивни, добиваме: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Графичката илустрација ќе изгледа вака:
Ајде да продолжиме да го разгледуваме општиот случај кога y = f 1 (x) и y = f 2 (x) ја сечат оската O x.
Пресечните точки ги означуваме како x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Овие точки го делат сегментот [a; b ] на n делови x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, каде α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Оттука,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Последната транзиција можеме да ја направиме користејќи го петтото својство на определениот интеграл.
Дозволете ни да го илустрираме општиот случај на графиконот.
Формулата S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x може да се смета за докажана.
Сега да преминеме на анализа на примери за пресметување на областа на фигури што се ограничени со линиите y = f (x) и x = g (y).
Ќе започнеме со разгледување на кој било од примерите со конструирање график. Сликата ќе ни овозможи да претставиме сложени форми како синдикати на поедноставни форми. Ако конструирањето на графикони и фигури на нив ви е тешко, можете да го проучите делот за основни елементарни функции, геометриска трансформација на графикони на функции, како и конструирање графикони додека ја проучувате функцијата.
Пример 1
Неопходно е да се одреди областа на фигурата, која е ограничена со параболата y = - x 2 + 6 x - 5 и прави линии y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Решение
Да ги нацртаме линиите на графикот во Декартовиот координатен систем.
На сегментот [1; 4 ] графикот на параболата y = - x 2 + 6 x - 5 се наоѓа над правата линија y = - 1 3 x - 1 2. Во овој поглед, за да го добиеме одговорот, ја користиме формулата добиена претходно, како и методот на пресметување на дефинитивниот интеграл со помош на формулата Њутн-Лајбниц:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Одговор: S(G) = 13
Ајде да погледнеме покомплексен пример.
Пример 2
Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со линиите y = x + 2, y = x, x = 7.
Решение
Во овој случај, имаме само една права линија која се наоѓа паралелно со оската x. Ова е x = 7. Ова бара од нас самите да ја најдеме втората граница на интеграција.
Ајде да изградиме график и да ги нацртаме на него линиите дадени во изјавата за проблемот.
Имајќи го графикот пред очи, лесно можеме да одредиме дека долната граница на интеграција ќе биде апсцисата на точката на пресек на графикот на правата линија y = x и полупараболата y = x + 2. За да ја најдеме апсцисата ги користиме еднаквостите:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Излегува дека апсцисата на пресечната точка е x = 2.
Вашето внимание го обрнуваме на фактот дека во општиот пример на цртежот, правите y = x + 2, y = x се сечат во точката (2; 2), така што ваквите детални пресметки може да изгледаат непотребни. Овде дадовме такво детално решение само затоа што во посложени случаи решението можеби не е толку очигледно. Тоа значи дека е подобро секогаш аналитички да се пресметуваат координатите на пресекот на линиите.
На интервалот [2; 7] графикот на функцијата y = x се наоѓа над графикот на функцијата y = x + 2. Ајде да ја примениме формулата за да ја пресметаме областа:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Одговор: S (G) = 59 6
Пример 3
Неопходно е да се пресмета површината на сликата, која е ограничена со графиконите на функциите y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2.
Решение
Ајде да ги нацртаме линиите на графикот.
Ајде да ги дефинираме границите на интеграцијата. За да го направите ова, ги одредуваме координатите на точките на пресек на линиите со изедначување на изразите 1 x и - x 2 + 4 x - 2. Под услов x да не е нула, еднаквоста 1 x = - x 2 + 4 x - 2 станува еквивалентна на равенката од трет степен - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 со целобројни коефициенти. За да ја освежиме вашата меморија за алгоритмот за решавање вакви равенки, можеме да се повикаме на делот „Решавање кубни равенки“.
Коренот на оваа равенка е x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Поделувајќи го изразот - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 со биномот x - 1, добиваме: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Можеме да ги најдеме преостанатите корени од равенката x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Го најдовме интервалот x ∈ 1; 3 + 13 2, во која фигурата G е содржана над сината и под црвената линија. Ова ни помага да ја одредиме областа на фигурата:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Одговор: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Пример 4
Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со кривите y = x 3, y = - log 2 x + 1 и оската на апсцисата.
Решение
Да ги нацртаме сите линии на графикот. Графикот на функцијата y = - log 2 x + 1 можеме да го добиеме од графикот y = log 2 x ако го поставиме симетрично во однос на оската x и го поместиме за една единица нагоре. Равенката на оската x е y = 0.
Дозволете ни да ги означиме точките на пресек на линиите.
Како што може да се види од сликата, графиците на функциите y = x 3 и y = 0 се сечат во точката (0; 0). Ова се случува затоа што x = 0 е единствениот реален корен на равенката x 3 = 0.
x = 2 е единствениот корен на равенката - log 2 x + 1 = 0, така што графиците на функциите y = - log 2 x + 1 и y = 0 се сечат во точката (2; 0).
x = 1 е единствениот корен на равенката x 3 = - log 2 x + 1 . Во овој поглед, графиците на функциите y = x 3 и y = - log 2 x + 1 се сечат во точката (1; 1). Последната изјава можеби не е очигледна, но равенката x 3 = - log 2 x + 1 не може да има повеќе од еден корен, бидејќи функцијата y = x 3 строго се зголемува, а функцијата y = - log 2 x + 1 е строго се намалува.
Понатамошното решение вклучува неколку опции.
Опција број 1
Сликата G можеме да ја замислиме како збир од два криволинеарни трапезоиди лоцирани над оската x, од кои првата се наоѓа под средната линија на отсечката x ∈ 0; 1, а втората е под црвената линија на сегментот x ∈ 1; 2. Тоа значи дека плоштината ќе биде еднаква на S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Опција бр. 2
Сликата G може да се претстави како разлика на две фигури, од кои првата се наоѓа над оската x и под сината линија на отсечката x ∈ 0; 2, а втората помеѓу црвената и сината линија на отсечката x ∈ 1; 2. Ова ни овозможува да ја најдеме областа на следниов начин:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Во овој случај, за да ја пронајдете областа ќе треба да користите формула од формата S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Всушност, линиите што ја врзуваат фигурата можат да се претстават како функции на аргументот y.
Да ги решиме равенките y = x 3 и - log 2 x + 1 во однос на x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Ја добиваме потребната област:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Одговор: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Пример 5
Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со линиите y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Решение
Со црвена линија ја цртаме правата дефинирана со функцијата y = x. Правата y = - 1 2 x + 4 ја цртаме со сино, а линијата y = 2 3 x - 3 црно.
Да ги означиме пресечните точки.
Да ги најдеме пресечните точки на графиците на функциите y = x и y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Проверете: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не Дали решението на равенката x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 е решението на равенката ⇒ (4; 2) точка на пресек i y = x и y = - 1 2 x + 4
Да ја најдеме пресечната точка на графиците на функциите y = x и y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Проверете: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 е решението на равенката ⇒ (9 ; 3) точка a s y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Нема решение за равенката
Да ја најдеме пресечната точка на правите y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) точка на пресек y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3
Метод бр. 1
Да ја замислиме плоштината на саканата фигура како збир на плоштините на поединечни фигури.
Тогаш површината на сликата е:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Метод бр. 2
Областа на оригиналната фигура може да се претстави како збир на две други фигури.
Потоа ја решаваме равенката на линијата во однос на x и само после тоа ја применуваме формулата за пресметување на површината на сликата.
y = x ⇒ x = y 2 црвена линија y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 црна линија y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Значи областа е:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Како што можете да видите, вредностите се исти.
Одговор: S (G) = 11 3
РезултатиЗа да ја пронајдеме плоштината на фигурата што е ограничена со дадени линии, треба да конструираме линии на рамнина, да ги најдеме нивните пресечни точки и да ја примениме формулата за да ја најдеме областа. Во овој дел, ги испитавме најчестите варијанти на задачи.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter