Користење на интеграли за пронаоѓање на волумените на телата на револуцијата

Практичната корисност на математиката се должи на фактот што без

Специфичното математичко знаење го отежнува разбирањето на принципите на уредот и употребата на модерната технологија. Секој човек во својот живот мора да изврши доста сложени пресметки, да користи најчесто користена опрема, да ги најде потребните формули во референтните книги и да создава едноставни алгоритми за решавање проблеми. Во современото општество, сè повеќе специјалности кои бараат високо ниво на образование се поврзани со директна примена на математиката. Така, математиката станува професионално значаен предмет за студентот. Водечката улога ѝ припаѓа на математиката во формирањето на алгоритамското размислување, таа развива способност да дејствува според даден алгоритам и да конструира нови алгоритми.

Додека ја проучувам темата за користење на интегралот за пресметување на волумените на телата на револуцијата, предлагам учениците во изборните часови да ја разгледаат темата: „Волумени на тела на револуција користејќи интеграли“. Подолу се дадени методолошки препораки за разгледување на оваа тема:

1. Површина на рамна фигура.

Од курсот за алгебра знаеме дека проблемите од практична природа доведоа до концептот на определен интеграл..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

За да се најде волуменот на телото на ротација формирано со ротација на криволинеарен трапез околу оската Ox, ограничен со прекината линија y=f(x), оската Ox, правите x=a и x=b, пресметуваме користејќи ја формулата

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Волумен на цилиндарот.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусот се добива со ротирање на правоаголен триаголник ABC (C = 90) околу оската Ox на која лежи кракот AC.

Сегментот AB лежи на правата линија y=kx+c, каде што https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Нека a=0, b=H (H е висината на конусот), тогаш Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Волумен на скратен конус.

Скратен конус може да се добие со ротирање на правоаголен трапез ABCD (CDOx) околу оската Ox.

Отсечката AB лежи на правата y=kx+c, каде , c=r.

Бидејќи правата линија минува низ точката А (0;r).

Така, правата линија изгледа како https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Нека a=0, b=H (H е висината на скратениот конус), потоа https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Волумен на топката.

Топката може да се добие со ротирање на круг со центар (0;0) околу оската Ox. Полукругот кој се наоѓа над оската Ox е даден со равенката

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x Р.

Како да се пресмета волуменот на телото на револуција
користејќи дефинитивен интеграл?

Општо земено, има многу интересни апликации во интегралниот калкулус со користење на дефинитивен интеграл, можете да ја пресметате површината на фигурата, обемот на телото на ротација, должината на лакот, површината на површината; ротација и многу повеќе. Така ќе биде забавно, ве молиме останете оптимисти!

Замислете некоја рамна фигура на координатната рамнина. Воведен? ... Се прашувам кој што презентираше... =))) Веќе ја најдовме неговата област. Но, покрај тоа, оваа бројка може да се ротира и да се ротира на два начина:

- околу оската на апсцисата;
- околу оската на ординатите.

Оваа статија ќе ги испита двата случаи. Вториот метод на ротација е особено интересен, тој предизвикува најмногу потешкотии, но всушност решението е речиси исто како и во повообичаената ротација околу х-оската; Како бонус ќе се вратам на проблем за наоѓање на плоштината на фигурата, и ќе ви кажам како да ја пронајдете областа на вториот начин - по оската. Тоа не е толку бонус колку што материјалот добро се вклопува во темата.

Да почнеме со најпопуларниот тип на ротација.

рамна фигура околу оската

Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање на фигура ограничена со линии околу оската.

Решение: Како и во проблемот со наоѓање на областа, решението започнува со цртеж на рамна фигура. Односно, на рамнината потребно е да се конструира фигура ограничена со линиите и не заборавајте дека равенката ја одредува оската. Како да се заврши цртежот поефикасно и побрзо може да се најде на страниците Графикони и својства на Елементарните функцииИ . Ова е кинески потсетник и во овој момент нема да се задржувам понатаму.

Цртежот овде е прилично едноставен:

Посакуваната рамна фигура е засенчена со сина боја. Всушност, телото има математичко име, но јас сум премногу мрзлив да објаснам нешто во референтната книга, па продолжуваме понатаму.

Како да се пресмета волуменот на телото на револуција?

Волуменот на телото на револуција може да се пресмета со формулата:

Во формулата, бројот мора да биде присутен пред интегралот. Така и се случи - сè што се врти во животот е поврзано со оваа константа.

Мислам дека е лесно да се погоди како да се постават границите на интеграцијата „а“ и „биде“ од завршениот цртеж.

Функција... што е оваа функција? Ајде да го погледнеме цртежот. Рамнината е ограничена со графикот на параболата на врвот. Ова е функцијата што се подразбира во формулата.

Во практични задачи, рамна фигура понекогаш може да се наоѓа под оската. Ова не менува ништо - интеграндот во формулата е на квадрат: , на тој начин интегралот е секогаш ненегативен, што е многу логично.

Ајде да го пресметаме волуменот на телото на ротација користејќи ја оваа формула:

Како што веќе забележав, интегралот скоро секогаш се покажува едноставен, главната работа е да се биде внимателен.

Одговори:

Во вашиот одговор мора да ја наведете димензијата - кубни единици. Тоа е, во нашето тело на ротација има приближно 3,35 „коцки“. Зошто кубни единици? Бидејќи најуниверзалната формулација. Може да има кубни сантиметри, може да има кубни метри, може да има кубни километри итн., тоа е колку зелени мажи вашата фантазија може да стави во летечка чинија.

Најдете го волуменот на телото формирано со ротација околу оската на фигура ограничена со линии ,

Ова е пример за да го решите сами. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Да разгледаме два посложени проблеми, кои исто така често се среќаваат во пракса.

Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање околу оската на апсцисата на фигурата ограничена со правите , и

Решение: Да прикажеме на цртежот рамна фигура ограничена со линиите , , , , без да заборавиме дека равенката ја дефинира оската:

Посакуваната фигура е засенчена во сино. Кога се ротира околу својата оска, излегува дека е надреална крофна со четири агли.

Да го пресметаме волуменот на телото на револуцијата како разлика во волумените на телата.

Прво, да ја погледнеме фигурата заокружена во црвено. Кога се ротира околу оската, се добива пресечен конус. Да го означиме волуменот на овој скратен конус со .

Размислете за фигурата што е заокружена со зелена боја. Ако ја ротирате оваа бројка околу оската, ќе добиете и скратен конус, само малку помал. Да го означиме неговиот волумен со .

И, очигледно, разликата во волумените е токму обемот на нашата „крофна“.

Ја користиме стандардната формула за да го најдеме волуменот на телото на револуција:

1) Фигурата заокружена во црвено е ограничена горе со права линија, затоа:

2) Фигурата заокружена во зелено е ограничена горе со права линија, затоа:

3) Волумен на саканото тело на револуција:

Одговори:

Интересно е што во овој случај решението може да се провери со помош на училишната формула за пресметување на волуменот на скратен конус.

Самата одлука често се пишува пократко, нешто вака:

Сега да се одмориме малку и да ви кажеме за геометриските илузии.

Луѓето често имаат илузии поврзани со томови, што го забележал Перелман (друг) во книгата Забавна геометрија. Погледнете ја рамната фигура во решениот проблем - се чини дека е мала по површина, а волуменот на телото на револуцијата е нешто повеќе од 50 кубни единици, што изгледа преголемо. Патем, просечен човек во целиот свој живот пие еднаква соба од 18 квадратни метри течност, што, напротив, изгледа премал волумен.

По лирска дигресија, соодветно е да се реши креативна задача:

Пресметај го волуменот на телото формирано со ротација околу оската на рамна фигура ограничена со правите , , каде .

Ова е пример за да го решите сами. Ве молиме имајте предвид дека сите случаи се случуваат во бендот, со други зборови, всушност се дадени готови граници на интеграција. Правилно нацртајте ги графиконите на тригонометриските функции, дозволете ми да ве потсетам на материјалот за лекцијата за геометриски трансформации на графикони: ако аргументот се подели со два: , тогаш графиците се протегаат двапати по оската. Препорачливо е да се најдат најмалку 3-4 поени според тригонометриски табелиза попрецизно да се заврши цртежот. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата. Патем, задачата може да се реши рационално и не многу рационално.

Пресметка на волуменот на телото формирано со ротација
рамна фигура околу оската

Вториот пасус ќе биде уште поинтересен од првиот. Задачата за пресметување на волуменот на телото на вртење околу оската на ординатите е исто така прилично чест гостин во тест-работата. Попатно ќе се разгледува проблем за наоѓање на плоштината на фигуратавториот метод е интеграција долж оската, ова ќе ви овозможи не само да ги подобрите вашите вештини, туку и да ве научи да ја пронајдете најпрофитабилната патека за решение. Во ова има и практично животно значење! Како што со насмевка се присети мојата наставничка по методи на настава по математика, многу дипломци и се заблагодарија со зборовите: „Твојот предмет ни помогна многу, сега сме ефективни менаџери и оптимално управуваме со персоналот“. Искористувајќи ја оваа прилика, и изразувам голема благодарност до неа, особено што стекнатото знаење го користам за наменетата цел =).

Го препорачувам на сите, па дури и на комплетни кукли. Покрај тоа, материјалот научен во вториот став ќе обезбеди непроценлива помош во пресметувањето на двојните интеграли.

Дадена е рамна фигура ограничена со линиите , , .

1) Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со овие линии.
2) Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање на рамна фигура ограничена со овие линии околу оската.

Внимание!Дури и ако сакате да ја прочитате само втората точка, задолжително прво прочитајте ја првата!

Решение: Задачата се состои од два дела. Да почнеме со плоштадот.

1) Ајде да направиме цртеж:

Лесно е да се види дека функцијата ја одредува горната гранка на параболата, а функцијата ја одредува долната гранка на параболата. Пред нас е тривијална парабола што „лежи на нејзина страна“.

Посакуваната фигура, чија површина треба да се најде, е засенчена во сино.

Како да се најде плоштината на фигурата? Може да се најде на „вообичаениот“ начин, за кој се дискутираше на часот Дефинитивен интеграл. Како да се пресмета плоштината на фигурата. Покрај тоа, областа на фигурата се наоѓа како збир на области:
- на сегментот ;
- на сегментот.

Затоа:

Зошто вообичаеното решение е лошо во овој случај? Прво, добивме два интеграли. Второ, има корени под интегралите, а корените во интегралите не се подарок, а освен тоа, може да се збуните во замената на границите на интеграцијата. Всушност, интегралите, се разбира, не се убиствени, но во пракса сè може да биде многу потажно, само избрав „подобри“ функции за проблемот.

Постои порационално решение: се состои од префрлување на инверзни функции и интегрирање по должината на оската.

Како да дојдете до инверзни функции? Грубо кажано, треба да изразите „x“ преку „y“. Прво, да ја погледнеме параболата:

Ова е доволно, но ајде да се увериме дека истата функција може да се изведе од долната гранка:

Полесно е со права линија:

Сега погледнете ја оската: ве молиме периодично навалувајте ја главата надесно за 90 степени додека објаснувате (ова не е шега!). Фигурата што ни треба лежи на сегментот, кој е означен со црвената линија со точки. Во овој случај, на сегментот правата линија се наоѓа над параболата, што значи дека површината на фигурата треба да се најде со помош на формулата што веќе ви е позната: . Што се смени во формулата? Само писмо и ништо повеќе.

! Забелешка: Треба да се постават границите на интеграција долж оската строго од дното кон врвот!

Наоѓање на областа:

Според тоа, на сегментот:

Забележете како ја извршив интеграцијата, ова е најрационален начин, а во следниот став од задачата ќе биде јасно зошто.

За читателите кои се сомневаат во исправноста на интеграцијата, ќе најдам деривати:

Се добива оригиналната интегранд функција, што значи дека интеграцијата е правилно извршена.

Одговори:

2) Дозволете ни да го пресметаме волуменот на телото формиран од ротацијата на оваа бројка околу оската.

Ќе го прецртам цртежот во малку поинаков дизајн:

Значи, фигурата засенчена во сино ротира околу оската. Резултатот е „пеперутка што лебди“ која ротира околу својата оска.

За да го најдеме волуменот на телото на ротација, ќе се интегрираме долж оската. Прво треба да одиме на инверзни функции. Ова е веќе направено и детално опишано во претходниот став.

Сега повторно ја навалуваме главата надесно и ја проучуваме фигурата. Очигледно, волуменот на телото на ротација треба да се најде како разлика во волумените.

Ја ротираме фигурата заокружена во црвено околу оската, што резултира со скратен конус. Да го означиме овој волумен со .

Ја ротираме фигурата заокружена во зелено околу оската и ја означуваме со волуменот на добиеното тело на ротација.

Волуменот на нашата пеперутка е еднаков на разликата во волумените.

Ја користиме формулата за да го најдеме волуменот на телото на револуција:

Која е разликата од формулата во претходниот став? Само во писмото.

Но, предноста на интеграцијата, за која неодамна зборував, е многу полесно да се најде , наместо прво да се подигне интеграндот на 4-та сила.

Одговори:

Забележете дека ако истата рамна фигура се ротира околу оската, ќе добиете сосема поинакво тело на ротација, со различен волумен, природно.

Дадена е рамна фигура ограничена со линии и оска.

1) Одете во инверзни функции и пронајдете ја плоштината на рамнината фигура ограничена со овие линии со интегрирање преку променливата.
2) Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање на рамна фигура ограничена со овие линии околу оската.

Ова е пример за да го решите сами. Заинтересираните можат да ја најдат и областа на фигурата на „вообичаен“ начин, со што ќе ја проверат точката 1). Но, ако, повторувам, ротирате рамна фигура околу оската, ќе добиете сосема друго тело на ротација со различен волумен, патем, точен одговор (исто така за оние кои сакаат да решаваат проблеми).

Целосно решение на двете предложени точки од задачата е на крајот од часот.

Да, и не заборавајте да ја навалите главата надесно за да ги разберете телата на ротација и границите на интеграцијата!

Сакав да ја завршам статијата, но денес донесоа интересен пример само за пронаоѓање на волуменот на телото на револуција околу оската на ординатите. Свежо:

Пресметај го волуменот на телото формирано со ротација околу оската на фигура ограничена со криви и .

Решение: Ајде да направиме цртеж:

Попатно се запознаваме со графиконите на некои други функции. Еве еден интересен график на парна функција...

Нека T е тело на вртење формирано со ротација околу оската на апсцисата на криволинеарен трапез лоциран во горната полурамнина и ограничен со оската на апсцисата, правите x=a и x=b и графикот на континуирана функција y= f(x) .

Да докажеме дека е тоа телото на револуцијата се коцка и неговиот волумен се изразува со формулата

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Прво, докажуваме дека ова тело на револуција е редовно ако ја избереме рамнината Oyz нормална на оската на ротација како \Pi. Забележете дека делот лоциран на растојание x од рамнината Oyz е круг со радиус f(x) и неговата површина S(x) е еднаква на \pi f^2(x) (сл. 46). Според тоа, функцијата S(x) е континуирана поради континуитетот на f(x). Следно, ако S(x_1)\leqslant S(x_2), тогаш ова значи дека. Но, проекциите на пресеците на рамнината Oyz се кругови со радиуси f(x_1) и f(x_2) со центар O, и од f(x_1)\leqslant f(x_2)следува дека круг со радиус f(x_1) е содржан во круг со радиус f(x_2) .

Значи, телото на револуцијата е редовно. Затоа, се коцка и неговиот волумен се пресметува со формулата

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Ако криволинеарен трапез е ограничен и под и горе со кривите y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), тогаш

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(б)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Формулата (3) може да се користи и за пресметување на волуменот на телото на вртење во случај кога границата на ротирачката фигура е специфицирана со параметарски равенки. Во овој случај, треба да користите промена на променливата под дефинитивниот интегрален знак.

Во некои случаи се покажува дека е погодно да се разложуваат телата на ротација не во прави кружни цилиндри, туку во фигури од различен тип.

На пример, ајде да најдеме волумен на тело добиен со ротирање на заоблен трапез околу оската на ординатите. Прво, да го најдеме волуменот добиен со ротирање на правоаголник со висина y#, во чија основа лежи отсечката. Овој волумен е еднаков на разликата во волумените на два прави кружни цилиндри

\Делта V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Но, сега е јасно дека потребниот волумен се проценува од горе и долу на следниов начин:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Од тука лесно се следи формула за волумен на тело на вртење околу оската на ординатите:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Пример 4.Да го најдеме волуменот на топка со радиус R.

Решение.Без губење на општоста, ќе разгледаме круг со радиус R со неговиот центар на почетокот. Овој круг, ротирајќи околу оската Ox, формира топка. Равенката на кругот е x^2+y^2=R^2, значи y^2=R^2-x^2. Земајќи ја предвид симетријата на кругот во однос на оската на ординатите, прво наоѓаме половина од потребниот волумен

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \лево.(\pi\!\лево(R^2x- \frac(x^3)(3)\десно))\десно|_(0)^(R)= \pi\ !\лево(R^3- \frac(R^3)(3)\десно)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Затоа, волуменот на целата топка е еднаков на \frac(4)(3)\pi R^3.

Пример 5.Пресметај го волуменот на конус чија висина h и основен радиус r.

Решение.Дозволете ни да избереме координатен систем така што оската Ox да се совпаѓа со висината h (сл. 47) и да го земеме темето на конусот како почеток на координатите. Тогаш равенката на права ОА ќе се запише во форма y=\frac(r)(h)\,x.

Користејќи ја формулата (3), добиваме:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \лево.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\десно|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Пример 6.Да го најдеме волуменот на телото добиен со ротирање околу х-оската на астроидот \почеток(случаи)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end (случаи)(Сл. 48).

Решение.Ајде да изградиме астроид. Да разгледаме половина од горниот дел на астроидот, лоциран симетрично во однос на оската на ординатите. Користејќи ја формулата (3) и менувајќи ја променливата под определениот интегрален знак, ги наоѓаме границите на интеграција за новата променлива t.

Ако x=a\cos^3t=0, тогаш t=\frac(\pi)(2) и ако x=a\cos^3t=a, тогаш t=0. Имајќи предвид дека y^2=a^2\sin^6t и dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, добиваме:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Волуменот на целото тело формиран од ротацијата на астроидот ќе биде \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Пример 7.Дозволете ни да го најдеме волуменот на телото добиен со ротирање околу ординатна оска на криволиниски трапез ограничен со оската x и првиот лак на циклоидот \почеток(случаи)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(случаи).

Решение.Да ја користиме формулата (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, и заменете ја променливата под знакот интегрален, земајќи предвид дека првиот лак на циклоидот се формира кога променливата t се менува од 0 на 2\pi. Така,

\почеток(порамнет)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\лево(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\десно)= 6\pi^3a^3. \end (порамнет)

Javascript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да извршите пресметки, мора да овозможите ActiveX контроли!

Тема: „Пресметување на волумените на телата на револуција со помош на определен интеграл“

Тип на лекција:комбинирано.

Целта на лекцијата:Научете да ги пресметувате волумените на телата на револуција користејќи интеграли.

Задачи:

консолидирање на способноста да се идентификуваат криволинеарни трапезоиди од голем број геометриски фигури и развивање на вештината за пресметување на областите на криволинеарни трапезоиди;

да се запознаат со концептот на тридимензионална фигура;

научи да ги пресметува волумените на телата на револуцијата;

промовирање на развојот на логично размислување, компетентен математички говор, точност при конструирање цртежи;

да негува интерес за предметот, да работи со математички поими и слики, да негува волја, независност и истрајност во постигнувањето на конечниот резултат.

За време на часовите

I. Организациски момент.

Поздрав од групата. Пренеси им ги целите на часот на учениците.

Би сакал да ја започнам денешната лекција со парабола. „Еднаш одамна живееше еден мудар човек кој знаеше сè. Еден човек сакаше да докаже дека мудрецот не знае сè. Држејќи пеперутка во дланките, праша: „Кажи ми, мудрец, која пеперутка е во моите раце: жива или мртва?“ И мисли: „Ако живата рече, ќе ја убијам ако рече мртвата, ќе ја ослободам“. Мудрецот, откако размислил, одговорил: „Сè е во ваши раце“.

Затоа, да работиме плодно денес, да стекнеме нова залиха на знаење, а стекнатите вештини и способности ќе ги примениме во идниот живот и во практичните активности „Сè е во ваши раце“.

II. Повторување на претходно проучен материјал.

Ајде да се потсетиме на главните точки на претходно изучениот материјал. За да го направите ова, ајде да ја завршиме задачата „Елиминирајте го дополнителниот збор“.

(Учениците кажуваат дополнителен збор.)

Во право „Диференцијал“.Обидете се да ги именувате преостанатите зборови со еден заеднички збор. (Интегрална пресметка.)

Да се ​​потсетиме на главните фази и концепти поврзани со интегралната пресметка.

Вежбајте.Повратете ги празнините. (Ученикот излегува и ги запишува бараните зборови со маркер.)

Работете во тетратки.

Формулата Њутн-Лајбниц ја изведоа англискиот физичар Исак Њутн (1643-1727) и германскиот филозоф Готфрид Лајбниц (1646-1716). И тоа не е изненадувачки, бидејќи математиката е јазикот што го зборува самата природа.

Ајде да размислиме како оваа формула се користи за решавање на практични проблеми.

Пример 1: Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии

Решение:Ајде да конструираме графикони на функции на координатната рамнина . Ајде да ја избереме областа на фигурата што треба да се најде.

III. Учење нов материјал.

Обрнете внимание на екранот. Што е прикажано на првата слика? (Сликата покажува рамна фигура.)

Што е прикажано на втората слика? Дали оваа бројка е рамна? (Сликата покажува тродимензионална фигура.)

Во вселената, на земјата и во секојдневниот живот не се среќаваме само со рамни фигури, туку и со тридимензионални, но како да го пресметаме волуменот на таквите тела? На пример: волумен на планета, комета, метеорит итн.

Луѓето размислуваат за волуменот и кога градат куќи и кога истураат вода од еден сад во друг. Требаше да се појават правила и техники за пресметување на волумените колку тие беа точни и оправдани е друга работа.

1612 година била многу плодна за жителите на австрискиот град Линц, каде што живеел познатиот астроном Јоханес Кеплер, особено за грозје. Луѓето подготвуваа буриња со вино и сакаа да знаат како практично да ги одредат нивните волумени.

Така, разгледуваните дела на Кеплер го означија почетокот на цела фреквенција на истражување што кулминираше во последната четвртина од 17 век. дизајн во делата на I. Newton и G.V. Лајбниц на диференцијално и интегрално сметање. Од тоа време, математиката на променливи зазема водечко место во системот на математичко знаење.

Денес вие и јас ќе се вклучиме во такви практични активности, затоа,

Темата на нашата лекција: „Пресметување на волумените на телата на ротација користејќи дефинитивен интеграл“.

Дефиницијата за тело на ротација ќе ја научите со завршување на следната задача.

„Лавиринт“.

Вежбајте.Најдете излез од збунувачката ситуација и запишете ја дефиницијата.

IVПресметка на волумени.

Користејќи дефинитивен интеграл, можете да го пресметате волуменот на одредено тело, особено, тело на револуција.

Тело на вртење е тело добиено со ротирање на заоблен трапез околу неговата основа (сл. 1, 2)

Волуменот на телото на револуција се пресметува со помош на една од формулите:

1. околу оската OX.

2. , ако ротацијата на закривен трапез околу оската на оп-засилувачот.

Учениците ги запишуваат основните формули во тетратка.

Наставникот ги објаснува решенијата на примерите на табла.

1. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање околу ординатна оска на криволинеарен трапез ограничен со линии: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Одговор: 1163 cm3.

2. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање на параболичен трапез околу оската x y = , x = 4, y = 0.

Решение.

В. Математички симулатор.

2. Се вика множеството од сите антидеривати на дадена функција

А) неопределен интеграл,

Б) функција,

Б) диференцијација.

7. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање околу оската на апсцисата на криволинеарен трапез ограничен со линии:

Д/З. Консолидирање на нов материјал

Пресметајте го волуменот на телото формирано со ротација на ливчето околу оската x y = x2, y2 = x.

Ајде да изградиме графикони на функцијата. y = x2, y2 = x. Да го трансформираме графикот y2 = x во форма y = .

Имаме V = V1 - V2 Да го пресметаме волуменот на секоја функција:

Заклучок:

Дефинитивниот интеграл е одредена основа за изучување на математиката, која дава незаменлив придонес во решавањето на практичните проблеми.

Темата „Интеграл“ јасно ја демонстрира врската помеѓу математиката и физиката, биологијата, економијата и технологијата.

Развојот на модерната наука е незамислив без употреба на интегралот. Во овој поглед, неопходно е да се започне со изучување во рамките на средното специјализирано образование!

VI. Оценување.(Со коментар.)

Големиот Омар Кајам - математичар, поет, филозоф. Тој нè поттикнува да бидеме господари на сопствената судбина. Да слушнеме извадок од неговото дело:

Велиш, овој живот е еден момент.
Ценете го, црпете инспирација од него.
Како го трошиш, така ќе помине.
Не заборавајте: таа е ваша креација.

Дефиниција 3. Тело на револуција е тело добиено со ротирање на рамна фигура околу оската што не ја пресекува фигурата и лежи во иста рамнина со неа.

Оската на ротација може да ја пресече фигурата ако е оската на симетрија на фигурата.

Теорема 2.
, оска
и прави сегменти
И

ротира околу една оска
. Тогаш волуменот на добиеното тело на ротација може да се пресмета со помош на формулата

(2)

Доказ. За такво тело, пресекот со апсциса е круг со радиус
, Средства
а формулата (1) го дава бараниот резултат.

Ако фигурата е ограничена со графиконите на две континуирани функции
И
, и линиски отсечки
И
, и
И
, потоа при ротација околу оската x добиваме тело чиј волумен

Пример 3. Пресметајте го волуменот на торусот добиен со ротирање на круг ограничен со круг

околу оската на апсцисата.

Р одлука. Посочениот круг е ограничен подолу со графикот на функцијата
и одозгора -
. Разликата на квадратите на овие функции:

Потребен волумен

(графикот на интеграндот е горниот полукруг, така што интегралот напишан погоре е плоштината на полукругот).

Пример 4. Параболичен сегмент со основа
, и висина , се ротира околу основата. Пресметајте го волуменот на добиеното тело („лимон“ од Кавалиери).

Р одлука. Ќе ја поставиме параболата како што е прикажано на сликата. Потоа нејзината равенка
, и
. Ајде да ја најдеме вредноста на параметарот :
. Значи, потребниот волумен:

Теорема 3. Нека криволинеарен трапез е ограничен со графикот на континуирана ненегативна функција
, оска
и прави сегменти
И
, и
, ротира околу оска
. Тогаш волуменот на добиеното тело на ротација може да се најде со формулата

(3)

Идејата за докажување. Ние го делиме сегментот
точки

, на делови и нацртајте прави линии
. Целиот трапез ќе се распадне на ленти, кои може да се сметаат за приближно правоаголници со основа
и висина
.

Добиениот цилиндар го отсекуваме со ротирање на таков правоаголник долж неговата генератрикс и го расклопуваме. Добиваме „речиси“ паралелепипед со димензии:
,
И
. Неговиот волумен
. Значи, за волуменот на телото на револуција ќе имаме приближна еднаквост

За да се добие точна еднаквост, мора да се оди до границата во
. Збирот напишан погоре е интегрален збир за функцијата
, значи, во лимитот го добиваме интегралот од формулата (3). Теоремата е докажана.

Забелешка 1. Во теоремите 2 и 3 условот
може да се изостави: формулата (2) е генерално нечувствителна на знакот
, а во формулата (3) е доволно
заменет со
.

Пример 5. Параболичен сегмент (основа
, висина ) ротира околу висината. Најдете го волуменот на добиеното тело.

Решение. Да ја поставиме параболата како што е прикажано на сликата. И иако оската на ротација ја пресекува фигурата, таа - оската - е оската на симетрија. Затоа, треба да ја разгледаме само десната половина од сегментот. Равенка на парабола
, и
, Средства
. За волумен имаме:

Забелешка 2. Ако криволинеарната граница на криволинеарен трапез е дадена со параметарски равенки
,
,
И
,
тогаш можете да ги користите формулите (2) и (3) со замена на
И
на
кога се менува тод
пред .

Пример 6. Бројката е ограничена со првиот лак на циклоидот
,
,
и х-оската. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање на оваа бројка околу: 1) оска
; 2) оски
.

Решение. 1) Општа формула
Во нашиот случај:

2) Општа формула
За нашата фигура:

Ги покануваме студентите сами да ги спроведат сите пресметки.

Забелешка 3. Нека закривен сектор ограничен со континуирана линија
и зраци
,

, ротира околу поларна оска. Волуменот на добиеното тело може да се пресмета со формулата.

Пример 7. Дел од фигура ограничена со кардиоид
, лежејќи надвор од кругот
, ротира околу поларна оска. Најдете го волуменот на добиеното тело.

Решение. Двете линии, а со тоа и фигурата што ја ограничуваат, се симетрични во однос на поларната оска. Затоа, потребно е да се разгледа само оној дел за кој
. Кривите се сечат на
И

на
. Понатаму, бројката може да се смета како разлика на два сектори, и затоа волуменот може да се пресмета како разлика на два интеграли. Ние имаме:

Задачи за самостојна одлука.

1. Кружен сегмент чија основа
, висина , се ротира околу основата. Најдете го волуменот на телото на ротација.

2. Најдете го волуменот на параболоид на револуција чија основа , а висината е .

3. Фигура ограничена со астроид
,
ротира околу оската на апсцисата. Најдете го волуменот на добиеното тело.

4. Слика ограничена со линии
И
ротира околу оската x. Најдете го волуменот на телото на ротација.