Процесот на решавање интеграли во науката наречена математика се нарекува интеграција. Користејќи ја интеграцијата, можете да најдете некои физички количини: површина, волумен, маса на тела и многу повеќе.
Интегралите можат да бидат неопределени или определени. Да ја разгледаме формата на определениот интеграл и да се обидеме да го разбереме неговото физичко значење. Тој е претставен во оваа форма: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Посебна карактеристика на пишувањето определен интеграл од неопределен интеграл е тоа што постојат граници на интеграција a и b. Сега ќе дознаеме зошто се потребни и што всушност значи дефинитивен интеграл. Во геометриска смисла, таков интеграл е еднаков на плоштината на фигурата ограничена со кривата f(x), линиите a и b и оската Ox.
Од сл. 1 е јасно дека дефинитивниот интеграл е истата област што е засенчена во сива боја. Ајде да го провериме ова со едноставен пример. Ајде да ја најдеме областа на сликата на сликата подолу користејќи интеграција, а потоа да ја пресметаме на вообичаен начин на множење на должината со ширина.
Од сл. 2 е јасно дека $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заменуваме во дефиницијата на интегралот, добиваме дека $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(единици)^2 $$ Ајде да ја направиме проверката на вообичаен начин. Во нашиот случај, должина = 3, ширина на фигурата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(единици)^2 $$ Како што можете види, сè се совпаѓа совршено.
Се поставува прашањето: како да се решат неопределени интеграли и кое е нивното значење? Решавањето на таквите интеграли е пронаоѓање на антидеривативни функции. Овој процес е спротивен од пронаоѓањето на дериватот. За да го пронајдете антидериватот, можете да ја искористите нашата помош за решавање на проблеми во математиката или треба самостојно да ги запаметите својствата на интегралите и табелата за интеграција на наједноставните елементарни функции. Наодот изгледа вака: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(каде) F(x) $ е антидериват на $ f(x), C = const $.
За да го решите интегралот, треба да ја интегрирате функцијата $ f(x) $ преку променлива. Ако функцијата е табеларна, тогаш одговорот се пишува во соодветна форма. Ако не, тогаш процесот се сведува на добивање на табеларна функција од функцијата $ f(x) $ преку незгодни математички трансформации. Постојат различни методи и својства за ова, кои ќе ги разгледаме понатаму.
Значи, сега да создадеме алгоритам за решавање интеграли за кукли?
Алгоритам за пресметување интеграли
- Да го дознаеме дефинитивниот интеграл или не.
- Ако е недефинирано, тогаш треба да ја пронајдете антидеривативната функција $ F(x) $ од интеграндот $ f(x) $ користејќи математички трансформации што водат до табеларна форма на функцијата $ f(x) $.
- Ако е дефинирано, тогаш треба да го извршите чекор 2, а потоа да ги замените границите $ a $ и $ b $ во антидеривативната функција $ F(x) $. Која формула да ја користите за да го направите ова ќе дознаете во написот „Формула Њутн-Лајбниц“.
Примери на решенија
Значи, научивте како да решавате интеграли за кукли, средени се примери за решавање интеграли. Го научивме нивното физичко и геометриско значење. Методите на решение ќе бидат опишани во други статии.
Ако дефинициите од учебникот се премногу сложени и нејасни, прочитајте ја нашата статија. Ќе се обидеме да ги објасниме што е можно поедноставно, „на прсти“, главните точки на таквата гранка на математиката како дефинитивни интеграли. Како да се пресмета интегралот, прочитајте во овој прирачник.
Од геометриска гледна точка, интегралот на функцијата е областа на фигурата формирана од графикот на дадена функција и оската во границите на интеграцијата. Запишете го интегралот, анализирајте ја функцијата под интегралот: ако интеградот може да се поедностави (намали, вметнете во знакот за интегрален, поделен на два едноставни интеграли), направете го тоа. Отворете ја табелата со интеграли за да одредите кој извод на функција е под интегралот. Го најде одговорот? Запишете го факторот додаден на интегралот (ако тоа се случило), запишете ја функцијата пронајдена од табелата и заменете ги границите на интегралот.
Се разбира, овде се разгледуваат само наједноставните верзии на интеграли - одредени, всушност, има многу варијанти на интеграли, тие се изучуваат во текот на вишата математика, математичка анализа и диференцијални равенки на универзитетите; .
Решавањето интеграли е лесна задача, но само за неколку одбрани. Оваа статија е за оние кои сакаат да научат да ги разбираат интегралите, но не знаат ништо или речиси ништо за нив. Интегрално... Зошто е потребно? Како да се пресмета? Што се определени и неопределени интеграли?
Ако единствената употреба за која знаете за интегралот е да користите кука за капчиња во облик на интегрална икона за да добиете нешто корисно од тешко достапни места, тогаш добредојде! Дознајте како да ги решите наједноставните и другите интеграли и зошто не можете без тоа во математиката.
Го проучуваме концептот « интегрален »
Интеграцијата била позната уште во Антички Египет. Се разбира, не во неговата модерна форма, но сепак. Оттогаш, математичарите напишаа многу книги на оваа тема. Особено се истакнаа Њутн И Лајбниц , но суштината на нештата не е променета.
Како да ги разберете интегралите од нула? Нема шанси! За да ја разберете оваа тема, сепак ќе ви треба основно познавање на основите на математичката анализа. На нашиот блог веќе имаме информации за лимитите и дериватите, неопходни за разбирање на интегралите.
Неопределен интеграл
Да имаме некоја функција f(x) .
Неопределена интегрална функција f(x) оваа функција се нарекува F(x) , чиј извод е еднаков на функцијата f(x) .
Со други зборови, интегралот е дериват обратно или антидериват. Патем, прочитајте ја нашата статија за тоа како да пресметате деривати.
Постои антидериват за сите континуирани функции. Исто така, константен знак често се додава на антидеривативот, бидејќи дериватите на функциите кои се разликуваат со константа се совпаѓаат. Процесот на пронаоѓање на интегралот се нарекува интеграција.
Едноставен пример:
За да не се пресметуваат постојано антидеривати на елементарните функции, погодно е да се стават во табела и да се користат готови вредности.
Комплетна табела со интеграли за ученици
Дефинитивен интеграл
Кога се занимаваме со концептот на интеграл, имаме работа со бесконечно мали величини. Интегралот ќе помогне да се пресмета плоштината на фигурата, масата на нерамномерно тело, поминатото растојание при нерамномерно движење и многу повеќе. Треба да се запомни дека интегралот е збир од бесконечно голем број бесконечно мали членови.
Како пример, замислете график на некоја функција.
Како да се најде плоштината на фигурата ограничена со графикот на функцијата? Користење на интеграл! Да го поделиме криволинискиот трапез, ограничен со координатните оски и графикот на функцијата, на бесконечно мали отсечки. На овој начин фигурата ќе се подели на тенки колони. Збирот на површините на столбовите ќе биде плоштината на трапезоидот. Но, запомнете дека таквата пресметка ќе даде приближен резултат. Сепак, колку се помали и потесни сегментите, толку попрецизна ќе биде пресметката. Ако ги намалиме до тој степен што должината се стреми кон нула, тогаш збирот на површините на сегментите ќе се стреми кон плоштината на сликата. Ова е дефинитивен интеграл, кој е напишан вака:
Точките a и b се нарекуваат граници на интеграција.
« Интегрален »
Патем! За нашите читатели сега има попуст од 10%. секаков вид на работа
Правила за пресметување интеграли за кукли
Својства на неопределен интеграл
Како да се реши неопределен интеграл? Овде ќе ги разгледаме својствата на неопределениот интеграл, кои ќе бидат корисни при решавање на примери.
- Изводот на интегралот е еднаков на интеграндот:
- Константата може да се извади од под интегралниот знак:
- Интегралот на збирот е еднаков на збирот на интегралите. Ова важи и за разликата:
Својства на определен интеграл
- Линеарност:
- Знакот на интегралот се менува ако се заменат границите на интеграцијата:
- На било којпоени а, бИ Со:
Веќе дознавме дека определен интеграл е граница на збир. Но, како да се добие одредена вредност при решавање на пример? За ова постои формулата Њутн-Лајбниц:
Примери за решавање интеграли
Подолу ќе разгледаме неопределен интеграл и примери со решенија. Ви предлагаме сами да ги разберете сложеноста на решението, а ако нешто не е јасно, поставувајте прашања во коментарите.
За да го засилите материјалот, погледнете видео за тоа како се решаваат интегралите во пракса. Не очајувајте ако интегралот не се даде веднаш. Контактирајте со професионална служба за студенти и секој троен или заоблен интеграл над затворена површина ќе биде во ваша моќ.
Овој калкулатор ви овозможува да решите дефинитивен интеграл онлајн. Всушност, дефинитивна интегрална пресметкае наоѓање број што е еднаков на плоштината под графикот на функцијата. За да се реши, потребно е да се наведат границите на интеграцијата и функцијата што треба да се интегрира. По интеграцијата, системот ќе го најде антидериватот за дадената функција, ќе ги пресмета неговите вредности во точките на границите на интеграцијата, ќе ја најде нивната разлика, што ќе биде решение за дефинитивниот интеграл. За да го решите неопределениот интеграл треба да користите сличен онлајн калкулатор, кој се наоѓа на нашата веб-страница на врската - Решавање на неопределен интеграл.
Ние дозволуваме пресметај дефинитивен интеграл онлајнбрзо и сигурно. Секогаш ќе ја добиете вистинската одлука. Покрај тоа, за табеларни интеграли одговорот ќе биде претставен во класична форма, односно изразен преку познати константи, како што е бројот „пи“, „експонент“ итн. Сите пресметки се потполно бесплатни и не бараат регистрација. Со решавање на дефинитивен интеграл кај нас ќе се спасите од долготрајни и сложени пресметки или со решавање на интегралот сами ќе можете да го проверите решението што сте го добиле.