Линеарна равенка во две променливи е секоја равенка што ја има следната форма: a*x + b*y =с.Овде x и y се две променливи, a,b,c се некои броеви.

Подолу се неколку примери на линеарни равенки.

1. 10 * x + 25 * y = 150;

Како равенките со една непозната, линеарната равенка со две променливи (непознати) исто така има решение. На пример, линеарната равенка x-y=5, со x=8 и y=3, се претвора во правилен идентитет 8-3=5. Во овој случај, за парот броеви x=8 и y=3 се вели дека е решение на линеарната равенка x-y=5. Може да се каже и дека пар броеви x=8 и y=3 ја задоволуваат линеарната равенка x-y=5.

Решавање на линеарна равенка

Така, решението на линеарната равенка a*x + b*y = c е кој било пар на броеви (x,y) што ја задоволува оваа равенка, односно ја претвора равенката со променливите x и y во правилна нумеричка еднаквост. Забележете како овде се напишани паровите броеви x и y. Овој запис е пократок и поудобен. Треба само да запомните дека првото место во таков запис е вредноста на променливата x, а второто е вредноста на променливата y.

Имајте предвид дека броевите x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4,5 и y= -0,5 исто така ја задоволуваат линеарната равенка x-y=5, и затоа се решенија за оваа линеарна равенка.

Решавање на линеарна равенка со две непознати не е единствениот.Секоја линеарна равенка во две непознати има бесконечно многу различни решенија. Тоа е, постои бескрајно многу различнидва броја x и y кои претвораат линеарна равенка во вистински идентитет.

Ако неколку равенки со две променливи имаат идентични решенија, тогаш таквите равенки се нарекуваат еквивалентни равенки. Треба да се напомене дека ако равенките со две непознати немаат решенија, тогаш и тие се сметаат за еквивалентни.

Основни својства на линеарни равенки со две непознати

1. Било кој од поимите во равенката може да се префрли од еден дел во друг, но неопходно е да се промени неговиот знак во спротивниот. Добиената равенка ќе биде еквивалентна на оригиналната.

2. Двете страни на равенката може да се поделат со кој било број што не е нула. Како резултат на тоа, добиваме равенка еквивалентна на оригиналната.

Инструкции

Метод на заменаИзразете една променлива и заменете ја со друга равенка. Можете да изразите која било променлива по ваша дискреција. На пример, изразете y од втората равенка:
x-y=2 => y=x-2 Потоа заменете сè во првата равенка:
2x+(x-2)=10 Преместете сè без „x“ на десната страна и пресметајте:
2x+x=10+2
3x=12 Следно, за да се добие x, поделете ги двете страни на равенката со 3:
x=4 Значи, најдовте „x. Најдете „y. За да го направите ова, заменете го „x“ во равенката од која изразивте „y“:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Направете проверка. За да го направите ова, заменете ги добиените вредности во равенките:
2*4+2=10
4-2=2
Непознатите се пронајдени правилно!

Начин за додавање или одземање равенки Веднаш да се ослободите од која било променлива. Во нашиот случај, ова е полесно да се направи со „y.
Бидејќи во „y“ има знак „+“, а во вториот „-“, тогаш можете да ја извршите операцијата за собирање, т.е. преклопете ја левата страна со левата, а десната со десната:
2x+y+(x-y)=10+2Конвертирај:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Заменете го „x“ во која било равенка и најдете „y“:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Со првиот метод може да се види дека се пронајдени правилно.

Ако нема јасно дефинирани променливи, тогаш потребно е малку да се трансформираат равенките.
Во првата равенка имаме „2x“, а во втората едноставно имаме „x“. Со цел x да се намали при собирање, помножете ја втората равенка со 2:
x-y=2
2x-2y=4Потоа од првата равенка одземе ја втората:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Забележете дека ако има минус пред заградата, тогаш по отворањето, сменете го во спротивното:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
најдете y=2x со изразување од која било равенка, т.е.
x=4

Видео на темата

Совет 2: Како да решите линеарна равенка во две променливи

Равенката, напишана во општ облик ax+bу+c=0, се нарекува линеарна равенка со два променливи. Таквата равенка сама по себе содржи бесконечен број решенија, па во проблемите секогаш се надополнува со нешто - друга равенка или ограничувачки услови. Во зависност од условите што ги дава задачата, реши линеарна равенка со два променливиследи на различни начини.

Ќе ви треба

• - линеарна равенка со две променливи;
• - втора равенка или дополнителни услови.

Инструкции

Даден е систем од две линеарни равенки, решете го на следниот начин. Изберете една од равенките во кои се наоѓаат коефициентите променливипомали и изразете една од променливите, на пример, x. Потоа заменете ја оваа вредност што содржи y во втората равенка. Во добиената равенка ќе има само една променлива y, поместете ги сите делови со y на левата страна, а слободните надесно. Најдете y и заменете со која било од оригиналните равенки за да најдете x.

Постои уште еден начин да се реши систем од две равенки. Помножете една од равенките со број така што коефициентот на една од променливите, како што е x, е ист во двете равенки. Потоа одземете една од равенките од другата (ако десната страна не е еднаква на 0, не заборавајте да ги одземете десните страни на ист начин). Ќе видите дека променливата x исчезна и останува само една променлива y. Решете ја добиената равенка и заменете ја пронајдената вредност на y со која било од оригиналните равенства. Најдете x.

Третиот начин за решавање на систем од две линеарни равенки е графички. Нацртајте координатен систем и нацртајте две прави чии равенки се дадени во вашиот систем. За да го направите ова, заменете кои било две x вредности во равенката и пронајдете го соодветниот y - ова ќе бидат координатите на точките што припаѓаат на линијата. Најзгодниот начин да се најде пресекот со координатните оски е едноставно да се заменат вредностите x=0 и y=0. Координатите на пресечната точка на овие две прави ќе бидат задачите.

Ако има само една линеарна равенка во проблемските услови, тогаш ви се дадени дополнителни услови преку кои можете да најдете решение. Внимателно прочитајте го проблемот за да ги најдете овие услови. Ако променливи x и y означуваат растојание, брзина, тежина - слободно поставете ја границата x≥0 и y≥0. Сосема е можно x или y да го крие бројот на јаболка итн. – тогаш вредностите можат да бидат само . Ако x е на возраст од синот, јасно е дека тој не може да биде постар од неговиот татко, па наведете го ова во условите на проблемот.

Извори:

• како да се реши равенка со една променлива

Од самиот себе равенкатасо три непознатима многу решенија, па најчесто се надополнува со уште две равенки или услови. Во зависност од тоа какви се првичните податоци, во голема мера ќе зависи текот на одлуката.

Ќе ви треба

• - систем од три равенки со три непознати.

Инструкции

Ако два од трите системи имаат само две од трите непознати, обидете се да изразите некои променливи во однос на другите и заменете ги во равенкатасо три непознат. Вашата цел во овој случај е да ја претворите во нормална равенкатасо непознато лице. Ако е ова, понатамошното решение е прилично едноставно - заменете ја пронајдената вредност со други равенки и пронајдете ги сите други непознати.

Некои системи на равенки може да се одземат од една равенка со друга. Погледнете дали е можно да се помножи едно од или променлива така што две непознати ќе бидат откажани одеднаш. Ако постои таква можност, искористете ја најверојатно, последователното решение нема да биде тешко. Запомнете дека кога се множите со број, мора да ги помножите и левата и десната страна. Исто така, кога одземате равенки, мора да запомните дека и десната страна мора да се одземе.

Ако претходните методи не помогнаа, користете го општиот метод за решавање на равенките со три непознат. За да го направите ова, препишете ги равенките во форма a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Сега креирајте матрица од коефициенти за x (A), матрица од непознати (X) и матрица на слободни променливи (B). Имајте предвид дека со множење на матрицата на коефициенти со матрицата на непознати, ќе добиете матрица од слободни членови, односно A*X=B.

Најдете ја матрицата А на моќноста (-1) со прво наоѓање , забележете дека таа не треба да биде еднаква на нула. По ова, помножете ја добиената матрица со матрицата Б, како резултат ќе ја добиете саканата матрица X, означувајќи ги сите вредности.

Можете исто така да најдете решение за систем од три равенки користејќи го Крамеровиот метод. За да го направите ова, пронајдете ја детерминантата ∆ од трет ред што одговара на системската матрица. Потоа последователно најдете уште три детерминанти ∆1, ∆2 и ∆3, заменувајќи ги вредностите на слободните термини наместо вредностите на соодветните колони. Сега најдете x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Извори:

• решенија на равенки со три непознати

Решавањето на систем од равенки е предизвикувачко и возбудливо. Колку е покомплексен системот, толку е поинтересно да се реши. Најчесто во математиката во средно училиште има системи на равенки со две непознати, но во вишата математика може да има повеќе променливи. Системите може да се решат со користење на неколку методи.

Инструкции

Најчестиот метод за решавање на систем од равенки е замена. За да го направите ова, треба да изразите една променлива во однос на друга и да ја замените со втората равенкатасистеми, со што води равенкатана една променлива. На пример, дадени се следните равенки: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Од вториот израз е погодно да се изрази една од променливите, поместувајќи го сè друго на десната страна на изразот, не заборавајќи да го промените знакот на коефициентот: x = 3-y.

Отворете ги заградите: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Добиената вредност y ја заменуваме во изразот: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Во првиот израз, сите членови се 2, можете да извадите 2 од заградата до дистрибутивното својство на множење: 2*(2x-y-3)=0. Сега двата дела на изразот може да се намалат за овој број, а потоа да се изразат како y, бидејќи коефициентот на модул за него е еднаков на еден: -y = 3-2x или y = 2x-3.

Исто како и во првиот случај, овој израз го заменуваме со вториот равенкатаи добиваме: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Добиената вредност заменете ја во изразот: y=2x -3;y=4-3=1.

Гледаме дека коефициентот за y е ист по вредност, но различен по знак, затоа, ако ги собереме овие равенки, целосно ќе се ослободиме од y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 Заменете ја вредноста на x во која било од двете равенки на системот и добијте y=1.

Видео на темата

Биквадратски равенкатапретставува равенкатачетврти степен чија општа форма е претставена со изразот ax^4 + bx^2 + c = 0. Неговото решение се заснова на употреба на методот на замена на непознати. Во овој случај, x^2 се заменува со друга променлива. Така, резултатот е обичен квадрат равенката, што треба да се реши.

Инструкции

Решете го квадратот равенката, што произлегува од замената. За да го направите ова, прво пресметајте ја вредноста во согласност со формулата: D = b^2? 4ac. Во овој случај, променливите a, b, c се коефициентите на нашата равенка.

Најдете ги корените на двоквадратната равенка. За да го направите ова, земете го квадратниот корен од добиените решенија. Ако имаше едно решение, тогаш ќе има две - позитивна и негативна вредност на квадратниот корен. Ако имало две решенија, биквадратната равенка ќе има четири корени.

Видео на темата

Еден од класичните методи за решавање системи на линеарни равенки е Гаусовиот метод. Се состои во секвенцијална елиминација на променливите, кога систем на равенки со едноставни трансформации се трансформира во чекорен систем, од кој секвенцијално се наоѓаат сите променливи, почнувајќи од последните.

Инструкции

Прво, доведете го системот на равенки во форма каде што сите непознати се во строго дефиниран редослед. На пример, сите непознати X ќе се појават прво на секоја линија, сите Y ќе доаѓаат по X, сите Z ќе доаѓаат по Y и така натаму. Не треба да има непознати на десната страна на секоја равенка. Ментално определи ги коефициентите пред секоја непозната, како и коефициентите од десната страна на секоја равенка.

Еднаквост f(x; y) = 0претставува равенка со две променливи. Решението на таквата равенка е пар вредности на променливи што ја претвора равенката со две променливи во вистинска еднаквост.

Ако имаме равенка со две променливи, тогаш, по традиција, мораме да го ставиме x на прво место и y на второ место.

Размислете за равенката x – 3y = 10. Паровите (10; 0), (16; 2), (-2; -4) се решенија на равенката што се разгледува, додека парот (1; 5) не е решение.

За да се најдат други парови на решенија за оваа равенка, потребно е да се изрази една променлива во однос на друга - на пример, x во однос на y. Како резултат на тоа, ја добиваме равенката
x = 10 + 3г. Ајде да ги пресметаме вредностите на x со избирање произволни вредности на y.

Ако y = 7, тогаш x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

Ако y = -2, тогаш x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.

Така, паровите (31; 7), (4; -2) се исто така решенија на дадената равенка.

Ако равенките со две променливи имаат исти корени, тогаш таквите равенки се нарекуваат еквивалентни.

За равенките со две променливи важат теоремите за еквивалентни трансформации на равенките.

Размислете за графикот на равенката со две променливи.

Нека е дадена равенка со две променливи f(x; y) = 0 Сите нејзини решенија може да се претстават со точки на координатната рамнина, добивајќи одредено множество точки на рамнината. Оваа група точки на рамнината се нарекува график на равенката f(x; y) = 0.

Така, графикот на равенката y – x 2 = 0 е параболата y = x 2; графикот на равенката y – x = 0 е права линија; графикот на равенката y – 3 = 0 е права линија паралелна на оската x итн.

Равенката од формата ax + by = c, каде што x и y се променливи, а a, b и c се броеви, се нарекува линеарна; броевите a, b се нарекуваат коефициенти на променливите, c е слободниот член.

Графикот на линеарната равенка ax + by = c е:

Да ја нацртаме равенката 2x – 3y = -6.

1. Затоа што ниту еден од коефициентите на променливите не е еднаков на нула, тогаш графикот на оваа равенка ќе биде права линија.

2. За да изградиме права линија, треба да знаеме најмалку две нејзини точки. Заменете ги вредностите на x во равенките и добијте ги вредностите y и обратно:

ако x = 0, тогаш y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);

ако y = 0, тогаш x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6).

Значи, добивме две точки на графикот: (0; 2) и (-3; 0).

3. Да повлечеме права линија низ добиените точки и да добиеме график на равенката
2x – 3y = -6.

Ако линеарната равенка ax + by = c има форма 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, тогаш мора да разгледаме два случаи:

1. c = 0. Во овој случај, кој било пар (x; y) ја задоволува равенката, и затоа графикот на равенката е целата координатна рамнина;

2. c ≠ 0. Во овој случај, равенката нема решение, што значи дека нејзиниот график не содржи ниту една точка.

blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.

Тема:Линеарна функција

Лекција:Линеарна равенка во две променливи и нејзиниот график

Се запознавме со концептите на координатна оска и координатна рамнина. Знаеме дека секоја точка на рамнината уникатно дефинира пар броеви (x; y), при што првиот број е апсциса на точката, а вториот е ординатата.

Многу често ќе сретнеме линеарна равенка во две променливи, чие решение е пар броеви кои можат да се претстават на координатната рамнина.

Равенка на формата:

Каде a, b, c се броеви и

Се нарекува линеарна равенка со две променливи x и y. Решението на таквата равенка ќе биде секој таков пар на броеви x и y, заменувајќи ги во равенката ќе ја добиеме точната нумеричка еднаквост.

Пар броеви ќе бидат прикажани на координатната рамнина како точка.

За такви равенки ќе видиме многу решенија, односно многу парови на броеви и сите соодветни точки ќе лежат на иста права линија.

Ајде да погледнеме на пример:

За да најдете решенија за оваа равенка, треба да ги изберете соодветните парови на броеви x и y:

Нека, тогаш првобитната равенка се претвора во равенка со една непозната:

,

Односно, првиот пар на броеви што е решение за дадена равенка (0; 3). Добивме точка А(0; 3)

Нека . Ја добиваме оригиналната равенка со една променлива: , оттука, ја добивме точката Б(3; 0)

Да ги ставиме паровите броеви во табелата:

Ајде да нацртаме точки на графиконот и да нацртаме права линија:

Забележете дека која било точка на дадена права ќе биде решение за дадената равенка. Ајде да провериме - земете точка со координата и користете го графикот за да ја пронајдете неговата втора координата. Очигледно е дека во овој момент. Ајде да го замениме овој пар на броеви во равенката. Добиваме 0=0 - точно нумеричко равенство, што значи дека точката што лежи на права е решение.

Засега, не можеме да докажеме дека која било точка што лежи на конструираната права е решение на равенката, затоа го прифаќаме ова како точно и ќе го докажеме подоцна.

Пример 2 - графирајте ја равенката:

Ајде да направиме табела, потребни ни се само две точки за да изградиме права линија, но ќе земеме трета за контрола:

Во првата колона зедовме погодна, ќе ја најдеме од:

, ,

Во втората колона зедовме погодно, ајде да најдеме x:

, , ,

Ајде да провериме и да најдеме:

, ,

Ајде да изградиме график:

Дадената равенка да ја помножиме со два:

Од таквата трансформација, множеството решенија нема да се промени и графикот ќе остане ист.

Заклучок: научивме да решаваме равенки со две променливи и да градиме нивни графикони, научивме дека графикот на таквата равенка е права линија и дека секоја точка на оваа права е решение на равенката

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и други Алгебра 7. 6-то издание. М.: Просветителство. 2010 година

2. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Кољагин Ју.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и други Алгебра 7.М.: Просветителство. 2006 година

2. Портал за семејно гледање ().

Задача 1: Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебра 7, бр. 960, чл.

Задача 2: Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебра 7, бр.961, чл.

Задача 3: Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебра 7, бр.962, чл.

§ 1 Избор на корени на равенки во реални ситуации

Да ја разгледаме оваа реална ситуација:

Мајсторот и чиракот заедно направиле 400 делови по нарачка. Згора на тоа, мајсторот работел 3 дена, а студентот 2 дена. Колку делови направи секој човек?

Ајде да создадеме алгебарски модел на оваа ситуација. Нека мајсторот произведува делови за 1 ден. А студентот е на деталите. Потоа мајсторот ќе направи 3 дела за 3 дена, а ученикот ќе направи 2 дела за 2 дена. Заедно ќе произведат 3 + 2 дела. Бидејќи според условот се произведени вкупно 400 делови, ја добиваме равенката:

Добиената равенка се нарекува линеарна равенка во две променливи. Овде треба да најдеме пар од броеви x и y за кои равенката ќе има форма на вистинска нумеричка еднаквост. Забележете дека ако x = 90, y = 65, тогаш ја добиваме еднаквоста:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Бидејќи е добиено точното нумеричко равенство, парот од броевите 90 и 65 ќе биде решение за оваа равенка. Но, пронајденото решение не е единственото. Ако x = 96 и y = 56, тогаш ја добиваме еднаквоста:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Ова е исто така вистинска нумеричка еднаквост, што значи дека парот од броевите 96 и 56 е исто така решение за оваа равенка. Но, пар броеви x = 73 и y = 23 нема да бидат решение за оваа равенка. Всушност, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 ќе ни даде неточна бројна еднаквост 265 = 400. Треба да се забележи дека ако ја земеме предвид равенката во однос на оваа реална ситуација, тогаш ќе има парови на броеви кои, се решение на оваа равенка, нема да биде решение на проблемот. На пример, неколку бројки:

x = 200 и y = -100

е решение на равенката, но ученикот не може да направи -100 делови и затоа таков пар броеви не може да биде одговор на прашањето на задачата. Така, во секоја специфична реална ситуација потребно е да се преземе разумен пристап кон изборот на корените на равенката.

Ајде да ги сумираме првите резултати:

Равенката од формата ax + bу + c = 0, каде што a, b, c се кои било броеви, се нарекува линеарна равенка со две променливи.

Решението на линеарна равенка во две променливи е пар од броеви што одговараат на x и y, за кои равенката се претвора во вистинска нумеричка еднаквост.

§ 2 График на линеарна равенка

Самото снимање на парот (x;y) нè наведува да размислиме за можноста да се прикаже како точка со координати xy y на рамнина. Ова значи дека можеме да добиеме геометриски модел на одредена ситуација. На пример, разгледајте ја равенката:

2x + y - 4 = 0

Да избереме неколку пара броеви кои ќе бидат решенија за оваа равенка и да конструираме точки со пронајдените координати. Овие нека бидат точки:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(-1; 6).

Забележете дека сите точки лежат на иста линија. Оваа линија се нарекува график на линеарна равенка во две променливи. Тоа е графички (или геометриски) модел на дадена равенка.

Ако пар броеви (x;y) е решение на равенката

ax + vy + c = 0, тогаш точката M(x;y) припаѓа на графикот на равенката. Можеме да кажеме обратно: ако точката M(x;y) припаѓа на графикот на равенката ax + y + c = 0, тогаш парот броеви (x;y) е решение на оваа равенка.

Од курсот по геометрија знаеме:

За да се конструира права линија, потребни се 2 точки, па за да се нацрта графикон на линеарна равенка со две променливи, доволно е да се знаат само 2 пара решенија. Но, погодувањето на корените не е секогаш погодна или рационална процедура. Можете да дејствувате според друго правило. Бидејќи апсцисата на точката (променлива x) е независна променлива, можете да и дадете која било погодна вредност. Заменувајќи го овој број во равенката, ја наоѓаме вредноста на променливата y.

На пример, нека биде дадена равенката:

Нека x = 0, тогаш добиваме 0 - y + 1 = 0 или y = 1. Тоа значи дека ако x = 0, тогаш y = 1. Пар броеви (0;1) е решението на оваа равенка. Да поставиме друга вредност за променливата x: x = 2. Потоа добиваме 2 - y + 1 = 0 или y = 3. Парот броеви (2;3) е исто така решение на оваа равенка. Користејќи ги пронајдените две точки, веќе е можно да се конструира график на равенката x - y + 1 = 0.

Можете да го направите ова: прво доделете одредена вредност на променливата y и дури потоа пресметајте ја вредноста на x.

§ 3 Систем на равенки

Најдете два природни броја чиј збир е 11, а разликата е 1.

За да го решиме овој проблем, прво создаваме математички модел (имено, алгебарски). Нека првиот број е x, а вториот број y. Тогаш збирот на броевите x + y = 11 и разликата на броевите x - y = 1. Бидејќи двете равенки се занимаваат со исти броеви, овие услови мора да бидат исполнети истовремено. Обично во такви случаи се користи посебен запис. Равенките се напишани една под друга и се комбинираат со кадрава заграда.

Таквиот запис се нарекува систем на равенки.

Сега да конструираме множества решенија за секоја равенка, т.е. графикони на секоја од равенките. Да ја земеме првата равенка:

Ако x = 4, тогаш y = 7. Ако x = 9, тогаш y = 2.

Да повлечеме права линија низ точките (4;7) и (9;2).

Да ја земеме втората равенка x - y = 1. Ако x = 5, тогаш y = 4. Ако x = 7, тогаш y = 6. Исто така, повлекуваме права линија низ точките (5;4) и (7;6 ). Добивме геометриски модел на проблемот. Парот броеви што нè интересираат (x;y) мора да биде решение за двете равенки. На сликата гледаме една точка што лежи на двете прави, ова е точката на пресек на линиите.

Неговите координати се (6;5). Затоа, решението на проблемот ќе биде: првиот потребен број е 6, вториот е 5.

Список на користена литература:

1. Мордкович А.Г., Алгебра VII одделение во 2 дела, Дел 1, Учебник за општообразовни институции / А.Г. Мордкович. – 10-то издание, ревидирана – Москва, „Мнемозина“, 2007 година
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7-мо одделение во 2 дела, Дел 2, Проблемска книга за образовни институции / [А.Г. Мордкович и други]; уредено од А.Г. Мордкович - 10-то издание, ревидирано - Москва, „Мнемозина“, 2007 година
3. НЕА. Тулчинскаја, Алгебра 7-мо одделение. Анкета на Блиц: прирачник за студенти на општообразовни институции, 4-то издание, ревидирана и проширена, Москва, „Мнемозина“, 2008 година
4. Александрова Л.А., Алгебра VII одделение. Тематски тест трудови во нова форма за студенти на општообразовни институции, уредени од А.Г. Мордкович, Москва, „Мнемозина“, 2011 година
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 одделение. Самостојни дела за студенти на општообразовни институции, уредени од А.Г. Мордкович - 6-то издание, стереотипно, Москва, „Мнемозина“, 2010 г.