Комплетна табела на интеграли и правила за интеграција. Основни формули и методи на интеграција

Четирите главни методи на интеграција се наведени подолу.

1) Правило за интегрирање на збир или разлика.
.
Овде и под u, v, w се функциите на интеграциската променлива x.

2) Поместување на константата надвор од интегралниот знак.
Нека c е константа независна од x. Потоа може да се извади од интегралниот знак.

3) Метод на замена на променлива.
Да го разгледаме неопределениот интеграл.
Ако можеме да најдеме таква функција φ (x)од x, така
,
тогаш со замена на променливата t = φ(x) , имаме
.

4) Формула за интеграција по делови.
,
каде што u и v се функции на интеграциската променлива.

Крајната цел на пресметувањето на неопределените интеграли е, преку трансформации, даден интеграл да се сведе на наједноставните интеграли, кои се нарекуваат табеларни интеграли. Интегралите на табелите се изразуваат преку елементарни функции користејќи познати формули.
Види Табела со интеграли >>>

Пример

Пресметај неопределен интеграл

Решение

Забележуваме дека интеграндот е збир и разлика од три члена:
, И .
Примена на методот 1 .

Следно, забележуваме дека интеградите на новите интеграли се множат со константи 5, 4, И 2 , соодветно. Примена на методот 2 .

Во табелата со интеграли ја наоѓаме формулата
.
Претпоставувајќи n = 2 , го наоѓаме првиот интеграл.

Дозволете ни да го преработиме вториот интеграл во форма
.
Го забележуваме тоа. Потоа

Ајде да го користиме третиот метод. Ја менуваме променливата t = φ (x) = ln x.
.
Во табелата со интеграли ја наоѓаме формулата

Бидејќи променливата на интеграција може да се означи со која било буква, тогаш

Да го преработиме третиот интеграл во форма
.
Ја применуваме формулата на интеграција по делови.
Ајде да го ставиме.
Потоа
;
;

;
;
.

Конечно имаме
.
Ајде да собереме поими со x 3 .
.

Одговори

Референци:
Н.М. Гинтер, Р.О. Кузмин, Збирка задачи по виша математика, „Лан“, 2003 г.

На училиште, многу луѓе не успеваат да ги решат интегралите или имаат некакви потешкотии со нив. Оваа статија ќе ви помогне да го сфатите тоа, бидејќи во него ќе најдете сè. интегрални табели.

Интегралене една од главните пресметки и концепти во математичката анализа. Неговиот изглед произлегува од две цели:
Прв гол- обнови функција користејќи нејзин извод.
Втор гол- пресметување на плоштината лоцирана на растојание од графикот до функцијата f(x) на права линија каде што, a е поголемо или еднакво на x поголемо или еднакво на b и x-оската.

Овие цели нè водат до определени и неопределени интеграли. Врската помеѓу овие интеграли лежи во барањето својства и пресметката. Но, сè тече и сè се менува со текот на времето, беа пронајдени нови решенија, беа идентификувани дополнувања, а со тоа водеа одредени и неопределени интеграли во други форми на интеграција.

Што се случи неопределен интеграл прашуваш. Ова е антидеривативна функција F(x) на една променлива x во интервалот a поголем од x поголем од b. се нарекува која било функција F(x), во даден интервал за која било ознака x, изводот е еднаков на F(x). Јасно е дека F(x) е антидериват за f(x) во интервалот a е поголем од x е поголем од b. Ова значи дека F1(x) = F(x) + C. C - е која било константа и антидериват за f(x) во даден интервал. Оваа изјава е инверзибилна за функцијата f(x) - 2 антидериватите се разликуваат само во константата; Врз основа на теоремата за интегрално сметање, излегува дека секое континуирано во интервалот a

Дефинитивен интеграл се подразбира како граница во интегрални збирови, или во ситуација на дадена функција f(x) дефинирана на некоја права (a,b) со антидериват F на неа, што значи разликата на нејзините изрази на краевите на дадена права F(b) - F(a).

За да го илустрирам проучувањето на оваа тема, предлагам да го гледате видеото. Детално кажува и покажува како да се најдат интеграли.

Секоја табела со интеграли сама по себе е многу корисна, бидејќи помага при решавање на одреден тип на интеграл.

Сите можни видови канцелариски материјал и друго. Можете да купите преку онлајн продавницата v-kant.ru. Или само следете ја врската Канцелариски материјал Самара (http://v-kant.ru) квалитетот и цените пријатно ќе ве изненадат.

Антидеривативна функција и неопределен интеграл

Факт 1. Интеграцијата е инверзна акција на диференцијација, имено, враќање на функцијата од познатиот извод на оваа функција. Функцијата на тој начин е вратена Ф(x) се нарекува антидеривативза функција ѓ(x).

Дефиниција 1. Функција Ф(x ѓ(x) на одреден интервал X, ако за сите вредности xод овој интервал важи еднаквоста Ф "(x)=ѓ(x), односно оваа функција ѓ(x) е дериват на антидеривативната функција Ф(x). .

На пример, функцијата Ф(x) = грев x е антидериват на функцијата ѓ(x) = кос x на целата бројна права, бидејќи за која било вредност од x (грев x)" = (кос x) .

Дефиниција 2. Неопределен интеграл на функција ѓ(x) е збир на сите негови антидеривати. Во овој случај, се користи ознаката

∫

ѓ(x)dx

,

каде е знакот ∫ наречен интегрален знак, функција ѓ(x) – интегранд функција, и ѓ(x)dx – интегранд израз.

Така, ако Ф(x) – некој антидериват за ѓ(x), Тоа

∫

ѓ(x)dx = Ф(x) +В

Каде В - произволна константа (константа).

За да се разбере значењето на множеството антидеривати на функцијата како неопределен интеграл, соодветна е следната аналогија. Нека има врата (традиционална дрвена врата). Неговата функција е да „биде врата“. Од што е направена вратата? Изработени од дрво. Тоа значи дека множеството антидеривати на интеграндот на функцијата „да се биде врата“, односно нејзиниот неопределен интеграл, е функцијата „да се биде дрво + С“, каде што С е константа, што во овој контекст може означуваат, на пример, видот на дрвото. Исто како што вратата е направена од дрво со помош на некои алатки, дериватот на функцијата е „направен“ од антидеривативна функција користејќи формули што ги научивме додека го проучувавме изводот .

Тогаш табелата со функции на заедничките предмети и нивните соодветни антидеривати („да се биде врата“ - „да се биде дрво“, „да се биде лажица“ - „да се биде метал“ итн.) е слична на табелата со основните неопределени интеграли, кои ќе бидат дадени подолу. Табелата на неопределени интеграли ги наведува заедничките функции со наведување на антидериватите од кои се „направени“ овие функции. Во дел од проблемите за наоѓање на неопределен интеграл, дадени се интегради кои можат директно да се интегрираат без многу труд, односно со користење на табелата со неопределени интеграли. Во посложени проблеми, интеграндот мора прво да се трансформира за да може да се користат интеграли на табелата.

Факт 2. При враќање на функцијата како антидериват, мора да земеме предвид произволна константа (константа) В, а за да не пишувате листа на антидеривати со различни константи од 1 до бесконечност, треба да напишете збир на антидеривати со произволна константа В, на пример, вака: 5 x³+C. Значи, произволна константа (константа) е вклучена во изразот на антидериватот, бидејќи антидериватот може да биде функција, на пример, 5 x³+4 или 5 x³+3 и кога се диференцира, 4 или 3, или која било друга константа оди на нула.

Да го поставиме проблемот со интеграцијата: за оваа функција ѓ(x) најдете таква функција Ф(x), чиј дериватеднаква на ѓ(x).

Пример 1.Најдете го множеството антидеривати на функцијата

Решение. За оваа функција, антидериватот е функцијата

Функција Ф(x) се нарекува антидериват за функцијата ѓ(x), ако дериватот Ф(x) е еднакво на ѓ(x), или, што е иста работа, диференцијал Ф(x) е еднаква ѓ(x) dx, т.е.

(2)

Според тоа, функцијата е антидериват на функцијата. Сепак, тоа не е единствениот антидериват за. Тие служат и како функции

Каде СО– произволна константа. Ова може да се потврди со диференцијација.

Така, ако има еден антидериват за функција, тогаш за него има бесконечен број на антидеривати кои се разликуваат за константен член. Сите антидеривати за функција се напишани во горната форма. Ова произлегува од следната теорема.

Теорема (формална изјава на факт 2).Ако Ф(x) – антидериват за функцијата ѓ(x) на одреден интервал X, потоа било кој друг антидериват за ѓ(x) на истиот интервал може да се претстави во форма Ф(x) + В, Каде СО– произволна константа.

Во следниот пример се осврнуваме на табелата со интеграли, која ќе биде дадена во став 3, по својствата на неопределениот интеграл. Ова го правиме пред да ја прочитаме целата табела, така што суштината на горенаведеното е јасна. А по табелата и својствата, ќе ги користиме во целост при интеграцијата.

Пример 2.Најдете множества на антидеривативни функции:

Решение. Наоѓаме множества на антидеривативни функции од кои се „направени“ овие функции. Кога се спомнуваат формули од табелата со интеграли, сега за сега само прифатете дека таму има такви формули, а самата табела на неопределени интеграли ќе ја проучиме малку понатаму.

1) Примена на формулата (7) од табелата со интеграли за n= 3, добиваме

2) Користење на формулата (10) од табелата со интеграли за n= 1/3, имаме

3) Бидејќи

тогаш според формулата (7) со n= -1/4 наоѓаме

Под знакот интегрален не е напишана самата функција. ѓ, и неговиот производ со диференцијал dx. Ова е направено првенствено со цел да се означи со која променлива се бара антидериватот. На пример,

, ;

овде и во двата случаи интеграндот е еднаков на , но неговите неопределени интеграли во разгледуваните случаи излегуваат различни. Во првиот случај, оваа функција се смета како функција на променливата x, а во втората - во функција на z .

Процесот на пронаоѓање на неопределен интеграл на функција се нарекува интегрирање на таа функција.

Геометриско значење на неопределен интеграл

Да претпоставиме дека треба да најдеме крива y=F(x)а веќе знаеме дека тангентата на тангентниот агол на секоја негова точка е дадена функција f(x)апсциса од оваа точка.

Според геометриското значење на дериватот, тангентата на аголот на наклонетост на тангентата во дадена точка на кривата y=F(x)еднаква на вредноста на изводот F"(x). Значи треба да најдеме таква функција F(x), за што F"(x)=f(x). Потребна е функција во задачата F(x)е антидериват на f(x). Условите на проблемот не ги задоволува една крива, туку фамилија на криви. y=F(x)- една од овие криви, и која било друга крива може да се добие од неа со паралелно преведување по оската Ој.

Да го наречеме графикот на антидеривативната функција на f(x)интегрална крива. Ако F"(x)=f(x), потоа графикот на функцијата y=F(x)постои интегрална крива.

Факт 3. Неопределениот интеграл е геометриски претставен со семејството на сите интегрални криви , како на сликата подолу. Растојанието на секоја крива од потеклото на координатите се одредува со произволна константа на интеграција В.

Својства на неопределен интеграл

Факт 4. Теорема 1. Изводот на неопределен интеграл е еднаков на интеграндот, а неговиот диференцијал е еднаков на интеграндот.

Факт 5. Теорема 2. Неопределен интеграл на диференцијал на функција ѓ(x) е еднаква на функцијата ѓ(x) до постојан рок , т.е.

(3)

Теоремите 1 и 2 покажуваат дека диференцијацијата и интеграцијата се меѓусебно инверзни операции.

Факт 6. Теорема 3. Константниот фактор во интеграндот може да се извади од знакот на неопределен интеграл , т.е.

Да ги наведеме интегралите на елементарните функции, кои понекогаш се нарекуваат табеларни:

Било која од горенаведените формули може да се докаже со земање на дериватот од десната страна (резултатот ќе биде интеграндот).

Методи на интеграција

Ајде да погледнеме некои основни методи за интеграција. Тие вклучуваат:

1. Метод на распаѓање(директна интеграција).

Овој метод се заснова на директна употреба на табеларни интеграли, како и на употреба на својствата 4 и 5 на неопределениот интеграл (т.е., вадење на константниот фактор од загради и/или претставување на интеграндот како збир на функции - распаѓање на интеградот во термини).

Пример 1.На пример, за да најдете(dx/x 4) можете директно да го користите интегралот на табелата заx n dx. Всушност,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Ајде да погледнеме уште неколку примери.

Пример 2.За да го најдеме, го користиме истиот интеграл:

Пример 3.За да го најдете, треба да земете

Пример 4.За да најдеме, ја претставуваме функцијата интегранд во форма и користете го интегралот на табелата за експоненцијалната функција:

Да ја разгледаме употребата на загради како постојан фактор.

Пример 5.Ајде да најдеме, на пример . Со оглед на тоа, добиваме

Пример 6.Ќе го најдеме. Затоа што , да го искористиме интегралот на табелата Добиваме

Во следните два примери, можете да користите и интеграли за загради и табели:

Пример 7.

(ние користиме и );

Пример 8.

(користиме И ).

Ајде да погледнеме посложени примери кои го користат збирниот интеграл.

Пример 9.На пример, ајде да најдеме
. За да го примениме методот на проширување во броителот, ја користиме формулата за збирна коцка , а потоа добиениот полином го делиме со именителот, член по член.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Треба да се забележи дека на крајот од решението се запишува една заедничка константа C (а не одделни при интегрирање на секој член). Во иднина, исто така, се предлага да се изостават константите од интегрирањето на поединечни членови во процесот на решение се додека изразот содржи барем еден неопределен интеграл (ќе напишеме една константа на крајот од решението).

Пример 10.Ќе најдеме . За да го решиме овој проблем, ајде да го факторизираме броителот (по ова можеме да го намалиме именителот).

Пример 11.Ќе го најдеме. Тука може да се користат тригонометриски идентитети.

Понекогаш, за да го разложите изразот на термини, треба да користите посложени техники.

Пример 12.Ќе најдеме . Во интеграндот го избираме целиот дел од дропката . Потоа

Пример 13.Ќе најдеме

2. Метод на замена на променлива (метод на замена)

Методот се заснова на следната формула: f(x)dx=f((t))`(t)dt, каде што x =(t) е функција која може да се диференцира на интервалот што се разгледува.

Доказ. Да ги најдеме изводите во однос на променливата t од левата и десната страна на формулата.

Забележете дека на левата страна има сложена функција чиј среден аргумент е x = (t). Според тоа, за да го диференцираме во однос на t, прво го диференцираме интегралот во однос на x, а потоа го земаме изводот на средниот аргумент во однос на t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Дериват од десната страна:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Бидејќи овие деривати се еднакви, како последица на теоремата на Лагранж, левата и десната страна на формулата што се докажува се разликуваат за одредена константа. Бидејќи самите неопределени интеграли се дефинирани до неопределен константен член, оваа константа може да се изостави од конечната нотација. Докажано.

Успешната промена на променливата ви овозможува да го поедноставите оригиналниот интеграл, а во наједноставните случаи, да го намалите на табеларен. При примената на овој метод се прави разлика помеѓу линеарни и нелинеарни методи на супституција.

а) Метод на линеарна супституцијаАјде да погледнеме на пример.

Пример 1.
. Нека t= 1 – 2x, тогаш

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Треба да се забележи дека новата променлива не треба експлицитно да се запишува. Во такви случаи зборуваат за трансформација на функција под диференцијален знак или за воведување константи и променливи под диференцијален знак, т.е. О имплицитна замена на променливата.

Пример 2.На пример, да најдемеcos(3x + 2)dx. Според својствата на диференцијалот dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), потоаcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Во двата разгледани примери, линеарната замена t=kx+b(k0) беше искористена за да се најдат интегралите.

Во општиот случај, валидна е следната теорема.

Теорема за линеарна замена. Нека F(x) е некој антидериват на функцијата f(x). Тогашf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, каде k и b се некои константи,k0.

Доказ.

По дефиниција на интегралот f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Да го извадиме константниот фактор k од интегралниот знак: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Сега можеме да ги поделиме левата и десната страна на еднаквоста на две и да го добиеме исказот што треба да се докаже до означување на константниот член.

Оваа теорема вели дека ако во дефиницијата на интегралот f(x)dx= F(x) + C наместо аргументот x го замениме изразот (kx+b), тоа ќе доведе до појава на дополнителна фактор 1/k пред антидериватот.

Користејќи ја докажаната теорема, ги решаваме следните примери.

Пример 3.

Ќе најдеме . Овде kx+b= 3 –x, т.е. k= -1,b= 3. Тогаш

Пример 4.

Ќе го најдеме. Herekx+b= 4x+ 3, т.е. k= 4,b= 3. Тогаш

Пример 5.

Ќе најдеме . Тука kx+b= -2x+ 7, т.е. k= -2,b= 7. Тогаш

.

Пример 6.Ќе најдеме
. Овде kx+b= 2x+ 0, т.е. k= 2,b= 0.

.

Дозволете ни да го споредиме добиениот резултат со примерот 8, кој беше решен со методот на распаѓање. Решавајќи го истиот проблем користејќи различен метод, го добивме одговорот
. Ајде да ги споредиме резултатите: Така, овие изрази се разликуваат едни од други со постојан термин , т.е. Добиените одговори не се контрадикторни едни со други.

Пример 7.Ќе најдеме
. Ајде да избереме совршен квадрат во именителот.

Во некои случаи, менувањето на променливата не го намалува интегралот директно на табеларен, туку може да го поедностави решението, што овозможува користење на методот на проширување во следниот чекор.

Пример 8.На пример, ајде да најдеме . Заменете t=x+ 2, потоа dt=d(x+ 2) =dx. Потоа

,

каде што C = C 1 – 6 (при замена на изразот (x+ 2) наместо првите два члена добиваме ½x 2 -2x– 6).

Пример 9.Ќе најдеме
. Нека t= 2x+ 1, потоа dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Да го замениме изразот (2x+ 1) за t, да ги отвориме заградите и да дадеме слични.

Забележете дека во процесот на трансформации преминавме на друг постојан термин, бидејќи групата на константни членови може да се испушти при процесот на трансформација.

б) Метод на нелинеарна супституцијаАјде да погледнеме на пример.

Пример 1.
. Lett= -x 2. Следно, може да се изрази x во однос на t, потоа да се најде израз за dx и да се имплементира промена на променливата во саканиот интеграл. Но, во овој случај е полесно да се прават работите поинаку. Да најдеме finddt=d(-x 2) = -2xdx. Забележете дека изразот xdx е фактор на интеградот на саканиот интеграл. Да го изразиме од добиената еднаквостxdx= - ½dt. Потоа

Главни интеграли кои секој ученик треба да ги знае

Наведените интеграли се основата, основата на основите. Овие формули дефинитивно треба да се запомнат. Кога пресметувате посложени интеграли, ќе мора постојано да ги користите.

Обрнете посебно внимание на формулите (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не заборавајте да додадете произволна константа C на вашиот одговор кога интегрирате!

Интеграл на константа

∫ A d x = A x + C (1)

Интегрирање на функција за напојување

Всушност, беше можно да се ограничиме само на формулите (5) и (7), но останатите интеграли од оваа група се појавуваат толку често што вреди да се обрне малку внимание на нив.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Интеграли на експоненцијални функции и хиперболични функции

Се разбира, формулата (8) (можеби најзгодно за меморирање) може да се смета како посебен случај на формулата (9). Формулите (10) и (11) за интегралите на хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус лесно се изведуваат од формулата (8), но подобро е едноставно да се запомнат овие односи.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Основни интеграли на тригонометриски функции

Грешка што често ја прават учениците е тоа што ги мешаат знаците во формулите (12) и (13). Сеќавајќи се дека дериватот на синусот е еднаков на косинусот, поради некоја причина многу луѓе веруваат дека интегралот на функцијата sinx е еднаков на cosx. Ова не е вистина! Интегралот на синус е еднаков на „минус косинус“, но интегралот на cosx е еднаков на „само синус“:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 грев 2 x d x = − c t g x + C (15)

Интеграли кои се сведуваат на инверзни тригонометриски функции

Формулата (16), која води до арктангенсот, е природно посебен случај на формулата (17) за a=1. Слично, (18) е посебен случај на (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Покомплексни интеграли

Исто така, препорачливо е да ги запомните овие формули. Тие исто така се користат доста често, а нивниот излез е прилично досаден.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Општи правила за интеграција

1) Интегралот од збирот на две функции е еднаков на збирот на соодветните интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Интегралот на разликата на две функции е еднаков на разликата на соодветните интеграли: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константата може да се извади од интегралниот знак: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Лесно е да се види дека својството (26) е едноставно комбинација од својствата (25) и (27).

4) Интеграл на сложена функција ако внатрешната функција е линеарна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Овде F(x) е антидериват за функцијата f(x). Ве молиме имајте предвид: оваа формула работи само кога внатрешната функција е Ax + B.

Важно: не постои универзална формула за интеграл на производ од две функции, како и за интеграл на дропка:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (триесет)

Ова, се разбира, не значи дека фракција или производ не може да се интегрира. Само што секогаш кога ќе видите интеграл како (30), ќе треба да измислите начин да се „борите“ со него. Во некои случаи, интегрирањето по делови ќе ви помогне, во други ќе треба да направите промена на променливата, а понекогаш дури и „училишната“ алгебра или тригонометриските формули можат да помогнат.

Едноставен пример за пресметување на неопределен интеграл

Пример 1. Најдете го интегралот: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Да ги користиме формулите (25) и (26) (интегралот на збирот или разликата на функциите е еднаков на збирот или разликата на соодветните интеграли. Добиваме: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Да потсетиме дека константата може да се извади од интегралниот знак (формула (27)). Изразот се претвора во форма

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Сега да ја искористиме само табелата со основни интеграли. Ќе треба да ги примениме формулите (3), (12), (8) и (1). Ајде да ја интегрираме функцијата моќност, синус, експоненцијална и константа 1. Не заборавајте да додадете произволна константа C на крајот:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

По елементарните трансформации го добиваме конечниот одговор:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Тестирајте се со диференцијација: земете го изводот на добиената функција и уверете се дека е еднаков на оригиналниот интегранд.

Збирна табела на интеграли

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 грев 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Преземете ја табелата со интеграли (II дел) од овој линк

Ако студирате на универзитет, ако имате потешкотии со вишата математика (математичка анализа, линеарна алгебра, теорија на веројатност, статистика), ако ви требаат услуги на квалификуван наставник, одете на страницата на повисок учител по математика. Заедно ќе ги решиме вашите проблеми!

Можеби ќе ве интересира и