Поврзани дефиниции
Трапезоидни елементи
- Паралелните страни се нарекуваат причинитрапезоиди.
- Останатите две страни се нарекуваат страни.
- Сегментот што ги поврзува средните точки на страните се нарекува средна линија на трапезоидот.
- Растојанието помеѓу основите се нарекува висина на трапезоидот.
Видови трапезоиди
Правоаголен трапез
Рамнокрак трапез
- Се нарекува трапез чии страни се еднакви рамнокракили рамнокрак.
- Се нарекува трапез со прави агли на неговите страни правоаголна.
Општи својства
- Средната линија на трапезот е паралелна со основите и еднаква на нивната полу-збир.
- Отсечката што ги поврзува средните точки на дијагоналите е еднаква на половина од разликата на основите.
- Паралелните линии што ги сечат страните на аголот ги отсекуваат пропорционалните сегменти од страните на аголот.
- Круг може да се впише во трапез ако збирот на основите на трапезот е еднаков на збирот на неговите страни.
Својства и знаци на рамнокрак трапез
- Правата линија што минува низ средните точки на основите е нормална на основите и е оска на симетрија на трапезоидот.
- Висината спуштена од врвот до поголемата основа ја дели на два сегменти, од кои едниот е еднаков на половина од збирот на основите, а другиот - половина од разликата на основите.
- Во рамнокрак трапез, аглите на која било основа се еднакви.
- Во рамнокрак трапез, должините на дијагоналите се еднакви.
- Ако трапез може да се впише во круг, тогаш тоа е рамнокрак.
- Може да се опише круг околу рамнокрак трапез.
- Ако дијагоналите во рамнокрак трапез се нормални, тогаш висината е еднаква на половина од збирот на основите.
Впишан и ограничен круг
Плоштад
Овие формули се исти, бидејќи половина од збирот на основите е еднаков на средната линија на трапезоидот.
Да ги разгледаме основните проблеми на слични триаголници во трапез.
I. Точката на пресек на дијагоналите на трапезот е темето на слични триаголници.
Размислете за триаголниците AOD и COB.
Визуелизацијата го олеснува решавањето на ваквите проблеми. Затоа, истакнуваме слични триаголници во трапез со различни бои.
1) ∠AOD= ∠ COB (како вертикална);
2)∠DAO= ∠ BCO (како внатрешно вкрстено лежи во AD ∥ BC и секнта AC).
Затоа, триаголниците AOD и COB се слични ().
Задача.
Една од дијагоналите на трапезот е 28 cm, а другата дијагонала ја дели на отсечки со должина од 5 cm и 9 cm Најди ги отсечките на кои пресечната точка на дијагоналите ја дели првата дијагонала.
AO=9 cm, CO=5 cm, BD=28 BO =?, DO- ?
Ја докажуваме сличноста на триаголниците AOD и COB. Од тука
Изберете ги потребните врски:
Нека BO=x cm, а потоа DO=28-x cm Затоа,
BO=10 cm, DO=28-10=18 cm.
Одговор: 10 см, 18 см.
Задача
Познато е дека О е точка на пресек на дијагоналите на трапезот ABCD (AD ∥ BC). Најдете ја должината на отсечката BO ако AO:OC=7:6 и BD=39 cm.
Слично, ја докажуваме сличноста на триаголниците AOD и COB и
Нека BO=x cm, а потоа DO=39-x cm Така,
Одговор: 18 см.
II. Проширувањата на страните на трапезот се сечат во една точка.
Слично, разгледајте ги триаголниците AFD и BFC:
1) ∠ F - општо;
2)∠ DAF=∠ CBF (како соодветните агли во BC ∥ AD и секантна AF).
Затоа, триаголниците AFD и BFC се слични (под два агли).
Од сличноста на триаголниците произлегува дека соодветните страни се пропорционални:
Курсот по геометрија за 8-мо одделение опфаќа изучување на својствата и карактеристиките на конвексните четириаголници. Тие вклучуваат паралелограми, чии посебни случаи се квадрати, правоаголници и ромбови и трапезоиди. И ако решавањето проблеми на различни варијации на паралелограм најчесто не предизвикува многу потешкотии, тогаш е нешто потешко да се открие кој четириаголник се нарекува трапез.
Дефиниција и видови
За разлика од другите четириаголници што се изучуваат во училишната програма, трапезот обично се нарекува таква фигура, чии две спротивни страни се паралелни една со друга, а другите две не се. Постои уште една дефиниција: тоа е четириаголник со пар страни кои се нееднакви и паралелни.
Различните типови се прикажани на сликата подолу.
Сликата број 1 покажува произволен трапез. Бројот 2 означува посебен случај - правоаголен трапез, чија една од страните е нормална на нејзините основи. Последната фигура е исто така посебен случај: тоа е рамнокрак (еднаквостран) трапез, односно четириаголник со еднакви страни.
Најважните својства и формули
За да се опишат својствата на четириаголникот, вообичаено е да се истакнат одредени елементи. Како пример, разгледајте произволен трапез ABCD.
Вклучува:
- бази BC и AD - две страни паралелни една на друга;
- страните AB и CD се два непаралелни елементи;
- дијагоналите AC и BD се сегменти што ги поврзуваат спротивните темиња на сликата;
- висината на трапезот CH е отсечка нормална на основите;
- средна линија EF - линија што ги поврзува средните точки на страничните страни.
Основни својства на елементите
За решавање на геометриски проблеми или за докажување на какви било изјави, најчесто се користат својствата што ги поврзуваат различните елементи на четириаголник. Тие се формулирани на следниов начин:
Дополнително, често е корисно да се знаат и применат следните изјави:
- Симетрала нацртана од произволен агол одвојува сегмент во основата, чија должина е еднаква на страната на сликата.
- При цртање дијагонали, се формираат 4 триаголници; Од нив, 2 триаголници формирани од основите и отсечките на дијагоналите се слични, а преостанатиот пар има иста плоштина.
- Преку точката на пресек на дијагоналите O, средните точки на основите, како и точката во која се сечат продолжетоците на страните, може да се повлече права линија.
Пресметка на периметар и површина
Периметарот се пресметува како збир на должините на сите четири страни (слично на која било друга геометриска фигура):
P = AD + BC + AB + CD.
Впишан и ограничен круг
Круг може да се опише околу трапез само ако страните на четириаголникот се еднакви.
За да го пресметате радиусот на ограничен круг, треба да ги знаете должините на дијагоналата, страната и поголемата основа. Магнитуда стр,што се користи во формулата се пресметува како половина од збирот на сите горенаведени елементи: p = (a + c + d)/2.
За впишан круг, условот ќе биде како што следува: збирот на основите мора да се совпаѓа со збирот на страните на сликата. Неговиот радиус може да се најде низ висината и ќе биде еднаков на r = h/2.
Посебни случаи
Да разгледаме еден често сретнуван случај - рамнокрак (рамностран) трапез. Неговите знаци се еднаквост на страничните страни или еднаквост на спротивните агли. Сите изјави важат за неа, кои се карактеристични за произволен трапез. Други својства на рамнокрак трапез:
Правоаголниот трапез не се среќава многу често во проблеми. Неговите знаци се присуство на два соседни агли еднакви на 90 степени и присуство на страна нормална на основите. Висината во таков четириаголник е исто така една од неговите страни.
Сите разгледани својства и формули обично се користат за решавање на планиметриски проблеми. Сепак, тие треба да се користат и при некои проблеми од стереометрискиот курс, на пример, при одредување на површината на скратена пирамида што изгледа како волуметриски трапез.
Ајде да разгледаме неколку насоки за решавање проблеми во кои трапезот е впишан во круг.
Кога трапезот може да се впише во круг? Четириаголник може да се впише во круг ако и само ако збирот на неговите спротивставени агли е 180º. Го следи тоа Можете да вклопите само рамнокрак трапез во круг.
Радиусот на кружница опкружена со трапез може да се најде како радиус на круг опкружен со еден од двата триаголници на кои трапезот е поделен со неговата дијагонала.
Каде е центарот на кругот опкружен со трапезот? Тоа зависи од аголот помеѓу дијагоналата на трапезот и неговата страна.
Ако дијагоналата на трапезоидот е нормална на неговата страна, тогаш центарот на кругот опишан околу трапезоидот лежи во средината на неговата поголема основа. Радиусот на кругот опкружен околу трапезот во овој случај е еднаков на половина од неговата поголема основа:
Ако дијагоналата на трапезот формира остар агол со неговата страна, центарот на кругот опишан околу трапезоидот лежи внатре во трапезот.
Ако дијагоналата на трапезот формира тап агол со неговата страна, центарот на кругот опкружен околу трапезот лежи надвор од трапезот, зад големата основа.
Радиусот на кругот опкружен со трапез може да се најде со последица на теоремата на синусите. Од триаголник ACD
Од триаголник ABC
Друга опција за наоѓање на радиусот на ограничениот круг е
Синусите на аголот D и аголот CAD може да се најдат, на пример, од правоаголните триаголници CFD и ACF:
Кога решавате проблеми кои вклучуваат трапез впишан во круг, можете да го користите и фактот дека впишаниот агол е еднаков на половина од соодветниот централен агол. На пример,
Патем, можете да ги користите и аглите COD и CAD за да ја пронајдете областа на трапезоидот. Користење на формулата за наоѓање плоштина на четириаголник со помош на неговите дијагонали
Многуаголник е дел од рамнина ограничена со затворена скршена линија. Аглите на многуаголникот се означени со точките на темињата на многуаголникот. Темињата на аглите на многуаголникот и темињата на многуаголникот се совпаѓачки точки.
Дефиниција. Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни.
Својства на паралелограм
1. Спротивните страни се еднакви.
На сл. единаесет АБ = ЦД; п.н.е. = АД.
2. Спротивните агли се еднакви (два остри и два тапи агли).
На сл. 11∠ А = ∠В; ∠Б = ∠Д.
3 Дијагонали (линиски отсечки што поврзуваат две спротивни темиња) се сечат и се делат на половина со пресечната точка.
На сл. 11 сегменти А.О. = О.Ц.; Б.О. = О.Д..
Дефиниција. Трапез е четириаголник во кој две спротивни страни се паралелни, а другите две не се.
Паралелни страни се нарекуваат неа причинии другите две страни - страни.
Видови трапезоиди
1. Трапезоид, чии страни не се еднакви,
повикани разноврсна(сл. 12).
2. Се вика трапез чии страни се еднакви рамнокрак(сл. 13).
3. Се вика трапез во кој едната страна прави прав агол со основите правоаголна(сл. 14).
Сегментот што ги поврзува средните точки на страничните страни на трапезоидот (сл. 15) се нарекува средна линија на трапезот ( МН). Средната линија на трапезот е паралелна со основите и еднаква на нивната полу-збир.
Трапез може да се нарече скратен триаголник (слика 17), затоа имињата на трапезоидите се слични на имињата на триаголниците (триаголниците се скалести, рамнокраки, правоаголни).
Површина на паралелограм и трапез
Правило. Површина на паралелограме еднаков на производот на неговата страна и висината нацртана на оваа страна.
