Да се потсетиме на една важна дефиниција - дефиниција за круг]
Дефиниција:
Круг со центар во точката O и радиус R е збир на сите точки на рамнината лоцирани на растојание R од точката O.
Да обрнеме внимание на фактот дека кругот е множество ситепоени кои го задоволуваат опишаниот услов. Ајде да погледнеме на пример:
Точките A, B, C, D на квадратот се еднакво оддалечени од точката E, но тие не се круг (сл. 1).
Ориз. 1. Илустрација на пример
Во овој случај, фигурата е круг, бидејќи сето тоа е збир на точки на еднакво растојание од центарот.
Ако поврзете било кои две точки на круг, добивате акорд. Акордот што минува низ центарот се нарекува дијаметар.
MB - акорд; AB - дијаметар; MnB е лак, тој се собира од акордот MV;
Аголот се нарекува централен.
Точката О е центарот на кругот.
Ориз. 2. Илустрација на пример
Така, се сетивме што е круг и неговите главни елементи. Сега да продолжиме со разгледување на релативната положба на кругот и правата линија.
Дадена е кружница со центар O и радиус r. Правата линија P, растојанието од центарот до правата линија, односно нормално на OM, е еднакво на d.
Претпоставуваме дека точката О не лежи на линијата P.
Со оглед на кругот и правата линија, треба да го најдеме бројот на заеднички точки.
Случај 1 - растојанието од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот на кругот:
Во првиот случај, кога растојанието d е помало од радиусот на кругот r, точката М лежи во кругот. Од оваа точка ќе нацртаме два сегменти - MA и MB, чија должина ќе биде . Ги знаеме вредностите на r и d, d е помал од r, што значи дека изразот постои и точките A и B постојат. Овие две точки лежат на права линија по конструкција. Ајде да провериме дали лежат на кругот. Дозволете ни да го пресметаме растојанието OA и OB користејќи ја Питагоровата теорема:
Ориз. 3. Илустрација за случај 1
Растојанието од центарот до две точки е еднакво на радиусот на кругот, така што докажавме дека точките А и Б припаѓаат на кругот.
Значи, точките А и Б припаѓаат на правата по конструкција, тие припаѓаат на кругот според она што е докажано - кругот и правата имаат две заеднички точки. Да докажеме дека нема други точки (сл. 4).
Ориз. 4. Илустрација за доказот
За да го направите ова, земете произволна точка C на права линија и претпоставете дека лежи на круг - растојание OS = r. Во овој случај, триаголникот е рамнокрак, а неговата средина ON, која не се совпаѓа со отсечката OM, е висината. Добиваме контрадикторност: две нормални се испуштаат од точката О на права линија.
Така, нема други заеднички точки на правата P со кругот. Докажавме дека во случај кога растојанието d е помало од радиусот на кружницата r, правата линија и кругот имаат само две заеднички точки.
Случај два - растојанието од центарот на кругот до правата линија е еднакво на радиусот на кругот (слика 5):
Ориз. 5. Илустрација за случајот 2
Потсетиме дека растојанието од точка до права линија е должината на нормалното, во овој случај OH е нормалното. Бидејќи, по услов, должината OH е еднаква на радиусот на кругот, тогаш точката H припаѓа на кругот, така што точката H е заедничка за правата и кругот.
Да докажеме дека нема други заеднички точки. Спротивно на тоа: да претпоставиме дека точката C на правата припаѓа на кругот. Во овој случај, растојанието OS е еднакво на r, а потоа OS е еднакво на OH. Но, во правоаголен триаголник, хипотенузата OC е поголема од кракот OH. Добивме контрадикторност. Така, претпоставката е лажна и нема друга точка освен H што е заедничка за правата и кругот. Докажавме дека во овој случај има само една заедничка точка.
Случај 3 - растојанието од центарот на кругот до правата линија е поголемо од радиусот на кругот:
Растојанието од точка до права е должината на нормалната. Ние цртаме нормална од точката O до правата P, добиваме точка H, која не лежи на кругот, бидејќи OH е по услов поголем од радиусот на кругот. Да докажеме дека која било друга точка на правата не лежи на кругот. Ова е јасно видливо од правоаголен триаголник, чија хипотенуза OM е поголема од кракот OH, и затоа е поголема од радиусот на кругот, така што точката М не припаѓа на кругот, како и секоја друга точка на правата. Докажавме дека во овој случај кружницата и правата немаат заеднички точки (сл. 6).
Ориз. 6. Илустрација за случајот 3
Ајде да размислиме теорема . Да претпоставиме дека правата AB има две заеднички точки со кругот (сл. 7).
Ориз. 7. Илустрација за теоремата
Имаме акорд АБ. Точката H, по конвенција, е средината на акордот AB и лежи на дијаметарот CD.
Потребно е да се докаже дека во овој случај дијаметарот е нормален на акордот.
Доказ:
Размислете за рамнокрак триаголник OAB, тој е рамнокрак бидејќи .
Точката H, по конвенција, е средната точка на акордот, што значи средна точка на средната AB на рамнокрак триаголник. Знаеме дека средната средина на рамнокрак триаголник е нормална на неговата основа, што значи дека е висината: , оттука, така, се докажува дека дијаметарот што минува низ средината на акордот е нормален на него.
Фер и конверзна теорема : ако дијаметарот е нормален на акордот, тогаш тој поминува низ нејзината средина.
Даден е круг со центар О, неговиот дијаметар CD и акорд AB. Познато е дека дијаметарот е нормален на акорд, потребно е да се докаже дека минува низ нејзината средина (сл. 8).
Ориз. 8. Илустрација за теоремата
Доказ:
Размислете за рамнокрак триаголник OAB, тој е рамнокрак бидејќи . OH, по конвенција, е висината на триаголникот, бидејќи дијаметарот е нормален на акордот. Висината во рамнокрак триаголник е и медијана, па AN = HB, што значи дека точката H е средишната точка на акордот AB, што значи дека е докажано дека дијаметарот нормално на акордот минува низ неговата средна точка.
Директната и обратната теорема може да се генерализираат на следниов начин.
Теорема:
Дијаметарот е нормален на акорд и само ако минува низ неговата средна точка.
Значи, ги разгледавме сите случаи на релативна положба на права и круг. Во следната лекција ќе ја разгледаме тангентата на круг.
Библиографија
- Александров А.Д. итн Геометрија 8 одделение. - М.: Образование, 2006 година.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрија 8. - М.: Образование, 2011 г.
- Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир С.М. Геометрија 8-мо одделение. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 година.
- Edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Fmclass.ru ().
Домашна работа
Задача 1. Најдете ги должините на два отсечки од акордот на кои ја дели дијаметарот на кругот, ако должината на акордот е 16 cm, а дијаметарот е нормален на неа.
Задача 2. Наведете го бројот на заеднички точки на права и круг ако:
а) растојанието од правата линија до центарот на кругот е 6 cm, а радиусот на кругот е 6,05 cm;
б) растојанието од правата линија до центарот на кругот е 6,05 cm, а радиусот на кругот е 6 cm;
в) растојанието од правата линија до центарот на кругот е 8 cm, а радиусот на кругот е 16 cm.
Задача 3. Најдете ја должината на акордот ако дијаметарот е нормален на него, а еден од отсечките отсечени со дијаметарот од него е 2 cm.
Да се потсетиме на една важна дефиниција - дефиниција за круг]
Дефиниција:
Круг со центар во точката O и радиус R е збир на сите точки на рамнината лоцирани на растојание R од точката O.
Да обрнеме внимание на фактот дека кругот е множество ситепоени кои го задоволуваат опишаниот услов. Ајде да погледнеме на пример:
Точките A, B, C, D на квадратот се еднакво оддалечени од точката E, но тие не се круг (сл. 1).
Ориз. 1. Илустрација на пример
Во овој случај, фигурата е круг, бидејќи сето тоа е збир на точки на еднакво растојание од центарот.
Ако поврзете било кои две точки на круг, добивате акорд. Акордот што минува низ центарот се нарекува дијаметар.
MB - акорд; AB - дијаметар; MnB е лак, тој се собира од акордот MV;
Аголот се нарекува централен.
Точката О е центарот на кругот.
Ориз. 2. Илустрација на пример
Така, се сетивме што е круг и неговите главни елементи. Сега да продолжиме со разгледување на релативната положба на кругот и правата линија.
Дадена е кружница со центар O и радиус r. Правата линија P, растојанието од центарот до правата линија, односно нормално на OM, е еднакво на d.
Претпоставуваме дека точката О не лежи на линијата P.
Со оглед на кругот и правата линија, треба да го најдеме бројот на заеднички точки.
Случај 1 - растојанието од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот на кругот:
Во првиот случај, кога растојанието d е помало од радиусот на кругот r, точката М лежи во кругот. Од оваа точка ќе нацртаме два сегменти - MA и MB, чија должина ќе биде . Ги знаеме вредностите на r и d, d е помал од r, што значи дека изразот постои и точките A и B постојат. Овие две точки лежат на права линија по конструкција. Ајде да провериме дали лежат на кругот. Дозволете ни да го пресметаме растојанието OA и OB користејќи ја Питагоровата теорема:
Ориз. 3. Илустрација за случај 1
Растојанието од центарот до две точки е еднакво на радиусот на кругот, така што докажавме дека точките А и Б припаѓаат на кругот.
Значи, точките А и Б припаѓаат на правата по конструкција, тие припаѓаат на кругот според она што е докажано - кругот и правата имаат две заеднички точки. Да докажеме дека нема други точки (сл. 4).
Ориз. 4. Илустрација за доказот
За да го направите ова, земете произволна точка C на права линија и претпоставете дека лежи на круг - растојание OS = r. Во овој случај, триаголникот е рамнокрак, а неговата средина ON, која не се совпаѓа со отсечката OM, е висината. Добиваме контрадикторност: две нормални се испуштаат од точката О на права линија.
Така, нема други заеднички точки на правата P со кругот. Докажавме дека во случај кога растојанието d е помало од радиусот на кружницата r, правата линија и кругот имаат само две заеднички точки.
Случај два - растојанието од центарот на кругот до правата линија е еднакво на радиусот на кругот (слика 5):
Ориз. 5. Илустрација за случајот 2
Потсетиме дека растојанието од точка до права линија е должината на нормалното, во овој случај OH е нормалното. Бидејќи, по услов, должината OH е еднаква на радиусот на кругот, тогаш точката H припаѓа на кругот, така што точката H е заедничка за правата и кругот.
Да докажеме дека нема други заеднички точки. Спротивно на тоа: да претпоставиме дека точката C на правата припаѓа на кругот. Во овој случај, растојанието OS е еднакво на r, а потоа OS е еднакво на OH. Но, во правоаголен триаголник, хипотенузата OC е поголема од кракот OH. Добивме контрадикторност. Така, претпоставката е лажна и нема друга точка освен H што е заедничка за правата и кругот. Докажавме дека во овој случај има само една заедничка точка.
Случај 3 - растојанието од центарот на кругот до правата линија е поголемо од радиусот на кругот:
Растојанието од точка до права е должината на нормалната. Ние цртаме нормална од точката O до правата P, добиваме точка H, која не лежи на кругот, бидејќи OH е по услов поголем од радиусот на кругот. Да докажеме дека која било друга точка на правата не лежи на кругот. Ова е јасно видливо од правоаголен триаголник, чија хипотенуза OM е поголема од кракот OH, и затоа е поголема од радиусот на кругот, така што точката М не припаѓа на кругот, како и секоја друга точка на правата. Докажавме дека во овој случај кружницата и правата немаат заеднички точки (сл. 6).
Ориз. 6. Илустрација за случајот 3
Ајде да размислиме теорема . Да претпоставиме дека правата AB има две заеднички точки со кругот (сл. 7).
Ориз. 7. Илустрација за теоремата
Имаме акорд АБ. Точката H, по конвенција, е средината на акордот AB и лежи на дијаметарот CD.
Потребно е да се докаже дека во овој случај дијаметарот е нормален на акордот.
Доказ:
Размислете за рамнокрак триаголник OAB, тој е рамнокрак бидејќи .
Точката H, по конвенција, е средната точка на акордот, што значи средна точка на средната AB на рамнокрак триаголник. Знаеме дека средната средина на рамнокрак триаголник е нормална на неговата основа, што значи дека е висината: , оттука, така, се докажува дека дијаметарот што минува низ средината на акордот е нормален на него.
Фер и конверзна теорема : ако дијаметарот е нормален на акордот, тогаш тој поминува низ нејзината средина.
Даден е круг со центар О, неговиот дијаметар CD и акорд AB. Познато е дека дијаметарот е нормален на акорд, потребно е да се докаже дека минува низ нејзината средина (сл. 8).
Ориз. 8. Илустрација за теоремата
Доказ:
Размислете за рамнокрак триаголник OAB, тој е рамнокрак бидејќи . OH, по конвенција, е висината на триаголникот, бидејќи дијаметарот е нормален на акордот. Висината во рамнокрак триаголник е и медијана, па AN = HB, што значи дека точката H е средишната точка на акордот AB, што значи дека е докажано дека дијаметарот нормално на акордот минува низ неговата средна точка.
Директната и обратната теорема може да се генерализираат на следниов начин.
Теорема:
Дијаметарот е нормален на акорд и само ако минува низ неговата средна точка.
Значи, ги разгледавме сите случаи на релативна положба на права и круг. Во следната лекција ќе ја разгледаме тангентата на круг.
Библиографија
- Александров А.Д. итн Геометрија 8 одделение. - М.: Образование, 2006 година.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрија 8. - М.: Образование, 2011 г.
- Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир С.М. Геометрија 8-мо одделение. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 година.
- Edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Fmclass.ru ().
Домашна работа
Задача 1. Најдете ги должините на два отсечки од акордот на кои ја дели дијаметарот на кругот, ако должината на акордот е 16 cm, а дијаметарот е нормален на неа.
Задача 2. Наведете го бројот на заеднички точки на права и круг ако:
а) растојанието од правата линија до центарот на кругот е 6 cm, а радиусот на кругот е 6,05 cm;
б) растојанието од правата линија до центарот на кругот е 6,05 cm, а радиусот на кругот е 6 cm;
в) растојанието од правата линија до центарот на кругот е 8 cm, а радиусот на кругот е 16 cm.
Задача 3. Најдете ја должината на акордот ако дијаметарот е нормален на него, а еден од отсечките отсечени со дијаметарот од него е 2 cm.
Да земеме произволна кружница со центар во точката О и права а.
Ако права линија a поминува низ точката O, тогаш таа ќе ја пресече дадената кружница во две точки K и L, кои се краевите на дијаметарот што лежат на права линија a.
Ако права линија a не помине низ центарот O на кругот, тогаш ќе извршиме помошна конструкција и ќе повлечеме права линија Онормално на права линија аи означете го добиеното растојание од центарот на кругот до права линија апроменлива расстојание. Ајде да одредиме колку заеднички точки ќе има правата аи кругови во зависност од односот помеѓу променливата rasstoyanie и радиусот.
Може да има 3 опции:
- расстојание < радиус. Во овој случај, поентата Хќе лежи во средината на кругот, кој е ограничен со дадениот круг.
Ајде да ставиме отсечка на права линија HD = rадиус.
Во OHD хипотенузата О.Д.повеќе нога HD, Затоа ОД > радиус. Затоа, поентата Длежи надвор од кругот ограничен со дадениот круг. Тоа значи дека едниот крај на сегментот HDе во средината на кругот, а другиот е надвор од кругот. Така, на сегментот HDможете да означите точка А, кој лежи на кругот, т.е ОА = радиус.
Ајде да го продолжиме зракот Х.А.и ставете сегмент на него БХ, што е еднакво на сегментот АН.
Добиени 2 правоаголни триаголници ОХАИ OHB, кои се еднакви на две нозе. Тогаш нивните соодветни страни се еднакви: ОБ = ОА = р. Оттука, Бе и заедничка точка на круг и права. Бидејќи 3 точки од кругот не можат да лежат на иста права, тогаш другите заеднички точки на правата аа кругови не постојат.
Така, ако растојанието помеѓу центарот на кругот и правата линија е помало од радиусот на кругот ( расстојание < r
адиус), тогаш правата и кругот имаат 2 заеднички точки.
- расстојание= rадиус . Затоа што OH = rадиус, потоа посочете Хприпаѓа на кругот и затоа е заедничка точка за правата аи кругови.
За сите други точки на линијата а(на пример, поени и М) коси ОМповеќе сегмент О, тоа е OM > OH = rадиус, а со тоа и поентата Мне припаѓа на дадениот круг.
Затоа, ако растојанието помеѓу центарот на кругот и правата линија е еднакво на радиусот на кругот ( расстојание= rадиус), тогаш правата и кругот имаат само една заедничка точка.
- расстојание> радиус . Од OH > радиус, тогаш за која било точка од правата а(на пример, поени М) важи нееднаквоста ОМ > ОХ > радиус. Значи поентата Мне припаѓа на кругот.
Затоа, ако растојанието помеѓу центарот на кругот и правата линија е поголемо од радиусот на кругот ( расстојание> радиус), тогаш правата и кругот немаат заеднички точки.
Составен од наставник по математика
Средно училиште MBOU бр. 18, Краснојарск
Андреева Инга Викторовна
Релативната положба на права линија и круг
ЗА Р - радиус
СО Д - дијаметар
АБ- акорд
- Заокружете со центар во точка ЗАрадиус р
- Права линија што не поминува низ центарот ЗА
- Со буквата да го означиме растојанието од центарот на кругот до правата линија с
Можни се три случаи:
- 1) с
- помалку радиус на кругот, тогаш правата линија и кругот имаат две заеднички точки .
Директен AB се нарекува секант во однос на кругот.
Можни се три случаи:
- 2 ) с = р
- Ако растојанието од центарот на кругот до права линија еднакви радиус на кругот, тогаш правата линија и кругот имаат само една заедничка точка .
с = р
r Ако растојанието од центарот на кругот до правата линија е поголемо од радиусот на кругот, тогаш правата линија и кругот немаат заеднички точки. sr r O" ширина = "640" Можни се три случаи:
- 3 ) с.р
- Ако растојанието од центарот на кругот до права линија повеќе радиус на круг, потоа права линија и круг немаат заеднички точки .
Тангента на круг
Дефиниција: П Правата која има само една заедничка точка со кружница се нарекува тангента на кружницата, а нивната заедничка точка се нарекува тангента на правата и кругот.
с = р
- права линија - секантна
- права линија - секантна
- нема заеднички точки
- права линија - секантна
- права линија - тангента
- r = 15 cm, s = 11 cm
- r = 6 cm, s = 5,2 cm
- r = 3,2 m, s = 4,7 m
- r = 7 cm, s = 0,5 dm
- r = 4 cm, s = 4 0 mm
Решете бр.633.
- OABC- квадрат
- AB = 6 cm
- Круг со центар О со радиус 5 cm
секанти од прави линии OA, AB, BC, AC
Својство на тангента: Тангента на круг е нормална на радиусот нацртан до точката на тангенција.
м– тангента на круг со центар ЗА
М– точка на контакт
ОМ- радиус
Тангентен знак:Ако права линија минува низ крајот на радиусот што лежи на круг и е нормална на радиусот, тогаш тоа е асатив.
круг со центар ЗА
радиус ОМ
м- права линија што минува низ точка М
м – тангента
Својство на тангентите што минуваат низ една точка:
Тангентни отсечки на
исцртани кругови
од иста точка, се еднакви и
направи еднакви агли
со права линија што минува низ
оваа точка и центарот на кругот.
▼ Според својството тангента
∆ AVO, ∆ ASO – правоаголна
∆ ABO= ∆ ACO – долж хипотенузата и кракот:
ОП - општо,