Sin x графикон на функција. График на функцијата y = sin x

>>Математика: Функции y = sin x, y = cos x, нивните својства и графикони

Функции y = sin x, y = cos x, нивните својства и графикони

Во овој дел ќе разговараме за некои својства на функциите y = sin x, y = cos x и ќе ги конструираме нивните графикони.

1. Функција y = sin X.

Погоре, во § 20, формулиравме правило кое дозволува секој број t да се поврзе со број на cos t, т.е. ја карактеризираше функцијата y = sin t. Да забележиме некои од неговите својства.

Својства на функцијата u = sin t.

Доменот на дефиниција е множеството K од реални броеви.
Ова произлегува од фактот дека секој број 2 одговара на точката M(1) на кругот со броеви, која има добро дефинирана ордината; оваа ордината е кос т.

u = sin t е непарна функција.

Ова произлегува од фактот дека, како што беше докажано во § 19, за која било еднаквост
Ова значи дека графикот на функцијата u = sin t, како и графикот на секоја непарна функција, е симетричен во однос на потеклото во правоаголниот координатен систем tOi.

Функцијата u = sin t се зголемува на интервалот
Ова произлегува од фактот дека кога точката се движи по првата четвртина од кругот на броеви, ординатата постепено се зголемува (од 0 до 1 - види Сл. 115), а кога точката се движи по втората четвртина од кругот на броеви, ординатата постепено се намалува (од 1 до 0 - види Сл. 116).

Функцијата u = sint е ограничена и долу и горе. Ова произлегува од фактот дека, како што видовме во § 19, за која било т нееднаквоста

(Функцијата ја достигнува оваа вредност во која било точка од формата (Функцијата ја достигнува оваа вредност во која било точка од формата
Користејќи ги добиените својства ќе конструираме график на функцијата што ни е интересна. Но (внимание!) наместо u - sin t ќе напишеме y = sin x (на крајот на краиштата, повеќе сме навикнати да пишуваме y = f(x), а не u = f(t)). Тоа значи дека ќе изградиме график во вообичаениот координатен систем xOy (а не tOy).

Ајде да направиме табела со вредностите на функцијата y - sin x:

Коментар.

Да дадеме една од верзиите за потеклото на терминот „синус“. На латински, синус значи свиткување (низа на лак).

Конструираниот график до одреден степен ја оправдува оваа терминологија.

Правата што служи како график на функцијата y = sin x се нарекува синусен бран. Тој дел од синусоидот што е прикажан на сл. 118 или 119 се нарекува синусен бран, а тој дел од синусниот бран што е прикажан на сл. 117 се нарекува полубран или лак на синусен бран.

2. Функција y = cos x.

Проучувањето на функцијата y = cos x може да се изврши приближно според истата шема што беше користена погоре за функцијата y = sin x. Но, патот што води до целта побрзо ќе го избереме. Прво, ќе докажеме две формули кои се важни сами по себе (ова ќе го видите во средно училиште), но засега имаат само помошно значење за нашите цели.

За која било вредност на t важат следните еднаквости:

Доказ. Нека бројот t одговара на точката M од нумеричкиот круг n, а бројот * + - точка P (сл. 124; заради едноставност, ја зедовме точката M во првата четвртина). Лаците AM и BP се еднакви, а правоаголните триаголници OKM и OLBP се соодветно еднакви. Ова значи O K = Ob, MK = Pb. Од овие еднаквости и од локацијата на триаголниците OCM и OBP во координатниот систем, извлекуваме два заклучоци:

1) ординатата на точката P и по големина и по знак се совпаѓа со апсцисата на точката М; тоа значи дека

2) апсцисата на точката P е еднаква по апсолутна вредност на ординатата на точката М, но се разликува по знак од неа; тоа значи дека

Приближно истото размислување се спроведува во случаи кога точката М не припаѓа на првиот квартал.
Ајде да ја користиме формулата (ова е формулата докажана погоре, но наместо променливата t ја користиме променливата x). Што ни дава оваа формула? Тоа ни овозможува да тврдиме дека функциите

се идентични, што значи дека нивните графикони се совпаѓаат.
Ајде да ја нацртаме функцијата За да го направите ова, да преминеме на помошен координатен систем со почеток во точка (испрекината линија е нацртана на сл. 125). Да ја поврземе функцијата y = sin x за новиот координатен систем - ова ќе биде графикот на функцијата (сл. 125), т.е. график на функцијата y - cos x. Тој, како и графикот на функцијата y = sin x, се нарекува синусен бран (што е сосема природно).

Својства на функцијата y = cos x.

y = cos x е парна функција.

Фазите на изградба се прикажани на сл. 126:

1) изгради график на функцијата y = cos x (поточно, еден полубран);
2) со истегнување на конструираниот график од x-оската со фактор 0,5 добиваме еден полубран од бараниот график;
3) користејќи го добиениот полубран, го конструираме целиот график на функцијата y = 0,5 cos x.

Содржина на лекцијата белешки за лекцијаподдршка на рамка лекција презентација методи забрзување интерактивни технологии Вежбајте задачи и вежби работилници за самотестирање, обуки, случаи, потраги прашања за дискусија за домашни задачи реторички прашања од ученици Илустрации аудио, видео клипови и мултимедијафотографии, слики, графики, табели, дијаграми, хумор, анегдоти, шеги, стрипови, параболи, изреки, крстозбори, цитати Додатоци апстрактистатии трикови за љубопитните креветчиња учебници основни и дополнителен речник на поими друго Подобрување на учебниците и лекциитекорекција на грешки во учебникотажурирање фрагмент во учебник, елементи на иновација во лекцијата, замена на застарено знаење со нови Само за наставници совршени лекцииКалендарски план за годината методолошки препораки; Интегрирани лекции

Назад напред

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Железото рѓосува без да најде никаква употреба,
стоечката вода скапува или замрзнува на студ,
а умот на човекот, не наоѓајќи никаква корист за себе, опаѓа.
Леонардо да Винчи

Користени технологии:учење базирано на проблем, критичко размислување, комуникативна комуникација.

Цели:

Развивање на когнитивен интерес за учење.
Проучување на својствата на функцијата y = sin x.
Формирање на практични вештини при конструирање график на функцијата y = sin x врз основа на изучениот теоретски материјал.

Задачи:

1. Користете го постоечкиот потенцијал на знаење за својствата на функцијата y = sin x во конкретни ситуации.

2. Примени свесно воспоставување врски помеѓу аналитичките и геометриските модели на функцијата y = sin x.

Развијте иницијатива, одредена волја и интерес за изнаоѓање решение; способноста да донесувате одлуки, да не застанете тука и да ја браните својата гледна точка.

Да се поттикне кај учениците когнитивна активност, чувство на одговорност, почит еден кон друг, меѓусебно разбирање, меѓусебна поддршка и самодоверба; култура на комуникација.

За време на часовите

Фаза 1. Ажурирање на основни знаења, мотивирање за учење нов материјал

„Влегување во лекцијата“.

На таблата се напишани 3 изјави:

Тригонометриската равенка sin t = a секогаш има решенија.
Графикот на непарна функција може да се конструира со помош на трансформација на симетрија околу оската Oy.
Тригонометриска функција може да се прикаже графички со користење на еден главен полубран.

Учениците дискутираат во парови: дали се вистинити изјавите? (1 минута). Резултатите од првичната дискусија (да, не) потоа се внесуваат во табелата во колоната „Пред“.

Наставникот ги поставува целите и задачите на часот.

2. Ажурирање на знаењето (фронтално на модел на тригонометриски круг).

Веќе се запознавме со функцијата s = sin t.

1) Кои вредности може да ги земе променливата t. Кој е опсегот на оваа функција?

2) Во кој интервал се содржани вредностите на изразот sin t? Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата s = sin t.

3) Решете ја равенката sin t = 0.

4) Што се случува со ординатата на точка додека се движи по првата четвртина? (ординатата се зголемува). Што се случува со ординатата на точка додека се движи по втората четвртина? (ординатата постепено се намалува). Како се поврзува ова со монотоноста на функцијата? (функцијата s = sin t се зголемува на сегментот и се намалува на сегментот ).

5) Да ја напишеме функцијата s = sin t во форма y = sin x што ни е позната (ќе ја конструираме во вообичаениот координатен систем xOy) и да составиме табела со вредностите на оваа функција.

X	0
на	0			1			0

Фаза 2. Перцепција, разбирање, примарна консолидација, неволно меморирање

Фаза 4. Примарна систематизација на знаењата и методите на активност, нивно пренесување и примена во нови ситуации

6. Бр. 10.18 (б, в)

Фаза 5. Конечна контрола, корекција, оценување и самооценување

7. Се враќаме на исказите (почеток на часот), дискутираме за користење на својствата на тригонометриската функција y = sin x и ја пополнуваме колоната „По“ во табелата.

8. Д/з: клаузула 10, бр. 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а)

Во оваа лекција детално ќе ја разгледаме функцијата y = sin x, нејзините основни својства и графикот. На почетокот на часот ќе ја дадеме дефиницијата за тригонометриската функција y = sin t на координатниот круг и ќе го разгледаме графикот на функцијата на кругот и правата. Да ја прикажеме периодичноста на оваа функција на графиконот и да ги разгледаме главните својства на функцијата. На крајот од лекцијата, ќе решиме неколку едноставни проблеми користејќи го графикот на функцијата и нејзините својства.

Тема: Тригонометриски функции

Лекција: Функција y=sinx, нејзините основни својства и графикон

Кога се разгледува функцијата, важно е секоја вредност на аргументот да се поврзе со една вредност на функцијата. Ова закон за кореспонденцијаи се нарекува функција.

Да го дефинираме законот за кореспонденција за .

Секој реален број одговара на една точка на единечната кружница Точката има една ордината, која се нарекува синус на бројот (сл. 1).

Секоја вредност на аргументот е поврзана со една вредност на функцијата.

Очигледни својства следуваат од дефиницијата за синус.

Сликата го покажува тоа бидејќи е ордината на точка на единечната кружница.

Размислете за графикот на функцијата. Да се потсетиме на геометриското толкување на аргументот. Аргументот е централниот агол, мерено во радијани. По должината на оската ќе нацртаме реални броеви или агли во радијани, долж оската соодветните вредности на функцијата.

На пример, аголот на единечниот круг одговара на точка на графикот (сл. 2)

Добивме график на функцијата во областа.

Главниот период на функцијата е Ова значи дека графикот може да се добие на сегмент и потоа да се продолжи низ целиот домен на дефиниција.

Размислете за својствата на функцијата:

1) Опсег на дефиниција:

2) Опсег на вредности:

3) Непарна функција:

4) Најмал позитивен период:

5) Координати на точките на пресек на графикот со оската на апсцисата:

6) Координати на точката на пресек на графикот со оската на ординатите:

7) Интервали во кои функцијата зема позитивни вредности:

8) Интервали во кои функцијата зема негативни вредности:

9) Зголемување на интервали:

10) Намалување на интервали:

11) Минимум поени:

12) Минимални функции:

13) Максимални поени:

14) Максимални функции:

Ги разгледавме својствата на функцијата и нејзиниот график. Својствата ќе се користат постојано при решавање на проблеми.

Библиографија

1. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Учебник за општообразовни институции (ниво на профил), ед. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009 година.

2. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед. А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.

3. Виленкин Н.Ја., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математичка анализа за 10 одделение (учебник за ученици од училишта и одделенија со продлабочено изучување на математика - М.: Просвешчение, 1996 година).

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Продлабочено проучување на алгебрата и математичката анализа.-М.: Образование, 1997 г.

5. Збирка задачи по математика за апликанти на високообразовни институции (уреди М.И. Сканави - М.: Виша школа, 1992 година).

6. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебарски симулатор.-К.: А.С.К., 1997 г.

7. Сахакјан С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми за алгебра и принципи на анализа (прирачник за ученици од 10-11 одделение на општообразовните институции - М.: Просвешчение, 2003 година).

8. Карп А.П. Збирка задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. додаток за 10-11 одделение. со длабочина студирал Математика.-М.: Образование, 2006 г.

Домашна работа

Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед.

А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Дополнителни веб-ресурси

3. Едукативен портал за подготовка на испит ().

Час и презентација на тема: „Функција y=sin(x). Дефиниции и својства“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Прирачници и симулатори во онлајн продавницата Integral за одделение 10 од 1C
Решаваме проблеми во геометријата. Интерактивни градежни задачи за 7-10 одделение
Софтверско опкружување „1C: Mathematical Constructor 6.1“

Што ќе проучуваме:

Својства на функцијата Y=sin(X).
График на функции.
Како да се изгради графикон и неговата скала.
Примери.

Својства на синус. Y=грев (X)

Дечки, веќе се запознавме со тригонометриските функции на нумерички аргумент. Дали се сеќавате на нив?

Да ја разгледаме подетално функцијата Y=sin(X)

Ајде да запишеме некои својства на оваа функција:
1) Доменот на дефиниција е множество од реални броеви.
2) Функцијата е непарна. Да се потсетиме на дефиницијата за непарна функција. Функцијата се нарекува непарна ако важи еднаквоста: y(-x)=-y(x). Како што се сеќаваме од формулите на духовите: sin(-x)=-sin(x). Дефиницијата е исполнета, што значи дека Y=sin(X) е непарна функција.
3) Функцијата Y=sin(X) се зголемува на отсечката и се намалува на отсечката [π/2; π]. Кога се движиме по првата четвртина (спротивно од стрелките на часовникот), ординатата се зголемува, а кога се движиме низ втората четвртина се намалува.

4) Функцијата Y=sin(X) е ограничена одоздола и одозгора. Овој имот произлегува од фактот дека
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Најмалата вредност на функцијата е -1 (на x = - π/2+ πk). Најголемата вредност на функцијата е 1 (на x = π/2+ πk).

Да ги искористиме својствата 1-5 за да ја нацртаме функцијата Y=sin(X). Ние ќе го изградиме нашиот график последователно, применувајќи ги нашите својства. Да почнеме да градиме график на сегментот.

Посебно внимание треба да се посвети на вагата. На оската на ординатите е попогодно да се земе единечен сегмент еднаков на 2 ќелии, а на оската на апсциса е попогодно да се земе единечен сегмент (две ќелии) еднаков на π/3 (види слика).

Исцртување на синусната x функција, y=sin(x)

Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата на нашиот сегмент:

Ајде да изградиме график користејќи ги нашите точки, земајќи го предвид третото својство.

Табела за конверзија за формули за духови

Да го искористиме второто својство, кое вели дека нашата функција е непарна, што значи дека може да се рефлектира симетрично во однос на потеклото:

Знаеме дека sin(x+ 2π) = sin(x). Тоа значи дека на интервалот [- π; π] графикот изгледа исто како на сегментот [π; 3π] или или [-3π; - π] и така натаму. Сè што треба да направиме е внимателно да го прецртаме графикот на претходната слика по целата оска x.

Графикот на функцијата Y=sin(X) се нарекува синусоид.

Ајде да напишеме уште неколку својства според конструираниот график:
6) Функцијата Y=sin(X) се зголемува на која било отсечка од формата: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k е цел број и се намалува на која било отсечка од формата: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – цел број.
7) Функцијата Y=sin(X) е континуирана функција. Да го погледнеме графикот на функцијата и да се увериме дека нашата функција нема прекини, тоа значи континуитет.
8) Опсег на вредности: сегмент [- 1; 1]. Ова е јасно видливо и од графиконот на функцијата.
9) Функција Y=sin(X) - периодична функција. Ајде повторно да го погледнеме графикот и да видиме дека функцијата ги зема истите вредности во одредени интервали.

Примери на проблеми со синус

1. Реши ја равенката sin(x)= x-π

Решение: Да изградиме 2 графикони на функцијата: y=sin(x) и y=x-π (види слика).
Нашите графици се сечат во една точка A(π;0), ова е одговорот: x = π

2. График на функцијата y=sin(π/6+x)-1

Решение: Посакуваниот график ќе се добие со поместување на графикот на функцијата y=sin(x) π/6 единици налево и 1 единица надолу.

Решение: Да ја нацртаме функцијата и да ја разгледаме нашата отсечка [π/2; 5π/4].
Графикот на функцијата покажува дека најголемите и најмалите вредности се постигнуваат на краевите на сегментот, во точките π/2 и 5π/4, соодветно.
Одговор: sin(π/2) = 1 – најголема вредност, sin(5π/4) = најмала вредност.

Синусни проблеми за независно решение

Решете ја равенката: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
График на функцијата y=sin(π/3+x)-2
График на функцијата y=sin(-2π/3+x)+1
Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата y=sin(x) на отсечката
Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата y=sin(x) на интервалот [- π/3; 5π/6]

Дознавме дека однесувањето на тригонометриските функции и функциите y = грев x особено, на целата нумеричка линија (или за сите вредности на аргументот X) е целосно определена од неговото однесување во интервалот 0 < X < π / 2 .

Затоа, пред сè, ќе ја нацртаме функцијата y = грев x токму во овој интервал.

Да ја направиме следната табела со вредности на нашата функција;

Со означување на соодветните точки на координатната рамнина и нивно поврзување со мазна линија, ја добиваме кривата прикажана на сликата

Резултирачката крива може да се конструира и геометриски, без да се состави табела со вредности на функции y = грев x .

1. Поделете ја првата четвртина од кругот со радиус 1 на 8 еднакви делови.

2. Првата четвртина од кругот одговара на аглите од 0 до π / 2 . Затоа, на оската XДа земеме отсечка и да ја поделиме на 8 еднакви делови.

3. Да нацртаме прави линии паралелни со оските X, а од точките на делење конструираме нормални сè додека не се вкрстат со хоризонтални линии.

4. Поврзете ги пресечните точки со мазна линија.

Сега да го погледнеме интервалот π / 2 < X < π .
Секоја вредност на аргументот Xод овој интервал може да се претстави како

x = π / 2 + φ

Каде 0 < φ < π / 2 . Според формулите за намалување

грев( π / 2 + φ ) = кос φ = грев ( π / 2 - φ ).

Точки на оската Xсо апсциси π / 2 + φ И π / 2 - φ симетрични едни на други околу точката на оската Xсо апсциса π / 2 , а синусите на овие точки се исти. Ова ни овозможува да добиеме график на функцијата y = грев x во интервалот [ π / 2 , π ] со едноставно симетрично прикажување на графикот на оваа функција во интервалот во однос на правата линија X = π / 2 .

Сега се користи имотот Функција на непарна парност y = грев x,

грев(- X) = - грев X,

лесно е да се нацрта оваа функција во интервалот [- π , 0].

Функцијата y = sin x е периодична со период од 2π ;. Затоа, за да се конструира целиот график на оваа функција, доволно е да се продолжи кривата прикажана на сликата лево и десно периодично со точка 2π .

Резултирачката крива се нарекува синусоид . Ова е графикот на функцијата y = грев x.

Сликата добро ги илустрира сите својства на функцијата y = грев x , што претходно го докажавме. Да се потсетиме на овие својства.

1) Функција y = грев x дефинирани за сите вредности X , така што неговиот домен е множеството од сите реални броеви.

2) Функција y = грев x ограничен. Сите вредности што ги прифаќа се помеѓу -1 и 1, вклучувајќи ги и овие два броја. Следствено, опсегот на варијација на оваа функција се одредува со неравенката -1 < на < 1. Кога X = π / 2 + 2к π функцијата ги зема најголемите вредности еднакви на 1, а за x = - π / 2 + 2к π - најмалите вредности еднакви на - 1.

3) Функција y = грев x е непарен (синусоидот е симетричен во однос на потеклото).

4) Функција y = грев x периодични со период 2 π .

5) Во интервали 2n π < x < π + 2n π (n е кој било цел број) тој е позитивен и во интервали π + 2к π < X < 2π + 2к π (k е кој било цел број) тој е негативен. На x = k π функцијата оди на нула. Затоа, овие вредности на аргументот x (0; ± π ; ±2 π ; ...) се нарекуваат функциски нули y = грев x

6) во интервали - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π функција y = грев x се зголемува монотоно, и во интервали π / 2 + 2к π < X < 3π / 2 + 2к π монотоно се намалува.

Треба да обрнете посебно внимание на однесувањето на функцијата y = грев x во близина на точката X = 0 .

На пример, грев 0.012 ≈ 0,012; грев (-0,05) ≈ -0,05;

грев 2° = грев π 2 / 180 = грев π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Во исто време, треба да се забележи дека за сите вредности на x

| грев x| < | x | . (1)

Навистина, нека радиусот на кругот прикажан на сликата е еднаков на 1,
а / AOB = X.

Потоа грев x= AC. Но AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Должината на овој лак очигледно е еднаква на X, бидејќи радиусот на кругот е 1. Значи, на 0< X < π / 2

грев х< х.

Оттука, поради необичноста на функцијата y = грев x лесно е да се покаже дека кога - π / 2 < X < 0

| грев x| < | x | .

Конечно, кога x = 0

| грев x | = | x |.

Така, за | X | < π / 2 докажана е нееднаквоста (1). Всушност, оваа нееднаквост важи и за | x | > π / 2 поради фактот што | грев X | < 1, а π / 2 > 1

Вежби

1.Според графикот на функцијата y = грев x определи: а) грев 2; б) грев 4; в) грев (-3).

2.Според графикот на функцијата y = грев x определи кој број од интервалот
[ - π / 2 , π / 2 ] има синус еднаков на: а) 0,6; б) -0,8.

3. Според графикот на функцијата y = грев x определи кои броеви имаат синус,
еднакво на 1/2.

4. Најдете приближно (без употреба на табели): а) грев 1°; б) грев 0,03;
в) грев (-0,015); г) грев (-2°30").