низа косинуси и синуси од повеќе лакови, т.е. серија од формата
или во сложена форма
Каде а к,b kили, соодветно, c kповикани Т.р коефициенти
За прв пат Т.р. пронајден во Л. Ојлер (Л. Ојлер, 1744). Доби распаѓање
Сите Р. 18 век Во врска со проучувањето на проблемот со слободното вибрација на стрингот, се постави прашањето за можноста за претставување на функцијата што ја карактеризира почетната положба на стрингот во форма на збир од tr. Ова прашање предизвика жестока дебата која траеше неколку децении, меѓу најдобрите аналитичари од тоа време - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Eu1er). Споровите поврзани со содржината на концептот на функцијата. Во тоа време, функциите обично се поврзуваа со нивните аналитички функции. задача, што доведе до разгледување само на аналитички или на делови аналитички функции. И тука стана неопходно функцијата чиј график е прилично произволна крива да конструира TR што ја претставува оваа функција. Но, значењето на овие спорови е поголемо. Всушност, прашањата поврзани со многу фундаментално важни концепти и идеи за математиката беа дискутирани во нив или се појавија во врска со нив. анализа воопшто - претставување на функции по Тејлорови серии и аналитички. продолжување на функции, употреба на дивергентни серии, пермутација на граници, бесконечни системи на равенки, интерполација на функции по полиноми итн.
И во иднина, како и во овој почетен период, теоријата на тр. послужи како извор на нови идеи во математиката. Прашањето, кое доведе до спорови меѓу математичарите од 18 век, беше решено во 1807 година од Ј. Фурие, кој посочи формули за пресметување на коефициентите на термодинамиката. (1), што треба. ја претставува функцијата f(x):
и ги применува во решавање на проблеми на топлинска спроводливост. Формулите (2) се нарекуваат фуриеови формули, иако биле пронајдени порано во А. Клеро (1754), а Л. Ојлер (1777) дошол до нив користејќи интеграција по термин по термин. Т.р. (1), чии коефициенти се одредуваат со формули (2), наречени. Фуриевата серија на функцијата f и броевите a k, b k- Фуриеови коефициенти.
Природата на добиените резултати зависи од тоа како се разбира претставувањето на функција со серија, како се разбира интегралот во формулите (2). Модерен поглед на теоријата на тр. стекнати по појавата на Лебешкиот интеграл.
Теоријата на Т.р. може да се подели на два големи дела - теорија Фуриерска серија,во која се претпоставува дека серијата (1) е Фуриеова серија на одредена функција, а теоријата на општа термодинамика, каде што таквата претпоставка не е направена. Подолу се дадени главните резултати добиени во теоријата на општата термодинамика. (во овој случај мерката на множества и мерливоста на функциите се разбираат според Лебег).
Првиот систематски Студијата за ТР, во која не се претпоставуваше дека овие серии се Фуриеови серии, беше дисертација на В. Риман (В. Риман, 1853). Затоа, теоријата на генералниот Т.р. повикани понекогаш Римановата теорија на Т.р.
Да се проучат својствата на произволна ТР. (1) со коефициенти кои се стремат кон нула.Риман ја разгледал континуираната функција F(x) ,
што е збир на рамномерно конвергентна серија
добиени по двојна интеграција по термин по рок на серијата (1). Ако серијата (1) конвергира во одредена точка x до број s, тогаш во оваа точка постои и е еднаква на s втора симетрична. дериват на функцијата F:
тогаш ова води до сумирање на серијата (1), генерирана од факторите 
повикани Риманов метод на сумирање. Користејќи ја функцијата F, се формулира Римановиот принцип на локализација, според кој однесувањето на серијата (1) во точката x зависи само од однесувањето на функцијата F во произволно мало соседство на оваа точка.
Ако Т.р. конвергира на збир на позитивни мерки, тогаш неговите коефициенти имаат тенденција на нула (теорема Кантор-Лебег). Стремејќи се кон нула коефициенти на TR. исто така следи од неговата конвергенција на збир од втората категорија (В. Јанг, В. Јанг, 1909).
Еден од централните проблеми на теоријата на општата тр. е проблемот на претставување на произволна функција на TR. Зајакнувајќи ги резултатите од N. N. Luzin (1915) за претставувањето на функциите на TR, сумирани речиси насекаде со методите Абел-Поасон и Риман, Д.Е. Меншов ја докажа (1940) следната теорема, која се однесува на најважниот случај кога претставувањето на функцијата f се подразбира како конвергенција на T. r. До ѓ(x) скоро секаде. За секоја функција f што е мерлива и конечна речиси насекаде, постои линеарна равенка што конвергира кон неа речиси насекаде (теорема на Меншов). Треба да се забележи дека дури и ако функцијата f е интегрирана, тогаш, општо земено, невозможно е да се земе Фуриеовата серија на функцијата f како таква серија, бидејќи има Фуриеови серии кои се разминуваат насекаде.
Горенаведената теорема на Меншов го овозможува следново појаснување: ако функцијата f е мерлива и конечна речиси насекаде, тогаш постои континуирана функција таква што 
речиси секаде и терминодиференцираната Фуриеова серија на функцијата j конвергира во f(x) речиси насекаде (Н.К. Бари, 1952).
Не е познато (1984) дали е можно да се испушти условот за конечност на функцијата f речиси насекаде во теоремата на Меншов. Конкретно, не е познато (1984) дали Т.р. се спојуваат речиси насекаде кон
Затоа, проблемот на претставување на функции кои можат да земат бесконечни вредности на збир на позитивни мерки беше разгледан за случајот кога конвергенцијата речиси насекаде се заменува со послабо барање - конвергенција во мерка. Конвергенцијата во мерка до функциите што можат да земат бесконечни вредности се дефинира на следниов начин: низа од парцијални суми Т. стр. s n(x) по мерка конвергира до функцијата f(x) .
ако каде fn(x)конвергираат на / (x)речиси насекаде, а низата конвергира на нула по мерка. Во оваа формулација, прашањето за претставување на функциите е целосно решено: за секоја мерлива функција постои TR што се конвергира кон неа по мерка (Д. Е. Меншов, 1948).
Многу студии се посветени на проблемот на уникатноста на ТР: дали два различни ТР можат да се разликуваат во иста функција; во друга формулација: ако Т.р. конвергира на нула, тогаш дали следи дека сите коефициенти од серијата се еднакви на нула. Овде можеме да мислиме на конвергенција во сите точки или во сите точки надвор од одредено множество. Одговорот на овие прашања суштински зависи од својствата на тоа множество, надвор од кое не се претпоставува конвергенција.
Воспоставена е следнава терминологија. Многу имиња уникатност од многуминаили U-во собата, ако од конвергенција на T. r. на нула насекаде, освен, можеби, точките од множеството Е,произлегува дека сите коефициенти од оваа серија се еднакви на нула. Инаку Јеназ. М-сет.
Како што покажа G. Cantor (1872), празното множество, како и секое конечно множество, се U-множества. Произволно пребројливо множество е исто така U-множество (В. Јунг, 1909). Од друга страна, секоја позитивна мерка е М-множество.
Постоењето на М-множества со мерки нула го утврдил Д. Е. Меншов (1916), кој го конструирал првиот пример на совршено множество кое ги поседува овие својства. Овој резултат е од фундаментално значење во проблемот на единственоста. Од постоењето на М-множества мерки нула, произлегува дека кога функциите на триаголната серија се претставени како конвергирани речиси насекаде, овие серии се одредуваат на очигледно единствен начин.
Совршените комплети можат да бидат и U-сетови (Н.К. Бари; А. Рајчман, А. Рајчман, 1921). Во проблемот на уникатноста, суштинска улога играат многу суптилни карактеристики на множествата на мерки нула. Општо прашање за класификација на множества со нулта мерка во М-а U-множеството останува отворено (1984). Не се решава ниту за совршени комплети.
Следниот проблем е поврзан со проблемот на единственоста. Ако Т.р. конвергира во функција 
тогаш оваа серија треба да биде Фуриеова серија на функцијата /. P. Du Bois-Reymond (1877) даде позитивен одговор на ова прашање ако f е Риманова интеграбилна и серијата конвергира во f(x) во сите точки. Од резултатите од III. J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) следи дека одговорот е позитивен дури и во случај кога секаде, освен за бројливо збир на точки, серијата конвергира и нејзиниот збир е конечен.
Ако една серија се конвергира апсолутно во одредена точка x 0, тогаш точките на конвергенција на оваа серија, како и точките на нејзината апсолутна конвергенција, се наоѓаат симетрично во однос на точката x 0
(П. Фату, П. Фату, 1906).
Според Теорема Денџој - Лузинод апсолутната конвергенција на ТР. (1) на збир на позитивна мерка серијата конвергира 
и, следствено, апсолутната конвергенција на серијата (1) за сите X.Ова својство го имаат и множествата од втората категорија, како и одредени множества на мерки нула.
Овој преглед опфаќа само еднодимензионални TR. (1). Постојат посебни резултати поврзани со општите T. r. од неколку променливи. Овде, во многу случаи, сè уште е неопходно да се најдат природни формулации на проблеми.
Запалена.: Бари Н.К., Тригонометриска серија, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометриска серија, транс. од англиски, том 1-2, М., 1965; Лузин Н.Н., Интегрални и тригонометриски серии, М.-Л., 1951; Риман Б., Сох., пре. од германски, М.-Л., 1948, стр. 225-61.
С.А. Телјаковски.
- - конечна тригонометриска сума, - израз на формата со реални коефициенти a 0, и k, bk, k=l, . . ., n;повикан број n. нарачајте Т. 0)...
Математичка енциклопедија
- - низа косинуси и синуси од повеќе лакови, т.е. серија од формата или во сложена форма каде што се нарекуваат ak, bk или, соодветно, ck. Т.р коефициенти За прв пат Т.р. средба со Л. Ојлер...
Математичка енциклопедија
- - триаголна точка, - геодетска точка, чија положба на површината на земјата се одредува со методот на триаголување...
Голем енциклопедиски политехнички речник
- - види Триангулација...
Енциклопедиски речник на Брокхаус и Еуфрон
- - во геодезијата, структура инсталирана на земја на тригонометриски точки. Т.з. се состои од два дела - надворешен и подземен...
Голема советска енциклопедија
- - функционална серија на формата, односно серија лоцирана долж синусите и косинусите на повеќекратни лаци. Често Т.р. напишано во сложена форма...
Во голем број случаи, со испитување на коефициентите на сериите од формата (C), може да се утврди дека овие серии се спојуваат (освен, можеби, поединечни точки) и се Фуриеови серии за нивните збирови (види, на пример, претходната став), но во сите овие случаи, природно се поставува прашањето,
како да се најдат збировите на овие серии или - поточно - како да се изразат во конечна форма преку елементарни функции, ако воопшто се изразени во оваа форма. Ојлер (а исто така и Лагранж) успешно користел аналитички функции на сложена променлива за да ги сумира тригонометриските серии во конечна форма. Идејата за методот на Ојлер е како што следува.
Да претпоставиме дека за одредено множество коефициенти серијата (C) и конвергираат до функции насекаде во интервалот, исклучувајќи можеби само поединечни точки. Сега да разгледаме серија на моќност со исти коефициенти, распоредени по моќи на сложената променлива
На обемот на единечниот круг, т.е., во оваа серија, по претпоставка, конвергира, исклучувајќи ги поединечните точки:
Во овој случај, според добро познатото својство на сериите на моќност, серијата (5) очигледно конвергира во т.е. внатре во кругот на единицата, дефинирајќи таму одредена функција на сложена променлива. Користење на она што го знаеме [види § 5 од Глава XII] проширување на елементарните функции на сложена променлива, често е можно функцијата да се сведе на нив.Тогаш за имаме:
и според Абеловата теорема, штом серијата (6) се конвергира, нејзиниот збир се добива како граница
Обично оваа граница е едноставно еднаква на која ни овозможува да ја пресметаме функцијата во нејзината конечна форма
Нека, на пример, предложената серија
Изјавите докажани во претходниот став водат до заклучок дека и двете од овие серии се спојуваат (првата - со исклучок на точките 0 и
служат како Фуриеови серии за функциите што ги дефинираат.Но кои се овие функции? За да одговориме на ова прашање, ајде да создадеме серија
Врз основа на неговата сличност со логаритамската серија, нејзиниот збир може лесно да се одреди:
оттука,
Сега лесната пресметка дава:
па модулот на овој израз е , а аргументот е .
а со тоа и конечно
Овие резултати ни се познати и дури еднаш беа добиени со помош на „комплексни“ размислувања; но во првиот случај тргнавме од функциите и , а во вториот - од аналитичката функција.Тука за прв пат како појдовна точка ни послужија самите серии. Читателот ќе најде дополнителни примери од овој вид во следниот пасус.
Уште еднаш нагласуваме дека треба однапред да бидете сигурни за конвергенцијата на серијата (C) и да имате право да ги одредувате нивните збирови користејќи ја граничната еднаквост (7). Самото постоење на граница на десната страна на оваа еднаквост сè уште не дозволува да се донесе заклучок за конвергенцијата на споменатата серија. За да го покажете ова со пример, разгледајте ја серијата
Во науката и технологијата честопати треба да се занимаваме со периодични процеси: осцилаторни движења на машински делови, инструменти, движење на небесни тела и елементарни честички, електромагнетни осцилации итн. Математички, таквите процеси се опишани со периодични функции.
Функцијаѓ(x), дефинирана на целата нумеричка оска, освен можеби за некои точки, се нарекува периодична со период T ако има број T≠0 таков што за која било вредност x од доменот на дефинирање на функцијата важи следнава еднаквост:
ѓ(x + Т) = ѓ(x).
Доколку бројот Те периодот на функцијата ѓ(x), тој број T·pза која било целина Пќе биде и периодот на оваа функција.
Се нарекува најмал позитивен период на дадена функција главен период на функцијата.
На пример, секоја константа може да се смета како периодична функција со кој било период. Најпознатите периодични функции со точка Т = 2πсе тригонометриски функции y =грев x, y = cos X..
Својства на периодични функции
Збир, разлика, производ и количник на периодични функции со точка Тпостои периодична функција со истиот период.
2. Ако функцијата ѓ(x) има период Т,потоа функцијата ѓ(а· x) има период каде a ≠0, a =конст.
На пример, бидејќи функциите y
=
грев x,
y
=
cos x
се периодични со период Т=2π,потоа функциите y=
грев kx
И y=
cos kx
се исто така периодични и имаат период 
. Функции y
=
грев kx
И на=
cos kx
повикани „Листови со хармоници“.
3. Дефинитивниот интеграл на периодична функција над отсечка која е еднаква на периодот не зависи од положбата на интеграцискиот сегмент на оската, т.е. Ако ѓ(x)
=
ѓ(x
+
Т),
тогаш 
.
Геометриски, за ненегативни функции, ова својство значи еднаквост на површините на засенчените области на фигурите (слика 2).
Слика 2
4.2. Ортогонални функционални системи
Ајде да разгледаме неколку помошни концепти , што ќе ни треба подоцна.
Функцииѓ(x) и φ(x) се нарекуваат ортогонални на отсечката[А,б], доколку се дефинирани, интеграбилни на овој интервал и важи еднаквоста
.
На пример, разгледајте ги функциите ѓ(x)= xИ 
на сегментот .
Тие се дефинирани и континуирани на сегментот .
Дозволете ни да го најдеме дефинитивниот интеграл на производот на овие функции преку наведениот сегмент:
.
Затоа, функциите ѓ(x)
=
x
И 
ортогонална на сегментот.
Функциски системѓ,(x), ѓ 2 (x),…, ѓ n (x) се нарекува ортогонална на отсечката[а, б],ако било кои две различни функции се ортогонални, т.е.
Како пример, го даваме системот (1 , cos x, грев x, cos2 x , грев2 x ,..., cos nx, грев nx,... }, ПЗ, кој е ортогонален систем на функции на интервалот [-π, π], т.е. е ортогонален систем на интервал еднаков на периодот на овие функции.
4.3. Хармонични вибрации. Тригонометриска серија
Еден од најважните концепти во радио електрониката се електричните осцилации. Ова се флуктуации на напон, струја, полнење. На пример, радио брановите се вибрации на електромагнетно поле. Хармонична вибрацијаќе го наречеме секој процес што е опишан со периодична функција со точка 
или, што е еквивалентно, функција на формата
Оваа функција се нарекува синусоидаленили хармоничен; А е амплитудата на вибрациите,ова е најголемата вредност на опсегот на замавнување; ω -аголна фреквенција,покажува колку пати дадена периодична појава ќе се повтори во 2 π (единица време); φ - почетна фазахармонична вибрација.
Ако додадеме периодични функции
чии фреквенции
ω, 2ω,…, кω,…
се множители на најмалите од нив, а периодите се соодветно еднакви 
, тогаш како резултат ја добиваме функцијата
што е исто така периодично со период Т,но значително ќе се разликува од синусната функција.
Излегува дека ако земеме бесконечен број едноставни хармоници, тогаш секоја периодична функција, со одредени, сепак, својства, може да се претстави како нивен збир или, како што велат, во форма на тригонометриска серија.
Тригонометриска серија се нарекува функционална серија на формата
=
.
Броеви А П
И б n ,
Каде n=1,2,3,...,
повикани сериски коефициенти.Слободниот член (нулта хармоника) е запишан во форма 
за униформност на следните формули.
Да се проучува сложена осцилација опишана со функцијата ѓ(x), периодични со период Т=2π,може да се претстави како збир на едноставни хармонски осцилации, т.е. се прошири во функција на тригонометриска серија
.
Задачата бара решавање на три прашања:
Под кои услови функционира периодичната ѓ(x) со период ТДали може да се претстави како тригонометриска серија?
Дали е ова единственото распаѓање?
Како да се пресметаат коефициентите на оваа серија?
Ќе започнеме со решавање на последните две прашања.
Во науката и технологијата честопати треба да се занимаваме со периодични појави, т.е. оние кои се репродуцираат по одреден временски период Т, наречен период. Наједноставната од периодичните функции (освен константа) е синусоидната величина: Како во(x+ ), хармонска осцилација, каде што има „фреквенција“ поврзана со периодот по однос: . Од такви едноставни периодични функции може да се состават посложени. Очигледно, составните синусоидални величини мора да бидат со различни фреквенции, бидејќи додавањето на синусоидални количини со иста фреквенција резултира со синусоидна количина со иста фреквенција. Ако соберете неколку количини од формуларот
Како пример, овде го репродуцираме собирањето на три синусоидни величини: . Да го погледнеме графикот на оваа функција
Овој график е значително различен од синусниот бран. Ова е уште повеќе точно за збирот на бесконечна серија составена од членови од овој тип. Да го поставиме прашањето: дали оваа периодична функција на периодот може да биде Тпретставувај го како збир од конечно или барем бесконечно множество синусоидни величини? Излегува дека во однос на голема класа на функции, на ова прашање може да се одговори потврдно, но ова е само ако ја вклучиме целата бесконечна низа од такви термини. Геометриски, тоа значи дека графикот на периодична функција се добива со наметнување на низа синусоиди. Ако ја сметаме секоја синусоидна вредност како некое хармонично осцилаторно движење, тогаш можеме да кажеме дека ова е сложена осцилација која се карактеризира со функција или едноставно нејзини хармоници (прва, втора, итн.). Процесот на разложување на периодична функција во хармоници се нарекува хармонична анализа.
Важно е да се забележи дека таквите проширувања честопати излегуваат корисни во проучувањето на функциите наведени само во одреден конечен интервал и не се генерирани од никакви осцилаторни појави.
Дефиниција.Тригонометриска серија е серија од формата:
Или 
(1).
Реалните броеви се нарекуваат коефициенти на тригонометриската серија. Оваа серија може да се напише и вака:
Ако се конвергира низа од типот претставен погоре, тогаш нејзиниот збир е периодична функција со период 2p.
Дефиниција.Фуриеовите коефициенти на тригонометриската серија се нарекуваат: 
(2)
(3)
(4)
Дефиниција.Фурие во близина за функција f(x)се нарекува тригонометриска серија чии коефициенти се Фуриеови коефициенти.
Ако Фуриевата серија на функцијата f(x)конвергира кон него во сите негови точки на континуитет, тогаш велиме дека функцијата f(x)се проширува во Фуриеова серија.
Теорема.(Дирихлеова теорема) Ако функцијата има период од 2p и е континуирана на интервал или има конечен број точки на дисконтинуитет од првиот вид, интервалот може да се подели на конечен број отсечки така што во секоја од нив функцијата е монотона, тогаш Фуриевата серија за функцијата конвергира за сите вредности X, а во точките на континуитет на функцијата нејзиниот збир S(x)е еднаков на , а во точките на дисконтинуитет неговиот збир е еднаков на , т.е. аритметичката средина на граничните вредности лево и десно.
Во овој случај, Фуриевата серија на функцијата f(x)рамномерно конвергира на кој било сегмент што припаѓа на интервалот на континуитет на функцијата.
Функцијата што ги задоволува условите на оваа теорема се нарекува делче мазна на отсечката.
Да разгледаме примери за проширување на функција во Фуриеова серија.
Пример 1. Проширете ја функцијата во Фуриеова серија f(x)=1-x, има менструација 2 стри дадена на сегментот .
Решение. Ајде да ја нацртаме оваа функција
Оваа функција е континуирана на отсечката, односно на отсечка со должина на период, затоа може да се прошири во Фуриеова серија, конвергирајќи се кон неа во секоја точка од овој сегмент. Со помош на формулата (2) го наоѓаме коефициентот на оваа серија: .
Да ја примениме формулата за интеграција по делови и да најдеме од формулите (3) и (4), соодветно:
Заменувајќи ги коефициентите во формулата (1), добиваме 
или .
Оваа еднаквост важи за сите точки освен точките и (точките каде што се споени графиците). Во секоја од овие точки, збирот на серијата е еднаков на аритметичката средина на нејзините ограничувачки вредности десно и лево, т.е.
Да претставиме алгоритам за разложување на функцијатаво серијата Фурие.
Општата процедура за решавање на проблемот е како што следува.