Една од темите која бара максимално внимание и упорност од студентите е решавањето на нееднаквостите. Толку слични на равенките и во исто време многу различни од нив. Бидејќи нивното решавање бара посебен пристап.
Својства кои ќе бидат потребни за да се најде одговорот
Сите тие се користат за замена на постоечки запис со еквивалентен. Повеќето од нив се слични на она што беше во равенките. Но, постојат и разлики.
- Функција што е дефинирана во ODZ, или кој било број, може да се додаде на двете страни на првобитната неравенка.
- Исто така, множењето е можно, но само со позитивна функција или број.
- Ако ова дејство се врши со негативна функција или број, тогаш знакот за нееднаквост мора да се замени со спротивниот.
- Функциите кои не се негативни може да се подигнат на позитивна моќ.
Понекогаш решавањето на нееднаквостите е придружено со дејства кои даваат необични одговори. Тие треба да се елиминираат со споредување на доменот DL и множеството решенија.
Користење на методот интервал
Нејзината суштина е да се намали нееднаквоста на равенка во која има нула на десната страна.
- Определете ја областа каде што лежат дозволените вредности на променливите, односно ODZ.
- Трансформирајте ја неравенката користејќи математички операции така што десната страна има нула.
- Заменете го знакот за неравенство со „=“ и решете ја соодветната равенка.
- На нумеричката оска означете ги сите одговори кои се добиени при решавањето, како и OD интервалите. Во случај на строга нееднаквост, точките мора да се нацртаат како пробиени. Ако има знак за еднаквост, тогаш тие треба да бидат обоени.
- Определи го знакот на првобитната функција на секој интервал добиен од точките на ODZ и одговорите што ја делат. Ако знакот на функцијата не се менува при минување низ точка, тогаш таа се вклучува во одговорот. Во спротивно, тоа е исклучено.
- Граничните точки за ОДЗ треба дополнително да се проверат и дури потоа да се вклучат или не во одговорот.
- Добиениот одговор мора да биде напишан во форма на комбинирани множества.
Малку за двојните нееднаквости
Тие користат два знака за нееднаквост одеднаш. Односно, некоја функција е ограничена со услови двапати одеднаш. Ваквите неравенки се решаваат како систем од два, кога оригиналот е поделен на делови. А во методот на интервал се посочени одговорите од решавање на двете равенки.
За нивно решавање, исто така е дозволено да се користат својствата наведени погоре. Со нивна помош, погодно е да се намали нееднаквоста на нула.
Што е со неравенките кои имаат модул?
Во овој случај, решението на неравенките ги користи следните својства и тие важат за позитивна вредност „а“.
Ако „x“ земе алгебарски израз, тогаш валидни се следните замени:
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > a до x< -a или х >а.
Ако неравенките не се строги, тогаш и формулите се точни, само што во нив покрај знакот поголем или помал се појавува „=“.
Како се решава систем на неравенки?
Ова знаење ќе биде потребно во случаи кога е дадена таква задача или има запис за двојна нееднаквост или се појавува модул во записот. Во таква ситуација, решение ќе бидат вредностите на променливите кои би ги задоволиле сите нееднаквости во записот. Ако нема такви бројки, тогаш системот нема решенија.
Планот според кој се врши решението на системот на неравенки:
- реши секој од нив посебно;
- да ги прикаже сите интервали на оската на броеви и да ги одреди нивните пресеци;
- запишете го одговорот на системот, кој ќе биде комбинација од она што се случи во вториот пасус.
Што да се прави со дробните неравенки?
Бидејќи нивното решавање може да бара промена на знакот на нееднаквост, треба многу внимателно и внимателно да ги следите сите точки од планот. Во спротивно, може да добиете спротивен одговор.
Решавањето на дропски неравенки го користи и методот на интервал. А акциониот план ќе биде вака:
- Користејќи ги опишаните својства, дајте ѝ на дропот таква форма што ќе остане само нула десно од знакот.
- Заменете ја неравенството со „=“ и определи ги точките во кои функцијата ќе биде еднаква на нула.
- Обележете ги на координатната оска. Во овој случај, броевите добиени како резултат на пресметките во именителот секогаш ќе бидат избришани. Сите останати се засноваат на условот на нееднаквост.
- Определете ги интервалите на постојаноста на знакот.
- Како одговор, запишете ја унијата на оние интервали чиј знак одговара на оној во првобитната нееднаквост.
Ситуации кога ирационалноста се појавува во нееднаквоста
Со други зборови, во ознаката има математички корен. Бидејќи во училишниот курс за алгебра повеќето задачи се за квадратен корен, ова е она што ќе се разгледа.
Решението на ирационалните неравенки се сведува на добивање систем од два или три што ќе биде еквивалентен на оригиналниот.
| Оригинална нееднаквост | состојба | еквивалентен систем |
| √ n(x)< m(х) | m(x) помало или еднакво на 0 | нема решенија |
| m(x) поголемо од 0 | n(x) е поголемо или еднакво на 0 n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) поголема или еднаква на 0 n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) е поголемо или еднакво на 0 m(x) помалку од 0 |
||
| √n(x) ≤ m(x) | m(x) помалку од 0 | нема решенија |
| m(x) поголема или еднаква на 0 | n(x) е поголемо или еднакво на 0 n(x) ≤ (m(x)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) поголема или еднаква на 0 n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) е поголемо или еднакво на 0 m(x) помалку од 0 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) е поголемо или еднакво на 0 n(x) помалку од m(x) |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) поголемо од 0 m(x) помалку од 0 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) поголемо од 0 m(x) поголемо од 0 |
|
| √n(x) * m(x) ≤ 0 | n(x) поголемо од 0 |
|
n(x) е еднакво на 0 m(x) - било кој |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) поголемо од 0 |
|
n(x) е еднакво на 0 m(x) - било кој |
Примери за решавање на различни видови неравенки
Со цел да се додаде јасност на теоријата за решавање на неравенки, примери се дадени подолу.
Прв пример. 2x - 4 > 1 + x
Решение: За да се одреди ADI, се што треба да направите е внимателно да ја погледнете нееднаквоста. Се формира од линеарни функции, затоа е дефинирана за сите вредности на променливата.
Сега треба да одземете (1 + x) од двете страни на неравенката. Излегува: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Откако ќе се отворат заградите и ќе се дадат слични членови, неравенството ќе го добие следниот облик: x - 5 > 0.
Изедначувајќи го на нула, лесно е да се најде неговото решение: x = 5.
Сега оваа точка со бројот 5 мора да биде означена на координатниот зрак. Потоа проверете ги знаците на оригиналната функција. На првиот интервал од минус бесконечност до 5, можете да го земете бројот 0 и да го замените во неравенката добиена по трансформациите. По пресметките излегува -7 >0. под лакот на интервалот треба да потпишете знак минус.
На следниот интервал од 5 до бесконечност, можете да го изберете бројот 6. Потоа излегува дека 1 > 0. Под лакот има знак „+“. Овој втор интервал ќе биде одговор на нееднаквоста.
Одговор: x лежи во интервалот (5; ∞).
Втор пример. Потребно е да се реши систем од две равенки: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x - 2 ≤ 4x + 2.
Решение. VA на овие неравенки исто така лежи во регионот на кој било број, бидејќи се дадени линеарни функции.
Втората неравенка ќе има форма на следнава равенка: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. По трансформацијата: -x - 4 =0. Ова произведува вредност за променливата еднаква на -4.
Овие два броја треба да бидат означени на оската, прикажувајќи интервали. Бидејќи нееднаквоста не е строга, сите точки треба да се засенчат. Првиот интервал е од минус бесконечност до -4. Нека биде избран бројот -5. Првата неравенка ќе ја даде вредноста -3, а втората 1. Тоа значи дека овој интервал не е вклучен во одговорот.
Вториот интервал е од -4 до -2. Можете да го изберете бројот -3 и да го замените со двете неравенки. Во првиот и вториот, вредноста е -1. Ова значи дека под лакот „-“.
Во последниот интервал од -2 до бесконечност, најдобриот број е нула. Треба да го замените и да ги пронајдете вредностите на нееднаквостите. Првиот од нив произведува позитивен број, а вториот нула. Оваа празнина, исто така, мора да се исклучи од одговорот.
Од трите интервали, само еден е решение за неравенството.
Одговор: x припаѓа на [-4; -2].
Трет пример. |1 - x| > 2 |x - 1|.
Решение. Првиот чекор е да се одредат точките во кои функциите исчезнуваат. За левата оваа бројка ќе биде 2, за десната - 1. Тие треба да бидат означени на гредата и да се утврдат интервалите на постојаноста на знакот.
На првиот интервал, од минус бесконечност до 1, функцијата од левата страна на неравенката зема позитивни вредности, а функцијата од десната страна добива негативни вредности. Под лакот треба да напишете два знака „+“ и „-“ рамо до рамо.
Следниот интервал е од 1 до 2. На него и двете функции земаат позитивни вредности. Ова значи дека има два плуса под лакот.
Третиот интервал од 2 до бесконечност ќе го даде следниот резултат: левата функција е негативна, десната функција е позитивна.
Земајќи ги предвид добиените знаци, треба да ги пресметате вредностите на нееднаквоста за сите интервали.
Првиот ја произведува следната неравенка: 2 - x > - 2 (x - 1). Минусот пред двата во втората неравенка се должи на фактот што оваа функција е негативна.
По трансформацијата, нееднаквоста изгледа вака: x > 0. Веднаш ги дава вредностите на променливата. Односно, од овој интервал ќе се одговори само интервалот од 0 до 1.
На вториот: 2 - x > 2 (x - 1). Трансформациите ќе ја дадат следната неравенка: -3x + 4 е поголема од нула. Неговата нула ќе биде x = 4/3. Земајќи го предвид знакот за нееднаквост, излегува дека x мора да биде помал од овој број. Ова значи дека овој интервал е намален на интервал од 1 до 4/3.
Последново ја дава следната неравенка: - (2 - x) > 2 (x - 1). Неговата трансформација води до следново: -x > 0. Односно, равенката е вистинита кога x е помала од нула. Тоа значи дека на потребниот интервал неравенството не дава решенија.
Во првите два интервали, граничниот број се покажа дека е 1. Треба да се провери посебно. Односно, заменете го во првобитната нееднаквост. Излегува: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Броењето покажува дека 1 е поголемо од 0. Ова е вистинито тврдење, па еден е вклучен во одговорот.
Одговор: x лежи во интервалот (0; 4/3).
Не секој знае како да решава неравенки, кои во својата структура имаат слични и карактеристични карактеристики со равенки. Равенката е вежба составена од два дела, меѓу кои има знак за еднаквост, а меѓу деловите на неравенката може да има знак „повеќе од“ или „помалку од“. Така, пред да најдеме решение за одредена нееднаквост, мора да разбереме дека вреди да се земе предвид знакот на бројот (позитивен или негативен) ако има потреба да се множат двете страни со кој било израз. Истиот факт треба да се земе предвид ако е потребно квадратирање за да се реши неравенка, бидејќи квадратирањето се врши со множење.
Како да се реши систем на неравенки
Многу е потешко да се решат системите на неравенки отколку обичните неравенки. Ајде да погледнеме како да ги решиме неравенките во одделение 9 користејќи конкретни примери. Треба да се разбере дека пред да се решат квадратните неравенки (системи) или кои било други системи на неравенки, потребно е да се реши секоја неравенка посебно, а потоа да се споредат. Решението на системот на нееднаквост ќе биде или позитивен или негативен одговор (дали системот има решение или нема решение).
Задачата е да се реши збир на неравенки:
Ајде да ја решиме секоја неравенка посебно
Градиме бројна линија на која прикажуваме збир на решенија
Бидејќи множеството е заедница од множества решенија, ова множество на бројната права мора да биде подвлечено со најмалку една линија.
Решавање на неравенки со модул
Овој пример ќе покаже како се решаваат неравенки со модул. Значи имаме дефиниција:
Треба да ја решиме нееднаквоста:
Пред да се реши таквата нееднаквост, неопходно е да се ослободите од модулот (знакот)
Дозволете ни да напишеме, врз основа на податоците за дефиницијата:
Сега треба да го решите секој од системите посебно.
Ајде да конструираме една бројна линија на која ги прикажуваме множествата решенија.
Како резултат на тоа, имаме колекција која комбинира многу решенија.
Решавање на квадратни неравенки
Користејќи ја бројната права, да погледнеме пример за решавање на квадратни неравенки. Имаме нееднаквост:
Знаеме дека графикот на квадратен трином е парабола. Знаеме и дека гранките на параболата се насочени нагоре ако a>0.
x 2 -3x-4< 0
Користејќи ја теоремата на Виета ги наоѓаме корените x 1 = - 1; x 2 = 4
Ајде да нацртаме парабола, поточно, скица од неа.
Така, дознавме дека вредностите на квадратниот трином ќе бидат помали од 0 на интервалот од – 1 до 4.
Многу луѓе имаат прашања кога решаваат двојни неравенки како g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
Всушност, постојат неколку методи за решавање на неравенки, така што можете да го користите графичкиот метод за решавање на сложени неравенки.
Решавање на дропски неравенки
Дробните неравенки бараат повнимателен пристап. Ова се должи на фактот дека во процесот на решавање на некои фракциони неравенки, знакот може да се промени. Пред да ги решите дропските неравенки, треба да знаете дека методот на интервал се користи за нивно решавање. Дробната неравенка мора да биде претставена на таков начин што едната страна од знакот изгледа како фракционо рационално изразување, а другата страна изгледа како „- 0“. Трансформирајќи ја неравенката на овој начин, добиваме како резултат f(x)/g(x) > (.
Решавање на неравенки со методот на интервал
Техниката на интервал се заснова на методот на целосна индукција, односно потребно е да се поминат сите можни опции за да се најде решение за нееднаквоста. Овој метод на решавање можеби не е неопходен за учениците од 8-мо одделение, бидејќи тие треба да знаат како да ги решаваат неравенките од 8-мо одделение, кои се едноставни вежби. Но, за постарите одделенија овој метод е незаменлив, бидејќи помага во решавањето на фракционите нееднаквости. Решавањето на неравенки со помош на оваа техника се заснова и на такво својство на континуирана функција како зачувување на знакот помеѓу вредностите во кои се претвора во 0.
Ајде да изградиме график на полиномот. Ова е континуирана функција која ја зема вредноста 0 3 пати, односно f(x) ќе биде еднаква на 0 во точките x 1, x 2 и x 3, корените на полиномот. Во интервалите помеѓу овие точки, знакот на функцијата е зачуван.
Бидејќи за решавање на неравенката f(x)>0 ни треба знакот на функцијата, преминуваме на координатната линија, оставајќи го графикот.
f(x)>0 за x(x 1 ; x 2) и за x(x 3 ;)
f(x)x(-; x 1) и на x (x2; x 3)
На графиконот јасно се прикажани решенијата на неравенките f(x)f(x)>0 (решението за првата неравенка е сино, а решението за втората со црвено). За да го одредите знакот на функцијата на интервал, доволно е да го знаете знакот на функцијата во една од точките. Оваа техника ви овозможува брзо да ги решите нееднаквостите во кои е факторизирана левата страна, бидејќи во такви неравенки е прилично лесно да се најдат корените.
решение за нееднаквоство режим онлајн решениеречиси секоја дадена нееднаквост онлајн. Математички нееднаквости на интернетда решава математика. Најдете брзо решение за нееднаквоство режим онлајн. Веб-страницата www.site ви овозможува да најдете решениеречиси секој даден алгебарски, тригонометрискиили трансцендентална нееднаквост на интернет. Кога студирате речиси секоја гранка од математиката во различни фази, треба да одлучите нееднаквости на интернет. За да добиете одговор веднаш, и што е најважно точен одговор, потребен ви е ресурс што ви го овозможува тоа. Благодарение на страницата www.site реши нееднаквоста онлајнќе потрае неколку минути. Главната предност на www.site при решавање на математички нееднаквости на интернет- ова е брзината и точноста на дадениот одговор. Веб-страницата може да реши какви било алгебарски неравенки онлајн, тригонометриски неравенки онлајн, трансцендентални нееднаквости онлајн, и нееднаквостисо непознати параметри во режим онлајн. Нееднаквостислужат како моќен математички апарат решенијапрактични проблеми. Со помош математички неравенкиможно е да се изразат факти и односи кои на прв поглед може да изгледаат збунувачки и сложени. Непознати количини нееднаквостиможе да се најде со формулирање на проблемот во математичкијазик во форма нееднаквостиИ одлучидобиена задача во режим онлајнна веб-страницата www.site. Било кој алгебарска нееднаквост, тригонометриска нееднаквостили нееднаквостикои содржат трансценденталенкарактеристики што можете лесно одлучионлајн и добијте го точниот одговор. Кога студирате природни науки, неминовно наидувате на потреба решенија за нееднаквости. Во овој случај, одговорот мора да биде точен и мора да се добие веднаш во режимот онлајн. Затоа за решаваат математички неравенки онлајнја препорачуваме страницата www.site, која ќе стане ваш неопходен калкулатор решавање на алгебарски неравенки онлајн, тригонометриски неравенки онлајн, и трансцендентални нееднаквости онлајнили нееднаквостисо непознати параметри. За практични проблеми за наоѓање онлајн решенија за различни математички неравенкиресурс www.. Решавање нееднаквости на интернетсами, корисно е да го проверите добиениот одговор користејќи онлајн решение на нееднаквостина веб-страницата www.site. Треба правилно да ја напишете неравенката и веднаш да ја добиете онлајн решение, по што останува само да го споредите одговорот со вашето решение на нееднаквоста. Проверувањето на одговорот ќе потрае не повеќе од една минута, доволно е реши нееднаквоста онлајни споредете ги одговорите. Ова ќе ви помогне да избегнете грешки во одлукаа одговорот поправете го навреме кога решавање на нееднаквости онлајнили алгебарски, тригонометриски, трансценденталенили нееднаквостсо непознати параметри.
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Што се случи „квадратна нееднаквост“?Без прашање!) Ако земете било којквадратна равенка и заменете го знакот во неа "=" (еднакво) на кој било знак за нееднаквост ( > ≥ < ≤ ≠ ), добиваме квадратна неравенка. На пример:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Па, разбираш...)
Не за џабе ги поврзав равенките и неравенките овде. Поентата е дека првиот чекор во решавањето било којквадратна нееднаквост - реши ја равенката од која е направена оваа неравенка.Поради оваа причина, неможноста да се решат квадратните равенки автоматски доведува до целосен неуспех во неравенките. Дали е јасен навестувањето?) Ако има нешто, погледнете како да ги решите сите квадратни равенки. Сè е опишано таму во детали. И во оваа лекција ќе се занимаваме со нееднаквости.
Неравенката подготвена за решение има форма: лево е квадратен трином секира 2 +bx+c, од десната страна - нула.Знакот за нееднаквост може да биде апсолутно сè. Првите два примери се тука веќе се подготвени да донесат одлука.Третиот пример допрва треба да се подготви.
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.