Да разгледаме едноставен физички систем - материјална точка способна да осцилира на хоризонтална површина без триење под влијание на силата на Хук (види слика 2).
Ако поместувањето на оптоварувањето е мало (многу помало од должината на недеформираната пружина), а крутоста на пружината е еднаква на k, тогаш единствената сила што дејствува на товарот е силата на Кука. Потоа равенката
движењето на товарот (вториот закон на Њутн) има форма
Поместувајќи ги членовите на левата страна на еднаквоста и делејќи се со масата на материјалната точка (ја занемаруваме масата на пружината во споредба со m), ја добиваме равенката на движење
(*) ,
,
,
период на осцилација.
Потоа, земајќи ја функцијата
и откако го диференциравме во однос на времето, убедени сме, прво, дека брзината на движење на товарот е еднаква на
и второ, по повеќекратна диференцијација,
,
односно X(t) е навистина решение на равенката на оптоварување на пружина.
Таквиот систем, воопшто, секој систем, механички, електричен или друг, кој има равенка на движење (*), се нарекува хармоничен осцилатор. Функција од типот X(t) се нарекува закон на движење на хармониски осцилатор, количина 
се нарекуваат амплитуда,цикличнаили природна фреквенција,почетна фаза. Природната фреквенција се одредува според параметрите на осцилаторот, амплитудата и почетната фаза се специфицирани со почетните услови.
Законот за движење X(t) претставува слободни осцилации. Ваквите осцилации ги изведуваат непридушени нишала (математички или физички), струја и напон во идеално осцилаторно коло и некои други системи.
Хармоничните осцилации можат да се соберат и во една и во различни насоки. Резултатот од собирањето е исто така хармонска осцилација, на пример,
.
Ова е принципот на суперпозиција (суперпозиција) на вибрации.
Математичарите развија теорија за серии од овој вид, кои се наречени Фуриеови серии. Исто така, постојат голем број на генерализации како што се Фуриеовите интеграли (фреквенциите може да варираат постојано) па дури и Лапласовите интеграли кои работат со сложени фреквенции.
§15. Придушен осцилатор. Принудени вибрации.
Вистинските механички системи секогаш имаат барем мала количина на триење. Наједноставниот случај е течно или вискозно триење. Ова е триење, чија големина е пропорционална на брзината на движење на системот (и е насочена, природно, против насоката на движење). Ако движењето се случува долж оската X, тогаш равенката на движење може да се запише (на пример, за тежина на пружина) во форма
,
Каде 
– коефициент на вискозно триење.
Оваа равенка на движење може да се трансформира во форма
.
Еве 
- коефициент на слабеење, 
– сепак е природната фреквенција на осцилаторот (кој повеќе не може да се нарече хармоничен; тоа е придушен осцилатор со вискозно триење).
Математичарите можат да решаваат такви диференцијални равенки. Се покажа дека решението е функцијата
Последната формула ја користи следната нотација: 
– почетна амплитуда, фреквенција на слабо пригушени осцилации 
,
. Дополнително, често се користат и други параметри кои го карактеризираат слабеењето: намалување на логаритамското слабеење 
, време на релаксација на системот 
, фактор за квалитет на системот 
, каде што броителот е енергијата складирана од системот, а именителот е загубата на енергија во периодот Т.
Во случај на силно слабеење 
растворот има апериодична форма.
Често има случаи кога, покрај силите на триење, на осцилаторот делува и надворешна сила. Тогаш равенката на движење се сведува на формата
,
изразот од десната страна често се нарекува намалена сила, самиот израз 
наречена принудна сила. За произволна движечка сила, не е можно да се најде решение за равенката. Обично се разгледува хармонична движечка сила од типот 
. Тогаш решението претставува амортизиран дел од типот (**), кој има тенденција на нула за големи времиња, и стабилни (принудени) осцилации
Амплитуда на принудни осцилации
,
и фазата на принудни осцилации
.
Забележете дека како што природната фреквенција се приближува до фреквенцијата на движечката сила, амплитудата на принудните осцилации се зголемува. Овој феномен е познат како резонанца. Ако амортизацијата е голема, тогаш резонантното зголемување не е големо. Оваа резонанца се нарекува „досадна“. При ниски слабеење, амплитудата на „острата“ резонанца може значително да се зголеми. Ако системот е идеален и во него нема триење, тогаш амплитудата на принудните осцилации се зголемува неограничено.
Забележете и дека кај фреквенцијата на движечката сила
Се постигнува максималната вредност на амплитудата на движечката сила, еднаква на
.
Предавање 1
ОСИЛАЦИИ. БРАНОВИ. ОПТИКА
Првите научници кои ги проучувале осцилациите биле Галилео Галилеј и Кристиан Хајгенс. Галилео ја утврди независноста на периодот на осцилација од амплитудата. Хајгенс го измислил часовникот со нишало.
Секој систем кој, кога е малку нарушен од неговата рамнотежна положба, покажува стабилни осцилации се нарекува хармоничен осцилатор. Во класичната физика, таквите системи се математичко нишало во мали агли на отклонување, оптоварување во мали амплитуди на осцилација, електрично коло кое се состои од линеарни елементи на капацитивност и индуктивност.
(1.1.1)
Каде X А
Брзина на осцилирачка материјална точка
А
.
Ако периодично повторувачки процес е опишан со равенки кои не се совпаѓаат со (1.1.1), тој се нарекува анхармоничен. Систем кој врши анхармонични осцилации се нарекува анхармоничен осцилатор.
1.1.2 . Слободни вибрации на системи со еден степен на слобода. Комплексна форма на претставување на хармониските вибрации
Во природата, малите осцилации што ги прави системот во близина на неговата рамнотежна положба се многу чести. Ако системот отстранет од рамнотежна позиција се остави сам на себе, односно на него не дејствуваат надворешни сили, тогаш таквиот систем ќе врши слободни, непридушени осцилации. Да разгледаме систем со еден степен на слобода.
q
,
Каде 
, (1.1.4)
Изразот (1.1.5) се совпаѓа со равенката (1.1.3) на слободните хармонски осцилации, под услов
,
, Каде A=Xe-iα
1.1.3 . Примери на осцилаторни движења од различна физичка природа
Хармоничен осцилатор. Пролет, физички и математички нишала
Хармоничен осцилаторсе нарекува систем кој осцилира, опишан со равенка од формата (140.6);
Осцилациите на хармоничен осцилатор се важен пример за периодично движење и служат како точен или приближен модел во многу проблеми во класичната и квантната физика. Примери за хармоничен осцилатор се пружината, физичките и математичките нишала и осцилаторното коло (за струи и напони толку мали што елементите на колото може да се сметаат за линеарни).
1. Пролетно нишало- е товар на маса Т, виси на совршено еластична пружина и изведува хармонични осцилации под дејство на еластична сила Ф = - kx,Каде k-пружина вкочанетост. Равенка на движење на нишало
Од изразите (142.1) и (140.1) произлегува дека пружинското нишало врши хармонични осцилации според законот x=Aсо s (w 0 т + ј) со циклична фреквенција
Формулата (142.3) важи за еластични вибрации во границите во кои е задоволен Хуковиот закон (види (21.3)), т.е. кога масата на пружината е мала во споредба со масата на телото. Потенцијалната енергија на пружинското нишало, според (141.5) и (142.2), е еднаква на
2. Физичко нишало- ова е круто тело кое под влијание на гравитацијата осцилира околу фиксна хоризонтална оска што минува низ точка ЗА, не се совпаѓа со центарот на масата СОтела (сл. 201).
Ако нишалото е навалено од неговата рамнотежна положба за одреден агол а,тогаш, во согласност со равенката на динамиката на ротационото движење на круто тело (18.3), моментот Мсилата за враќање може да се напише како
Каде J-момент на инерција на нишалото во однос на оската што минува низ точката на потпирање О јас -растојанието помеѓу него и центарот на масата на нишалото, F t = – mg sin a » – mg а. -враќање на силата (знакот минус се должи на фактот дека насоките FtИ асекогаш спротивно; грев а » аодговара на мали осцилации на нишалото, т.е. мали отстапувања на нишалото од положбата на рамнотежа). Равенката (142.4) може да се запише како
идентично со (142.1), чие решение (140.1) е познато:
Од изразот (142.6) произлегува дека за мали осцилации физичкото нишало врши хармонични осцилации со циклична фреквенција w 0 (види (142.5)) и период
Каде L=J/(ml) - намалена должина на физичко нишало.
Точка ЗА'на продолжението на правата линија ОС,оддалечен од точката ЗАсуспензија на нишалото на растојание од дадената должина L,повикани замав центарфизичко нишало (сл. 201). Применувајќи ја Штајнеровата теорема (16.1), добиваме
т.е. ООсекогаш повеќе ОС.Точка на суспензија ЗАнишало и замав центар ЗА'имаат својство на заменливост:ако точката на суспензија се премести во центарот на замавнување, тогаш претходната точка ЗАсуспензија
ќе стане нов центар на замавнување, а периодот на осцилација на физичкото нишало нема да се промени.
3. Математичко нишало- Ова идеализирансистем кој се состои од материјална точка со маса Т,виси на нерастегнувачка бестежинска нишка и осцилира под влијание на гравитацијата. Добра апроксимација на математичкото нишало е мала, тешка топка која е обесена на тенка, долга нишка. Момент на инерција на математичко нишало
Каде л- должина на нишалото.
Бидејќи математичкото нишало може да се претстави како посебен случај на физичко нишало,под претпоставка дека целата негова маса е концентрирана во една точка - центарот на масата, тогаш, заменувајќи го изразот (142.8) во формулата (1417), добиваме израз за периодот на мали осцилации на математичкото нишало
Споредувајќи ги формулите (142.7) и (142.9), гледаме дека ако намалената должина Лфизичкото нишало е еднакво на должината лматематичко нишало, тогаш периодите на осцилација на овие нишала се исти. Оттука, намалена должина на физичко нишало- ова е должината на таквото математичко нишало, чиј период на осцилации се совпаѓа со периодот на осцилации на дадено физичко нишало.
Идеален хармоничен осцилатор. Идеалната осцилаторна равенка и нејзиното решение. Амплитуда, фреквенција и фаза на осцилации
ОСИЛАЦИИ
ХАРМОНИЧКИ ВИБРАЦИИ
Идеален хармоничен осцилатор. Идеалната осцилаторна равенка и нејзиното решение. Амплитуда, фреквенција и фаза на осцилации
Осцилацијата е еден од најчестите процеси во природата и технологијата. Осцилациите се процеси кои се повторуваат со текот на времето. Висококатниците и високонапонските жици осцилираат под влијание на ветерот, нишалото на ранетиот часовник и автомобилот на изворите додека возите, нивото на реката во текот на годината и температурата на човечкото тело за време на болеста. Звукот е флуктуации во воздушниот притисок, радио брановите се периодични промени во јачината на електричните и магнетните полиња, светлината е исто така електромагнетни флуктуации. Земјотреси - вибрации на почвата, одливи и текови - промени во нивоата на морињата и океаните предизвикани од привлечноста на Месечината итн.
Осцилациите можат да бидат механички, електромагнетни, хемиски, термодинамички итн. И покрај таквата разновидност, сите осцилации се опишани со исти диференцијални равенки.
Хармоничниот осцилатор може да се смета за линеарен ако поместувањето од положбата на рамнотежа е директно пропорционално на вознемирувачката сила. Фреквенцијата на осцилација на хармоничен осцилатор не зависи од амплитудата. За осцилатор, принципот на суперпозиција е задоволен - ако дејствуваат неколку вознемирувачки сили, тогаш ефектот на нивното вкупно дејство може да се добие како резултат на додавање на ефектите на поединечните сили што дејствуваат.
Хармониските вибрации се опишани со равенката (сл. 1.1.1)
(1.1.1)
Каде X-поместување на осцилирачката величина од положбата на рамнотежа, А– амплитудата на осцилациите, еднаква на вредноста на максималното поместување, – фазата на осцилациите, која го одредува поместувањето во моментот на времето, – почетната фаза, која ја одредува вредноста на поместувањето во почетниот момент на време, – цикличната фреквенција на осцилациите.
Времето на едно целосно осцилирање се нарекува период, , каде што е бројот на завршени осцилации во текот на времето.
Фреквенцијата на осцилација го одредува бројот на осцилации извршени по единица време; таа е поврзана со цикличната фреквенција со релацијата , потоа период.
Така, брзината и забрзувањето на хармонискиот осцилатор исто така се менуваат според хармонискиот закон со амплитуди и соодветно. Во овој случај, брзината е пред поместувањето во фаза за , а забрзувањето за (сл. 1.1.2).
Од споредбата на равенките на движење на хармоничен осцилатор (1.1.1) и (1.1.2) произлегува дека, или
Оваа диференцијална равенка од втор ред се нарекува равенка на хармониски осцилатор. Нејзиното решение содржи две константи Аи , кои се одредуваат со поставување на почетните услови
.
Стабилната рамнотежа одговара на позицијата на системот во која неговата потенцијална енергија има минимум ( q– генерализирана координата на системот). Отстапувањето на системот од положбата на рамнотежа доведува до појава на сила која има тенденција да го врати системот назад. Вредноста на генерализираната координата што одговара на положбата на рамнотежа се означува со , потоа отстапувањето од рамнотежната положба
Потенцијалната енергија ќе ја броиме од минималната вредност. Да ја прифатиме добиената функција и да ја прошириме во серија Maclaurin и да го оставиме првиот член од проширувањето, имаме: o
,
Каде 
. Потоа, земајќи ги предвид воведените ознаки:
, (1.1.4)
Земајќи го предвид изразот (1.1.4) за силата што делува на системот, добиваме:
Според вториот закон на Њутн, равенката на движење на системот има форма:
и има две независни решенија: и , така што општото решение е:
,
Од формулата (1.1.6) произлегува дека фреквенцијата се определува само од внатрешните својства на механичкиот систем и не зависи од амплитудата и почетните услови на движење.
Зависноста на координатите на осцилирачкиот систем од времето може да се определи во форма на реалниот дел од сложениот израз 
, Каде A=Xe-iα– комплексна амплитуда, неговиот модул се совпаѓа со вообичаената амплитуда, а аргументот се совпаѓа со почетната фаза.
Прирачник за хемичар 21
Хемија и хемиска технологија
Хармониски закон за движење
Механички, во кој ротационото движење се претвора во осцилаторно движење (главно ексцентрични и камери механизми). Законот за движење на погонуваната врска може да биде блиску до хармоничен. Овие возбудувачи се користат во некои типови на екрани, вибрирачки центрифуги и мешалки со црви.
Во класичната механика, за да се најде законот за движење на систем од точки (координати qi како функции на времето), потребно е да се реши системот на Њутнови равенки. Со произволно избран координатен систем, општото решение на овие равенки со потенцијал (VII, 7) не доведува до хармонична форма на q (t). Сепак, лесно може да се покаже дека со помош на линеарни комбинации на координатите q, - можно е да се конструираат нови координати, од кои секоја се менува според хармоничен закон со одредена фреквенција (в. Вакви координати
Навистина, вибрациите на два атома поврзани со врска се слични на вибрациите на пар сфери кои се држат заедно со пружина. За мали поместувања, силата на враќање е пропорционална на поместувањето, и ако таков систем е ставен во движење, осцилациите ќе бидат опишани со законот за едноставно хармонично движење.
Најдобри услови за работа на регенераторот би се создале доколку клипот не направи хармонично движење, туку запре на крајот на секој удар. Сепак, прилично висока ефикасност може да се добие со користење, поради неговата едноставност, хармонискиот закон за движење на клипот.
Кога работниот медиум осцилира во цевковод или во кој било друг канал под притисок, распределбата на брзините на протокот преку пресекот на протокот се разликува од законот што ја опишува оваа распределба во случај на стабилно движење на медиумот. Така, кога ламинарниот тек на течноста осцилира во тркалезна цилиндрична цевка, параболичната распределба на брзините е нарушена, што, како што е познато од хидрауликата, е карактеристично за ламинарно стабилно движење на течноста во цевката. Со хармонична промена во градиентот на притисокот долж цевката, распределбата на брзината може да се најде со помош на формулата (9.42). За да го направите ова, наместо (s), треба да ја замените Лапласовата слика на хармонискиот закон за промена на градиентот на притисокот во формулата и потоа да ја извршите инверзната трансформација. Во работата е дадена вака добиената функција (t, r).
Јасно е дека нема потреба да се спроведува циклус со наизменично движење на клипови во дизајните на индустриските машини. За секој закон за движење на клипот, особено за хармоничен (за погон на чудак), термодинамичката ефикасност на идеалната Стирлинг машина е еднаква на единство.
Во овие инсталации, беше усвоен поедноставен, близок до хармоничен, закон за движење на шипките - артикулираното поврзување со четири шипки на машината за пумпање беше заменето со механизми на чудак. Оваа претпоставка е општо прифатена и, како што покажаа експериментите, е целосно оправдана за условите на експериментите.
Внатрешната состојба на диатомската молекула се одредува ако е наведена состојбата на нејзината електронска обвивка, како и карактеристиките на ротационото движење на молекулата како целина и вибрационото движење на јадрата. Ротацијата и вибрациите се сметаат за прво приближување дека се независни од електронската состојба на молекулата. Наједноставниот модел за опишување на ротационите и вибрационите движења на дијатомската молекула е моделот на крут ротатор - хармоничен осцилатор, според кој ротацијата на молекулата како крут ротатор и вибрациите на јадрата според хармоничкиот закон се разгледуваат независно. За класичен опис на овој модел, видете погл. И.
Промената на амплитудата на вибрациите, како и преминот од хармоничен во шок режим на вибрации, се постигнува со инсталирање заменливи ексцентрици, чиј профил е одреден со законот за движење на туркачот со работната маса и блок од коаксијални цилиндри монтирани на него.
Во делот д беше забележано дека ако енергијата на молекулите се изразува со збир на одреден број членови кои се квадратни или во однос на просторните координати () или во однос на моментот (/z), тогаш формата на распределбата законот не зависи од тоа колку точно термини се вклучени во изразот за кинетичка и колку - во изразот за потенцијална енергија. Сепак, изведувањето на законот е поедноставено ако се земе предвид ист број на поими кои изразуваат потенцијална кинетичка енергија. Физички, ова одговара на претпоставката дека вкупното движење на молекулите е претставено со број од 5 независни хармонски осцилатори. Енергијата на молекулата во овој случај може да се запише на следниов начин:
Во спектрометрите со постојано забрзување, релативната брзина на изворот и апсорберот периодично се менува според линеарен или хармоничен закон, што овозможува да се запише спектарот што се проучува во даден опсег на брзина. Вообичаено, во таквите спектрометри, информациите се запишуваат во меморијата на повеќеканален анализатор што работи во временски режим, кога мемориските канали се отвораат синхроно со циклусот на брзина.
Еден од изразите на квантните закони е дискретноста на енергетските нивоа на телото кое врши периодични движења. Разгледајте го, како пример, хармониското осцилирање на осцилаторот. Енергијата на класичниот хармоничен осцилатор може постојано да варира. Оваа енергија е еднаква на yA 2 (највисоката вредност на потенцијалната енергија при x = A). Еластична константа
Принудени вибрации. Да ги разгледаме надолжните осцилации на линеарен еластичен систем со еден степен на слобода под дејство на движечка сила Pif), кои се менуваат според хармоничен закон. Првично, ја прифаќаме претпоставката дека нема нееластични отпорни сили. Равенката на движење во овој случај (сл. 3.7, а) има форма tx = -Py + P (/), која по замените P = cx, dm = социјална и P (/) = Po sin (oi) дава
Кога би имале работа со класичен систем, тогаш под одредени почетни услови, во принцип, би било можно да се возбуди движење во кое би се променила само една од нормалните координати. Тогаш, кога оваа нормална координата се менува, се менуваат сите должини на врската , аглите на врската и сл. преку нивните рамнотежни вредности во истата фаза. Пример за нормални вибрации за типот вода на молекулата XY2 е прикажан на сл. 8 2
Ако електроните на супстанцијата се малку поместени од нивните рамнотежни позиции, тогаш тие се предмет на дејство на ресторативно дејство, чија големина се претпоставува дека е пропорционална на поместувањето. Во овој случај, движењето на електроните се покажува како едноставна хармонична осцилација. Поминувањето на светлината низ систем кој содржи голем број такви електрични осцилатори е еквивалентно на појавата на дополнителна електрична сила, која, според теоријата на Максвел, се покажува како една од компонентите на електромагнетните осцилации на светлината. Кога светлината поминува, електричното поле се менува со соодветна фреквенција и влијае на движењето на осцилирачкиот електрон според законот за зачувување на енергијата. Брзината (а со тоа и кинетичката енергија) на ширењето на светлината во материјата е помала отколку во вакуум; затоа, кинетичката енергија на електроните кои комуницираат со светлината се зголемува. Така, светлината има тенденција да го менува движењето на електроните во молекулата и делува во спротивна насока од силата која има тенденција да го задржи електронот во првобитната положба.
Оваа мерна опција може да се имплементира и при торзиони вибрации на цевчест примерок, ако надворешниот цилиндар е поставен неподвижен, внатрешниот цилиндар е монтиран на торзиона шипка и вртежниот момент што дејствува на него е поставен според хармонискиот закон. Ако сега ја измериме фазната разлика помеѓу вртежниот момент и аголот на вртење на цилиндерот, како и амплитудата на аголот на вртење, тогаш шемата за пресметка за одредување на O ќе се сведе на горенаведените формули (VI. 15). и (VI. 16). Меѓутоа, ако го измериме односот на вртежниот момент до аголната брзина на цилиндерот, тогаш ова одговара на проблемот со одредување на импедансата на системот.
Како заклучок, забележуваме дека од гледна точка на целосен и физички разумен квантитативен опис на динамиката на течностите, сите разгледани модели се само прва апроксимација за опишување на дифузијата и осцилациите во водата, бидејќи голем број поедноставувања се користени во нивната изградба. Само во границата на долгите седентарен животен век (ова може да се случи при ниски температури) или со силна електрострикција на молекулите на водата во хидратационата обвивка на јоните, хармоничната апроксимација и едноставен модел на дифузија на скокање [равенка (4-5) табела. 4] се легални. При високи температури и во раствори во кои врските помеѓу молекулите на водата се ослабени со јони, вибрациите стануваат остро анохармонични, забавени со движења на релаксација и дифузија. Во овој случај, однесувањето на течноста е поконзистентно со однесувањето на системот од слободни честички [равенка (37)]. Претпоставката дека не постои корелација помеѓу дифузните и осцилаторните движења е исто така контроверзно прашање. Неодамна, Раман и сор.
Во следниот дел. 11.3, ќе бидат анализирани голем број едноставни примери кои овозможуваат да се процени придонесот за топлинскиот капацитет на поединечните разградени степени на слобода. Во овој случај, повеќе внимание ќе се посвети на систем кој се состои од честички со две можни енергетски состојби и хармоничен осцилатор, бидејќи со нивниот пример е можно релативно едноставно и во исто време прилично целосно да се анализира односот помеѓу молекуларното движење и топлински капацитет на системот. За посложени системи, често е можно лесно да се процени топлинскиот капацитет при просечни температури врз основа на класичниот закон за рамномерна дистрибуција над степени на слобода.
Законите за движење на микрочестичките во квантната механика значително се разликуваат од класичните. Од една страна, тие се однесуваат (на пример, за време на судири) како честички кои поседуваат неделиви полнежи и маса, од друга страна, како бранови со одредена фреквенција (бранова должина) и се карактеризираат со брановата функција a13 - својство преземено од Види страници каде се споменува поимот Закон движење хармонија Нотари во Новоалексеевка Бесплатни огласи во делот Нотари во Новоалексеевка. Сеуште нема најави, бидете први! Претходниците на современите нотари може да се најдат во древниот Египет, […]
Хармоничен осцилатор(во класичната механика) - систем кој, кога е поместен од рамнотежна положба, доживува сила на враќање Ф, пропорционално на поместувањето x(според законот на Хук):
F = − k x (\displaystyle F=-kx)Каде к- коефициент на ригидност на системот.
Ако Фе единствената сила што дејствува на системот, тогаш системот се нарекува едноставноили конзервативен хармоничен осцилатор. Слободните осцилации на таков систем претставуваат периодично движење околу положбата на рамнотежа (хармонични осцилации). Фреквенцијата и амплитудата се константни, а фреквенцијата не зависи од амплитудата.
Механички примери на хармоничен осцилатор се математичко нишало (со мали агли на отклонување), торзионо нишало и акустични системи. Меѓу другите аналози на хармоничен осцилатор, вреди да се истакне електричниот хармоничен осцилатор (види LC коло).
Енциклопедиски YouTube
1 / 5
Елементарни честички | квантна теорија на поле | скица број 6 | квантен осцилатор
Принудени осцилации на линеарен осцилатор | Општа физика. Механика | Евгениј Бутиков
Елементарни честички | квантна теорија на поле | скица број 5 | класичен осцилатор
Осцилатори: што се тие и како да ги користите? Обука за трговци од I-TT.RU
Sytrus 01 од 16 Работа со обликот на осцилаторот
Преводи
Бесплатни вибрации
Конзервативен хармоничен осцилатор
Како модел на конзервативен хармоничен осцилатор, земаме масовно оптоварување м, фиксиран на пружината со ригидност к .
Нека x- поместување на товарот во однос на положбата на рамнотежа. Потоа, според законот на Хук, силата за враќање ќе дејствува на него:
F = − k x. (\displaystyle F=-kx.)Заменете во диференцијалната равенка.
x ¨ (t) = − A ω 2 sin (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − A ω 2 sin (ω t + φ) + ω 0 2 A sin (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ омега _(0)^(2)A\sin(\омега t+\varphi)=0.)Амплитудата е намалена. Ова значи дека може да има каква било вредност (вклучувајќи нула - тоа значи дека товарот е во мирување во положбата на рамнотежа). Можете исто така да намалите со синус, бидејќи еднаквоста мора да биде вистина во секое време т. Така, условот за фреквенцијата на осцилации останува:
− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\омега _(0)t+\varphi),)тогаш вкупната енергија има константна вредност
E = 1 2 k A 2 . (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)Едноставно хармонично движење- ова е движење на едноставен хармоничен осцилатор, периодично движење кое не е ниту присилно ниту придушено. Тело во едноставно хармонично движење е изложено на една променлива сила, која во апсолутна вредност е директно пропорционална на поместувањето xод рамнотежна положба и е насочен во спротивна насока.
Ова движење е периодично: телото осцилира околу положбата на рамнотежа според синусоидален закон. Секоја наредна осцилација е иста како претходната, а периодот, фреквенцијата и амплитудата на осцилациите остануваат константни. Ако претпоставиме дека положбата на рамнотежа е во точка со координати еднаква на нула, тогаш поместувањето xтелото од положбата на рамнотежа во секое време е дадено со формулата:
x (t) = A cos (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \десно),)Каде А- амплитуда на осцилации, ѓ- фреквенција, φ - почетна фаза.
Фреквенцијата на движење се определува со карактеристичните својства на системот (на пример, масата на телото што се движи), додека амплитудата и почетната фаза се одредуваат од почетните услови - поместувањето и брзината на телото во моментот на осцилациите започне. Од овие својства и услови зависат и кинетичката и потенцијалната енергија на системот.
Едноставното хармониско движење може да се смета како математички модел на различни видови на движење, како што е осцилацијата на пружината. Други случаи кои грубо може да се сметаат како едноставно хармонично движење се движењето на нишалото и вибрациите на молекулите.
Едноставното хармонично движење е основата на некои начини на анализа на посложени типови на движење. Еден од овие методи е метод заснован на Фуриеовата трансформација, чија суштина се сведува на разложување на покомплексен тип на движење во низа едноставни хармонични движења.
Типичен пример за систем во кој се јавува едноставно хармониско движење е идеализиран систем со пружина маса во кој масата е прикачена на пружина. Ако пружината не е компресирана или растегната, тогаш на оптоварувањето не дејствуваат променливи сили, а оптоварувањето е во состојба на механичка рамнотежа. Меѓутоа, ако оптоварувањето се отстрани од рамнотежната положба, пружината ќе се деформира, а од нејзина страна на товарот ќе дејствува сила, која ќе има тенденција да го врати товарот во рамнотежна положба. Во случај на систем на оптоварување-пружина, таква сила е еластичната сила на пружината, која го почитува законот на Хук:
F = − k x, (\displaystyle F=-kx,) Ф- сила за враќање, x- движење на товарот (деформација на пролетта), к- коефициент на вкочанетост на пружината.Секој систем во кој се јавува едноставно хармонично движење има две клучни својства:
- Кога системот е исфрлен од рамнотежа, мора да има сила за враќање која има тенденција да го врати системот во рамнотежа.
- Силата за враќање мора да биде точно или приближно пропорционална на поместувањето.
Системот на оптоварување-пружина ги задоволува двата од овие услови.
Штом поместеното оптоварување е подложено на сила за враќање, тој го забрзува и има тенденција да го врати на почетната точка, односно во положбата на рамнотежа. Како што оптоварувањето се приближува до положбата на рамнотежа, силата на враќање се намалува и се стреми кон нула. Меѓутоа, во ситуацијата x = 0 товарот има одредена количина на движење (импулс), стекната поради дејството на силата за враќање. Затоа, товарот ја надминува положбата на рамнотежа, почнувајќи повторно да ја деформира пружината (но во спротивна насока). Силата за враќање ќе има тенденција да ја забави додека брзината не стане нула; а силата повторно ќе се стреми да го врати товарот во неговата рамнотежна положба.
Сè додека нема загуба на енергија во системот, оптоварувањето ќе осцилира како што е опишано погоре; таквото движење се нарекува периодично.
Понатамошната анализа ќе покаже дека во случај на систем на оптоварување-пружина, движењето е едноставно хармонично.
Динамика на едноставно хармонично движење
За вибрации во еднодимензионален простор, земајќи го предвид вториот закон на Њутн ( F= м d² x/г т² ) и Хуковиот закон ( Ф = −kx, како што е опишано погоре), имаме линеарна диференцијална равенка од втор ред:
m d 2 x d t 2 = − k x, (\приказ стил m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) м- телесна маса, x- неговото движење во однос на положбата на рамнотежа, к- константна (коефициент на вкочанетост на пролетта).Решението на оваа диференцијална равенка е синусоидално; едно решение е:
x (t) = A cos (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)Каде А, ω и φ се константни величини, а позицијата на рамнотежа се зема како почетна. Секоја од овие константи претставува важно физичко својство на движење: Ае амплитудата, ω = 2π ѓ- кружна фреквенција, и φ - почетна фаза.
U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ омега t+\varphi).)
Универзално кружно движење
Едноставното хармонично движење во некои случаи може да се смета како еднодимензионална проекција на универзално кружно движење.
Ако некој предмет се движи со константна аголна брзина ω по круг со радиус р, чиј центар е потеклото на координатите на рамнината x−y, тогаш таквото движење по секоја од координатните оски е едноставно хармонично со амплитуда ри кружна фреквенција ω.
Тежина како едноставно нишало
При приближување на малите агли, движењето на едноставното нишало е блиску до едноставниот хармоник. Периодот на осцилација на такво нишало прикачено на прачка со должина ℓ со забрзување на слободен пад есе дава со формулата
T = 2 π ℓ g. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell)(g))).)Ова покажува дека периодот на осцилација не зависи од амплитудата и масата на нишалото, туку зависи од забрзувањето на гравитацијата е, затоа, со иста должина на нишалото, на Месечината ќе се лула побавно, бидејќи гравитацијата е послаба таму, а забрзувањето на гравитацијата е помало.
Ова приближување е точно само за мали агли на отклонување, бидејќи изразот за аголно забрзување е пропорционален на синусот на координатата:
ℓ m g sin θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha,)Каде Јас- Моментот на инерција ; во овој случај Јас = mℓ 2 .
ℓ m g θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha),што го прави аголното забрзување директно пропорционално на аголот θ, и тоа ја задоволува дефиницијата за едноставно хармонично движење.
Хармоничен осцилатор со амортизација
Земајќи го истиот модел како основа, ќе ја додадеме силата на вискозното триење. Силата на вискозното триење е насочена против брзината на движење на товарот во однос на медиумот и е директно пропорционална на оваа брзина. Тогаш вкупната сила што делува на товарот се запишува на следниов начин:
F = − k x − α v (\стил на прикажување F=-kx-\алфа v)Извршувајќи слични дејства, добиваме диференцијална равенка која опишува придушен осцилатор:
x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\стил на прикажување (\dточка (x))+2\гама (\точка (x))+\омега _(0)^(2)x=0)Ознаката е претставена овде: 2 γ = α m (\стил на приказ 2\гама =(\frac (\алфа)(m))). Коефициент γ (\displaystyle \gamma)се нарекува константа на амортизација. Има и димензија на фреквенција.
Решението се дели во три случаи.
x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),Каде ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\омега _(0)^(2)-\гама ^(2))))- фреквенција на слободни осцилации.
x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),Каде β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2) ))).
Критичното придушување е извонредно по тоа што при критичното амортизација осцилаторот најбрзо се стреми кон положбата на рамнотежа. Ако триењето е помало од критично, побрзо ќе ја достигне рамнотежната положба, но ќе го „прегази“ поради инерција и ќе осцилира. Ако триењето е поголемо од критичното, тогаш осцилаторот експоненцијално ќе се стреми кон положбата на рамнотежа, но колку побавно, толку е поголемо триењето.
Затоа, во индикаторите за бирање (на пример, во амперметри), тие обично се обидуваат да воведат критично слабеење, така што иглата ќе се смири што е можно побрзо за да ги прочита своите читања.
Амортизацијата на осцилаторот исто така често се карактеризира со бездимензионален параметар наречен фактор на квалитет. Факторот за квалитет обично се означува со буквата Q (\displaystyle Q). По дефиниција, факторот на квалитет е еднаков на:
Q = ω 0 2 γ (\приказ стил Q=(\frac (\омега _(0))(2\гама )))Колку е поголем факторот на квалитет, толку побавно се распаѓаат осцилаторските осцилатори.
Осцилатор со критична амортизација има фактор на квалитет 0,5. Соодветно на тоа, факторот на квалитет укажува на однесувањето на осцилаторот. Ако факторот на квалитет е поголем од 0,5, тогаш слободното движење на осцилаторот претставува осцилации; теоретски, со текот на времето ќе ја премине позицијата на рамнотежа неограничен број пати. Фактор на квалитет помал или еднаков на 0,5 одговара на неосцилаторно движење на осцилаторот; во слободно движење ќе ја премине рамнотежната положба не повеќе од еднаш.
Факторот на квалитет понекогаш се нарекува осцилаторско засилување, бидејќи кај некои методи на возбудување, кога фреквенцијата на возбудување се совпаѓа со фреквенцијата на резонантната осцилација, нивната амплитуда е поставена на приближно Q (\displaystyle Q)пати повеќе отколку кога се возбудуваат со ист интензитет на мала фреквенција.
Исто така, факторот на квалитет е приближно еднаков на бројот на осцилаторни циклуси при кои амплитудата на осцилациите се намалува за e (\displaystyle e)пати помножено со π (\displaystyle \pi).
Во случај на осцилаторно движење, амортизацијата се карактеризира и со такви параметри како што се:
- Доживотновибрации (ака време на распаѓање, исто е време за релаксација) τ - време во кое амплитудата на осцилациите ќе се намали во деднаш.
Принудени вибрации
Осцилаторските осцилации се нарекуваат принудени кога врз него се примени некое дополнително надворешно влијание. Ова влијание може да се произведе со различни средства и според различни закони. На пример, побудување на сила е ефект врз оптоварување на сила што зависи само од времето според одреден закон. Кинематичното возбудување е ефект врз осцилаторот на движењето на точката за прицврстување на пружината според даден закон. Исто така, можно е да биде под влијание на триење, кога, на пример, медиумот со кој товарот доживува триење се движи според даден закон.
Откритија во квантното поле и други области. Во исто време се измислуваат нови уреди и уреди преку кои може да се вршат различни студии и да се објаснат појавите на микросветот. Еден од таквите механизми е хармоничен осцилатор, чиј принцип на работа им бил познат на претставниците на античките цивилизации.
Уредот и неговите типови
Хармоничен осцилатор е механички систем во движење, кој се опишува со диференцијал со константни коефициенти. Наједноставните примери на такви уреди се тежина на пружина, нишало, акустични системи, движење на молекуларни честички итн.
Конвенционално, може да се разликуваат следниве типови на овој уред:
Апликација за уред
Овој уред се користи во различни области, главно за проучување на природата на осцилаторните системи. За проучување на однесувањето на фотонските елементи се користи квантен хармоничен осцилатор. Резултатите од експериментите можат да се користат на различни полиња. Така, физичарите од американскиот институт открија дека атомите на берилиум лоцирани на прилично големи растојанија едни од други можат да комуницираат на квантно ниво. Згора на тоа, однесувањето на овие честички е слично на телата (металните топки) во макрокосмосот, кои се движат по возвратен редослед, сличен на хармоничен осцилатор. Берилиумовите јони, и покрај физичките големи растојанија, разменувале најмали единици енергија (кванти). Ова откритие овозможува значаен напредок на ИТ технологиите, а дава и ново решение во производството на компјутерска опрема и електроника.
Хармонискиот осцилатор се користи при евалуација на музички дела. Овој метод се нарекува спектроскопски преглед. Утврдено е дека најстабилен систем е состав од четворица музичари (квартет). А модерните дела се главно анхармонични.
Ф, пропорционално на поместувањето x :Ако Фе единствената сила што дејствува на системот, тогаш системот се нарекува едноставноили конзервативен хармоничен осцилатор. Слободните осцилации на таков систем претставуваат периодично движење околу положбата на рамнотежа (хармонични осцилации). Фреквенцијата и амплитудата се константни, а фреквенцијата не зависи од амплитудата.
Механички примери на хармоничен осцилатор се математичко нишало (со мали агли на отклонување), боб на пружина, торзионо нишало и акустични системи. Меѓу немеханичките аналози на хармоничен осцилатор, може да се разликува електричен хармоничен осцилатор (види LC коло).
Нека x- поместување на материјална точка во однос на нејзината рамнотежна положба, и Ф- повратна сила од која било природа што дејствува на точка
Каде к= конст. Потоа, користејќи го вториот Њутнов закон, можеме да го запишеме забрзувањето како
Амплитудата е намалена. Ова значи дека може да има каква било вредност (вклучувајќи нула - тоа значи дека материјалната точка е во мирување во положбата на рамнотежа). Можете исто така да намалите со синус, бидејќи еднаквоста мора да биде вистина во секое време т. Така, условот за фреквенцијата на осцилации останува:
Едноставното хармонично движење е основата на некои начини на анализа на посложени типови на движење. Еден од овие методи е метод заснован на Фуриеовата трансформација, чија суштина се сведува на разложување на покомплексен тип на движење во низа едноставни хармонични движења.
Секој систем во кој се јавува едноставно хармонично движење има две клучни својства:
Типичен пример за систем во кој се јавува едноставно хармониско движење е идеализиран систем со пружина маса во кој масата е прикачена на пружина и се поставува на хоризонтална површина. Ако пружината не е компресирана или растегната, тогаш на товарот не дејствуваат променливи сили и тој е во состојба на механичка рамнотежа. Меѓутоа, ако оптоварувањето се отстрани од рамнотежната положба, пружината ќе се деформира и сила ќе дејствува на негова страна, со тенденција да го врати товарот во положбата на рамнотежа. Во случај на систем на оптоварување-пружина, таква сила е еластичната сила на пружината, која го почитува Хуковиот закон:
Каде кима многу специфично значење - тоа е коефициентот на вкочанетост на пружината.
Откако ќе се помести, оптоварувањето е подложено на сила за враќање, која го забрзува и има тенденција да го врати на почетната точка, односно во неговата рамнотежна положба. Како што оптоварувањето се приближува до положбата на рамнотежа, силата на враќање се намалува и се стреми кон нула. Меѓутоа, во ситуацијата x = 0 товарот има одредена количина на движење (импулс), стекната поради дејството на силата за враќање. Затоа, товарот ја надминува положбата на рамнотежа, почнувајќи повторно да ја деформира пружината (но во спротивна насока). Силата за враќање ќе има тенденција да ја забави додека брзината не стане нула; а силата повторно ќе се стреми да го врати товарот во неговата рамнотежна положба.
Ако нема загуба на енергија, товарот ќе осцилира како што е опишано погоре; таквото движење е периодично.
Едноставно хармонично движење прикажано во реален простор и во фазен простор истовремено. Реален простор - реален простор; Фазен простор - фазен простор; брзина - брзина; позиција - позиција (позиција).
Во случај на оптоварување вертикално суспендирано на пружина, заедно со еластичната сила, дејствува и силата на гравитацијата, односно вкупната сила ќе биде
Мерењата на фреквенцијата (или периодот) на вибрации на тежина на пружина се користат во уреди за одредување на масата на телото - таканаречените масеметри, кои се користат на вселенските станици кога вагата не може да функционира поради бестежинска состојба.
Едноставното хармонично движење во некои случаи може да се смета како еднодимензионална проекција на универзално кружно движење.
Ако некој предмет се движи со константна аголна брзина ω по круг со радиус р, чиј центар е потеклото на авионот x−y, тогаш таквото движење по секоја од координатните оски е едноставно хармонично со амплитуда ри кружна фреквенција ω.
При приближување на малите агли, движењето на едноставното нишало е блиску до едноставниот хармоник. Периодот на осцилација на такво нишало прикачено на прачка со должина ℓ , е дадена со формулата
Каде е- забрзување на гравитацијата. Ова покажува дека периодот на осцилација не зависи од амплитудата и масата на нишалото, туку зависи од е, затоа, со иста должина на нишалото, побавно ќе се лула на Месечината, бидејќи гравитацијата е послаба таму, а забрзувањето на гравитацијата е помало.
Ова приближување е точно само за мали агли на отклонување, бидејќи изразот за аголно забрзување е пропорционален на синусот на координатата:
Каде Јас- Моментот на инерција ; во овој случај Јас = mℓ 2. Малите агли се реализираат во услови кога амплитудата на вибрациите е значително помала од должината на шипката.
што го прави аголното забрзување директно пропорционално на аголот θ, и тоа ја задоволува дефиницијата за едноставно хармонично движење.
При разгледување на осцилатор со амортизација, како основа се зема моделот на конзервативен осцилатор, на кој се додава силата на вискозното триење. Силата на вискозното триење е насочена против брзината на движење на товарот во однос на медиумот и е директно пропорционална на оваа брзина. Тогаш вкупната сила што делува на товарот се запишува на следниов начин:
Користејќи го вториот Њутнов закон, добиваме диференцијална равенка која опишува придушен осцилатор:
Затоа, во индикаторите за бирање (на пример, во амперметри), тие обично се обидуваат да воведат критично слабеење, така што иглата ќе се смири што е можно побрзо за да ги прочита своите читања.
Осцилатор со критична амортизација има фактор на квалитет 0,5. Соодветно на тоа, факторот на квалитет укажува на однесувањето на осцилаторот. Ако факторот на квалитет е поголем од 0,5, тогаш слободното движење на осцилаторот претставува осцилации; теоретски, со текот на времето ќе ја премине позицијата на рамнотежа неограничен број пати. Фактор на квалитет помал или еднаков на 0,5 одговара на неосцилаторно движење на осцилаторот; во слободно движење ќе ја премине рамнотежната положба не повеќе од еднаш.
Во случај на осцилаторно движење, амортизацијата се карактеризира и со такви параметри како што се:
Ова време се смета како време потребно за слабеење (престанок) на осцилациите (иако, формално, слободните осцилации продолжуваат бесконечно).
Осцилаторските осцилации се нарекуваат принудени кога врз него се примени некое дополнително надворешно влијание. Ова влијание може да се произведе со различни средства и според различни закони. На пример, побудување на сила е ефект врз оптоварување на сила што зависи само од времето според одреден закон. Кинематичното возбудување е ефект врз осцилаторот на движењето на точката за прицврстување на пружината според даден закон. Исто така, можно е да биде под влијание на триење, кога, на пример, медиумот со кој товарот доживува триење се движи според даден закон.