Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.
Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање логаритми
Размислете за два логаритма со исти основи: лог а xи дневник а y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- дневник а x+ дневник а y= дневник а (x · y);
- дневник а x− дневник а y= дневник а (x : y).
Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:
Дневник 6 4 + дневник 6 9.
Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.
Извлекување на експонентот од логаритам
Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритамот: а > 0, а ≠ 1, x> 0. И уште нешто: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно, т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:
[Наслов за сликата] Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:
Нека е даден логаритамскиот дневник а x. Потоа за кој било број втакви што в> 0 и в≠ 1, еднаквоста е вистина:
[Наслов за сликата]
Конкретно, ако ставиме в = x, добиваме:
[Наслов за сликата]
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.
Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: лог 5 16 = дневник 5 2 4 = 4лог 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;
Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:
[Наслов за сликата]Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:
[Наслов за сликата]Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:
[Наслов за сликата]Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот nстанува показател за степенот што стои во аргументот. Број nможе да биде апсолутно сè, бидејќи тоа е само логаритамска вредност.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се нарекува: основен логаритамски идентитет.
Всушност, што ќе се случи ако бројот бподигнете до таква моќ што бројот бна оваа моќ го дава бројот а? Така е: го добивате истиот број а. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.
Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете го значењето на изразот:
[Наслов за сликата]
Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
[Наслов за сликата]Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- дневник а а= 1 е логаритамска единица. Запомнете еднаш засекогаш: логаритам до која било основа аод оваа основа е еднаква на една.
- дневник а 1 = 0 е логаритамска нула. База аможе да биде било што, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи а 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
Што е логаритам?
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Што е логаритам? Како да се решат логаритми? Овие прашања збунуваат многу дипломци. Традиционално, темата логаритми се смета за сложена, неразбирлива и страшна. Особено равенки со логаритми.
Ова апсолутно не е точно. Апсолутно! Не ми веруваш? Добро. Сега, за само 10-20 минути:
1. Ќе разбереш што е логаритам.
2. Научете да решавате цела класа експоненцијални равенки. Дури и ако не сте слушнале ништо за нив.
3. Научете да пресметувате едноставни логаритми.
Згора на тоа, за ова ќе треба само да ја знаете табелата за множење и како да подигнете број на јачина...
Се чувствувам како да се сомневате... Па, во ред, означете го времето! Оди!
Прво, решете ја оваа равенка во вашата глава:
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
главните својства.
- логакс + логај = лога(x y);
- логакс − логај = лога (x: y).
идентични основи
Дневник6 4 + лог6 9.
Сега да ја комплицираме задачата малку.
Примери за решавање логаритми
Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се набљудува ODZ на логаритамот: a > 0, a ≠ 1, x >
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Транзиција кон нова основа
Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Исто така види:
Основни својства на логаритмот
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Експонентот е 2,718281828…. За да го запомните експонентот, можете да го проучите правилото: експонентот е еднаков на 2,7 и двапати од годината на раѓање на Лав Николаевич Толстој.
Основни својства на логаритмите
Знаејќи го ова правило, ќе ја знаете и точната вредност на експонентот и датумот на раѓање на Лав Толстој.
Примери за логаритми
Логаритмски изрази
Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме 
2.
3. 
4. 
Каде 
.
Пример 2. Најдете x ако
Пример 3. Нека е дадена вредноста на логаритмите
Пресметај log(x) ако
Основни својства на логаритмите
Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.
Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање логаритми
Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- логакс + логај = лога(x y);
- логакс − логај = лога (x: y).
Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:
Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.
Извлекување на експонентот од логаритам
Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам. Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:
Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот.
Формули за логаритам. Логаритми примери решенија.
Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log2 7. Бидејќи log2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:
Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:
Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.
Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:
Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:
Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:
Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .
Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.
Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Забележете дека log25 64 = log5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
- лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
Исто така види:
Логаритмот од b до основата a го означува изразот. Да се пресмета логаритамот значи да се најде моќта x () при која е задоволена еднаквоста
Основни својства на логаритмот
Неопходно е да се знаат горенаведените својства, бидејќи скоро сите проблеми и примери поврзани со логаритми се решаваат врз основа на нив. Остатокот од егзотичните својства може да се изведат преку математички манипулации со овие формули
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
При пресметување на формулата за збир и разлика на логаритми (3.4) се среќавате доста често. Останатите се малку сложени, но во голем број задачи тие се неопходни за поедноставување на сложените изрази и пресметување на нивните вредности.
Вообичаени случаи на логаритми
Некои од вообичаените логаритми се оние кај кои основата е дури десет, експоненцијална или два.
Логаритмот до основата десет обично се нарекува децимален логаритам и едноставно се означува со lg(x).
Од снимката се гледа дека во снимката не се пишуваат основите. На пример
Природен логаритам е логаритам чија основа е експонент (означен со ln(x)).
Експонентот е 2,718281828…. За да го запомните експонентот, можете да го проучите правилото: експонентот е еднаков на 2,7 и двапати од годината на раѓање на Лав Николаевич Толстој. Знаејќи го ова правило, ќе ја знаете и точната вредност на експонентот и датумот на раѓање на Лав Толстој.
И уште еден важен логаритам за основата два е означен со
Изводот на логаритамот на функцијата е еднаков на еден поделен со променливата
Интегралниот или антидеривативниот логаритам се определува со врската
Дадениот материјал е доволен за да решите широка класа на проблеми поврзани со логаритми и логаритми. За да ви помогнам да го разберете материјалот, ќе дадам само неколку вообичаени примери од училишната програма и универзитетите.
Примери за логаритми
Логаритмски изрази
Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Користејќи ги својствата 3.5 пресметуваме
2.
По својството на разлика на логаритми имаме
3.
Користејќи ги својствата 3.5 наоѓаме
4. Каде .
Навидум сложен израз е поедноставен за да се формира со користење на голем број правила
Наоѓање логаритамски вредности
Пример 2. Најдете x ако
Решение. За пресметка, ги применуваме на последниот член 5 и 13 својства
Го ставивме на рекорд и тагуваме
Бидејќи основите се еднакви, ги изедначуваме изразите
Логаритми. Прво ниво.
Нека е дадена вредноста на логаритмите
Пресметај log(x) ако
Решение: Да земеме логаритам на променливата за да го запишеме логаритамот преку збирот на нејзините членови
Ова е само почеток на нашето запознавање со логаритмите и нивните својства. Вежбајте пресметки, збогатете ги вашите практични вештини - наскоро ќе ви треба знаењето што ќе го стекнете за да ги решите логаритамските равенки. Откако ги проучувавме основните методи за решавање на вакви равенки, вашето знаење ќе го прошириме на уште една подеднакво важна тема - логаритамски неравенки...
Основни својства на логаритмите
Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.
Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.
Собирање и одземање логаритми
Размислете за два логаритма со исти основи: логакс и логај. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:
- логакс + логај = лога(x y);
- логакс − логај = лога (x: y).
Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!
Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log6 4 + log6 9.
Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log2 48 − log2 3.
Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log3 135 − log3 5.
Повторно, основите се исти, така што имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но по трансформациите се добиваат сосема нормални бројки. Многу тестови се засноваат на овој факт. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на унифицираниот државен испит.
Извлекување на експонентот од логаритам
Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:
Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, во секој случај, подобро е да се запамети - во некои случаи значително ќе го намали износот на пресметките.
Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам.
Како да се решат логаритми
Ова е она што најчесто се бара.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log7 496.
Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:
Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.
Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log2 7. Бидејќи log2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е направено. Резултатот беше одговорот: 2.
Транзиција кон нова основа
Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?
На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:
Нека е даден логаритамскиот логакс. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:
Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:
Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.
Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.
Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log5 16 log2 25.
Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:
Бидејќи производот не се менува при преуредување фактори, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.
Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log9 100 lg 3.
Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:
Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:
Основен логаритамски идентитет
Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа. Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:
Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.
Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .
Всушност, што ќе се случи ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Така е: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.
Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.
Задача. Најдете го значењето на изразот:
Забележете дека log25 64 = log5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:
Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)
Логаритамска единица и логаритамска нула
Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - напротив, тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.
- логаа = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a од самата основа е еднаков на еден.
- лога 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи a0 = 1 е директна последица на дефиницијата.
Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.
\(a^(b)=c\) \(\лева десна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)
Да објасниме поедноставно. На пример, \(\log_(2)(8)\) е еднакво на моќноста на која \(2\) мора да се подигне за да се добие \(8\). Од ова е јасно дека \(\log_(2)(8)=3\).
|
Примери: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
бидејќи \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
бидејќи \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
бидејќи \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Аргумент и основа на логаритам
Секој логаритам ја има следната „анатомија“:
Аргументот на логаритам обично се пишува на негово ниво, а основата е напишана во знак поблиску до знакот логаритам. И овој запис гласи вака: „логаритам од дваесет и пет до основата пет“.
Како да се пресмета логаритам?
За да го пресметате логаритамот, треба да одговорите на прашањето: до која сила треба да се подигне основата за да се добие аргументот?
На пример, пресметај го логаритамот: а) \(\log_(4)(16)\) б) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) в) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) г) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
а) До која сила треба да се подигне \(4\) за да се добие \(16\)? Очигледно вториот. Затоа:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
в) До која моќ треба да се подигне \(\sqrt(5)\) за да се добие \(1\)? Која моќ го прави секој број еден? Нула, се разбира!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
г) До која сила треба да се подигне \(\sqrt(7)\) за да се добие \(\sqrt(7)\)? Прво, секој број до првата сила е еднаков на самиот себе.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
д) До која моќност мора да се подигне \(3\) за да се добие \(\sqrt(3)\)? Од знаеме дека е фракциона моќ, што значи дека квадратниот корен е моќта на \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Пример : Пресметај логаритам \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Решение :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Треба да ја најдеме вредноста на логаритамот, да ја означиме како x. Сега да ја користиме дефиницијата за логаритам: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Што ги поврзува \(4\sqrt(2)\) и \(8\)? Два, бидејќи и двата броја може да се претстават со два: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Лево ги користиме својствата на степенот: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) и \((a^(m))^(n)= a^(m\cточка n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Основите се еднакви, преминуваме на еднаквост на индикаторите |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Помножете ги двете страни на равенката со \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Резултирачкиот корен е вредноста на логаритмот |
Одговори : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Зошто е измислен логаритамот?
За да го разбереме ова, да ја решиме равенката: \(3^(x)=9\). Само поклопете го \(x\) за да функционира еднаквоста. Се разбира, \(x=2\).
Сега решете ја равенката: \(3^(x)=8\).Што е x еднакво? Тоа е поентата.
Најпаметните ќе речат: „Х е нешто помалку од два“. Како точно да се напише овој број? За да се одговори на ова прашање, беше измислен логаритам. Благодарение на него, одговорот овде може да се напише како \(x=\log_(3)(8)\).
Сакам да нагласам дека \(\log_(3)(8)\), како секој логаритам е само број. Да, изгледа необично, но кратко е. Затоа што ако сакаме да го напишеме како децимален, ќе изгледа вака: \(1.892789260714.....\)
Пример : Решете ја равенката \(4^(5x-4)=10\)
Решение :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) и \(10\) не може да се донесат во истата база. Ова значи дека не можете без логаритам. Ајде да ја користиме дефиницијата за логаритам: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Ајде да ја превртиме равенката така што X е лево |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Пред нас. Ајде да се движиме \(4\) надесно. И не плашете се од логаритамот, третирајте го како обичен број. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Поделете ја равенката со 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ова е нашиот корен. Да, изгледа необично, но тие не го избираат одговорот. |
Одговори : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Децимални и природни логаритми
Како што е наведено во дефиницијата за логаритам, неговата основа може да биде кој било позитивен број освен еден \((a>0, a\neq1)\). И меѓу сите можни основи, има две што се појавуваат толку често што е измислена посебна кратка нотација за логаритми со нив:
Природен логаритам: логаритам чија основа е Ојлеровиот број \(e\) (еднаков на приближно \(2.7182818…\)), а логаритамот е напишан како \(\ln(a)\).
Тоа е, \(\ln(a)\) е исто како \(\log_(e)(a)\)
Децимален логаритам: Логаритам чија основа е 10 се пишува \(\lg(a)\).
Тоа е, \(\lg(a)\) е исто како \(\log_(10)(a)\), каде \(a\) е некој број.
Основен логаритамски идентитет
Логаритмите имаат многу својства. Еден од нив се нарекува „Основен логаритамски идентитет“ и изгледа вака:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ова својство произлегува директно од дефиницијата. Ајде да видиме како точно настанала оваа формула.
Да се потсетиме на кратка нотација на дефиницијата за логаритам:
ако \(a^(b)=c\), тогаш \(\log_(a)(c)=b\)
Тоа е, \(b\) е исто како \(\log_(a)(c)\). Потоа можеме да напишеме \(\log_(a)(c)\) наместо \(b\) во формулата \(a^(b)=c\). Се покажа \(a^(\log_(a)(c))=c\) - главниот логаритамски идентитет.
Можете да најдете други својства на логаритмите. Со нивна помош, можете да ги поедноставите и пресметате вредностите на изразите со логаритми, кои е тешко директно да се пресметаат.
Пример : Најдете ја вредноста на изразот \(36^(\log_(6)(5))\)
Решение :
Одговори : \(25\)
Како да напишете број како логаритам?
Како што споменавме погоре, секој логаритам е само бројка. Обратно е исто така точно: секој број може да се напише како логаритам. На пример, знаеме дека \(\log_(2)(4)\) е еднакво на два. Потоа наместо два можете да напишете \(\log_(2)(4)\).
Но, \(\log_(3)(9)\) е исто така еднакво на \(2\), што значи дека можеме да напишеме и \(2=\log_(3)(9)\) . Слично со \(\log_(5)(25)\), и со \(\log_(9)(81)\), итн. Тоа е, излегува
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Така, ако ни треба, можеме да напишеме два како логаритам со која било основа каде било (било да е тоа во равенка, во израз или во неравенство) - едноставно ја пишуваме основата во квадрат како аргумент.
Истото е и со тројката - може да се напише како \(\log_(2)(8)\), или како \(\log_(3)(27)\), или како \(\log_(4)( 64) \)... Овде ја пишуваме основата во коцката како аргумент:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
И со четири:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
И со минус еден:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
И со една третина:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Секој број \(a\) може да се претстави како логаритам со основата \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Пример : Најдете го значењето на изразот \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Решение :
Одговори : \(1\)
Логаритмот на позитивен број b за основата a (a>0, a не е еднаков на 1) е број c таков што a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Забележете дека логаритмот на непозитивен број е недефиниран. Дополнително, основата на логаритмот мора да биде позитивен број кој не е еднаков на 1. На пример, ако квадратиме -2, го добиваме бројот 4, но тоа не значи дека логаритамот до основата -2 од 4 е еднакво на 2.
Основен логаритамски идентитет
a лог a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Важно е дека опсегот на дефиниција на десната и левата страна на оваа формула е различен. Левата страна е дефинирана само за b>0, a>0 и a ≠ 1. Десната страна е дефинирана за кое било b, и воопшто не зависи од a. Така, примената на основниот логаритамски „идентитет“ при решавање на равенки и неравенки може да доведе до промена на ОД.
Две очигледни последици од дефиницијата на логаритам
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Навистина, кога го подигаме бројот a на првата моќност, го добиваме истиот број, а кога го подигаме на нулта моќ, добиваме еден.
Логаритам на производот и логаритам на количникот
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Би сакал да ги предупредам учениците од непромислено користење на овие формули при решавање на логаритамски равенки и неравенки. Кога ги користите „од лево кон десно“, ODZ се стеснува, а кога се движите од збирот или разликата на логаритмите до логаритмот на производот или количникот, ODZ се проширува.
Навистина, изразот log a (f (x) g (x)) е дефиниран во два случаи: кога двете функции се строго позитивни или кога f(x) и g(x) и двете се помали од нула.
Трансформирајќи го овој израз во збир log a f (x) + log a g (x), ние сме принудени да се ограничиме само на случајот кога f(x)>0 и g(x)>0. Постои стеснување на опсегот на прифатливи вредности, а тоа е категорично неприфатливо, бидејќи може да доведе до губење на решенија. Сличен проблем постои и за формулата (6).
Степенот може да се извади од знакот на логаритамот
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)И повторно би сакал да повикам на точност. Размислете за следниов пример:
Пријавете се a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левата страна на еднаквоста е очигледно дефинирана за сите вредности на f(x) освен нула. Десната страна е само за f(x)>0! Со вадење на степенот од логаритамот, повторно го стеснуваме ОДЗ. Обратна постапка води до проширување на опсегот на прифатливи вредности. Сите овие забелешки важат не само за моќта 2, туку и за секоја изедначена моќ.
Формула за преселба во нова основа
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Тој редок случај кога ОДЗ не се менува при трансформација. Доколку паметно сте ја одбрале основата c (позитивна и не еднаква на 1), формулата за преместување во нова база е сосема безбедна.
Ако го избереме бројот b како нова основа c, добиваме важен посебен случај на формулата (8):
Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Неколку едноставни примери со логаритми
Пример 1. Пресметај: log2 + log50.
Решение. log2 + log50 = log100 = 2. Го користевме збирот на логаритми формулата (5) и дефиницијата за децимален логаритам.
Пример 2. Пресметај: lg125/lg5.
Решение. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ја користевме формулата за преместување во нова основа (8).
Табела со формули поврзани со логаритми
| a лог a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |