Не е секогаш можно да се пресметаат интегралите користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц. Не сите интегранти имаат антидеривати на елементарните функции, така што наоѓањето на точниот број станува нереално. При решавање на вакви проблеми, не е секогаш потребно да се добијат точни одговори на излезот. Постои концепт на приближна вредност на интеграл, кој е специфициран со метод на нумеричка интеграција како што е методот на правоаголници, трапезоиди, Симпсон и други.
Оваа статија е посветена конкретно на овој дел, добивајќи приближни вредности.
Ќе се утврди суштината на методот на Симпсон, ќе ја добиеме формулата на правоаголниците и проценките на апсолутната грешка, методот на десниот и левиот триаголник. Во завршна фаза, ќе го консолидираме нашето знаење со решавање на проблеми со детални објаснувања.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Суштината на методот на правоаголник
Ако функцијата y = f (x) има континуитет на интервалот [ a ; b ] и потребно е да се пресмета вредноста на интегралот ∫ a b f (x) d x .
Неопходно е да се користи концептот на неопределен интеграл. Потоа треба да го поделите сегментот [a; b ] за бројот n од деловите x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . . , n, каде a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . В промежутке отрезка x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n выберем точку со значением ζ i . Из определения имеем, что существует определенный тип интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка, который уже разбили. Это выражается формулой λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 , тогда получаем, что любая из таких интегральных сумм – приближенное значение интеграла ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) .
Суштината на методот на правоаголник е дека приближната вредност се смета за интегрален збир.
Ако го поделиме интеграбилниот сегмент [a; b ] во идентични делови по точка h , тогаш добиваме a = x 0 , x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , . . . , x - 1 = x 0 + (n - 1) h , x n = x 0 + n h = b , односно h = x i - x i - 1 = b - a n , i = 1 , 2 , . . . , n. Средните точки на точките ζ i се избрани да бидат елементарни отсечки x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, значи ζ i = x i - 1 + h 2, i = 1, 2, . . . , n.
Дефиниција 1
Тогаш приближната вредност ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) се запишува на тој начин ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + ч 2 . Оваа формула се нарекува формула на методот на правоаголник.
Методот го добива ова име поради природата на изборот на точките ζ i, каде што партицијата на сегментот е земена како h = b - a n.
Ајде да го разгледаме овој метод на сликата подолу.
Цртежот јасно покажува дека приближувањето до дел од чекорот функционира
y = f x 0 + h 2, x ∈ [ x 0; x 1) f x 1 + h 2, x ∈ [ x 1 ; x2) . . . f x n - 1 + h 2 , x ∈ [ x n - 1 ; x n ] се јавува низ границата на интеграција.
Од геометриската страна, имаме дека ненегативната функција y = f (x) на постојниот сегмент [ a ; b ] ја има точната вредност на определениот интеграл и изгледа како заоблен трапез, чија површина мора да се најде. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
Проценка на апсолутната грешка на методот на просечен правоаголник
За да се процени апсолутната грешка, неопходно е да се процени во одреден интервал. Тоа е, треба да го пронајдете збирот на апсолутните грешки на секој интервал. Секој сегмент x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n ја има приближната еднаквост ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f x i - 1 + h 2 · h = f x i - 1 + h 2 · (x i - x i - 1) . Апсолутната грешка на овој метод на триаголник δi, која припаѓа на отсечката i, се пресметува како разлика помеѓу точната и приближната дефиниција на интегралот. Имаме дека δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 . Добиваме дека f x i - 1 + h 2 е одреден број, а x i - x i - 1 = ∫ x i - 1 x i d x , потоа изразот f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 според 4-то својство од дефиницијата на интеграли се пишува во форма f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = ∫ x - 1 x f x i - 1 + h 2 d x . Од ова добиваме дека сегментот i има апсолутна грешка на формата
δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 x i - x i - 1 = = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - ∫ x i - 1 x i x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f (x) = - f x i - 1 + h 2 d x
Ако земеме дека функцијата y = f (x) има изводи од втор ред во точката x i - 1 + h 2 и нејзината околина, тогаш y = f (x) се проширува во тејлоровата серија во моќности x - x i - 1 + h 2 со резидуален член во форма на Лагранжова експанзија. Го добиваме тоа
f (x) = f x i - 1 + h 2 + f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2 ⇔ ⇔ f (x) = f (x i - 1 + h 2) = f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2
Врз основа на својството на определениот интеграл, еднаквоста може да се интегрира член по член. Тогаш го добиваме тоа
∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 d x + + ∫ x i - 1 x i f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 2 2 d x = = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 2 2 x i - 1 x i + f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 3 6 x i - 1 x i = = f " x i - 1 + h 2 x i - h 2 2 2 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 2 2 + + f "" ε i x i - h 2 3 6 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 3 6 = = f "x i - 1 + h 2 h 2 8 - h 2 8 + f """ (ε i) h 3 48 + h 3 48 = f "" ε i h 3 24
каде што имаме ε i ∈ x i - 1 ; x i .
Од ова добиваме дека δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = f "" ε i · h 3 24 .
Апсолутна грешка на формулата за правоаголници на отсечката [a; b ] е еднаков на збирот на грешките на секој елементарен интервал. Ние го имаме тоа
δ n = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x и δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = b - a 3 24 n 2 .
Неравенството е проценка на апсолутната грешка на методот на правоаголник.
За да го измените методот, разгледајте ги формулите.
Дефиниција 2
∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) е формулата за левиот триаголник.
∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) е формулата за правоаголни триаголници.
Да го погледнеме примерот подолу.
Разликата помеѓу методот на просечни правоаголници е изборот на точки не во центарот, туку на левата и десната граница на овие елементарни сегменти.
Оваа апсолутна грешка на методите на левиот и десниот триаголник може да се запише како
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n
Неопходно е да се размисли за решавање примери каде што треба да се пресмета приближната вредност на постоечки дефинитивен интеграл користејќи го методот на правоаголник. Се разгледуваат два вида на решавање проблеми. Суштината на првиот случај е да се специфицира бројот на интервали за делење на сегментот за интеграција. Суштината на втората е присуството на прифатлива апсолутна грешка.
Формулацијата на задачите е како што следува:
- изврши приближна пресметка на дефинитивен интеграл користејќи го методот на правоаголник, делејќи го на n бројот на сегменти за интегрирање;
- најдете ја приближната вредност на одреден интеграл користејќи го методот на правоаголник со точност од стотинка.
Ајде да ги разгледаме решенијата во двата случаи.
Како пример, избравме задачи кои можат да се трансформираат за да ги најдеме нивните антидеривати. Тогаш станува возможно да се пресмета точната вредност на одреден интеграл и да се спореди со приближна вредност користејќи го методот на правоаголник.
Пример 1
Пресметај го дефинитивниот интеграл ∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x користејќи го методот на правоаголник, делејќи ја интеграциската отсечка на 10 дела.
Решение
Од условот имаме дека a = 4, b = 9, n = 10, f (x) = x 2 sin x 10. За да се примени ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 потребно е да се пресмета големината на чекорот h и вредноста на функцијата f (x) = x 2 sin x 10 во точките x i - 1 + h 2 , i = 12 , . . . , 10 .
Ја пресметуваме вредноста на чекорот и го добиваме тоа
h = b - a n = 9 - 4 10 = 0 . 5 .
Бидејќи x i - 1 = a + (i - 1) · h, i = 1, . . . , 10, потоа x i - 1 + h 2 = a + (i - 1) · h + h 2 = a + i - 0. 5 · h, i = 1, . . . , 10 .
Бидејќи i = 1, добиваме x i - 1 + h 2 = x 0 + h 2 = a + (i - 0,5) h = 4 + (1 - 0,5) 0. 5 = 4. 25.
Потоа треба да ја пронајдете вредноста на функцијата
f x i - 1 + h 2 = f x 0 + h 2 = f (4,25) = 4. 25 2 грев (4 . 25) 10 ≈ - 1 . 616574
За i = 2 добиваме x i - 1 + h 2 = x 1 + h 2 = a + i - 0. 5 ч = 4 + (2 - 0,5) 0. 5 = 4. 75.
Пронаоѓањето на соодветната вредност на функцијата ја зема формата
f x i - 1 + h 2 = f x 1 + h 2 = f (4,75) = 4. 75 2 грев (4 . 75) 10 ≈ - 2 . 254654
Да ги претставиме овие податоци во табелата подолу.
| јас | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i - 1 + h 2 | 4 . 25 | 4 . 75 | 5 . 25 | 5 . 75 | 6 . 25 |
| f x i - 1 + h 2 | - 1 . 616574 | - 2 . 254654 | - 2 . 367438 | - 1 . 680497 | - 0 . 129606 |
| јас | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i - 1 + h 2 | 6 . 75 | 7 . 25 | 7 . 75 | 8 . 25 | 8 . 75 |
| f x i - 1 + h 2 | 2 . 050513 | 4 . 326318 | 5 . 973808 | 6 . 279474 | 4 . 783042 |
Вредностите на функциите мора да се заменат во формулата на правоаголникот. Тогаш го добиваме тоа
∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 = = 0 . 5 · - 1 . 616574 - 2. 25654 - 2. 367438 - 1. 680497 - 0. 129606 + + 2 . 050513 + 4 . 326318 + 5 . 973808 + 6 . 279474 + 4 . 783042 = = 7 . 682193
Оригиналниот интеграл може да се пресмета со помош на формулата Њутн-Лајбниц. Го добиваме тоа
∫ 4 9 x 2 · sin x 10 d x = - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x 4 9 = = 7 5 cos 4 - 4 5 sin 4 - 79 10 cos 9 + 9 5 грев 9 ≈ 7 . 630083
Го наоѓаме антидериватот на изразот - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x што одговара на функцијата f (x) = x 2 sin x 10. Наоѓањето се врши со методот на интеграција по делови.
Ова покажува дека дефинитивниот интеграл се разликува од вредноста добиена со решавање на методот на правоаголници, каде n = 10, за 6 делови од единство. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
Пример 2
Пресметај ја приближната вредност на определениот интеграл ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x користејќи го методот на лев и десен правоаголник со точност од стотинка.
Решение
Од условот имаме дека a = 1, b = 2 и f (x) = - 0. 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26.
За да ја примените формулата за десен и лев правоаголник, треба да ја знаете големината на чекорот h, а за да ја пресметате, го делиме сегментот за интегрирање на n сегменти. По услов, имаме точноста да биде до 0,01, тогаш наоѓањето n е можно со проценка на апсолутната грешка на методите на левиот и десниот правоаголник.
Познато е дека δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n. За да се постигне потребниот степен на точност, потребно е да се најде вредност n за која неравенството m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (б - а) 2 2 n ≤ 0 . 01 ќе се изврши.
Да ја најдеме најголемата вредност на модулот на првиот извод, односно вредноста m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) од интеграндната функција f (x) = - 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26, дефинирана на интервалот [ 1 ; 2 ]. Во нашиот случај, потребно е да се извршете ги следните пресметки:
f" (x) = - 0,03 x 3 + 0,26 x - 0,26" = - 0. 09 x 2 + 0 . 26
Парабола е график на интеграндот со надолни гранки дефинирани на отсечката [1; 2 ], и со монотоно опаѓачки график. Потребно е да се пресмета апсолутната вредност на дериватите на краевите на отсечките и да се избере најголемата вредност од нив. Го добиваме тоа
f" (1) = - 0,09 · 1 2 + 0. 26 = 0. 17 f" (2) = - 0 . 09 · 2 2 + 0 . 26 = 0. 1 → m a x x ∈ [1; 2 ] f" (x) = 0. 17
Решавањето на сложени интегради вклучува гледање на најголемите и најмалите вредносни делови од функцијата.
Тогаш откриваме дека најголемата вредност на функцијата ја има формата:
m a x x ∈ [a; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0. 01 ⇔ ⇔ 0. 17 · (2 - 1) 2 2 n ≤ 0. 01 ⇔ 0. 085 n ≤ 0. 01 ⇔ n ≥ 8,5
Дробноста на бројот n е исклучена, бидејќи n е природен број. За да се дојде до прецизност од 0. 01, користејќи го методот на десен и лев правоаголник, мора да изберете која било вредност од n. За јасност на пресметките, да земеме n = 10.
Тогаш формулата на левите правоаголници ќе има форма ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) , а формулата на десните ќе има форма ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . За да се применат во пракса, потребно е да се најде вредноста на димензијата на чекорот h и f (x i), i = 0, 1, . . . , n, каде што n = 10.
Го добиваме тоа
h = b - a n = 2 - 1 10 = 0 . 1
Одредување на точките на отсечката [a; b] се произведува со користење на x i = a + i · h, i = 0, 1,. . . , n.
За i = 0, добиваме x i = x 0 = a + i · h = 1 + 0 · 0. 1 = 1 и f (x i) = f (x 0) = f (1) = - 0. 03 · 1 3 + 0 . 26 · 1 - 0 . 26 = - 0 . 03.
За i = 1, добиваме x i = x 1 = a + i · h = 1 + 1 · 0. 1 = 1. 1 и f (x i) = f (x 1) = f (1 . 1) = - 0 . 03 · (1 . 1) 3 + 0 . 26 · (1 . 1) - 0 . 26 = - 0 . 01393.
Пресметките се вршат до i = 10.
Пресметките мора да бидат претставени во табелата подолу.
| јас | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i | 1 | 1 . 1 | 1 . 2 | 1 . 3 | 1 . 4 | 1 . 5 |
| f (x i) | - 0 . 03 | - 0 . 01393 | 0 . 00016 | 0 . 01209 | 0 . 02168 | 0 . 02875 |
| јас | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 1 . 6 | 1 . 7 | 1 . 8 | 1 . 9 | 2 |
| f (x i) | 0 . 03312 | 0 . 03461 | 0 . 03304 | 0 . 02823 | 0 . 02 |
Заменете ја формулата за леви триаголници
∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) = = 0 . 10 . 03 - 0. 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + + 0 . 02875 + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 = = 0. 014775
Заменете во формулата за правоаголни триаголници
∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) = = 0 . 10 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + 0 . 02875 + + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 + 0 . 02 = 0. 019775
Ајде да ја извршиме пресметката користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц:
∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x = = - 0 . 03 x 4 4 + 0 . 13 x 2 - 0 . 26 x 1 2 = 0 . 0175
Размислете за сликата подолу.
Коментар
Наоѓањето на најголемата вредност на модулот на првиот извод е трудоинтензивна работа, така што можеме да ја елиминираме употребата на нееднаквост за проценка на апсолутната грешка и методите на нумеричка интеграција. Дозволено е користење на шемата.
Ја земаме вредноста n = 5 за да ја пресметаме приближната вредност на интегралот. Потребно е да се удвои бројот на сегменти за интеграција, потоа n = 10, по што се пресметува приближната вредност. потребно е да се најде разликата помеѓу овие вредности за n = 5 и n = 10. Кога разликата не ја исполнува потребната точност, тогаш се смета дека приближната вредност е n = 10, заокружена до најблиската десетка.
Кога грешката ја надминува потребната точност, n се удвојува и се споредуваат приближните вредности. Пресметките се вршат додека не се постигне потребната точност.
За средните правоаголници се вршат слични дејства, но пресметките на секој чекор бараат разлика помеѓу добиените приближни интегрални вредности за n и 2 n. Овој метод на пресметка се нарекува правило на Ранге.
Ајде да ги пресметаме интегралите со точност од една илјадити со помош на методот на лев правоаголник.
За n = 5 наоѓаме дека ∫ 1 2 (- 0,03 x 3 + 0,26 x - 0,26) d x ≈ 0. 0116, и за n = 10 - ∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ 0. 014775. Бидејќи ја имаме таа 0. 0116 - 0 . 014775 = 0. 003175 > 0 . 001, да земеме n = 20. Откриваме дека ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 01619375. Имаме 0. 014775 - 0 . 01619375 = 0. 00141875 > 0 . 001, земете ја вредноста n = 40, потоа добиваме ∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ 0. 01686093. Имаме дека 0. 1619375 - 0. 01686093 = 0. 00066718< 0 . 001 , тогда после округления значения проверим, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x равняется значению 0 , 017 с погрешностью 0 , 001 . Из оценок абсолютных погрешностей видно, что данный метод дает максимальную точность в отличие от метода левых и правых координат для заданного n . Отдается предпочтение методу средних прямоугольников.
Континуирани интегради со бесконечна поделба на отсечки, оваа приближна бројка се стреми кон точната. Најчесто, овој метод се изведува со помош на специјални програми на компјутер. Според тоа, колку е поголема вредноста на n, толку е поголема компјутерската грешка.
За најточна пресметка, потребно е да се извршат прецизни средни чекори, по можност со точност од 0,0001.
Резултати
За да го пресметате неопределениот интеграл со методот на правоаголник, треба да користите формула од формата ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 и да ја процените апсолутната грешка користејќи δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · b - a 3 24 n 2 .
За да решите користејќи ги методите на десен и лев правоаголник, користете формули од формата ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) и ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . Апсолутната грешка се проценува со помош на формула од формата δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · b - a 2 2 n .
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
И парадоксот е дека поради оваа причина (очигледно)тоа е доста ретко во пракса. Не е изненадувачки што оваа статија се појави неколку години откако зборував за почестите трапезоидни и Симпсонови методи, каде што спомнав правоаголници само попатно. Сепак, денес делот за интегралие речиси завршена и затоа е време да се затвори оваа мала празнина. Прочитајте, разберете и погледнете го видеото! ….за што? За интегралите, се разбира =)
Изјавата за проблемот е веќе наведена во горната лекција, а сега брзо го ажурираме материјалот:
Да го разгледаме интегралот. Тој е нескршлив. Но, од друга страна, функцијата интегранд континуиранона сегментот, што значи завршна областпостои. Како да го пресметате? Приближно. И денес, како што може да претпоставите, користејќи го методот на правоаголник.
Интервалот на интеграција го делиме на 5, 10, 20 или повеќе еднакви (иако тоа не е потребно)сегменти, колку повеќе, толку попрецизно ќе биде приближувањето. На секоја отсечка конструираме правоаголник, чија една страна лежи на оската, а спротивната страна го пресекува графикот на интеграндот. Ја пресметуваме површината на добиената зачекорена фигура, што ќе биде приближна проценка на површината заоблен трапез(засенчено на првата слика).
Очигледно, правоаголниците може да се конструираат на многу начини, но обично се разгледуваат 3 модификации:
1) метод на лев правоаголник;
2) метод на правоаголник;
3) метод на просечни правоаголници.
Ајде да подготвиме дополнителни пресметки во рамките на „целосна“ задача:
Пример 1
Пресметај го дефинитивниот интеграл приближно:
а) методот на лев правоаголник;
б) методот на правоаголни правоаголници.
Поделете го интервалот на интеграција на еднакви сегменти, заокружете ги резултатите од пресметката на 0,001
Решение: Веднаш признавам, намерно избрав толку мала вредност - од причини за да може се да се види на цртежот - за што морав да платам за точноста на приближувањата.
Ајде да пресметаме чекорпартиции (должина на секој среден сегмент):
Метод леви правоаголнициго доби своето име затоа што 
Што ВИСИНИправоаголниците на средните отсечки се еднакви функционални вредности во левата странакраевите на овие сегменти:
Во никој случај не заборавајте дека заокружувањето треба да се направи на три децимални места - ова е суштински услов на состојбата, а „аматерската активност“ овде е полн со забелешката „правилно форматирај ја задачата“.
Да ја пресметаме плоштината на зачекорената фигура, која е еднаква на збирот на плоштините на правоаголниците: 
Така, областа заоблен трапез: . Да, пристапот е монструозно груб (пренагласувањето е јасно видливо на цртежот), но и пример, повторувам, показен. Апсолутно е јасно дека со разгледување на поголем број средни сегменти (рафинирање на партицијата), скалестата фигура ќе биде многу послична на заоблен трапез и ќе добиеме подобар резултат.
При користење на „вистинскиот“ метод ВИСИНИправоаголниците се еднакви функционални вредности во десната странакраеви на средни сегменти: 
Ајде да ја пресметаме вредноста што недостасува 
и плоштината на скалестата фигура: 
– овде, како што би се очекувало, приближувањето е многу потценето:
Ајде да ги напишеме формулите во општа форма. Ако функцијата е континуирана на отсечката и е поделена на еднакви делови: , тогаш дефинитивниот интеграл може приближно да се пресмета со помош на формулите:
– леви правоаголници;
– правоаголници;
(формула во следниот проблем)- средни правоаголници,
каде е чекорот за партиција.
Која е нивната формална разлика? Во првата формула нема поим, а во втората -
Во пракса, погодно е да се внесат пресметаните вредности во табела: 
а самите пресметки се вршат во Excel. И брзо и без грешки:
Одговори: 
Веројатно веќе сте разбрале што е методот на среден правоаголник:
Пример 2
Пресметај приближно дефинитивен интеграл користејќи го методот на правоаголник со точност од 0,01. Започнете да го делите интервалот за интеграција со сегменти.
Решение: прво, имајте предвид дека интегралот треба да се пресмета точно до 0,01. Што значи оваа формулација?
Доколку се бараше претходната задача само заокружетерезултира со 3 децимални места (и колку ќе бидат вистинити не е важно), тогаш пронајдената приближна вредност на површината треба да се разликува од вистината не повеќе од .
И второ, изјавата за проблемот не кажува која модификација на методот на правоаголник да се користи за решение. И навистина, кој?
Стандардно, секогаш користете го методот на средни правоаголници
Зошто? И сите други нешта се еднакви, тој (иста партиција)дава многу попрецизно приближување. Ова е строго оправдано во теорија, а тоа е многу јасно видливо на цртежот: 
Тука се земаат висините на правоаголниците функционални вредности, пресметано во срединасредни отсечки, а во општа форма формулата за приближни пресметки ќе биде напишана на следниов начин:
, каде е чекорот на стандардната партиција „еднаков сегмент“.
Треба да се напомене дека формулата за средни правоаголници може да се напише на неколку начини, но за да се избегне забуна, ќе се фокусирам на единствената опција што ја гледате погоре.
Удобно е да се сумираат пресметките, како во претходниот пример, во табела. Должината на средните отсечки, се разбира, е иста: - и очигледно е дека растојанието помеѓу средните точки на отсечките е еднакво на ист број. Бидејќи потребната точност на пресметките е , вредностите мора да се заокружат „со маргина“ - 4-5 децимални места: 
Да ја пресметаме плоштината на зачекорната фигура:
Ајде да видиме како да го автоматизираме овој процес:
Така, според формулата на средни правоаголници: 
Како да се оцени точноста на приближувањето? Со други зборови, колку е далеку резултатот од вистината? (површина на закривен трапез)? Постои посебна формула за проценка на грешката, но во пракса нејзината примена е често тешка, и затоа ќе го користиме „применетиот“ метод:
Да пресметаме попрецизна апроксимација - со двојно поголем број на партициони сегменти: . Алгоритмот за решение е сосема ист: 
.
Да ја најдеме средината на првиот среден сегмент 
а потоа додадете 0,3 на добиената вредност. Табелата може да биде дизајнирана во „економска класа“, но сепак е подобро да не се прескокнува коментарот за тоа што се менува од 0 до 10: 
Во Excel, пресметките се вршат „во еден ред“ (патем, вежбај), но во тетратка, табелата најверојатно ќе треба да биде двоспратна (освен ако, се разбира, немате супер-мал ракопис).
Да ја пресметаме вкупната површина од десет правоаголници:
Значи, попрецизна апроксимација е: 
Што ви предлагам да го проучувате!
Пример 3: Решение: пресметајте го чекорот на партицијата:
Ајде да ја пополниме пресметковната табела:
Дозволете ни да го пресметаме интегралот приближно користејќи го следниов метод:
1) леви правоаголници:
;
2) правоаголници:
;
3) средни правоаголници:
.
Ајде да го пресметаме интегралот попрецизно користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц:
и соодветните апсолутни грешки во пресметката:
Одговори
:
Генерално формула за лев правоаголникна сегментот како што следи (21) :
Во оваа формула x 0 =а, х n =б, бидејќи секој интеграл генерално изгледа вака: (види формула 18 ).
h може да се пресмета со формулата 19 .
y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x јас =x i-1 +h).
Формула за правоаголници.
Генерално формула за правоаголникна сегментот како што следи (22) :
Во оваа формула x 0 =а, х n =б(види формула за леви правоаголници).
h може да се пресмета со истата формула како во формулата за левите правоаголници.
y 1 , y 2 ,..., y nсе вредностите на соодветната функција f(x) во точките x 1 , x 2 ,..., x n (x јас =x i-1 +h).
Формула за средни правоаголници.
Генерално формула за среден правоаголникна сегментот како што следи (23) :
Каде x јас =x i-1 +h.
Во оваа формула, како и во претходните, h е потребно да го помножи збирот на вредностите на функцијата f(x), но не само со замена на соодветните вредности x 0 , x 1 ,..., x n-1во функцијата f(x) и додавање на секоја од овие вредности h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), а потоа само нивно заменување во дадената функција.
h може да се пресмета со истата формула како во формулата за левите правоаголници." [ 6 ]
Во пракса, овие методи се спроведуваат на следниов начин:
Mathcad ;
Excel .
Mathcad ;
Excel .
За да го пресметате интегралот користејќи ја формулата на просечни правоаголници во Excel, мора да ги извршите следните чекори:
Продолжете да работите во истиот документ како и при пресметување на интегралот користејќи ги формулите на левиот и десниот правоаголник.
Во ќелијата Е6 внесете го текстот xi+h/2, а во F6 - f(xi+h/2).
Внесете ја формулата =B7+$B$4/2 во ќелијата Е7, копирајте ја оваа формула со влечење во опсегот на ќелиите E8:E16
Внесете ја формулата =ROOT(E7^4-E7^3+8) во ќелијата F7, копирајте ја оваа формула со влечење во опсегот на ќелиите F8:F16
Внесете ја формулата =SUM(F7:F16) во ќелијата F18.
Внесете ја формулата =B4*F18 во ќелијата F19.
Внесете ги просеците на текстот во ќелијата F20.
Како резултат, го добиваме следново:
Одговор: вредноста на дадениот интеграл е 13,40797.
Врз основа на добиените резултати, можеме да заклучиме дека формулата на средните правоаголници е попрецизна од формулите на десниот и левиот правоаголник.
1. Метод на Монте Карло
„Главната идеја на методот Монте Карло е да се повторуваат случајните тестови повеќе пати. Карактеристична карактеристика на методот Монте Карло е употребата на случајни броеви (нумерички вредности на некоја случајна променлива). Таквите броеви може да се добијат со користење сензори за случаен број. На пример, во програмскиот јазик Турбо Паскал постои стандардна функција случајно, чии вредности се случајни броеви рамномерно распределени на сегментот . Ова значи дека ако наведениот сегмент го поделите на одреден број еднакви интервали и ја пресметате вредноста на случајната функција голем број пати, тогаш приближно ист број на случајни броеви ќе падне во секој интервал. Во програмскиот јазик на басенот, сличен сензор е функцијата rnd. Во процесорот за табеларни пресметки MS Excel функцијата РАНДвраќа рамномерно распределен случаен број поголем или еднаков на 0 и помал од 1 (се менува кога повторно се пресметува)" [ 7 ].
За да го пресметате, треба да ја користите формулата () :
Каде што (i=1, 2, ..., n) се случајни броеви кои лежат во интервалот .
За да се добијат такви броеви врз основа на низа од случајни броеви x i, рамномерно распоредени во интервалот, доволно е да се изврши трансформацијата x i =a+(b-a)x i.
Во пракса, овој метод се спроведува на следниов начин:
За да го пресметате интегралот користејќи го методот Монте Карло во Excel, мора да ги извршите следните чекори:
Во ќелијата B1, внесете го текстот n=.
Во ќелијата B2, внесете го текстот a=.
Во ќелијата B3, внесете го текстот b=.
Внесете го бројот 10 во ќелијата C1.
Внесете го бројот 0 во ќелијата C2.
Во ќелијата C3 внесете го бројот 3.2.
Внесете I во ќелијата A5, xi во B5, f(xi) во C5.
Пополнете ги ќелиите A6:A15 со броеви 1,2,3, ...,10 – бидејќи n=10.
Внесете ја формулата =RAND()*3.2 во ќелијата B6 (се генерираат броеви во опсег од 0 до 3.2), копирајте ја оваа формула со влечење во опсегот на ќелиите B7:B15.
Внесете ја формулата =ROOT(B6^4-B6^3+8) во ќелијата C6 и копирајте ја оваа формула со влечење во опсегот на ќелиите C7:C15.
Внесете го текстот „износ“ во ќелијата B16, „(b-a)/n“ во B17, „I=“ во B18.
Внесете ја формулата =SUM(C6:C15) во ќелијата C16.
Внесете ја формулата =(C3-C2)/C1 во ќелијата C17.
Внесете ја формулата =C16*C17 во ќелијата C18.
Како резултат добиваме:
Одговор: вредноста на дадениот интеграл е 13,12416.
Ајде да продолжиме со модификациите на методот на правоаголник.
Ова формула за метод на лев правоаголник.
- Ова формула за метода на правоаголник.
Разликата од методот на средни правоаголници е тоа што точките се избираат не во средината, туку на левата и десната граница на елементарните сегменти, соодветно.
Апсолутната грешка на методите на левиот и десниот правоаголник се проценува како .
Блок дијаграм
За да го пресметате интегралот користејќи ја формулата за десниот правоаголник во Excel, мора да ги извршите следните чекори:
1. Продолжете да работите во истиот документ како и при пресметување на интегралот користејќи ја формулата за левиот правоаголник.
2. Во ќелијата D6 внесете го текстот y1,…,yn.
3. Внесете ја формулата =ROOT(B8^4-B8^3+8) во ќелијата D8, копирајте ја оваа формула со влечење во опсегот на ќелиите D9:D17
4. Внесете ја формулата =SUM(D7:D17) во ќелијата D18.
5. Внесете ја формулата =B4*D18 во ќелијата D19.
6. Внесете го текстот десно во ќелијата D20.
Како резултат, го добиваме следново:
За да го пресметате интегралот користејќи ја формулата за десниот правоаголник во Mathcad, мора да ги извршите следните чекори:
1. Внесете ги следните изрази во полето за внесување во една линија на одредено растојание: a:=0, b:=3.2, n:=10.
2. Во следниот ред внесете ја формулата од тастатурата h:=(b-a)/n ( ).
3. Прикажете ја вредноста на овој израз до него, за да го направите ова, напишете од тастатурата: h=.
4. Подолу, внесете ја формулата за пресметување на функцијата интегранд, за да го направите ова, напишете f(x):= од тастатурата, а потоа отворете ја лентата со алатки „Аритметика“, или користејќи ја иконата или на следниот начин:
После тоа, на лентата со алатки „Аритметика“ изберете „Квадратен корен“: , потоа во темниот квадрат што се појавува, внесете го изразот од тастатурата x^4-x^3+8, поместете го курсорот користејќи ги стрелките на тастатурата ( Ве молиме имајте предвид дека во полето за внесување овој израз веднаш се претвора во стандардна форма).
5. Внесете го изразот I1:=0 подолу.
6. Подолу внесете го изразот pr_p(a,b,n,h,I1):=.
7. Потоа изберете ја лентата со алатки „Програмирање“ (или: „Преглед“ - „Ленти со алатки“ - „Програмирање“, или: икона ).
8. На лентата со алатки „Програмирање“, додадете ја програмската линија: , потоа ставете го курсорот во првиот темен правоаголник и изберете „за“ на лентата со алатки „Програмирање“.
9. Во добиената линија, по зборот за, поставете го курсорот во првиот од правоаголниците и напишете i.
10. Потоа изберете ја лентата со алатки „Matrix“ (или: „View“ - „Toolbars“ - „Matrix“ или: икона).
11. Поставете го курсорот во следниот темен правоаголник и на лентата со алатки „Matrix“ кликнете: , каде внесете ги двата правоаголници што се појавуваат, соодветно: 1 и n.
12. Поставете го курсорот во темниот правоаголник подолу и додадете ја програмската линија двапати.
13. После ова, вратете го курсорот на првиот правоаголник што се појавува и напишете x1, потоа кликнете на „Local assignment“ во панелот „Programming“: и потоа внесете a+h.
14. Поставете го курсорот во следниот темен правоаголник, каде што пишувате I1 и доделувате (копчето „Local assignment“) I1+f(x1).
15. Поставете го курсорот во следниот темен правоаголник, каде што напишете доделување (копче „Локална задача“) x1.
16. Во следниот темен правоаголник, додадете програмска линија, каде што во првиот од добиените правоаголници, напишете I1 и доделете (копчето „Локална задача“) I1*h ( Ве молиме имајте предвид дека знакот за множење во полето за внесување автоматски се претвора во стандарден знак).
17. Во последниот темен правоаголник напишете I1.
18. Подолу, внесете pr_p(a,b,n,h,I1) и притиснете го знакот =.
19. За да го форматирате одговорот, треба да кликнете двапати на добиениот број и да го наведете бројот на децимални места - 5.
Како резултат добиваме:
Одговор: вредноста на дадениот интеграл е 14,45905.
Методот на правоаголник е секако многу погоден за пресметување на дефинитивниот интеграл. Работата беше многу возбудлива и едукативна.
Референци
http://www.cleverstudents.ru/method_of_rectangles.html
(методи за пресметување интеграли)
http://algmet.narod.ru/theory_a4m/integr_prav/index.htm
(суштината на методот)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%EF%F0%FF%EC%EE%F3%E3%EE%EB%FC%ED%E8%EA%EE %E2
(википедија)
1) вовед и теорија
2) Суштината на методот и решенија за примери
3) Паскал
Графичка слика:
Да ја пресметаме приближната вредност на интегралот. За да ја процениме точноста, го користиме методот на пресметување на левите и десните правоаголници.
Ајде да го пресметаме чекорот кога се делиме на 10 дела:
Точките на поделба на сегментот се дефинирани како:
Ајде да ја пресметаме приближната вредност на интегралот користејќи ги формулите на левите правоаголници:
0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486
Ајде да ја пресметаме приближната вредност на интегралот користејќи ги формулите на правоаголни правоаголници:
0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342
Решение на проблем со гранична вредност за обична диференцијална равенка со методот на поместување.
За приближно решавање на обична диференцијална равенка, можете да го користите методот на бришење.
Да разгледаме линеарна диференцијална равенка.
y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)
со две точки линеарни гранични услови
Да ја воведеме следната нотација:
Методот на чистење се состои од „премин напред“ во кој се одредуваат коефициентите:
Откако ќе го извршите „поместувањето напред“, продолжете со „обратно движење“, кое се состои во одредување на вредностите на саканата функција со помош на формулите:
Користејќи го методот на поместување, составете решение за проблемот со граничната вредност за обична диференцијална равенка со точност; Чекор h=0,05
2; А=1; =0; Б=1,2;
 |
|||||
Дирихлеова задача за Лапласовата равенка со помош на методот на мрежа
Најдете континуирана функција u (x, y) што ја задоволува Лапласовата равенка во правоаголниот регион
и прифаќање на дадените вредности на границата на регионот, т.е.
каде fl, f 2, f 3, f 4 се дадени функции.
Со воведување на ознаката, ги приближуваме парцијалните деривати и на секој внатрешен мрежен јазол со деривати на централна разлика од втор ред
и заменете ја Лапласовата равенка со равенката на конечни разлики
Грешката при замена на диференцијална равенка со равенка на разлика е големина.
Равенките (1), заедно со вредностите на граничните јазли, формираат систем на линеарни алгебарски равенки во однос на приближните вредности на функцијата и (x, y) кај мрежните јазли. Овој систем ја има наједноставната форма кога:
При добивањето на мрежните равенки (2), се користеше дијаграмот на јазлите прикажан на слика 1. 1. Множеството јазли што се користат за приближување на равенката во точка се нарекува шаблон.
Слика 1
Нумеричкото решение на проблемот на Дирихле за Лапласовата равенка во правоаголник се состои од наоѓање приближни вредности на саканата функција u(x, y) на внатрешните мрежни јазли. За да се одредат количините, потребно е да се реши систем од линеарни алгебарски равенки (2).
Во оваа работа, тоа е решено со методот Гаус-Сајдел, кој се состои од конструирање низа од повторувања на формата
(надредениот s го означува бројот на повторување). Кога низата се конвергира до точно решение на системот (2). Како услов за завршување на итеративниот процес, можеме да земеме
Така, грешката во приближното решение добиена со методот на мрежа се состои од две грешки: грешка при приближување на диференцијалната равенка со равенки на разлика; грешка што произлегува како резултат на приближно решение на системот на равенки за разлика (2).
Познато е дека шемата за разлика опишана овде има својства на стабилност и конвергенција. Стабилноста на шемата значи дека малите промени во почетните податоци доведуваат до мали промени во решавањето на проблемот со разликата. Само таквите шеми имаат смисла да се користат во реални пресметки. Конвергенцијата на шемата значи дека како што чекорот на мрежата се стреми кон нула (), решението на проблемот со разликата се стреми, во извесна смисла, кон решението на првобитниот проблем. Така, со избирање на доволно мал чекор h, може да се реши оригиналниот проблем колку што точно сакате.
Користејќи го методот на мрежа, составете приближно решение за проблемот на Дирихле за Лапласовата равенка во квадрат ABCD со темиња A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); чекор h=0,02. Кога го решавате проблемот, користете го Либмановиот итеративен просечен процес додека не се добие одговор со точност од 0,01.
1) Да ги пресметаме вредностите на функцијата на страните:
- 1. На страната АБ: според формулата. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
- 2. На страната BC=0
- 3. На страна CD=0
- 4. На страната АД: според формулата u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)= 29,44 u(1;0)=0
- 2) За да ги одредиме вредностите на функцијата во внатрешните точки на регионот користејќи го методот на мрежа, дадената Лапласова равенка ја заменуваме во секоја точка со равенка со конечни разлики според формулата
Користејќи ја оваа формула, ќе создадеме равенка за секоја внатрешна точка. Како резултат на тоа, добиваме систем на равенки.
Овој систем го решаваме користејќи итеративен метод од типот Либман. За секоја вредност, создаваме низа што ја градиме до конвергенција во стотинки. Да ги запишеме односите со чија помош ќе ги најдеме елементите на сите низи:
За да пресметате користејќи ги овие формули, треба да ги одредите почетните вредности што може да се најдат на некој начин.
3) За да се добие почетно приближно решение на проблемот, ќе претпоставиме дека функцијата u(x,y) е рамномерно распоредена по хоризонталите на регионот.
Прво, разгледајте хоризонтална линија со гранични точки (0;0,2) и (1;0,2).
Дозволете ни да ги означиме бараните вредности на функцијата во внатрешните точки со.
Бидејќи сегментот е поделен на 5 дела, мерниот чекор на функцијата
Тогаш добиваме:
Слично на тоа, ги наоѓаме вредностите на функцијата во внатрешните точки на другите хоризонтални линии. За хоризонтална права со гранични точки (0;0,4) и (1;0,4) имаме
За хоризонтална права со гранични точки (0;0,6) и (1;0,6) имаме
Конечно, да ги најдеме вредностите за хоризонталата со гранични точки (0;0,8) и (1;0,8).
Сите добиени вредности ги прикажуваме во следната табела, која се нарекува нула шаблон: