Ерднигорјаева Марина

Оваа работа е резултат на изучување на тема како изборен во 8 одделение. Овде се прикажани геометриски трансформации на графикони и нивната примена при конструкција на графикони со модули. Воведен е концептот на модул и неговите својства. Се прикажува како да се конструираат графикони со модули на различни начини: со помош на трансформации и врз основа на концептот на модул Темата на проектот е една од најтешките во предметот по математика, таа се однесува на прашања кои се разгледуваат во изборните предмети и е. учел во паралелки со напредна математика. Сепак, таквите задачи се дадени во вториот дел од ГИА, во Обединетиот државен испит. Оваа работа ќе ви помогне да разберете како да изградите графикони со модули со не само линеарни, туку и други функции (квадратни, обратно пропорционални, итн.).

Преземи:

Преглед:

За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com

Наслов на слајд:

Графикони на линеарна функција со модули Работа на Ерднигорјаева Марина, ученичка од 8-мо одделение на МЦОУ „СОУ Камишовскаја“ Надзорник Горјаева Зоја Ерднигорјаевна, наставник по математика на МЦОУ „Средно училиште Камишовска“ стр. Камишево, 2013 година

Цел на проектот: Да се ​​одговори на прашањето како да се градат графикони на линеарни функции со модули. Цели на проектот: Проучете ја литературата за ова прашање. Проучување на геометриски трансформации на графикони и нивна примена при конструкција на графикони со модули. Проучете го концептот на модул и неговите својства. Научете да градите графикони со модули на различни начини.

Директна пропорционалност Директната пропорционалност е функција која може да се определи со формула од формата y=kx, каде што x е независна променлива, k е број што не е нула.

Да ја нацртаме функцијата y = x x 0 2 y 0 2

Геометриска трансформација на графикони Правило бр. 1 Графикот на функцијата y = f (x) + k - линеарна функција - се добива со паралелно пренесување на графикот на функцијата y = f (x) за + k единици до O y оска за k> 0 или |- k| единици по оската O y на k

Ајде да изградиме графикони y=x+3 y=x-2

Правило бр. 2 Графикот на функцијата y=kf(x) се добива со истегнување на графикот на функцијата y = f (x) долж оската O y a пати при a>1 и компресирање по должината на оската O y a пати на 0Слајд 9

Ајде да изградиме график y=x y= 2 x

Правило бр. 3 Графикот на функцијата y = - f (x) се добива со симетрично прикажување на графикот y = f (x) во однос на оската O x

Правило бр. 4 Графикот на функцијата y = f (- x) се добива со симетрично прикажување на графикот на функцијата y = f (x) во однос на оската O y

Правило бр.5 Графикот на функцијата y=f(x+c) се добива со паралелно пренесување на графикот на функцијата y=f(x) по оската O x надесно, ако c 0.

Ајде да изградиме графикони y=f(x) y=f(x+2)

Дефиниција на модулот Модулот на ненегативен број a е еднаков на самиот број a; Модулот на негативниот број a е еднаков на неговиот спротивен позитивен број -a. Или, |a|=a, ако a ≥0 |a|=-a, ако a

Се конструираат графикони на линеарни функции со модули: користење на геометриски трансформации со проширување на дефиницијата за модул.

Правило бр.6 График на функцијата y=|f(x)| се добива на следниот начин: зачуван е делот од графикот y=f(x) што лежи над оската O x; делот што лежи под оската O x се прикажува симетрично во однос на оската O x.

Графиконирајте ја функцијата y=-2| x-3|+4 Конструирај y 1=| x | Градиме y₂= |x - 3 | → паралелно преведување за +3 единици по оската Ox (поместување надесно) Конструирај y ₃ =+2|x-3| → истегнете се по оската O y 2 пати = 2 y₂ Градиме y ₄ =-2|x-3| → симетрија околу оската x = - y₃ Градиме y₅ =-2|x-3|+4 → паралелно преведување за +4 единици долж оската O y (поместување нагоре) = y ₄ +4

График на функцијата y =-2|x-3|+4

График на функцијата y= 3|x|+2 y1=|x| y₂=3|x|= 3 y1 → растегнување за 3 пати y₃=3|x| +2= y₄+2 → поместување нагоре 2 единици

Правило бр.7 Графикот на функцијата y=f(| x |) се добива од графикот на функцијата y=f(x) на следниот начин: За x > 0, графикот на функцијата е зачуван, а истото дел од графикот е симетрично прикажан во однос на оската O y

Графиконирајте ја функцијата y = || x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y2-2 y4= |y3| Y=||x-1|-2|

Алгоритам за конструирање на график на функцијата y=│f(│x│)│ конструирај график на функцијата y=f(│x│) . потоа оставете ги непроменети сите делови од конструираниот график што лежат над оската x. деловите лоцирани под оската x се прикажуваат симетрично околу оваа оска.

Y=|2|x|-3| Конструкција: а) y=2x-3 за x>0, б) y=-2x-3 за x Слајд 26

Правило бр. 8 График на зависност | y|=f(x) се добива од графикот на функцијата y=f(x) ако се зачувани сите точки за кои f(x) > 0 и тие се исто така симетрично пренесени во однос на оската на апсцисата.

Конструирај множество точки на рамнината чии Декартови координати x и y ја задоволуваат равенката |y|=||x-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| градиме два графика 1) y=||x-1|-1| и 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → поместување по оската Ox надесно за 1 единица y₃ = | x -1 |- 1= → поместување надолу 1 единица y ₄ = || x-1 |- 1| → симетрија на графички точки за кои y₃ 0 во однос на O x

График на равенката |y|=||x-1|-1| добиваме на следниов начин: 1) конструираме график на функцијата y=f(x) и го оставаме непроменет тој дел од него каде што y≥0 2) користејќи симетрија околу оската Ox, конструирај друг дел од графикот што одговара на y

Графиконирајте ја функцијата y =|x | − | 2 − x | . Решение. Овде знакот за модул се појавува во два различни термини и мора да се отстрани. 1) Најдете ги корените на субмодуларните изрази: x=0, 2-x=0, x=2 2) Поставете ги знаците на интервалите:

График на функција

Заклучок Темата на проектот е една од најтешките во предметот математика, се однесува на прашања кои се разгледуваат во изборните предмети и се изучува на часови за продлабочено изучување на предметот математика. Сепак, ваквите задачи се дадени во вториот дел од ГИА. Оваа работа ќе ви помогне да разберете како да изградите графикони со модули на не само линеарни функции, туку и други функции (квадратни, обратно пропорционални, итн.). Работата ќе помогне во подготовката за Државниот испит и за Единствениот државен испит и ќе ви овозможи да добиете високи оценки по математика.

Литература Виленкин Н.Ја. , Жохов V.I.. Математика“. Учебник 6-то одделение Москва. Издавачка куќа „Mnemosyne“, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. и други Алгебра. 8 одделение: воспитно. Прирачник за ученици и часови со напредно изучување математика. - Москва. Просветителство, 2009 Гаидуков И.И. "Абсолутна вредност." Москва. Просветителство, 1968. Гурски И.П. „Функции и графикони“. Москва. Просветителство, 1968. Јашчина Н.В. Техники за конструирање графикони кои содржат модули. Списание „Математика на училиште“, бр.3, 1994 година Детска енциклопедија. Москва. „Педагогија“, 1990. Динкин Е.Б., Молчанова С.А. Математички проблеми. М., „Наука“, 1993. Петраков И.С. Математички клубови од 8-10 одделение. М., „Просветителство“, 1987 година. Галицки М.Л. и други. – 12-ти изд. – М.: Образование, 2006. – 301 стр. Макричев Ју.Н., Миндјук Н.Г. Алгебра: Дополнителни поглавја за учебник за 9-то одделение: Учебник за ученици од училишта и одделенија со длабинско проучување на математиката / Уреди Г.В. – М.: Образование, 1997. – 224 стр. Sadykina N. Конструкција на графикони и зависности кои го содржат знакот за модул / Математика. - бр. 33. – 2004. – стр.19-21 .. Кострикина Н.П. „Проблеми со зголемена тежина во курсот за алгебра за 7-9 одделение“... Москва: Образование, 2008 година.

Знакот на модул е ​​можеби еден од најинтересните појави во математиката. Во овој поглед, многу ученици имаат прашање како да изградат графикони на функции што содржат модул. Да го разгледаме ова прашање подетално.

1. Исцртување графикони на функции кои содржат модул

Пример 1.

Графиконирајте ја функцијата y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Да ја одредиме парноста на функцијата. Вредноста за y(-x) е иста со вредноста за y(x), така што оваа функција е парна. Тогаш неговиот график е симетричен во однос на оската Oy. Ја нацртаме функцијата y = x 2 – 8x + 12 за x ≥ 0 и симетрично го прикажуваме графикот во однос на Oy за негативен x (сл. 1).

Пример 2.

Следниот график изгледа како y = |x 2 – 8x + 12|.

– Кој е опсегот на вредности на предложената функција? (y ≥ 0).

– Како се наоѓа распоредот? (Над или допирање на оската x).

Тоа значи дека графикот на функцијата се добива на следниов начин: нацртајте го графикот на функцијата y = x 2 – 8x + 12, оставете го непроменет делот од графикот што лежи над оската Ox, а делот од графикот што лежи под оската на апсцисата е симетрично прикажана во однос на оската Ox (сл. 2).

Пример 3.

Да се ​​нацрта функцијата y = |x 2 – 8|x| + 12| спроведе комбинација од трансформации:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Одговор: Слика 3.

Разгледаните трансформации се валидни за сите видови функции. Ајде да направиме табела:

2. Исцртување графикони на функции кои содржат „вгнездени модули“ во формулата

Веќе се запознавме со примери на квадратна функција која содржи модул, како и со општите правила за конструирање графици на функции од формата y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Овие трансформации ќе ни помогнат кога ќе го разгледаме следниот пример.

Пример 4.

Размислете за функција од формата y = |2 – |1 – |x|||. Функцискиот израз содржи „вгнездени модули“.

Решение.

Да го користиме методот на геометриски трансформации.

Ајде да запишеме синџир на секвенцијални трансформации и да направиме соодветен цртеж (сл. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Да ги разгледаме случаите кога симетријата и трансформациите на паралелно преведување не се главната техника при конструирање графикони.

Пример 5.

Конструирај график на функција од формата y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2.

Решение.

Пред да конструираме график, ја трансформираме формулата што ја дефинира функцијата и добиваме друга аналитичка задача на функцијата (сл. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Ајде да го прошириме модулот во именителот:

За x > -2, y = x – 2 и за x< -2, y = -(x – 2).

Домен D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Опсег на вредности E(y) = (-4; +∞).

Точките во кои графикот ја пресекува координатната оска: (0; -2) и (2; 0).

Функцијата се намалува за сите x од интервалот (-∞; -2), се зголемува за x од -2 на +∞.

Тука моравме да го откриеме знакот за модул и да ја нацртаме функцијата за секој случај.

Пример 6.

Размислете за функцијата y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Проширувајќи го знакот на модулот, неопходно е да се разгледа секоја можна комбинација на знаци на субмодуларни изрази.

Постојат четири можни случаи:

(x + 1 – x + 2 = 3, за x ≥ -1 и x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, на x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, за x ≥ -1 и x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, на x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогаш оригиналната функција ќе изгледа вака:

(3, за x ≥ 2;

y = (-3, на x< -1;

(2x – 1, со -1 ≤ x< 2.

Добивме парче дадена функција, чиј график е прикажан на Слика 6.

3. Алгоритам за конструирање графикони на функции на формата

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + секира + б.

Во претходниот пример, беше прилично лесно да се откријат знаците на модулот. Ако има повеќе збирови на модули, тогаш е проблематично да се разгледаат сите можни комбинации на знаци на субмодуларни изрази. Како, во овој случај, да се конструира график на функцијата?

Забележете дека графикот е скршена линија, со темиња во точките кои имаат апсциси -1 и 2. При x = -1 и x = 2, субмодуларните изрази се еднакви на нула. Во пракса, дојдовме поблиску до правилото за конструирање на такви графикони:

График на функција од формата y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + секира + b е скршена линија со бесконечни екстремни врски. За да се конструира таква скршена линија, доволно е да се знаат сите нејзини темиња (абсцисите на темињата се нулите на субмодуларните изрази) и една контролна точка на левата и десната бесконечна врска.

Задача.

Графиконирајте ја функцијата y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и најдете ја неговата најмала вредност.

Решение:

Нули на субмодуларни изрази: 0; -1; 1. Темиња на скршената линија (0; 2); (-13); (13). Контролна точка десно (2; 6), лево (-2; 6). Градиме график (сл. 7). min f(x) = 2.

Сè уште имате прашања? Не знаете како да графикорате функција со модул?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

Песочник

Барак Адама 3 март 2013 година во 19:43 часот

GIA - графички функции со знак на модул

Здраво на сите! Денес би сакал да објаснам една тема како што е дијаграмот. Повеќето луѓе веројатно знаат како да исцртаат едноставни графикони на функции како што се y=x^2 или y=1/x. Како да се изградат графикони со знакот на модул?

Задача 1.Конструирај графикони на функции y=|x| y=|x-1|.
Решение.Да го споредиме со графикот на функцијата y=|x|. Ова значи дека за позитивни вредности на аргументот графикот y=|x| се совпаѓа со графикот y=x, односно овој дел од графикот е зрак кој излегува од потеклото под агол од 45 степени во однос на оската х. На x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Меѓутоа, втората половина од графикот (за негативен X) лесно се добива од првата ако забележите дека функцијата y=|x| - дури, бидејќи |-a|=|a|. Тоа значи дека графикот на функцијата y=|x| е симетричен во однос на Oy-оската, а втората половина од графикот може да се добие со рефлексија за y-оската на делот нацртан за позитивен x. Графикот што се добива изгледа вака:

За да конструираме, ги земаме точките (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).

Сега графикот е y=|x-1|. Ако A е графичка точка y=|x| со координати (a;|a|), потоа графичката точка y=|x-1| со иста вредност на Y ординатата ќе има точка A1(a+1;|a|). (Зошто?) Оваа точка од вториот график може да се добие од точката A(a;|a|) на првиот график со поместување паралелно со оската Ox надесно. Тоа значи дека целиот график на функцијата y=|x-1|се добива од графикот на функцијата y=|x| поместување паралелно со оската Ox надесно за 1.

Ајде да изградиме графикони:

Y=|x-1|

За да конструираме, ги земаме точките (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

Тоа беше едноставна задача. Сега ова е она што преплаши многумина.

Задача 2.Исцртај ја функцијата y=3*|x-4| - x + |x+1|.
Решение.Да ги најдеме точките во кои исчезнуваат субмодуларните изрази, т.е. таканаречените „критични“ точки на функцијата. Овие точки ќе бидат x=-1 и x=4. Во овие точки, субмодуларните изрази можат да го променат знакот.

Нека x<-1. Потоа x+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Нека -1< = x < = 4. Потоа x+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Нека x>4.Потоа x+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Затоа y= 3(x-4)-x+x+1= 3x-11.

Ова значи дека треба да изградиме график на функцијата (точно еден)
( y= -5x+11, на x<-1
( y= -3х+13, на -1< = x < = 4.
( y= 3x-11, за x>4

За да го изградите првиот, земете поени (1; 6) (2; 1)
За да го изградите вториот, земете ги точките (3; 4) (4; 1)
За да го конструираме третиот, земаме поени (3; -2) (4; 1)

Па, последната задача за денес која ќе ја анализираме.
Задача 3.Графикувајте ја функцијата y= |1/4 x^2 - |x| - 3|.
Решение.Функција y= |f(|x|)| дури Потребно е да се конструира график на функцијата за x>=0 y= f(x), а потоа симетрично да се одрази во однос на оската Oy (ова е графикот y= |1/4 x^2 - x - 3| .), и, конечно, тој дел од добиената графика, кој се наоѓа во долната полурамнина, се симетрично рефлектирани во однос на оската Ox (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.) .
Еве што излегува од тоа:

Y= |1/4 x^2 - |x| - 3|

Значи, ви благодарам на сите! Сега ја имаме потребната база на знаење за исцртување графикони со знакот на модул! Затоа што сите се плашат од него.

Тагови: математика