Еве проблеми со конуси, состојбата е поврзана со неговата површина. Конкретно, во некои проблеми постои прашање за промена на површината при зголемување (намалување) на висината на конусот или радиусот на неговата основа. Теорија за решавање проблеми во. Ајде да ги разгледаме следните задачи:
27135. Обемот на основата на конусот е 3, генераторот е 2. Најдете ја областа на страничната површина на конусот.
Страничната површина на конусот е еднаква на:
Замена на податоците:
75697. Колку пати ќе се зголеми површината на страничната површина на конусот ако неговата генератрикс се зголеми за 36 пати, а радиусот на основата остане ист?
Површина на странична површина на конус:
Генератријата се зголемува 36 пати. Радиусот останува ист, што значи дека обемот на основата не е променет.
Ова значи дека страничната површина на изменетиот конус ќе ја има формата:
Така ќе се зголеми за 36 пати.
*Врската е директна, така што овој проблем може лесно да се реши орално.
27137. Колку пати ќе се намали површината на страничната површина на конусот ако радиусот на неговата основа се намали за 1,5 пати?
Страничната површина на конусот е еднаква на:
Радиусот се намалува за 1,5 пати, односно:
Утврдено е дека површината на страничната површина се намалила за 1,5 пати.
27159. Висината на конусот е 6, генераторот е 10. Најдете ја површината на неговата вкупна површина поделена со Пи.
Целосна конусна површина:
Треба да го пронајдете радиусот:
Висината и генератриксот се познати, користејќи ја Питагоровата теорема го пресметуваме радиусот:
Така:
Поделете го резултатот со Пи и запишете го одговорот.
76299. Вкупната површина на конусот е 108. Паралелно со основата на конусот се повлекува дел, делејќи ја висината на половина. Најдете ја вкупната површина на отсечениот конус.
Делот поминува низ средината на висината паралелно со основата. Ова значи дека радиусот на основата и генератриксот на отсечениот конус ќе биде 2 пати помал од радиусот и генератриксот на оригиналниот конус. Дозволете ни да ја запишеме површината на отсечениот конус:
Откривме дека ќе биде 4 пати помала од површината на оригиналот, односно 108:4 = 27.
*Бидејќи оригиналниот и отсечениот конус се слични тела, исто така беше можно да се користи својството на сличност:
27167. Радиусот на основата на конусот е 3, а висината е 4. Најдете ја вкупната површина на конусот поделена со Пи.
Формула за вкупна површина на конус:
Радиусот е познат, неопходно е да се најде генератриксот. 
Според Питагоровата теорема:
Така:
Поделете го резултатот со Пи и запишете го одговорот.
Задача. Областа на страничната површина на конусот е четири пати поголема од површината на основата. Најдете колку е косинус на аголот помеѓу генератриксот на конусот и рамнината на основата.
Областа на основата на конусот е: 
Назад напред
Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.
Тип на лекција:лекција за учење нов материјал со користење на елементи на развојна наставна метода базирана на проблем.
Цели на лекцијата:
- едукативни:
- запознавање со нов математички концепт;
- формирање на нови центри за обука;
- формирање на практични вештини за решавање проблеми.
- развивање:
- развој на самостојно размислување на учениците;
- развој на правилни говорни вештини на учениците.
- едукативни:
- развивање на вештини за тимска работа.
Опрема за лекција:магнетна табла, компјутер, екран, мултимедијален проектор, конусен модел, презентација за лекција, материјали.
Цели на часот (за ученици):
- запознајте се со нов геометриски концепт - конус;
- изведе формула за пресметување на површината на конус;
- да научат да ги применуваат стекнатите знаења при решавање на практични проблеми.
За време на часовите
Фаза I. Организациски.
Предавање тетратки со домашна тест работа на опфатената тема.
Учениците се поканети да ја дознаат темата на претстојниот час со решавање на загатката (слајд 1):
Слика 1.
Соопштување на темата и целите на часот на учениците (слајд 2).
Фаза II. Објаснување на нов материјал.
1) предавање на наставникот.
На таблата има табела со слика на конус. Новиот материјал е објаснет придружен со програмскиот материјал „Стереометрија“. На екранот се појавува тродимензионална слика на конус. Наставникот дава дефиниција за конус и зборува за неговите елементи. (слајд 3). Се вели дека конусот е тело формирано со ротација на правоаголен триаголник во однос на кракот. (слајдови 4, 5).Се појавува слика од скенирање на страничната површина на конусот. (слајд 6)
2) Практична работа.
Ажурирање на основни знаења: повторете ги формулите за пресметување на плоштина на круг, плоштина на сектор, должина на круг, должина на лак на круг. (слајдови 7–10)
Часот е поделен во групи. Секоја група добива скенирање на страничната површина на конусот исечен од хартија (сектор од круг со доделен број). Учениците ги земаат потребните мерења и ја пресметуваат областа на добиениот сектор. На екранот се појавуваат упатства за извршување на работа, прашања - искази за проблем (слајдови 11–14). Претставник од секоја група ги запишува резултатите од пресметките во табела подготвена на табла. Учесниците во секоја група лепат по еден модел на конус од моделот што го имаат. (слајд 15)
3) Изјава и решение на проблемот.
Како да се пресмета страничната површина на конусот ако се познати само радиусот на основата и должината на генератриксот на конусот? (слајд 16)
Секоја група ги зема потребните мерења и се обидува да изведе формула за пресметување на потребната површина користејќи ги достапните податоци. При вршењето на оваа работа, учениците треба да забележат дека обемот на основата на конусот е еднаков на должината на лакот на секторот - развојот на страничната површина на овој конус. (слајдови 17–21)Користејќи ги потребните формули, се добива посакуваната формула. Аргументите на студентите треба да изгледаат вака:
Радиусот на поместување на секторот е еднаков на л,степен мерка на лак – φ. Површината на секторот се пресметува со формулата: должината на лакот што го ограничува овој сектор е еднаква на радиусот на основата на конусот R. Должината на кругот што лежи во основата на конусот е C = 2πR . Забележете дека бидејќи површината на страничната површина на конусот е еднаква на површината на развојот на неговата странична површина, тогаш
Значи, површината на страничната површина на конусот се пресметува со формулата S BOD = πRl.
По пресметувањето на површината на страничната површина на моделот на конусот користејќи формула изведена независно, претставник на секоја група го запишува резултатот од пресметките во табела на таблата во согласност со броевите на моделите. Резултатите од пресметката во секоја линија мора да бидат еднакви. Врз основа на ова, наставникот ја одредува точноста на заклучоците на секоја група. Табелата со резултати треба да изгледа вака:
|
Модел бр. |
Јас задача |
II задача |
(125/3) π ~ 41,67 π |
||
(425/9) π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Параметри на моделот:
- l=12 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =170°
- l=14 cm, φ =110°
Приближувањето на пресметките е поврзано со грешки во мерењето.
По проверка на резултатите, на екранот се појавува излезот од формулите за областите на страничните и вкупните површини на конусот (слајдови 22–26), учениците водат белешки во тетратки.
Фаза III. Консолидација на изучениот материјал.
1) На студентите им се нудат проблеми за усно решение на готови цртежи.
Најдете ги површините на целосните површини на конусите прикажани на сликите (слајдови 27–32).
2) Прашање:Дали плоштините на површините на конусите се формираат со ротирање на еден правоаголен триаголник околу различни краци еднакви? Учениците даваат хипотеза и ја тестираат. Хипотезата се тестира со решавање проблеми и ученикот ја запишува на табла.
Со оглед на:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА“, АВВ“ – тела на ротација.
Најдете: S PPK 1, S PPK 2.
Слика 5. (слајд 33)
Решение:
1) R=BC = а; S PPK 1 = S BOD 1 + S главната 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = б; S PPK 2 = S BOD 2 + S основа 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Ако S PPK 1 = S PPK 2, тогаш a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0.Бидејќи а, б, в -позитивни броеви (должините на страните на триаголникот), еднаквоста е точно само ако a =б.
Заклучок:Површините на два конуса се еднакви само ако страните на триаголникот се еднакви. (слајд 34)
3) Решавање на задача од учебникот: бр.565.
Фаза IV. Сумирајќи ја лекцијата.
Домашна работа:ставови 55, 56; бр.548, бр.561. (слајд 35)
Објавување на доделени оценки.
Заклучоци за време на часот, повторување на главните информации добиени за време на часот.
Литература (слајд 36)
- Оценки за геометрија 10–11 – Атанасјан, В.Ф. Бутузов, С.Б., Кадомцев и сор.
- „Математички загатки и шаради“ - Н.В. Удалцова, библиотека „Први септември“, серијал „МАТЕМАТИКА“, број 35, М., Чистие Пруди, 2010 година.
Знаеме што е конус, ајде да се обидеме да ја најдеме неговата површина. Зошто треба да решите таков проблем? На пример, треба да разберете колку тесто ќе потроши за правење конус од вафли? Или колку тули се потребни за да се направи покрив од замок од тули?
Мерењето на страничната површина на конусот едноставно не може да се направи. Но, да го замислиме истиот рог завиткан во ткаенина. За да ја пронајдете површината на парче ткаенина, треба да ја исечете и да ја поставите на масата. Резултатот е рамна фигура, можеме да ја најдеме нејзината површина.
Ориз. 1. Пресек на конус долж генератриксот
Ајде да го сториме истото со конусот. Ајде да ја „пресечеме“ нејзината странична површина долж која било генерација, на пример (види слика 1).
Сега да ја „одвиткаме“ страничната површина на рамнина. Добиваме сектор. Центарот на овој сектор е темето на конусот, радиусот на секторот е еднаков на генератриксот на конусот, а должината на неговиот лак се совпаѓа со обемот на основата на конусот. Овој сектор се нарекува развој на страничната површина на конусот (види слика 2).
Ориз. 2. Развој на страничната површина
Ориз. 3. Мерење на агол во радијани
Ајде да се обидеме да ја најдеме областа на секторот користејќи ги достапните податоци. Прво, да ја воведеме ознаката: аголот на темето на секторот нека биде во радијани (види Сл. 3).
Честопати ќе треба да се справиме со аголот на врвот на бришењето во проблеми. Засега, да се обидеме да одговориме на прашањето: не може ли овој агол да биде повеќе од 360 степени? Односно, зарем нема да испадне дека метењето ќе се преклопи само по себе? Се разбира не. Ајде математички да го докажеме ова. Дозволете скенирањето да „суперпонира“ само по себе. Ова значи дека должината на лакот за бришење е поголема од должината на кругот на радиусот. Но, како што веќе беше споменато, должината на лакот за чистење е должината на кругот на радиусот. И радиусот на основата на конусот, се разбира, е помал од генератриксот, на пример, затоа што кракот на правоаголен триаголник е помал од хипотенузата
Потоа, да се потсетиме на две формули од курсот за планиметрија: должина на лакот. Секторска област: .
Во нашиот случај, улогата ја игра генераторот , а должината на лакот е еднаква на обемот на основата на конусот, т.е. Ние имаме:
Конечно добиваме: .
Заедно со страничната површина, може да се најде и вкупната површина. За да го направите ова, површината на основата мора да се додаде на површината на страничната површина. Но, основата е круг со радиус, чија површина според формулата е еднаква на .
Конечно имаме: , каде е радиусот на основата на цилиндерот, е генератриксот.
Ајде да решиме неколку проблеми користејќи ги дадените формули.
Ориз. 4. Потребен агол
Пример 1. Развојот на страничната површина на конусот е сектор со агол на врвот. Најдете го овој агол ако висината на конусот е 4 cm, а радиусот на основата е 3 cm (види слика 4).
Ориз. 5. Права триаголник што формира конус
Со првото дејство, според Питагоровата теорема, го наоѓаме генераторот: 5 cm (види Сл. 5). Следно, го знаеме тоа .
Пример 2. Областа на аксијалниот пресек на конусот е еднаква на , висината е еднаква на . Најдете ја вкупната површина (види слика 6).
