„Дефиниција на нумеричка функција и методи за нејзино дефинирање“ - Лекција. Нумерички функции

09.07.2015 11340 0

Цел: дискутирајте за дефиницијата на функцијата и како да ја дефинирате.

I. Комуницирање на темата и целта на часовите

II. Преглед на материјал од 9 одделение

Различни аспекти од оваа тема веќе се опфатени во 7-9 одделение. Сега треба да ги прошириме и сумираме информациите за функциите. Да потсетиме дека темата е една од најважните за целиот курс по математика. Ќе се изучуваат различни функции до дипломирањето и понатаму во високообразовните институции. Оваа тема е тесно поврзана со решавање равенки, неравенки, текстуални задачи, прогресии итн.

Дефиниција 1. Нека се дадени две групи реални броевиД и Е и се означува законотѓ според кој секој број x∈ Д одговара на еднина број y ∈ Е (види слика). Тогаш велат дека функцијата y = f(x ) или y(x) со домен на дефиниција (O.O.)Д и областа на промена (O.I.) E. Во овој случај, вредноста x се нарекува независна променлива (или аргумент на функцијата), вредноста y се нарекува зависна променлива (или вредност на функцијата).

Функциски домен f означува D(f ). Сетот кој се состои од сите броеви f(x ) (опсег на функции f), означете E(f).

Пример 1

Размислете за функцијатаЗа да најдете y за секоја вредност на x, мора да ги извршите следните операции: одземете го бројот 2 (x - 2) од вредноста на x, извадете го квадратниот корен на овој изрази на крајот додадете го бројот 3Множеството од овие операции (или законот според кој се бара вредноста y за секоја вредност на x) се нарекува функција y(x). На пример, за x = 6 наоѓамеТака, за да се пресмета функцијата y во дадена точка x, потребно е оваа вредност x да се замени со дадената функција y(x).

Очигледно, за дадена функција, за кој било дозволен број x, може да се најде само една вредност на y (односно, за секоја вредност на x одговара една вредност на y).

Сега да го разгледаме доменот на дефиниција и доменот на промена на оваа функција. Можно е да се извлече квадратниот корен на изразот (x - 2) само ако оваа вредност е ненегативна, т.е. x - 2 ≥ 0 или x ≥ 2. НајдетеБидејќи по дефиниција за аритметички корентогаш го додаваме бројот 3 на сите делови од оваа неравенка, добиваме:или 3 ≤ г< +∞. Находим

Рационалните функции често се користат во математиката. Во овој случај, функции на формата f(x ) = p(x) (каде што p(x) е полином) се нарекуваат цели рационални функции. Функции на формата(каде p(x) и q(x ) - полиноми) се нарекуваат дробно-рационални функции. Очигледно дропкасе дефинира ако именителот q(x ) не исчезнува. Според тоа, доменот на дефинирање на дробната рационална функција- множеството од сите реални броеви од кои се исклучени корените на полиномот q(x).

Пример 2

Рационална функцијадефинирано за x - 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2. Затоа, доменот на дефиниција на оваа функција е множеството од сите реални броеви кои не се еднакви на 2, т.е. унија на интервалите (-∞; 2) и (2; ∞).

Потсетиме дека унијата на множествата А и Б е множество кое се состои од сите елементи вклучени во барем едно од множествата А или Б. Унијата на множествата А и Б е означена со симболот АУ Б. Така, заедницата на отсечки и (3; 9) е интервал (интервали што не се пресечуваат) се означени со .

Враќајќи се на примерот, можеме да напишеме:Бидејќи за сите прифатливи вредности на x фракцијатане исчезнува, тогаш функцијата f(x ) ги зема сите вредности освен 3. Затоа

Пример 3

Да го најдеме доменот на дефиниција на дробната рационална функција

Именителот на дропките исчезнуваат при x = 2, x = 1 и x = -3. Затоа, доменот на дефиниција на оваа функција

Пример 4

Зависност повеќе не е функција. Навистина, ако сакаме да ја пресметаме вредноста на y, на пример, за x = 1, тогаш користејќи ја горната формула наоѓаме: y = 2 1 - 3 = -1, а со користење на долната формула добиваме: y = 12 + 1 = 2. Така, една вредност x(x = 1) одговараат на две вредности на y (y = -1 и y = 2). Затоа, оваа зависност (по дефиниција) не е функција.

Пример 5

Прикажани се графикони на две зависности y(x ). Ајде да одредиме која од нив е функција.

На сл. и даден е графикот на функцијата, бидејќи во која било точка x 0 одговара само една вредност y0. На сл. b е график на некаква зависност (но не и функција), бидејќи такви точки постојат (на пример, x 0 ), кои одговараат на повеќе од една вредност y (на пример, y1 и y2).

Сега да ги разгледаме главните начини на специфицирање на функциите.

1) Аналитички (со користење на формула или формули).

Пример 6

Ајде да ги погледнеме функциите:

И покрај неговата необична форма, овој однос дефинира и функција. За која било вредност на x лесно е да се најде вредноста на y. На пример, за x = -0,37 (бидејќи x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, тогаш го користиме долниот израз) имаме:Од методот на наоѓање y јасно е дека секоја вредност x одговара само на една вредност y.

в) 3x + y = 2y - x2. Да ја изразиме вредноста y од оваа врска: 3x + x2 = 2y - y или x2 + 3x = y. Така, оваа релација ја дефинира и функцијата y = x2 + 3x.

2) Табеларно

Пример 7

Ајде да напишеме табела со квадрати y за броевите x.

		2,25		6,25

Податоците од табелата дефинираат и функција - за секоја (дадена во табелата) вредност на x, може да се најде една вредност на y. На пример, y (1,5) = 2,25, y (5) = 25, итн.

3) Графички

Во правоаголен координатен систем, за да се прикаже функционалната зависност y(x), погодно е да се користи посебен цртеж - график на функцијата.

Дефиниција 2. График на функција y(x ) е збир на сите точки на координатниот систем, чии апсциси се еднакви на вредностите на независната променлива x, а ординатите се еднакви на соодветните вредности на зависната променлива y.

Врз основа на оваа дефиниција, сите парови точки (x0, y0) кои ја задоволуваат функционалната зависност y(x) се наоѓаат на графикот на функцијата. Сите други парови точки што не ја задоволуваат зависноста y(x ), функциите не лежат на графиконот.

Пример 8

Дадена функција Дали точката со координати припаѓа на графикот на оваа функција: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?

1. Најдете ја вредноста на функцијата y воБидејќи y(-2) = -6, тогаш точката A (-2; -6) припаѓа на графикот на оваа функција.

2. Определи ја вредноста на функцијата y приОд y (-3) = -11, тогаш точката B (-3; -10) не припаѓа на графикот на оваа функција.

Според овој график на функцијата y = f(x ) лесно е да се најде доменот на дефиницијаД(ѓ ) и опсегЕ(ѓ ) функции. За да го направите ова, точките на графиконот се проектираат на координатните оски. Тогаш апсцисите на овие точки го формираат доменот на дефиницијаД(ѓ ), ординати - опсег на вредностиЕ(ѓ).

Ајде да споредиме различни начини за дефинирање на функција. Аналитичкиот метод треба да се смета за најцелосен. Ви овозможува да креирате табела со вредности на функции за некои вредности на аргументите, да изградите график на функцијата и да го спроведете потребното истражување на функцијата. Во исто време, табеларниот метод ви овозможува брзо и лесно да ја пронајдете вредноста на функцијата за некои вредности на аргументите. Графикот на функцијата јасно го покажува нејзиното однесување. Затоа, не треба да се спротивставуваме на различните методи за одредување на функцијата, секој од нив има свои предности и недостатоци. Во пракса, се користат сите три начини на одредување на функцијата.

Пример 9

Дадена е функцијата y = 2x2 - 3x +1.

Да најдеме: а) y (2); б) y (-3x); в) y(x + 1).

За да се најде вредноста на функцијата за одредена вредност на аргументот, потребно е оваа вредност на аргументот да се замени во аналитичката форма на функцијата. Затоа добиваме:

Пример 10

Познато е дека y(3 - x) = 2x2 - 4. Да најдеме: а) y(x); б) y(-2).

а) Да го означиме со буквата z = 3, потоа x = 3 - z . Да ја замениме оваа вредност x во аналитичката форма на оваа функција y(3 - x) = 2x2 - 4 и да добиеме: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z) 2 - 4, или y (z) = 2 (3 - z) 2 - 4, или y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, или y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Бидејќи не е важно која буква е означен аргументот на функцијата - z, x, t или било кој друг, веднаш добиваме: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

б) Сега е лесно да се најде y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Пример 11

Познато е дека Ајде да најдеме x(y).

Да означиме со буквата z = x - 2, потоа x = z + 2, и запишете ја состојбата на проблемот:или До ќе го напишеме истиот услов за аргументот (- z): За погодност, воведуваме нови променливи a = y (z) и b = y (- z ). За такви променливи добиваме систем на линеарни равенки

Ние сме заинтересирани за непознатотоа.

За да го најдеме, го користиме методот на алгебарско собирање. Затоа, да ја помножиме првата равенка со бројот (-2), втората равенка со бројот 3. Добиваме:

Да ги додадеме овие равенки:каде Бидејќи аргументот на функцијата може да се означи со која било буква, имаме:

Како заклучок, забележуваме дека до крајот на 9-то одделение беа проучувани следниве својства и графикони:

а) линеарна функција y = kx +м (графикот е права линија);

б) квадратна функција y = ax2 +б x + c (графикон - парабола);

в) фракциона линеарна функција(графикон - хипербола), особено функции

г) функција на моќност y = xa (особено, функцијата

д) функции y = |x|.

За понатамошно проучување на материјалот, препорачуваме повторување на својствата и графиконите на овие функции. Следниве лекции ќе ги опфатат основните методи за конвертирање на графикони.

1. Дефинирајте нумеричка функција.

2. Објаснете како да дефинирате функција.

3. Што се нарекува унија на множества А иБ?

4. Кои функции се нарекуваат рационални цели броеви?

5. Кои функции се нарекуваат дробни рационални? Кој е доменот на дефинирање на таквите функции?

6. Што се нарекува график на функција f(x)?

7. Дајте ги својствата и графиконите на главните функции.

IV. Задача за лекција

§ 1, бр. 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (в); 7 (а, б); 8 (в, г); 10 (а ); 13 (в, г); 16 (а, б); 18.

V. Домашна задача

§ 1, бр. 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (g); 7 (в, г); 8 (а, б); 10 (б); 13 (а, б); 16 (в, г); 19.

VI. Креативни задачи

1. Најдете ја функцијата y = f(x), ако:

Одговори:

2. Најдете ја функцијата y = f(x) ако:

Одговори:

VII. Сумирајќи ги лекциите

Што е функција? Дефиниција. Кореспонденциите во кои секој елемент од едно множество е поврзан со еден елемент од друго множество се нарекуваат функции. Тие пишуваат: y = f(x), x Є X. Променливата x се нарекува независна променлива или аргумент. Множеството од сите дозволени вредности на независната променлива е доменот на функцијата и се означува D(y). Променливата y е зависна променлива. Множеството на сите вредности на зависната променлива е опсегот на вредностите на функцијата и се означува E(y).

Методи за одредување функција Постојат 4 начини за одредување функција. 1. Табеларен метод. Погодно е затоа што ви овозможува да ги најдете функционалните вредности на вредностите на аргументите достапни во табелата без пресметки. Х2345 У Аналитичка метода. Функцијата се одредува со една или повеќе формули. Овој метод е неопходен за проучување на функцијата и утврдување на нејзините својства. Y=2 x+5, y= x² -5 x+1, y= |x+5|. 3. Графички метод. Функцијата е специфицирана со нејзиниот геометриски модел на координатната рамнина. 4. Описен метод. Удобно е да се користи кога задачата е тешка на други начини.

§3 Својства на функцијата Монотоност: Зголемување; намалување на функцијата нули (вредности на аргументот во кој вредноста на Функцијата е еднаква на нула) континуитет периодичност парен непарен Екстреми: максимална точка, минимална конвексност на точка Најголеми и најмали вредности на функцијата Интервали на константен знак (интервали во кои функцијата зема само позитивни или само негативни вредности)

A. Функција од формата y=k/x, каде k 0, се нарекува обратна пропорционалност. Графикот на обратна пропорционалност (хипербола) се добива од графикот на функцијата y = 1/x со користење на истегнување (и со k

Функција y = |x| y=|x |= x ако x 0 -x ако x

0. O. Графикот на дробно-линеарна функција е хипербола добиена од графикот на обратна пропорционалност со помош на поместување." title=" Дробно-линеарна функција O. Функцијата на формата се нарекува фракционо-линеарна , каде што c>0. Графикон фракционо линеарна функција - хипербола добиена од графикот на обратна пропорционалност со помош на поместување." class="link_thumb"> 11 !}Дробно-линеарна функција O. Функцијата на формата се нарекува фракционо-линеарна, каде што c>0. О. Графикот на фракциона линеарна функција е хипербола добиена од графикот на обратна пропорционалност со помош на поместување. 0. О. График на линеарна дробна функција - хипербола добиена од график на обратна пропорционалност со помош на поместување."> 0. О. График на дробна линеарна функција - хипербола добиена од график на обратна пропорционалност со помош на поместување. "> 0. О. Графикот на дробно-линеарна функција е хипербола добиена од графикот на обратна пропорционалност со помош на поместување title="Дробно-линеарна функција O. Функцијата на формата се нарекува фракционална." -линеарна, каде што c>0. График на фракционо-линеарна функција - хипербола добиена од графикон на обратна пропорционалност со помош на поместување."> title="Дробно-линеарна функција O. Функцијата на формата се нарекува фракционо-линеарна, каде што c>0. О. Графикот на фракциона линеарна функција е хипербола добиена од графикот на обратна пропорционалност со помош на поместување."> !}

Наоѓање на доменот на функцијата

Множество вредности на функцијата 1.у= 2sin²x-cos2x Решение: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1 0 Sin²x 1, -1 4sin²x-1 3 Одговор: -1 y 3 2. y = |cosx| Решение: -1 cosx 1, 0 |cosx| 1, |cosx| 1 1 Одговор: -1 y 1 3. Функцијата е дадена со график. Обезбедете повеќе вредности за оваа функција. E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-;4]

Нумеричка функцијае функција чиј домен на дефиниција (аргументи) и опсег на вредности на функцијата се нумерички множества. , каде што , се нумерички множества.

Пример за нумеричка функција е зависноста на вашиот раст (вредност на функцијата) од времето (аргумент) (сл. 1).

Ориз. 1. График на функција на раст

Функцијата која на секој човек му ја доделува големината на чевлите не е нумеричка бидејќи нејзините аргументи не се бројки.

Како и сите други објекти, функциите обично се класифицираат за да ги направат поудобни за проучување. Запознаени сте со различни типови на функции: линеарни, квадратни, логаритамски итн. Ајде да ги погледнеме наједноставните функции - линеарни.

Равенка на линеарна функција: , и се некои броеви. Графикот е правилен (сл. 2).

Ориз. 2. Пример на график на линеарна функција

Зошто линеарната функција може да се нарече едноставна? Бидејќи неговиот график е права линија. Секоја невертикална права линија на координатната рамнина дефинира линеарна функција и обратно. Во геометријата, права линија е еден од наједноставните предмети.

Покрај тоа, често се среќаваме и користиме линеарни функции во животот. На пример, кога велиме дека автомобилот се движи со брзина од km/h. Тоа значи дека во првиот час ќе помине км, во вториот - км итн. Односно, истите промени во аргументот (времето) доведуваат до истата промена на функцијата (растојанието што го поминал автомобилот).

Дозволете ни да го опишеме движењето на автомобилот: нека биде почетната позиција , и во часови со постојана брзина ќе помине растојание. Тогаш позицијата на автомобилот во дадено време ќе се определи на следниот начин: , каде е аргументот на функцијата.

Оваа равенка опишува линеарна функција. Да земеме два моменти во времето и:

Гледаме дека промената на вредноста на функцијата е пропорционална со промената на вредноста на нејзиниот аргумент.

Линеарната функција е исто така важна бидејќи може да се користи за локално приближување (опишување) на други функции. На пример, ако земеме мал дел од графиконот (сл. 3) (сл. 4), ќе видиме дека е блиску до права линија.

Ориз. 3. График на функција

Ориз. 4. Дел од графиконот на сл. 3.

Откако го направивме ова за целата функција, добивме делумна линеарна функција (сл. 5). Сега можеме да го опишеме неговото однесување на секој линеарен дел.

Ориз. 5. Парчена линеарна функција

Едноставен пример за приближување на крива линија со помош на кратки прави отсечки се изучува во компјутерската наука на училиште: желка црта круг на овој начин во програмата LOGO. Јасно е дека е невозможно да се нацрта идеален круг на екранот: екранот има минимална ќелија (пиксел). Ние го нарекуваме точка, но сепак има одредена ширина и должина. И јасно е дека е невозможно да се нацрта мазен круг - всушност, резултатот ќе биде многу, многу точен, но сепак приближување.

Ако погледнеме фотографија на екранот, се чини дека линиите се мазни. Но, ако почнете да го зголемувате, тогаш порано или подоцна квадратите (пикселите) стануваат видливи (сл. 6).

Ориз. 6. Зголемување на фотографијата на екранот

Истото може да се види и во кругот што го нацрта желката. По зголемувањето, ќе стане забележливо дека она што е всушност нацртано не е круг, туку правилен n-аголник со доволно голема вредност (сл. 7).

Ориз. 7. Зголемена слика на круг

Во животот често го користиме овој метод. На пример, кога гледаме како птица лета, ние несвесно ја пресметуваме нејзината брзина и претпоставуваме дека таа ќе лета понатаму во права линија со иста брзина (сл. 8). Всушност, нашето предвидување може да се разликува од реалноста, но за краток временски период ќе биде сосема точно.

Ориз. 8. Илустрација на погрешна пресметка на положбата на птицата

Не сме единствените кои вршат ваков тип на анализа. Многу животни знаат и како да ги решат ваквите проблеми: на пример, кога жаба ќе фати комарец, мора да може да ја предвиди точката во која ќе биде за да има време да го исфрли јазикот.

За попрецизни мерења користиме попрецизни инструменти. За функциите, попрецизна алатка (во споредба со линеарна функција) е квадратната функција. Можеме да кажеме дека ова е следната најтешка функција.

Равенка на квадратна функција: , каде што и се некои броеви.

Графикот на квадратна функција е парабола (сл. 9).

Ориз. 9. Пример на график на квадратна функција

Користејќи ја квадратната функција, можеме попрецизно да ги приближиме функциите непознати за нас, и затоа да правиме попрецизни предвидувања.

Друг често сретнуван проблем поврзан со нумеричките функции: ги знаеме вредностите на функцијата во одредени точки, но треба да разбереме како функцијата се однесува помеѓу овие точки. На пример, имаме некои експериментални податоци (сл. 10).

Ориз. 10. Експериментални резултати

За да разбереме како се однесувала температурата на воздухот помеѓу означените точки, треба некако да претпоставиме како се однесува функцијата, бидејќи не можеме да направиме бесконечен број мерења. Може да се приближите линеарно (сл. 11, графикон А) или квадратно (сл. 11, графикон Б).

Ориз. 11. Линеарно и квадратно приближување

Таквите процеси се нарекуваат интерполација.

Задачата изгледа тешка: може да изгледа како да се раскажува со талог од кафе. Навистина, не знаеме како ќе се однесува функцијата помеѓу две означени точки. На пример, неговиот график може да изгледа вака (сл. 12).

Ориз. 12. „Неочекувано“ однесување на графикот на функцијата

Всушност, ние го реконструираме графикот на функцијата точка по точка користејќи некој модел: претпоставуваме дека функцијата е доволно мазна ако нема остри скокови во моделот (на пример, за време на експеримент). Тогаш со висок степен на веројатност можеме да кажеме дека графикот на функцијата изгледа како што е прикажано на сл. единаесет.

Квадратните и линеарните функции се обединети со фактот што тие се специфицирани со полином (има и други такви функции):

Покрај таквите функции, тие опишуваат различни процеси на физиката и биологијата, а исто така се изучуваат. Можете да ги поставите, да ги опишете нивните својства, да ги изградите нивните графикони и потоа да работите со нив. Таквите функции вклучуваат, на пример, експоненцијални, логаритамски и тригонометриски функции. Ќе зборуваме за нив во следните лекции.

Во 10-то одделение на часовите по алгебра како дел од едукативната содржина се одржува час на тема „Дефиниција и методи на одредување нумеричка функција“. Како и секоја друга лекција по математика, и оваа лекција бара внимателен избор на наставни помагала кои ќе ги задоволат принципите на јасност, доследност и пристапност. Оваа видео лекција, која е развиена од авторот за да им помогне на наставниците по математика да се подготват за часовите, ги исполнува сите овие принципи.

Видео лекција му олеснува на наставникот не само да се подготви за лекцијата, туку и самиот процес на учење, кој ќе се базира на видео емитувањето на материјалот. Наставникот може да земе такви видео лекции како основа, со што ќе развие кај учениците навика да го слушаат и разбираат материјалот првпат откако еднаш ќе го гледаат за време на емитувањето. Во исто време, наставникот сè уште ќе мора да работи напорно и да наоѓа задачи што ќе одговараат на темата на часот и степенот на образование на учениците.

На часовите по алгебра во 10-то одделение, учениците продолжуваат да го изучуваат материјалот со кој претходно биле запознаени, но во подлабока форма, а исто така почнуваат да се запознаваат со почетоците на математичката анализа. Визуелизацијата во такви лекции, особено во форматот на видео лекција, е едноставно неопходна. Покрај тоа, ги содржи само најважните работи и ништо излишно.

Лекцијата, која трае 5:03 минути, започнува со преглед на нумерички множества, каде што се покажува дека секој елемент од едно множество е поврзан со единствена вредност на елемент од друго множество. Така се воведува концептот на функција со нејзиниот домен на дефиниција. Овде авторот објаснува дека променливата x е независна променлива или аргумент, а променливата y, соодветно, е зависна променлива. Се воведува и означување на доменот на дефинирање на функцијата и неговиот опсег на вредности.

Потоа, авторот поставува проблем кој бара одговор на прашањето кои се различните начини за дефинирање на функцијата. За да се добие одговор на поставеното прашање, авторот предлага да се обрне внимание на следниов факт: функцијата се смета за дадена ако е одредено правило со кое вредноста на функцијата може да се пресмета за која било вредност на соодветната променлива. Така, авторот доаѓа до аналитички метод за одредување на функција. Потоа на екранот се појавуваат примери за доделување аналитички функции. Авторот исто така забележува дека параметарската спецификација на функцијата важи и за аналитичкиот метод. Покрај тоа, се привлекува внимание на фактот дека овој метод се смета за најчест. По ова, авторот ги забележува предностите и недостатоците на овој метод на одредување функција.

Следно, авторот преминува на следниот метод за одредување функција - графички. Заедно со дефиницијата, на екранот на сликата се појавува илустрација на овој метод. Авторот забележува дека овој метод е исто така доста вообичаен, особено во науката и технологијата. Инструментите се прикажани на екранот, каде графиконите играат важна улога. Следно, авторот објаснува што значи графички да се дефинира функција. Слично на претходниот метод, авторот ги забележува предностите на графичкиот метод и неговите недостатоци. Дополнително, се забележува дека овие два методи, имено, графичкиот и аналитичкиот, се надополнуваат еден со друг.

Потоа се разгледува табеларниот метод, каде што е прикажан пример. Потоа се забележуваат предностите и недостатоците на овој метод.

По разгледувањето на начините за дефинирање на функцијата, се објаснува во општиот случај кога функцијата се смета за дефинирана.

Ова ја завршува лекцијата. Но, вреди да се напомене дека објаснувањето на материјалот е изградено на јазик достапен за студентите. Авторот детално се задржува на оние точки кои се сметаат за најважни во оваа тема. Ова ќе им олесни на учениците да разберат што се зборува и каде да го применат.

ДЕКОДИРАЊЕ НА ТЕКСТ:

Малку историја

Патот до современото појавување на концептот на функција беше поставен во XVII век од француските научници Франсоа Виете и Рене Декарт; тие развија унифицирана азбучна математичка симболика, која набрзо доби универзално признание.

Во „Диференцијален калкулус“, објавен во 1755 година, Ојлер дава општа дефиниција за функцијата: „Кога одредени количини зависат една од друга на таков начин што кога вторите се менуваат, тие самите претрпуваат промена, тогаш првите се нарекуваат функција. на второто“.

Самиот збор „функција“ (од латинскиот функцио - нарачување, извршување) првпат го употребил германскиот математичар Лајбниц во шеснаесет седумдесет и три во писмо до Хајгенс (под функција тој подразбирал отсечка чија должина варира според некој конкретен закон). , во печатена форма ја воведе во илјада шестотини деведесет и четири. Почнувајќи од 1698 година, Лајбниц ги вовел и термините „променлива“ и „константа“.

Во XVIII век, се појави нов поглед на функцијата како формула која поврзува една променлива со друга. Ова е таканареченото аналитичко гледиште за концептот на функцијата.

Пристапот кон ваквата дефиниција првпат беше направен од

Швајцарскиот математичар Јохан Бернули.

Како се нарекува нумеричка функција?

Ако се даде множество на броеви x голема

и правилото еф, што ни овозможува да се совпаднеме

секој елемент x од множеството x голема

еднина игрек,

тогаш велат дека дадената функција е еднаква на ef од x

со домен x голема .

Променливата x е независна променлива или аргумент.

Променливата igrek е зависна променлива.

Доменот на дефиниција се означува со x големаили де од игрек

Опсег на вредности - голема играили е од igrek.

Кои начини постојат за да се дефинира функција?

За да одговорите на ова прашање,

Да обрнеме внимание на следниов факт: функцијата се смета за дадена ако е наведено правило според кое, од произволно избрана вредност на x што припаѓа на de од ef, може да се пресмета соодветната вредност на y. Најчесто ова правило е поврзано со една или неколку формула.

Овој метод на одредување на функција се нарекува аналитички. Ова исто така вклучува параметарски. Аналитичкиот метод е најчестиот, главен начин за одредување на функција во математиката.

Неговите предности: секогаш можете да ја пронајдете вредноста на функцијата со одредена точност и брзо. Недостатоци: невозможно е да се одреди природата на промената во функцијата користејќи ја формулата.

Графички метод- одредување на функција со помош на график. Се користи во науката и технологијата. Понекогаш графикот е единствениот достапен начин за одредување функција, на пример, кога се користат инструменти кои автоматски ги снимаат промените во една вредност во зависност од промените во друга (кардиограф, барограф, термограф, итн.)

Што значи графички да се определи функција?

Ова значи да се означи правилото со кое

права линија што минува низ која било точка (x) од дефинитивниот домен паралелно со оската на ординатите го пресекува графикот во една точка. Ординатата на точката ем е бројот ef од x, што одговара на избраната вредност на x. Така, на отсечката од a до b е дадена функцијата igr еднаква на ef од x.

Предноста на графичкиот метод е јасноста. Графикот веднаш покажува како се однесува функцијата, каде се зголемува. каде што се намалува. Можете исто така да дознаете некои важни карактеристики на функцијата.

Општо земено, аналитичките и графичките методи за одредување на функцијата се надополнуваат едни со други. Работата со формулата помага да се изгради графикон. А графикот често сугерира решенија кои не би ги забележале во формулата...

Табеларен метод

Овој метод е едноставна табела. Во него, секој x одговара на ( се става во согласност) некое значење на играта. Во првата линија ги пишуваме вредностите на аргументот. Втората линија ги содржи соодветните функционални вредности, на пример.

Единствената предност на табеларниот метод за одредување функција е тоа што не треба ништо да броите. Сè е веќе пресметано и запишано во табелата. Недостатоци:. не ја знаеме вредноста на функцијата за аргументот, кои ги нема во табелата.Во овој метод, таквите вредности на аргументи се едноставно не постои.Покрај тоа, не можеме да знаеме како функцијата се однесува надвор од табелата.

Вербален метод.

Правилото за одредување функција е опишано со зборови. На пример, функцијата игра е еднаква на три xможе да се специфицира со следниов вербален опис: Секоја реална вредност на аргументот x е поврзана со неговата тројна вредност.Правилото е воспоставено и, според тоа, функцијата е дефинирана. Методот на вербален опис е исклучително редок.

Така, функцијата се смета за дадена само ако постои закон за кореспонденција еден-на-еден помеѓу XИ игра. Може да се изрази на еден од следниве начини: формула, табела, график, зборови. Овој закон ви овозможува да ја одредите соодветната вредност на функцијата од вредноста на аргументот.

Нумеричка функцијаОваа кореспонденција помеѓу множество на броеви се нарекува Xи многу Рреални броеви, во кои секој број од множеството Xодговара на еден број од множество Р.Еден куп Xповикани домен на функцијата . Функциите се означени со букви f, g, hитн Ако ѓ– функција дефинирана на комплетот X, потоа реален број y,што одговара на бројот Xги има многу X, често се означува f(x)и пишувај
y = f(x).Променлива Xова се нарекува аргумент. Збир на броеви на формуларот f(x)повикани опсег на функции

Функцијата се одредува со формула. На пример , y = 2X - 2. Ако, при одредување на функција со помош на формула, нејзиниот домен на дефиниција не е означен, тогаш се претпоставува дека доменот на дефиниција на функцијата е домен на дефиниција на изразот f(x).

1. Се повикува функцијата монотоно на одреден интервал А, ако се зголемува или намалува на овој интервал

2. Се повикува функцијата се зголемува на одреден интервал А, ако за кој било број од нивното множество А е исполнет следниот услов: .

Графикот на растечка функција има посебна карактеристика: кога се движите по оската x од лево кон десно по интервалот Асе зголемуваат ординатите на графичките точки (сл. 4).

3. Се повикува функцијата се намалува во одреден интервал А, ако за некој број има многу од нив Ае исполнет условот: .

Графикот на функцијата што се намалува има посебна карактеристика: кога се движите по оската x од лево кон десно по интервалот Асе намалуваат ординатите на графичките точки (сл. 4).

4. Се повикува функцијата дури на некој сет X,ако е исполнет условот: .

Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската на ординатите (сл. 2).

5. Се повикува функцијата чудно на некој сет X,ако е исполнет условот: .

Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото (сл. 2).

6. Ако функцијата y = f(x)
f(x) f(x), тогаш велат дека функцијата y = f(x)прифаќа најмала вредност на =f(x)на X= x(Сл. 2, функцијата ја зема најмалата вредност во точката со координати (0;0)).

7. Ако функцијата y = f(x)е дефинирано на множеството X и постои такво што за која било неравенка f(x) f(x), тогаш велат дека функцијата y = f(x)прифаќа највисока вредност на =f(x)на X= x(Сл. 4, функцијата нема најголеми и најмали вредности) .

Ако за оваа функција y = f(x)сите наведени имоти се проучени, тогаш тоа го кажуваат проучувањефункции.

Граници.

Бројот A се нарекува граница на функцијата бидејќи x има тенденција кон ∞ ако за кое било E>0 постои δ (E)>0 така што за сите x ја задоволува неравенката |x|>δ неравенката |F(x) -А|

Бројот A се нарекува граница на функцијата бидејќи X се стреми кон X 0 ако за било кое E>0 постои δ (E)>0 така што за сите X≠X 0 ја задоволува неравенката |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

ЕДНОСТРАНИ ГРАНИЦИ.

При дефинирање на границата, X се стреми кон X0 на произволен начин, односно од која било насока. Кога X се стреми кон X0, така што секогаш е помал од X0, тогаш границата се нарекува граница на X0 лево. Или ограничување на левата страна. Слично е дефинирана границата од десната страна.