Својства на права линија во Евклидовата геометрија.

Низ која било точка може да се повлече бесконечен број прави линии.

Низ кои било две точки кои не се совпаѓаат може да се повлече една права линија.

Две дивергентни прави во рамнината или се сечат во една точка или се

паралелно (следи од претходниот).

Во тридимензионалниот простор, постојат три опции за релативна положба на две линии:

• линиите се сечат;

• линиите се паралелни;

• права линии се сечат.

Директно линија— алгебарска крива од прв ред: права линија во Декартовиот координатен систем

се дава на рамнината со равенка од прв степен (линеарна равенка).

Општа равенка на права линија.

Дефиниција. Секоја права линија на рамнината може да се определи со равенка од прв ред

Секира + Ву + С = 0,

и постојана А, Бне се еднакви на нула во исто време. Оваа равенка од прв ред се нарекува општо

равенка на права линија.Во зависност од вредностите на константите А, БИ СОСледниве посебни случаи се можни:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- низ потеклото минува права линија

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- права линија паралелна на оската О

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линија паралелна на оската ОУ

. B = C = 0, A ≠0- правата линија се совпаѓа со оската ОУ

. A = C = 0, B ≠0- правата линија се совпаѓа со оската О

Равенката на права линија може да биде претставена во различни форми во зависност од даденото

почетни услови.

Равенка на права линија од точка и нормален вектор.

Дефиниција. Во Декартов правоаголен координатен систем, вектор со компоненти (А, Б)

нормално на правата дадена со равенката

Секира + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права што минува низ точка A(1, 2)нормално на векторот (3, -1).

Решение. Со A = 3 и B = -1, да ја составиме равенката на права линија: 3x - y + C = 0. Да се ​​најде коефициентот C

Да ги замениме координатите на дадената точка А во добиениот израз Добиваме: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Вкупно: потребната равенка: 3x - y - 1 = 0.

Равенка на права што минува низ две точки.

Нека се дадени две точки во просторот M 1 (x 1 , y 1 , z 1)И M2 (x 2, y 2, z 2),Потоа равенка на права,

поминувајќи низ овие точки:

Ако некој од именителот е нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула. На

рамнина, равенката на правата линија напишана погоре е поедноставена:

Ако x 1 ≠ x 2И x = x 1, Ако x 1 = x 2 .

Дропка = kповикани наклон директно.

Пример. Најдете ја равенката на правата што минува низ точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Применувајќи ја формулата напишана погоре, добиваме:

Равенка на права линија со помош на точка и наклон.

Ако општата равенка на правата Секира + Ву + С = 0води до:

и назначи , тогаш се нарекува добиената равенка

равенка на права линија со наклон k.

Равенка на права линија од точка и вектор на насока.

По аналогија со точката што ја разгледува равенката на права линија низ нормалниот вектор, можете да ја внесете задачата

права линија низ точка и насочен вектор на права линија.

Дефиниција. Секој вектор без нула (α 1 , α 2), чии компоненти ја задоволуваат состојбата

Aα 1 + Bα 2 = 0повикани насочувачки вектор на права линија.

Секира + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока (1, -1) и минува низ точката A(1, 2).

Решение. Равенката на саканата линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0.Според дефиницијата,

коефициентите мора да ги исполнуваат следниве услови:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

на x = 1, y = 2добиваме C/A = -3, т.е. потребна равенка:

x + y - 3 = 0

Равенка на права линија во отсечки.

Ако во општата равенка на права линија Ах + Ву + С = 0 С≠0, тогаш, делејќи се со -С, добиваме:

или каде

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот a е координата на пресечната точка

право со оска О,А б- координата на точката на пресек на правата со оската ОУ.

Пример. Дадена е општата равенка на права линија x - y + 1 = 0.Најдете ја равенката на оваа права во отсечки.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Нормална равенка на права.

Ако двете страни на равенката Секира + Ву + С = 0подели со број кој се нарекува

нормализирачки фактор, тогаш добиваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормална равенка на права.

Знакот ± на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што μ*C< 0.

Р- должината на нормалната спуштена од почеток до права линија,

А φ - аголот формиран од оваа нормална со позитивната насока на оската О.

Пример. Дадена е општата равенка на правата 12x - 5y - 65 = 0. Потребно е за пишување различни типови равенки

оваа права линија.

Равенката на оваа права во отсечки:

Равенката на оваа линија со наклонот: (поделете со 5)

Равенка на права:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Треба да се забележи дека не секоја права линија може да биде претставена со равенка во отсечки, на пример, прави линии,

паралелно со оските или минува низ потеклото.

Аголот помеѓу прави линии на рамнина.

Дефиниција. Ако се дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, потоа акутниот агол помеѓу овие линии

ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2. Две прави се нормални

Ако k 1 = -1 / k 2 .

Теорема.

Директно Секира + Ву + С = 0И A 1 x + B 1 y + C 1 = 0паралелно кога коефициентите се пропорционални

A 1 = λA, B 1 = λB. Ако исто така С 1 = λС, тогаш линиите се совпаѓаат. Координати на точката на пресек на две прави

се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.

Равенката на права што минува низ дадена точка нормална на дадена права.

Дефиниција. Линија што минува низ точка M 1 (x 1, y 1)и нормално на правата y = kx + b

претставено со равенката:

Растојание од точка до права.

Теорема. Ако се даде поен M(x 0, y 0),потоа растојанието до права линија Секира + Ву + С = 0дефинирано како:

Доказ. Нека поентата M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикулар падна од точка Мза дадено

директно. Потоа растојанието помеѓу точките МИ М 1:

(1)

Координати x 1И во 1може да се најде како решение за системот на равенки:

Втората равенка на системот е равенката на права линија што минува низ дадена точка M 0 нормално

дадена права линија. Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Со 0 + C = 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенката (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Лекција од серијата „Геометриски алгоритми“

Здраво драг читател!

Денес ќе започнеме да учиме алгоритми поврзани со геометријата. Факт е дека има доста олимпијадни проблеми во компјутерската наука поврзани со пресметковната геометрија, а решавањето на таквите проблеми често предизвикува потешкотии.

Во текот на неколку лекции, ќе разгледаме голем број елементарни подзадачи на кои се заснова решавањето на повеќето проблеми во пресметковната геометрија.

Во оваа лекција ќе создадеме програма за наоѓање равенка на права, поминувајќи низ дадена две точки. За да решиме геометриски проблеми, ни треба одредено знаење за пресметковната геометрија. Дел од лекцијата ќе посветиме на запознавање со нив.

Увид од компјутерската геометрија

Пресметувачката геометрија е гранка на компјутерската наука која ги проучува алгоритмите за решавање на геометриски проблеми.

Почетните податоци за ваквите проблеми може да бидат збир точки на рамнина, множество отсечки, многуаголник (наведен, на пример, со список на неговите темиња по редослед на стрелките на часовникот) итн.

Резултатот може да биде или одговор на некое прашање (на пример, дали точката припаѓа на отсечка, дали се сечат две отсечки, ...), или некој геометриски објект (на пример, најмалиот конвексен полигон кој ги поврзува дадените точки, плоштината на многуаголник, итн.) .

Ќе ги разгледаме проблемите на пресметковната геометрија само на рамнината и само во Декартовиот координатен систем.

Вектори и координати

За да се применат методите на пресметковната геометрија, неопходно е геометриските слики да се преведат на јазикот на броевите. Ќе претпоставиме дека на рамнината и е даден Декартов координатен систем, во кој насоката на ротација спротивно од стрелките на часовникот се нарекува позитивна.

Сега геометриските објекти добиваат аналитички израз. Значи, за да се одреди точка, доволно е да се наведат нејзините координати: пар броеви (x; y). Сегмент може да се определи со специфицирање на координатите на неговите краеви, права линија може да се определи со одредување на координатите на пар од нејзините точки.

Но, нашата главна алатка за решавање проблеми ќе бидат вектори. Затоа, дозволете ми да се потсетам на некои информации за нив.

Линиски сегмент АБ, кој има поента Асе смета за почеток (точка на примена), а точка ВО– крај, наречен вектор АБи се означува со или или со задебелена мала буква, на пример А .

За да ја означиме должината на векторот (односно должината на соодветниот сегмент), ќе го користиме симболот на модулот (на пример, ).

Произволен вектор ќе има координати еднакви на разликата помеѓу соодветните координати на неговиот крај и почеток:

,

еве ги точките АИ Б имаат координати соодветно.

За пресметки ќе го користиме концептот ориентиран агол, односно агол кој ја зема предвид релативната положба на векторите.

Ориентиран агол помеѓу вектори а И б позитивно ако ротацијата е од векторот а до вектор б се изведува во позитивна насока (спротивно од стрелките на часовникот), а во другиот случај негативен. Видете Сл.1а, Сл.1б. Се вели и дека пар вектори а И б позитивно (негативно) ориентиран.

Така, вредноста на ориентираниот агол зависи од редоследот по кој се наведени векторите и може да земаат вредности во интервалот.

Многу проблеми во пресметковната геометрија го користат концептот на векторски (искривени или псевдоскаларни) производи на вектори.

Векторскиот производ на векторите a и b е производ од должините на овие вектори и синусот на аголот меѓу нив:

.

Вкрстен производ на вектори во координати:

Изразот на десната страна е детерминанта од втор ред:

За разлика од дефиницијата дадена во аналитичката геометрија, таа е скаларна.

Знакот на векторскиот производ ја одредува позицијата на векторите во однос на едни со други:

а И б позитивно ориентирани.

Ако вредноста е , тогаш пар вектори а И б негативно ориентирана.

Вкрстениот производ на ненулта вектори е нула ако и само ако се колинеарни ( ). Тоа значи дека лежат на иста линија или на паралелни линии.

Ајде да погледнеме неколку едноставни проблеми кои се неопходни при решавање на посложени.

Да ја одредиме равенката на права линија од координатите на две точки.

Равенка на права што минува низ две различни точки одредени со нивните координати.

Нека се дадени две точки кои не се совпаѓаат на права линија: со координати (x1; y1) и со координати (x2; y2). Според тоа, вектор со почеток во точка и крај во точка има координати (x2-x1, y2-y1). Ако P(x, y) е произволна точка на нашата права, тогаш координатите на векторот се еднакви на (x-x1, y – y1).

Користејќи го векторскиот производ, условот за колинеарност на вектори и може да се запише на следниов начин:

Оние. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Последната равенка ја препишуваме на следниов начин:

секира + со + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Значи, правата линија може да се определи со равенка од формата (1).

Задача 1. Дадени се координатите на две точки. Најдете го неговото претставување во форма ax + by + c = 0.

Во оваа лекција научивме некои информации за пресметковната геометрија. Ја решивме задачата да најдеме равенка на права од координати на две точки.

Во следната лекција, ќе создадеме програма за наоѓање на пресечната точка на две прави дадени со нашите равенки.

Општа равенка на права линија:

Посебни случаи на општата равенка на права линија:

и ако В= 0, равенката (2) ќе ја има формата

Секира + Од страна на = 0,

а правата дефинирана со оваа равенка минува низ потеклото, бидејќи координатите на потеклото се x = 0, y= 0 ја задоволува оваа равенка.

б) Ако во општата равенка на права линија (2) Б= 0, тогаш равенката добива форма

Секира + СО= 0, или .

Равенката не содржи променлива y, а правата линија дефинирана со оваа равенка е паралелна со оската Ој.

в) Ако во општата равенка на права линија (2) А= 0, тогаш оваа равенка ќе ја добие формата

Од страна на + СО= 0, или ;

равенката не содржи променлива x, а правата линија што ја дефинира е паралелна со оската Вол.

Треба да се запомни: ако права линија е паралелна со некоја координатна оска, тогаш во нејзината равенка не постои термин што содржи координата со истото име како оваа оска.

г) Кога В= 0 и А= 0 Равенката (2) ја зема формата Од страна на= 0, или y = 0.

Ова е равенката на оската Вол.

г) Кога В= 0 и Б= 0 равенката (2) ќе биде напишана во форма Секира= 0 или x = 0.

Ова е равенката на оската Ој.

Релативната положба на линиите на рамнина. Аголот помеѓу прави линии на рамнина. Услов за паралелни прави. Условот на перпендикуларност на правите.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Векторите S 1 и S 2 се нарекуваат водилки за нивните линии.

Аголот помеѓу прави линии l 1 и l 2 се одредува со аголот помеѓу векторите на насоката.
Теорема 1: cos на аголот помеѓу l 1 и l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Теорема 2:За да бидат еднакви 2 линии, потребно е и доволно:

Теорема 3:За 2 прави линии да бидат нормални потребно е и доволно:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Општа равенка на рамнина и нејзините посебни случаи. Равенка на рамнина во отсечки.

Општа равенка на рамнина:

Ax + By + Cz + D = 0

Посебни случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – рамнината минува низ почетокот

2. С=0 Ax+By+D = 0 – рамнина || ОЗ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – рамнина || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – рамнина || Вол

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – рамнината минува низ OX

6. B=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – рамнината минува низ OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – рамнината минува низ OZ

Релативната положба на рамнините и правите линии во просторот:

1. Аголот помеѓу прави линии во просторот е аголот помеѓу векторите на нивните правци.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. Аголот меѓу рамнините се одредува преку аголот меѓу нивните нормални вектори.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Косинусот на аголот помеѓу правата и рамнината може да се најде преку гревот на аголот помеѓу векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на рамнината.

4. 2 прави || во просторот кога нивните || векторски водичи

5. 2 авиони || кога || нормални вектори

6. Слично се воведени концептите за перпендикуларност на правите и рамнините.

Прашање бр.14

Различни видови равенки на права линија на рамнина (равенка на права линија во отсечки, со коефициент на агол итн.)

Равенка на права линија во отсечки:
Да претпоставиме дека во општата равенка на права линија:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – правата линија минува низ потеклото.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Равенка на права линија со наклон:

Секоја права линија што не е еднаква на оската на оп-засилувач (B не = 0) може да се запише во следната линија. форма:

k = tanα α – агол помеѓу права и позитивно насочена права OX

б – точка на пресек на правата линија со оската на оп-засилувачот

Документ:

Ax+By+C = 0

Ву= -Ах-С |:Б

Равенка на права линија заснована на две точки:

Прашање бр.16

Конечна граница на функција во точка и за x→∞

Крајна граница на x0:

Бројот A се нарекува граница на функцијата y = f(x) за x→x 0 ако за кое било E > 0 постои b > 0 така што за x ≠x 0 што ја задоволува неравенката |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Границата е означена со: = А

Крајна граница во точка +∞:

Бројот A се нарекува граница на функцијата y = f(x) на x → + ∞ , ако за кое било E > 0 постои C > 0 така што за x > C неравенката |f(x) - A|< Е

Границата е означена со: = А

Крајна граница во точка -∞:

Бројот A се нарекува граница на функцијата y = f(x) за x→-∞,ако за некој Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Равенка на права што минува низ две точки. Во статијата" " Ви ветив дека ќе го погледнете вториот начин за решавање на претставените проблеми за наоѓање на изводот, даден график на функција и тангента на овој график. Ќе разговараме за овој метод во , не пропуштајте! Зоштово следниот?

Факт е дека таму ќе се користи формулата за равенката на права линија. Се разбира, ние едноставно би можеле да ја покажеме оваа формула и да ве советуваме да ја научите. Но, подобро е да се објасни од каде доаѓа (како е изведен). Неопходно е! Ако го заборавите, можете брзо да го вратитенема да биде тешко. Сè е наведено подолу во детали. Значи, имаме две точки А на координатната рамнина(x 1;y 1) и B(x 2;y 2), се повлекува права линија низ наведените точки:

Еве ја самата директна формула:

*Односно, при замена на специфични координати на точки, добиваме равенка од формата y=kx+b.

**Ако едноставно ја „запаметите“ оваа формула, тогаш постои голема веројатност да се помешате со индексите кога X. Покрај тоа, индексите може да се назначат на различни начини, на пример:

Затоа е важно да се разбере значењето.

Сега изведбата на оваа формула. Сè е многу едноставно!

Триаголниците ABE и ACF се слични по остар агол (првиот знак за сличност на правоаголните триаголници). Од ова произлегува дека соодносите на соодветните елементи се еднакви, односно:

Сега едноставно ги изразуваме овие отсечки преку разликата во координатите на точките:

Се разбира, нема да има грешка ако ги напишете односите на елементите во различен редослед (главната работа е да се одржи конзистентност):

Резултатот ќе биде иста равенка на линијата. Ова е се!

Односно, без разлика како се означени самите точки (и нивните координати), со разбирање на оваа формула секогаш ќе ја најдете равенката на права линија.

Формулата може да се изведе со користење на својствата на векторите, но принципот на изведување ќе биде ист, бидејќи ќе зборуваме за пропорционалноста на нивните координати. Во овој случај, функционира истата сличност на правоаголните триаголници. Според мое мислење, заклучокот опишан погоре е појасен)).

Преглед на излезот преку векторски координати >>>

Нека се изгради права линија на координатната рамнина која минува низ две дадени точки A(x 1;y 1) и B(x 2;y 2). Да означиме произволна точка C на правата со координати ( x; y). Означуваме и два вектори:

Познато е дека за вектори кои лежат на паралелни прави (или на иста права), нивните соодветни координати се пропорционални, односно:

— ја запишуваме еднаквоста на односите на соодветните координати:

Ајде да погледнеме на пример:

Најдете ја равенката на права линија што минува низ две точки со координати (2;5) и (7:3).

Вие дури и не мора да ја изградите самата права линија. Ја применуваме формулата:

Важно е да ја сфатите кореспонденцијата при изготвувањето на односот. Не можете да погрешите ако напишете:

Одговор: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

За да бидете сигурни дека добиената равенка е пронајдена правилно, проверете - заменете ги координатите на податоците во состојбата на точките во неа. Равенките треба да бидат точни.

Тоа е се. Се надевам дека материјалот ви беше корисен.

Со почит, Александар.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Равенка на права линија на рамнина.
Векторот на насоката е правилен. Нормален вектор

Правата линија на рамнина е една од наједноставните геометриски фигури, позната ви од основно училиште, а денес ќе научиме како да се справиме со неа користејќи ги методите на аналитичка геометрија. За да го совладате материјалот, мора да бидете во можност да изградите права линија; знаете која равенка дефинира права линија, особено права линија што минува низ потеклото на координатите и прави паралелни со координатните оски. Оваа информација може да се најде во прирачникот Графикони и својства на елементарните функции, го создадов за Mathan, но делот за линеарната функција се покажа како многу успешен и детален. Затоа, драги чајници, прво загрејте се таму. Покрај тоа, треба да имате основни познавања за вектори, во спротивно разбирањето на материјалот ќе биде нецелосно.

Во оваа лекција ќе разгледаме начини на кои можете да креирате равенка на права линија на рамнина. Препорачувам да не се занемаруваат практичните примери (дури и да изгледаат многу едноставни), бидејќи ќе им дадам елементарни и важни факти, технички техники што ќе бидат потребни во иднина, вклучително и во другите делови од вишата математика.

• Како да се напише равенка на права линија со коефициент на агол?
• Како ?
• Како да се најде вектор на насока користејќи ја општата равенка на права линија?
• Како да се напише равенка на права линија дадена точка и нормален вектор?

и започнуваме:

Равенка на права линија со наклон

Се нарекува добро познатата „училишна“ форма на равенка на права линија равенка на права линија со наклон. На пример, ако со равенката е дадена права линија, тогаш нејзиниот наклон е: . Да го разгледаме геометриското значење на овој коефициент и како неговата вредност влијае на локацијата на линијата:

На курс по геометрија тоа е докажано наклонот на правата линија е еднаков на тангента на аголотпомеѓу насоката на позитивната оскаи оваа линија: , а аголот се „одвртува“ спротивно од стрелките на часовникот.

За да не го натрупувам цртежот, нацртав агли само за две прави линии. Да ја разгледаме „црвената“ линија и нејзиниот наклон. Според горенаведеното: (аголот „алфа“ е означен со зелен лак). За „сината“ права линија со коефициентот на аголот, еднаквоста е точно (аголот „бета“ е означен со кафеав лак). И ако тангентата на аголот е позната, тогаш ако е потребно лесно е да се најде и самиот аголкористејќи ја инверзната функција - арктангенс. Како што велат, тригонометриска табела или микрокалкулатор во ваши раце. Така, аголниот коефициент го карактеризира степенот на наклонетост на правата линија кон оската на апсцисата.

Можни се следниве случаи:

1) Ако наклонот е негативен: тогаш линијата, грубо кажано, оди од врвот до дното. Примери се правите линии „сини“ и „малини“ на цртежот.

2) Ако наклонот е позитивен: тогаш линијата оди од дното кон врвот. Примери - „црни“ и „црвени“ прави линии на цртежот.

3) Ако наклонот е нула: , тогаш равенката добива форма , а соодветната права линија е паралелна со оската. Пример е „жолтата“ права линија.

4) За фамилија на прави паралелни на оска (нема пример на цртежот, освен самата оска), аголниот коефициент не постои (тангента од 90 степени не е дефинирана).

Колку е поголем коефициентот на наклон во апсолутна вредност, толку е поостар графикот на права линија..

На пример, разгледајте две прави линии. Овде, значи, правата линија има поостра падина. Дозволете ми да ве потсетам дека модулот ви овозможува да го игнорирате знакот, само ние сме заинтересирани апсолутни вредностиаголни коефициенти.

За возврат, правата линија е поостра од правите линии .

Спротивно на тоа: колку е помал коефициентот на наклон во апсолутна вредност, толку е порамна правата линија.

За прави линии нееднаквоста е вистинита, така што правата линија е порамна. Детски тобоган, за да не си задавате модрици и испакнатини.

Зошто е ова потребно?

Продолжете го вашето мачење Познавањето на горенаведените факти ви овозможува веднаш да ги видите вашите грешки, особено грешките при конструирање графикони - ако цртежот се покаже дека „очигледно нешто не е во ред“. Препорачливо е дека вие веднашбеше јасно дека, на пример, правата линија е многу стрмна и оди од дното кон врвот, а правата е многу рамна, притисната блиску до оската и оди од врвот до дното.

Во геометриските проблеми, често се појавуваат неколку прави линии, па затоа е погодно да се назначат некако.

Ознаки: правите линии се означени со мали латински букви: . Популарна опција е да се назначат со користење на истата буква со природни претплати. На пример, петте линии што штотуку ги погледнавме може да се означат со .

Бидејќи секоја права линија е уникатно одредена со две точки, таа може да се означи со овие точки: итн. Ознаката јасно имплицира дека точките припаѓаат на линијата.

Време е малку да се загрееме:

Како да се напише равенка на права линија со коефициент на агол?

Ако точка која припаѓа на одредена права и аголниот коефициент на оваа права се познати, тогаш равенката на оваа права се изразува со формулата:

Пример 1

Напиши равенка на права линија со аголен коефициент ако се знае дека точката припаѓа на оваа права линија.

Решение: Ајде да ја составиме равенката на права линија користејќи ја формулата . Во овој случај:

Одговори:

Испитувањесе прави едноставно. Прво, ја гледаме добиената равенка и се уверуваме дека нашиот наклон е на место. Второ, координатите на точката мора да ја задоволуваат оваа равенка. Ајде да ги приклучиме во равенката:

Се добива точно еднаквост, што значи дека точката ја задоволува добиената равенка.

Заклучок: Равенката е пронајдена правилно.

Посложен пример за решавање самостојно:

Пример 2

Напишете равенка за права линија ако се знае дека нејзиниот агол на наклон кон позитивната насока на оската е , а точката припаѓа на оваа права линија.

Ако имате какви било тешкотии, повторно прочитајте го теоретскиот материјал. Поточно, попрактично, прескокнувам многу докази.

Заѕвони последното ѕвонче, заврши церемонијата на дипломирање, а пред портите на нашето родно училиште не очекува самата аналитичка геометрија. Шегите завршија... Или можеби тие само што почнуваат =)

Носталгично мавтаме со пенкалото кон познатото и се запознаваме со општата равенка на права линија. Бидејќи во аналитичката геометрија се користи токму ова:

Општата равенка на права линија има форма: , каде има некои бројки. Во исто време, коефициентите истовременоне се еднакви на нула, бидејќи равенката го губи своето значење.

Ајде да се облечеме во костум и да ја врземе равенката со коефициентот на наклон. Прво, да ги преместиме сите поими на левата страна:

Терминот со „Х“ мора да се стави на прво место:

Во принцип, равенката веќе ја има формата , но според правилата на математичката бонтон, коефициентот на првиот член (во овој случај) мора да биде позитивен. Промена на знаци:

Запомнете ја оваа техничка карактеристика!Првиот коефициент (најчесто) го правиме позитивен!

Во аналитичката геометрија, равенката на права линија речиси секогаш ќе биде дадена во општа форма. Па, доколку е потребно, лесно може да се сведе на „училишна“ форма со аголен коефициент (со исклучок на прави линии паралелни на оската на ординатите).

Да се ​​запрашаме што доволнознаете да изградите права линија? Две точки. Но, повеќе за овој инцидент од детството, сега владее со стрелките. Секоја права линија има многу специфичен наклон, на кој лесно се „прилагоди“. вектор.

Вектор кој е паралелен на права се нарекува вектор на насока на таа права. Очигледно е дека секоја права линија има бесконечен број на вектори на насока и сите ќе бидат колинеарни (ко-насочни или не - не е важно).

Векторот на насока ќе го означам на следниов начин: .

Но, еден вектор не е доволен за да се изгради права линија, векторот е слободен и не е врзан за ниту една точка на рамнината. Затоа, дополнително е неопходно да се знае некоја точка што припаѓа на линијата.

Како да се напише равенка на права линија користејќи точка и вектор на насока?

Ако се знае одредена точка што припаѓа на права и векторот на насоката на оваа права, тогаш равенката на оваа линија може да се состави со формулата:

Понекогаш се нарекува канонска равенка на правата .

Што да се прави кога една од координатитее еднакво на нула, ќе разбереме во практични примери подолу. Патем, забележете - и двете одеднашкоординатите не можат да бидат еднакви на нула, бидејќи нултиот вектор не одредува одредена насока.

Пример 3

Напишете равенка за права линија користејќи точка и вектор на насока

Решение: Ајде да ја составиме равенката на права линија користејќи ја формулата. Во овој случај:

Користејќи ги својствата на пропорцијата, се ослободуваме од фракциите:

И ја доведуваме равенката во нејзината општа форма:

Одговори:

Како по правило, нема потреба да се прави цртеж во такви примери, туку заради разбирање:

На цртежот ја гледаме почетната точка, оригиналниот вектор на насока (може да се нацрта од која било точка на рамнината) и конструираната права линија. Патем, во многу случаи најзгодно е да се изгради права линија користејќи равенка со аголен коефициент. Лесно е да се трансформира нашата равенка во форма и лесно да се избере друга точка за да се изгради права линија.

Како што беше забележано на почетокот на параграфот, права линија има бесконечно многу вектори на насока, и сите од нив се колинеарни. На пример, нацртав три такви вектори: . Без оглед на векторот на насоката што ќе го избереме, резултатот секогаш ќе биде иста равенка на права линија.

Ајде да создадеме равенка на права линија користејќи точка и вектор на насока:

Решавање на пропорцијата:

Поделете ги двете страни со –2 и добијте ја познатата равенка:

Заинтересираните можат да тестираат вектори на ист начин или кој било друг колинеарен вектор.

Сега да го решиме инверзниот проблем:

Како да се најде вектор на насока користејќи ја општата равенка на права линија?

Многу едноставно:

Ако правата е дадена со општа равенка во правоаголен координатен систем, тогаш векторот е векторот на насоката на оваа права.

Примери за наоѓање на вектори на правци:

Изјавата ни овозможува да најдеме само еден вектор на насока од бесконечен број, но не ни треба повеќе. Иако во некои случаи се препорачува да се намалат координатите на векторите на насоката:

Така, равенката одредува права линија која е паралелна со оската и координатите на добиениот векторот на насока се погодно поделени со –2, добивајќи го токму основниот вектор како вектор на насока. Логично.

Слично на тоа, равенката одредува права линија паралелна на оската, и со делење на координатите на векторот со 5, го добиваме единечниот вектор како вектор на насока.

Сега ајде да го направиме тоа проверка на Пример 3. Примерот отиде нагоре, па ве потсетувам дека во него ја составивме равенката на права линија користејќи вектор на точка и насока

Прво, користејќи ја равенката на правата линија, го реконструираме неговиот вектор на насока: – сè е во ред, го добивме оригиналниот вектор (во некои случаи резултатот може да биде колинеарен вектор на оригиналниот, а тоа обично лесно се забележува според пропорционалноста на соодветните координати).

Второ, координатите на точката мора да ја задоволуваат равенката. Ги заменуваме во равенката:

Добиена е правилна еднаквост, за што сме многу среќни.

Заклучок: Задачата е правилно завршена.

Пример 4

Напишете равенка за права линија користејќи точка и вектор на насока

Ова е пример за да го решите сами. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата. Многу е препорачливо да се провери користејќи го штотуку дискутираниот алгоритам. Обидете се секогаш (ако е можно) да проверувате нацрт. Глупаво е да се прават грешки каде што може 100% да се избегнат.

Во случај една од координатите на векторот на насоката да биде нула, постапете многу едноставно:

Пример 5

Решение: Формулата не е соодветна бидејќи именителот на десната страна е нула. Има излез! Користејќи ги својствата на пропорцијата, ја препишуваме формулата во форма, а остатокот се тркала по длабока рутина:

Одговори:

Испитување:

1) Вратете го насочувачкиот векторот на линијата:
– добиениот вектор е колинеарен со оригиналниот вектор на насока.

2) Заменете ги координатите на точката во равенката:

Се добива точната еднаквост

Заклучок: задачата е завршена правилно

Се поставува прашањето, зошто да се замарате со формулата ако постои универзална верзија која ќе функционира во секој случај? Постојат две причини. Прво, формулата е во форма на дропка многу подобро запаметен. И второ, недостаток на универзалната формула е тоа ризикот од збунетост значително се зголемувапри замена на координати.

Пример 6

Напишете равенка за права линија користејќи точка и вектор на насока.

Ова е пример за да го решите сами.

Да се ​​вратиме на сеприсутните две точки:

Како да се напише равенка на права линија користејќи две точки?

Ако се познати две точки, тогаш равенката на права линија што минува низ овие точки може да се состави со формулата:

Всушност, ова е еден вид формула и еве зошто: ако се познати две точки, тогаш векторот ќе биде векторот на насоката на дадената права. На лекцијата Вектори за куклиго разгледавме наједноставниот проблем - како да се најдат координатите на векторот од две точки. Според оваа задача, координатите на векторот на насоката се:

Забелешка : точките може да се „заменат“ и формулата може да се користи . Таквото решение ќе биде еквивалентно.

Пример 7

Напишете равенка на права линија користејќи две точки .

Решение: Ја користиме формулата:

Чешлање на именители:

И измешајте ја палубата:

Сега е време да се ослободите од дробните броеви. Во овој случај, треба да ги помножите двете страни со 6:

Отворете ги заградите и донесете ја равенката на ум:

Одговори:

Испитувањее очигледно - координатите на почетните точки мора да ја задоволат добиената равенка:

1) Заменете ги координатите на точката:

Вистинска еднаквост.

2) Заменете ги координатите на точката:

Вистинска еднаквост.

Заклучок: Равенката на правата е правилно напишана.

Ако барем еденод точките не ја задоволува равенката, барај грешка.

Вреди да се напомене дека графичката проверка во овој случај е тешка, бидејќи конструирајте права линија и видете дали точките припаѓаат на неа , не толку едноставно.

Ќе забележам уште неколку технички аспекти на решението. Можеби во овој проблем е попрофитабилно да се користи формулата за огледало и во истите точки направи равенка:

Помалку фракции. Ако сакате, можете да го спроведете решението до крај, резултатот треба да биде иста равенка.

Втората точка е да се погледне конечниот одговор и да се открие дали може дополнително да се поедностави? На пример, ако ја добиете равенката , тогаш препорачливо е да ја намалите за два: – равенката ќе ја дефинира истата права линија. Сепак, ова е веќе тема на разговор релативна положба на линиите.

Откако го доби одговорот во Пример 7, за секој случај, проверив дали СИТЕ коефициенти од равенката се деливи со 2, 3 или 7. Иако најчесто таквите намалувања се прават при решавањето.

Пример 8

Напишете равенка за права што минува низ точките .

Ова е пример за независно решение, кое ќе ви овозможи подобро да ги разберете и практикувате техниките за пресметување.

Слично на претходниот став: ако во формулата еден од именителот (координатата на векторот на насока) станува нула, а потоа го препишуваме во форма . Повторно, забележи колку таа изгледа непријатно и збунето. Не гледам многу смисла да давам практични примери, бидејќи ние всушност го решивме овој проблем (види бр. 5, 6).

Директен нормален вектор (нормален вектор)

Што е нормално? Со едноставни зборови, нормалата е нормална. Односно, нормалниот вектор на правата е нормален на дадена права. Очигледно, секоја права линија има бесконечен број од нив (како и вектори на насока), и сите нормални вектори на правата линија ќе бидат колинеарни (конасочни или не, нема разлика).

Справувањето со нив ќе биде уште полесно отколку со водечките вектори:

Ако правата е дадена со општа равенка во правоаголен координатен систем, тогаш векторот е нормалниот вектор на оваа права.

Ако координатите на векторот на насоката треба внимателно да се „извлечат“ од равенката, тогаш координатите на нормалниот вектор може едноставно да се „отстранат“.

Нормалниот вектор е секогаш ортогонален на векторот на насоката на правата. Дозволете ни да ја потврдиме ортогоналноста на овие вектори користејќи производ со точки:

Ќе дадам примери со истите равенки како за векторот на насока:

Дали е можно да се конструира равенка на права линија дадена една точка и нормален вектор? Го чувствувам тоа во стомакот, можно е. Ако нормалниот вектор е познат, тогаш насоката на самата права линија е јасно дефинирана - ова е „цврста структура“ со агол од 90 степени.

Како да се напише равенка на права линија дадена точка и нормален вектор?

Ако се знае одредена точка што припаѓа на права и нормалниот вектор на оваа права, тогаш равенката на оваа права се изразува со формулата:

Овде сè функционираше без фракции и други изненадувања. Ова е нашиот нормален вектор. Го сакам. И почит =)

Пример 9

Напиши равенка на права линија дадена точка и нормален вектор. Најдете го векторот на насоката на правата.

Решение: Ја користиме формулата:

Општата равенка на правата линија е добиена, ајде да провериме:

1) „Отстранете ги“ координатите на нормалниот вектор од равенката: – да, навистина, оригиналниот вектор е добиен од условот (или треба да се добие колинеарен вектор).

2) Ајде да провериме дали точката ја задоволува равенката:

Вистинска еднаквост.

Откако ќе се увериме дека равенката е правилно составена, ќе го завршиме вториот полесен дел од задачата. Го вадиме насочувачкиот вектор на права линија:

Одговори:

На цртежот ситуацијата изгледа вака:

За целите на обуката, слична задача за самостојно решавање:

Пример 10

Напиши равенка на права линија дадена точка и нормален вектор. Најдете го векторот на насоката на правата.

Последниот дел од лекцијата ќе биде посветен на поретки, но и важни типови равенки на права на рамнина

Равенка на права линија во отсечки.
Равенка на права во параметарска форма

Равенката на права линија во отсечки има форма , каде што се ненула константи. Некои видови равенки не можат да се претстават во оваа форма, на пример, директна пропорционалност (бидејќи слободниот член е еднаков на нула и не постои начин да се добие еден на десната страна).

Ова е, фигуративно кажано, „технички“ тип на равенка. Вообичаена задача е да се претстави општата равенка на права како равенка на права во отсечки. Како е погодно? Равенката на права во отсечки ви овозможува брзо да ги пронајдете точките на пресек на правата со координатни оски, што може да биде многу важно во некои проблеми од вишата математика.

Да ја најдеме точката на пресек на правата со оската. Го ресетираме „y“ на нула, а равенката добива форма . Посакуваната точка се добива автоматски: .

Исто и со оската – точката во која правата линија ја пресекува оската на ординатите.