Апликација

Решавање на секаков вид равенки онлајн на страницата за студенти и ученици за консолидирање на изучениот материјал.. Решавање равенки онлајн. Равенки онлајн. Постојат алгебарски, параметарски, трансцендентални, функционални, диференцијални и други типови на равенки. форма на формула, која може да вклучува параметри. Аналитичките изрази овозможуваат не само да се пресметаат корените, туку и да се анализира нивното постоење и нивната количина во зависност од вредностите на параметрите, што е често дури и поважно за практична употреба од специфичните вредности на корените. Решавање равенки онлајн.. Равенки онлајн. Решавањето на равенката е задача да се најдат такви вредности на аргументите со кои се постигнува оваа еднаквост. На можните вредности на аргументите може да се наметнат дополнителни услови (цел број, реален, итн.). Решавање равенки онлајн.. Равенки онлајн. Равенката можете да ја решите онлајн веднаш и со голема точност на резултатот. Аргументите на одредени функции (понекогаш наречени „променливи“) се нарекуваат „непознати“ во случај на равенка. Вредностите на непознатите со кои се постигнува оваа еднаквост се нарекуваат решенија или корени на оваа равенка. Се вели дека корените ја задоволуваат оваа равенка. Решавањето на равенката онлајн значи наоѓање на множеството од сите негови решенија (корени) или докажување дека нема корени. Решавање равенки онлајн.. Равенки онлајн. Равенките чии множества корени се совпаѓаат се нарекуваат еквивалентни или еднакви. Равенките кои немаат корени исто така се сметаат за еквивалентни. Еквивалентноста на равенките има својство на симетрија: ако една равенка е еквивалентна на друга, тогаш втората равенка е еквивалентна на првата. Еквивалентноста на равенките има својство на транзитивност: ако една равенка е еквивалентна на друга, а втората е еквивалентна на трета, тогаш првата равенка е еквивалентна на третата. Својството на еквивалентност на равенките ни овозможува да извршиме трансформации со нив, на кои се засноваат методите за нивно решавање. Решавање равенки онлајн.. Равенки онлајн. Веб-страницата ќе ви овозможи да ја решите равенката онлајн. Равенките за кои се познати аналитички решенија вклучуваат алгебарски равенки не повисоки од четвртиот степен: линеарна равенка, квадратна равенка, кубна равенка и равенка од четврти степен. Алгебарските равенки од повисоки степени во општиот случај немаат аналитичко решение, иако некои од нив може да се сведат на равенки од пониски степени. Равенките кои вклучуваат трансцендентални функции се нарекуваат трансцендентални. Меѓу нив, познати се аналитички решенија за некои тригонометриски равенки, бидејќи нулите на тригонометриските функции се добро познати. Во општиот случај, кога не може да се најде аналитичко решение, се користат нумерички методи. Нумеричките методи не даваат точно решение, туку само дозволуваат да се стесни интервалот во кој лежи коренот до одредена однапред одредена вредност. Решавање равенки онлајн.. Равенки онлајн.. Наместо равенка онлајн, ќе замислиме како истиот израз формира линеарна врска, не само по права тангента, туку и на самата точка на флексија на графикот. Овој метод е незаменлив во секое време при проучувањето на предметот. Често се случува решавањето на равенките да се приближи до крајната вредност со користење на бесконечни броеви и пишување вектори. Неопходно е да се проверат првичните податоци и ова е суштината на задачата. Во спротивно, локалната состојба се претвора во формула. Инверзија во права линија од дадена функција, која калкулаторот на равенките ќе ја пресмета без многу одложување во извршувањето, поместувањето ќе послужи како привилегија на просторот. Ќе зборуваме за успехот на учениците во научната средина. Сепак, како и сите горенаведени, тоа ќе ни помогне во процесот на наоѓање и кога целосно ќе ја решите равенката, добиениот одговор складирајте го на краевите на правата отсечка. Прави во просторот се сечат во точка и оваа точка се нарекува пресечена со правите. Интервалот на линијата е означен како што е претходно наведено. Ќе биде објавен највисокиот пост за изучување математика. Доделувањето вредност на аргументот од параметарски одредена површина и решавањето на равенката онлајн ќе може да ги опише принципите на продуктивен пристап до функцијата. Лентата Möbius, или како што се нарекува бесконечност, изгледа како бројка осум. Ова е еднострана површина, а не двострана. Според принципот општо познат на сите, објективно ќе ги прифатиме линеарните равенки како основна ознака како што е во областа на истражувањето. Само две вредности на последователно дадени аргументи можат да ја откријат насоката на векторот. Претпоставувајќи дека друго решение за онлајн равенките е многу повеќе од само решавање, значи како резултат да се добие полноправна верзија на непроменливата. Без интегриран пристап, на студентите им е тешко да го научат овој материјал. Како и досега, за секој посебен случај, нашиот удобен и паметен онлајн калкулатор за равенки ќе им помогне на сите во тешки времиња, бидејќи само треба да ги наведете влезните параметри и самиот систем ќе го пресмета одговорот. Пред да започнеме со внесување податоци, ќе ни треба алатка за внесување, која може да се направи без многу потешкотии. Бројот на секоја проценка на одговорот ќе доведе до квадратна равенка на нашите заклучоци, но тоа не е толку лесно да се направи, бидејќи е лесно да се докаже спротивното. Теоријата, поради своите карактеристики, не е поткрепена со практично знаење. Гледањето калкулатор на дропка во фазата на објавување на одговорот не е лесна задача во математиката, бидејќи алтернативата за пишување број на множество помага да се зголеми растот на функцијата. Сепак, би било некоректно да не се зборува за обука на студенти, па затоа секој ќе кажеме онолку колку што треба да се направи. Претходно пронајдената кубна равенка со право ќе припаѓа на доменот на дефиниција и ќе го содржи просторот на нумерички вредности, како и симболични променливи. Откако ја научиле или меморирале теоремата, нашите студенти ќе се покажат само најдобро, а ние ќе бидеме среќни за нив. За разлика од пресеците на повеќе полиња, нашите онлајн равенки се опишани со рамнина на движење со множење на две и три нумерички комбинирани линии. Множеството во математиката не е единствено дефинирано. Најдоброто решение, според учениците, е целосно снимање на изразот. Како што беше кажано на научниот јазик, апстракцијата на симболичките изрази не влегува во состојбата на работите, но решението на равенките дава недвосмислен резултат во сите познати случаи. Времетраењето на часот на наставникот зависи од потребите за овој предлог. Анализата ја покажа потребата од сите пресметковни техники во многу области, и апсолутно е јасно дека калкулаторот за равенки е незаменлива алатка во надарените раце на студентот. Лојалниот пристап кон изучувањето на математиката ја одредува важноста на погледите од различни правци. Сакате да идентификувате една од клучните теореми и да ја решите равенката на таков начин, во зависност од чиј одговор ќе има дополнителна потреба од нејзина примена. Анализата во оваа област добива на интензитет. Да почнеме од почеток и да ја изведеме формулата. Откако ќе го пробие нивото на зголемување на функцијата, правата долж тангентата во точката на флексија секако ќе доведе до фактот дека решавањето на равенката онлајн ќе биде еден од главните аспекти во конструирањето на истиот график од аргументот на функцијата. Аматерски пристап има право да се примени доколку овој услов не е во спротивност со заклучоците на студентите. Токму подзадачата ја става анализата на математичките услови како линеарни равенки во постојниот домен на дефиниција на објектот што се става во позадина. Пребивањето во насока на ортогоналност ја поништува предноста на една апсолутна вредност. Модуло за решавање равенки онлајн дава ист број решенија ако ги отворите заградите прво со знак плус, а потоа со знак минус. Во овој случај, ќе има двојно повеќе решенија, а резултатот ќе биде попрецизен. Стабилен и правилен онлајн калкулатор за равенки е успех во постигнувањето на зацртаната цел во задачата поставена од наставникот. Се чини дека е можно да се избере вистинскиот метод поради значајните разлики во ставовите на големите научници. Добиената квадратна равенка ја опишува кривата на правите, таканаречената парабола, а знакот ќе ја одреди нејзината конвексност во квадратниот координатен систем. Од равенката ја добиваме и дискриминантната и самите корени според теоремата на Виета. Првиот чекор е да се претстави изразот како правилна или неправилна дропка и да се користи калкулатор за дропка. Во зависност од ова, ќе се формира планот за нашите понатамошни пресметки. Математиката со теоретски пристап ќе биде корисна во секоја фаза. Дефинитивно ќе го претставиме резултатот како кубна равенка, бидејќи ќе ги скриеме неговите корени во овој израз за да ја поедноставиме задачата за студент на универзитет. Сите методи се добри ако се погодни за површна анализа. Дополнителни аритметички операции нема да доведат до грешки во пресметката. Го определува одговорот со дадена точност. Користејќи го решението на равенките, да се разбереме - наоѓањето на независна променлива на дадена функција не е толку лесно, особено за време на периодот на проучување на паралелни прави во бесконечност. Со оглед на исклучокот, потребата е многу очигледна. Разликата во поларитетот е јасна. Од искуството на предавање на институтите, нашиот наставник ја научи главната лекција во која онлајн равенките се изучуваат во целосна математичка смисла. Овде зборувавме за повисоки напори и посебни вештини во примената на теоријата. Во корист на нашите заклучоци, не треба да се гледа низ призма. До неодамна, се веруваше дека затвореното множество брзо се зголемува над регионот каков што е и решението на равенките едноставно треба да се истражи. Во првата фаза, не ги разгледавме сите можни опции, но овој пристап е пооправдан од кога било. Дополнителните дејства со загради оправдуваат одреден напредок по должината на оските на ординатите и апсцисата, што не може да се пропушти со голо око. Во смисла на екстензивно пропорционално зголемување на функцијата, постои точка на флексија. Уште еднаш ќе докажеме како потребниот услов ќе се применува низ целиот интервал на намалување на една или друга опаѓачка позиција на векторот. Во ограничен простор, ќе избереме променлива од почетниот блок на нашата скрипта. Систем конструиран како основа долж три вектори е одговорен за отсуството на главниот момент на сила. Сепак, калкулаторот за равенки генерирал и помогнал во пронаоѓањето на сите поими на конструираната равенка, и над површината и по паралелни линии. Ајде да нацртаме круг околу почетната точка. Така, ќе почнеме да се движиме нагоре по линиите на пресекот, а тангентата ќе го опише кругот по целата должина, што ќе резултира со крива наречена инволут. Патем, да раскажеме малку историја за оваа крива. Факт е дека историски во математиката не постоел концепт на самата математика во нејзиното чисто разбирање како што е денес. Претходно, сите научници беа ангажирани во една заедничка задача, односно наука. Подоцна, неколку векови подоцна, кога научниот свет беше исполнет со огромна количина на информации, човештвото сепак идентификуваше многу дисциплини. Тие сè уште остануваат непроменети. А сепак, секоја година, научниците ширум светот се обидуваат да докажат дека науката е неограничена и дека нема да ја решите равенката доколку немате познавање од природните науки. Можеби не е можно конечно да се стави крај на тоа. Размислувањето за ова е исто толку бесмислено како и загревањето на воздухот надвор. Да го најдеме интервалот во кој аргументот, ако неговата вредност е позитивна, ќе го одреди модулот на вредноста во нагло растечка насока. Реакцијата ќе ви помогне да најдете најмалку три решенија, но ќе треба да ги проверите. Да почнеме со фактот дека треба да ја решиме равенката онлајн користејќи ја уникатната услуга на нашата веб-страница. Да ги внесеме двете страни на дадената равенка, да кликнете на копчето „РЕШИРАЈ“ и да го добиеме точниот одговор за само неколку секунди. Во посебни случаи, да земеме книга за математика и да го провериме повторно нашиот одговор, имено, погледнете го само одговорот и сè ќе стане јасно. Истиот проект за вештачки вишок паралелепипед ќе излета. Постои паралелограм со неговите паралелни страни, и тој објаснува многу принципи и пристапи за проучување на просторната врска на растечкиот процес на акумулирање на шуплив простор во формули природна форма. Двосмислените линеарни равенки ја покажуваат зависноста на саканата променлива од нашето општо решение во дадено време, и мора некако да ја изведеме и да ја доведеме несоодветната дропка во нетривијален случај. Обележете десет точки на правата линија и нацртајте крива низ секоја точка во дадената насока, со конвексната точка нагоре. Без никакви посебни тешкотии, нашиот калкулатор за равенки ќе прикаже израз во таква форма што неговата проверка за валидноста на правилата ќе биде очигледна уште на почетокот на снимањето. Системот на специјални претстави на стабилност за математичарите е на прво место, освен ако поинаку не е предвидено со формулата. На ова ќе одговориме со детална презентација на извештај на тема изоморфна состојба на пластичен систем на тела и решавање равенки онлајн ќе го опише движењето на секоја материјална точка во овој систем. На ниво на длабинско истражување, ќе биде неопходно детално да се разјасни прашањето за инверзии на барем долниот слој на просторот. Подигнувајќи се во делот каде функцијата е дисконтинуирана, ќе го примениме општиот метод на одличен истражувач, патем, наш соселанец, а подолу ќе кажеме за однесувањето на авионот. Поради силните карактеристики на аналитички дефинираната функција, ние го користиме само онлајн калкулаторот за равенки за неговата намена во рамките на изведените граници на авторитет. Расудувајќи понатаму, нашиот преглед ќе го фокусираме на хомогеноста на самата равенка, односно нејзината десна страна е еднаква на нула. Уште еднаш да се увериме дека нашата одлука по математика е точна. За да избегнеме да добиеме тривијално решение, ќе направиме одредени прилагодувања на почетните услови за проблемот со условната стабилност на системот. Ајде да создадеме квадратна равенка, за која запишуваме два записи користејќи добро позната формула и ги наоѓаме негативните корени. Ако еден корен е пет единици поголем од вториот и третиот корен, тогаш со правење промени во главниот аргумент ги искривуваме почетните услови на подзадачата. По својата природа, нешто необично во математиката секогаш може да се опише до најблиската стотинка од позитивниот број. Калкулаторот на фракции е неколку пати супериорен во однос на неговите аналози на слични ресурси во најдобриот момент на вчитување на серверот. На површината на векторот на брзина што расте по должината на оската на ординатите, цртаме седум линии, свиткани во насоки спротивни една на друга. Споредливоста на аргументот на доделената функција е пред отчитувањата на бројачот на билансот за обновување. Во математиката, оваа појава можеме да ја претставиме преку кубна равенка со имагинарни коефициенти, како и во биполарната прогресија на линиите што се намалуваат. Критичните точки на температурната разлика во многу од нивното значење и прогресија го опишуваат процесот на разградување на сложена фракциона функција на фактори. Ако ви кажат да решите равенка, не брзајте да го направите тоа веднаш, дефинитивно прво проценете го целиот акционен план и дури потоа преземете го вистинскиот пристап. Бенефиции секако ќе има. Очигледна е леснотијата на работа, а истото важи и за математиката. Решете ја равенката онлајн. Сите онлајн равенки претставуваат одреден тип на запис на броеви или параметри и променлива што треба да се одреди. Пресметајте ја оваа променлива, односно пронајдете специфични вредности или интервали на збир на вредности на кои ќе се задржи идентитетот. Почетните и крајните услови директно зависат. Општото решение на равенките обично вклучува некои променливи и константи, со поставување на кои ќе добиеме цели фамилии решенија за дадена задача. Генерално, ова ги оправдува вложените напори за зголемување на функционалноста на просторна коцка со страна еднаква на 100 сантиметри. Можете да примените теорема или лема во која било фаза од конструирањето на одговорот. Веб-страницата постепено произведува калкулатор за равенки доколку е неопходно да се прикаже најмалата вредност на кој било интервал на сумирање на производите. Во половина од случаите, таквата топка, бидејќи е шуплива, повеќе не ги исполнува условите за поставување среден одговор. Барем на оската на ординатите во насока на намалување на векторското претставување, оваа пропорција несомнено ќе биде пооптимална од претходниот израз. Во часот кога ќе се изврши целосна анализа на точки на линеарни функции, ние, всушност, ќе ги собереме сите наши сложени броеви и биполарни рамни простори. Со замена на променлива во добиениот израз, ќе ја решите равенката чекор по чекор и ќе го дадете најдеталниот одговор со голема точност. Би било добра форма од страна на ученикот уште еднаш да ги провери своите постапки по математика. Пропорцијата во односот на фракциите го забележа интегритетот на резултатот во сите важни области на активност на нултиот вектор. Тривијалноста се потврдува на крајот од завршените дејства. Со едноставна задача, учениците можеби нема да имаат никакви потешкотии ако ја решат равенката онлајн во најкус можен рок, но не заборавајте на сите различни правила. Збир од подмножества се сечат во регион на конвергентна нотација. Во различни случаи, производот не е погрешно факторизиран. Ќе ви биде помогнато да ја решите равенката онлајн во нашиот прв дел, посветен на основите на математичките техники за важни делови за студенти на универзитетите и техничките факултети. Нема да мора да чекаме неколку дена за одговори, бидејќи процесот на најдобрата интеракција на векторска анализа со секвенцијално наоѓање решенија беше патентиран на почетокот на минатиот век. Излегува дека напорите за воспоставување односи со околниот тим не биле залудни, очигледно, прво било потребно нешто друго. Неколку генерации подоцна, научниците ширум светот ги натераа луѓето да веруваат дека математиката е кралица на науките. Без разлика дали се работи за левиот или десниот одговор, сепак, исцрпните поими мора да се напишат во три реда, бидејќи во нашиот случај дефинитивно ќе зборуваме само за векторска анализа на својствата на матрицата. Нелинеарните и линеарните равенки, заедно со биквадратичните равенки, заземаа посебно место во нашата книга за најдобрите методи за пресметување на траекторијата на движење во просторот на сите материјални точки на затворен систем. Линеарна анализа на скаларниот производ на три последователни вектори ќе ни помогне да ја оживееме идејата. На крајот од секоја изјава, задачата се олеснува со имплементирање на оптимизирани нумерички исклучоци низ преклопувањата на просторот за броеви што се извршуваат. Различно расудување нема да го спротивстави најдениот одговор во произволна форма на триаголник во круг. Аголот помеѓу два вектори го содржи потребниот процент на маргина, а решавањето равенки онлајн често открива одреден заеднички корен на равенката за разлика од почетните услови. Исклучокот ја игра улогата на катализатор во целиот неизбежен процес на изнаоѓање позитивно решение во областа на дефинирање на функцијата. Ако не е кажано дека не можете да користите компјутер, тогаш онлајн калкулаторот за равенки е вистинскиот за вашите тешки проблеми. Вие само треба да ги внесете вашите условни податоци во правилен формат и нашиот сервер ќе издаде целосен резултат на одговор во најкус можен рок. Експоненцијалната функција се зголемува многу побрзо од линеарната. Талмудите на паметната библиотечна литература сведочат за тоа. Ќе изврши пресметка во општа смисла како што би направила дадена квадратна равенка со три сложени коефициенти. Параболата во горниот дел на полурамнината го карактеризира праволиниското паралелно движење по оските на точката. Овде вреди да се спомене потенцијалната разлика во работниот простор на телото. За возврат за неоптимален резултат, нашиот калкулатор на фракции со право ја зазема првата позиција во математичката оцена на прегледот на функционалните програми на страната на серверот. Леснотијата на користење на оваа услуга ќе ја ценат милиони корисници на Интернет. Ако не знаете како да го користите, со задоволство ќе ви помогнеме. Исто така, особено би сакале да ја забележиме и истакнеме кубната равенка од голем број задачи во основното училиште, кога е неопходно брзо да се најдат нејзините корени и да се конструира график на функцијата на рамнина. Повисоките степени на репродукција се еден од сложените математички проблеми на институтот и за негово изучување се издвојуваат доволен број часови. Како и сите линеарни равенки, нашите не се исклучок според многу објективни правила од различни гледни точки, и излегува дека е едноставно и доволно за да се постават почетните услови. Интервалот на зголемување се совпаѓа со интервалот на конвексност на функцијата. Решавање равенки онлајн. Студијата на теоријата се заснова на онлајн равенки од бројни делови за проучување на главната дисциплина. Во случај на овој пристап во неизвесни проблеми, многу е едноставно да се претстави решението на равенките во однапред одредена форма и не само да се извлечат заклучоци, туку и да се предвиди исходот од такво позитивно решение. Услугата во најдобрите традиции на математиката ќе ни помогне да ја научиме предметната област, исто како што е вообичаено на Исток. Во најдобрите моменти од временскиот интервал, слични задачи се множеле со заеднички фактор од десет. Изобилството на множење на повеќе променливи во калкулаторот за равенки почна да се множи со квалитет, а не со квантитативни променливи како што се масата или телесната тежина. Со цел да се избегнат случаи на нерамнотежа на материјалниот систем, изведбата на тродимензионален трансформатор на тривијалната конвергенција на недегенерирани математички матрици ни е сосема очигледна. Завршете ја задачата и решете ја равенката во дадените координати, бидејќи заклучокот е однапред непознат, како и сите променливи вклучени во пост-просторното време. За кратко време, извадете го заедничкиот фактор од заградите и однапред поделете ги двете страни со најголемиот заеднички фактор. Од под добиеното опфатено подмножество броеви, извадете на детален начин триесет и три точки по ред во краток период. До степен до кој е можно секој студент да реши равенка онлајн на најдобар можен начин, гледајќи напред, да речеме една важна, но клучна работа, без која ќе биде тешко да се живее во иднина. Во минатиот век, големиот научник забележал голем број шеми во теоријата на математиката. Во пракса, резултатот не беше сосема очекуваниот впечаток од настаните. Меѓутоа, во принцип, токму ова решение на равенките онлајн помага да се подобри разбирањето и перцепцијата на холистичкиот пристап кон проучувањето и практичното консолидирање на теоретскиот материјал што го покриваат студентите. Многу е полесно да го направите ова за време на вашето студирање.

=

За да решите проблеми со сложени броеви, треба да ги разберете основните дефиниции. Главната цел на овој напис за преглед е да објасни што се сложени броеви и да претстави методи за решавање на основни проблеми со сложени броеви. Значи, комплексен број ќе се нарече број на формата z = a + bi, Каде а, б- реални броеви, кои се нарекуваат реални и имагинарни делови на сложен број, соодветно, и означуваат a = Re(z), b=Im(z).
јаснаречена имагинарна единица. јас 2 = -1. Конкретно, секој реален број може да се смета за сложен: a = a + 0i, каде што а е реално. Ако a = 0И b ≠ 0, тогаш бројот обично се нарекува чисто имагинарен.

Сега да воведеме операции на сложени броеви.
Размислете за два сложени броја z 1 = a 1 + b 1 iИ z 2 = a 2 + b 2 i.

Ајде да размислиме z = a + bi.

Множеството сложени броеви го проширува множеството на реални броеви, што пак го продолжува множеството рационални броеви итн. Овој синџир на вложувања може да се види на сликата: N – природни броеви, Z – цели броеви, Q – рационални, R – реални, C – сложени.

Претставување на сложени броеви

Алгебарска нотација.

Размислете за сложен број z = a + bi, оваа форма на пишување сложен број се нарекува алгебарски. Веќе детално разговаравме за оваа форма на снимање во претходниот дел. Следниот визуелен цртеж се користи доста често

Тригонометриска форма.

Од сликата се гледа дека бројот z = a + biможе да се пишува поинаку. Очигледно е дека a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|, оттука z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) се нарекува аргумент на сложен број. Ова претставување на комплексен број се нарекува тригонометриска форма. Тригонометриската форма на нотација понекогаш е многу погодна. На пример, погодно е да се користи за да се подигне комплексен број до цела сила, имено, ако z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Тоа z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, оваа формула се нарекува Формулата на Моивр.

Демонстративна форма.

Ајде да размислиме z = rcos(φ) + rsin(φ)i- комплексен број во тригонометриска форма, запиши го во друга форма z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, последната еднаквост следи од формулата на Ојлер, така што имаме нова форма на пишување комплексен број: z = re iφ, кој се нарекува индикативно. Оваа форма на нотација е исто така многу погодна за подигнување на комплексен број на моќност: z n = r n e inφ, Еве nне мора да е цел број, но може да биде произволен реален број. Оваа форма на нотација доста често се користи за решавање проблеми.

Основна теорема на вишата алгебра

Да замислиме дека имаме квадратна равенка x 2 + x + 1 = 0. Очигледно, дискриминаторот на оваа равенка е негативен и нема вистински корени, но излегува дека оваа равенка има два различни сложени корени. Значи, фундаменталната теорема на повисоката алгебра вели дека секој полином со степен n има барем еден сложен корен. Од ова произлегува дека секој полином со степен n има точно n сложени корени, земајќи ја предвид нивната мноштво. Оваа теорема е многу важен резултат во математиката и е широко користен. Едноставна последица на оваа теорема е дека има точно n различни корени на степенот n на единството.

Главни типови на задачи

Овој дел ќе ги разгледа главните типови на едноставни проблеми кои вклучуваат сложени броеви. Конвенционално, проблемите што вклучуваат сложени броеви може да се поделат во следните категории.

• Вршење едноставни аритметички операции на сложени броеви.
• Наоѓање на корените на полиномите во сложени броеви.
• Подигнување на сложени броеви на моќи.
• Извлекување корени од сложени броеви.
• Користење на сложени броеви за решавање на други проблеми.

Сега да ги разгледаме општите методи за решавање на овие проблеми.

Наједноставните аритметички операции со сложени броеви се изведуваат според правилата опишани во првиот дел, но ако сложените броеви се претставени во тригонометриски или експоненцијални форми, тогаш во овој случај можете да ги претворите во алгебарска форма и да извршите операции според познати правила.

Наоѓањето на корените на полиномите обично се сведува на наоѓање корени на квадратна равенка. Да претпоставиме дека имаме квадратна равенка, ако нејзината дискриминаторна е ненегативна, тогаш нејзините корени ќе бидат реални и може да се најдат според добро позната формула. Ако дискриминаторот е негативен, т.е. D = -1∙a 2, Каде ае одредена бројка, тогаш дискриминаторот може да се претстави како D = (ia) 2, оттука √D = i|a|, а потоа можете да ја користите веќе познатата формула за корените на квадратна равенка.

Пример. Да се ​​вратиме на квадратната равенка спомената погоре x 2 + x + 1 = 0.
Дискриминаторски - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Сега лесно можеме да ги најдеме корените:

Подигнувањето на сложените броеви до моќи може да се направи на неколку начини. Ако треба да подигнете комплексен број во алгебарска форма на мала моќност (2 или 3), тогаш тоа можете да го направите со директно множење, но ако моќноста е поголема (во проблеми често е многу поголема), тогаш треба да запишете го овој број во тригонометриски или експоненцијални форми и користете веќе познати методи.

Пример. Размислете за z = 1 + i и подигнете го до десеттата моќност.
Да го запишеме z во експоненцијална форма: z = √2 e iπ/4.
Потоа z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Да се ​​вратиме на алгебарската форма: z 10 = -32i.

Извлекувањето корени од сложени броеви е инверзна операција на степенување и затоа се изведува на сличен начин. За да се извлечат корени, често се користи експоненцијалната форма на пишување број.

Пример. Ајде да ги најдеме сите корени на степенот 3 на единството. За да го направите ова, ќе ги најдеме сите корени на равенката z 3 = 1, ќе ги бараме корените во експоненцијална форма.
Да ја замениме во равенката: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Оттука: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, затоа φ = 2πk/3.
Различни корени се добиваат при φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Затоа 1, e i2π/3, e i4π/3 се корени.
Или во алгебарска форма:

Последниот тип на проблеми вклучува огромна разновидност на проблеми и не постојат општи методи за нивно решавање. Ајде да дадеме едноставен пример за таква задача:

Најдете ја сумата грев (x) + грев (2x) + грев (2x) + … + грев (nx).

Иако формулацијата на овој проблем не вклучува сложени броеви, може лесно да се реши со нивна помош. За да се реши, се користат следниве претстави:


Ако сега го замениме ова претставување со збир, тогаш проблемот се сведува на сумирање на вообичаената геометриска прогресија.

Заклучок

Комплексните броеви се широко користени во математиката, овој напис за преглед ги испитуваше основните операции на сложени броеви, опишани накратко општи методи за нивно решавање за подетално проучување на способностите на сложените броеви; користат специјализирана литература.

Литература

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЈА ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

ДРЖАВНА ОБРАЗОВНА ИНСТИТУЦИЈА

ВИСОКО СТРУЧНО ОБРАЗОВАНИЕ

„ВОРОНЕЖ ДРЖАВЕН ПЕДАГОШКИ УНИВЕРЗИТЕТ“

ОДДЕЛЕНИЕ ЗА АГЛЕБРА И ГЕОМЕТРИЈА

Комплексни броеви

(избрани задачи)

ДИПЛОМСКИ КВАЛИФИКАЦИСКИ РАБОТИ

специјалност 050201.65 математика

(со дополнителна специјалност 050202.65 информатика)

Завршил: ученик од 5-та година

физички и математички

факултет

Научен советник:

ВОРОНЕЖ – 2008 г

1. Вовед……………………………………………………...…………..…

2. Сложени броеви (избрани проблеми)

2.1. Сложени броеви во алгебарска форма………………………….

2.2. Геометриска интерпретација на сложени броеви…………………

2.3. Тригонометриска форма на сложени броеви

2.4. Примена на теоријата на сложени броеви при решавање на равенки од 3 и 4 степен………………………………………………………………………………………

2.5. Комплексни броеви и параметри…………………………………………….

3. Заклучок……………………………………………………………………………….

4. Список на референци…………………………………………………………

1. Вовед

Во училишната програма по математика се воведува теорија на броеви со употреба на примери на множества природни броеви, цели броеви, рационални, ирационални, т.е. на множеството реални броеви, чии слики ја исполнуваат целата нумеричка линија. Но, веќе во 8-мо одделение нема доволно понуда на реални броеви, решавање на квадратни равенки со негативна дискриминаторна. Затоа, беше неопходно да се надополни залихата на реални броеви со помош на сложени броеви, за кои има смисла квадратниот корен на негативен број.

Изборот на темата „Сложени броеви“ како тема на мојата завршна квалификациска работа е дека концептот комплексен број ги проширува знаењата на учениците за броевите системи, за решавање на широка класа проблеми и од алгебарска и од геометриска содржина, за решавање на алгебарски равенки од кој било степен и за решавање проблеми со параметри.

Оваа теза го испитува решението на 82 проблеми.

Првиот дел од главниот дел „Сложени броеви“ дава решенија за проблеми со сложени броеви во алгебарска форма, ги дефинира операциите собирање, одземање, множење, делење, операцијата за конјугација за сложени броеви во алгебарска форма, моќта на имагинарна единица , модулот на комплексен број, а исто така го поставува правилото за извлекување на квадратен корен од комплексен број.

Во вториот дел се решаваат задачи за геометриско толкување на сложени броеви во вид на точки или вектори на сложената рамнина.

Третиот дел ги испитува операциите на сложени броеви во тригонометриска форма. Формулите што се користат се: Moivre и извлекување на коренот на комплексен број.

Четвртиот дел е посветен на решавање равенки од 3 и 4 степени.

При решавање на проблеми во последниот дел, „Сложени броеви и параметри“, се користат и се консолидираат информациите дадени во претходните делови. Низа проблеми во поглавјето се посветени на одредување фамилии на прави во сложената рамнина дефинирана со равенки (неравенки) со параметар. Во дел од вежбите треба да решавате равенки со параметар (над полето В). Постојат задачи каде сложената променлива истовремено задоволува голем број услови. Посебна карактеристика на решавањето проблеми во овој дел е намалувањето на многу од нив на решение на равенки (неравенки, системи) од втор степен, ирационални, тригонометриски со параметар.

Карактеристика на презентацијата на материјалот во секој дел е првичното воведување на теоретските основи, а потоа и нивната практична примена во решавањето на проблемите.

На крајот од тезата има список на користени референци. Повеќето од нив го презентираат теоретскиот материјал доволно детално и на пристапен начин, дискутираат за решенија на некои проблеми и даваат практични задачи за самостојно решавање. Би сакал да обрнам посебно внимание на такви извори како што се:

1. Гордиенко Н.А., Белјаева Е.С., Фиртов В.Е., Серебриакова И.В. Комплексни броеви и нивни примени: Учебник. . Материјалот на учебникот е претставен во форма на предавања и практични вежби.

2. Шклиарски Д.О., Ченцов Н.Н., Јаглом И.М. Избрани задачи и теореми на елементарната математика. Аритметика и алгебра. Книгата содржи 320 проблеми поврзани со алгебра, аритметика и теорија на броеви. Овие задачи значително се разликуваат по природа од стандардните училишни задачи.

2. Сложени броеви (избрани проблеми)

2.1. Сложени броеви во алгебарска форма

Решението на многу проблеми од математиката и физиката се сведува на решавање на алгебарски равенки, т.е. равенки на формата

,

каде што a0, a1, …, an се реални броеви. Затоа, изучувањето на алгебарските равенки е едно од најважните прашања во математиката. На пример, квадратна равенка со негативна дискриминанта нема вистински корени. Наједноставната таква равенка е равенката

.

За да може оваа равенка да има решение, потребно е да се прошири множеството на реални броеви со додавање на коренот на равенката

.

Да го означиме овој корен со

. Така, по дефиниција, или,

оттука,

. наречена имагинарна единица. Со негова помош и со помош на пар реални броеви се составува израз на формата.

Резултирачкиот израз беше наречен сложени броеви бидејќи тие содржеа и реални и имагинарни делови.

Значи, сложените броеви се изрази на формата

, и се реални броеви и е симбол кој го задоволува условот . Бројот се нарекува реален дел од сложениот број, а бројот е неговиот имагинарен дел. Симболите , се користат за нивно означување.

Комплексни броеви на формуларот

се реални броеви и, според тоа, множеството сложени броеви го содржи множеството реални броеви.

Комплексни броеви на формуларот

се нарекуваат чисто имагинарни. Два сложени броја на формата и се вели дека се еднакви ако нивните реални и имагинарни делови се еднакви, т.е. ако еднаквости , .

Алгебарското запишување на сложени броеви дозволува операции на нив според вообичаените правила на алгебрата.

Употребата на равенки е широко распространета во нашите животи. Тие се користат во многу пресметки, изградба на структури, па дури и спорт. Човекот користел равенки во античко време, и оттогаш нивната употреба само се зголемува. За јасност, да го решиме следниот проблем:

Пресметајте \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ако \

Пред сè, да обрнеме внимание на фактот дека едниот број е претставен во алгебарска форма, другиот во тригонометриска форма. Треба да се поедностави и доведе до следната форма

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Изразот \ вели дека најпрво правиме множење и подигање до 10-ти степен користејќи ја формулата Moivre. Оваа формула е формулирана за тригонометриска форма на комплексен број. Добиваме:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3) \]

Следејќи ги правилата за множење сложени броеви во тригонометриска форма, го правиме следново:

Во нашиот случај:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ пи) (3).\]

Правејќи ја точната дропка \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], доаѓаме до заклучок дека можеме да „извртиме“ 4 вртења \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Одговор: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Оваа равенка може да се реши на друг начин, што се сведува на доведување на вториот број во алгебарска форма, потоа извршување на множењето во алгебарска форма, претворање на резултатот во тригонометриска форма и примена на формулата на Моивр:

Каде можам да решам систем на равенки со сложени броеви онлајн?

Можете да го решите системот на равенки на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.

Изрази, равенки и системи на равенки
со сложени броеви

Денес на час ќе вежбаме типични операции со сложени броеви, а исто така ќе ја совладаме техниката на решавање изрази, равенки и системи на равенки кои ги содржат овие броеви. Оваа работилница е продолжение на лекцијата и затоа доколку не сте добро упатени во темата, тогаш ве молиме следете ја врската погоре. Па, за поподготвени читатели ви предлагам веднаш да се загреете:

Пример 1

Поедностави израз , Ако . Претстави го резултатот во тригонометриска форма и нацртај го на сложената рамнина.

Решение: значи, треба да ја замените „страшната“ фракција, да извршите поедноставувања и да го претворите резултатот комплексен бројВ тригонометриска форма. Плус цртеж.

Кој е најдобриот начин да се формализира одлуката? Попрофитабилно е да се справиме со „софистициран“ алгебарски израз чекор по чекор. Прво, вниманието е помалку расеано, и второ, ако задачата не се прифати, ќе биде многу полесно да се најде грешката.

1) Прво, да го поедноставиме броителот. Ајде да ја замениме вредноста во неа, да ги отвориме заградите и да ја поправиме фризурата:

...Да, таквото квазимодо дојде од сложени броеви...

Да потсетам дека при трансформациите се користат сосема едноставни работи - правилото за множење на полиномите и еднаквоста која веќе станала банална. Главната работа е да бидете внимателни и да не се збуните од знаците.

2) Сега доаѓа именителот. Ако тогаш:

Забележете во кое необично толкување се користи формула за квадратна сума. Алтернативно, можете да извршите преуредување овде подформула Резултатите природно ќе бидат исти.

3) И конечно, целиот израз. Ако тогаш:

За да се ослободите од дропка, помножете ги броителот и именителот со конјугираниот израз на именителот. Во исто време, за целите на примена формули за квадратна разликамора прво (и веќе мора!)стави го негативниот реален дел на второ место:

И сега клучното правило:

НЕ ИЗБРЗАМЕ! Подобро е да играте на сигурно и да направите дополнителен чекор.
Во изрази, равенки и системи со сложени броеви, дрскости вербални пресметки пополн од кога било!

Имаше добро намалување во последниот чекор и тоа е само одличен знак.

Забелешка : строго кажано, овде се случи поделбата на комплексен број со комплексниот број 50 (запомнете дека). За оваа нијанса до сега молчев, а за тоа ќе зборуваме малку подоцна.

Со буквата да го означиме нашето достигнување

Да го претставиме добиениот резултат во тригонометриска форма. Општо земено, овде можете да направите без цртеж, но бидејќи тоа е потребно, нешто порационално е да го направите тоа токму сега:

Да го пресметаме модулот на комплексен број:

Ако цртате на скала од 1 единица. = 1 cm (2 ќелии од тетратка), тогаш добиената вредност може лесно да се провери со помош на обичен линијар.

Ајде да најдеме аргумент. Бидејќи бројот се наоѓа во втората координатна четвртина, тогаш:

Аголот може лесно да се провери со транспортер. Ова е несомнената предност на цртежот.

Така: – потребниот број во тригонометриска форма.

Ајде да провериме:
, што требаше да се потврди.

Удобно е да се најдат непознати вредности на синус и косинус со користење тригонометриска табела.

Одговори:

Сличен пример за независно решение:

Пример 2

Поедностави израз , Каде. Нацртајте го добиениот број на сложената рамнина и запишете го во експоненцијална форма.

Обидете се да не ги прескокнувате упатствата. Можеби изгледаат едноставно, но без обука, „влегувањето во локва“ не е само лесно, туку и многу лесно. Затоа, ние „го фаќаме рацете“.

Честопати, проблемот има повеќе од едно решение:

Пример 3

Пресметајте ако,

Решение: најпрво, да обрнеме внимание на првобитната состојба - едниот број е претставен во алгебарски, а другиот во тригонометриска форма, па дури и со степени. Ајде веднаш да го преработиме во попозната форма: .

Во каква форма треба да се извршат пресметките? Изразот очигледно вклучува прво множење и дополнително подигање до 10-та сила Формулата на Моивр, кој е формулиран за тригонометриската форма на комплексен број. Така, изгледа пологично да се конвертира првиот број. Ајде да го најдеме неговиот модул и аргумент:

Го користиме правилото за множење сложени броеви во тригонометриска форма:
ако тогаш

Правејќи ја дропката точна, доаѓаме до заклучок дека можеме да „извртиме“ 4 кривини (драго.):

Второ решениее да се претвори вториот број во алгебарска форма , изведете го множењето во алгебарска форма, претворете го резултатот во тригонометриска форма и користете ја формулата на Моивр.

Како што можете да видите, постои една „дополнителна“ акција. Оние кои сакаат можат да ја следат одлуката и да се погрижат резултатите да бидат исти.

Условот не кажува ништо за формата на конечниот комплексен број, така што:

Одговори:

Но, „за убавина“ или на барање, резултатот е лесно да се замисли во алгебарска форма:

Самостојно:

Пример 4

Поедностави израз

Тука треба да се потсетиме дејства со степени, иако нема едно корисно правило во прирачникот, еве го: .

И уште една важна забелешка: примерот може да се реши во два стила. Првата опција е да работите со дваброеви и да се биде во ред со дропките. Втората опција е да се претстави секој број како количник од два броја: И ослободете се од четирикатната структура. Од формална гледна точка, не е важно како ќе одлучите, но постои суштинска разлика! Ве молиме размислете внимателно за:
е комплексен број;
е количник на два сложени броја ( и ), но во зависност од контекстот, можете да го кажете и ова: број претставен како количник на два сложени броја.

Кратко решение и одговор на крајот од часот.

Изразите се добри, но равенките се подобри:

Равенки со сложени коефициенти

Како тие се разликуваат од „обичните“ равенки? Шансите =)

Во светлината на горенаведениот коментар, да започнеме со овој пример:

Пример 5

Решете ја равенката

И непосредна преамбула „жешко на петиците“: на почетокотдесната страна на равенката е позиционирана како количник на два сложени броеви (и 13), и затоа би било лоша форма да се препише условот со бројот (иако ова нема да предизвика грешка). Оваа разлика, патем, е појасно видлива во фракцијата - ако, релативно кажано, тогаш оваа вредност првенствено се подразбира како „полн“ комплексен корен на равенката, а не како делител на број, а особено не како дел од број!

Решение, во принцип, исто така може да се направи чекор по чекор, но во овој случај играта не вреди за свеќата. Почетната задача е да се поедностави сè што не содржи непознато „z“, што резултира со равенката да се сведе на формата:

Ние самоуверено ја поедноставуваме средната дропка:

Го пренесуваме резултатот на десната страна и ја наоѓаме разликата:

Забелешка : и повторно ви го привлекувам вниманието на значајната точка - овде не одземавме број од број, туку дропките ги доведовме до заеднички именител! Треба да се напомене дека веќе во НАПРЕДОК на решавање не е забрането да се работи со бројки: , сепак, во примерот што се разгледува овој стил е повеќе штетен отколку корисен =)

Според правилото за пропорција, изразуваме „зет“:

Сега можете повторно да делите и множите со конјугатот, но сомнително сличните броеви во броителот и именителот го сугерираат следниот потег:

Одговори:

За да провериме, да ја замениме добиената вредност во левата страна на оригиналната равенка и да извршиме поедноставувања:

– се добива десната страна од првобитната равенка, со што правилно се наоѓа коренот.

...Сега, сега... Ќе најдам нешто поинтересно за тебе... еве:

Пример 6

Решете ја равенката

Оваа равенка се сведува на формата, што значи дека е линеарна. Мислам дека советот е јасен - оди по тоа!

Секако... како можеш да живееш без него:

Квадратна равенка со сложени коефициенти

На лекцијата Комплексни броеви за куклидознавме дека квадратната равенка со реални коефициенти може да има конјугирани сложени корени, по што се поставува логично прашање: зошто, всушност, самите коефициенти не можат да бидат сложени? Дозволете ми да формулирам еден општ случај:

Квадратна равенка со произволни сложени коефициенти (1 или 2 од кои или сите три може да бидат, особено, валидни)Тоа има два и само двакомплексен корен (можеби едното или и двете се валидни). Во исто време, корените (и реален и со имагинарен дел без нула)може да се совпадне (да биде повеќекратно).

Квадратна равенка со сложени коефициенти се решава со користење на истата шема како „училишна“ равенка, со некои разлики во пресметковните техники:

Пример 7

Најдете ги корените на квадратната равенка

Решение: имагинарната единица е на прво место и, во принцип, можете да се ослободите од неа (множете ги двете страни со), сепак, нема посебна потреба за ова.

За погодност, ги запишуваме коефициентите:

Да не го изгубиме „минусот“ на слободен член! ...Можеби не им е јасно на сите - ќе ја препишам равенката во стандардна форма :

Да ја пресметаме дискриминаторот:

И тука е главната пречка:

Примена на Општата формула за извлекување на коренот (видете го последниот став од статијата Комплексни броеви за кукли) комплицирано со сериозни тешкотии поврзани со аргументот на радикалниот комплексен број (Види и самиот). Но, постои уште еден, „алгебарски“ начин! Ќе го бараме коренот во форма:

Ајде да ги квадратиме двете страни:

Два сложени броја се еднакви ако нивните реални и имагинарни делови се еднакви. Така, го добиваме следниот систем:

Системот полесно се решава со избирање (потемелен начин е да се изрази од 2-та равенка - да се замени во 1-та, да се добие и реши биквадратична равенка). Под претпоставка дека авторот на проблемот не е чудовиште, ја поставуваме хипотезата дека и се цели броеви. Од првата равенка следува дека „x“ модулоповеќе од „Y“. Покрај тоа, позитивниот производ ни кажува дека непознатите се од ист знак. Врз основа на горенаведеното, и фокусирајќи се на 2-та равенка, ги запишуваме сите парови што одговараат на неа:

Очигледно е дека првата равенка на системот е задоволена со последните два пара, така што:

Средна проверка нема да наштети:

што требаше да се провери.

Можете да изберете како „работен“ корен било којзначење. Јасно е дека е подобро да се земе верзијата без „против“:

Ги наоѓаме корените, не заборавајќи, патем, дека:

Одговори:

Ајде да провериме дали пронајдените корени ја задоволуваат равенката :

1) Да го замениме:

вистинска еднаквост.

2) Да го замениме:

вистинска еднаквост.

Така, решението беше пронајдено правилно.

Врз основа на проблемот што штотуку разговаравме:

Пример 8

Најдете ги корените на равенката

Треба да се напомене дека квадратниот корен на чисто сложеноброевите може лесно да се извлечат со помош на општата формула , Каде , така што двата методи се прикажани во примерокот. Втората корисна забелешка се однесува на фактот дека прелиминарното извлекување на коренот на константата воопшто не го поедноставува решението.

Сега можете да се опуштите - во овој пример ќе се извлечете со благ страв :)

Пример 9

Решете ја равенката и проверете

Решенија и одговори на крајот од часот.

Последниот став од статијата е посветен на

систем на равенки со сложени броеви

Ајде да се опуштиме и... не се напнувај =) Да го разгледаме наједноставниот случај - систем од две линеарни равенки со две непознати:

Пример 10

Решете систем од равенки. Претставете го одговорот во алгебарски и експоненцијални форми, прикажете ги корените на цртежот.

Решение: самиот услов сугерира дека системот има единствено решение, односно треба да најдеме два броја кои задоволуваат на секојравенка на системот.

Системот навистина може да се реши на „детски“ начин (изрази една променлива во однос на друга) , сепак е многу поудобно за користење Формулите на Крамер. Ајде да пресметаме главна одредницасистеми:

, што значи дека системот има уникатно решение.

Повторувам дека е подобро да одвоите време и да ги напишете чекорите што е можно подетално:

Ги множиме броителот и именителот со имагинарна единица и го добиваме првиот корен:

Исто така:

Се добиваат соодветните десни страни итн.

Ајде да го направиме цртежот:

Да ги претставиме корените во експоненцијална форма. За да го направите ова, треба да ги најдете нивните модули и аргументи:

1) – арктангенсот на „два“ се пресметува „лошо“, па го оставаме вака: