Триаголникот е една од најчестите геометриски форми со која се запознаваме во основно училиште. Секој ученик се соочува со прашањето како да ја пронајде плоштината на триаголник во лекциите по геометрија. Значи, кои карактеристики на наоѓање на површината на дадена фигура може да се идентификуваат? Во оваа статија ќе ги разгледаме основните формули неопходни за да се заврши таква задача, а исто така ќе ги анализираме видовите триаголници.

Видови триаголници

Плоштината на триаголник можете да ја најдете на сосема различни начини, бидејќи во геометријата има повеќе од еден вид фигури што содржат три агли. Овие типови вклучуваат:

• Тапа.
• Рамностран (правилен).
• Правоаголен триаголник.
• Рамнокрак.

Ајде внимателно да го разгледаме секој од постоечките типови на триаголници.

Оваа геометриска фигура се смета за најчеста при решавање на геометриски проблеми. Кога ќе се појави потреба да се нацрта произволен триаголник, оваа опција доаѓа на помош.

Во остар триаголник, како што сугерира името, сите агли се остри и се собираат до 180°.

Овој тип на триаголник е исто така многу чест, но е нешто поретки од акутен триаголник. На пример, кога решавате триаголници (односно, познати се неколку негови страни и агли и треба да ги пронајдете преостанатите елементи), понекогаш треба да одредите дали аголот е тап или не. Косинусот е негативен број.

Б, вредноста на еден од аглите надминува 90 °, така што преостанатите два агли можат да земат мали вредности (на пример, 15 ° или дури 3 °).

За да ја пронајдете областа на триаголник од овој тип, треба да знаете некои нијанси, за кои ќе зборуваме подоцна.

Правилни и рамнокраки триаголници

Правилен многуаголник е фигура која вклучува n агли и чии страни и агли се сите еднакви. Тоа е она што е правилен триаголник. Бидејќи збирот на сите агли на триаголникот е 180°, тогаш секој од трите агли е 60°.

Правилниот триаголник, поради неговото својство, се нарекува и рамностран фигура.

Исто така, вреди да се напомене дека само еден круг може да се впише во правилен триаголник, а околу него може да се опише само еден круг, а нивните центри се наоѓаат во истата точка.

Покрај рамностран тип, може да се разликува и рамнокрак триаголник, кој е малку различен од него. Во таков триаголник, две страни и два агли се еднакви една со друга, а третата страна (на која се соседни еднакви агли) е основата.

На сликата е прикажан рамнокрак триаголник DEF чии агли D и F се еднакви, а DF е основата.

Правоаголен триаголник

Правоаголен триаголник е наречен така затоа што еден од неговите агли е прав, односно еднаков на 90°. Останатите два агли се собираат до 90°.

Најголемата страна на таков триаголник, која се наоѓа спроти аголот од 90°, е хипотенузата, додека преостанатите две страни се катетите. За овој тип на триаголник, се применува Питагоровата теорема:

Збирот на квадратите на должините на краците е еднаков на квадратот на должината на хипотенузата.

Сликата покажува правоаголен триаголник BAC со хипотенуза AC и краци AB и BC.

За да ја пронајдете областа на триаголник со прав агол, треба да ги знаете нумеричките вредности на неговите краци.

Ајде да преминеме на формулите за наоѓање на површината на дадена фигура.

Основни формули за наоѓање област

Во геометријата, постојат две формули кои се погодни за пронаоѓање на плоштината на повеќето видови триаголници, имено за остри, тапи, правилни и рамнокраки триаголници. Ајде да погледнеме во секој од нив.

На страна и висина

Оваа формула е универзална за наоѓање на површината на фигурата што ја разгледуваме. За да го направите ова, доволно е да се знае должината на страната и должината на висината што е нацртана кон неа. Самата формула (половина од производот на основата и висината) е следна:

каде што A е страната на даден триаголник, а H е висината на триаголникот.

На пример, за да ја пронајдете областа на акутен триаголник ACB, треба да ја помножите неговата страна AB со висината CD и да ја поделите добиената вредност со два.

Сепак, не е секогаш лесно да се најде плоштината на триаголник на овој начин. На пример, за да ја користите оваа формула за тап триаголник, треба да ја проширите едната негова страна и дури потоа да нацртате надморска височина до неа.

Во пракса, оваа формула се користи почесто од другите.

На двете страни и агол

Оваа формула, како и претходната, е погодна за повеќето триаголници и по нејзиното значење е последица на формулата за пронаоѓање на плоштина покрај една и висина на триаголник. Односно, формулата за која станува збор лесно може да се изведе од претходната. Неговата формулација изгледа вака:

S = ½*sinO*A*B,

каде A и B се страните на триаголникот, а O е аголот помеѓу страните A и B.

Да потсетиме дека синусот на аголот може да се гледа во посебна табела именувана по извонредниот советски математичар В.М.Брадис.

Сега да преминеме на други формули кои се погодни само за исклучителни типови на триаголници.

Плоштина на правоаголен триаголник

Покрај универзалната формула, која ја вклучува потребата да се најде надморска височина во триаголник, областа на триаголникот што содржи прав агол може да се најде од неговите краци.

Така, површината на триаголникот што содржи прав агол е половина од производот на неговите краци, или:

каде a и b се катети на правоаголен триаголник.

Правилен триаголник

Овој тип на геометриска фигура се разликува по тоа што нејзината површина може да се најде со означената вредност на само една од нејзините страни (бидејќи сите страни на правилен триаголник се еднакви). Значи, кога ќе се соочите со задачата „да ја пронајдете областа на триаголникот кога страните се еднакви“, треба да ја користите следнава формула:

S = A 2 *√3 / 4,

каде А е страната на рамностран триаголник.

Формулата на Херон

Последната опција за наоѓање на плоштината на триаголник е формулата на Херон. За да го користите, треба да ги знаете должините на трите страни на фигурата. Формулата на Херон изгледа вака:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

каде a, b и c се страните на даден триаголник.

Понекогаш се поставува проблемот: „површината на правилен триаголник е да се најде должината на неговата страна“. Во овој случај, треба да ја користиме формулата што веќе ја знаеме за наоѓање на плоштината на правилен триаголник и од неа да ја изведеме вредноста на страната (или нејзиниот квадрат):

A 2 = 4S / √3.

Испитни задачи

Постојат многу формули во задачите на ГИА во математиката. Покрај тоа, доста често е неопходно да се најде плоштината на триаголник на карирана хартија.

Во овој случај, најзгодно е да се нацрта висината на една од страните на фигурата, да се одреди нејзината должина од ќелиите и да се користи универзалната формула за наоѓање на областа:

Значи, откако ќе ги проучите формулите претставени во статијата, нема да имате никакви проблеми да ја пронајдете областа на триаголник од кој било вид.

Училишната програма предвидува настава на децата по геометрија уште од најмала возраст. Едно од најосновните знаења во оваа област е пронаоѓањето на областа на различни форми. Во оваа статија ќе се обидеме да ги дадеме сите можни начини за добивање на оваа вредност, од наједноставните до најкомплексните.

Основата

Првата формула што децата ја учат на училиште вклучува пронаоѓање на плоштината на триаголникот низ должината на неговата висина и основата. Висината е отсечка извлечена од темето на триаголникот под прав агол кон спротивната страна, која ќе биде основата. Како да ја пронајдете плоштината на триаголникот користејќи ги овие количини?

Ако V е висината, а О е основата, тогаш плоштината е S=V*O:2.

Друга опција за добивање на саканата вредност бара од нас да ги знаеме должините на двете страни, како и големината на аголот меѓу нив. Ако ги имаме L и M - должините на страните, и Q - аголот меѓу нив, тогаш можете да ја добиете областа со помош на формулата S=(L*M*sin(Q))/2.

Формулата на Херон

Покрај сите други одговори на прашањето како да се пресмета плоштината на триаголник, постои формула која ни овозможува да ја добиеме потребната вредност, знаејќи ги само должините на страните. Тоа е, ако ги знаеме должините на сите страни, тогаш не треба да ја цртаме висината и да ја пресметаме нејзината должина. Можеме да ја користиме таканаречената Херонова формула.

Ако M, N, L се должините на страните, тогаш можеме да ја најдеме областа на триаголникот на следниов начин. P=(M+N+L)/2, тогаш вредноста што ни треба е S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). На крајот, сè што треба да направиме е да го пресметаме коренот.

За правоаголен триаголник, формулата на Херон е малку поедноставена. Ако M, L се краци, тогаш S=(P-M)*(P-L).

Кругови

Друг начин да се најде плоштината на триаголник е да се користат кругови и кругови. За да ја добиеме потребната вредност користејќи впишан круг, треба да го знаеме неговиот радиус. Да го означиме со „r“. Тогаш формулата со која ќе вршиме пресметки ќе ја добие следната форма: S=r*P, каде што P е половина од збирот на должините на сите страни.

Во правоаголен триаголник, оваа формула е малку изменета. Се разбира, можете да го користите горенаведениот, но подобро е да користите различен израз за пресметки. S=E*W, каде што E и W се должините на отсечките на кои е поделена хипотенузата со тангентната точка на кружницата.

Зборувајќи за ограничен круг, наоѓањето на областа на триаголникот исто така не е тешко. Со воведување на ознаката R како радиус на ограничениот круг, можете да ја добиете следната формула неопходна за пресметување на потребната вредност: S= (M*N*L):(4*R). Каде што првите три количини се страните на триаголникот.

Зборувајќи за рамностран триаголник, преку бројни едноставни математички трансформации можете да добиете малку изменети формули:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

Во секој случај, секоја формула што ви овозможува да ја пронајдете областа на триаголник може да се смени во согласност со податоците на задачата. Значи, сите пишани изрази не се апсолутни. Кога решавате проблеми, размислете за да го најдете најсоодветното решение.

Координати

Кога се изучуваат координатни оски, задачите со кои се соочуваат учениците стануваат посложени. Сепак, не толку колку да паничи. За да ја пронајдете плоштината на триаголникот од координатите на темињата, можете да ја користите истата, но малку изменета формула на Херон. За координати ја зема следната форма:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Сепак, никој не забранува, користејќи координати, пресметување на должините на страните на триаголникот и потоа, користејќи ги формулите напишани погоре, пресметување на површината. За да ги конвертирате координатите во должина, користете ја следнава формула:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Белешки

Статијата користеше стандардни ознаки за количини што се користат во повеќето проблеми. Во овој случај, моќта „1/2“ значи дека треба да го извлечете коренот на целиот израз под заградите.

Бидете внимателни при изборот на формула. Некои од нив ја губат својата важност во зависност од почетните услови. На пример, формулата за кружен круг. Во секој случај може да го пресмета резултатот за вас, но може да има ситуација кога триаголник со дадените параметри може воопшто да не постои.

Ако седите дома и правите домашни задачи, тогаш можете да користите онлајн калкулатор. Многу сајтови обезбедуваат можност за пресметување на различни количини користејќи дадени параметри, и не е важно кои од нив. Можете едноставно да ги внесете почетните податоци во полињата, а компјутерот (веб-страницата) ќе ви го пресмета резултатот. На овој начин можете да избегнете грешки направени поради невнимание.

Се надеваме дека нашата статија одговори на сите ваши прашања во врска со пресметувањето на површината на различни триаголници и нема да мора да барате дополнителни информации на друго место. Среќно со вашите студии!

Триаголникот е фигура позната на сите. И ова и покрај богатата разновидност на нејзините форми. Правоаголна, рамностран, остра, рамнокрак, тап. Секој од нив е различен на некој начин. Но, за секој треба да ја дознаете плоштината на триаголникот.

Формули заеднички за сите триаголници кои користат должина на страни или висини

Ознаките усвоени во нив: страни - а, б, в; висини на соодветните страни на a, n во, n со.

1. Плоштината на триаголникот се пресметува како производ од ½, страна и висината одземена од него. S = ½ * a * n a. Формулите за другите две страни треба да бидат напишани слично.

2. Херонова формула, во која се појавува полупериметарот (обично се означува со малата буква p, за разлика од целосниот периметар). Полупериметарот мора да се пресмета на следниов начин: соберете ги сите страни и поделете ги со 2. Формулата за полупериметарот е: p = (a+b+c) / 2. Тогаш еднаквоста за плоштината на ​сликата изгледа вака: S = √ (p * (p - a) * (р - в) * (р - с)).

3. Ако не сакате да користите полупериметар, тогаш ќе ви биде корисна формула која ги содржи само должините на страните: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (а + в - в) * (а + б - в)). Тој е малку подолг од претходниот, но ќе ви помогне ако сте заборавиле како да го најдете полупериметарот.

Општи формули кои ги вклучуваат аглите на триаголникот

Ознаки потребни за читање на формулите: α, β, γ - агли. Тие лежат спротивните страни a, b, c, соодветно.

1. Според него, половина од производот на двете страни и синусот на аголот меѓу нив е еднаков на плоштината на триаголникот. Тоа е: S = ½ a * b * sin γ. Формулите за другите два случаи треба да бидат напишани на сличен начин.

2. Плоштината на триаголникот може да се пресмета од една страна и од три познати агли. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Постои и формула со една позната страна и два соседни агли. Изгледа вака: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Последните две формули не се наједноставни. Прилично е тешко да ги запомните.

Општи формули за ситуацијата кога се познати радиусите на впишани или ограничени кругови

Дополнителни ознаки: r, R - радиуси. Првиот се користи за радиусот на впишаниот круг. Вториот е за опишаниот.

1. Првата формула со која се пресметува плоштината на триаголникот е поврзана со полупериметарот. S = r * r. Друг начин да се напише е: S = ½ r * (a + b + c).

2. Во вториот случај, ќе треба да ги помножите сите страни на триаголникот и да ги поделите со четирикратно радиусот на ограничениот круг. Во буквален израз изгледа вака: S = (a * b * c) / (4R).

3. Третата ситуација ви овозможува да направите без да ги знаете страните, но ќе ви требаат вредностите на сите три агли. S = 2 R 2 * sin α * грев β * грев γ.

Посебен случај: правоаголен триаголник

Ова е наједноставната ситуација, бидејќи е потребна само должината на двете нозе. Тие се означени со латинските букви a и b. Плоштината на правоаголен триаголник е еднаква на половина од областа на правоаголникот додаден на него.

Математички изгледа вака: S = ½ a * b. Најлесно е да се запамети. Бидејќи изгледа како формулата за плоштина на правоаголник, се појавува само дропка, што означува половина.

Посебен случај: рамнокрак триаголник

Бидејќи има две еднакви страни, некои формули за неговата површина изгледаат малку поедноставени. На пример, формулата на Херон, која ја пресметува плоштината на рамнокрак триаголник, ја има следната форма:

S = ½ во √((a + ½ инчи)*(a - ½ инчи)).

Ако го трансформирате, ќе стане пократок. Во овој случај, формулата на Херон за рамнокрак триаголник е напишана на следниов начин:

S = ¼ во √(4 * a 2 - b 2).

Формулата за плоштина изгледа нешто поедноставна отколку за произволен триаголник ако се познати страните и аголот меѓу нив. S = ½ a 2 * sin β.

Посебен случај: рамностран триаголник

Обично во проблемите се знае страната за тоа или на некој начин може да се дознае. Тогаш формулата за наоѓање на плоштината на таков триаголник е како што следува:

S = (a 2 √3) / 4.

Проблеми да се најде областа ако триаголникот е прикажан на карирана хартија

Наједноставната ситуација е кога ќе се нацрта правоаголен триаголник така што неговите кати се совпаѓаат со линиите на хартијата. Тогаш само треба да го броите бројот на клетки што се вклопуваат во нозете. Потоа помножете ги и поделете со два.

Кога триаголникот е остар или тап, треба да се нацрта до правоаголник. Тогаш добиената фигура ќе има 3 триаголници. Еден е оној што е даден во проблемот. А другите две се помошни и правоаголни. Областите на последните две треба да се одредат со користење на методот опишан погоре. Потоа пресметајте ја плоштината на правоаголникот и одземете ги од него пресметаните за помошните. Се одредува плоштината на триаголникот.

Ситуацијата во која ниту една од страните на триаголникот не се совпаѓа со линиите на хартијата се покажува како многу посложена. Потоа треба да се впише во правоаголник, така што темињата на оригиналната фигура лежат на нејзините страни. Во овој случај, ќе има три помошни правоаголни триаголници.

Пример за проблем со хероновата формула

Состојба. Некој триаголник има познати страни. Тие се еднакви на 3, 5 и 6 см Треба да ја дознаете неговата површина.

Сега можете да ја пресметате површината на триаголникот користејќи ја горната формула. Под квадратниот корен е производ на четири броја: 7, 4, 2 и 1. Односно, плоштината е √(4 * 14) = 2 √(14).

Ако не е потребна поголема точност, тогаш можете да го земете квадратниот корен од 14. Тоа е еднакво на 3,74. Тогаш површината ќе биде 7,48.

Одговори. S = 2 √14 cm 2 или 7,48 cm 2.

Пример проблем со правоаголен триаголник

Состојба. Едниот крак на правоаголен триаголник е 31 cm поголем од вториот, треба да ги дознаете нивните должини ако плоштината на триаголникот е 180 cm 2.
Решение. Ќе треба да решиме систем од две равенки. Првиот е поврзан со областа. Вториот е со односот на нозете, кој е даден во проблемот.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Прво, вредноста на „а“ мора да се замени во првата равенка. Излегува: 180 = ½ (во + 31) * во. Има само една непозната количина, па затоа е лесно да се реши. По отворањето на заградите, се добива квадратната равенка: 2 + 31 360 = 0. Ова дава две вредности за „во“: 9 и - 40. Вториот број не е погоден како одговор, бидејќи должината на страната на триаголник не може да биде негативна вредност.

Останува да се пресмета вториот крак: додадете 31 на добиениот број Излегува 40. Ова се количините што се бараат во проблемот.

Одговори. Кателите на триаголникот се 9 и 40 см.

Задача на наоѓање страна низ плоштината, страната и аголот на триаголникот

Состојба. Плоштината на одреден триаголник е 60 cm 2. Неопходно е да се пресмета една од неговите страни ако втората страна е 15 cm, а аголот меѓу нив е 30º.

Решение. Врз основа на прифатената нотација, саканата страна е „a“, познатата страна е „b“, дадениот агол е „γ“. Потоа формулата за областа може да се преработи на следниов начин:

60 = ½ a * 15 * грев 30º. Овде синусот од 30 степени е 0,5.

По трансформациите, „а“ излегува дека е еднакво на 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Тоа е 16.

Одговори. Потребната страна е 16 см.

Задача за квадрат впишан во правоаголен триаголник

Состојба. Темето на квадрат со страна од 24 cm се совпаѓа со правиот агол на триаголникот. Другите две лежат на страните. Третиот припаѓа на хипотенузата. Должината на едната нога е 42 см. Колкава е плоштината на правоаголен триаголник?

Решение. Размислете за два правоаголни триаголници. Првиот е оној наведен во задачата. Вториот се заснова на познатата катета на оригиналниот триаголник. Тие се слични бидејќи имаат заеднички агол и се формирани од паралелни прави.

Тогаш соодносите на нивните нозе се еднакви. Катетите на помалиот триаголник се еднакви на 24 cm (страната на квадратот) и 18 cm (дадената кратечка 42 cm се одзема од страната на квадратот 24 cm). Соодветните краци на голем триаголник се 42 см и х см. Токму овој „х“ е потребен за да се пресмета плоштината на триаголникот.

18/42 = 24 / x, односно x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Тогаш површината е еднаква на производот од 56 и 42 поделен со два, односно 1176 cm 2.

Одговори. Потребната површина е 1176 cm 2.

Како што можеби се сеќавате од вашата училишна наставна програма по геометрија, триаголник е фигура формирана од три отсечки поврзани со три точки кои не лежат на иста права линија. Триаголникот формира три агли, па оттука и името на фигурата. Дефиницијата може да биде различна. Триаголник може да се нарече и многуаголник со три агли, одговорот исто така ќе биде точен. Триаголниците се делат според бројот на еднакви страни и големината на аглите на сликите. Така, триаголниците се разликуваат како рамнокрак, рамностран и скалест, како и правоаголни, остри и тапи, соодветно.

Постојат многу формули за пресметување на плоштината на триаголник. Изберете како да ја пронајдете плоштината на триаголник, т.е. Која формула да ја користите зависи од вас. Но, вреди да се забележат само некои од ознаките што се користат во многу формули за пресметување на површината на триаголник. Значи, запомнете:

S е плоштината на триаголникот,

a, b, c се страните на триаголникот,

h е висината на триаголникот,

R е радиусот на ограничениот круг,

p е полупериметарот.

Еве ги основните ознаки кои може да ви бидат корисни ако целосно сте го заборавиле курсот по геометрија. Подолу се најразбирливите и најнекомплицирани опции за пресметување на непознатата и мистериозна област на триаголник. Тоа не е тешко и ќе биде корисно и за потребите на вашето домаќинство и за помагање на вашите деца. Ајде да се потсетиме како да ја пресметаме плоштината на триаголникот што е можно полесно:

Во нашиот случај, површината на триаголникот е: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 квадратни cm. Запомнете дека површината се мери во квадратни сантиметри (sqcm).

Правоаголен триаголник и неговата плоштина.

Правоаголен триаголник е триаголник во кој еден агол е еднаков на 90 степени (оттука се нарекува правоаголник). Прав агол се формира со две нормални линии (во случај на триаголник, две нормални отсечки). Во правоаголен триаголник може да има само еден прав агол, бидејќи... збирот на сите агли на кој било триаголник е еднаков на 180 степени. Излегува дека 2 други агли треба да ги поделат преостанатите 90 степени, на пример 70 и 20, 45 и 45 итн. Значи, се сеќавате на главната работа, останува само да откриете како да ја пронајдете областа на правоаголен триаголник. Да замислиме дека пред нас имаме таков правоаголен триаголник и треба да ја најдеме неговата плоштина S.

1. Наједноставниот начин за одредување на плоштината на правоаголен триаголник се пресметува со следнава формула:

Во нашиот случај, површината на правоаголен триаголник е: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 квадратни cm.

Во принцип, веќе нема потреба да се проверува површината на триаголникот на други начини, бидејќи Само оваа ќе биде корисна и ќе помогне во секојдневниот живот. Но, постојат и опции за мерење на плоштината на триаголник преку остри агли.

2. За други методи на пресметка, мора да имате табела со косинуси, синуси и тангенти. Проценете сами, еве неколку опции за пресметување на плоштината на правоаголен триаголник што сè уште може да се користи:

Решивме да ја искористиме првата формула и со мали дамки (ја нацртавме во тетратка и користевме стар линијар и транспортер), но ја добивме точната пресметка:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Ги добивме следните резултати: 3,6=3,7, но земајќи го предвид поместувањето на ќелиите, можеме да ја простиме оваа нијанса.

Рамнокрак триаголник и неговата површина.

Ако сте соочени со задача да ја пресметате формулата за рамнокрак триаголник, тогаш најлесниот начин е да ја користите главната и она што се смета за класична формула за плоштина на триаголник.

Но, прво, пред да ја пронајдеме плоштината на рамнокрак триаголник, ајде да откриеме каква фигура е ова. Рамнокрак триаголник е триаголник во кој двете страни имаат иста должина. Овие две страни се нарекуваат странични, третата страна се нарекува основа. Не мешајте рамнокрак триаголник со рамностран триаголник, т.е. правилен триаголник со сите три страни еднакви. Во таков триаголник нема посебни тенденции кон аглите, поточно кон нивната големина. Меѓутоа, аглите на основата во рамнокрак триаголник се еднакви, но различни од аголот помеѓу еднакви страни. Значи, веќе ја знаете првата и главната формула, останува да откриете кои други формули за одредување на плоштината на рамнокрак триаголник се познати:

Површина на триаголник - формули и примери за решавање проблеми

Подолу се формули за наоѓање плоштина на произволен триаголниккои се погодни за пронаоѓање на плоштината на кој било триаголник, без оглед на неговите својства, агли или големини. Формулите се претставени во форма на слика, а овде се дадени и објаснувања за нивната примена или оправдување за нивната исправност. Исто така, посебна слика ја прикажува кореспонденцијата помеѓу симболите на буквите во формулите и графичките симболи на цртежот.

Забелешка . Ако триаголникот има посебни својства (рамнокрак, правоаголен, рамностран), можете да ги користите формулите дадени подолу, како и дополнителни специјални формули кои важат само за триаголници со овие својства:

• „Формула за плоштина на рамностран триаголник“

Формули за површина на триаголник

Објаснувања за формули:
а, б, в- должините на страните на триаголникот чија плоштина сакаме да ја најдеме
р- радиус на кругот впишан во триаголникот
Р- радиус на кругот опкружен околу триаголникот
ч- висина на триаголникот спуштена на страна
стр- полупериметар на триаголник, 1/2 од збирот на неговите страни (периметар)
α - агол спротивен на страната a на триаголникот
β - агол спротивен на страната b на триаголникот
γ - агол спротивен на страната c на триаголникот
ч а, ч б , ч в- висина на триаголникот спуштен на страната a, b, c

Забележете дека дадените ознаки одговараат на сликата погоре, така што при решавање на вистински геометриски проблем, визуелно ќе ви биде полесно да ги замените точните вредности на вистинските места во формулата.

• Површината на триаголникот е половина од производот од висината на триаголникот и должината на страната за која се спушта оваа висина(Формула 1). Точноста на оваа формула може да се разбере логично. Висината спуштена до основата ќе подели произволен триаголник на два правоаголни. Ако секој од нив го изградите во правоаголник со димензии b и h, тогаш очигледно плоштината на овие триаголници ќе биде еднаква на точно половина од површината на правоаголникот (Spr = bh)
• Површината на триаголникот е половина од производот на неговите две страни и синусот на аголот меѓу нив(Формула 2) (видете пример за решавање на проблем користејќи ја оваа формула подолу). И покрај фактот што изгледа различно од претходниот, лесно може да се трансформира во него. Ако ја спуштиме висината од аголот B на страната b, излегува дека производот од страната a и синусот на аголот γ, според својствата на синусот во правоаголен триаголник, е еднаков на висината на триаголникот што го нацртавме. , што ни ја дава претходната формула
• Може да се најде областа на произволен триаголник преку работаполовина од радиусот на кругот впишан во него со збирот на должините на сите негови страни(Формула 3), едноставно кажано, треба да го помножите полупериметарот на триаголникот со радиусот на впишаниот круг (ова е полесно да се запомни)
• Областа на произволен триаголник може да се најде со делење на производот од сите негови страни со 4 радиуси од кругот опкружен околу него (Формула 4)
• Формула 5 ја наоѓа плоштината на триаголникот низ должината на неговите страни и полупериметарот (половина од збирот на сите негови страни)
• Формулата на Херон(6) е приказ на истата формула без користење на концептот на полупериметар, само преку должините на страните
• Површината на произволен триаголник е еднаква на производот на квадратот на страната на триаголникот и синусите на аглите во непосредна близина на оваа страна поделени со двојниот синус на аголот спроти оваа страна (Формула 7)
• Површината на произволен триаголник може да се најде како производ на два квадрати од кругот опкружени околу него со синусите на секој од неговите агли. (Формула 8)
• Ако се познати должината на едната страна и вредностите на два соседни агли, тогаш плоштината на триаголникот може да се најде како квадрат на оваа страна поделена со двојниот збир на котангентите на овие агли (Формула 9)
• Ако е позната само должината на секоја од висините на триаголникот (Формула 10), тогаш плоштината на таков триаголник е обратно пропорционална на должините на овие висини, како што е според Хероновата формула.
• Формула 11 ви овозможува да пресметате површина на триаголник врз основа на координатите на неговите темиња, кои се наведени како (x;y) вредности за секое од темињата. Ве молиме имајте предвид дека добиената вредност мора да се земе модуло, бидејќи координатите на поединечните (или дури и сите) темиња може да бидат во регионот на негативни вредности

Забелешка. Следниве се примери за решавање на геометриски задачи за да се најде плоштината на триаголник. Ако треба да решите проблем со геометрија што не е сличен овде, пишете за тоа на форумот. Во решенијата, наместо симболот „квадратен корен“, може да се користи функцијата sqrt(), во која sqrt е симбол на квадратен корен, а радикалниот израз е означен во загради.Понекогаш за едноставни радикални изрази симболот може да се користи √

Задача. Најдете ја плоштината дадена две страни и аголот меѓу нив

Страните на триаголникот се 5 и 6 cm Аголот меѓу нив е 60 степени. Најдете ја плоштината на триаголникот.

Решение.

За да го решиме овој проблем, ја користиме формулата број два од теоретскиот дел на часот.
Плоштината на триаголникот може да се најде низ должината на двете страни и синусот на аголот меѓу нив и ќе биде еднаква на
S=1/2 ab sin γ

Бидејќи ги имаме сите потребни податоци за решението (според формулата), можеме само да ги замениме вредностите од условите на проблемот во формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * грев 60

Во табелата со вредности на тригонометриски функции, ќе ја најдеме и ќе ја замениме вредноста на синус 60 степени во изразот. Тоа ќе биде еднакво на коренот на три пати два.
S = 15 √3 / 2

Одговори: 7,5 √3 (во зависност од барањата на наставникот, веројатно можете да оставите 15 √3/2)

Задача. Најдете ја плоштината на рамностран триаголник

Најдете ја плоштината на рамностран триаголник со страна 3 cm.

Решение .

Областа на триаголник може да се најде со формулата на Херон:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Бидејќи a = b = c, формулата за плоштината на рамностран триаголник ја има формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Одговори: 9 √3 / 4.

Задача. Промена на површината при промена на должината на страните

Колку пати ќе се зголеми плоштината на триаголникот ако страните се зголемат за 4 пати?

Решение.

Бидејќи димензиите на страните на триаголникот ни се непознати, за да ја решиме задачата ќе претпоставиме дека должините на страните се соодветно еднакви на произволните броеви a, b, c. Потоа, за да одговориме на прашањето на проблемот, ќе ја најдеме плоштината на дадениот триаголник, а потоа ќе ја најдеме плоштината на триаголникот чии страни се четири пати поголеми. Односот на плоштините на овие триаголници ќе ни го даде одговорот на проблемот.

Подолу даваме текстуално објаснување за решението на проблемот чекор по чекор. Сепак, на самиот крај, истото решение е претставено во попогодна графичка форма. Заинтересираните можат веднаш да се спуштат по решенијата.

За да решиме, ја користиме формулата на Херон (види погоре во теоретскиот дел од лекцијата). Изгледа вака:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(видете ја првата линија на сликата подолу)

Должините на страните на произволен триаголник се специфицирани со променливите a, b, c.
Ако страните се зголемат за 4 пати, тогаш површината на новиот триаголник c ќе биде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(видете ја втората линија на сликата подолу)

Како што можете да видите, 4 е заеднички фактор што може да се извади од загради од сите четири изрази според општите математички правила.
Потоа

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - на третата линија на сликата
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - четврти ред

Квадратниот корен на бројот 256 е совршено извлечен, па ајде да го извадиме од под коренот
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(видете ја петтата линија на сликата подолу)

За да одговориме на прашањето поставено во проблемот, само треба да ја поделиме областа на добиениот триаголник со областа на оригиналниот.
Дозволете ни да ги одредиме соодносите на плоштините со делење на изразите еден со друг и намалување на добиената дропка.