Гаусовиот метод за кукли - детални примери на решенија. Гаусовиот метод или зошто децата не разбираат математика

Во овој напис, методот се разгледува како метод за решавање системи на линеарни равенки (SLAEs). Методот е аналитички, односно ви овозможува да напишете алгоритам за решение во општа форма, а потоа да ги замените вредностите од конкретни примери таму. За разлика од методот на матрица или формулите на Крамер, кога решавате систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус, можете да работите и со оние кои имаат бесконечен број решенија. Или воопшто го немаат.

Што значи да се реши со помош на Гаусовиот метод?

Прво, треба да го напишеме нашиот систем на равенки во Изгледа вака. Земете го системот:

Коефициентите се запишуваат во форма на табела, а слободните членови се запишуваат во посебна колона десно. Колоната со слободни термини е одвоена за погодност Матрицата што ја вклучува оваа колона се нарекува проширена.

Следно, главната матрица со коефициенти мора да се сведе на горната триаголна форма. Ова е главната поента за решавање на системот со помош на Гаусовиот метод. Едноставно кажано, по одредени манипулации, матрицата треба да изгледа така што нејзиниот долен лев дел содржи само нули:

Потоа, ако повторно ја напишете новата матрица како систем од равенки, ќе забележите дека последниот ред веќе ја содржи вредноста на еден од корените, кој потоа се заменува во равенката погоре, се наоѓа друг корен итн.

Ова е опис на решението со Гаусовиот метод во најопшти термини. Што се случува ако одеднаш системот нема решение? Или ги има бескрајно многу? За да одговорите на овие и многу други прашања, неопходно е да се разгледаат одделно сите елементи што се користат при решавањето на Гаусовиот метод.

Матрици, нивните својства

Нема скриено значење во матрицата. Ова е едноставно пригоден начин за снимање податоци за последователни операции со него. Дури и учениците не треба да се плашат од нив.

Матрицата е секогаш правоаголна, бидејќи е поудобна. Дури и во методот на Гаус, каде што сè се сведува на конструирање на матрица од триаголна форма, во записот се појавува правоаголник, само со нули на местото каде што нема броеви. Нулите можеби не се напишани, но се имплицирани.

Матрицата има големина. Неговата „ширина“ е бројот на редови (m), „должина“ е бројот на колони (n). Тогаш големината на матрицата A (за нивно означување обично се користат големи латински букви) ќе биде означена како A m×n. Ако m=n, тогаш оваа матрица е квадратна, а m=n е нејзиниот ред. Соодветно на тоа, секој елемент од матрицата А може да се означи со неговите броеви на редови и колони: a xy ; x - број на ред, промени, y - број на колона, промени.

Б не е главната точка на одлуката. Во принцип, сите операции може да се извршат директно со самите равенки, но ознаката ќе биде многу потешка и ќе биде многу полесно да се збуни во неа.

Детерминанта

Матрицата има и детерминанта. Ова е многу важна карактеристика. Сега нема потреба да го дознаете неговото значење, можете едноставно да покажете како се пресметува, а потоа да кажете кои својства на матрицата ги одредува. Најлесен начин да се најде детерминантата е преку дијагонали. Во матрицата се нацртани имагинарни дијагонали; елементите лоцирани на секоја од нив се множат, а потоа се додаваат добиените производи: дијагонали со наклон надесно - со знак плус, со наклон налево - со знак минус.

Исклучително е важно да се забележи дека детерминантата може да се пресмета само за квадратна матрица. За правоаголна матрица, можете да го направите следново: изберете ја најмалата од бројот на редови и бројот на колони (нека биде k), а потоа по случаен избор означете k колони и k редови во матрицата. Елементите на пресекот на избраните колони и редови ќе формираат нова квадратна матрица. Ако детерминантата на таквата матрица е број што не е нула, таа се нарекува основен минор на оригиналната правоаголна матрица.

Пред да започнете да решавате систем на равенки користејќи го Гаусовиот метод, не е повредено да се пресмета детерминантата. Ако се покаже дека е нула, тогаш веднаш можеме да кажеме дека матрицата има или бесконечен број решенија или воопшто нема. Во таков тажен случај, треба да одите понатаму и да дознаете за рангот на матрицата.

Системска класификација

Постои такво нешто како ранг на матрица. Ова е максималниот редослед на нејзината не-нулта детерминанта (ако се потсетиме на основната минор, можеме да кажеме дека рангирањето на матрицата е редоследот на основната мала).

Врз основа на ситуацијата со ранг, SLAE може да се подели на:

Заеднички. УВо заедничките системи, рангирањето на главната матрица (кое се состои само од коефициенти) се совпаѓа со рангирањето на проширената матрица (со колона од слободни членови). Ваквите системи имаат решение, но не мора едно, затоа, дополнително заедничките системи се поделени на:
- одредени- да се има единствено решение. Во одредени системи, рангот на матрицата и бројот на непознати (или бројот на колони, што е иста работа) се еднакви;
- недефинирано -со бесконечен број решенија. Рангот на матрици во такви системи е помал од бројот на непознати.
Некомпатибилни. УВо такви системи, редовите на главните и проширените матрици не се совпаѓаат. Некомпатибилните системи немаат решение.

Гаусовиот метод е добар затоа што за време на решението овозможува да се добие или недвосмислен доказ за неконзистентноста на системот (без пресметување на детерминантите на големите матрици), или решение во општа форма за систем со бесконечен број решенија.

Елементарни трансформации

Пред да продолжите директно со решавање на системот, можете да го направите помалку незгоден и поудобен за пресметки. Тоа се постигнува преку елементарни трансформации - такви што нивната имплементација на ниту еден начин не го менува конечниот одговор. Треба да се напомене дека некои од дадените елементарни трансформации важат само за матрици, чиј извор бил SLAE. Еве список на овие трансформации:

Преуредување линии. Очигледно, ако го промените редоследот на равенките во системскиот запис, тоа нема да влијае на решението на кој било начин. Следствено, редовите во матрицата на овој систем исто така може да се заменат, не заборавајќи, се разбира, на колоната со слободни термини.
Множење на сите елементи на низа со одреден коефициент. Многу корисна! Може да се користи за намалување на големи броеви во матрица или отстранување на нули. Многу одлуки, како и обично, нема да се променат, но понатамошните операции ќе станат попогодни. Главната работа е дека коефициентот не е еднаков на нула.
Отстранување на редови со пропорционални фактори. Ова делумно произлегува од претходниот став. Ако два или повеќе редови во матрицата имаат пропорционални коефициенти, тогаш кога една од редовите се множи/подели со коефициентот на пропорционалност, се добиваат два (или, повторно, повеќе) апсолутно идентични редови, а дополнителните може да се отстранат, оставајќи само еден.
Отстранување на нулта линија. Ако при трансформацијата некаде се добие ред во кој сите елементи, вклучувајќи го и слободниот член, се нула, тогаш таков ред може да се нарече нула и да се исфрли од матрицата.
Додавање на елементите на еден ред на елементите на друг (во соодветните колони), помножени со одреден коефициент. Најнеочигледна и најважна трансформација од сите. Вреди да се задржиме на тоа подетално.

Додавање низа помножена со фактор

За полесно разбирање, вреди да се разложи овој процес чекор по чекор. Два реда се земени од матрицата:

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да речеме дека треба да го додадете првиот на вториот, помножен со коефициентот "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Потоа, вториот ред во матрицата се заменува со нов, а првиот останува непроменет.

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Треба да се забележи дека коефициентот на множење може да се избере на таков начин што, како резултат на додавање на два реда, еден од елементите на новиот ред е еднаков на нула. Затоа, можно е да се добие равенка во систем каде што ќе има една непозната помалку. И ако добиете две такви равенки, тогаш операцијата може да се направи повторно и да се добие равенка која ќе содржи две помалку непознати. И ако секој пат кога ќе свртете еден коефициент од сите редови што се под оригиналниот на нула, тогаш можете, како скали, да се спуштите до самото дно на матрицата и да добиете равенка со една непозната. Ова се нарекува решавање на системот со помош на Гаусовиот метод.

Генерално

Нека има систем. Има m равенки и n непознати корени. Можете да го напишете на следниов начин:

Главната матрица е составена од системските коефициенти. Колона со слободни термини се додава во проширената матрица и, за погодност, се одделува со линија.

првиот ред од матрицата се множи со коефициентот k = (-a 21 /a 11);
се додаваат првиот модифициран ред и вториот ред од матрицата;
наместо вториот ред, резултатот од собирањето од претходниот став се вметнува во матрицата;
сега првиот коефициент во новиот втор ред е 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се врши истата серија на трансформации, вклучени се само првиот и третиот ред. Според тоа, на секој чекор од алгоритмот, елементот a 21 се заменува со 31. Потоа сè се повторува за 41, ... a m1. Резултатот е матрица каде што првиот елемент во редовите е нула. Сега треба да заборавите на линијата број еден и да го извршите истиот алгоритам, почнувајќи од линијата два:

коефициент k = (-a 32 /a 22);
втората изменета линија се додава на линијата „тековна“;
резултатот од додавањето се заменува во третата, четвртата и така натаму линии, додека првата и втората остануваат непроменети;
во редовите на матрицата првите два елементи се веќе еднакви на нула.

Алгоритмот мора да се повторува додека не се појави коефициентот k = (-a m,m-1 /a mm). Ова значи дека последен пат алгоритмот бил извршен само за долната равенка. Сега матрицата изгледа како триаголник или има скалеста форма. Во крајна линија постои еднаквоста a mn × x n = b m. Коефициентот и слободниот член се познати, а коренот се изразува преку нив: x n = b m /a mn. Добиениот корен се заменува во горната линија за да се најде x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. И така натаму по аналогија: во секоја следна линија има нов корен и, откако ќе го достигнете „врвот“ на системот, можете да најдете многу решенија. Ќе биде единствениот.

Кога нема решенија

Ако во една од матричните редови сите елементи освен слободниот член се еднакви на нула, тогаш равенката што одговара на овој ред изгледа како 0 = b. Нема решение. И бидејќи таквата равенка е вклучена во системот, тогаш множеството решенија на целиот систем е празно, односно е дегенерирано.

Кога има бесконечен број решенија

Може да се случи во дадената триаголна матрица да нема редови со еден коефициентен елемент на равенката и еден слободен член. Има само линии кои, кога ќе се препишат, би изгледале како равенка со две или повеќе променливи. Тоа значи дека системот има бесконечен број решенија. Во овој случај, одговорот може да се даде во форма на општо решение. Како да се направи тоа?

Сите променливи во матрицата се поделени на основни и слободни. Основни се оние што стојат „на работ“ на редовите во матрицата на чекори. Останатите се бесплатни. Во општото решение, основните променливи се запишуваат преку слободни.

За погодност, матрицата прво се препишува назад во систем на равенки. Потоа во последната од нив, каде точно останува само една основна променлива, таа останува на едната страна, а се друго се пренесува на другата. Ова се прави за секоја равенка со една основна променлива. Потоа, во останатите равенки, каде што е можно, изразот добиен за него се заменува наместо основната променлива. Ако резултатот е повторно израз кој содржи само една основна променлива, тој повторно се изразува од таму и така натаму, додека секоја основна променлива не биде напишана како израз со слободни променливи. Ова е генералното решение на SLAE.

Можете да го најдете и основното решение на системот - дајте им на слободните променливи какви било вредности, а потоа за овој конкретен случај пресметајте ги вредностите на основните променливи. Може да се дадат бесконечен број конкретни решенија.

Решение со конкретни примери

Еве еден систем на равенки.

За погодност, подобро е веднаш да се создаде нејзината матрица

Познато е дека кога ќе се реши со Гаусовиот метод, равенката што одговара на првиот ред ќе остане непроменета на крајот од трансформациите. Затоа, ќе биде попрофитабилно ако горниот лев елемент на матрицата е најмал - тогаш првите елементи од преостанатите редови по операциите ќе се претворат на нула. Ова значи дека во составената матрица ќе биде поволно да се стави вториот ред на местото на првиот.

втор ред: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

трета линија: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Сега, за да не се мешате, треба да запишете матрица со средните резултати од трансформациите.

Очигледно, таквата матрица може да се направи попогодна за перцепција користејќи одредени операции. На пример, можете да ги отстраните сите „минуси“ од втората линија со множење на секој елемент со „-1“.

Исто така, вреди да се напомене дека во третата линија сите елементи се множители на три. Потоа можете да ја скратите низата со овој број, множејќи го секој елемент со "-1/3" (минус - во исто време, за да ги отстраните негативните вредности).

Изгледа многу поубаво. Сега треба да ја оставиме првата линија сама и да работиме со втората и третата. Задачата е да се додаде втората линија на третата линија, помножена со таков коефициент што елементот a 32 станува еднаков на нула.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ако за време на некои трансформации одговорот не се покаже како цел број, се препорачува да се задржи точноста на пресметките за да се остави „како што е“, во форма на обични дропки и дури тогаш, кога ќе се добијат одговорите, одлучете дали да се заокружи и да се претвори во друга форма на снимање)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Матрицата повторно се пишува со нови вредности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Како што можете да видите, добиената матрица веќе има скалеста форма. Затоа, не се потребни понатамошни трансформации на системот со помош на Гаусовиот метод. Она што можете да го направите овде е да го отстраните вкупниот коефициент „-1/7“ од третата линија.

Сега се е убаво. Сè што останува да направите е повторно да ја напишете матрицата во форма на систем од равенки и да ги пресметате корените

x + 2y + 4z = 12 (1)

7г + 11з = 24 (2)

Алгоритмот со кој сега ќе се најдат корените се нарекува обратно движење во Гаусовиот метод. Равенката (3) ја содржи вредноста z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И првата равенка ни овозможува да најдеме x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Имаме право да го наречеме таков систем заеднички, па дури и дефинитивно, односно да има единствено решение. Одговорот е напишан во следнава форма:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Пример за неизвесен систем

Анализирана е варијантата на решавање на одреден систем со помош на Гаусовиот метод, сега е неопходно да се разгледа случајот ако системот е неизвесен, односно може да се најдат бесконечно многу решенија за него.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самиот изглед на системот е веќе алармантен, бидејќи бројот на непознати е n = 5, а рангот на системската матрица е веќе точно помал од овој број, бидејќи бројот на редови е m = 4, т.е. највисокиот ред на детерминантата-квадрат е 4. Тоа значи дека има бесконечен број решенија и треба да го барате нејзиниот општ изглед. Гаусовиот метод за линеарни равенки ви овозможува да го направите ова.

Прво, како и обично, се составува проширена матрица.

Втор ред: коефициент k = (-a 21 /a 11) = -3. Во третата линија, првиот елемент е пред трансформациите, така што не треба да допирате ништо, треба да го оставите како што е. Четврта линија: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Со множење на елементите од првиот ред со секој од нивните коефициенти по ред и нивно додавање на потребните редови, добиваме матрица со следнава форма:

Како што можете да видите, вториот, третиот и четвртиот ред се состојат од елементи пропорционални еден на друг. Втората и четвртата се генерално идентични, така што едната од нив може веднаш да се отстрани, а преостанатиот да се помножи со коефициентот „-1“ и да се добие линијата број 3. И повторно, од две идентични линии, оставете една.

Резултатот е ваква матрица. Додека системот сè уште не е запишан, тука е неопходно да се одредат основните променливи - оние кои стојат на коефициентите a 11 = 1 и a 22 = 1, а слободните - сите останати.

Во втората равенка има само една основна променлива - x 2. Тоа значи дека од таму може да се изрази со запишување преку променливите x 3 , x 4 , x 5 , кои се слободни.

Добиениот израз го заменуваме во првата равенка.

Резултатот е равенка во која единствената основна променлива е x 1 . Ајде да го сториме истото со него како и со x 2.

Сите основни променливи, од кои има две, се изразени во однос на три слободни сега можеме да го напишеме одговорот во општа форма.

Можете исто така да наведете едно од конкретните решенија на системот. За такви случаи, нулите обично се избираат како вредности за слободните променливи. Тогаш одговорот ќе биде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за некооперативен систем

Решавањето на некомпатибилни системи на равенки со помош на методот Гаус е најбрзо. Таа завршува веднаш штом во една од фазите се добие равенка која нема решение. Односно, фазата на пресметување на корените, која е прилично долга и мачна, е елиминирана. Се разгледува следниов систем:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Како и обично, матрицата е составена:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И тоа е сведено на постепено форма:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

По првата трансформација, третата линија содржи равенка на формата

без решение. Следствено, системот е неконзистентен, а одговорот ќе биде празното множество.

Предности и недостатоци на методот

Ако изберете кој метод да ги решите SLAE на хартија со пенкало, тогаш методот што беше дискутиран во оваа статија изгледа најпривлечен. Многу потешко е да се збуниш во елементарните трансформации отколку ако треба рачно да бараш детерминанта или некоја незгодна инверзна матрица. Меѓутоа, ако користите програми за работа со податоци од овој тип, на пример, табеларни пресметки, тогаш излегува дека таквите програми веќе содржат алгоритми за пресметување на главните параметри на матриците - детерминанта, мали, инверзни итн. И ако сте сигурни дека машината сама ќе ги пресмета овие вредности и нема да прави грешки, попожелно е да го користите методот на матрица или формулите на Крамер, бидејќи нивната примена започнува и завршува со пресметка на детерминанти и инверзни матрици. .

Апликација

Бидејќи Гаусовото решение е алгоритам, а матрицата е всушност дводимензионална низа, може да се користи во програмирањето. Но, бидејќи статијата се позиционира како водич „за кукли“, треба да се каже дека најлесно место за ставање на методот се табелите, на пример, Excel. Повторно, секој SLAE внесен во табела во форма на матрица ќе се смета од Excel како дводимензионална низа. А за операции со нив има многу убави команди: собирање (можете само да додавате матрици со иста големина!), множење со број, множење на матрици (исто така со одредени ограничувања), наоѓање на инверзни и транспонирани матрици и што е најважно , пресметувајќи ја детерминантата. Ако оваа задача која одзема многу време се замени со една команда, можно е да се одреди рангот на матрицата многу побрзо и, според тоа, да се утврди нејзината компатибилност или некомпатибилност.

Продолжуваме да ги разгледуваме системите на линеарни равенки. Оваа лекција е трета на оваа тема. Ако имате нејасна идеја за тоа што е воопшто систем на линеарни равенки, ако се чувствувате како чајник, тогаш препорачувам да започнете со основите на страницата Следно, корисно е да ја проучувате лекцијата.

Гаусовиот метод е лесен!Зошто? Познатиот германски математичар Јохан Карл Фридрих Гаус, за време на неговиот живот, го доби признанието како најголем математичар на сите времиња, гениј, па дури и прекарот „Крал на математиката“. И сè генијално, како што знаете, е едноставно!Патем, пари не добиваат само цицачите, туку и генијалците - портретот на Гаус беше на банкнотата од 10 германски марки (пред воведувањето на еврото), а Гаус сè уште мистериозно им се насмевнува на Германците од обичните поштенски марки.

Гаусовиот метод е едноставен по тоа што ЗНАЕЊЕТО НА УЧЕНИК ОД ПЕТО ОДДЕЛЕНИЕ Е ДОВОЛНО за да го совладате. Мора да знаете како да собирате и множите!Не случајно наставниците често го разгледуваат методот на последователно исклучување на непознати во изборните предмети по математика во училиштата. Тоа е парадокс, но на студентите им е најтежок Гаусовиот метод. Ништо изненадувачки - се работи за методологијата и ќе се обидам да зборувам за алгоритмот на методот во достапна форма.

Прво, да систематизираме малку знаење за системите на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки може:

1) Имајте уникатно решение. 2) Имајте бесконечно многу решенија. 3) Немате решенија (бидете незаеднички).

Гаусовиот метод е најмоќната и универзална алатка за изнаоѓање решение било којсистеми на линеарни равенки. Како што се сеќаваме, Крамерово правило и метод на матрицасе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. И методот на секвенцијална елиминација на непознати Како и да еќе не доведе до одговорот! Во оваа лекција, повторно ќе го разгледаме методот Гаус за случајот бр. 1 (единственото решение за системот), статија е посветена на ситуациите од точките бр. 2-3. Забележувам дека алгоритамот на самиот метод работи исто во сите три случаи.

Да се вратиме на наједноставниот систем од лекцијата Како да се реши систем од линеарни равенки?и да го решите со помош на Гаусовиот метод.

Првиот чекор е да се запише проширена системска матрица: . Мислам дека секој може да види по кој принцип се напишани коефициентите. Вертикалната линија во внатрешноста на матрицата нема никакво математичко значење - таа е едноставно пробив за леснотија на дизајнирање.

Референца : Ви препорачувам да запомните термини линеарна алгебра. Системска матрица е матрица составена само од коефициенти за непознати, во овој пример матрицата на системот: . Проширена системска матрица – ова е истата матрица на системот плус колона со слободни термини, во овој случај: . За краткост, која било од матриците може едноставно да се нарече матрица.

Откако ќе се напише проширената системска матрица, неопходно е да се извршат некои дејства со неа, кои се нарекуваат и елементарни трансформации.

Постојат следните елементарни трансформации:

1) Стринговиматрици Може преуредина некои места. На пример, во матрицата што се разгледува, можете безболно да ги преуредите првиот и вториот ред:

2) Ако има (или се појавиле) пропорционални (како посебен случај - идентични) редови во матрицата, тогаш треба да избришиСите овие редови се од матрицата освен еден. Размислете, на пример, матрицата . Во оваа матрица, последните три реда се пропорционални, па доволно е да оставите само еден од нив: .

3) Ако во матрицата се појави нулта ред за време на трансформациите, тогаш треба да биде избриши. Јас нема да цртам, се разбира, нултата линија е линијата во која сите нули.

4) Редот на матрицата може да биде множи (подели)на кој било број не-нула. Размислете, на пример, матрицата . Овде препорачливо е да се подели првата линија со -3, а втората да се помножи со 2: . Оваа акција е многу корисна бидејќи ги поедноставува понатамошните трансформации на матрицата.

5) Оваа трансформација предизвикува најмногу тешкотии, но всушност нема ништо комплицирано. До ред на матрица можеш додадете уште една низа помножена со број, различно од нула. Да ја погледнеме нашата матрица од практичен пример: . Прво ќе ја опишам трансформацијата во многу детали. Помножете ја првата линија со -2: , И на вториот ред ја додаваме првата линија помножена со –2: . Сега првата линија може да се подели „назад“ со –2: . Како што можете да видите, линијата што е ДОДАДЕНА ЛИ – не се промени. Секогашсе менува линијата КОЈА СЕ ДОДАВА UT.

Во пракса, се разбира, тие не го пишуваат толку детално, туку го пишуваат накратко: Уште еднаш: до втората линија ја додаде првата линија помножена со –2. Линијата обично се множи усно или на нацрт, при што процесот на ментална пресметка оди вака:

„Ја препишувам матрицата и ја препишувам првата линија: »

„Прва колона. На дното треба да добијам нула. Затоа, го помножувам оној од врвот со –2: , а првиот го додавам во вториот ред: 2 + (–2) = 0. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„Сега втората колона. На врвот, множам -1 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: 1 + 2 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„И третата колона. На врвот множам -5 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: –7 + 10 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

Ве молиме внимателно да го разберете овој пример и да го разберете алгоритмот за секвенцијална пресметка, ако го разбирате ова, тогаш Гаусовиот метод е практично во вашиот џеб. Но, се разбира, ние допрва ќе работиме на оваа трансформација.

Елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки

! ВНИМАНИЕ: сметани манипулации не може да се користи, ако ви се понуди задача каде што матриците се дадени „сами“. На пример, со „класична“ операции со матрициВо никој случај не треба да преуредите нешто во матриците! Да се вратиме на нашиот систем. Практично се зема на парчиња.

Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја намалиме на зачекорен поглед:

(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. И повторно: зошто го множиме првиот ред со –2? Со цел да се добие нула на дното, што значи да се ослободиме од една променлива во втората линија.

(2) Поделете ја втората линија со 3.

Целта на елементарните трансформации – намалете ја матрицата во форма на чекор: . Во дизајнот на задачата, тие само ги означуваат „скалите“ со едноставен молив, а исто така ги заокружуваат броевите што се наоѓаат на „чекорите“. Самиот поим „зачекорен поглед“ не е целосно теоретски во научната и образовна литература, тој често се нарекува трапезоиден погледили триаголен поглед.

Како резултат на елементарни трансформации, добивме еквиваленторигинален систем на равенки:

Сега системот треба да се „одвитка“ во спротивна насока - од дното кон врвот, овој процес се нарекува инверзна на Гаусовиот метод.

Во долната равенка веќе имаме готов резултат: .

Да ја разгледаме првата равенка на системот и да ја замениме веќе познатата вредност на „y“ во неа:

Да ја разгледаме најчестата ситуација, кога Гаусовиот метод бара решавање на систем од три линеарни равенки со три непознати.

Пример 1

Решете го системот на равенки користејќи го методот Гаус:

Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот:

Сега веднаш ќе го нацртам резултатот до кој ќе дојдеме за време на решението: И повторувам, нашата цел е да ја доведеме матрицата во чекор напред користејќи елементарни трансформации. Каде да се започне?

Прво, погледнете го горниот лев број: Речиси секогаш треба да биде тука единица. Општо земено, -1 (а понекогаш и други броеви) ќе го направат тоа, но некако традиционално се случувало еден обично да се става таму. Како да се организира единица? Ја гледаме првата колона - имаме завршена единица! Трансформација прва: заменете ја првата и третата линија:

Сега првата линија ќе остане непроменета до крајот на решението. Сега добро.

Единицата во горниот лев агол е организирана. Сега треба да добиете нули на овие места:

Добиваме нули користејќи „тешка“ трансформација. Прво се занимаваме со втората линија (2, –1, 3, 13). Што треба да се направи за да се добие нула на првата позиција? Мора да на вториот ред додадете го првиот ред помножен со –2. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –2: (–2, –4, 2, –18). И ние постојано вршиме (повторно ментално или на нацрт) дополнување, на вториот ред ја додаваме првата линија, веќе помножена со –2:

Резултатот го пишуваме во втората линија:

Со третата линија се справуваме на ист начин (3, 2, -5, -1). За да добиете нула на првата позиција, ви треба на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –3: (–3, –6, 3, –27). И на третиот ред ја додаваме првата линија помножена со –3:

Резултатот го пишуваме во третиот ред:

Во пракса, овие дејства обично се изведуваат усно и се запишуваат во еден чекор:

Нема потреба да броите сè одеднаш и во исто време. Редоследот на пресметките и „запишувањето“ на резултатите конзистентнаи обично е вака: прво го препишуваме првиот ред, и полека се дувнеме - ДОСЛЕДНО и ВНИМАТЕЛНО:
И јас веќе разговарав за менталниот процес на самите пресметки погоре.

Во овој пример, ова е лесно да се направи, ние ја делиме втората линија со –5 (бидејќи сите броеви таму се деливи со 5 без остаток). Во исто време, третата линија ја делиме со –2, бидејќи колку се помали броевите, толку е поедноставно решението:

Во последната фаза на елементарните трансформации, треба да добиете уште една нула овде:

За ова на третата линија ја додаваме втората линија помножена со –2:
Обидете се сами да ја сфатите оваа акција - ментално помножете ја втората линија со –2 и изведете собирање.

Последното извршено дејство е фризурата на резултатот, поделете ја третата линија со 3.

Како резултат на елементарни трансформации, беше добиен еквивалентен систем на линеарни равенки: Кул.

Сега на сцена стапува обратното од Гаусовиот метод. Равенките се „одмотуваат“ од дното кон врвот.

Во третата равенка веќе имаме подготвен резултат:

Да ја погледнеме втората равенка: . Значењето на „зет“ е веќе познато, така што:

И конечно, првата равенка: . „Игрек“ и „зет“ се познати, се работи само за ситници:

Одговори:

Како што веќе беше забележано неколку пати, за секој систем на равенки е можно и неопходно да се провери пронајденото решение, за среќа, тоа е лесно и брзо.

Пример 2

Ова е пример за независно решение, примерок од финалниот дизајн и одговор на крајот од лекцијата.

Треба да се напомене дека вашиот напредокот на одлукатаможеби не се совпаѓа со мојот процес на одлучување, а тоа е карактеристика на Гаусовиот метод. Но, одговорите мора да бидат исти!

Пример 3

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме еден. Проблемот е што воопшто нема единици во првата колона, така што преуредувањето на редовите нема да реши ништо. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Го направив ова: (1) На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со –1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со –1 и ги додадовме првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.

Сега горе лево има „минус еден“, што доста ни одговара. Секој што сака да добие +1 може да изврши дополнително движење: помножете ја првата линија со –1 (променете го неговиот знак).

(2) Првиот ред помножен со 5 беше додаден на вториот ред Првиот ред помножен со 3 беше додаден на третиот ред.

(3) Првата линија беше помножена со –1, во принцип, ова е за убавина. Променет е и знакот на третата линија и тој е поместен на второто место, така што на вториот „скалило“ ја имаме потребната единица.

(4) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 2.

(5) Третата линија беше поделена со 3.

Лош знак што укажува на грешка во пресметките (поретко, печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Тоа е, ако добиеме нешто како , подолу, и, соодветно, , тогаш со висок степен на веројатност можеме да кажеме дека е направена грешка при елементарни трансформации.

Наплаќаме обратно, при дизајнирањето на примерите тие често не го препишуваат самиот систем, туку равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратниот удар, ве потсетувам, работи од дното кон врвот. Да, еве подарок:

Одговори: .

Пример 4

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Ова ти е пример сам да го решиш, нешто е покомплицирано. Во ред е ако некој се збуни. Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата. Вашето решение може да се разликува од моето решение.

Во последниот дел ќе разгледаме некои карактеристики на Гаусовиот алгоритам. Првата карактеристика е дека понекогаш недостасуваат некои променливи во системските равенки, на пример: Како правилно да се напише проширената системска матрица? Веќе зборував за оваа точка на час. Правило на Крамер. Матричен метод. Во проширената матрица на системот, ставаме нули наместо променливите што недостасуваат: Патем, ова е прилично лесен пример, бидејќи првата колона веќе има една нула, а има помалку елементарни трансформации за извршување.

Втората карактеристика е ова. Во сите разгледани примери, ставивме или –1 или +1 на „чекорите“. Дали може да има други бројки таму? Во некои случаи можат. Размислете за системот: .

Овде на горниот лев „чекор“ имаме два. Но, го забележуваме фактот дека сите броеви во првата колона се деливи со 2 без остаток - а другиот е два и шест. И двајцата горе лево ќе ни одговараат! Во првиот чекор, треба да ги извршите следните трансформации: додадете ја првата линија помножена со –1 во втората линија; на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. На овој начин ќе ги добиеме бараните нули во првата колона.

Или друг конвенционален пример: . Тука ни одговараат и трите на вториот „чекор“, бидејќи 12 (местото каде што треба да добиеме нула) се дели со 3 без остаток. Неопходно е да се изврши следнава трансформација: додадете ја втората линија во третата линија, помножена со -4, како резултат на што ќе се добие нулата што ни треба.

Методот на Гаус е универзален, но има една особеност. Можете самоуверено да научите да решавате системи користејќи други методи (метод на Крамер, метод на матрица) буквално прв пат - тие имаат многу строг алгоритам. Но, за да се чувствувате сигурни во Гаусовиот метод, треба да „влезете во забите“ и да решите најмалку 5-10 десет системи. Затоа, на почетокот може да има забуна и грешки во пресметките, и нема ништо необично или трагично во ова.

Дождливо есенско време надвор од прозорецот.... Затоа, за секој што сака покомплексен пример што ќе го реши сам:

Пример 5

Решете систем од 4 линеарни равенки со четири непознати со помош на методот Гаус.

Ваквата задача не е толку ретка во пракса. Мислам дека дури и чајник кој темелно ја проучувал оваа страница ќе го разбере алгоритмот за интуитивно решавање на таков систем. Во основа, сè е исто - има само повеќе акции.

Случаите кога системот нема решенија (неконзистентни) или има бесконечно многу решенија се дискутирани на лекцијата Некомпатибилни системи и системи со заедничко решение. Таму можете да го поправите разгледуваниот алгоритам на Гаусовиот метод.

Ти посакувам успех!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение : Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма.
Извршени елементарни трансформации: (1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –1. Внимание! Овде може да бидете во искушение да го одземете првиот од третиот ред. Силно препорачувам да не го одземате - ризикот од грешка значително се зголемува. Само преклопете го! (2) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Вториот и третиот ред се заменети. Забелешка , дека на „скалите“ се задоволуваме не само со еден, туку и со –1, што е уште позгодно. (3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 5. (4) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Третата линија беше поделена со 14.

Обратно:

Одговори : .

Пример 4: Решение : Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Извршени конверзии: (1) На првиот ред е додаден втор ред. Така, саканата единица е организирана на горниот лев „чекор“. (2) Првиот ред помножен со 7 беше додаден на вториот ред Првиот ред помножен со 6 беше додаден на третиот ред.

Со вториот „чекор“ сè станува полошо , „кандидати“ за него се броевите 17 и 23, а ни треба или еден или –1. Трансформациите (3) и (4) ќе бидат насочени кон добивање на саканата единица (3) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со –1. (4) Третиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –3. Потребната ставка на вториот чекор е примена. . (5) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 6. (6) Втората линија беше помножена со –1, третата линија беше поделена со -83.

Обратно:

Одговори :

Пример 5: Решение : Дозволете ни да ја запишеме матрицата на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор напред:

Извршени конверзии: (1) Првиот и вториот ред се заменети. (2) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –2. Првата линија беше додадена на четвртата линија, помножена со –3. (3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 4. Вториот ред е додаден на четвртиот ред, помножен со –1. (4) Знакот на вториот ред е сменет. Четвртата линија беше поделена со 3 и ставена на местото на третата линија. (5) Третиот ред беше додаден на четвртиот ред, помножен со –5.

Обратно:

Одговори :

Прво, да систематизираме малку знаење за системите на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки може:

1) Имајте уникатно решение.
2) Имајте бесконечно многу решенија.
3) Немате решенија (бидете незаеднички).

Гаусовиот метод е најмоќната и универзална алатка за изнаоѓање решение било којсистеми на линеарни равенки. Како што се сеќаваме, Крамерово правило и метод на матрицасе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. И методот на секвенцијална елиминација на непознати Како и да еќе не доведе до одговорот! Во оваа лекција, повторно ќе го разгледаме методот Гаус за случајот бр. 1 (единственото решение за системот), статијата е посветена на ситуациите од точките бр. 2-3. Забележувам дека алгоритамот на самиот метод работи исто во сите три случаи.

Да се вратиме на наједноставниот систем од лекцијата Како да се реши систем од линеарни равенки?
и да го решите со помош на Гаусовиот метод.

Првиот чекор е да се запише проширена системска матрица:
. Мислам дека секој може да види по кој принцип се напишани коефициентите. Вертикалната линија во внатрешноста на матрицата нема никакво математичко значење - таа е едноставно пробив за леснотија на дизајнирање.

Референца :Ви препорачувам да запомните терминилинеарна алгебра. Системска матрицае матрица составена само од коефициенти за непознати, во овој пример матрицата на системот: . Проширена системска матрица– ова е истата матрица на системот плус колона од слободни термини, во овој случај: . За краткост, која било од матриците може едноставно да се нарече матрица.

Постојат следните елементарни трансформации:

5) Оваа трансформација предизвикува најмногу тешкотии, но всушност нема ништо комплицирано. До ред на матрица можеш додадете уште една низа помножена со број, различно од нула. Да ја погледнеме нашата матрица од практичен пример: . Прво ќе ја опишам трансформацијата во многу детали. Помножете ја првата линија со -2: , И на вториот ред ја додаваме првата линија помножена со –2: . Сега првата линија може да се подели „назад“ со –2: . Како што можете да видите, линијата што е ДОДАДЕНА ЛИ – не е променет. Секогашсе менува линијата КОЈА СЕ ДОДАВА UT.

Во пракса, се разбира, тие не го пишуваат толку детално, туку го пишуваат накратко:

Уште еднаш: до втората линија ја додаде првата линија помножена со –2. Линијата обично се множи усно или на нацрт, при што процесот на ментална пресметка оди вака:

„Ја препишувам матрицата и ја препишувам првата линија: »

Елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки

Да се вратиме на нашиот систем. Практично се зема на парчиња.

(2) Поделете ја втората линија со 3.

Како резултат на елементарни трансформации, добивме еквиваленторигинален систем на равенки:

Во долната равенка веќе имаме готов резултат: .

Да ја разгледаме првата равенка на системот и да ја замениме веќе познатата вредност на „y“ во неа:

Пример 1

Решете го системот на равенки користејќи го методот Гаус:

Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот:

Сега веднаш ќе го нацртам резултатот до кој ќе дојдеме за време на решението:

И повторувам, нашата цел е да ја доведеме матрицата во чекор напред користејќи елементарни трансформации. Каде да се започне?

Прво, погледнете го горниот лев број:

Речиси секогаш треба да биде тука единица. Општо земено, -1 (а понекогаш и други броеви) ќе го направат тоа, но некако традиционално се случувало еден обично да се става таму. Како да се организира единица? Ја гледаме првата колона - имаме завршена единица! Трансформација прва: заменете ја првата и третата линија:

Сега првата линија ќе остане непроменета до крајот на решението. Сега добро.

Единицата во горниот лев агол е организирана. Сега треба да добиете нули на овие места:

Резултатот го пишуваме во втората линија:

Резултатот го пишуваме во третата линија:

Во пракса, овие дејства обично се изведуваат усно и се запишуваат во еден чекор:

Нема потреба да броите сè одеднаш и во исто време. Редоследот на пресметките и „запишувањето“ на резултатите конзистентнаи обично е вака: прво го препишуваме првиот ред, и полека се дувнеме - ДОСЛЕДНО и ВНИМАТЕЛНО:

И јас веќе разговарав за менталниот процес на самите пресметки погоре.

Во последната фаза на елементарните трансформации, треба да добиете уште една нула овде:

За ова на третата линија ја додаваме втората линија помножена со –2:

Обидете се сами да ја сфатите оваа акција - ментално помножете ја втората линија со –2 и изведете собирање.

Последното извршено дејство е фризурата на резултатот, поделете ја третата линија со 3.

Како резултат на елементарни трансформации, беше добиен еквивалентен систем на линеарни равенки:

Кул.

Сега на сцена стапува обратното од Гаусовиот метод. Равенките се „одмотуваат“ од дното кон врвот.

Во третата равенка веќе имаме подготвен резултат:

Да ја погледнеме втората равенка: . Значењето на „зет“ е веќе познато, така што:

И конечно, првата равенка: . „Игрек“ и „зет“ се познати, се работи само за ситници:

Одговори:

Пример 2

Ова е пример за независно решение, примерок од финалниот дизајн и одговор на крајот од лекцијата.

Пример 3

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме еден. Проблемот е што воопшто нема единици во првата колона, така што преуредувањето на редовите нема да реши ништо. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Го направив ова:
(1) На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со –1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со –1 и ги додадовме првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.

(2) Првиот ред помножен со 5 беше додаден на вториот ред Првиот ред помножен со 3 беше додаден на третиот ред.

(4) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 2.

(5) Третата линија беше поделена со 3.

Одговори: .

Пример 4

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Во последниот дел ќе разгледаме некои карактеристики на Гаусовиот алгоритам.
Првата карактеристика е дека понекогаш недостасуваат некои променливи во системските равенки, на пример:

Како правилно да се напише проширената системска матрица? Веќе зборував за оваа точка на час. Правило на Крамер. Матричен метод. Во проширената матрица на системот, ставаме нули наместо променливите што недостасуваат:

Патем, ова е прилично лесен пример, бидејќи првата колона веќе има една нула, а има помалку елементарни трансформации за извршување.

Методот на Гаус е универзален, но има една особеност. Можете самоуверено да научите да решавате системи користејќи други методи (метод на Крамер, метод на матрица) буквално прв пат - тие имаат многу строг алгоритам. Но, за да се чувствувате сигурни во Гаусовиот метод, треба да се подобрите во тоа и да решите најмалку 5-10 системи. Затоа, на почетокот може да има забуна и грешки во пресметките, и нема ништо необично или трагично во ова.

Пример 5

Решете систем од четири линеарни равенки со четири непознати со помош на методот Гаус.

Случаите кога системот нема решенија (неконзистентни) или има бесконечно многу решенија се дискутирани на часот Некомпатибилни системи и системи со општо решение. Таму можете да го поправите разгледуваниот алгоритам на Гаусовиот метод.

Ти посакувам успех!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение : Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма.

Извршени елементарни трансформации:
(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –1. Внимание!Овде може да бидете во искушение да го одземете првиот од третиот ред. Силно препорачувам да не го одземате - ризикот од грешка значително се зголемува. Само преклопете го!
(2) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Вториот и третиот ред се заменети. Забелешка, дека на „скалите“ се задоволуваме не само со еден, туку и со –1, што е уште позгодно.
(3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 5.
(4) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Третата линија беше поделена со 14.

Обратно:

Одговори: .

Пример 4: Решение : Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Извршени конверзии:
(1) На првиот ред е додаден втор ред. Така, саканата единица е организирана на горниот лев „чекор“.
(2) Првиот ред помножен со 7 беше додаден на вториот ред Првиот ред помножен со 6 беше додаден на третиот ред.

Со вториот „чекор“ сè станува полошо , „кандидати“ за него се броевите 17 и 23, а ни треба или еден или –1. Трансформациите (3) и (4) ќе бидат насочени кон добивање на саканата единица

(3) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со –1.
(4) Третиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –3.
(3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 4. Вториот ред е додаден на четвртиот ред, помножен со –1.
(4) Знакот на вториот ред е сменет. Четвртата линија беше поделена со 3 и ставена на местото на третата линија.
(5) Третиот ред беше додаден на четвртиот ред, помножен со –5.

Обратно:

Еден од наједноставните начини за решавање на систем од линеарни равенки е техника базирана на пресметка на детерминанти ( Правило на Крамер). Неговата предност е што ви овозможува веднаш да го снимите решението, особено е погодно во случаи кога коефициентите на системот не се бројки, туку некои параметри. Неговиот недостаток е гломазноста на пресметките во случај на голем број равенки. Во такви случаи, обично се користи Гаусовиот метод.

Се нарекуваат системи на линеарни равенки кои имаат исто множество решенија еквивалент. Очигледно, множеството решенија на линеарен систем нема да се промени ако се заменат некои равенки, или ако една од равенките се помножи со некој број што не е нула, или ако една равенка се додаде на друга.

Гаусовиот метод (метод на секвенцијална елиминација на непознати) е дека со помош на елементарни трансформации системот се сведува на еквивалентен систем од тип на чекор. Прво, користејќи ја првата равенка, елиминираме x 1 од сите последователни равенки на системот. Потоа, користејќи ја втората равенка, елиминираме x 2 од 3-та и сите наредни равенки. Овој процес, наречен директен Гаусовиот метод, продолжува додека не остане само една непозната на левата страна од последната равенка x n. По ова е направено инверзна на Гаусовиот метод– решавајќи ја последната равенка, наоѓаме x n; после тоа, користејќи ја оваа вредност, од претпоследната равенка пресметуваме x n-1, итн. Го наоѓаме последниот x 1 од првата равенка.

Удобно е да се извршат Гаусови трансформации со вршење трансформации не со самите равенки, туку со матриците на нивните коефициенти. Размислете за матрицата:

повикани проширена матрица на системот,бидејќи, покрај главната матрица на системот, вклучува и колона од слободни термини. Гаусовиот метод се заснова на намалување на главната матрица на системот на триаголна форма (или трапезоидна форма во случај на неквадратни системи) со користење на елементарни трансформации на редови (!) на продолжената матрица на системот.

Пример 5.1.Решете го системот користејќи го Гаусовиот метод:

Решение. Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот и, користејќи го првиот ред, потоа ќе ги ресетираме преостанатите елементи:

добиваме нули во 2-ри, 3-ти и 4-ти редови од првата колона:

Сега ни требаат сите елементи во втората колона под вториот ред да бидат еднакви на нула. За да го направите ова, можете да ја помножите втората линија со -4/7 и да ја додадете во третата линија. Меѓутоа, за да не се занимаваме со дропки, да создадеме единица во вториот ред од втората колона и само

Сега, за да добиете триаголна матрица, треба да го ресетирате елементот од четвртиот ред од 3-тата колона, можете да го помножите третиот ред со 8/54 и да го додадете во четвртиот. Меѓутоа, за да не се занимаваме со дропки, ќе ги замениме 3-тиот и 4-тиот ред и 3-та и 4-та колона и само после тоа ќе го ресетираме наведениот елемент. Забележете дека при преуредување на колоните, соодветните променливи ги менуваат местата и тоа мора да се запомни; други елементарни трансформации со колони (собирање и множење со број) не можат да се извршат!

Последната поедноставена матрица одговара на систем од равенки еквивалентни на првобитната:

Оттука, користејќи го инверзниот на Гаусовиот метод, наоѓаме од четвртата равенка x 3 = –1; од третиот x 4 = –2, од втората x 2 = 2 и од првата равенка x 1 = 1. Во форма на матрица, одговорот се пишува како

Го разгледавме случајот кога системот е дефинитивен, т.е. кога има само едно решение. Ајде да видиме што ќе се случи ако системот е неконзистентен или неизвесен.

Пример 5.2.Истражете го системот користејќи го Гаусовиот метод:

Решение. Ја испишуваме и трансформираме проширената матрица на системот

Ние пишуваме поедноставен систем на равенки:

Еве, во последната равенка испадна дека 0=4, т.е. контрадикторност. Следствено, системот нема решение, т.е. таа некомпатибилни. à

Пример 5.3.Истражете го и решете го системот користејќи го Гаусовиот метод:

Решение. Ја запишуваме и трансформираме проширената матрица на системот:

Како резултат на трансформациите, последната линија содржи само нули. Ова значи дека бројот на равенки е намален за еден:

Така, по упростувањата, остануваат две равенки, а четири непознати, т.е. две непознати „екстра“. Нека бидат „излишни“, или, како што велат, слободни променливи, ќе x 3 и x 4 . Потоа

Верувајќи x 3 = 2аИ x 4 = б, добиваме x 2 = 1–аИ x 1 = 2б–а; или во форма на матрица

Вака напишаното решение се нарекува општо, бидејќи, давајќи параметри аИ бразлични вредности, може да се опишат сите можни решенија на системот. а

Што значи да се реши со помош на Гаусовиот метод?

Прво, треба да го напишеме нашиот систем на равенки во Изгледа вака. Земете го системот:

Матрици, нивните својства

Детерминанта

Системска класификација

Врз основа на ситуацијата со ранг, SLAE може да се подели на:

Заеднички. УВо заедничките системи, рангирањето на главната матрица (кое се состои само од коефициенти) се совпаѓа со рангирањето на проширената матрица (со колона од слободни членови). Ваквите системи имаат решение, но не мора едно, затоа, дополнително заедничките системи се поделени на:
- одредени- да се има единствено решение. Во одредени системи, рангот на матрицата и бројот на непознати (или бројот на колони, што е иста работа) се еднакви;
- недефинирано -со бесконечен број решенија. Рангот на матрици во такви системи е помал од бројот на непознати.
Некомпатибилни. УВо такви системи, редовите на главните и проширените матрици не се совпаѓаат. Некомпатибилните системи немаат решение.

Елементарни трансформации

Преуредување линии. Очигледно, ако го промените редоследот на равенките во системскиот запис, тоа нема да влијае на решението на кој било начин. Следствено, редовите во матрицата на овој систем исто така може да се заменат, не заборавајќи, се разбира, на колоната со слободни термини.
Множење на сите елементи на низа со одреден коефициент. Многу корисна! Може да се користи за намалување на големи броеви во матрица или отстранување на нули. Многу одлуки, како и обично, нема да се променат, но понатамошните операции ќе станат попогодни. Главната работа е дека коефициентот не е еднаков на нула.
Отстранување на редови со пропорционални фактори. Ова делумно произлегува од претходниот став. Ако два или повеќе редови во матрицата имаат пропорционални коефициенти, тогаш кога една од редовите се множи/подели со коефициентот на пропорционалност, се добиваат два (или, повторно, повеќе) апсолутно идентични редови, а дополнителните може да се отстранат, оставајќи само еден.
Отстранување на нулта линија. Ако при трансформацијата некаде се добие ред во кој сите елементи, вклучувајќи го и слободниот член, се нула, тогаш таков ред може да се нарече нула и да се исфрли од матрицата.
Додавање на елементите на еден ред на елементите на друг (во соодветните колони), помножени со одреден коефициент. Најнеочигледна и најважна трансформација од сите. Вреди да се задржиме на тоа подетално.

Додавање низа помножена со фактор

За полесно разбирање, вреди да се разложи овој процес чекор по чекор. Два реда се земени од матрицата:

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да речеме дека треба да го додадете првиот на вториот, помножен со коефициентот "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Потоа, вториот ред во матрицата се заменува со нов, а првиот останува непроменет.

a 11 a 12 ... a 1n | б1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Генерално

Нека има систем. Има m равенки и n непознати корени. Можете да го напишете на следниов начин:

првиот ред од матрицата се множи со коефициентот k = (-a 21 /a 11);
се додаваат првиот модифициран ред и вториот ред од матрицата;
наместо вториот ред, резултатот од собирањето од претходниот став се вметнува во матрицата;
сега првиот коефициент во новиот втор ред е 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

коефициент k = (-a 32 /a 22);
втората изменета линија се додава на линијата „тековна“;
резултатот од додавањето се заменува во третата, четвртата и така натаму линии, додека првата и втората остануваат непроменети;
во редовите на матрицата првите два елементи се веќе еднакви на нула.

Кога нема решенија

Кога има бесконечен број решенија

Решение со конкретни примери

Еве еден систем на равенки.

За погодност, подобро е веднаш да се создаде нејзината матрица

втор ред: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

трета линија: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Сега, за да не се мешате, треба да запишете матрица со средните резултати од трансформациите.

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Матрицата повторно се пишува со нови вредности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

x + 2y + 4z = 12 (1)

7г + 11з = 24 (2)

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И првата равенка ни овозможува да најдеме x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Пример за неизвесен систем

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Прво, како и обично, се составува проширена матрица.

Добиениот израз го заменуваме во првата равенка.

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за некооперативен систем

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Како и обично, матрицата е составена:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И тоа е сведено на постепено форма:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

По првата трансформација, третата линија содржи равенка на формата

без решение. Следствено, системот е неконзистентен, а одговорот ќе биде празното множество.